This is my dissertation submitted to Department of Physics, Jamia Milia Islamia, New Delhi, for the partial fulfillment of MSc Physics. It gives a Quantum Mechanical treatment of convex lens.

1. ÉÙ ÒØÙÑ ÌÖ ØÑ ÒØ Ó Ä Ò× ×
Ï Ú È Ø ÇÔØ ×
×× ÖØ Ø ÓÒ ×Ù Ñ ØØ ØÓ
 ÅÁ ÅÁÄÄÁ ÁËÄ ÅÁ
ÆÛ Ð
Ò Ô ÖØ Ð ÙÐ ÐÐÑ ÒØ Ó Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ ÓÖ Ø Ö Ó
Å ×Ø Ö Ó Ë Ò
Ò
È Ý× ×
Ý
ÒÙ Ë Ò
Ô ÖØÑ ÒØ Ó È Ý× ×
Â Ñ Å ÐÐ Á×Ð Ñ ¸ Æ Û Ð º
ÂÙÒ ¸ ¾¼¼

2. ÃÆÇÏÄ Å ÆÌ
Á Ø Ø × ÓÔÔÓÖØÙÒ ØÝ ØÓ Ø Ò Öº Ì × ÉÙÖ × ÓÖ × Ú ÐÙ Ð Ù Ò ¸ Ò ÓÙÖ¹
Ñ ÒØ Ò ÐÔº
Á Ñ Ø Ò ÙÐ ØÓ ÖÙÒ ÛÐ ÓÖ ÐÔ Ò Ñ ÓÙØ Ò Ø × ÔÖÓ Øº
Á ÛÓÙÐ Ð×Ó Ð ØÓ Ø Ò ÐÐ Ø Ø Ò Ò ÒÓÒ¹Ø Ò ×Ø Ó Ø Ô ÖØÑ ÒØ Ó
È Ý× ×¸ Ò ÑÝ Ö Ò × Ø Â Ñ Å ÐÐ Á×Ð Ñ ¸ ÓÖ Ø Ö Ò ÓÓÔ Ö Ø ÓÒº
ÒÙ Ë Ò

3. ÊÌÁ Á Ì
Ì × × ØÓ ÖØ Ý Ø Ø Ø ÔÖÓ Ø ÛÓÖ ÒØ ØÐ ÉÙ ÒØÙÑ ÌÖ ØÑ ÒØ Ó Ä Ò× × Ï Ú
È Ø ÇÔØ × × ÓÛ× ÛÓÖ ÓÒ Ý ÒÙ Ë Ò ¸ Ò Ô ÖØ Ð ÙÐ ÐÐÑ ÒØ Ó Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ
ÓÖ Ø Û Ö Ó Ø Ö Ó Å ×Ø Ö Ó Ë Ò Ò È Ý× × Ø Â Ñ Å ÐÐ Á×Ð Ñ ¸ Æ Û
Ð ¸ ÙÒ Ö ÑÝ ×ÙÔ ÖÚ × ÓÒ Ò Ù Ò º
Á Ö Ý ÔÔÖÓÚ Ø ÓÖ ×Ù Ñ ×× ÓÒ ØÓ Ø ÙÒ Ú Ö× ØÝ ÓÖ Ø Û Ö Ó Å ×Ø Ö Ó Ë Ò Ò
È Ý× ×º ÙÖØ Ö¸ ØÓ Ø ×Ø Ó ÑÝ ÒÓÛÐ ¸ Ø × Ö ÔÓÖØ × ÒÓØ Ò ×Ù Ñ ØØ ØÓ ÒÝ
ÓØ Ö Ò×Ø ØÙØ ÓÒ ÓÖ Ø Û Ö Ó ÒÝ Ö ÓÖ ÔÐÓÑ º
Öº Ì × ÉÙÖ ×
Ô ÖØÑ ÒØ Ó È Ý× ×
Â Ñ Å ÐÐ Á×Ð Ñ
Æ Û Ð º

4. ÓÒØ ÒØ×
½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ
½º½ Ì Ù×× Ò Ï Ú È Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾ Ì Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ù×× Ò Ï Ú ÙÒ Ø ÓÒ
¾º½ ËÔÖ Ò Ó Ï Ú È Ø Û Ø Ì Ñ » ×Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º
¿ Ø Ó ÉÙ ÒØÙÑ Ä Ò× ÓÒ Ø Ï Ú È Ø ½¿
¿º½ Ñ Ø Ó ÓÖ Ò Ò Ø ÍÒ ÒÓÛÒ Ú Ö Ð × β Ò Ω º º º º º º º º º º º º ½
¿º¾ Î Ö Ø ÓÒ Ó Ä Ò× ÕÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¿º¾º½ Ï Ò ÁÒ Ø Ð Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ ÝÓÒ ¾ º º º º º º º º º º ¾½
¿º¾º¾ Ï Ò ÁÒ Ø Ð Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ ¾ º º º º º º º º º º º º º º ¾¾
¿º¾º¿ Ï Ò ÁÒ Ø Ð Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ ØÛ Ò ¾ ² º º º º º º º ¾¿
¿º¾º Ï Ò ÁÒ Ø Ð Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾
ÓÒ ÐÙ× ÓÒ ¾
º½ ÙÖØ Ö ÛÓÖ Ø Ø Ò ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º¾ Ä ×Ø Ó Ê Ö Ò × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º¿ ÁÒØ ÖÒ Ø Ê Ö Ò × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾

5. ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ
ÁÒ ÉÙ ÒØÙÑ Å Ò ×¸ Ô ÖØ Ð × × Ö Ý Û Ú Ô Øº Ì Û Ú Ô Ø ×ÙÖ¹
ÖÓÙÒ × Ø ÔÓ× Ø ÓÒ Ó Ø Ð ×× Ð Ô ÖØ Ð ¸ Ò Ø ÒØ Ö Ó Ö Ú ØÝ Ó Ø Ô Ø
ÓÐÐÓÛ× Ø Ð ×× Ð Ô ÖØ Ð ØÖ ØÓÖݺ ÓÖ Ò ØÓ ÓÖÒ³× ÔÓ×ØÙÐ Ø ¸ Ø Ô ÖØ Ð Ñ Ý
ÓÙÒ ÒÝÛ Ö Û Ø Ò Ø Ö ÓÒ Û Ö Ø ÑÔÐ ØÙ Ó Ø Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ × Ö ÒØ
ÖÓÑ Þ ÖÓº Ì × ÑÔÐ × Ø Ø Ø ÔÓ× Ø ÓÒ Ó Ø Ô ÖØ Ð × Ò Ø ÖÑ Ò Ø Û Ø Ò Ø Ð Ñ Ø×
Ó Ø Û Ú Ô Øº Ì ÕÙ ×Ø ÓÒ Ö × × Û Ø Ö Ô Ø Ò ÓÒ×ØÖÙ Ø Ø Ø × Ú ÖÝ
ÑÙ ÐÓ Ð Þ Ò ×Ô ¸ ×Ó Ø Ø Ø ÔÓ× Ø ÓÒ Ó Ø Ô ÖØ Ð × ÓÒ Ò ØÓ ×Ñ ÐÐ ÚÓÐÙÑ º
ÁØ Ò ÜÔ Ø Ø Ø Ò ÖÖÓÛ Ô Ø ÑÓÚ × Ò ×Ù Û Ý Ø Ø Ø Ú Ö ÔÓ× Ø ÓÒ
Ó Ø Ô ÖØ Ð ÓÒ ÓÖÑ× ØÓ Ð ×× Ð Ð Û׺
Ì ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ Ó Ò ÔÓ×× Ð ¸ Ø Ð ×Ø ÓÖ Ð Ñ Ø Ø Ñ º Ì Ø Ø Ø Ø Ô Ø
Û ÐÐ ×ÔÖ Û Ø Ø Ñ × ÓÒ× Ö ÐÓÛº
ÐÓ Ð Þ Û Ú Ô Ø Ò Ö ÔÖ × ÒØ Ý Ù×× Ò Ï Ú ÙÒ Ø ÓÒ
2 /σ 2 )
ψ(x) = Ae(−x ´½µ
1/e
0
2a
2 /a2 )
ÙÖ ½ ÈÐÓØ Ó ψ(x) = Ae(−x

6. ½º½ Ì Ù×× Ò Ï Ú È Ø
Ù×× Ò Ï Ú È Ø Ó Ø Ø Ò ×× 2σ Ò ÒØ Ö ÓÙØ Ü ¼ × Ú Ò Ý
2 /σ 2 )
ψ(x) = Ae(−x
ÆÓÖÑ Ð Þ Ò Ø × Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ ×¸
∝
ψ ψdx = 1 ´¾µ
−∝
∝
−∝ |ψ|2 dx = 1
∝ 2 /σ 2 ) 2 /σ 2 )
−∝ Ae(−x A e(−x dx = 1
ÓÖ¸
∝ 2 /σ 2
A2 dx e−2x =1 ´¿µ
−∝
Ï Ò ×ÓÐÚ Ø ÓÚ ÒØ Ö Ð Ý Ù× Ò Ø ×Ø Ò Ö ÑÑ ÁÒØ Ö Ð¸ Ú Ò Ý¸
∝ 2
dxe(ax ) = π/a ´ µ
−∝
Ì Ù× Û Ú ¸
1 2
A2 = ± σ π
ÓÖ¸
21/4
A= √ ´ µ
σ π

7. Í× Ò Ø × Ú ÐÙ Ó ÒÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ ÓÒ×Ø ÒØ Û Ø ÆÓÖÑ Ð Þ Ù×× Ò Û Ú Ô Ø ×
21/4 −x2 /σ2
ψ(x, 0) = √ e ´ µ
σ π
Ë Ò Ø × Ù×× Ò ÒØ Ö Ø Ü ¼¸ Û Ú
x = dx x |ψ(x)|2 = 0
ˆ
Ï Ò Ð ÙÐ Ø ¸
σ2
x2 =
ˆ dx x2 |ψ(x)|2 = 8
Ì Ö ÓÖ ¸ Ø ÔÓ× Ø ÓÒ ÙÒ ÖØ ÒØÝ × ÓÙÒ ÓÙØ ØÓ
σ
Δx = (ˆ − x 2 )2
x ˆ 1/2
= √ ´ µ
2 2
Ì ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ ×Ô ÓÖ ´ µ × Ú Ò Ý Ø× ÓÙÖ Ö
ØÖ Ò× ÓÖÑ Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ ×Ô ¸
1/4
˜ 1 ιpx/¯
h σ2 −p2 σ 2
ψ(p) = dx ψ(x) e = e 4¯ 2
h ´ µ
2π¯h 2π¯ 2
h
Ì Ô Ý× Ð × Ò Ò Ó Ø × ÑÓÑ ÒØÙÑ Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ ˜
ψ(p) × Ø Ø Ø ×ÓÐÙØ ×ÕÙ Ö
Ó Ø × ÕÙ ÒØ ØÝ × ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÔÖÓ ÐØÝ Ø Ø Ø Ô ÖØ Ð × Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ Ôº
˜
ψ(p) × Ù×× Ò ÒØ Ö Ø Ô ¼º ÁØ³× ×Ý ØÓ × ÓÛ Ø Ø
p =
ˆ ˜
dp p |ψ(p)|2 = 0
p2 =
ˆ ˜
dp p2 |ψ(p)|2 = 2¯ 2
h
σ2
Ì Ù× Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ ÙÒ ÖØ ÒØÝ × Ú Ò Ý¸
√
2 2 1/2 2¯h
Δp = (ˆ − p )
p ˆ = ´ µ
σ

8. Ì ÔÖÓ Ù Ø Ó ØÛÓ ÙÒ ÖØ ÒØ × ×¸
ΔxΔp = h/2
¯ ´½¼µ
Û × Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ú ÐÙ ÐÐÓÛ Ý Ø ÙÒ ÖØ ÒØÝ ÔÖ Ò ÔÐ º Ì Ö ÓÖ Ù×× Ò
Û Ú Ô Ø Û Ø Ø ÓÖÑ Ó ´ µ × Ñ Ò ÑÙѹÙÒ ÖØ ÒØÝ ×Ø Ø º
ÆÓÛ Ð Ø Ù× Ò Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø × Û Ú ÙÒ Ø ÓÒº

9. ¾ Ì Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ù×× Ò Ï Ú ÙÒ Ø ÓÒ
Í× Ò Ø Ö Ô ÖØ Ð À Ñ ÐØÓÒ Ò¸
ˆ
H = p2 /2m
ˆ
Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø À × Ò Ö Ô ØÙÖ ×
ˆ 2
ψ(x, t) = e(−ι/¯ )Ht ψ(x, 0) = e(−ι/¯ )(ˆ /2m)t ψ(x, 0)
h h p
´½½µ
Ì ÑÓÑ ÒØÙÑ Ò¹×Ø Ø × ÓÖ Ø Ö Ô ÖØ Ð × Ú Ò Ý¸
1
|p = √ e(−ι/¯ )px = φp (x)(× Ý)
h
´½¾µ
2π¯
h
ÁØ Ò × ÐÝ Ø Ø |p × Ò Ò ×Ø Ø Ó ˆ
pÛØ Ò Ú ÐÙ Ô
h∂ 1h h
p = −ι¯ ∂x √2π¯ e(ι/¯ )px = p|p
ˆ
Ê ÔÖ × ÒØ Ò Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø ÖÑ× Ó Ø × × |p ¸
|ψ = p Cp |p
Ï Ò Ð ÙÐ Ø Ø Ó ÒØ× Cp ׸
∝ pσ 2
2 σ
Cp = p|ψ = −∝ φ∗ (x)ψ(x, 0)dx = ( π )1/4
p 2¯
h
e−( 2¯ )
h
Ì Ù× Ù× Ò Ø × Û Ò Ö ÛÖ Ø Ø Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ ×¸
1/4
∝ ∝ 2 σ −( pσ )2 1
ψ(x, 0) = Cp φp dp = e 2¯ √
h e(−ι/¯ )px dp
h
´½¿µ
−∝ −∝ π 2¯
h 2π¯
h
ÆÓÛ Û Ò ÛÖ Ø Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ ´ µ ׸

10. 2 ∝ 1/4 p σ 2
2 σ √1
ψ(x, t) = e(−ι/¯ )(ˆ /2m)t
h p
−∝ π 2¯
h
e−( 2¯ )
h
2π¯
h
e(−ι/¯ )p x dp
h
ÓÖ¸
∝ 1/4 p σ 2 2 /2m)t
2 σ √1
ψ(x, t) = −∝ π 2¯
h
e−( 2¯ ) e(−ι/¯ )(p
h
h
2π¯
h
e(−ι/¯ )p x dp
h
Ø × Ò Ö Ù ØÓ Û ÐÐ ÒÓÛÒ ÑÑ ÒØ Ö Ð ÓÖѸ
⎡ ⎤2
1/4
1 2 σ ιx ∝ dy
ψ(x, t) = √ exp ⎣ ⎦ exp(−y 2 ) ´½ µ
2π¯ π
h 2¯
h 2¯
h ιt
+ σ2 −∝ ιt
+ σ2
2m¯ h 4¯ 2
h 2m¯ h 4¯ 2
h
ιt σ2 ιx
Ï Ö ¸ y= 2m¯ h
+ 4¯ 2
h
p − 2
º
ιt
2m¯h
+ σ2
4¯
h
ËÓÐÚ Ò Ø ÒØ Ö Ð Ý Ù× Ò Ø ×Ø Ò Ö ÑÑ ÒØ Ö Ð¸ Û Ø
⎡ ⎛ ⎞2 ⎤
1/4
2 σ ⎢ x ⎠ ⎥
ψ(x, t) = 2ι¯ 2t
h exp ⎣− ⎝ ⎦ ´½ µ
π m
+σ 2
¯
h 2ιt
+ σ 2
m¯h ¯2
h
Ì × ÕÙ Ø ÓÒ ´½ µ Ú × Ø Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ù×× Ò Ï Ú Ô Ø Ò Ý ´ µ
Ò Ø À × Ò Ö Ô ØÙÖ Ù× Ò Ø Ö Ô ÖØ Ð À Ñ ÐØÓÒ Òº
¾º½ ËÔÖ Ò Ó ÏÚ È ØÛØ ÌÑ » ×Ø Ò
Ì Ø Ò ×× Ó Ø Û Ú Ô Ø Ø ×ÓÑ Ð Ø Ö Ø Ñ ³Ø³ Ò Ø ÖÑ Ò Ý ´½ µº Ï
ÛÖ Ø Ø Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ò Ý ´½ µ Ò × ÑÔÐ Ö ÓÖÑ ×¸
⎡ ⎛ ⎞2 ⎤
⎢ x ⎠ ⎥
ψ(x, t) = A exp ⎣− ⎝ 2
⎦ ´½ µ
2ιt σ
¯
h m¯h
+ ¯2
h
½¼

11. Ï Ö × Ø ÆÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÓÒ×Ø ÒØ Ú Ò Ý¸
1/4
2 σ
A= π 2ι¯ 2t
h
+σ2
m
ÆÓÛ¸
⎡ ⎛ ⎞⎤
2 2 2
x x 2x
|ψ(x, t)|2 = A∗ A exp − 2ιt¯
h + 2 2ιt¯
h = |A|2 exp ⎣− ⎝ 4t2 ¯ 2
⎠⎦ ´½ µ
m
+σ 2 σ − m σ2 + h
m2 σ2
Ì Ø Ò ×× Ó Ø Û Ú Ô Ø ´½ µ ×
4t2 ¯ 2
h
σ2 + m2 σ2
º
ÁØ Ò × ÐÝ × Ò Ø Ø Ø ÒÝ Ø Ñ Ø ¼ Ø × Ø Ò ×× × Ö Ø Ö Ø Ò σ 2 ´Ø Ø Ò ××
Ø Ø Ñ Ø ¼µ
ÇÖ¸
Ì ÏÚ È Ø ÜÔ Ò × Û Ø Ø Ñ
Ý ÖÓ Ð ÀÝÔÓØ × ×¸ Ô ÖØ Ð ÑÓÚ Ò Û Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ Û ÐÐ Ú ÖÓ Ð
Û Ú Ð Ò Ø Ú Ò Ý¸
h
λ= p
ÓÖ¸
h ht
λ= mv
= mx
ÓÖ¸
ht
xλ = m
½½

12. Í× Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ¸
h
¯t Lλ
m
= 2π
Ï Ö Ä × ×Ø Ò ØÖ Ú Ð Ý Ø Û Ú Ô Ø Ó Û Ú Ð Ò Ø λ Ò Ø Ñ Øº
Ï Ò Ö ÛÖ Ø ψ(x, t) ׸
−x2
ψ(x, t) = A exp σ2 + ιLλ
π
Ò¸
x2 x2 2x2
|ψ(x, t)|2 = A∗ A exp − ιLλ + 2 ιLλ = |A|2 exp − 2 2 ´½ µ
π
+ σ2 σ − π (σ 2 + Lπλ
2
Ì Ù× Ø Û Ø Ó Ø × Û Ú Ô Ø Ò ÓÙÒ ÓÙØ ØÓ
L2 λ2
σ2 + π2
º
Ì × Ð×Ó × ÓÛ× Ø Ø
Ì ÏÚ È Ø ÜÔ Ò × Û Ø ×Ø Ò
Ì × ÜÔ Ò× ÓÒ × ÓÙØ Ü ¼¸ × × ÓÛÒ Ò Ø º¾ ÐÓÛº
½¾

13. Propagation of Gaussian Wave Packet with Time/Distance
ÙÖ ¾ Ù×× Ò Ï Ú È Ø ÜÔ Ò × Û Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒº
Ì Û Ú Ô Ø Ö ÔÖ × ÒØ Ý ÙÒ Ø ÓÒ ´½ µ × ÆÇÌ Ù×× Ò Ò Ø× ÔÓ× Ø ÓÒ Ò
ÑÓÑ ÒØÙÑ ÙÒ ÖØ ÒØÝ × ÒÓØ Ñ Ò ÑÙѺ Ì × × × ÓÛÒ Ò Ø Ò ÜØ × Ø ÓÒº
½¿

14. ¿ Ø Ó ÉÙ ÒØÙÑ Ä Ò× ÓÒ Ø Ï Ú È Ø
Ï Ú × Ò Ø Ø Ø Ù×× Ò Ï Ú È Ø ÜÔ Ò × Û Ø Ø Ñ » ×Ø Ò º Ì Ø
Ó ÉÙ ÒØÙÑ ´ ÓÒÚ Üµ Ð Ò× ÓÒ Ø × Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ × ÓÙÐ × ×Ù Ø Ø Ø Ö ×ÙÐØ Ò
Ï Ú ÙÒ Ø ÓÒ × ÓÙÐ Ò ÖÖÓÛ Û Ø Ø Ñ º × × Ò ÖÓÑ Ø º¿ ÐÓÛ
A Quantum Convex Lens
Direction of Propagation of Gaussian Wave Packet
ÙÖ ¿ ÈÖÓÔ Ø ÓÒ Ó Ø Ù×× Ò Ï Ú Ô Ø Ø ÖÓÙ ÉÙ ÒØÙÑ ´ ÓÒÚ Üµ Ä Ò×
Ä Ø Ù× ÓÒ× Ö Û Ú Ô Ø Ó Ø ÓÖѸ
−x2
ψ(x, 0) = A exp ´½ µ
Ω2 − ιβ
Ì Ø Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø × Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ Û ÐÐ ¸
−x2
ψ(x, t) = A exp ´¾¼µ
Ω2 + ι( Lλ − β)
π
ÆÓÛ¸
⎛ ⎞
2
−2x
|ψ(x, t)|2 = |A|2 exp ⎜
⎝ 2⎠
⎟
´¾½µ
1 Lλ
Ω2 + Ω2 π
−β
½

15. Ì Û Ø Ó Ø × Û Ú Ô Ø ×
2
1 Lλ
Ω2 + Ω2 π
−β º
ÁØ Ò Ð ÖÐÝ × Ò ÖÓÑ Ø × Ø Ø Ø Û Ú Ô Ø Ó Ø ÓÖÑ ´½ µ Ò ÖÖÓÛ× × Ä
Ò Ö × ×º ÁØ ØØ Ò× Ñ Ò ÑÙÑ Û Ø Û Ò Ø × ÓÒ Ø ÖѸ
2
1 Lλ
´
Ω2 π
−β µ
ÓÑ × Þ ÖÓº Ø Ø Ñ Ò ÑÙÑ Û Ø Ø Û Ú Ô Ø × Ù×× Ò¸ Ò Ø ÜÔ Ò × ÙÖØ Ö
Û Ø Ø Ñ » ×Ø Ò º
Ì Ù× Û Ò ÓÒ× Ö Ø Ø Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ó Ù×× Ò Û Ú Ô Ø Ø ÖÓÙ ´ ÓÒ¹
Ú ÜµÐ Ò× × ×Ù ¸
−x2
2 /σ 2 Lens
e−x −→ e Ω2 −ιβ ´¾¾µ
Ï Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ø Û Ø Ó ÓØ Ø Û Ú Ô Ø× × Ø × Ñ ¸
º º
σ 2 = Ω2 + β 2 /Ω2
Ï Ò ÓÒ× Ö ÓÒ Ú Ð Ò× ØÓÓ¸ Ï Ù×Ø Ò ØÓ Ö Ú Ö× Ø × Ò Ó β ØÓ Ø Ø
Ø ÓÖÝ ÓÖ ÓÒ Ú Ð Ò׸ × Û Ú Ô Ø Ø Ö ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ø ÖÓÙ ÓÒ Ú Ð Ò× × ÓÙÐ
ÜÔ Ò ÑÓÖ Ö Ô ÐÝ × ÓÑÔ Ö ØÓ ÒÓÖÑ Ð Ù×× Ò Û Ú Ô Øº ÁØ Ò × Ò Ø Ø Ø ×
Ò Ú Ú ÖÝ × ÐÝ Û ÓÒ× Ö Û Ú Ô Ø Ó Ø ÓÖÑ
−x2
e Ω2 +ιβ º
Ê Ø ÒÓÛ Û ÓÒ× Ö ÓÒÐÝ ÓÒÚ Ü Ð Ò׸ Ò Ò Ò Ö Ð × Ø Ö ×ÙÐØ× Ð Ø Ö ×Ó Ø Ø Ø Ý
Ò ÔÔÐ Ð ØÓ ÓÒ Ú Ð Ò× × Û Ðк
ÁØ Ò × Ò Ø Ø Ø Û Ú Ô Ø¸
½

16. −x2
ψ(x) = A e Ω2 −ιβ
ÆÓÖÑ Ð Þ Ò Ø × Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ¸
⎛ ⎞1/2
2 −x2
ψ(x) = ⎝ β2
⎠ e Ω2 −ιβ ´¾¿µ
π Ω2 + Ω2
ÓÖ Ø × ÒÓÖÑ Ð × Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ Û Ò Ø ÙÒ ÖØ ÒØÝ Ò ÔÓ× Ø ÓÒ¸ Ø Ù× Û Ò Ò
Ð ÙÐ Ø
x = dx x |ψ(x)|2 = 0
ˆ
Ò ¸ x2 =
ˆ dx x2 |ψ(x)|2 = √ 1
23/2 π(Ω2 +β 2 /Ω2 )
Ø × ÑÔÐݸ
1
Δx = (ˆ − x 2 )2
x ˆ 1/2
= ´¾ µ
23/4 [π (Ω2 + β 2 /Ω2 )]1/4
Ì ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø ÑÓÑ ÒØÙÑ ×Ô ÓÖ ´ µ × Ú Ò Ý Ø× ÓÙÖ Ö
ØÖ Ò× ÓÖÑ Ò ÑÓÑ ÒØÙÑ ×Ô ¸
1/2
˜ 1 Ω2 p2 (Ω2 −ιβ)
ψ(p) = dx ψ(x) eιpx/¯ =
h
e− 4¯ 2
h ´¾ µ
2π¯h π¯ (Ω2 + ιβ)
h
Ì Ù× Û Ú ¸
p =
ˆ ˜
dp p |ψ(p)|2 = 0
Ò ¸
1/2 ∝ Ωp 2 1/2
˜
p2 = dp p2 |ψ(p)|2 =
ˆ Ω2
p2 dpe− 2¯ =
h
Ω¯h
π¯ (Ω4 +β 2 )
h −∝ π(Ω4 +β 2 )
Ì × ÑÔÐݸ
1/4
2 2 1/2 Ω¯
h
Δp = (ˆ − p )
p ˆ = 4 + β 2)
´¾ µ
π(Ω
Ø Ö ÓÖ Ø ÙÒ ÖØ ÒØÝ Ó Ø Û Ú Ô Ø Ú Ò Ý ´¾¾µ ׸
1/2
Ω 3/4
h2
¯
ΔxΔp = ¯
> h/2 ´¾ µ
2 π(Ω4 + β 2)
Ì Ù× Ø Û Ú Ô Ø× Ó ÓÖÑ ´¾¾µ Ö ÒÓØ Ñ Ò ÑÙÑ ÙÒ ÖØ ÒØÝ Û Ú Ô Ø׺ ÁØ Ò
Ð×Ó × Ò Ø Ø × Ø Ù×× Ò Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ ÚÓÐÚ × Û Ø Ø Ñ Ø Ð×Ó ÐÓ× × Ø× Ñ Ò ÑÙÑ
½

17. ÙÒ ÖØ ÒØÝ ´Ì Ñ ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ù×× Ò Ï Ú ÙÒ Ø ÓÒ × Ó Ø × Ñ ÓÖÑ × ´¾¾µµº
ÆÓÛ¸ Ï Ò ØÓ Ò Ö Ð Ø ÓÒ ØÛ Ò Ω, β, σ Ò Ø Ó Ð Ð Ò Ø Ó Ø Ð Ò׺
½

18. ¿º½ Ñ Ø Ó ÓÖ Ò Ò Ø ÍÒ ÒÓÛÒ Ú Ö Ð ×β Ò Ω
× Û ÒÓÛ ÖÓÑ Ê Ý ÇÔØ × Ø Ø Ø Ñ ÓÖÑ Ý ÓÒÚ Ü Ð Ò× Ó Ò Ó Ø ÔØ
Ø ¾ × Ó × Ñ × Þ Ò × ÓÖÑ Ø ×Ø Ò Ó ¾ ÖÓÑ Ø Ð Ò× ÓÒ Ø ÓÔÔÓ× Ø × º
ÓÒ× Ö Û Ú Ô Ø Ø ×Ø Ò ¾ Û Ý ÖÓÑ ÓÒÚ Ü Ä Ò× Ó Ó Ð Ð Ò Ø º Á
Û ××ÙÑ Ø Ø Ø × Û Ú Ô Ø × ØÖ Ú Ð Ò ØÓÛ Ö × Ø ÓÒÚ Ü Ð Ò׸ Û Ò Ø Ö × Ø
×Ø Ò Ó ¾ ÖÓÑ Ø Ð Ò× ÓÒ Ø ÓØ Ö × Ø Ö ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ø ÖÓÙ Ø Ð Ò×´×
º¾µ Ø × ÓÙÐ Ú × Ñ Û Ø × Ó Ò Ø Ð Û Ú Ô Øº
σ
F 2F
2F
σ
Lens with focal length F
ÙÖ ¾ Ñ Ø Ó ÓÖ Ò Ò Ω Ò β
Ä Ø Ù× ××ÙÑ Ø Ø Ø ÓÖÑ Ó ÓÙÖ Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ ψ1 ¸
1/4
2 2 /σ 2
ψ1 = e−x ´¾ µ
πσ 2
ÆÓÛ¸ Û Ò Ð ÙÐ Ø Ø ÓÖÑ Ó ψ2 Ý Ò Ò Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ó ψ1 Ù× Ò Ö Ô ÖØ Ð
À Ñ ÐØÓÒ Ò Ý ×Ø Ò ¾ º Ì Ù׸ Û Ø
⎛ ⎞1/4
2 −x2
ψ2 = ⎝ ⎠ exp ´¾ µ
π σ2 + 4F 2 λ2
π 2 σ2
σ 2 + ι2F λ
π
½

19. Ø Ø Ð Ò× Û ××ÙÑ ÓÙÖ × Ñ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ¸
⎛ ⎞1/4
⎝
2 ⎠
−x2
ψ2 = exp ´¿¼µ
π Ω2 + β2 Ω2 − ιβ
Ω2
ÆÓÛ Ò Û Ò Ð ÙÐ Ø Ø ÓÖÑ Ó ψ3 Ý Ò Ò Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ó ψ2 Ù× Ò Ø Ö
Ô ÖØ Ð À Ñ ÐØÓÒ Ò Ý ×Ø Ò ¾ º Ì Ù× Ò Û Ú
⎛ ⎞1/4
⎛ ⎞
2
⎜
⎜
2 ⎟
⎟
−x
ψ3 = ⎝ 2 ⎠
exp ⎝ 2F λ
⎠ ´¿½µ
π Ω2 + 1
β− 2F λ Ω2 −ι β− π
Ω2 π
ÆÓÛ Û Ú ¾ ÓÒ Ø ÓÒ× ØÓ × Ø × º
2
width of ψ2 = width of ψ2 ´¿¾µ
Ò
width of ψ1 = width of ψ3 ´¿¿µ
ÖÓÑ Ø × ØÛÓ ÓÒ Ø ÓÒ× Û Ò Ö Ú ÜÔÖ ×× ÓÒ× ÓÖ Ω&β Ò Ø ÖÑ× Ó F &σ º
ÖÓÑ Ø × ÓÒ Ø ÓÒ× Û Ø¸
4F 2 λ2 β2
σ2 + = Ω2 + 2 ´¿ µ
π2σ2 Ω
β 2 4F 2 λ2 4F λβ
σ 2 = Ω2 + + 2 2 − ´¿ µ
Ω2 π Ω πΩ2
ÓÖ¸
β2 4F λ2 4F λβ
Ω2 + Ω2
= σ2 − π 2 Ω2
+ πΩ2
ÆÓÛ¸ Ù× Ò Ø × Ò ´¾ µ Û Ø¸
4F 2 λ2 1 4F 2 λ2 4F λβ
π 2 σ2
= − Ω2 π2
− π
ÇÖ¸
πβ
Ω2 = σ 2 −1 ´¿ µ
Fλ
Ù× Ò Ø × Ò Ò ´¾ µ Û Ø¸
½

20. 4F 2 λ2 σ2 πβ πβ β2
2σ 2 + π 2 σ2
− Fλ Fλ
−1 = σ2
ËÓÐÚ Ò Ø × ÕÙ Ö Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò β¸ Û Ø ØÛÓ ×ÓÐÙØ ÓÒ× ÓÖ β
2F λ
β+ = ´¿ µ
π
⎛ ⎞
2F λ ⎝ 1 ⎠
β− = 1− F 2 λ2
´¿ µ
π 2 1 + σ4 π 2
Í× Ò Ø × Ú ÐÙ × Ó β Ò ´¿¼µ¸
Ω2 = σ 2
+ ´¿ µ
1
Ω2 = σ 2 1 −
− F 2 λ2
´ ¼µ
1+ σ4 π 2
ÆÓÛ¸ Û Ò Ò Ð Ø Ø β− Ò Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Ω2 ¸
− × ψ3 ÑÙ×Ø ÜÔ Ò Ø ÖÛ Ö ¸ º º
Ø× Ñ Ò ÖÝ Ô ÖØ ÑÙ×Ø Þ ÖÓ ÓÖ Þ ÖÓº Ì Ù× Û Ö Ð Ø Û Ø ÓÒÐÝ ×ÓÐÙØ ÓÒ¸
2F λ
β= & Ω = σ2 ´ ½µ
π
¾¼

21. ¿º¾ Î Ö Ø ÓÒ Ó Ä Ò× ÕÙ Ø ÓÒ
ÁÒ Ò Ö Ð¸ Û Ò ÕÙ ÒØ Ý Ø Ø Ó ÉÙ ÒØÙÑ ´ ÓÒÚ Üµ Ä Ò× Ý ÙÒ Ø ÖÝ ØÖ Ò× ÓÖ¹
Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖÑ
⎛ ⎞1/4
ˆ 2 −x2
UF ⎝ ⎠ exp =
π σ2 + λ2 L2
π 2 σ2
σ 2 + ιλL
π
⎛ ⎞1/4
⎛ ⎞
⎜
⎜
2 ⎟
⎟
−x2
⎝ 2 ⎠
exp ⎝ ιλ FL
⎠ ´ ¾µ
π Ω2 + λ2 FL Ω2 − π L−F
π 2 Ω2 L−F
Û Ö L × Ø ×Ø Ò Ø Û Ú ¹Ô ظ Ó Ò Ò Ø Ð Û Ø σ¸ ØÖ Ú Ð ÓÖ Ô ×× Ò
Ø ÖÓÙ Ø Ð Ò׸ Ò Ω × ×Ù Ø Ø Ø × Ø × ×
2
λ2 L2 λ2 FL
σ2 + = Ω2 + 2 2 ´ ¿µ
π2σ2 π Ω L−F
ÆÓÛ Ð Ø Ù× ÓÒ× Ö Ù× Ò Û Ú Ô Ø ψ1 Ó Ò Ø ÐÛ Ø σ ÓÖ Ò Ø Ò ÖÓÑ ×Ø Ò
u ÖÓÑ Ø ÉÙ ÒØÙÑ ÓÒÚ Ü Ä Ò׺
1/4
2 −x2
ψ1 = exp ´ µ
πσ 2 σ2
ÇÒ Ö Ò Ø ÓÒÚ Ü Ä Ò× Ø ÓÖÑ Ó Ø Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ ×¸
⎛ ⎞1/4
2 −x2
ψ2 = ⎝ ⎠ exp ´ µ
π σ2 + λ2 u2
π 2 Ω2
Ω2 + ιλu
π
Í× Ò Ø ÍÒ Ø ÖÝ ÌÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ ˆ
UF Ó Ø ÉÙ ÒØÙÑ ÓÒÚ Ü Ä Ò׸ × Ò Ò ÕÙ Ø ÓÒ
´ ½µ ÓÒ Ø × Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ
⎛ ⎞1/4
ˆ ˆ 2 −x2
ψ2 = UF ψ2 = UF ⎝ ⎠ exp ´ µ
π σ2 + λ2 u2
π 2 Ω2
Ω2 + ιλu
π
⎛ ⎞1/4
⎛ ⎞
2
⎜
⎜
2 ⎟
⎟
−x
= ⎝ 2 ⎠
exp ⎝ ιλ Fu
⎠ ´ µ
π Ω2 + λ2 Fu Ω2 − π u−F
π 2 Ω2 u−F
Ì Ω Ò Ø ÓÚ ÜÔÖ ×× ÓÒ Û ÐÐ ×Ù Ø Ø Ø Û ÐÐ × Ø × Ý
2
λ2 u 2 λ2 Fu
σ2 + = Ω2 + 2 2 ´ µ
π2 σ2 π Ω u−F
¾½

22. A Quantum Convex Lens of Focal Length ’F’
u v
^
U
ψ ψ F ψ’ ψ
1 2 2 3
ÙÖ Î Ö Ø ÓÒ Ó Ä Ò× ÓÖÑÙÐ ÓÖ ÉÙ ÒØÙÑ ÓÒÚ Ü Ä Ò×
ÆÓÛ Ø Ö ØÖ Ú Ð Ò ×Ø Ò v Ø × Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ Û ÐÐ Ú Ø ÓÖÑ
⎛ ⎞1/4
⎛ ⎞
⎜
⎜
2 ⎟
⎟
−x2
ψ3 = ⎝ 2 ⎠
exp ⎝ ιλ fu
⎠ ´ µ
π Ω2 + λ2
v− fu Ω2 − π
v− u−f
π 2 Ω2 u−f
ÓÖ Ø × Û Ú ÙÒ Ø ÓÒ ØÓ Ù×× Ò Ø Ñ Ò ÖÝ Ô ÖØ Ò Ø ÒÓÑ Ò ØÓÖ Ó Ø
ÜÔÓÒ ÒØ Ð × ÓÙÐ ÓÑ Þ ÖÓ¸ º º
fu
v− u−f
=0
ÓÖ¸
fu
v= ´ ¼µ
u−f
Ì × × Ò Ö Ñ ÒØ Û Ø Ø Ä Ò× ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ê Ý ÇÔØ ×¸
1 1 1
= − ´ ½µ
f v u
Ä Ø Ù× ÐÓÓ Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ω Ú Ò Ý ´ µ¸ Ø Ö ÒØ Ú ÐÙ × Ó Ù i.e. Û Ò Ø
Ò Ø Ð Ù×× Ò Û Ú Ô Ø´Ç Øµ × Ø Ö ÒØ ÔÓ× Ø ÓÒ× ÖÓÑ Ø ÉÙ ÒØÙÑ ÓÒÚ Ü
Ä Ò׺
¾¾

23. ¿º¾º½ Ï Ò ÁÒ Ø Ð Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ ÝÓÒ ¾
Ï Ò Ù × ÝÓÒ ¾ ¸ ÓÖ Ü ÑÔÐ Û Ò Ø × Ø ¿ ¸ Û Ú ÖÓÑ ´ µ
2
9λ2 F 2 λ2 3F
σ2 + = Ω2 + 2 2 ´ ¾µ
π2σ2 π Ω 2
ÓÖ¸
σ2
Ω2 = ´ ¿µ
4
⇒ Ω = σ/2 ´ µ
´ Ö Û Ò Ð ØØ −σ 2 /2 Ú ÐÙ Ù ØÓ Ó Ú ÓÙ× Ö ×ÓÒ×µ
Ω
⇒ magnif ication = m = = 1/2 ´ µ
σ
Ì Ù×× Ò Û ÐÐ ÓÒØÖ Ø ØÓ ´ ÓÖ Ø Ñ Û ÐÐ ÓÖÑ Ø µ¸
3F 2
v= = 3F/2 ´ µ
2F
Ì × × Ð×Ó Ò Ú ÖÝ ÑÙ Ö Ñ ÒØ Û Ø Ø Ê Ý ÇÔØ ×º Ï Ò Ø Ó Ø × ÔØ Ø ¿
Ø Ñ ÓÖÑ Ø ¿ »¾ × Ñ Ò × Û Ø Ñ Ò Ø ÓÒ ½»¾
¾¿

24. ¿º¾º¾ Ï Ò ÁÒ Ø Ð Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ ¾
Ï Ò Ù × Ø ¾ ¸ Ø Ò Ò Û Ú ÖÓÑ ´ µ¸
4λ2 F 2 λ2
σ2 + = Ω2 + 2 2 (2F )2 ´ µ
π2σ2 π Ω
ÓÖ¸
Ω2 = σ 2 ´ µ
⇒Ω=σ ´ µ
´ Ö Û Ò Ð ØØ −σ 2 Ú ÐÙ Ù ØÓ Ó Ú ÓÙ× Ö ×ÓÒ×µ
Ω
⇒ magnif ication = m = =1 ´ ¼µ
σ
2F 2
v= = 2F ´ ½µ
F
Ì × × Ð×Ó Ò Ú ÖÝ ÑÙ Ö Ñ ÒØ Û Ø Ø Ê Ý ÇÔØ ×º Ï Ò Ø Ó Ø × ÔØ Ø ¾
Ø Ñ ÓÖÑ Ø ¾ × Ó × Ñ × Þ × Ó Ø
¾

25. ¿º¾º¿ Ï Ò ÁÒ Ø Ð Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ ØÛ Ò ¾ ²
Ï Ò Ù × ØÛ Ò ¾ Ò ¸ Ð Ø Ù× ××ÙÑ Ù ¿ »¾¸ Ø Ò Ò Û Ú ÖÓÑ ´ µ¸
2
9λ2 F 2 λ2 3F
σ2 + = Ω2 + 2 2 ´ ¾µ
4π 2 σ 2 π Ω 2
ÓÖ¸
Ω2 = 4σ 2 ´ ¿µ
⇒ Ω = 2σ ´ µ
´ Ö Û Ò Ð ØØ −2σ 2 Ú ÐÙ Ù ØÓ Ó Ú ÓÙ× Ö ×ÓÒ×µ
Ω
⇒ magnif ication = m = =2 ´ µ
σ
3F 2 /2
v= = 3F ´ µ
F/2
Ì × × Ð×Ó Ò Ú ÖÝ ÑÙ Ö Ñ ÒØ Û Ø Ø Ê Ý ÇÔØ ×º Ï Ò Ø Ó Ø × ÔØ Ø
¿ »¾ Ø Ñ ÓÖÑ Ø ¿ × Ñ Ò Û Ø Ñ Ò Ø ÓÒ ¾º
¾

26. ¿º¾º Ï Ò ÁÒ Ø Ð Ù×× Ò ÇÖ Ò Ø × ÖÓÑ
Ï Ò Ù × Ø ¸ Ø Ò Ò Û Ú ÖÓÑ ´ µ¸
2
λ2 F 2 λ2 F
σ2 + = Ω2 + 2 2 ´ µ
π2σ2 π Ω 0
ÓÖ¸
λ2 F 2
Ω2 + ∝= σ 2 + ´ µ
π2σ2
À Ö Û ÓÒØ Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ω Ø Û Ø Ó Ø Û Ú Ô Ø × ÓÖ Ò ØÓ Ø Ê Ý
ÇÔØ × Ø Ñ Ò Ø ÓÒ Ò Ø × × × ÓÙÐ ∝¸ Û × ×Ø ÐÐ Ú ÖÝ ÑÙ Ò ÓÖ Ò
Û Ø ´ µº
¾

27. ÓÒ ÐÙ× ÓÒ
ÖÓÑ Ø Ø ÓÖÝ Ó Ñ Ò ÑÙÑ ÙÒ ÖØ Ò ØÝ Ù×× Ò Û Ú Ô Ø× Ò Ý × ÑÔÐ Ð ÙÐ ¹
2 /σ 2
Ø ÓÒ× Û Û Ö Ð ØÓ × ÓÛ Ø Ø Ø Ù×× Ò Û Ú Ô Ø× Ó Ø ÓÖÑ e−x ÜÔ Ò
Û Ò ÚÓÐÚ Ò Ö Ô ÖØ Ð À Ñ ÐØÓÒ Ò Ò Ø ÐÓ× × Ø× Ù×× Ò ÓÖÑ Ó Ñ Ò ÑÙÑ
ÙÒ ÖØ ÒØݺ
Ì Ø Ó ÉÙ ÒØÙÑ ÓÒÚ Ü Ð Ò× × ÓÙÐ × ×Ù Ø Ø Ò ÜÔ Ò Ò Ù×× Ò
Û Ú Ô Ø Ô ×× Ò Ø ÖÓÙ Ø × ÓÙÐ ×Ø ÖØ ÓÒØÖ Ø Ò º ÁØ Û × ÓÙÒ ÓÙØ Ø Ø Ø × Ø
× ÓÙÐ ¸
−x2 Lens −x2
exp −→ exp ´ µ
σ 2 + ιλL
π
Ω2 − ιβ
Û Ö L × Ø ×Ø Ò Ø Û Ú ¹Ô ظ Ó Ò Ò Ø Ð Û Ø σ¸ ØÖ Ú Ð ÓÖ Ô ×× Ò
Ø ÖÓÙ Ø Ð Ò׺ Ý Ù× Ò Ø ¾ Ñ Ø Ó Û Û Ö Ð ØÓ × ÓÛ Ø Ø Ø × ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ
ÑÙ×Ø Ó Ø ÓÖѸ
−x2 Lens −x2
exp −→ exp ´ ¼µ
σ 2 + 2ιλF
π
σ 2 − 2ιλF
π
Ì × Ø Ó Ð Ò× × ×Ù ×× ÙÐÐÝ ÕÙ ÒØ Þ Ý Ø ÍÒ Ø ÖÝ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖѸ
⎛ ⎞1/4
ˆ 2 −x2
UF ⎝ ⎠ exp =
π σ2 + λ2 L2
π 2 σ2
σ 2 + ιλL
π
⎛ ⎞1/4
⎛ ⎞
⎜
⎜
2 ⎟
⎟
−x2
⎝ 2 ⎠
exp ⎝ ιλ FL
⎠ ´ ½µ
π Ω2 + λ2 FL Ω2 − π L−F
π 2 Ω2 L−F
Ï Ö Ω × ×Ù Ø Ø
2
λ2 L2 λ2 FL
σ2 + = Ω2 + 2 2 ´ ¾µ
π2σ2 π Ω L−F
Ï Ø ×ÓÑ × ÑÔÐ Ð ÙÐ Ø ÓÒ× Û Ö Ð ØÓ × ÓÛ Ø Ø Ø ÓÚ ØÖ Ò×Ð Ø ÓÒ × Ò ÓÖ¹
Ò Û Ø Ø ÐÖ Ý ×Ø Ð × Ð Û× Ó Ö Ý ÓÔØ ×º
Ì Ø ÓÖÝ Û × Ò ×Ù ×× ÙÐÐÝ Ú ÐÓÔ Ö ÓÖ Ø ÉÙ ÒØÙÑ ÓÒÚ Ü Ð Ò×
¾

28. Ò Ö ØÐÝ ÔÔÐ ØÓ ÉÙ ÒØÙÑ ÓÒ Ú Ð Ò׸ Ñ Ö ÐÝ Ý ÒØ Ö Ò Ò Ø × Ò Ó Ø
Ó Ð Ð Ò Ø Ò Ø Ð ÙÐ Ø ÓÒ׺
º½ ÙÖØ Ö ÛÓÖ Ø Ø Ò ÓÒ
Ï Ò ÙÖØ Ö Ò Ö Ð Þ Ø × Ø ÓÖÝ Ý Ò Ò ÓÙØ Ø Ø Ó ÈÐ ÒÓ¹ ÓÒÚ Ü¸ ÈÐ ÒÓ¹
ÓÒ Ú Ð Ò× ÓÒ Ù×× Ò Û Ú Ô Øº Ë Ñ Ð ÖÐÝ Ø Ø Ó ×Ô Ö Ð Ñ ÖÖÓÖ× ÓÒ
Ù×× Ò Û Ú Ô Ø× Ò ÓÙÒ ÓÙغ
Ï Ò Ð×Ó ØÖÝ ØÓ Ú Ö Ý Ø × Ø ÓÖÝ Ý ÔÔÐÝ Ò Ø ÓÒ Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ó ØÛÓ Ð Ò× ×º
Ì Ö ×ÙÐØ× × ÓÙÐ × Ñ Ð Ö ØÓ ÐÖ Ý ×Ø Ð × Ö ×ÙÐØ× Ò Ø Ö Ý ÓÔØ ×º
¾

29. º¾ Ä ×Ø Ó Ê Ö Ò ×
½º × ÓÖÓÛ Þ¸ ËØ Ô Òº ÉÙ ÒØÙÑ È Ý× × ¸ ÂÓ Ò Ï Ð Ý ² ËÓÒ׸ ½
¾º ÈÓÛ Ðи ÂÓ Ò Äº Ò Ö × Ñ ÒÒ¸ ÖÒ º ÉÙ ÒØÙÑ Å Ò × ¸ Æ ÖÓ× ÈÙ Ð × Ò
ÀÓÙ× ¸ ½
¿º ËÙ Ö Ñ ÒÝ Ñ¸ ƺ Ò Ä Ð¸ Ö º Ì ÜØ ÓÓ Ó ÇÔØ × ¸ Ë Ò ² ÓÑÔ ÒÝ
ÄØ º¸ ½
º ÊÓ×Ù¸ À Ö Ø º Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÉÙ ÒØÙÑ Å Ò × Ö Ú Ô Ý× ×¸ ¼¼¼ ¼ ¾Ú¾¸ ¾¼¼¼
º ÇÜ ÓÖ Ø ÓÒ ÖÝ Ó È Ý× × ¸ ÇÜ ÓÖ ÍÒ Ú Ö× ØÝ ÈÖ ×׸ ¾¼¼¼
º¿ ÁÒØ ÖÒ Ø Ê Ö Ò ×
½º Ê ÝÑÓÒ ¸ Ú º Ì Ò Ä Ò× ÓÖÑÙÐ Ò ÇÔØ Ð ÁÒ×ØÖÙÑ ÒØ×
ØØÔ »»Ô Ý× ×ºÒÑغ Ù» Ö ÝÑÓÒ » Ð ×× ×»Ô ½¿Ü ÓÓ »¸ ¾¼¼ ¹¼ ¹¼
¾º À Ò Ö×ÓÒ¸ ÌÓѺ Ì È Ý× × Ð ××ÖÓÓÑ Å Ø Ñ Ø × Ó Ð Ò× ×
ØØÔ »»ÛÛÛº Ð Ò ÖÓÓ º ½¾º кÙ×» ×× »Ô Ý×» Ä ×׸ ¾¼¼
¾