co-ung-dung_le-duong-hung-anh_chuong-3---ung-suat-va-bien-dang - [cuuduongthancong.com].pdf

Chương III
Ứng suất và Biến dạng

Chương I: Những vấn đề cơ bản của tĩnh học vật rắn tuyệt đối
ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG
Lê Dương Hùng Anh Bộ môn Cơ kỹ thuật – ĐH Bách Khoa TP. HCM
3.1. Ứng suất
3.2. Trạng thái ứng suất
3.3. Trạng thái ứng suất phẳng
3.4. TT ứng suất phẳng – PP đồ thị
3.5. Biến dạng
3.6. Liên hệ giữa ứng suất – biến dạng
3.7. Thuyết bền

3.1.1. Khái niệm
3.1. Ứng suất
Chia vật bằng một mặt cắt
và khảo sát tính chất các
lực tiếp xúc truyền qua mặt
này do phần tách ra tác
động lên. Các lực tiếp xúc
này phân bố khắp mặt cắt
với chiều và giá trị thay đổi,
chúng được gọi là ứng lực
hay ứng suất tại một điểm.
Ứng suất - Stress

3.1. Ứng suất
Ứng suất thực tại C: 0
lim
A
P dP
p
A dA
 

 

Định nghĩa ứng suất trung bình tại C: tb
P
p
A



1
P
2
P
3
P
P

p
( )
A

A

C
ΔA: diện tích nhỏ
: hợp lực của nội lực trên ΔA
P

Ứng suất tại 1 điểm là
cường độ phân bố của nội
lực trên 1 đơn vị diện tích
ở điểm đó thuộc mặt cắt
của vật thể chịu lực cân
bằng. (đại lượng cơ học
đặc trưng cho mức độ chịu
đựng của vật liệu)
3.1.1. Khái niệm

z z zy zx
p k j i
  
  
Trong đó:
z
 - Ứng suất pháp
,
zx zy
  - Ứng suất tiếp
p
( )
A
zy

z

C
zx
 z
x y

3.1. Ứng suất
3.1.1. Khái niệm
zy

τ nằm trên mặt
phẳng vuông góc
với trục z
Chỉ phương của ứng
suất tiếp

z
p
y
p
x
p
3.1.2. Phương pháp biểu thị các thành phần ứng suất
Tổng quát: Tách một phân tố tại C bằng 6 mặt vi phân trực giao
với các trục tọa độ.
Trên 3 mặt vi phân dương có các
vector ứng suất:
 
 
 
, ,
, ,
, ,
x x xy xz
y y yx yz
z z zx zy
p
p
p
  
  
  
Mỗi vector trong chúng có ba
thành phần song song với ba
trục tọa độ:
, ,
x y z
p p p
3.1 Ứng suất

Ứng suất tại một điểm được đặc trưng bởi chín thành phần ứng
suất và chúng được viết dưới dạng Tensor:
x xy xz
yx y yz
zx zy z
T
  
  
  
 
 
  
 
 
3.1.2. Các thành phần ứng suất
3.1. Ứng suất
x
y
z
x

xy

xz

y

yx

yz

z

zx

zy

yz

Mặt phẳng
vuông góc với
trục y
Phương của
ứng suất tiếp

* Nguyên lý đối ứng ứng suất tiếp
Trên hai mặt vi phân trực giao, các thành phần ứng suất vuông
góc với cạnh chung thì bằng nhau và có chiều cùng hướng vào
hoặc hướng ra cạnh chung đó.
; ;
xy yx xz zx yz zy
     
  
x xy xz
y yz
z
T
Sym
  
 

 
 
  
 
 
Khi đó tensor ứng suất là một tensor đối xứng, do đó trạng thái
ứng suất chỉ còn phụ thuộc 6 thông số:
3.1.2. Các thành phần ứng suất
3.1. Ứng suất

3.2. Trạng thái ứng suất.
3.2.1. Trạng thái ứng suất tại một điểm
Nếu cho qua M những mặt cắt π khác nhau, thì tương ứng với
mỗi vị trí của π ta được 1 vector ứng suất. Tập hợp tất cả các
vector ứng suất này được gọi là trạng thái ứng suất tại M. Tập
hợp này không phải là một tập hợp vector độc lập.

Ứng suất trên mặt nghiêng có pháp vector đơn vị  
, ,
x y z
n n n n

. . . .
n x x y y z z
p n p n p n p n
    
.
x x
x xy xz
y yx y yz y
zx zy z
z z
p n
p n
p n
  
  
  
   
 
 
   

   
 
   
 
 
   
Hay:
. . .
. . .
. . .
x x x xy y xz z
y yx x y y yz z
x zx x zy y z z
p n n n
p n n n
p n n n
  
  
  
   

  


  

Khi đó:
2 2 2
. . . 2 . . 2 . . 2 . .
n x x y y z z xy x y yz y z xz x z
n n n n n n n n n
      
     
2 2
n n
p
 
 
(3.1a)
(3.1b)
(3.2a)
(3.2b)
(3.3)
.
p T n



3.2.2. Mặt chính, phương chính và ứng suất chính
Mặt chính: mặt cắt mà trên đó phương của trùng với phương của
p n
n
Khi đó: - Phương của được gọi là phương chính
- Ứng suất được gọi là ứng suất chính
n

Tại mỗi điểm của vật thể đàn hồi ta luôn tìm được ba phương
chính vuông góc nhau từng đôi một. Ứng với ba phương chính
ta có ba ứng suất chính:
1 2 3
  
 
Các ứng suất chính
này không phụ thuộc
việc chọn hệ trục tọa
độ

3.2.3. Các trạng thái ứng suất
Nếu ta chọn hệ trục tọa độ sao cho ba trục trùng với ba phương
chính:
1
2
3
0 0
0 0
0 0
T



 
 
  
 
 
Trạng thái ứng suất khối: ba ứng suất chính đều khác không.
Trạng thái ứng suất phẳng: có một ứng suất chính bằng không.
Trạng thái ứng suất đơn: có hai ứng suất chính bằng không.

3.3. Trạng thái ứng suất phẳng
Là trạng thái của điểm có vector ứng suất tổng luôn nằm trong
một mặt phẳng, với mọi mặt vi phân khảo sát.
x
y
z
x

xy

xz

y

yx

yz

z

zx

zy

y

yz
 z
y
z

zy

y

yz

z

zy


3.3.1. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ
u
y
u
 v

vu

 
cos ; sin
n  

z
v
u

uv


ds
y

yz

z

zy

yz

y

z

zy

y
z
u
u

uv

v
 vu
 n

cos2 sin2
2 2
z y z y
u zy
   
   
 
  
sin2 cos2
2
z y
uv zy
 
   

 
Tại mặt vuông góc với mặt có pháp tuyến u ( )
0
90 

cos2 sin2
2 2
z y z y
v zy
   
   
 
  
sin2 cos2
2
z y
vu zy
 
   

  
Nhận xét:
u v z y const
   
   
uv vu
 

Ứng suất pháp và tiếp trên mặt nghiêng:
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10) Bất biến
của ứng
suất pháp
ĐL ĐƯ ƯST

3.3.2. Ứng suất chính – Phương chính
Mặt chính là mặt có ứng suất tiếp bằng không. Để tìm mặt chính: 0
uv
 
0 0
sin2 cos2 0
2
z y
uv zy
 
   

   0
2
2 (*)
zy
z y
tg


 
  

 Hai trị số khác biệt nhau 900  Hai phương chính
0

Thay vào , ta thu được các ứng suất chính
u

2 2
max 1,3
min
1
( ) 4 (**)
2 2
z y
z y zy
 
    

    
(3.11)
(3.12)
1
0
2
tan /2
2
zy
z y
 

 

 
 
   
 
 
 

 
 
 

3.3.3. Ứng suất tiếp cực trị
0
uv
d
d



( )cos2 2 sin 2 0 2
2
z y
z y zy
zy
tg
 
     


     
So sánh với (*), ta được:
0
1
2
2
tg
tg


 
0
4
k

 
    Mặt có ưs tiếp cực trị tạo với
mặt chính một góc 450
sin2 cos2
2
z y
uv zy
 
   

 
 
 
 
Thay vào ta được:
uv

2 2
max
min
1
( ) 4
2
z y zy
   
    (3.14)

** Hai trường hợp đặc biệt
a. Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt
; 0;
z y zy
    
  
2 2
max
min
1
4
2 2

  
  
Thay vào (**) ta được:
b. Trạng thái ứng suất trượt thuần túy
0;
z y zy
   
  
max 1 3
min
hay
    
    
Thay vào (**) ta được:



(3.13)
1
4

  2
4

  

3.4. TTƯS trong bài toán phẳng – P.P đồ thị
cos2 sin2
2 2
z y z y
u zy
   
   
 
  
sin2 cos2
2
z y
uv zy
 
   

 
   
2 2
2
2
2 2
z y z y
u uv zy
   
  
 
   
   
   
   
2
z y
 

Chuyển vế qua trái, bình phương 2 vế, cộng 2 vế cho
2
uv

Ta thu được phương trình vòng tròn Mohr ứng suất
Trục hoành: 
Trục tung: 
Tâm:  
 
2;0
z y
 

Bán kính:
2
2
2
z y
zy
R
 


 
 
 
 
Tọa độ các điểm trên vòng tròn Mohr
ứng suất cho ta giá trị các ưs pháp và
ưs tiếp nằm trên những mặt khác nhau
đi qua điểm có trạng thái ưs ta đang xét.
3.4.1. Cơ sở của phương pháp
(3.15)

3.4.2. Cách vẽ vòng tròn Mohr
-Dựng hệ trục tọa độ:
-Xác định tâm C vòng tròn:
-Xác định bán kính R của vòng tròn:
2
2
2
z y
zy
R
 


 
 
 
 
;0
2
z y
C
 

 
 
 
-Xác định điểm cực P:  
;
y zy
P  
O
 
Cho một phân tố ứng suất. Biết: , ,
z y zy
  
Tìm: , các phương chính, ưs pháp, ưs tiếp tại
mặt nghiêng bất kì
max min max min
, , ,
   

3.4.2. Cách vẽ vòng tròn Mohr
C

Ví dụ:
600
u
v
10
18
6
y
z
10
y
  
18
z
 
6
zy
 
0
30
  

2 2
max
min
1
( ) 4
2 2
z y
j z y zy
k
 
    

    
1
1
max
t zy
y
g


 

 
   
 

 
max

1
 0
2 1 90
 
  
cos2 sin2
2 2
z y z y
u zy
   
   
 
  
sin2 cos2
2
z y
uv zy
 
   

 
0
18
10
6
30
z
y
zy






  




  

Ví dụ:

I
J
uv

u
 max

min

max

min



O
P
10

max

u

uv

min

0
30
  
1

2

18
C
6
4
15.2
16.2
9.1

19.2
11.2

v

8.2

9.1
v

vu

v
u

Cho phân tố ứng suất như hình vẽ.
12
4
6
u
600
2
2
2
0
12 /
6 /
4 /
30
z
y
zy
kN cm
kN cm
kN cm




 

 







x

3.5. Biến dạng

3.5. Biến dạng
3.5.1. Khái niệm
Khi chịu tác dụng của ngoại lực hay sự biến thiên nhiệt độ thì
khoảng cách giữa các điểm thuộc vật thể thay đổi, gây ra sự
thay đổi về hình dạng và kích thước của vật. Sự thay đổi này
gọi là sự biến dạng.
Có hai khái niệm biến dạng: Biến dạng của toàn vật và biến
dạng tại một điểm.
Biến dạng tại một điểm: biến dạng của một phân tố VCB
quanh điểm khảo sát bao gồm biến dạng dài và biến dạng
góc.

3.5. Biến dạng
3.5.1. Khái niệm
Biến dạng dài: Biến dạng góc
'
s s
   

3.5.2. Trạng thái biến dạng của điểm
Là tập hợp các biến dạng dài và biến dạng góc của điểm.
Trạng thái biến dạng của điểm sẽ hoàn toàn xác định nếu được
cho trước biến dạng dài theo ba phương vuông góc nhau bất kỳ
và ba biến dạng góc trên ba mặt vuông góc nhau tạo bởi ba
phương đó.
Các thành phần biến dạng: , , , , ,
x y z xy yz xz
     
3.5. Biến dạng
Trạng thái biến dạng tại mỗi điểm được xác định bởi Tensor biến
dạng: x xy xz
y yz
z
T
Sym

  
 

 
 
  
 
 

3.5.2. Trạng thái biến dạng của điểm
3.5. Biến dạng
Trạng thái ứng suất và biến dạng tại mỗi điểm được xác định
bởi các Tensor:
x xy xz
y yz
z
T
Sym

  
 

 
 
  
 
 
x xy xz
y yz
z
T
Sym

  
 

 
 
  
 
 
Quan hệ giữa các thành phần ứng suất và các thành phần
biến dạng:
- Ứng suất pháp gây ra biến dạng dài.
- Ứng suất tiếp gây ra biến dạng góc

3.5. Liên hệ giữa ứng suất và Biến dạng
3.5.3. Định luật Hooke tổng quát
x
x
E

 
cũng gây ra biến dạng dài theo các phương còn lại
(phương y, z).
x

x
y z x
E

   
    
Trong đó: E là module đàn hồi, là
hằng số vật liệu
Trong đó: là hệ số possion, là hằng số vật liệu

Quan hệ giữa ứng suất pháp và biến
dạng dài:

Đối với trạng thái ứng suất khối tổng quát, biến dạng dài theo
phương x:
1
( )
x x y z
E
    
 
  
 
- Biến dạng dài theo phương x do
gây ra :
x

/
xx x E
 

- Biến dạng dài theo phương x do
gây ra :
,
y z
 
/ ; /
xy y xz z
E E
   
   
Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng: Biến dạng dài theo
phương x:

- Biến dạng dài theo phương y do
gây ra :
y

/
yy y E
 

- Biến dạng dài theo phương y do
gây ra :
,
x z
 
/ ; /
yx x yz z
E E
   
   
Biến dạng dài theo phương y:
1
( )
y y x z
E
    
 
  
 
phương y:

- Biến dạng dài theo phương z do
gây ra :
z

/
zz z E
 

- Biến dạng dài theo phương z do
gây ra :
,
x y
 
/ ; /
zx x zy y
E E
   
   
Biến dạng dài theo phương z:
1
( )
z z x y
E
    
 
  
 
phương z:

Biến dạng dài theo phương các phương chính:
 
1 1 2 3
1
( )
E
    
  
Cũng dựa trên nguyên lý cộng tác dụng ta có:
 
2 2 1 3
1
( )
E
    
  
 
3 3 1 2
1
( )
E
    
  

Khi phân tố bị trượt thuần túy, chỉ
có , biến dạng góc quan hệ
với theo định luật Hooke về
trượt.
xy

xy

xy

/
xy xy G
 

Trong đó: G là module đàn hồi
trượt, là hằng số vật liệu
2(1 )
E
G



Vậy biến dạng góc trong
mặt xy là:
 
2 1
xy
xy
E
 




 
2 1
yz yz
yz
G E
  


 
Vậy biến dạng góc trong các mặt
yz, xz là:
 
2 1
xz
xz
xz
G E
 



 

1
( )
x x y z
E
    
 
  
 
1
( )
y y x z
E
    
 
  
 
1
( )
z z x y
E
    
 
  
 
 
2 1
xy
xy
E
 



 
2 1
yz yz
yz
G E
  


 
 
2 1
xz
xz
xz
G E
 



 

3.6. Thuyết bền (các chỉ tiêu bền)
3.6.1. Thí nghiệm kéo và nén vật liệu
a.Thí nghiệm kéo

Mẫu thí nghiệm: thanh thẳng, đồng nhất, đồng chất, tiết
diện A không đổi dọc chiều dài l0
Ngoại lực tác dụng 2 đầu thanh sao cho tương đương
với lực P tác dụng dọc trục → trạng thái chịu lực chỉ có 1
thành phần nội lực Nz.
+ Nz > 0: thí nghiệm kéo đúng tâm
+ Nz < 0: thí nghiệm nén đúng tâm

Giả thiết:
+ P nhỏ thì xem như diện tích các tiết diện là không đổi
+ Mọi điểm trong thanh ở TTƯS đơn, với thành phần ứng
suất chính khác không, trùng phương với trục thanh, ký
hiệu σ
+ Giá trị σ như nhau tại mọi điểm: σ = Nz/A = P/A

Tăng P từ giá trị 0. Với các giá trị P khác nhau người ta
đo độ giãn Δl của các tiết diện của thanh. Khi đó biến
dạng dài:
Dùng các giá trị của σ và ε vẽ đồ thị σ-ε: đồ thị là đường
cong có vị trí ban đầu tại gốc hệ trục tọa độ σ-ε và vị trí
cuối khi thanh bị đứt hay có dấu hiệu bị đứt.
0
l
l




O 

b

a)
B
O 

tl

b)
A
b
 B
O 

b

c)
B
D
tl

d
 O 

tl

d)
B
ch
 D
A
C
b

d

VL dòn VL bán dẻo
VL dẻo

Đặc trưng cơ học của vật liệu:
+ Module đàn hồi E được xác định: E = σ/ε
+ Giới hạn tỷ lệ, σtl rất khó xác định nên ít sử dụng.
+ Giới hạn chảy, σch xác định bằng cách dựng đường đi
qua điểm trên trục hoành có ε = 0,2% song song với OA,
cắt đồ thị. Tung độ của điểm giao là σch .
+ Giới hạn bền, σb, là giá trị ứng suất khi bắt đầu có dấu
hiệu vật liệu bị phá hủy. Dựa vào đồ thị, chia vật liệu làm
2 loại: vật liệu dòn và vật liệu dẻo.

Dựa vào đồ thị σ – ε ta thấy:
+ Để tránh biến dạng dư thì ứng suất không vượt qua σtl
+ Để tránh biến dạng dư lớn thì ứng suất không vượt qua σch
+ Để tránh hiện tượng đứt, vỡ thì ứng suất không vượt qua σb
Để đảm bảo vật thể làm việc an toàn:
Ký hiệu:
Điều kiện bền:
0
max ( 1)
n
n

  
0
[ ]
n


 : ứng suất cho phép => max [ ]
 


3.6.2. Khái niệm
Trạng thái ứng suất đơn: Tại mỗi điểm chỉ tồn tại 1 ứng suất
pháp
  0
max
k
k
n

 
 
  0
min
n
n
n

 
 
Thanh chỉ chịu kéo:
Thanh chỉ chịu nén:
P
Các giới hạn ta có thể tìm được bằng cách thực hiện
các thí nghiệm kéo nén, n là hệ số an toàn, n >= 1.
0 0
,
k n
 

Trạng thái ứng suất trượt thuần túy:
Trạng thái mà tại mọi điểm chỉ có ứng
suất tiếp
  0
max
n

 
 
Ta gặp khó khăn trong việc tìm 0

- Làm thí nghiệm??
- Biện pháp khác??
3.6.2. Khái niệm

Trạng thái ứng suất phức tạp: có
nhiều hơn hai thành phần ứng
suất.
3.6.2. Khái niệm
Trạng thái ứng suất
phẳng đặc biệt: vừa
có: ;
 
Sau khi có được kết quả ứng suất, ta phải so sánh với cái gì?

Phải thực nghiệm để xác định những ứng suất nguy
hiểm cho TTƯS tương ứng.
Cần có các giả thiết về nguyên nhân gây ra sự phá hoại
vật liệu: Thuyết bền
Tiền???
Phương pháp thí nghiệm???
3.6.2. Khái niệm

Thuyết bền là những giả thuyết về nguyên nhân phá hoại của
vật liệu và dùng để đánh giá độ bền của mọi trạng thái ứng
suất trong khi chỉ biết độ bền của vật liệu ở trạng thái ƯS đơn
(thí nghiệm kéo nén).
1 2 3
, ,
  
Trạng thái ứng suất bất kì
Xác định một hàm 1 2 3
( , , )
td f
   

Điều kiện bền:   ,
td k n
 

Mục đích: Tìm hàm f
Định nghĩa:
3.6.2. Khái niệm

Nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do ứng suất pháp lớn nhất
của phân tố ở TTUS đang xét (thực tế) đạt đến giá trị ứng
suất pháp nguy hiểm của phân tố ở TTUS đơn (thí nghiệm).
 
1
td k
  
   
3
td n
  
 
Thuyết bền này chỉ áp dụng được với vật liệu dòn và
TTUS đơn.
3.6.3. Các thuyết bền
1. Thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất (TB I)

Nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do biến dạng dài tương
đối lớn nhất của phân tố ở TTUS đang xét đạt đến giá trị biến
dạng dài tương đối nguy hiểm của phân tố ở TTUS đơn.
   
1 2 3
td k
     
       
3 1 2
td n
     
   
Thuyết bền này chỉ áp dụng được với vật liệu dòn (ngày nay ít dùng)
2. Thuyết bền biến dạng dài tương đối lớn nhất (TB II)
   
 
1 1 2 3
1 k
E E

     
    
 
 
   
 
3 3 2 1
1 n
E E

     
    
 
 

Nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do ứng suất tiếp lớn nhất
của phân tố ở TTUS đang xét đạt đến giá trị ứng suất tiếp nguy
hiểm của phân tố ở TTUS đơn.
Đối với TTƯS phẳng:
Đối với TTƯS đơn:
max
; 0
2
z zy y
   


  
 
Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất (Tresca, TB III)
2 2
max
1
( ) 4
2
z y zy
   
  

Một TTƯS phẳng có σz , σy , τzy tương đương TTƯS đơn có
ứng suất σtđIII:
Điều kiện bền:
=>
2 2
max
2 ( ) 4
td z y zy
    
   
[ ]
td
 

2 2
( ) 4 [ ]
z y zy
   
  

+ Trường hợp TTƯS trượt thuần túy:
+ Trường hợp ứng suất chính:
+ Trường hợp ứng suất phẳng đặc biệt:
[ ]
0; 0
2
z y zy

    
     
1 3 1 3
0; 0; 0 [ ]
zy td
      
      
2 2
; 0; 4 [ ]
z y zy
       
     

Ưu khuyết điểm:
• Phù hợp với vật liệu dẻo, không phù hợp với vật
liệu dòn
• Không dùng trong trường hợp kéo 3 phương với
cùng
• Ngày nay dùng nhiều trong tính toán cơ khí

4. Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng (von-Mises, TB
IV)
Nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do thế năng biến đổi hình
dáng của phân tố ở TTUS đang xét đạt đến giá trị thế năng biến
đổi hình dáng nguy hiểm của phân tố ở TTUS đơn.
 
2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 1 3
td
          
      
Thuyết bền này phù hợp với vật liệu dẻo và thường sử
dụng trong ngành cơ khí chế tạo và kỹ thuật xây dựng.

4. Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng (von-Mises, TB
IV)
+ Trường hợp ứng suất phẳng:
+ Trường hợp ứng suất trượt thuần túy:
+ Trường hợp ứng suất phẳng đặc biệt:
2 2
3 1 2 1 2
0 [ ]
td
      
     
1 2
; 3 [ ]
td
      
     
2 2
; 0; 3 [ ]
x y xy td
        
      

5. Thuyết bền về các TTƯS giới hạn (TB V – TB Mohr)
Áp dụng cho vật liệu dòn hay vật liệu có giới hạn bền kéo
và nén khác nhau. Đối với bất kỳ phân tố ở trạng thái ứng
suất phức tạp (khối).
0
5 1 3
0
[ ]
k
td k
n

   

  
σ0k, σ0n : giới hạn nguy hiểm của phân tố ở TTƯS đơn (kéo,
nén theo 1 phương)

Áp dụng các thuyết bền
Mỗi thuyết bền đưa ra một quan điểm về nguyên nhân phá
hoại của vật liệu. Trong thực tế tính toán, việc chọn ra thuyết
bền nào là phụ thuộc vào vật liệu và TTƯS của điểm cần
kiểm tra.
- Đối với vật liệu dẻo, nên dùng TB III, TB IV
- Đối với vật liệu dòn, nên dùng TB V
- Trường hợp TTƯS đơn nên dùng TB I

co-ung-dung_le-duong-hung-anh_chuong-3---ung-suat-va-bien-dang - [cuuduongthancong.com].pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to co-ung-dung_le-duong-hung-anh_chuong-3---ung-suat-va-bien-dang - [cuuduongthancong.com].pdf

Similar to co-ung-dung_le-duong-hung-anh_chuong-3---ung-suat-va-bien-dang - [cuuduongthancong.com].pdf (20)

co-ung-dung_le-duong-hung-anh_chuong-3---ung-suat-va-bien-dang - [cuuduongthancong.com].pdf