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建築構造解析学
- 1. ー 汗 ︵ 〃 〆 ／ 〆， 〆／ ‘ ・ ︾ 〆 ／ 1．平面理論 1 ． 1 基 本 仮 定 平面応力問題 。z方向の大きさ（厚さ）がx,y方向の大きさに比べて非常に小さい。 oz=T==丁漉=0 平面ひずみ問題 。z方向の大きさ（厚さ）がx,y方向の大きさに比べて非常に大きい。 (1) (2)Ez=γ。＝γ)"z=0 平面理論 。面内変形のみ考慮し、面外変形（面に垂直な方向の変形）は考慮しない。 ・変形は面に垂直な方向zに依存しない→変形を"(x,J),U(x,y)のみで表現できる。 1 ． 2 基 礎 式 、 ((}幾何学的関係式 肋 一 敗 ＋ 迦 砂一 一 秒 γ 迦 砂。 一 一 ｙ Ｅ 汁 ・ 汎 伽 一 ， 砒 血 ニ ノ リ ズ ホ ヌ ８ 纒形ひ可‘升． (3) 恥 珂一 一 坐 服十 塑 呼 ④ ９ ０一 一ｘ 一 Ｆ ︲ ＋ 側 鵡 一 砂 蝸 隠 十 紬 虹 一 砒 力く式︿ ロ ・ 釣１１ｔ ︲ ｙ 一 Ｆ＋ 些 伽十 塑 砂 (5)＝0， 易 ＝ 恥 男ｖ Ｉ Ｏ ｙ 爵 １ − Ｅ 、 ｊ Ｅ 一 一 ・ｙ 伺 い 、ワ 一 十 ｖ Ｅ ９ 一 一 ｊ ｙ ︲ 為 γ ○ １ − Ｇ− 一 国 γ 秒 Ｉ１ − Ｅ 一 一 。 ｑ ︽ 幸 一 ︾ ． ｊ ｘ ｊ ｆ 郵辛 励 澗 輌 齢 く こ Ｉ 式 料 鰄 附 １３１ ） (6) (7) 1
- 2. 、 ， 。 ︾ 一 種 竜 厩 一 ： ︾ き ゞ里 ． ︲ 、 ︽ ｐ ｌ ｃ 趣 ↓ も 構成式（平面ひずみ） ｡≦-(I+7E_"){@-v)恥崎}｡'Fγ危7{w¥+('-v)e,} E rXy=Gγ"=茄雨γ靭 (8) (9) 境界条件 一 Oy"》＋野"x=ry ■■■■■■■■U “"庶十恥"y=Tx, (10） (11） 、 、 号一 ､ 〃＝二脚.， U＝＝ 鴇建値 〃 1 ． 3 偏 微 分 方 程 式 の 解 法 解法の分類 ｡任意形状・任意荷重条件→差分法，有限要素法，境界要素法等の近似数値解 ・比較的簡単な形状・荷重条件→偏微分方程式の正解(特解） 応 力 法 偏微分方程式の正解を得るために有効な一手法 ポテンシャル外力のみ作用する場合→Airyの応力関数9'(x,y)のみを 偏微分方程式に帰着 = 6 P 一 6 P jW=--"｡J7'--5ax Airyの応力関数を用いて応力場を表現→自動的に領域内の釣合式満足 ‐=窯+鹿｡,=¥+R"｡--* Airyの応力関数をひずみの適合式(4)に代入(AppendixA) △△“＝−(1−γ)△P 物体力が作用しない場合→重調和方程式（この解を重調和関数と呼ぶ） △△“=O △：ラプラス演算子（ラプラシアン） ● ・ ● の応力関数9'(x,y)のみを未知関数とする (12） ● (13） ● (14） ● け (15） 8 2 8 2 △()=扉()+y(） △△()-釜(光2蒜()号(） 2 一 一 − 一
- 3. 弓▼． 、 ぷ 、 一 』 "叫緋〆 1 ． 4 例 題 問 題 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Fig.5に示す平面梁を考える｡梁は自由端で集中荷重Pと等価なせん断力分布ryを受ける。 印=qly+"2xﾂﾉ3がAiryの応力関数であることを示せ。α1とα2は未知定数である。 Airyの応力関数を微分することにより，α,とα2を用いて応力分布を表現せよ。 境界条件よりα,とα2を求めよ。 応力分布を求め，一次元梁理論の解と比較せよ。 ｊ ｊ ｊ ｊ ｌ ２ ３ ４ く く く く − 略解 口 （1）砂を式(15)に代入し，重調和方程式を満たすことを確認｡ ‐ (2)q@=6"2",oy=0,Thy=一α,−3Q2xy j菫"-乃加=P垂ｴ=0より"&-"｡ 〃 2 j (3)Thy=0aty=±−andク (4)｡_｡｡_ZZxv__．(4)。_--聖xv=_皿主lv｡0=0｡r_=_ZIv'_Z1−型、 2P α2＝＝一一一一T T 3 bh3 ZZ ）4 (y｡ P 2I 一 一 〃 〃 ｜ 鵠一 一 y,ov=0,o崖 Oy 一 ・ 勺 一 一 蹄 肋3 〃I 3 、 “ ︽ ︵ ︽ 垂
- 4. ' 公 辱3 範 、 AppendixA (14)の誘導 ｊ ’一 遮 蕨 可 て ﹄抑 Ｅ 。 ＋ 一 咽 爾 １ｚｒ ｌ Ｉ Ｉ 、 。 ＋ 〆 珂 也 が 一 一 十 催 ｘ ぴ ＋ ／ １ １ １ 、 １ ︽ｌ 訳 一 脈 二 十 、 Ｉ ノ 、 Ｉ ノ 吟 ｙ 、 ｊ 〃 ぴ ｖ 〃 Ｅ １ ＋Ｉ ａ ｈ そ ゲ ア ゲ 研 Ｉ ｝ )弓 d)ノ ｜ 遮 万 十 一 Ｆ 打 砒 ３ ｒ ｊ １ ｋ ｊｖ＋１一 一 ｊｌ ＋ γ 〃 ｜ 浬十 Ｈ 瑚 珂 陰 十 刷 り 岻 一 班 一 伽 舟 １ 国 ｒ Ｊ １ 〃 １ １ ニ ゲ ー 〃 ・ 伽 − 叫 ｊ 十 一 ． ＋ 喝 小 典 ｘ ＋ 乎 〆 恥 催 ｉ ） 32P ay2 弓十 ヵ Ｆ十 狗 一 が Ｉ△ (菫 △△の+2AP=(1+'')AP △△“＝一(1−γ)AP 《 4
- 5. 〉 号 も 、 p ” 垂 ” 伽 加 一 微 断変形角せ んFig.1:9 T"(〕ﾉ+刎 一 シ ー シ ー ジ ー ー ＞ ox<x) ox<x+") し 一 シ ー シ ー ー シ ー ＞ 'rxyOﾉ） ノ 方向釣合式Fig.フ:Xg
- 6. 噂∼も 字 L , . ‘、 塔一一 ◆ も 変位指定境界 指定境界 Wlノ L 境界条件Fig.3:9 〃 一 今 今 一 シ ー ー シ ー ＞ − 令 て〃 Fig4:境界におけるx方向釣合
- 8. ー ｡ 斑 ︷ ︸ ら と ● 呈ﾐｰﾐｰ剖 一 一 Z 一 一 偶一 一 一 一 一 一 ・ 羊 レ ー ー ２ 一 五 ﹁ 二 一 二一 一 一 ︲一 一 一 州 づ 一ワ 色一 一 一 一 一 一 一 ． 一 一 一 斗 ︲ し芦二三 ∼ 一 一 一 一 一 一 一一 一 一 一 ／ 一 ざ 一 一 ザ 一 一 一 一 一 一 乏多切 以 Ｊ ら ち ● ｊ 、 、 、 、 、 蚕弄 斗萱の云選 １ 回一 一 加 ロ 一 一 づ ／ 皇 一 一 一 − 一 一 個ﾐ屋相等 ヂ 、 Ｌ 、 、 ｰ ﾃ晶嵯)屯 列 一 説 号(署 ｰ ｡更 Frg･e はう） 且 ． } へ 回 I 乱司 コ ー ’ 一 二 ■ Ｄ ● ｇ Ｇ ０ ■ ■ 一 〃〃 〆〈 侭 -F 、 節 １ １ ◇ 、 u--x: 、 l−r3‘ワ ー ー
- 9. 暉 ｡ 一 夕 『 ∼ ズ ヅ I 一 １ １ ’１ １ １ 亀 ’ I ロ 爽 司 一 心 ら y =g=dョ y ’ 門､9
- 11. 一 曲 、 一 ラ 2．平板理論 2．1基本仮定 ・板厚hは、板の長さや幅に比べて十分小さい ・微小変形:曲げたわみは板厚に比べて小さく、 ・法線保持の仮定 ・平面応力状態と類似の状態 たわみ角も1に比して十分小さい 2 ． 2 幾 何 学 的 関 係 式 変位関係式 w(x,)',z)=w(x,)') "(x,y,z)=-z塑豐1mv(蕊")=-塁鵯塑 (16） (17） ひずみ−変位関係式 血 げｚ一一 一 Ｗ 砂 壁 砂 訳 砒 二 ｚ ２ ｙ Ｅ 一 一 脚 一 伽 十 ９ 獅 一 鍜 伽 一 一 砂 ｚ 〃 γ 一 一 伽 一 伽 一 一 Ｘ Ｅ (18） (19） 2 ． 3 断 面 力 曲げモーメント ． h M〆-"qmZdiz,M,-JZo》池 (20） 振りモーメント ハ − M秒＝必乃妨=MjMx2 (21） 5
- 12. 一 ① (面外）せん断力 Qx=庭憂い'Q,-"rj鰺成 (22） 2．4構成側 応力一ひずみ関係式 “一念(…,)，。,-毒(．,+叫跨一 応カー変位関係式 Gγ可 (23） 等一 Ⅳ ＆ 二 句 Ｗ ｜ 卿 ２６ 一 脚 、 ﹄ 戯 リ ー ザ 一 Ｗ ２８ γ 乃 十 等一 Ⅳ 戯 一 一 配 +γ窯） (24） (25） 断面カー変位関係式 雌--噌十● ",--K" M=-')* 幾十 γ (26） (27） 板の曲げ剛性（板剛度） 肋 3 尺 ＝ 一 二 一 12(1-γ2) (28） 2．s釣合式 似十処州-"ua'+(Mja:+等伽-M鱈岫ax →Qx=迦曇十迦星同様にgy=迦藝L+迦些axay. . .-¥j'-"ayay--='ax¥ " 耀十等伽-M鱈かQ震加=0 (29） 6 ’
- 13. 、 、 ﹀ 、 、 一 口 Ｌ ロ 一 ､e ０ｐ 州 十 ” 秘 一 ↓ ｐ ユ ＋ 恥 恥 一 一 一 ２ 血 十 識 畑 一 ︽ ＋ ｒ ｇ ・ ＋の ０ ９ 匪 一 十 伽 坐 幽 伽 坐 似 ↓ (30） ｒＯ Ｏ一 一 ・ ｐ＋ ｙ Ｑ 砂 ６ ＋ 旦 砒 ６ ↓ ax2.-;axay・ay2 たわみ関数w(x,y)の偏微分方程式 ｐ − Ｋ − − Ｗ ４ 砂 ４３ ＋ ２ Ｗ 砂 ４ ２ ６ 敗 ワ ー十 Ｗ ４ 伽 ４６ 一 一 ｆ ← ． 伽△ (31） 2 . 6 境 界 条 件 I 換算せん断力 K-Q"+"=,"-Q,+旦姓ay 6x (32） I 境界条件の例 (1)x=coMzの辺で単純支持→W=0, “ ＝ 0 迦＝0(2)x=co"師の辺で固定→w=0, 8x (3)X=c伽師の辺で自由→雌=0, X = 0 一 a ヘ 2．7例題（単純支持長方形板） b.9;噂唖梺 ■■■ 境界x=0,α及びy=0,bにおいて単純支持されている平板が荷重 ノ(")-写享p嬢"sin竿Sm皿b を受けるとき，たわみ関数を w(xル喜恥肘職mz¥sm処エ6 。） と仮定して解け。 M(A/=÷に似解答 (33） (35） p"z〃 (36）W腕〃＝二 "4K("'2/"2+"2/b2)2 ／ 7 一
- 14. 沙 ＝ ／ ◆ ノ ー/〔 償譲§ ／ 浬言篇D蛇Pはい,>の3．坪索及<PIa土eg) ＝ 厚 う､I． 貝の 厚さぞ「1'医 口 陶'十た〃うみQ ‘ﾉ)f及乏 盲冒一F 壼冒ｨLル 10 ● ｮ.2 回 丙 豈 ２ ち 臺雪 、 シ 一 ︻ 〆 ９ ３ ロ 一 はら)浮面への殺影 の ︵ 瞳 、 典 刈 ｃ 畑 Ｇ 一 打 Ｚ 証 。 辿 訊 辿 刻 岫 辨 血 、 − １ ト ー 型 の ｚ 堰 〃 三 遍 司 弘 飢 墹 前 平 叩 叩 塾 一 次 迦 列 別 一 斗 Ｒ 一 コ 信 一 三 脈 け 〃 ＆ 弓 略 ″ ｜ ｜ ｜ ｜ ｚ Ｚ ｒ ︲ ︲ ︲ 八 列 仰 剛 い ぬ Ｉ Ｉ ｗ Ｈ 叫 剖 部 ︲ ︲ ︲ ︲ 三 久 乳 言 ﹁ 一 ’ 〃 、 獄 一 FIa R> − − 、 Ⅷ立k坐 ･÷又 望 涛一 稲は五画｡垂１ １ 、 u=-2箸 、
- 16. 07 〆" ザ 、” 平成22年2月1日10：30−12：00 平成21年度建築構造解析学試験問題 問 題 1 図1に示すような分布荷重を受ける厚さんの薄板を考える。板の材料は等方 弾性体であり、そのヤング係数をE、ポアソン比をγとする。平面応力状態を仮 定する。関数伊が以下のように与えられる。 ？＝Ay3＋By2＋C妬2 ここでA、B，Cは未知定数である。この時、以下の問いに答えよ。 （1）のがAiryの応力関数であることを示せ。 （2）応力の分布を求めよ。 （3）ひずみの分布を求めよ。 （4）境界の分布荷重が図2に示すようなモーメントMと集中荷重弓、Bと等 価であるとする。この時A、B、Cを求めよ。 ■■■ a a 図 1 図 2 −1− 1 家,'〔∼一 一 頁 ∼ ∼
- 17. 〆 ” p〆 K K 問 題 2 （1）図1に示したように，剛な棒の両端をバネで支持しているシステムを考える。この 振動システムには2つの振動モーFが存在する。一つは図2に示したように，棒が 平行に上下に振動するモード，他は図3に示したように棒が棒の中心で回転するモ -Fである。棒が平行に上下に振動するモーFに関する自由振動方程式を導き，固 有振動数を求めよ。ただし，棒の単位長さ当たりの質量はrn,棒の長さはL,バネ の剛性をKとする。 （2）棒が真ん中を中心に回転に関する時の固有振動数を求めよ。 （3）棒の片方を支えるバネの強さを2倍にした時の棒の中心の上下振動の自由振動方程 式を棒の両端の変位yl,y2を変数として導け。 （4）この時の振動モードの一つは図4に示した通りとなった。図4に示した振動モード の時の固有振動数を求めよ。 (5)他のﾓｰドの固有振動数はザ-圭､/三エマ言鳫であったこのときの振動ﾓｰ『 を求めよ。 偶 − − L − − − H ■ ■ ■ ■ ー ー ー K 図 1 図 2 図 3 ､/蚕-1 菫↓ 圭 ル ーyl= 2 2 図 4 図 5 -’一 ー 、 ∼ y