1. Слайд №1
Харківській національний університет
радіоелектроніки
Диференційні властивості
підстановок різних циклових класів
Виконали
Кіянчук Руслан Ігорович
Лисицький Констянтин Євгенійович
Науковий керівник
к.т.н., доц. каф. БІТ ХНУРЕ
Олійников Роман Васильович

2. Слайд №2
Схема циклової функції ГОСТ 28147- 89
N1,N2 - 32 розрядні накопичувачі;
Bi-1 (32 біти) Аi-1 (32 біти)
СМ1 – суматор за модулем 232;
СМ2 – суматор за модулем 2;
N2 N1 КЗО – ключовий запом’ятовуючий
X0 пристрій;
R - регістр циклічного зсуву
+ КЗУ (зсуває на 11 позицій ліворуч) ;
CM1
Si - блоки нелінійної заміни.
X7
S1 … S8
R f ( Ai 1    X j )
CM2
+
N1 N2
Bi (32 біти) Аi (32 біти)

3. Слайд №3
Задачі дослідження
• Розробити підпрограму генерації випадкових підстановок заданого степеня (8,16, 256).
• Розробити підпрограму визначення кількості циклів підстановок.
• Розробити підпрограму побудови таблиць диференційних різниць.
• В основній функції програми передбачити розрахунок максимального та мінімального з
максимальних елементів таблиці диференційних різниць а також розрахунок кількості
таблиць для підстановок з різною кількістю циклів.
• Вивести таблицю з наступними результатами
– степінь та кількість підстановок, що досліджуються
– кількість підстановок з визначеною кількістю циклів, які брали участь в
експерименті
– кількість таблиць диференційних різниць для підстановок з даною кількістю
циклів
– значення максимального елементу таблиць для даної кількості циклів,
виключаючи елемент, якій відповідає нульовому рядку та нульовому стовбцю
– значення мінімального з максимальних елементів для таблиць диференціальної
різності з даною кількістю циклів
– математичне очікування максимального значення елементів таблиць
диференційних різниць для даної кількості циклів.
• За допомогою розробленого програмного комплексу виконати дослідження диференційних
властивостей підстановок різних циклових класів.

4. Слайд №4
Основні визначення теорії підстановок
• Підстановкою n - го степеня називають взаємно-однозначне
відображення  множини X, яке складається з n чисел
1, 2, . . . , n на себе і позначають
  ((1), (2),..., (n))
• Підстановку скінченного степеня також записують у вигляді
 1 2n 
  ,
 i1 i 2  i n 
де i 1 , i 2 , . . . , i n  деяка перестановка чисел 1, 2, . . . , n .
• Цей запис означає, що  переводить число k в ik , тобто
 (k )  i k для i  1, 2, . . . , n .

5. Слайд №5
Основні визначення теорії підстановок (цикли).
• Циклом довжини l називаеться підстановка 
скінченної множини X = {1, 2, ..., n}, така, що
  x1  x2,   x2   x3,...,   xl 1  xl ,   xl   x1.
       
       
• Скінченний цикл довжини l визначається як  x1, x2,..., xl .
 
 
• Цикл довжини 2 є транспозицією.
• Підкласом циклового класу підстановок з заданою
кількістю циклів називається множина підстановок
цього класу, які складаються з фіксованого набору
циклових довжин.

6. Слайд № 6
Визначення таблиці диференційних різниць
Під таблицею диференційних різниць розуміється таблиця
m k
розміром 2  2 , входами якої по рядкам є різниці пар m-бітних
входів в S-блок, а по стовпцях  різниці пар k-бітних виходів
S-блоку. Комірки таблиці заповнюються значеннями, які
відповідають кількості можливих пар входів в S-блок з різницею
∆x (індекс входу в таблицю по рядках), які при проході через нього
(через S-блок) формують відповідну вихідну різницю ∆y (індекс
входу в таблицю по стовпцях). Відношення значення комірки
таблиці до загальної кількості можливих пар входів визначає
ймовірність відповідного переходу.
У випадку, який розглядається, різниця по входу і по виходу
визначається як побітова сума (різниця) за модулем два, тобто для
S-блоку
….

7. Слайд №7
Результати першого етапу роботи
• 1. Розроблено підпрограму генерації випадкових підстановок заданого степеня
(степінь підстановки встановлюється дослідником з клавіатури).
• 2. Розроблено підпрограму для визначення кількості циклів у підстановці.
• 3. Розроблено підпрограму побудови таблиць диференційних різниць підстановок.
В основній функції програми передбачено розрахунок максимального і
мінімального з максимальних елементів таблиць диференційних різниць, а також
підрахунок кількості таблиць підстановок з різною кількістю циклів.
В результаті роботи програмного комплексу виводиться таблиця, в що містить
наступні дані:
- порядок та кількість підстановок, що досліджуються;
- кількість підстановок із заданим числом циклів;
- кількість таблиць диференційних різниць для підстановок із заданою кількістю
циклів;
- значення максимального елемента (за винятком елемента, що відповідає
нульовому рядку і нульовому стовпцю) таблиць диференційних різниць для
підстановок із заданою кількістю циклів;
- значення мінімального з максимальних елементів таблиць диференційних різниць
для підстановок із заданою кількістю циклів;
- Математичне очікування максимальних значень таблиць диференційних різниць
для підстановки із заданою кількістю циклів.

8. Слайд №8
Результати дослідження підстановок 8-го степеня
Кількість Кількість Максимальне Мінімальне Середнє
циклів підстановок значення значення значення
у підстновці (таблиць максимумів максимумів максимумів
підстановок) таблиць таблиць таблиць
1 12479 8 2 4.77715
2 32689 8 4 4.25354
3 32366 8 2 4.77829
4 16757 8 4 4.27594
5 4855 8 2 5.00185
6 784 8 4 4.47959
7 67 8 8 8
8 3 8 8 8

9. Слайд №9
Результати дослідження підстановок 16-го степеня
Кількість Кількість Максимальне Мінімальне Середнє
циклів підстановок значення значення значення
у підстновці (таблиць максимумів максимумів максимумів
підстановок) таблиць таблиць таблиць
1 6337 16 4 6.68802
2 20810 16 4 6.70437
3 29111 16 4 6.67555
4 24356 16 4 6.70709
5 12859 16 4 6.67906
6 4949 16 4 6.73671
7 1273 12 4 6.68814
8 261 12 4 6.7433
9 4210 10 4 6.52381
10 2 6 6 6
11 0 0 0 0
12 0 0 0 0
13 0 0 0 0
14 0 0 0 0
15 0 0 0 0
16 0 0 0 0

10. Слайд №10
Результати дослідження підстановок 256-го степеня
Кількість Максимальне Мінімальне Середнє значення
Кількість підстановок значення значення максимумів
циклів (таблиць) максимумів максимумів таблиць
таблиць таблиць
1 422 16 10 11.3555
2 2354 16 10 11.3152
3 6904 16 8 11.3216
4 13098 18 10 11.3485
5 17832 18 10 11.3438
6 18748 18 10 11.3478
7 15858 18 10 11.3333
8 11560 16 10 11.3545
9 6947 18 10 11.3758
10 3608 16 10 11.3321
11 1650 16 10 11.3321
12 646 16 10 11.3963
13 256 14 10 11.2813
14 84 14 10 11.381
15 24 14 10 11.1667
16 6 12 10 11.3333
17 3 12 10 10.6667
18 0 0 0 0
. . . . . . . . . . . . . . .
256 0 0 0 0

11. Слайд №11
Висновки за результатами досліджень
1. Більшість підстановок мають малу кількість циклів.
2. Теорія стверджує, що асимптотично закон розподілу
підстановок по кількості циклів збігається до нормального з
математичним сподіванням, що дорівнює ln m, де m  степінь
підстановки. Результати експериментів підтверджують цю
властивість (для підстановок 256-го степеня ln 256 = 5,54).
3. Із результатів експериментів виходить, що всі циклові
класи (для підстановок різних степенів) мають приблизно одне і
те ж математичне очікування максимального значення таблиць
диференційних різниць, тобто гіпотеза, яка висунута при
постановці досліджень не підтвердилась.
4. Однак, на основі здобутих результатів отриманий
важливий висновок, який полягає в тому, що незалежно від
циклових класів, до яких належать підстановки, усі вони мають
одне й теж середнє значення максимумів таблиць
диференційних різниць, причому це значення максимуму є
фіксованим для підстановок заданого степеня, тобто є
властивістю випадкових підстановок.

12. Слайд №12
Подальші дослідження
Ми думали перенести дослідження на підстановки циклових підкласів.
• Сьогодні, однак, вже стало зрозумілим, що більш привабливим є
подальше вивчення диференційних (та інших) властивостей
випадкових підстановок.
• Вже вдалося отримати теоретичні значення максимумів випадкових
підстановок, що співпадають з нашими експериментами (ці результати
вже представлені на регіональний конкурс наукових робіт).
• Цінність отриманих результатів різко підвищується у зв'язку з
встановленим вченими кафедри фактом, що самі шифри після
декількох початкових циклів зашифрування набувають властивостей
випадкових підстановок відповідного степеня, а це означає, що можна
ставити й вирішувати задачі оцінки показників доказової стійкості
шифрів до атак диференційного криптоаналізу, що є дуже важливим і
для теорії, і для практики.
• Результати виконаних досліджень та деякі нові (додаткові) результати
вже представлені в 13-ти опублікованих роботах, наведених у
додатках.