ادامه رگرسیون خطی

1. ‫کیفی‬ ‫های‬ ‫کننده‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬

‫بود‬ ‫آن‬ ‫بر‬ ‫فرض‬ ‫اینجا‬ ‫تا‬
‫هستند‬ ‫کمی‬ ‫ما‬ ‫خطی‬ ‫رگرسیون‬ ‫مدل‬ ‫متغیرهای‬ ‫تمام‬ ‫که‬
.
‫نی‬ ‫چنین‬ ً‫ا‬‫لزوم‬ ،‫عمل‬ ‫در‬ ‫اما‬
‫و‬ ‫ست‬
‫پیش‬ ‫از‬ ‫برخی‬
‫کننده‬ ‫بینی‬
‫هستند‬ ‫کیفی‬ ‫ها‬
.

‫را‬ ‫کیفی‬ ‫های‬ ‫کننده‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬
«
‫فاکتور‬
»
‫یا‬
«
‫عامل‬
»
‫نامیم‬ ‫می‬ ‫نیز‬
.

2. ‫کیفی‬ ‫های‬ ‫کننده‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬
.A
‫پیش‬
‫دو‬ ‫تنها‬ ‫با‬ ‫های‬ ‫کننده‬ ‫بینی‬
‫سطح‬
‫ممکن‬
:
•
‫یک‬ ‫وضعیت‬ ‫این‬ ‫در‬
‫ایجاد‬ ‫متغیرشاخص‬
‫مقدار‬ ‫دو‬ ‫که‬ ‫کنیم‬ ‫می‬
‫ممکن‬ ‫عددی‬
‫ک‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬ ‫عنوان‬ ‫به‬ ‫متغیر‬ ‫این‬ ‫از‬ ‫و‬ ‫گیرد‬ ‫می‬ ‫را‬
‫معادله‬ ‫در‬ ‫ننده‬
‫کنیم‬ ‫می‬ ‫استفاده‬ ‫رگرسیون‬
.

‫مثال‬
1
:
‫جنسیت‬ ‫ی‬ ‫کننده‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬
•
‫تفاوت‬ ‫خواهیم‬ ‫می‬ ‫که‬ ‫کنید‬ ‫فرض‬
‫پاسخ‬
(
𝑦
)
‫زنان‬ ‫بین‬ ‫در‬ ‫را‬
‫و‬
‫مردان‬
‫بررسی‬
‫کنیم‬
.
• 𝑥𝑖 =
1 if ith person is female
0 if ith person is male
• 𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖 + 𝜖𝑖 =
𝛽0 + 𝛽1 + 𝜖𝑖 if ith person is female
𝛽0 + 𝜖𝑖 if ith person is male

‫میتوان‬
𝛽0
‫عنوان‬ ‫به‬ ‫را‬
‫متوسط‬
𝑦
‫و‬ ‫مردان‬ ‫بین‬ ‫در‬
𝛽0 + 𝛽1
‫عنوان‬ ‫به‬ ‫را‬
‫متوسط‬
𝑦
‫کرد‬ ‫تفسیر‬ ‫زنان‬ ‫بین‬ ‫در‬
.

𝛽1
‫مقدارمتوسط‬ ‫اختالف‬
𝑦
‫بود‬ ‫خواهد‬ ‫مردان‬ ‫و‬ ‫زنان‬ ‫بین‬ ‫در‬
.

3. ‫کیفی‬ ‫های‬ ‫کننده‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬

‫متفاوت‬ ‫مقادیر‬ ‫با‬ ‫مردان‬ ‫و‬ ‫زنان‬ ‫کدگذاری‬
،
‫ندارد‬ ‫رگرسیون‬ ‫مدل‬ ‫برازش‬ ‫بر‬ ‫تاثیری‬
‫اما‬
‫ض‬ ‫برای‬ ‫متفاوتی‬ ‫مقادیر‬
‫به‬ ‫رایب‬
‫تفسیر‬ ‫و‬ ‫آیند‬ ‫می‬ ‫دست‬
‫متفاوتی‬
‫دارند‬
.

‫مثال‬
2
:
‫ی‬ ‫کننده‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬ ‫متفاوت‬ ‫کدگذاری‬
‫در‬ ‫جنسیت‬
«
‫مثال‬
1
»
• 𝑥𝑖 =
1 if ith person is female
−1 if ith person is male
• 𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖 + 𝜖𝑖 =
𝛽0 + 𝛽1 + 𝜖𝑖 if ith person is female
𝛽0 − 𝛽1 + 𝜖𝑖 if ith person is male

‫میتوان‬
𝛽0
‫متوسط‬ ‫مقدار‬ ‫عنوان‬ ‫به‬ ‫را‬
𝑦
‫کرد‬ ‫تفسیر‬
.

𝛽1
‫دارند‬ ‫کل‬ ‫میانگین‬ ‫از‬ ‫کمتر‬ ‫مردان‬ ‫و‬ ‫کل‬ ‫میانگین‬ ‫از‬ ‫بیشتر‬ ‫زنان‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫مقداری‬
.

4. ‫کیفی‬ ‫های‬ ‫کننده‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬

‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬ ‫و‬ ‫مشخصی‬ ‫دیتاست‬ ‫براساس‬
«
‫مثال‬ ‫کدگذاری‬
1
»
‫اند‬ ‫شده‬ ‫برآورد‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫مربعات‬ ‫حداقل‬ ‫ضرایب‬
:
• 𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖 + 𝜖𝑖 =
𝛽0 + 𝛽1 + 𝜖𝑖 = 529.53 + 𝜖𝑖 if ith person is female
𝛽0 + 𝜖𝑖 = 509.80 + 𝜖𝑖 if ith person is male

5. ‫کیفی‬ ‫های‬ ‫کننده‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬

‫و‬ ‫قبلی‬ ‫دیتاست‬ ‫همان‬ ‫براساس‬
‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬
«
‫کدگذاری‬
‫مثال‬
2
»
‫اند‬ ‫آمده‬ ‫دست‬ ‫به‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫ضرایب‬
:
• 𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖 + 𝜖𝑖 =
𝛽0 + 𝛽1 + 𝜖𝑖 = 529.53 + 𝜖𝑖 if ith person is female
𝛽0 − 𝛽1 + 𝜖𝑖 = 509.80 + 𝜖𝑖 if ith person is male

‫اما‬ ‫اند‬ ‫آمده‬ ‫دست‬ ‫به‬ ‫متفاوتی‬ ‫مقدار‬ ‫با‬ ‫ضرایب‬ ‫که‬ ‫این‬ ‫با‬ ‫کنید‬ ‫می‬ ‫مشاهده‬ ‫که‬ ‫طور‬ ‫همان‬
‫برای‬ ‫نهایی‬ ‫های‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬
‫هر‬
‫گروه‬
‫است‬ ‫نکرده‬ ‫تغییر‬
.

6. ‫کیفی‬ ‫های‬ ‫کننده‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬
.B
‫سطح‬ ‫دو‬ ‫از‬ ‫بیش‬ ‫با‬ ‫های‬ ‫کننده‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬
‫ممکن‬
:
•
‫کرد‬ ‫بیان‬ ‫را‬ ‫ممکن‬ ‫سطوح‬ ‫ی‬ ‫همه‬ ‫توان‬ ‫نمی‬ ‫متغیرشاخص‬ ‫یک‬ ‫تنها‬ ‫با‬ ‫وضعیت‬ ‫این‬ ‫در‬
.
•
‫کنیم‬ ‫استفاده‬ ‫اضافی‬ ‫متغیر‬ ‫از‬ ‫توانیم‬ ‫می‬
.

‫مثال‬
3
:
‫ی‬ ‫کننده‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬
‫نژاد‬
(
‫سه‬ ‫دارای‬
‫سطح‬
‫و‬ ‫قفقازی‬ ،‫آسیایی‬
‫پوستان‬ ‫سیاه‬
‫آمریکا‬
)
• 𝑥𝑖1 =
1 if ith person is Asian
0 if ith person is not Asian
• 𝑥𝑖2 =
1 if ith person is Caucasian
0 if ith person is not Caucasian
• 𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + 𝛽2𝑥𝑖2 + 𝜖𝑖 =
𝛽0 + 𝛽1 + 𝜖𝑖 if ith person is Asian
𝛽0 + 𝛽2 + 𝜖𝑖 if ith person is Caucasian
𝛽0 + 𝜖𝑖 if ith person is African American

7. ‫کیفی‬ ‫های‬ ‫کننده‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬
•
‫نژاد‬ ‫ی‬ ‫کننده‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬ ‫مثال‬ ‫در‬
:

‫میتوان‬
𝛽0
‫متوسط‬ ‫مقدار‬ ‫عنوان‬ ‫به‬ ‫را‬
𝑦
‫تفسیر‬ ‫آمریکا‬ ‫پوستان‬ ‫سیاه‬ ‫گروه‬ ‫در‬
‫کرد‬
.

𝛽1
‫متوسط‬ ‫تفاوت‬
𝑦
‫باشد‬ ‫می‬ ‫آمریکا‬ ‫پوستان‬ ‫سیاه‬ ‫با‬ ‫ها‬ ‫آسیایی‬ ‫گروه‬ ‫بین‬ ‫در‬
.

𝛽2
‫متوسط‬ ‫تفاوت‬
𝑦
‫گروه‬ ‫بین‬ ‫در‬
‫با‬ ‫قفقازها‬
‫باشد‬ ‫می‬ ‫آمریکا‬ ‫پوستان‬ ‫سیاه‬
.

8. ‫کیفی‬ ‫های‬ ‫کننده‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬
•
‫شاخص‬ ‫متغیرهای‬ ‫تعداد‬ ‫همیشه‬
،
‫کمتر‬ ‫عدد‬ ‫یک‬
‫تعداد‬ ‫از‬
‫بود‬ ‫خواهد‬ ‫سطوح‬
.

‫شما‬ ‫کیفی‬ ‫متغیر‬ ‫اگر‬
n
‫به‬ ،‫کند‬ ‫می‬ ‫تعریف‬ ‫را‬ ‫گروه‬
𝑛 − 1
‫متغیر‬
‫دارید‬ ‫نیاز‬ ‫شاخص‬
.
•
‫بدون‬ ‫سطح‬
‫متغیرشاخص‬
-
‫در‬ ‫تبار‬ ‫آفریقایی‬ ‫آمریکایی‬
‫قبل‬ ‫مثال‬
-
‫عنوان‬ ‫به‬
«
‫مرجع‬
»
‫شود‬ ‫می‬ ‫شناخته‬
.
•
‫عنوان‬ ‫به‬ ‫شده‬ ‫انتخاب‬ ‫سطح‬
‫مرجع‬
،
‫دلخواه‬
، ‫گروه‬ ‫هر‬ ‫برای‬ ‫نهایی‬ ‫های‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬ ‫و‬ ‫است‬
‫بدون‬
‫انتخاب‬ ‫این‬ ‫به‬ ‫توجه‬
‫یکسان‬
‫بود‬ ‫خواهد‬
.
•
‫و‬ ‫ضرایب‬ ،‫حال‬ ‫این‬ ‫با‬
𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒
‫آنها‬
‫کدگذاری‬ ‫انتخاب‬ ‫به‬
‫بستگی‬ ‫شاخص‬ ‫متغیرهای‬
‫دارد‬
.

9. ‫خطی‬ ‫مدل‬ ‫بسط‬

‫فرض‬ ‫دو‬ ‫استاندارد‬ ‫خطی‬ ‫رگرسیون‬ ‫مدل‬
‫می‬ ‫نقض‬ ‫عمل‬ ‫در‬ ‫اغلب‬ ‫که‬ ‫کند‬ ‫می‬ ‫ایجاد‬ ‫را‬ ‫کننده‬ ‫محدود‬ ‫بسیار‬
‫شوند‬
:
•
‫افزایشی‬ ،‫پاسخ‬ ‫و‬ ‫ها‬ ‫کننده‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬ ‫بین‬ ‫رابطه‬
(
additive
)
‫است‬
.

‫به‬
‫کننده‬‫بینی‬‫پیش‬ ‫یک‬ ‫در‬ ‫تغییرات‬ ‫تأثیر‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫معنی‬ ‫این‬
𝑋𝑗
‫بر‬
‫پاسخ‬
𝑌
‫است‬ ‫ها‬‫کننده‬‫بینی‬‫پیش‬ ‫سایر‬ ‫مقادیر‬ ‫از‬ ‫مستقل‬ ،
.
•
‫خطی‬ ،‫پاسخ‬ ‫و‬ ‫ها‬ ‫کننده‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬ ‫بین‬ ‫رابطه‬
(
linear
)
‫است‬
.

‫پاسخ‬ ‫در‬ ‫تغییر‬ ‫که‬ ‫کند‬ ‫می‬ ‫بیان‬
𝑌
‫به‬
‫تغییر‬ ‫واحد‬ ‫یک‬ ‫دلیل‬
‫در‬
𝑋𝑗
‫مقدار‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫بدون‬ ،
𝑋𝑗
‫است‬ ‫ثابت‬ ،
.

10. ‫مدل‬ ‫بسط‬
‫خطی‬
.A
‫افزایشی‬ ‫فرض‬ ‫حذف‬
:
•
‫یک‬
‫رگرسیون‬ ‫مدل‬
‫دارای‬
‫اثرات‬
‫است‬ ‫افزایشی‬
‫اگر‬
‫به‬ ‫را‬ ‫پاسخ‬ ‫بتوان‬
‫مجموع‬ ‫صورت‬
‫از‬ ‫توابعی‬
‫بینی‬ ‫پیش‬ ‫متغیرهای‬
‫نوشت‬ ‫کننده‬
:
𝜇𝑦 = 𝑓0 𝑋 + 𝑓1 𝑋1 + ⋯ + 𝑓𝑝(𝑋𝑝)
𝜇𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1 + ⋯ + (𝛽𝑝𝑋𝑝)
•
‫هم‬ ‫بر‬ ‫ها‬ ‫کننده‬‫بینی‬‫پیش‬ ‫وقتی‬
«
‫متقابل‬ ‫اثر‬
»
‫کننده‬‫بینی‬‫پیش‬ ‫هر‬ ‫که‬ ‫گوییم‬‫می‬ ، ‫ندارند‬
«
‫افزایشی‬ ‫اثر‬
»
‫پاسخ‬ ‫بر‬
‫دارد‬
.
•
‫اثر‬ ،‫رگرسیون‬ ‫در‬
‫متقابل‬
(
Interaction Effect
)
‫مقدار‬ ‫به‬ ‫بسته‬ ‫مستقل‬ ‫متغیر‬ ‫یک‬ ‫که‬ ‫دارد‬ ‫وجود‬ ‫زمانی‬
(
‫های‬
)
‫متغیر‬ ‫چند‬ ‫یا‬ ‫یک‬
‫دیگر‬ ‫مستقل‬
‫تأثیر‬
‫باشد‬ ‫داشته‬ ‫نتیجه‬ ‫بر‬ ‫متفاوتی‬
.
•
‫بسط‬ ‫های‬‫راه‬ ‫از‬ ‫یکی‬
‫مدل‬
‫اثرات‬ ‫به‬ ‫دادن‬ ‫اجازه‬ ‫با‬
،‫متقابل‬
‫عبارت‬ ‫نام‬ ‫به‬ ‫جدید‬ ‫کننده‬‫بینی‬‫پیش‬ ‫یک‬ ‫گنجاندن‬
‫تعاملی‬
(
Interaction term
)
‫شود‬‫می‬ ‫ساخته‬ ‫کننده‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬ ‫چند‬ ‫حاصلضرب‬ ‫با‬ ‫که‬ ‫است‬
.

11. ‫خطی‬ ‫مدل‬ ‫بسط‬
•
‫مثال‬ ‫یک‬ ‫عنوان‬ ‫به‬
‫ساده‬
‫از‬
‫هایی‬‫کننده‬‫بینی‬‫پیش‬
‫بر‬ ‫را‬ ‫کود‬ ‫و‬ ‫آب‬ ‫اثرات‬ ،‫کنند‬‫می‬ ‫کار‬ ‫هم‬ ‫با‬ ‫که‬
‫بازده‬
‫یک‬
‫مزرعه‬
‫ب‬ ‫نظر‬ ‫در‬
‫گیرید‬
.
•
‫با‬
‫مقداری‬
‫کود‬
‫اما‬
‫بدون‬
‫مزرعه‬ ،‫آب‬
‫است‬ ‫گیاه‬ ‫رشد‬ ‫برای‬ ‫ضروری‬ ‫نیاز‬ ‫یک‬ ‫آب‬ ‫زیرا‬ ‫کرد‬ ‫نخواهد‬ ‫تولید‬ ‫محصولی‬ ‫هیچ‬
.
•
،‫کود‬ ‫بدون‬ ‫اما‬ ‫آب‬ ‫کافی‬ ‫مقدار‬ ‫با‬ ،‫برعکس‬
‫مزرعه‬
‫کند‬ ‫می‬ ‫تولید‬ ‫محصول‬ ‫مقداری‬
.
،‫حال‬ ‫این‬ ‫با‬
‫از‬ ‫استفاده‬
‫و‬ ‫آب‬ ‫کافی‬ ‫مقدار‬
‫مقدار‬
‫کود‬ ‫کافی‬
‫بیشتر‬ ‫بازده‬ ‫باعث‬
‫میشود‬
.
•
‫آب‬
‫عملکردی‬ ،‫شوند‬ ‫ترکیب‬ ‫مناسب‬ ‫مقادیر‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫هنگامی‬ ،‫کود‬ ‫و‬
‫بهتر‬
‫تنهایی‬ ‫به‬ ‫یک‬ ‫هر‬ ‫آنچه‬ ‫از‬
‫داشت‬ ‫خواهند‬ ،‫دارند‬
.
•
،‫تر‬‫رسمی‬ ‫طور‬‫به‬
‫اگر‬
‫اثر‬
‫ترکیبی‬
‫چند‬ ‫یا‬ ‫دو‬
‫متفاوت‬ ،‫کننده‬‫بینی‬‫پیش‬
(
‫بیشتر‬ ‫یا‬ ‫کمتر‬
)
‫از‬
‫تأثیر‬ ‫کردن‬ ‫اضافه‬
‫ه‬
‫یک‬ ‫ر‬
‫به‬ ‫آنها‬ ‫از‬
‫تنهایی‬
،‫باشد‬
‫که‬ ‫شود‬‫می‬ ‫گفته‬
‫دارند‬ ‫کنش‬ ‫برهم‬
.
•
‫که‬ ‫باشید‬ ‫داشته‬ ‫توجه‬
‫همیشه‬ ‫متقابل‬ ‫اثرات‬
‫با‬ ‫ها‬ ‫کننده‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬ ‫ارتباط‬ ‫چگونگی‬ ‫زمینه‬ ‫در‬
‫پاسخ‬
‫است‬
.
‫مثا‬ ‫برای‬
‫بین‬ ‫های‬‫همبستگی‬ ،‫ل‬
‫شود‬‫نمی‬ ‫مربوط‬ ‫متقابل‬ ‫اثر‬ ‫نبودن‬ ‫یا‬ ‫وجود‬ ‫به‬ ً‫ا‬‫مستقیم‬ ‫ها‬‫کننده‬‫بینی‬‫پیش‬
.

12. ‫مدل‬ ‫بسط‬
‫خطی‬

‫اثرمتقابل‬ ‫بدون‬ ‫معمولی‬ ‫رگرسیون‬ ‫معادله‬ ‫یک‬
:
• 𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2

‫معادله‬
‫با‬ ‫رگرسیون‬
‫متغیرهای‬ ‫اثرمتقابل‬
𝑋1
‫و‬
𝑋2
:
• 𝑦 = 𝛽0 + (𝛽1 + 𝛽3𝑋2)𝑋1 + 𝛽2𝑋2
• = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2 + 𝛽3𝑋1𝑋2
•
𝑋1𝑋2
‫را‬
‫یک‬
،‫نامیم‬ ‫می‬ ‫دو‬ ‫درجه‬ ‫تعاملی‬ ‫عبارت‬
‫زیرا‬
‫برهمکنش‬
‫است‬ ‫مستقل‬ ‫متغیر‬ ‫دو‬ ‫بین‬
.
•
𝛽3
‫است‬ ‫رگرسیون‬ ‫ضریب‬ ‫یک‬
.
•
‫توانیم‬ ‫می‬
𝛽3
‫اثربخشی‬ ‫افزایش‬ ‫عنوان‬ ‫به‬ ‫را‬
𝑋1
‫واحد‬ ‫یک‬ ‫افزایش‬ ‫با‬ ،
‫در‬
𝑋2
(
‫برعکس‬ ‫یا‬
)
‫تفسیر‬
‫کنیم‬
:

‫در‬ ‫افزایش‬ ‫واحد‬ ‫هر‬ ، ‫متوسط‬ ‫طور‬ ‫به‬
𝑋1
‫با‬ ‫است‬ ‫مرتبط‬
‫پاسخ‬ ‫افزایش‬
‫به‬
‫اندازه‬
𝛽1 + 𝛽3𝑋2

‫در‬ ‫افزایش‬ ‫واحد‬ ‫هر‬ ، ‫متوسط‬ ‫طور‬ ‫به‬
𝑋2
‫با‬ ‫است‬ ‫مرتبط‬
‫افزایش‬
‫اندازه‬ ‫به‬ ‫پاسخ‬
𝛽1 + 𝛽3𝑋1

13. ‫خطی‬ ‫مدل‬ ‫بسط‬

‫مثال‬
1
:
•
‫دیتاست‬ ‫در‬
«
Advertising
»
‫تبلیغات‬ ‫دو‬ ‫هر‬ ‫که‬ ‫کردیم‬ ‫مشاهده‬
TV
‫و‬
Radio
‫دارند‬ ‫ارتباط‬ ‫فروش‬ ‫میزان‬ ‫با‬
.
𝑆𝑎𝑙𝑒𝑠 = 𝛽0 + 𝛽1 ∗ 𝑇𝑉 + 𝛽2 ∗ 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 + 𝜖
•
‫رسانه‬ ‫یک‬ ‫در‬ ‫تبلیغات‬ ‫تاثیر‬ ‫که‬ ‫میکند‬ ‫فرض‬ ‫باال‬ ‫مدل‬
،
‫فروش‬ ‫روی‬ ‫بر‬
‫رسانه‬ ‫در‬ ‫تبلیغات‬ ‫میزان‬ ‫از‬ ‫مستقل‬ ،
‫است‬ ‫دیگر‬ ‫ی‬
.
•
‫تبلیغات‬ ‫میزان‬ ‫از‬ ‫نظر‬ ‫صرف‬
Radio
‫متوسط‬ ‫تأثیر‬ ،
‫افزایش‬
‫واحدی‬ ‫یک‬
TV
‫همیشه‬ ‫فروش‬ ‫روی‬ ‫بر‬
𝛽1
‫است‬
.
•
‫صرف‬ ‫است‬ ‫ممکن‬ ‫عمل‬ ‫در‬
‫تبلیغات‬ ‫برای‬ ‫هزینه‬
‫در‬ ‫رادیویی‬
‫را‬ ‫تلویزیونی‬ ‫تبلیغات‬ ‫اثربخشی‬ ‫واقع‬
‫افزایش‬
‫ده‬
‫با‬ ‫بنابراین‬ ،‫د‬
‫افزایش‬
Radio
،
𝛽1
‫باید‬
‫یابد‬ ‫افزایش‬
.

14. ‫خطی‬ ‫مدل‬ ‫بسط‬

‫مثال‬ ‫ادامه‬
1
:
•
‫دهد‬ ‫می‬ ‫کاهش‬ ‫را‬ ‫افزایشی‬ ‫فرض‬ ،‫تعاملی‬ ‫عبارت‬ ‫یک‬ ‫گنجاندن‬
:
• 𝑆𝑎𝑙𝑒𝑠 = 𝛽0 + 𝛽1 ∗ 𝑇𝑉 + 𝛽2 ∗ 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 + 𝛽3 ∗ 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 ∗ 𝑇𝑉 + 𝜖
• = 𝛽0 + 𝛽1 + 𝛽3 ∗ 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑇𝑉 + 𝛽2 ∗ 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 + 𝜖
• = 𝛽0 + 𝛽1 ∗ 𝑇𝑉 + 𝛽2 ∗ 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 + 𝜖
•
𝛽1
‫با‬
𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜
‫تاثیر‬ ‫و‬ ‫میکند‬ ‫تغییر‬
TV
‫ثابت‬ ‫دیگر‬ ‫فروش‬ ‫بر‬
‫مقدار‬ ‫به‬ ‫و‬ ‫نیست‬
𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜
‫دارد‬ ‫بستگی‬ ‫نیز‬
.

15. ‫خطی‬ ‫مدل‬ ‫بسط‬

‫رگرسیون‬ ‫مدل‬ ‫در‬
:
• 𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2 + 𝛽3𝑋1𝑋2
(1
‫اگر‬
𝛽3
‫بین‬ ‫برهمکنش‬ ،‫باشد‬ ‫نداشته‬ ‫صفر‬ ‫با‬ ‫داری‬‫معنی‬ ‫تفاوت‬
𝑋1
‫و‬
𝑋2
‫برای‬
‫توضیح‬
‫تغییرات‬
‫نیست‬ ‫مفید‬ ‫پاسخ‬
.
‫حالت‬ ‫این‬ ‫در‬
‫رابطه‬
‫بین‬
𝑋1
‫و‬
𝑋2
‫افزودنی‬
(
additive
)
‫است‬
.
(2
‫اگر‬
𝛽3
‫که‬ ‫حالی‬ ‫در‬ ‫باشد‬ ‫منفی‬ ‫معناداری‬ ‫طور‬ ‫به‬
𝑋1
‫و‬
𝑋2
‫به‬
‫می‬ ‫تأثیر‬ ‫پاسخ‬ ‫بر‬ ‫نیز‬ ‫تنهایی‬
،‫گذارند‬
‫تعامل‬
‫غیرهمسو‬
(
antagonistic
)
‫شود‬ ‫می‬ ‫نامیده‬
.
(3
‫ضریب‬ ‫اگر‬
𝛽3
‫مثبت‬
‫حالی‬ ‫در‬ ‫باشد‬
‫که‬
𝑋1
‫و‬
𝑋2
‫هم‬ ‫تعامل‬ ‫گاه‬‫آن‬ ،‫گذارند‬‫می‬ ‫تأثیر‬ ‫پاسخ‬ ‫بر‬ ‫نیز‬ ‫تنهایی‬ ‫به‬
‫افزایی‬
(
synergystic
)
‫نامیده‬
‫شود‬‫می‬
.

16. ‫خطی‬ ‫مدل‬ ‫بسط‬
(4
‫دارای‬ ‫تعاملی‬ ‫عبارت‬ ‫یک‬ ‫است‬ ‫ممکن‬
𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒
‫بسیار‬
‫کوچکی‬
‫ب‬ ‫متغیر‬ ‫اینکه‬ ‫بر‬ ‫مبنی‬ ‫است‬ ‫ای‬ ‫نشانه‬ ‫بنابراین‬ ‫و‬ ‫باشد‬
‫مدل‬ ‫در‬ ‫اید‬
،‫شود‬ ‫گنجانده‬
‫اما‬
‫متغیرهای‬ ‫مورد‬ ‫در‬
‫اصلی‬
‫آن‬ ‫با‬ ‫مرتبط‬
(
‫تلویزیون‬
‫و‬
،‫رادیو‬
‫قبل‬ ‫مثال‬ ‫در‬
)
‫چنین‬
‫نباشد‬
.
•
‫سلسله‬ ‫اصل‬
‫مراتب‬
(
Hierarchy principle states
)
‫می‬ ‫بیان‬
‫اگر‬ ‫کند‬
‫یک‬
‫تعامل‬
‫در‬ ‫را‬
‫مدل‬
‫اصلی‬ ‫متغیرهای‬ ‫باید‬ ،‫دهیم‬ ‫قرار‬
‫مرتبط‬
‫را‬
‫اگر‬ ‫حتی‬ ،‫کنیم‬ ‫لحاظ‬ ‫نیز‬
𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒
‫ضرایب‬
‫آنها‬
‫معنی‬ ‫آماری‬ ‫لحاظ‬ ‫از‬
‫نباشد‬ ‫دار‬
.

17. ‫خطی‬ ‫مدل‬ ‫بسط‬

‫مثال‬
2
:
•
‫مختص‬ ‫اثرمتقابل‬ ‫مفهوم‬
«
‫کمی‬ ‫متغیرهای‬
»
‫و‬ ‫نیست‬
‫برای‬
«
‫کیفی‬ ‫متغیرهای‬
»
‫یا‬
«
‫ترکیبی‬
‫و‬ ‫کمی‬ ‫متغیرهای‬ ‫از‬
‫کیف‬
‫ی‬
»
‫استفاده‬ ‫نیز‬
‫شود‬ ‫می‬
.
•
‫دیتاست‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬
«
Credit
»
‫درآمد‬ ‫میزان‬ ‫اساس‬ ‫بر‬ ‫را‬ ‫فرد‬ ‫اعتباری‬ ‫کارت‬ ‫موجودی‬ ‫میخواهیم‬
(
‫کمی‬ ‫متغیر‬
)
‫جنسیت‬ ‫و‬
(
‫متغیر‬
‫کیفی‬
)
‫کنیم‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬
.
•
‫تعاملی‬ ‫عبارت‬ ‫غیاب‬ ‫در‬
‫است‬ ‫زیر‬ ‫فرم‬ ‫دارای‬ ‫مدل‬ ،
:
• 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛𝑐𝑒𝑖 ≈ 𝛽0 + 𝛽1 ∗ 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑒𝑖 +
𝛽2 if ith person is female
0 if ith person is male
• = 𝛽1 ∗ 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑒𝑖 +
𝛽0 + 𝛽2 if ith person is female
𝛽0 if ith person is male
•
‫ها‬ ‫داده‬ ‫با‬ ‫موازی‬ ‫خط‬ ‫دو‬ ‫برازش‬ ‫معنای‬ ‫به‬ ‫این‬ ‫که‬ ‫باشید‬ ‫داشته‬ ‫توجه‬
،‫است‬
‫برای‬ ‫یکی‬
‫و‬ ‫زنان‬
‫برای‬ ‫دیگری‬
‫مردان‬
.
•
‫خط‬
«
‫زنان‬
»
‫مبدا‬ ‫از‬ ‫عرض‬ ‫دارای‬
(
𝛽0 + 𝛽2
)
‫خط‬ ‫و‬
«
‫مردان‬
»
‫مبدا‬ ‫از‬ ‫عرض‬ ‫دارای‬
(
𝛽0
)
‫باشد‬ ‫می‬
.

18. ‫خطی‬ ‫مدل‬ ‫بسط‬

‫مثال‬ ‫ادامه‬
2
:

19. ‫خطی‬ ‫مدل‬ ‫بسط‬

‫ادامه‬
‫مثال‬
2
:
•
‫دارد‬ ‫فرد‬ ‫موجودی‬ ‫میزان‬ ‫بر‬ ‫یکسانی‬ ‫تاثیر‬ ‫مردان‬ ‫و‬ ‫زنان‬ ‫در‬ ‫درآمد‬ ‫افزایش‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫معنی‬ ‫این‬ ‫به‬ ‫خطوط‬ ‫بودن‬ ‫موازی‬
.
•
‫کارت‬ ‫موجودی‬ ‫بر‬ ‫متفاوتی‬ ‫تأثیر‬ ‫است‬ ‫ممکن‬ ‫درآمد‬ ‫در‬ ‫تغییر‬ ‫واقع‬ ‫در‬ ‫زیرا‬ ،‫دهد‬ ‫می‬ ‫نشان‬ ‫را‬ ‫مدل‬ ‫بالقوه‬ ‫محدودیت‬ ‫یک‬ ‫این‬
‫اعتباری‬
‫داشته‬ ‫مرد‬ ‫یک‬ ‫با‬ ‫مقایسه‬ ‫در‬ ‫زن‬ ‫یک‬
‫باشد‬
.
•
‫یک‬ ‫افزودن‬ ‫با‬ ‫توان‬ ‫می‬ ‫را‬ ‫محدودیت‬ ‫این‬
‫متغییر‬
‫ضرب‬ ‫با‬ ‫که‬ ‫تعاملی‬
‫درآمد‬
‫متغیر‬ ‫در‬
‫که‬ ‫شاخصی‬
‫برای‬
‫ایجاد‬ ‫جنسیت‬
‫م‬
،‫شود‬ ‫ی‬
‫کرد‬ ‫برطرف‬
.
•
‫آید‬ ‫درمی‬ ‫زیر‬ ‫فرم‬ ‫به‬ ‫مدل‬
:
• 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛𝑐𝑒𝑖 ≈ 𝛽0 + 𝛽1 ∗ 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑒𝑖 +
𝛽2 + 𝛽3 ∗ 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑒𝑖 if ith person is female
0 if ith person is male
• =
𝛽0 + 𝛽2 + 𝛽1 + 𝛽3 ∗ 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑒𝑖 if ith person is female
𝛽0 + 𝛽1 ∗ 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑒𝑖 if ith person is male
•
‫برای‬ ‫متفاوت‬ ‫رگرسیون‬ ‫خط‬ ‫دو‬ ‫ما‬ ،‫دیگر‬ ‫بار‬
‫اما‬ ،‫داریم‬ ‫مردان‬ ‫و‬ ‫زنان‬
‫اکنون‬
‫خطوط‬
‫رگرسیون‬
‫مبدا‬ ‫از‬ ‫عرض‬
‫شیب‬ ‫همچنین‬ ‫و‬
‫های‬
‫متفاوتی‬
‫دارند‬
.
•
‫تغییرات‬ ‫نتیجه‬ ‫در‬
‫اعتباری‬ ‫کارت‬ ‫موجودی‬ ‫بر‬ ‫متفاوتی‬ ‫طور‬ ‫به‬ ‫است‬ ‫ممکن‬ ‫درآمد‬
‫زنان‬
‫و‬
‫مردان‬
‫بگذارد‬ ‫تأثیر‬
.

20. ‫خطی‬ ‫مدل‬ ‫بسط‬

‫مثال‬ ‫ادامه‬
2
:

21. ‫خطی‬ ‫مدل‬ ‫بسط‬
.B
‫غیر‬ ‫روابط‬
‫خطی‬
:
•
‫خطی‬ ‫رگرسیون‬ ‫مدل‬
‫یک‬
‫کند‬ ‫می‬ ‫فرض‬ ‫را‬ ‫ها‬ ‫کننده‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬ ‫و‬ ‫پاسخ‬ ‫بین‬ ‫خطی‬ ‫رابطه‬
.
‫واقع‬ ‫رابطه‬ ،‫موارد‬ ‫برخی‬ ‫در‬ ‫اما‬
‫بین‬ ‫ی‬
‫باشد‬ ‫خطی‬ ‫غیر‬ ‫است‬ ‫ممکن‬ ‫ها‬ ‫کننده‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬ ‫و‬ ‫پاسخ‬
.
•
‫ها‬ ‫کننده‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬ ‫و‬ ‫پاسخ‬ ‫بین‬ ‫ی‬ ‫رابطه‬ ‫بودن‬ ‫خطی‬ ‫فرض‬ ‫با‬
‫روی‬ ‫بر‬ ‫کننده‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬ ‫واحدی‬ ‫یک‬ ‫تغییر‬ ‫تاثیر‬
‫پاسخ‬
‫به‬ ‫توجه‬ ‫بدون‬ ،
‫ثابت‬ ، ‫کننده‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬ ‫مقدار‬
‫است‬
.

22. ‫خطی‬ ‫مدل‬ ‫بسط‬

‫دیتاست‬
«
Auto
»
:
•
‫تعدادی‬ ‫برای‬
‫خودرو‬
،
mpg
(
‫هر‬ ‫در‬ ‫مصرفی‬ ‫بنزین‬ ‫میزان‬
‫مایل‬
)
‫برابر‬ ‫در‬
horsepower
(
‫بخار‬ ‫اسب‬
)
‫شده‬ ‫داده‬ ‫نشان‬
‫است‬
.
•
‫است‬ ‫خطی‬ ‫رگرسیون‬ ‫برازش‬ ‫دهنده‬ ‫نشان‬ ‫نارنجی‬ ‫خط‬
.
•
‫بین‬ ‫واضح‬ ‫رابطه‬ ‫یک‬
mpg
‫و‬
horsepower
،‫دارد‬ ‫وجود‬
‫نظر‬ ‫به‬ ‫اما‬
‫این‬
‫رابطه‬
«
‫خطی‬ ‫غیر‬
»
‫است‬
.
•
‫داده‬
‫رابطه‬ ‫یک‬ ‫ها‬
«
‫منحنی‬
»
‫دهند‬ ‫می‬ ‫نشان‬ ‫را‬
.

23. ‫خطی‬ ‫مدل‬ ‫بسط‬

‫یک‬
‫برای‬ ‫ساده‬ ‫رویکرد‬
‫نمودن‬ ‫لحاظ‬
«
‫غیرخطی‬ ‫های‬ ‫رابطه‬
»
‫یک‬ ‫در‬
«
‫خطی‬ ‫مدل‬
»
،
‫شده‬‫تبدیل‬ ‫های‬‫نسخه‬ ‫گنجاندن‬
‫است‬ ‫مدل‬ ‫در‬ ‫ها‬‫کننده‬‫بینی‬‫پیش‬
.

‫عنوان‬ ‫به‬
‫مثال‬
:
•
‫نقاط‬ ‫که‬ ‫رسد‬ ‫می‬ ‫نظر‬ ‫به‬
‫در‬
‫دیتاست‬
«
Auto
»
‫شکل‬
‫بهتری‬ ‫تناسب‬ ‫است‬ ‫ممکن‬ ‫زیر‬ ‫فرم‬ ‫با‬ ‫مدلی‬ ‫دهد‬ ‫می‬ ‫نشان‬ ‫که‬ ،‫دارند‬ ‫دوم‬ ‫درجه‬
‫ارائه‬ ‫را‬
‫دهد‬
:
mpg = 𝛽0 + 𝛽1 ∗ horsepower + 𝛽2 ∗ horsepower2 + 𝜖
•
‫است‬ ‫خطی‬ ‫مدل‬ ‫یک‬ ‫هنوز‬ ‫باال‬ ‫مدل‬
!
‫را‬ ‫آن‬ ‫میتوان‬ ‫چون‬
‫یک‬
‫چندگانه‬ ‫خطی‬ ‫رگرسیون‬ ‫مدل‬
‫با‬
𝑋1 = horsepower
‫و‬
𝑋2
= horsepower2
‫گرفت‬ ‫نظر‬ ‫در‬
.
•
‫از‬ ‫منظور‬ ‫که‬ ‫باشید‬ ‫داشته‬ ‫توجه‬
«
‫بودن‬ ‫خطی‬
»
‫خطی‬ ‫رگرسیون‬ ‫در‬
‫ضرایب‬ ‫به‬ ‫نسبت‬ ‫رگرسیون‬ ‫معادله‬ ‫بودن‬ ‫خطی‬ ،
𝛽𝑖
‫باشد‬ ‫می‬
.

24. ‫خطی‬ ‫مدل‬ ‫بسط‬

‫شکل‬ ‫در‬ ‫آبی‬ ‫منحنی‬
،
‫برازش‬
‫دهد‬ ‫می‬ ‫نشان‬ ‫ها‬ ‫داده‬ ‫با‬ ‫را‬ ‫حاصل‬ ‫دوم‬ ‫درجه‬
.
•
𝑅2
‫برازش‬
‫دوم‬ ‫درجه‬
0.688
‫است‬
‫با‬ ‫مقایسه‬ ‫در‬ ،
0.606
‫برای‬
‫برازش‬
‫خطی‬
.
•
p − value
‫برای‬
‫معنادار‬ ‫بسیار‬ ‫دوم‬ ‫درجه‬ ‫عبارت‬
‫است‬
:
•
‫رسد‬ ‫می‬ ‫نظر‬ ‫به‬
‫درجه‬ ‫برازش‬ ‫که‬
‫از‬ ‫بهتر‬ ‫ای‬ ‫مالحظه‬ ‫قابل‬ ‫طور‬ ‫به‬ ‫دوم‬
‫عبارت‬
‫خطی‬
‫است‬
.

25. ‫خطی‬ ‫مدل‬ ‫بسط‬

‫برای‬ ‫که‬ ‫رویکردی‬
‫بسط‬
«
‫خطی‬ ‫مدل‬
»
‫تطبیق‬ ‫برای‬ ،
«
‫خطی‬ ‫غیر‬ ‫روابط‬
»
‫چن‬ ‫رگرسیون‬ ‫عنوان‬ ‫به‬ ‫کردیم‬ ‫انتخاب‬
‫ای‬ ‫جمله‬ ‫د‬
(
polynomial regression
)
‫گنج‬ ‫رگرسیون‬ ‫مدل‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫ها‬ ‫کننده‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬ ‫ای‬ ‫جمله‬ ‫چند‬ ‫توابع‬ ‫زیرا‬ ،‫شود‬ ‫می‬ ‫شناخته‬
‫انده‬
‫ایم‬
.

‫ای‬ ‫چندجمله‬ ‫رگرسیون‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫باشید‬ ‫داشته‬ ‫توجه‬
:
•
‫فقط‬ ‫توانیم‬ ‫می‬
‫پیش‬
‫بینی‬
‫کننده‬
(
𝑥
)
‫را‬
‫تبدیل‬
‫کنیم‬
.
•
‫فقط‬ ‫توانیم‬ ‫می‬
‫پاسخ‬
(
𝑦
)
‫دهیم‬ ‫تغییر‬ ‫را‬
.
•
‫هم‬ ‫میتوانیم‬
‫پیش‬
‫کننده‬ ‫بینی‬
(
𝑥
)
‫و‬
‫هم‬
‫پاسخ‬
(
𝑦
)
‫تبدیل‬ ‫را‬
‫کنیم‬
.