This file is a part of the Inferential Statistics course presented at faculty of management at University of Tehran. It is suitable for teaching/learning in three to four sessions.

1. ‫استنباطی‬ ‫آمار‬
‫آزمون‬‫فرضیه‬
‫تهران‬ ‫دانشگاه‬ ‫مدیریت‬ ‫دانشکده‬
‫بهار‬1394
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
1

2. ‫فرض‬ ‫آزمون‬(Hypothesis Testing)
‫است‬ ‫موقعیت‬ ‫یک‬ ‫خصوص‬ ‫در‬ ‫محقق‬ ‫زیرکانه‬ ‫حدس‬ ‫فرض‬.
‫و‬ ‫است‬ ‫گیری‬ ‫نمونه‬ ‫های‬ ‫داده‬ ‫از‬ ‫آمده‬ ‫بدست‬ ‫اطالعات‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬ ‫محقق‬ ‫فرض‬ ‫سنجش‬ ‫و‬ ‫آزمون‬ ،‫آماری‬ ‫فرض‬ ‫آزمون‬ ‫هدف‬
‫نماییم‬ ‫می‬ ‫بررسی‬ ‫را‬ ‫فرض‬ ‫رد‬ ‫امکان‬ ‫عدم‬ ‫یا‬ ‫و‬ ‫رد‬.
‫بودن‬ ‫دار‬ ‫معنی‬ ‫سطح‬ ‫لذا‬ ،‫گردد‬ ‫می‬ ‫بررسی‬ ‫اطمینان‬ ‫از‬ ‫مشخصی‬ ‫سطح‬ ‫با‬ ‫آزمونی‬ ‫هر‬ ‫که‬ ‫آنجایی‬ ‫از‬(significant level)
‫است‬ ‫اهمیت‬ ‫دارای‬ ‫ها‬ ‫تفاوت‬.‫یا‬ ‫خطا‬ ‫درصد‬ ‫همان‬ ‫داری‬ ‫معنی‬ ‫سطح‬𝛼‫است‬.
‫مثال‬)‫یک‬‫مهندس‬‫وعده‬‫داده‬‫است‬‫خانه‬‫ای‬‫را‬‫ظرف‬‫مدت‬9‫ماه‬‫آماده‬‫و‬‫تحویل‬‫می‬‫دهد‬.‫اگر‬‫زمان‬‫تحویل‬9‫ماه‬‫و‬‫یک‬‫هفته‬
،‫گردد‬‫از‬‫شما‬‫پرسیده‬‫می‬‫شود‬‫که‬‫زمان‬‫تحویل‬9‫ماه‬‫بوده‬‫است؟‬‫شما‬‫ممکن‬‫است‬‫پاسخ‬‫دهید‬‫بلی‬.‫ولیکن‬‫به‬‫لحاظ‬‫آماری‬
‫بایستی‬‫بگوییم‬‫تفاوت‬‫فاحش‬‫یا‬‫معنی‬‫داری‬‫بین‬‫زمان‬‫واقعی‬‫و‬‫زمان‬‫وعده‬‫داده‬‫شده‬‫وجود‬‫ندارد‬.‫سطح‬‫معنی‬‫داری‬‫چیزی‬
‫است‬‫که‬‫محقق‬‫پیش‬‫از‬‫انجام‬‫آزمون‬‫معین‬‫می‬‫نماید‬.
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
2

3. ‫پوچ‬ ‫فرض‬(null hypothesis)‫مقابل‬ ‫فرض‬ ‫و‬(alternative)
‫ما‬ ‫ذهن‬ ‫در‬ ‫فرض‬ ‫دو‬ ‫لذا‬ ،‫غلط‬ ‫یا‬ ‫است‬ ‫درست‬ ‫یا‬ ‫ادعا‬ ‫این‬ ،‫کند‬ ‫می‬ ‫جمعیت‬ ‫پارامتر‬ ‫خصوص‬ ‫در‬ ‫ادعایی‬ ‫محقق‬ ‫که‬ ‫زمانی‬‫بوجود‬
‫آید‬ ‫می‬.‫نامند‬ ‫می‬ ‫آماری‬ ‫فرض‬ ‫آزمون‬ ‫را‬ ‫فرض‬ ‫دو‬ ‫از‬ ‫یکی‬ ‫انتخاب‬ ‫فرایند‬.
‫مثال‬)‫از‬ ‫بیشتر‬ ‫کشور‬ ‫در‬ ‫بیکاران‬ ‫نسبت‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫نموده‬ ‫ادعا‬ ‫محققی‬50%‫است‬.‫نمونه‬ ‫یک‬ ‫منظور‬ ‫بدین‬400‫انتخاب‬ ‫نفری‬
‫که‬ ‫کرد‬ ‫مشاهده‬ ‫و‬ ‫نمود‬180‫اند‬ ‫بوده‬ ‫بیکار‬ ‫آنان‬ ‫نفر‬(0.45.)‫خطای‬ ‫سطح‬ ‫در‬5%‫خیر؟‬ ‫یا‬ ‫پذیرید‬ ‫می‬ ‫را‬ ‫وی‬ ‫ادعای‬
‫جواب‬:‫دارد‬ ‫وجود‬ ‫ممکن‬ ‫فرض‬ ‫دو‬:
𝐻0: 𝑝 ≤ 0.5
𝐻1: 𝑝 > 0.5
‫فرض‬ ‫همواره‬ ‫ما‬ ‫آماری‬ ‫فرض‬ ‫آزمون‬ ‫در‬𝐻0‫فرض‬ ‫منظور‬ ‫همین‬ ‫به‬ ‫و‬ ‫نماییم‬ ‫می‬ ‫بررسی‬ ‫را‬𝐻0‫مرز‬ ‫یک‬ ‫دارای‬ ‫بایستی‬
‫مشخص‬(‫مساوی‬ ‫عالمت‬)‫باشد‬.‫فرض‬ ‫یا‬ ‫ما‬ ‫لذا‬𝐻0‫رد‬ ‫برای‬ ‫کافی‬ ‫شواهد‬ ‫یا‬ ‫و‬ ‫کنیم‬ ‫می‬ ‫رد‬ ‫را‬𝐻0‫ندارد‬ ‫وجود‬.‫دو‬ ‫این‬ ‫از‬
‫فرض‬ ‫خصوص‬ ‫در‬ ‫حالت‬𝐻1‫کنیم‬ ‫گیری‬ ‫تصمیم‬ ‫توانیم‬ ‫می‬ ‫نیز‬.
‫در‬ ‫است‬ ‫ممکن‬ ‫ادعا‬ ،‫ادعا‬ ‫بیان‬ ‫نوع‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬ ‫لذا‬𝐻0‫یا‬ ‫و‬𝐻1‫بگیرد‬ ‫قرار‬.
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
3

4. ‫دنباله‬ ‫دو‬ ‫و‬ ‫دنباله‬ ‫یک‬ ‫های‬ ‫فرضیه‬
‫یک‬ ‫های‬ ‫آزمون‬ ‫و‬ ‫ها‬ ‫فرضیه‬ ،‫گردند‬ ‫می‬ ‫استفاده‬ ‫مساوی‬ ‫کوچکتر‬ ‫و‬ ‫مساوی‬ ‫بزرگتر‬ ‫های‬ ‫عالمت‬ ‫آنها‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫مسائلی‬‫نام‬ ‫دنباله‬
‫گیرند‬ ‫می‬(‫قبلی‬ ‫مثال‬ ‫مانند‬)‫می‬ ‫استفاده‬ ‫تساوی‬ ‫عدم‬ ‫و‬ ‫تساوی‬ ‫عالمت‬ ‫از‬ ‫ها‬ ‫فرضیه‬ ‫نوشتن‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫مسائلی‬ ‫و‬‫های‬ ‫آزمون‬ ،‫شود‬
‫گیرند‬ ‫می‬ ‫نام‬ ‫دنباله‬ ‫دو‬.
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
4

5. ‫مثال‬
‫الف‬:‫برابر‬ ‫کشور‬ ‫یک‬ ‫مردم‬ ‫سن‬ ‫میانگین‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫شده‬ ‫ادعا‬ ‫تحقیقی‬ ‫در‬35‫است‬.
𝐻0: 𝜇 𝑥 = 35
𝐻1: 𝜇 𝑥 ≠ 35
‫ب‬:‫از‬ ‫بیشتر‬ ‫کشور‬ ‫یک‬ ‫مردم‬ ‫سن‬ ‫میانگین‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫شده‬ ‫ادعا‬ ‫تحقیقی‬ ‫در‬35‫است‬.
𝐻0: 𝜇 𝑥 ≤ 35
𝐻1: 𝜇 𝑥 > 35
‫ج‬:‫از‬ ‫کمتر‬ ‫کشور‬ ‫یک‬ ‫مردم‬ ‫سن‬ ‫میانگین‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫شده‬ ‫ادعا‬ ‫تحقیقی‬ ‫در‬35‫است‬.
𝐻0: 𝜇 𝑥 ≥ 35
𝐻1: 𝜇 𝑥 < 35
‫خطای‬ ‫سطح‬ ‫و‬ ‫نرمال‬ ‫نمودار‬ ‫روی‬ ‫از‬10%‫دهید‬ ‫نمایش‬ ‫را‬ ‫باال‬ ‫های‬ ‫فرضیه‬ ،.
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
5

6. ‫آزمون‬ ‫آماره‬(test statistic)
‫آماره‬‫آزمون‬‫همان‬‫متغیر‬‫استاندارد‬‫است‬‫که‬‫با‬‫فرض‬‫نرمال‬‫بودن‬‫توزیع‬‫جمعیت‬‫برای‬‫شاخص‬‫میانگین‬‫بصورت‬‫ز‬‫یر‬‫می‬
‫نوشتیم‬:
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎𝑥
‫یادآوری‬:‫با‬‫توجه‬‫به‬‫نرمال‬‫بودن‬،‫جمعیت‬‫تعداد‬‫نمونه‬‫و‬‫معین‬‫بودن‬‫انحراف‬‫معیار‬‫جمعیت‬‫در‬‫خصوص‬‫آماره‬‫آزمون‬‫تص‬‫میم‬
‫گیری‬‫می‬‫کردیم‬‫و‬‫در‬‫نتیجه‬‫از‬‫متغیر‬‫نرمال‬‫استاندارد‬‫و‬‫یا‬‫آماره‬t-student‫استفاده‬‫می‬‫کنیم‬(‫ضمن‬‫اینکه‬‫توزیع‬‫های‬
‫دیگری‬‫همچون‬‫کای‬‫دو‬‫و‬‫فیشر‬‫نیز‬‫وجود‬‫دارند‬‫که‬‫در‬‫این‬‫دوره‬‫به‬‫آنها‬‫اشاره‬‫نکرده‬‫ایم‬).
‫مقدار‬‫بحرانی‬(critical value):‫همان‬‫مقادیر‬‫از‬‫عدد‬‫نرمال‬‫یا‬‫آماره‬t‫که‬‫بر‬‫اساس‬‫سطح‬‫اطمینان‬‫یا‬‫سطح‬‫خطا‬(𝛼)
‫مشخص‬‫می‬‫گردند‬.
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
6

7. ‫آماری‬ ‫فرض‬ ‫آزمون‬ ‫عمومی‬ ‫مراحل‬
‫اول‬ ‫مرحله‬:‫مقابل‬ ‫فرض‬ ‫و‬ ‫پوچ‬ ‫آماری‬ ‫های‬ ‫فرضیه‬ ‫تعریف‬
‫دوم‬ ‫مرحله‬:‫استفاده‬ ‫مورد‬ ‫آماره‬ ‫نوع‬ ‫و‬ ‫آماره‬ ‫گیری‬ ‫نمونه‬ ‫توزیع‬ ‫تعیین‬
‫سوم‬ ‫مرحله‬:‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫و‬ ‫بحرانی‬ ‫مقدار‬ ‫ی‬ ‫محاسبه‬
‫چهارم‬ ‫مرحله‬:‫گیری‬ ‫تصمیم‬ ‫و‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫و‬ ‫بحرانی‬ ‫مقدار‬ ‫مقایسه‬
‫اگر‬‫آماره‬‫آزمون‬‫در‬‫ناحیه‬‫پذیرش‬𝐻0‫قرار‬‫گیرد‬‫گفته‬‫می‬‫شود‬‫که‬‫در‬‫سطح‬‫اطمینان‬‫مورد‬‫نظر‬‫دلیل‬‫کافی‬‫برا‬‫ی‬
‫پذیرش‬𝐻0‫وجود‬،‫دارد‬‫در‬‫غیر‬‫اینصورت‬‫فرض‬𝐻0‫رد‬‫شده‬‫و‬𝐻0‫در‬‫سطح‬‫خطای‬𝛼‫درصد‬‫پذیرفته‬‫می‬‫شود‬.
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
7

8. ‫رویکرد‬p-value
‫رویکرد‬‫قبلی‬‫که‬‫در‬‫آزمون‬‫فرض‬‫استفاده‬،‫شد‬‫رویکرد‬‫مقدار‬‫بحرانی‬‫نام‬‫دارد‬.
P-value‫حداقل‬‫مقدار‬‫احتمالی‬‫است‬‫که‬‫حاضریم‬‫برای‬‫پذیرش‬𝐻0‫تحمل‬‫کنیم‬.‫به‬p-value‫سطح‬‫معنی‬‫داری‬‫مشاهده‬
‫شده‬‫نیز‬‫می‬‫گویند‬.
‫مقدار‬‫احتمالی‬‫است‬‫که‬‫هرچقدر‬‫کوچکتر‬،‫باشد‬‫یعنی‬‫شواهد‬‫بیشتری‬‫بر‬‫علیه‬𝐻0‫وجود‬‫دارد‬.‫در‬‫نتیجه‬‫جهت‬‫رد‬‫یا‬‫عدم‬‫رد‬
𝐻0‫بکار‬‫می‬‫رود‬.
P-value‫در‬‫مثال‬‫قبل‬‫توجه‬‫نمایید‬‫که‬𝑝 𝑧 > 1.89‫و‬𝑝(𝑧 < −1.89)‫چقدر‬‫است‬.‫این‬‫مقدار‬‫از‬‫روی‬‫جدول‬
‫نرمال‬‫استاندارد‬‫بدست‬‫می‬‫آید‬.‫هریک‬‫از‬‫طرفین‬‫برابر‬0.0294،‫است‬‫در‬‫نتیجه‬‫مجموع‬‫دو‬‫طرف‬‫برابر‬0.0588‫می‬‫گردد‬.
‫مقدار‬P-value‫را‬‫نشان‬‫می‬‫دهد‬.
‫کلی‬ ‫قاعده‬:𝒊𝒇 𝒑 − 𝒗𝒂𝒍𝒖𝒆 ≤ 𝜶 ↔ 𝒓𝒆𝒋𝒆𝒄𝒕 𝑯 𝟎
‫مفهوم‬ ‫شکل‬ ‫روی‬ ‫از‬p-value‫کنید‬ ‫تشریح‬ ‫خود‬ ‫برای‬ ‫را‬.
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
8

9. ‫مثال‬-‫دنباله‬ ‫یک‬ ‫آزمون‬
‫از‬ ‫بیشتر‬ ‫فرض‬ ‫توان‬ ‫می‬ ‫آیا‬ ،‫معدنی‬ ‫آب‬ ‫مثال‬ ‫در‬0.5‫خطای‬ ‫سطح‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫معدنی‬ ‫آب‬ ‫حجم‬ ‫بودن‬5%‫پذیرفت؟‬
𝐻0: 𝜇 𝑥 ≤ 0.5
𝐻1: 𝜇 𝑥 > 0.5
‫جواب‬:‫مقدار‬ ‫همان‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬1.89‫ماند‬ ‫می‬.‫کند‬ ‫می‬ ‫تغییر‬ ‫بحرانی‬ ‫نقطه‬ ‫ولیکن‬.
‫اطمینان‬ ‫با‬ ‫نتیجه‬ ‫در‬ ،‫گیرد‬ ‫می‬ ‫قرار‬ ‫بحرانی‬ ‫قسمت‬ ‫در‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬95%‫میانگین‬
‫از‬ ‫بیشتر‬ ‫ها‬ ‫معدنی‬ ‫آب‬ ‫حجم‬0.5‫است‬ ‫لیتر‬.
𝑧0.95 = 1.64
‫آماره‬ ‫آزمون‬ > 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 → 𝐻0 𝑟𝑒𝑗𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑
‫روش‬ ‫به‬p-value‫نمایید‬ ‫بررسی‬ ‫را‬ ‫نتایج‬ ‫نیز‬.
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
9

10. ‫مثال‬-‫باشد‬ ‫نامعلوم‬ ‫جمعیت‬ ‫معیار‬ ‫انحراف‬
‫مردم‬ ‫مالیات‬ ‫سرانه‬ ‫پرداخت‬ ‫میانگین‬ ‫اینکه‬ ‫فرض‬ ‫با‬ ‫امریکا‬ ‫های‬ ‫ایالت‬ ‫از‬ ‫یکی‬ ‫ساالنه‬ ‫بودجه‬30‫شده‬ ‫تعیین‬ ،‫باشد‬ ‫دالر‬ ‫هزار‬
‫است‬.،‫موضوع‬ ‫این‬ ‫بررسی‬ ‫منظور‬ ‫به‬ ‫مجلس‬ ‫بودجه‬ ‫کمیسیون‬16‫سرانه‬ ‫میانگین‬ ‫مقدار‬ ‫و‬ ‫نموده‬ ‫انتخاب‬ ‫تصادف‬ ‫بطور‬ ‫را‬ ‫سال‬
‫است‬ ‫آورده‬ ‫بدست‬ ‫را‬ ‫مالیات‬.‫خطای‬ ‫لحاظ‬ ‫با‬5%‫پذیرید؟‬ ‫می‬ ‫را‬ ‫ساالنه‬ ‫بودجه‬ ‫تنظیم‬ ‫فرض‬
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
10

11. ‫ادامه‬...
‫اول‬ ‫گام‬:‫فرضیه‬ ‫نوشتن‬
𝐻0: 𝜇 𝑥 = 30000
𝐻1: 𝜇 𝑥 ≠ 30000
‫دوم‬ ‫گام‬:‫تخمین‬ ‫از‬ ‫است‬ ‫نامعلوم‬ ‫معیار‬ ‫انحراف‬ ‫چون‬ ‫و‬ ‫بوده‬ ‫نرمال‬ ‫جمعیت‬ ‫آماره؛‬ ‫نوع‬ ‫و‬ ‫گیری‬ ‫نمونه‬ ‫توزیع‬ ‫تعیین‬‫آن‬ ‫ای‬ ‫نقطه‬
‫از‬ ‫کمتر‬ ‫ها‬ ‫نمونه‬ ‫تعداد‬ ‫اینکه‬ ‫ضمن‬ ‫و‬ ‫کرده‬ ‫استفاده‬30‫توزیع‬ ‫از‬ ‫لذا‬ ‫تاست‬t-student‫کنیم‬ ‫می‬ ‫استفاده‬:
‫سوم‬ ‫گام‬:‫آزمون؛‬ ‫آماره‬ ‫و‬ ‫بحرانی‬ ‫مقدار‬ ‫تعیین‬
𝑡0.025,15 = ±2.1315(‫بحرانی‬ ‫مقدار‬)
𝑡 =
21750−30000
17815.72
16
= −1.8523(‫آزمون‬ ‫آماره‬)
‫چهارم‬ ‫گام‬:‫گیری‬ ‫تصمیم‬:‫قسمت‬ ‫در‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫چون‬𝐻0،‫گیرد‬ ‫می‬ ‫قرار‬𝐻0‫شود‬ ‫نمی‬ ‫رد‬.
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
11

12. ‫مثال‬
‫ک‬ ‫مردم‬ ‫سرانه‬ ‫ساالنه‬ ‫مالیات‬ ‫پرداخت‬ ‫میانگین‬ ،‫میشد‬ ‫گفته‬ ‫سوال‬ ‫صورت‬ ‫در‬ ‫که‬ ،‫نمایید‬ ‫فرض‬ ‫قبل‬ ‫مثال‬ ‫در‬‫از‬ ‫متر‬30000$
‫است‬.‫داشتیم‬ ‫آنگاه‬:
‫اول‬ ‫گام‬:‫فرضیه‬ ‫نوشتن‬
𝐻0: 𝜇 𝑥 ≥ 30000
𝐻1: 𝜇 𝑥 < 30000
‫دوم‬ ‫گام‬:‫تخمین‬ ‫از‬ ‫است‬ ‫نامعلوم‬ ‫معیار‬ ‫انحراف‬ ‫چون‬ ‫و‬ ‫بوده‬ ‫نرمال‬ ‫جمعیت‬ ‫آماره؛‬ ‫نوع‬ ‫و‬ ‫گیری‬ ‫نمونه‬ ‫توزیع‬ ‫تعیین‬‫آن‬ ‫ای‬ ‫نقطه‬
‫از‬ ‫کمتر‬ ‫ها‬ ‫نمونه‬ ‫تعداد‬ ‫اینکه‬ ‫ضمن‬ ‫و‬ ‫کرده‬ ‫استفاده‬30‫توزیع‬ ‫از‬ ‫لذا‬ ‫تاست‬t-student‫کنیم‬ ‫می‬ ‫استفاده‬:
‫سوم‬ ‫گام‬:‫آزمون؛‬ ‫آماره‬ ‫و‬ ‫بحرانی‬ ‫مقدار‬ ‫تعیین‬
𝑡0.05,15 = −1.753(‫بحرانی‬ ‫مقدار‬)
𝑡 =
21750−30000
17815.72
16
= −1.8523(‫آزمون‬ ‫آماره‬)
‫چهارم‬ ‫گام‬:‫قسمت‬ ‫در‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫گیری؛‬ ‫تصمیم‬𝐻1،‫گیرد‬ ‫می‬ ‫قرار‬𝐻0‫رد‬‫می‬‫شود‬.
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
12

13. ‫تمرین‬
‫روش‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬ ‫را‬ ‫قبل‬ ‫مثال‬P-value‫نمایید‬ ‫حل‬(‫زمانی‬ ‫فرجه‬:‫بعد‬ ‫جلسه‬)
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
13

14. ‫جمعیت‬ ‫یک‬ ‫موفقیت‬ ‫نسبت‬ ‫فرض‬ ‫آزمون‬
‫هستند‬ ‫تبیین‬ ‫قابل‬ ‫حالت‬ ‫سه‬ ‫به‬ ‫آماری‬ ‫های‬ ‫فرضیه‬ ‫نیز‬ ‫اینجا‬ ‫در‬ ،‫گردید‬ ‫مطرح‬ ‫میانگین‬ ‫برای‬ ‫که‬ ‫همانطور‬:
𝐻0: 𝑝 ≤ 𝑝0
𝐻1: 𝑝 > 𝑝0
𝐻0: 𝑝 ≥ 𝑝0
𝐻1: 𝑝 < 𝑝0
𝐻0: 𝑝 = 𝑝0
𝐻1: 𝑝 ≠ 𝑝0
‫شرط‬ ‫بودن‬ ‫برقرار‬ ‫صورت‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫داریم‬ ‫بخاطر‬𝑛.𝑝,𝑛.𝑞 ≥ 5‫نماییم‬ ‫استفاده‬ ‫نرمال‬ ‫توزیع‬ ‫از‬ ‫توانستیم‬ ‫می‬.
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
14

15. ‫موفقیت‬ ‫نسبت‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬
‫است‬ ‫زیر‬ ‫عبارت‬ ‫برابر‬ ‫توزیع‬ ‫معیار‬ ‫انحراف‬ ،‫موفقیت‬ ‫نسبت‬ ‫آزمون‬ ‫در‬ ‫اینکه‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬:
𝜎 𝑝 =
𝑝0 × (1 − 𝑝 𝑜)
𝑛
‫از‬ ‫عبارتست‬ ‫جمعیت‬ ‫یک‬ ‫موفقیت‬ ‫نسبت‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ،‫نتیجه‬ ‫در‬(‫بودن‬ ‫نرمال‬ ‫فرض‬ ‫با‬:)
𝑧 =
𝑝 − 𝑝0
𝑝0 × (1 − 𝑝 𝑜)
𝑛
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
15

16. ‫آموزشی‬ ‫مثال‬
‫که‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫نموده‬ ‫ادعا‬ ‫محققی‬25%‫هستند‬ ‫متاهل‬ ‫المپیک‬ ‫های‬ ‫بازی‬ ‫خانم‬ ‫ورزشکاران‬ ‫از‬.400‫آنها‬ ‫میان‬ ‫از‬ ‫و‬ ‫ایم‬ ‫نموده‬ ‫انتخاب‬ ‫را‬ ‫خانم‬ ‫بازیکن‬100‫نفر‬
‫اند‬ ‫بوده‬ ‫متاهل‬.‫خطای‬ ‫سطح‬ ‫در‬5%‫کنید‬ ‫بررسی‬ ‫را‬ ‫محقق‬ ‫ادعای‬.
‫اول‬ ‫گام‬:‫ها‬ ‫فرضیه‬ ‫نوشتن‬
𝐻0: 𝑝 = 0.20
𝐻1: 𝑝 ≠ 0.20
‫دوم‬ ‫گام‬:‫نمونه‬ ‫در‬ ‫موفقیت‬ ‫نسبت‬ ‫اینکه‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬ ‫گیری؛‬ ‫نمونه‬ ‫توزیع‬ ‫تعیین‬0.25‫شرط‬ ‫و‬ ‫بوده‬𝑛.𝑝,𝑛.𝑞 ≥ 5‫می‬ ‫استفاده‬ ‫نرمال‬ ‫توزیع‬ ‫از‬ ،‫است‬ ‫برقرار‬
‫کنیم‬.
‫سوم‬ ‫گام‬:‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫و‬ ‫بحرانی‬ ‫نقاط‬ ‫تعیین‬
𝑧0.025 = ±1.96
𝑧 =
0.25 − 0.2
0.2 × (1 − 0.2)
400
= 2.5
‫چهارم‬ ‫گام‬:‫قسمت‬ ‫در‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫گیری؛‬ ‫تصمیم‬𝐻1‫گردد‬ ‫می‬ ‫رد‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫لذا‬ ،‫است‬ ‫گرفته‬ ‫قرار‬.
‫نمایید‬ ‫بررسی‬ ‫را‬ ‫مسائل‬ ‫کتاب‬ ‫های‬ ‫مثال‬ ‫روی‬ ‫از‬ ‫دنباله‬ ‫یک‬ ‫های‬ ‫حالت‬ ‫برای‬.
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
16

17. ‫مثال‬-‫دنباله‬ ‫یک‬ ‫آزمون‬
‫نمایید‬ ‫بررسی‬ ‫ذیل‬ ‫های‬ ‫فرضیه‬ ‫لحاظ‬ ‫با‬ ‫را‬ ‫قبل‬ ‫مثال‬:
𝐻0: 𝑝 ≤ 0.20
𝐻1: 𝑝 > 0.20
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
17

18. ‫جمعیت‬ ‫دو‬ ‫میانگین‬ ‫آزمون‬
‫دوجمع‬ ‫به‬ ‫مربوط‬ ‫مالحظات‬ ‫برخی‬ ‫تنها‬ ‫و‬ ‫کنیم‬ ‫می‬ ‫عمل‬ ‫جمعیت‬ ‫یک‬ ‫میانگین‬ ‫آزمون‬ ‫مشابه‬ ‫بسیار‬ ‫نیز‬ ‫اینجا‬ ‫در‬‫لحاظ‬ ‫بودن‬ ‫یت‬
‫گردد‬ ‫می‬(‫جمعیت‬ ‫دو‬ ‫فاصله‬ ‫تخمین‬ ‫مشابه‬:)
𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = 𝐷0
𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 𝐷0
𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 𝐷0
𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 > 𝐷0
𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 ≥ 𝐷0
𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 < 𝐷0
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
18

19. ‫دوجمعیت‬ ‫میانگین‬ ‫آزمون‬-‫مثال‬
‫کنیم‬ ‫مقایسه‬ ‫میخواهیم‬ ‫را‬ ‫ب‬ ‫و‬ ‫الف‬ ‫کالس‬ ‫آموزشی‬ ‫نمره‬ ‫میانگین‬.‫کالس‬ ‫دو‬ ‫افراد‬ ‫کل‬ ‫های‬ ‫نمره‬ ‫معیار‬ ‫انحراف‬ ،‫کنید‬ ‫فرض‬‫دو‬ ‫هر‬10
‫باشد‬.‫بترتیب‬ ‫دوکالس‬ ‫از‬30‫و‬40‫بترتیب‬ ‫نیز‬ ‫کالس‬ ‫دو‬ ‫در‬ ‫افراد‬ ‫این‬ ‫نمرات‬ ‫میانگین‬ ‫که‬ ‫شدند‬ ‫انتخاب‬ ‫نفر‬82‫و‬78‫است‬ ‫بوده‬.‫سطح‬ ‫در‬
‫خطای‬5%‫پذیرید؟‬ ‫می‬ ‫نرمال‬ ‫توزیع‬ ‫از‬ ‫ها‬ ‫نمره‬ ‫پیروی‬ ‫فرض‬ ‫با‬ ‫را‬ ‫کالس‬ ‫دو‬ ‫آموزشی‬ ‫نمره‬ ‫برابری‬
‫الف‬:‫فرضیه‬ ‫نوشتن‬
𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = 0
𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 0
‫ب‬:‫توزیع‬ ‫از‬ ‫لذا‬ ‫معلومند‬ ‫نیز‬ ‫معیارها‬ ‫انحراف‬ ،‫نرمال‬ ‫جمعیت‬ ‫دو‬ ‫گیری؛‬ ‫نمونه‬ ‫توزیع‬ ‫تعیین‬z،‫کنیم‬ ‫می‬ ‫استفاده‬(‫بودن‬ ‫معین‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬
‫توزیع‬ ‫از‬ ‫باز‬ ‫هم‬ ‫کرد‬ ‫نمی‬ ‫اشاره‬ ‫بودن‬ ‫نرمال‬ ‫به‬ ‫مساله‬ ‫اگر‬ ‫حتی‬ ‫نمونه‬ ‫تعداد‬ ‫و‬ ،‫معیارها‬ ‫انحراف‬z‫میکردیم‬ ‫استفاده‬)
‫ج‬:‫بحرانی‬ ‫مقدار‬ ‫و‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫محاسبه‬
𝑧 =
𝑥1 − 𝑥2 − (𝐷0)
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎1
2
𝑛2
=
82 − 78 − 0
102
30
+
102
40
= 1.66 𝑧0.05
2
= ±1.96
‫د‬:‫ناحیه‬ ‫در‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬𝐻0‫اطمینان‬ ‫با‬ ‫درنتیجه‬ ‫است‬ ‫گرفته‬ ‫قرار‬95%‫شود‬ ‫نمی‬ ‫رد‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬.
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
19

20. ‫جمعیت‬ ‫دو‬ ‫میانگین‬ ‫آزمون‬-‫مثال‬
‫می‬‫خواهیم‬‫متوسط‬‫زمان‬‫اتمام‬‫یک‬‫پروژه‬‫را‬‫با‬‫استفاده‬‫یک‬‫تکنولوژی‬‫جدید‬‫و‬‫تکنولوژی‬‫فعلی‬‫مقایسه‬‫نمای‬‫یم‬.‫مشاور‬‫پروژه‬
‫عالقه‬‫مند‬‫است‬‫که‬‫نشان‬‫دهد‬‫استفاده‬‫از‬‫تکنولوژی‬‫جدید‬‫منجر‬‫به‬‫کاهش‬‫زمان‬‫اتمام‬‫پروژه‬‫می‬‫شود‬.‫فرض‬‫کنید‬‫قابلیت‬‫شبیه‬
‫سازی‬‫زمان‬‫اتمام‬‫پروژه‬‫را‬‫با‬‫لحاظ‬‫هر‬‫دو‬‫تکنولوژی‬‫داشتیم‬‫و‬‫با‬12‫بار‬‫شبیه‬‫سازی‬‫برای‬‫هریک‬‫از‬‫دو‬،‫تکنولوژی‬‫متوسط‬
‫زمان‬‫اتمام‬‫پروژه‬‫با‬‫تکنولوژی‬‫فعلی‬325‫و‬‫با‬‫تکنولوژی‬‫جدید‬280‫ساعت‬‫و‬‫بترتیب‬‫با‬‫انحراف‬‫معیار‬40‫و‬44‫بدست‬‫آمده‬
‫است‬.‫با‬‫سطح‬‫خطای‬5%‫فرضیه‬‫مشاور‬‫را‬‫بررسی‬‫نمایید‬(‫توزیع‬‫پارامتر‬‫جمعیت‬‫ها‬‫نرمال‬‫فرض‬‫شوند‬)
‫الف‬:‫نوشتن‬‫فرضیه‬
𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 0 ‫یا‬ 𝜇1 ≤ 𝜇2
𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 > 0 ‫یا‬ 𝜇1 > 𝜇2
‫ب‬:‫تعیین‬‫توزیع‬‫نمونه‬‫گیری؛‬‫دو‬‫جمعیت‬،‫نرمال‬‫انحراف‬‫معیار‬‫جمعیت‬‫نیز‬‫نامعلوم‬،‫است‬‫فرض‬‫برابری‬‫واریان‬‫س‬‫دو‬‫جمعیت‬‫نیز‬
‫گفته‬،‫نشده‬‫لذا‬‫از‬‫توزیع‬t‫و‬‫حالت‬‫دوم‬‫استفاده‬‫میکنیم‬(‫به‬‫تخمین‬‫فاصله‬‫ای‬‫رجوع‬‫کنید‬)
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
20

21. ‫ادامه‬...
‫ج‬:‫بحرانی‬ ‫مقدار‬ ‫و‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫محاسبه‬
𝑡 =
𝑥1 − 𝑥2 − (𝐷0)
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑠1
2
𝑛2
=
325 − 280
402
12
+
442
12
= 2.3
‫بحرانی‬ ‫مقدار‬ ‫محاسبه‬ ‫منظور‬ ‫به‬𝑡0.05,𝑑𝑓‫نماییم‬ ‫محاسبه‬ ‫زیر‬ ‫روش‬ ‫از‬ ‫را‬ ‫آزادی‬ ‫درجه‬ ‫بایستی‬ ،‫گیری‬ ‫نمونه‬ ‫توزیع‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬:
𝑑𝑓′ =
(
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑠2
2
𝑛2
)2
(
𝑠1
2
𝑛1
)2
𝑛1−1
+
(
𝑠2
2
𝑛2
)2
𝑛2−1
= 21.8
‫داریم‬ ‫و‬ ‫کنیم‬ ‫می‬ ‫رند‬ ‫باال‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫آزادی‬ ‫درجه‬ ‫سادگی‬ ‫جهت‬:𝑡0.05,21 = 1.71
‫نمایید‬ ‫حل‬ ‫آتی‬ ‫جلسه‬ ‫برای‬ ‫را‬ ‫مثال‬ ‫این‬ ‫دوجمعیت‬ ‫واریانس‬ ‫برابر‬ ‫فرض‬ ‫با‬.
‫ناحیه‬ ‫در‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫که‬ ‫آنجایی‬ ‫از‬𝐻1‫اطمینان‬ ‫با‬ ‫گیرد‬ ‫می‬ ‫قرار‬95%‫شود‬ ‫می‬ ‫پذیرفته‬ ‫نیز‬ ‫محقق‬ ‫ادعای‬ ‫و‬ ‫گردد‬ ‫می‬ ‫رد‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬.
‫تذکر‬:‫چرا‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫نوشتن‬ ‫در‬325‫از‬ ‫را‬280‫نکردیم؟‬ ‫کم‬(‫نکردیم‬ ‫عمل‬ ‫برعکس‬ ‫یعنی‬)
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
21

22. ‫شده‬ ‫جفت‬ ‫های‬ ‫نمونه‬ ‫فرض‬ ‫آزمون‬(matched samples)
‫بسنجیم‬ ‫روش‬ ‫دو‬ ‫با‬ ‫را‬ ‫محصول‬ ‫تولید‬ ‫اتمام‬ ‫زمان‬ ‫خواهیم‬ ‫می‬ ‫کنید‬ ‫فرض‬.‫می‬ ‫فرض‬ ‫ابتدا‬ ‫گیری‬ ‫جهت‬ ‫هیچ‬ ‫بدون‬‫زمان‬ ‫کنیم‬
‫کنیم‬ ‫آزمون‬ ‫را‬ ‫فرض‬ ‫این‬ ‫خواهیم‬ ‫می‬ ‫و‬ ‫است‬ ‫یکسان‬ ‫روش‬ ‫دو‬ ‫در‬ ‫اتمام‬.‫داریم‬ ‫لذا‬:
𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = 0
𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 0
‫است‬ ‫پذیر‬ ‫امکان‬ ‫حالت‬ ‫دو‬ ‫گیری‬ ‫نمونه‬ ‫روش‬ ‫انتخاب‬ ‫در‬:
1-‫ر‬ ‫از‬ ‫فرض‬ ‫آزمون‬ ‫جهت‬ ‫منظور‬ ‫بدین‬ ‫کنیم؛‬ ‫استفاده‬ ‫تصادفی‬ ‫و‬ ‫مستقل‬ ‫کارگران‬ ‫از‬ ‫ها‬ ‫روش‬ ‫از‬ ‫یک‬ ‫هر‬ ‫انجام‬ ‫برای‬‫های‬ ‫وش‬
‫بودند‬ ‫مستقل‬ ‫های‬ ‫نمونه‬ ‫بر‬ ‫مبتنی‬ ‫که‬ ‫نماییم‬ ‫استفاده‬ ‫قبلی‬(‫جمعیت‬ ‫دو‬ ‫میانگین‬ ‫آزمون‬)
2-‫ز‬ ‫های‬ ‫نمونه‬ ‫فرض‬ ‫آزمون‬ ‫از‬ ‫منظور‬ ‫بدین‬ ‫کنیم؛‬ ‫استفاده‬ ‫روش‬ ‫دو‬ ‫از‬ ‫هریک‬ ‫انجام‬ ‫برای‬ ‫کارگر‬ ‫نمونه‬ ‫تعداد‬ ‫یک‬ ‫از‬‫وجی‬
‫کنیم‬ ‫می‬ ‫استفاده‬
‫اس‬ ‫تولید‬ ‫اتمام‬ ‫زمان‬ ‫بر‬ ‫کارگران‬ ‫مهارت‬ ‫اثر‬ ‫بردن‬ ‫بین‬ ‫از‬ ‫و‬ ‫گیری‬ ‫نمونه‬ ‫در‬ ‫خطا‬ ‫توجه‬ ‫قابل‬ ‫کاهش‬ ‫روش‬ ‫این‬ ‫مزیت‬‫ت‬.
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
22

23. ‫ادامه‬...
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
23
‫میانگی‬ ‫تفاضل‬ ‫آن‬ ‫و‬ ‫داریم‬ ‫کار‬ ‫ها‬ ‫داده‬ ‫سری‬ ‫یک‬ ‫با‬ ‫بدانیم‬ ‫که‬ ‫اینست‬ ‫فرض‬ ‫آزمون‬ ‫نوع‬ ‫این‬ ‫در‬ ‫مساله‬ ‫حل‬ ‫کلید‬‫هاست‬ ‫ن‬.‫لذا‬
𝜇 𝑑‫گیریم‬ ‫می‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫حالت‬ ‫دو‬ ‫اتمام‬ ‫زمان‬ ‫اختالف‬ ‫میانگین‬ ‫را‬.‫کنید‬ ‫فرض‬6‫و‬ ‫ایم‬ ‫کرده‬ ‫انتخاب‬ ‫آزمون‬ ‫این‬ ‫برای‬ ‫را‬ ‫کارگر‬
‫کنیم‬ ‫می‬ ‫فرض‬ ‫نرمال‬ ‫نیز‬ ‫را‬ ‫ها‬ ‫زمان‬ ‫توزیع‬.

24. ‫ادامه‬...
‫داریم‬ ‫مساله‬ ‫این‬ ‫حل‬ ‫برای‬:
‫الف‬:‫ها‬ ‫فرضیه‬ ‫نوشتن‬
𝐻0: 𝜇 𝑑 = 0
𝐻1: 𝜇 𝑑 ≠ 0
‫ب‬:‫ن‬ ‫نیز‬ ‫جمعیت‬ ‫معیار‬ ‫انحراف‬ ‫و‬ ‫است‬ ‫اساسی‬ ‫فرضی‬ ‫بودن‬ ‫نرمال‬ ‫فرض‬ ‫مساله‬ ‫نوع‬ ‫در‬ ‫اینکه‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬ ‫گیری؛‬ ‫نمونه‬ ‫توزیع‬ ‫تعیین‬‫لذا‬ ،‫است‬ ‫امعلوم‬
‫توزیع‬ ‫از‬ ‫بایستی‬t‫نماییم‬ ‫استفاده‬.
‫ج‬:‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫و‬ ‫بحرانی‬ ‫مقدار‬ ‫تعیین‬:
𝑑 =
𝑑𝑖
𝑛
=
1.8
6
= 0.3, 𝑠 𝑑 =
(𝑑𝑖 − 𝑑)2
𝑛 − 1
= 0.335
𝑡 =
𝑑 − 𝜇 𝑑
𝑠 𝑑
𝑛
=
0.3 − 0
0.335
6
= 2.2
‫برابر‬ ‫نیز‬ ‫بحرانی‬ ‫مقدار‬𝑡.025,5 = 2.57‫باشد‬ ‫می‬:.
‫د‬:‫بازه‬ ‫در‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬𝐻0‫اطمینان‬ ‫با‬ ‫نتیجه‬ ‫در‬ ‫گیرد‬ ‫می‬ ‫قرار‬95%‫ندارد‬ ‫وجود‬ ‫روش‬ ‫دو‬ ‫میان‬ ‫داری‬ ‫معنی‬ ‫تفاوت‬.
‫تذکر‬:‫شود‬ ‫می‬ ‫برخورد‬ ‫آن‬ ‫با‬ ‫جمعیت‬ ‫یک‬ ‫میانگین‬ ‫آزمون‬ ‫مشابه‬ ‫و‬ ‫است‬ ‫انجام‬ ‫قابل‬ ‫نیز‬ ‫یکدنباله‬ ‫های‬ ‫آزمون‬ ‫برای‬ ‫روش‬ ‫این‬
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
24

25. ‫جمعیت‬ ‫دو‬ ‫موفقیت‬ ‫نسبت‬ ‫آزمون‬
‫اینکه‬ ‫فرض‬ ‫با‬ ‫جمعیت‬ ‫دو‬ ‫موفقیت‬ ‫نسبت‬ ‫آزمون‬𝑛1.𝑞1،𝑛1.𝑝1،𝑛2.𝑞2‫و‬𝑛2.𝑝2‫مساوی‬ ‫بزرگتر‬ ‫همگی‬5‫با‬ ‫باشند‬
‫هستند‬ ‫انجام‬ ‫قابل‬ ‫نرمال‬ ‫توزیع‬ ‫از‬ ‫استفاده‬:
‫هستند‬ ‫زیر‬ ‫موارد‬ ‫شامل‬ ‫آزمون‬ ‫این‬ ‫های‬ ‫فرضیه‬:
𝐻0: 𝑝1 − 𝑝2 = 0
𝐻1: 𝑝1 − 𝑝2 ≠ 0
𝐻0: 𝑝1 − 𝑝2 ≤ 0
𝐻1: 𝑝1 − 𝑝2 > 0
𝐻0: 𝑝1 − 𝑝2 ≥ 0
𝐻1: 𝑝1 − 𝑝2 < 0
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
25

26. ‫ادامه‬...
‫شود‬ ‫می‬ ‫محاسبه‬ ‫زیر‬ ‫بصورت‬ ‫معیار‬ ‫انحراف‬ ‫شود‬ ‫داده‬ ‫جمعیت‬ ‫موفقیت‬ ‫نسبت‬ ‫اگر‬:
𝜎 𝑝1− 𝑝2
=
𝑝1. 𝑞1
𝑛1
+
𝑝2. 𝑞2
𝑛2
‫یک‬ ‫بایستی‬ ،‫باشیم‬ ‫نداشته‬ ‫را‬ ‫جمعیت‬ ‫موفقیت‬ ‫نسبت‬ ‫اگر‬ ‫و‬𝑝‫کنیم‬ ‫محاسبه‬ ‫نمونه‬ ‫دو‬ ‫در‬ ‫موفقیت‬ ‫نسبت‬ ‫اساس‬ ‫بر‬:
𝑝 =
𝑛1 𝑝1 + (𝑛2) 𝑝2
𝑛1 + 𝑛2
‫سپس‬ ‫و‬𝜎 𝑝1− 𝑝2
‫گردد‬ ‫می‬ ‫محاسبه‬ ‫صورت‬ ‫بدین‬:
𝜎 𝑝1− 𝑝2
=
𝑝. 𝑞
𝑛1
+
𝑝. 𝑞
𝑛2
‫از‬ ‫عبارتست‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫نتیجه‬ ‫در‬:𝑧 =
𝑝1− 𝑝2
𝑝. 𝑞
𝑛1
+
𝑝. 𝑞
𝑛2
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
26

27. ‫مثال‬
‫بسنجد‬ ‫را‬ ‫خود‬ ‫دفترفروش‬ ‫دو‬ ‫در‬ ‫کاری‬ ‫خطاهای‬ ‫درصد‬ ‫خواهد‬ ‫می‬ ‫عامل‬ ‫مدیر‬ ،‫کنید‬ ‫فرض‬.‫اول‬ ‫دفتر‬ ‫در‬250‫و‬ ‫نموده‬ ‫بررسی‬ ‫را‬ ‫مورد‬35
‫دوم‬ ‫دفتر‬ ‫در‬ ‫و‬ ‫کرد‬ ‫مشاهده‬ ‫خطا‬300‫و‬ ‫بررسی‬ ‫مورد‬27‫آمد‬ ‫بدست‬ ‫خطا‬.‫خطای‬ ‫سطح‬ ‫در‬5‫را‬ ‫فروش‬ ‫دفتر‬ ‫دو‬ ‫در‬ ‫خطا‬ ‫سطح‬ ‫برابری‬ ،‫درصد‬
‫پذیرید؟‬ ‫می‬(‫ها‬ ‫نسبت‬ ‫توزیع‬ ‫بودن‬ ‫نرمال‬ ‫فرض‬ ‫با‬)
‫گام‬1:‫ها‬ ‫فرضیه‬ ‫نگارش‬
𝐻0: 𝑝1 − 𝑝2 = 0
𝐻1: 𝑝1 − 𝑝2 ≠ 0
‫گام‬2:‫گیری‬ ‫نمونه‬ ‫توزیع‬ ‫تعیین‬:‫نرمال‬
‫گام‬3:‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫و‬ ‫بحرانی‬ ‫مقدار‬ ‫تعیین‬
‫برابر‬ ‫بحرانی‬ ‫مقدار‬ ‫لذا‬ ‫است‬ ‫دنباله‬ ‫دو‬ ‫آزمون‬𝑧0.025 = ±1.96‫است‬.
‫ابتدا‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫محاسبه‬ ‫برای‬𝑝‫کنیم‬ ‫می‬ ‫محاسبه‬ ‫را‬:𝑝 =
𝑛1 𝑝1+(𝑛2) 𝑝2
𝑛1+𝑛2
=
250×0.14+300×.09
550
= 0.1127
‫داریم‬ ‫نتیجه‬ ‫در‬:𝑧 =
0.14−0.09
.1127(1−.1127)
250
+
.1127(1−.1127)
300
= 1.85
‫گام‬4:‫ناحیه‬ ‫در‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫گیری؛‬ ‫تصمیم‬𝐻0‫اطمینان‬ ‫با‬ ‫لذا‬ ‫است‬ ‫گرفته‬ ‫قرار‬95%‫ندارد‬ ‫وجود‬ ‫دفتر‬ ‫دو‬ ‫خطای‬ ‫سطح‬ ‫بین‬ ‫تفاوتی‬.
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
27

28. ‫دوم‬ ‫و‬ ‫اول‬ ‫نوع‬ ‫خطای‬
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
28
‫جامعه‬ ‫در‬ ‫پارامتر‬ ‫واقعی‬ ‫شرایط‬
𝐻 𝑜‫باشد‬ ‫درست‬ 𝐻 𝑜‫نباشد‬ ‫درست‬/𝐻1‫باشد‬ ‫درست‬
‫گیری‬ ‫نتیجه‬
‫پذیرش‬𝐻 𝑜 ‫اطمینان‬ ‫سطح‬(1 − 𝛼) ‫دوم‬ ‫نوع‬ ‫خطای‬(𝛽)
‫رد‬𝐻 𝑜/‫پذیرش‬𝐻1 ‫اول‬ ‫نوع‬ ‫خطای‬/‫معنی‬ ‫سطح‬‫داری‬(𝛼) ‫آزمون‬ ‫توان‬(1 − 𝛽)
‫سطح‬‫خطایی‬‫که‬‫محقق‬‫قبل‬‫از‬‫انجام‬‫تحقیق‬‫تعیین‬‫می‬‫نماید‬‫در‬‫خصوص‬‫خطای‬‫نوع‬‫اول‬‫می‬‫باشد‬‫و‬‫اغلب‬‫در‬‫تحقیقات‬‫خطای‬‫نوع‬‫د‬‫وم‬‫کنترل‬
‫نمی‬‫شود‬.‫بهمین‬‫دلیل‬‫است‬‫که‬‫بطور‬‫محافظه‬‫کارانه‬‫می‬‫گوییم‬‫ما‬‫یا‬𝐻 𝑜‫را‬‫رد‬‫می‬‫کنیم‬‫و‬‫یا‬‫رد‬‫نمی‬‫کنیم‬‫و‬‫در‬‫خصوص‬‫پذیرش‬‫آن‬‫چیزی‬‫نمی‬
‫گوییم‬‫چون‬‫از‬‫سطح‬‫خطای‬‫نوع‬‫دوم‬‫اطالع‬‫نداریم‬‫چرا‬‫که‬‫وقتی‬𝐻 𝑜‫را‬‫می‬،‫پذیریم‬𝛽‫درصد‬‫ممکن‬‫است‬‫که‬𝐻1‫درست‬‫باشد‬!
‫هرچقدر‬‫هزینه‬‫خطای‬‫نوع‬‫اول‬‫زیاد‬،‫باشد‬‫مقدار‬𝛼‫کوچکتر‬‫انتخاب‬‫می‬‫شود‬.
‫رد‬‫صحیح‬𝐻 𝑜‫را‬‫توان‬‫آزمون‬‫می‬‫نامند‬‫و‬‫عدم‬‫رد‬‫صحیح‬𝐻 𝑜‫را‬‫سطح‬‫اطمینان‬‫می‬‫نامند‬.

29. ‫دوم‬ ‫نوع‬ ‫خطای‬ ‫محاسبه‬ ‫نحوه‬
‫می‬ ‫محاسبه‬ ‫را‬ ‫خطا‬ ‫این‬ ‫مثال‬ ‫یک‬ ‫قالب‬ ‫در‬ ،‫است‬ ‫وابسته‬ ‫جمعیت‬ ‫پارامتر‬ ‫واقعی‬ ‫مقدار‬ ‫به‬ ‫دوم‬ ‫نوع‬ ‫خطای‬ ‫محاسبه‬ ‫که‬ ‫آنجایی‬ ‫از‬‫کنیم‬.
‫مثال‬)‫از‬ ‫کمتر‬ ‫خواهیم‬ ‫می‬ ‫تحقیقی‬ ‫در‬ ‫کنید‬ ‫فرض‬120‫داریم‬ ‫و‬ ‫کنیم‬ ‫آزمون‬ ‫را‬ ‫ها‬ ‫باتری‬ ‫عمر‬ ‫بودن‬ ‫ساعت‬:
𝐻0: 𝜇 𝑥 ≥ 120
𝐻1: 𝜇 𝑥 < 120
‫را‬ ‫خطا‬ ‫سطح‬5%‫را‬ ‫ها‬ ‫باتری‬ ‫عمر‬ ‫معیار‬ ‫انحراف‬ ‫و‬ ‫نمایید‬ ‫فرض‬12‫بگیرید‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫ساعت‬.‫نمونه‬ ‫یک‬36‫مقادیر‬ ،‫نمودیم‬ ‫انتخاب‬ ‫تایی‬𝛽
‫مختلف‬ ‫مقادیر‬ ‫ازای‬ ‫به‬ ‫را‬𝜇 𝑥‫دهید‬ ‫نمایش‬ ‫نموداری‬ ‫قالب‬ ‫در‬ ‫و‬ ‫نموده‬ ‫محاسبه‬.
‫جواب‬:‫اینکه‬ ‫و‬ ‫بحرانی‬ ‫مقدار‬ ‫رویکرد‬ ‫اساس‬ ‫بر‬𝑧0.05 = −1.645‫دانیم‬ ‫می‬:
𝑟𝑒𝑗𝑒𝑐𝑡 𝐻0 𝑖𝑓 𝑧 ≤ −1.645
‫برابر‬ ‫نیز‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫طرفی‬ ‫از‬𝑧 =
𝑥−120
12
36
‫باشد‬ ‫می‬.‫از‬ ‫مقادیری‬ ‫خواهیم‬ ‫می‬ ‫حال‬𝑥‫نماید‬ ‫صدق‬ ‫باال‬ ‫رابطه‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫نماییم‬ ‫تعیین‬ ‫را‬:
𝑥 ≤ 120 − 1.645(
12
36
) → 𝑥 ≤ 116.71
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
29

30. ‫ادامه‬...
‫که‬ ‫زمانی‬ ‫لذا‬𝑥 ≤ 116.71‫شود‬ ‫می‬ ‫رد‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬ ،‫باشد‬.‫اگر‬ ‫که‬ ‫دانیم‬ ‫می‬ ‫نتیجه‬ ‫در‬𝑥 > 116.71‫رد‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬
‫نماییم‬ ‫محاسبه‬ ‫را‬ ‫دوم‬ ‫نوع‬ ‫خطای‬ ‫توانیم‬ ‫می‬ ‫حال‬ ،‫شود‬ ‫نمی‬.
‫از‬ ‫کمتر‬ ‫جمعیت‬ ‫در‬ ‫ها‬ ‫باتری‬ ‫عمر‬ ‫طول‬ ‫میانگین‬ ‫اگر‬ ‫که‬ ‫دانیم‬ ‫می‬ ‫تحقیق‬ ‫های‬ ‫فرضیه‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬120‫فرض‬ ‫ما‬ ‫ولی‬ ‫باشد‬
‫بپذیریم‬ ‫را‬ ‫صفر‬(𝐻0: 𝜇 𝑥 ≥ 120)‫است‬ ‫افتاده‬ ‫اتفاق‬ ‫دوم‬ ‫نوع‬ ‫خطای‬.
‫در‬‫نتیجه‬‫برای‬‫محاسبه‬‫خطای‬‫نوع‬،‫دوم‬‫مقادیر‬‫مختلفی‬‫از‬𝜇 𝑥 < 120‫انتخاب‬‫می‬‫شود‬‫و‬‫بر‬‫اساس‬‫این‬‫مقادیر‬‫خطای‬‫نوع‬
‫دوم‬‫محاسبه‬‫می‬‫گردد‬.‫برای‬‫مثال‬‫اگر‬‫میانگین‬‫طول‬‫عمر‬‫باتری‬‫ها‬112،‫باشد‬‫چقدر‬‫احتمال‬‫دارد‬‫که‬‫فرض‬‫صفر‬‫به‬‫اشتباه‬
‫پذیرفته‬‫شود؟‬
𝑝(𝑎𝑐𝑐𝑒𝑝𝑡𝑖𝑛𝑔𝐻0 𝜇 𝑥 < 120) = 𝑝( 𝑥 > 116.71 𝜇 𝑥 < 120)
‫برای‬𝜇 𝑥 = 112‫داریم‬:𝑧 =
16.71−112
12
36
= 2.36
‫مقدار‬‫این‬‫احتمال‬‫برابر‬‫است‬‫با‬1 − 0.9909 = 0.0091
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
30

31. ‫نموداری‬ ‫نمایش‬
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
31

32. ‫ادامه‬...
‫از‬ ‫مختلفی‬ ‫مقادیر‬ ‫اگر‬𝜇 𝑥،‫بگیریم‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫را‬
‫نکته‬:‫مقدار‬ ‫هرچقدر‬ ،‫است‬ ‫مشخص‬ ‫نیز‬ ‫جدول‬ ‫روی‬ ‫از‬ ‫که‬ ‫همانطور‬𝜇 𝑥‫فرض‬ ‫در‬ ‫گرفته‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫مقدار‬ ‫به‬𝐻1‫می‬ ‫نزدیکتر‬
‫شود‬ ‫می‬ ‫دور‬ ‫آن‬ ‫از‬ ‫هرچقدر‬ ‫و‬ ،‫یابد‬ ‫می‬ ‫افزایش‬ ‫دوم‬ ‫نوع‬ ‫خطای‬ ‫سطح‬ ‫شود‬(‫شود‬ ‫می‬ ‫کوچکتر‬)‫یاف‬ ‫کاهش‬ ‫دوم‬ ‫نوع‬ ‫خطای‬‫و‬ ‫ته‬
‫پذیرش‬ ‫در‬ ‫نمودن‬ ‫خطا‬ ‫احتمال‬ ‫که‬ ‫جرا‬ ‫یابد‬ ‫می‬ ‫افزایش‬ ‫آزمون‬ ‫توان‬𝐻0‫یابد‬ ‫می‬ ‫کاهش‬.
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
32

33. ‫آزمون‬ ‫توان‬ ‫منحنی‬
‫اگر‬‫بر‬‫اساس‬‫مقادیر‬‫مختلفی‬‫از‬𝜇 𝑥‫توان‬‫آزمون‬‫را‬‫محاسبه‬،‫نماییم‬‫منحنی‬‫ای‬‫بدست‬‫می‬‫آید‬‫که‬‫به‬‫منحنی‬‫توان‬‫آزمون‬
‫معروف‬‫است‬:
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
33

34. ‫بین‬ ‫رابطه‬𝜶 ‫𝜷و‬
‫نکته‬:‫د‬ ‫این‬ ‫میان‬ ‫تعادلی‬ ‫حد‬ ‫بایستی‬ ‫تحقیقات‬ ‫در‬ ‫و‬ ‫دارد‬ ‫وجود‬ ‫دوم‬ ‫و‬ ‫اول‬ ‫نوع‬ ‫خطای‬ ‫بین‬ ‫معکوسی‬ ‫رابطه‬ ‫همواره‬‫رعایت‬ ‫خطا‬ ‫و‬
‫گردد‬(‫مقدار‬ ‫گرفتن‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫و‬ ‫شد‬ ‫گفته‬ ‫که‬ ‫مثالی‬ ‫بررسی‬ ‫با‬ ‫را‬ ‫مورد‬ ‫این‬𝜶‫برابر‬0.01‫و‬0.03‫با‬ ‫دید‬ ‫خواهید‬ ‫و‬ ‫کنید‬ ‫آزمون‬
‫شدن‬ ‫کمتر‬𝜶‫مقدار‬𝜷‫یابد‬ ‫می‬ ‫افزایش‬)
‫نکته‬:‫احتمال‬𝜶‫فرض‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫دارد‬ ‫بستگی‬ ‫ای‬ ‫دامنه‬ ‫در‬ ‫پارامتر‬ ‫مشخص‬ ‫مقدار‬ ‫به‬𝐻0‫مقدار‬ ‫حالیکه‬ ‫در‬ ‫است‬ ‫آمده‬𝜷‫مقدار‬ ‫به‬
‫در‬ ‫که‬ ‫دارد‬ ‫بستگی‬ ‫پارامتری‬𝐻1‫دارد‬ ‫وجود‬.
‫نکته‬:‫مجموعه‬𝜶‫و‬𝜷‫برابر‬ ‫الزاما‬1‫شود‬ ‫نمی‬.
‫مدرس‬:‫پطرودی‬ ‫هاشمی‬ ‫حمید‬ ‫سید‬
hhashemip@gmail.com
34