Teorija sa slikama

1. 1. ТAČKA, PRAVA I RAVAN
Tačka, prava i ravan su osnovni geometrijski pojmovi. Pomoću njih definišemo složene figure. Tačke označavamo sa velikim slovima (A,B,C, ...),
prave sa malim pisanim slovima (a,b,c, ...) a ravni sa slovima grčke alfabete (α,β,γ,δ,ε,π, ...)
Prava je jednoznačno određena sa dve svoje različite tačke. Za tačke koje leže na jednoj pravoj kažemo da su kolinearne tačke. Za tri tačke koje ne
leže na jednoj pravoj kažemo da su nekolinearne.
Ravan je jednoznačno određen
Sa 3 svoje različite tačke, koje nisu kolinearne
tačkom i pravom koja ne sadrži tu tačku
Za tačke koje leže u jednoj ravni kažemo da su komplanarne.
2. ODNOS TAČKE I PRAVE
Tačka A pripada pravoj p (A∈p) – prava p prolazi kroz tačku A
Tačka A ne pripada pravoj p (A∉p) – prava p ne prolazi kroz tačku A
3. ODNOS TAČKE I RAVNI
Tačka A pripada ravni α (A∈α) – Ravan α sadrži tačku A
Tačka B ne pripada ravni α (B∈α) – Ravan α ne sadrži tačku B
4. ODREĐENOST PRAVE I RAVNI
Prava je jednoznačno određena sa dve svoje različite tačke. Ako A∈p i B∈p onda prava p određena je sa tačkama A i B oznaka - p(A,B)
Ravan α je jednoznačno određena
Sa 3 svoje različite tačke, koje nisu kolinearne α(A,B,C)
tačkom i pravom koja je ne sadrži tu tačku α(p,C)
5. ODNOS DVE PRAVE
Odnos dve prave može biti: prazan skup, jedna tačka ili prava
Za dve prave kažemo da su paralelne (a b ) ako
a=b
a i b pripadajau istoj ravni i nemaju zajedničku tačku
Za prave koje ne pripadaju istoj ravni i nemaju zajedničkih tačaka
kažemo da su mimoilazne. (pr. Letovi aviona)
6. ODNOS PRAVE I RAVNI
Njihov odnos može da bude:
Prava i ravan nemaju zajedničku tačku p∩α=∅ - paralelne
Imaju 1 zajedničku tačku p∩α={A} prava prodire ravan u tački A
Prava i ravan imaju bar dve zajedničke tačke (onda imaju i više- prava)
Tada kažemo da prava p leži u ravni α -> p∩α=p. (ujedno su i paralelni)
a
α
x
A
p
x A
x A p
a=b
x A
x B
α
xA
xB
xC
α
α(A,B,C)
x A
x B
xC
α
p
α(p,C)
a
b
a=b ⇒ a b
a∈α
a∈α ⇒ a b
a∩b=∅
x
A
x
B
p
q
α
x x
A B
p(A,B)
p

2. 6. ODNOS DVE RAVNI
Nemaju zajedničku tačku α∩β=∅ - paralne
Imaju bar 1 zajedničku tačku (ako imaju jednu imaju i više). Njihov presek je prava α∩β=p
Imaju bar 3 zajedničku tačku koji nisu kolinearne. (isto su paralelne)
7. DIEDAR
U geometriji diedar je unija dve poluravni sa zajedničkom početnom pravom i dela prostora koji one
određuju. Takve poluravni čine diedarsku površ, a dele prostor na dva disjunktna skupa, koji se još nazivaju i diedarskim oblastima. Diedarska površ
uvek određuje dva diedra, jedan konveksan i jedan nekonveksan. Poluravni su stranice diedra (α és β). Zajednička prava je rub diedra (p)
Takav diedar označavamo sa α p β diedar, čiji je ugao 90° naziva se pravougli diedar. Diedar može još da bude oštrougli ili tupougli.
8. ORTOGALNA PROJEKCIJA
Ukoliko tačka ne pripada ravni, onda postoji tačno jedna prava koja prolazi kroz tu tačku, i normalna je na ravan. Ta prava seče ravan u tačno jednoj
tački koja je u stvari projekcija prethodne tačke na datu ravan.
Projekcija prave p na ravan A je ili jedna prava p' koja pripada ravni A, ili jedna tačka P' na ravni A. Ugao između prave i ravni naziva se nagibni ugao
(β)
9. GEOMETRISJKO TELO, POLIEDRI
Geometrijsko telo definišemo kao prostornu figuru ograničenu sa svih strana delovima površi. Primeri geometrijskih
tela su kocka, piramida, valjak, kupa i dr. Površ deli prostor na dva dela (unutrašnji i spoljašnji).
Poliedar je geometrijsko telo ograničen sa četri ili više površi i kome su ivice prave duži. Sama reč je nastala kao
složenica reči poli, što znači mnogo, i reči edron, što znači baza, površ. Najmanji poliedar je četvorostrani poliedar
(tetraedar).
p
p∩α={A}
α
p∩α=∅
pα
α
p
xA
α
p
p∩α=p
pα
p∈α
β
α
α∩β=∅
pβ
α
β
p
α∩β=p
α=β
α
β
p
α
xM'
xM
xM’
xM
p
p'
β