2. Zer da e zenbakia?
Biaren eta hiruaren arteko zenbaki bat da e zenbakia
e zenbakiak hamartar-kopuru amaigabea du, eta hamartar
horiek ez dute periodikotasunik, hau da, ez dira
errepikatzen. Horregatik, zenbaki bidez adierazi ordez,
ikur baten bidez adierazten da: “ e”
e zenbakiaren ikurra letra horrek izan
behar zuela Leonhard Euler
matematikariak erabaki zuen. Eulerrek,
izena emateaz gain, lan bikaina egin
zuen e zenbakiaren gainean. Haren
propietateak definitu zituen, 1730.
urtearen inguruan. Haren aurretik
hainbat matematikarik egindako lanak e
zenbakiarekin lotuta zeudela ohartu zen,
eta haietan oinarritu zen propietateak
definitzeko.
3. e zenbakia bankuetan
e zenbakiak bankuek ordaintzen edota kobratzen duten
interesa kalkulatzeko formulan hartzen du parte.
Egoera sinplenetik hasita, bankuetan erabiltzen den
formula ondorioztatuko dugu.
INTERES
C kantitatea (“kapitala”) bankuan sartzen dugu, %r-ko interesarekin (adibidez
SINPLEA
%6 balitz r=0,06 litzateke). Eta dirua ateratzen dudanean dudan kantitatea C F
izango da (“bukaerako kapitala). Orduan:
1. urtea pasa CF = C + C ⋅ r
ondoren:
2. urtea pasa ( ) ( )
C F = C + C ⋅ r + C ⋅ r = C ⋅ 1 + r + r = C ⋅ 1 + 2r
ondoren: …
t. urtea pasa C F = C ⋅ (1 + t ⋅ r )
ondoren:
4. e zenbakia bankuetan
INTERES
Lehenengo urtearen bukaeran interesak ez dira ateratzen, orduan,
KONPOSATUA ez da
bigarren urtearen hasierako kapitala C + C ⋅ r C izango,
baizik. Orduan: CF = C + C ⋅ r
1. urtea pasa
ondoren pasa C F = ( C + C ⋅ r ) + ( C + C ⋅ r ) ⋅ r = ( C + C ⋅ r ) ⋅ (1 + r ) = C ⋅ (1 + r ) ⋅ (1 + r ) = C ⋅ (1 + r )
2
2. urtea
ondoren …
C F = C ⋅ (1 + r )
t
t. urtea pasa
ondoren
Honi “urtean behin kapitalizatzea” deitzen zaio
Ariketa I
5. e zenbakia bankuetan
INTERES KONPOSATUA (urtean bi aldiz
kapitalizatuz) kapitalizatzeak esan nahi du lehenengo sei hilabete
Urtean bi aldiz
pasa ostean ateratzen dela dirua eta momentuan sartzen dela
berriro bankuan. Orduan:C + C ⋅ r
6 hilabete pasa ondoren C = F
2 2
kapitalizazio 2
r r r r r r r r
12 hilabete pasa ondoren C F = C + C ⋅ 2 + C + C ⋅ 2 ⋅ 2 = C + C ⋅ 2 1 + 2 = C ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 + 2 = C ⋅ 1 + 2
2 2 2 3
r r r r r r
18 hilabete pasa ondoren C F = C ⋅ 1 + + C ⋅ 1 + ⋅ = C ⋅ 1 + ⋅ 1 + = C ⋅ 1 +
2 2 2 2 2 2
… 3
kapitalizazio
2t
t urte pasa ondoren r Urte bakoitzean 2
C F = C ⋅ 1 + kapitalizazio
2
6. e zenbakia bankuetan
INTERES KONPOSATUA (urtean k aldiz
kapitalizatuz) r
12 t
Hilero kapitalizatzen bada, k=12 da, eta t urte pasa C F = C ⋅ 1 + 12
ostean:
4t
r
Hiruhilero kapitalizatzen bada, k=4 da, eta t urte pasa F = C ⋅ 1 +
C
ostean: 4
kt
r
Oro har, urtean k aldiz kapitalizatuz, t urte pasaC F = C ⋅ 1 +
ostean: k
→ +∞
Baina bankuetan “momenturo” kapitalizatzen da, “segunduro”,k hau da
r
lim ⋅kt
kt
k r
⋅ ⋅kt k
k → +∞ k
r r k
r
1 + 1 1
C F = lim C ⋅ 1 + = C ⋅ klim = C ⋅ lim 1 +
= C ⋅ e r⋅t
k → +∞
k → +∞ k k → +∞
k
r r
r ⋅t
CF = C ⋅ e
Ariketa II
7. e zenbakia populazio
hazkundeetan
Bizidunen populazioak ere bai (edozein bizidunenak, bai
bakterioenak, bai landareenak eta bai animalienak);
hazteko mugarik ez duten bitartean, e zenbakiaren menpe
hazten dira.
Adibidez:
Euli populazio bat %2 hazten da egunero. 1000 euli
baditugu,zenbat denboratan bikoiztuko da?
1. eguna pasa C F = 1000 + 1000 ⋅ 0,02 = 1000 ⋅ (1 + 0,02 )
ondoren
2. eguna pasa C F = 1000 ⋅ (1 + 0,02 ) + 1000 ⋅ (1 + 0,02 ) ⋅ 0,02 =
ondoren
= 1000 ⋅ (1 + 0,02 ) ⋅ (1 + 0,02 ) = 1000 ⋅ (1 + 0,02 )
2
t. eguna pasa ondoren C F = 1000 ⋅ (1 + 0,02 )
t
2000
2000 = 1000 ⋅ (1 + 0,02 ) 2000 = 1000 ⋅ 1,02 t
t
; ; = 1,02 t ;
1000
ln 2 = ln 1,02 t ; ln 2 = t ⋅ ln 1,02 ; ln 2
= t = 35,002 egun barru bikoiztuko
ln 1,02 da
8. e zenbakia populazio
hazkundeetan
Aurreko adibidean kontuan hartuko bagenu euli populazioa
“momenturo” hazten dela %2, eta ez egunero, “e” zenbakia erabiliko
genuke “hazkunde esponentziala” adierazteko. Kasu horretan:
CF = 1000 ⋅ e0,02 t
2000 = 1000 ⋅ e0,02 t
2000
= e 0,02 t
1000
ln 2 = ln e 0,02 t
ln 2 = 0,02t ⋅ ln e
ln 2
= t = 34,66 egun barru
0,02 bikoiztuko da
Hau da, aringo bikoiztuko litzateke populazioa
Ariketa III
9. e zenbakia eta
Karbono-14
Konposatu kimiko erradioaktiboak e zenbakiak jarritako erritmoan
desagertzen dira. Hori oso baliagarria zaie, esate baterako, paleontologoei,
arrasto fosilen bat datatu nahi dutenean. Arrastoen karbono-14 isotopo
erradioaktiboaren maila neurtzen dute, eta hortik kalkulatzen dute
arrastoa noizkoa den.urtetan semidesintegratzen da (hau da, %50
Karbono-14 5730
desintegratzen da). λ desintegrazio abiadura izanik (% zenbat
desintegratzen den urtean); = C ⋅ (1 − λ ) (% λ behin bakarrik desintegratuz gero
C =C −C ⋅λ
1. urtea pasa ondoren F 0 0 0
urtean)
2. urtea pasa ondoren C F = C 0 (1 − λ ) − C 0 (1 − λ ) ⋅ λ = C 0 (1 − λ ) ⋅ (1 − λ ) = C 0 (1 − λ )
2
…
t. urtea pasa ondoren C F = C 0 (1 − λ )
t
kt
λ
Urtean “k” aldizλ % desintegratukoF = C 0 1 −
C
balitz: k
Baina “eten gabe” desintegratzen denez
k −λ
⋅ kt
kt kt −λ k
λ −λ 1 + 1
C F = lim C 0 ⋅ 1 − = C 0 ⋅ lim 1 + = C 0 ⋅ klim = C 0 ⋅ e −λ ⋅t
k → +∞
k k → +∞
k → +∞ k
−λ
CF = C ⋅ e − λ ⋅t Ariketa IV
10. e zenbakia eta ikerketa
forensea
Adibidez, auzitegi-medikuentzat. Zergatik? e zenbakiari esker,
hildako baten tenperatura neurtuta, jakin dezaketelako pertsona
hori noiz hil zen. Pertsona bat bizirik dagoenean, haren
metabolismoak gorputzaren tenperatura konstante mantentzen
du, 36 ºC inguruan. Hiltzen den unean, gorputzak beroa
ekoizteari uzten dio, eta gorpua tenperatura galtzen hasten da,
esponentzialki, inguruneko tenperatura lortu arte. Hil berritan
gorpuaren tenperatura altua denez, lehenengo minutuetan azkar
jaisten da. Hoztu ahala, ordea, gero eta mantsoago galtzen du
beroa. Hori da jaitsiera esponentzialaren berezitasuna, hots,
denbora-tarte jakin batean duen jaitsiera une bakoitzean duen
balioaren araberakoa dela. Jaitsiera bezalakoa da hazkunde
esponentziala ere: balioa txikia denean, hazkundea ere txikia da,
eta handitu ahala, hazkundea ( TGORP − TGIROA )egiten da; eta asko
TNORM = TGIROA + ere handitu ⋅ e − k ⋅t
handitu, gainera!
Non k=ordu batean galtzen den tenperaturaren % (0,5207)
11.
e zenbakia eta…..
Hazkunde esponentzialarekin zerikusirik ez duten kasu
batzuetan ere ageri zaigu e zenbakia. Demagun kate, soka,
kable... bat bi zutoinen artean zintzilikatzen dugula,
alegia, katenaria bat dugula (trenentzako hari eroalea edo
argindarraren linea elektrikoa zintzilikatzen dutenean
bezala). Bi zutoinen artean dagoen kate-zati bakoitzaren
kurba e zenbakiak definitzen du. Kurbaren formula bitxia
da, dituen bi batugaietan agertzen delako e zenbakia: y =
(e x + e -x )/2 . Horrelako egiturak diseinatzen dabiltzan
ingeniarientzat, beraz, beti kontuan hartu beharreko
osagaia da e zenbakia. Haien lanak ere e zenbakiaren
menpe daude.
Bukatzeko.... bideo
bat.
