Matematica e medicina

1
Matematica e Medicina
Renato De Leone
Scuola di Scienze e Tecnologie
UNICAM

Modelli di diffusione
delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classiﬁcazione
2
Modelli di diffusione delle epidemie
Radioterapia e Programmazione Lineare
Problemi di Classiﬁcazione

Modelli di diffusione delle epidemie
delle epidemie
Il modello SIR
Il Modello Matematico
Propriet`a del modello
SIR
Simulazione Numerica,
1
2
In sintesi
Modello SIR con
nascite e morti
3
4
SEIR Model
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classiﬁcazione
3

Il modello SIR
delle epidemie
Il modello SIR
SIR
1
2
In sintesi
Modello SIR con
nascite e morti
3
4
SEIR Model
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classificazione
4
S := Susceptibles, individui suscettibili, cioè non infetti ma passibili di
infezione
I := Infectious, individui infetti, cioè che sono stati infettati e che sono in
grado di trasmettere la malattia
R := Recovered, individui che guariscono e rimangono immuni per sempre

Il modello SIR
delle epidemie
Il modello SIR
SIR
1
2
In sintesi
Modello SIR con
nascite e morti
3
4
SEIR Model
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classificazione
4
S := Susceptibles, individui suscettibili, cioè non infetti ma passibili di
infezione
I := Infectious, individui infetti, cioè che sono stati infettati e che sono in
grado di trasmettere la malattia
R := Recovered, individui che guariscono e rimangono immuni per sempre
S(t) + I(t) + R(t) = N
S(0) > 0, R(0) = 0, I(0) = I0 >= 0

delle epidemie
Il modello SIR
SIR
1
2
In sintesi
Modello SIR con
nascite e morti
3
4
SEIR Model
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classiﬁcazione
5
β := tasso di trasmissione del contagio
α := tasso di remissione
dS
dt
= −βSI
dI
dt
= βSI − αI
dR
dt
= αI

Propriet`a del modello SIR
delle epidemie
Il modello SIR
SIR
1
2
In sintesi
Modello SIR con
nascite e morti
3
4
SEIR Model
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classiﬁcazione
6
dS
dt
= −βSI,
dI
dt
= βSI − αI,
dR
dt
= αI

delle epidemie
Il modello SIR
SIR
1
2
In sintesi
Modello SIR con
nascite e morti
3
4
SEIR Model
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classiﬁcazione
6
dS
dt
= −βSI,
dI
dt
= βSI − αI,
dR
dt
= αI
dS
dt
+
dI
dt
+
dR
dt
= −βSI + βSI − αI + αI = 0
S(t) + I(t) + R(t) = costante = N

delle epidemie
Il modello SIR
SIR
1
2
In sintesi
Modello SIR con
nascite e morti
3
4
SEIR Model
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classiﬁcazione
6
dS
dt
= −βSI,
dI
dt
= βSI − αI,
dR
dt
= αI
dI
dt t=0
= βI0S0 − αI0 = I0 (βS0 − α)
dI
dt t=0
≷ 0 se S0 ≷
α
β
dS
dt
= −βSI ≤ 0 per ogni t
e quindi se S0 ≤ α
β allora S(t) ≤ S0 ≤ α
β per ogni t e dI
dt ≤ 0

Simulazione Numerica, 1
delle epidemie
Il modello SIR
SIR
1
2
In sintesi
Modello SIR con
nascite e morti
3
4
SEIR Model
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classiﬁcazione
7
s(t) =
S(t)
N
, i(t) =
I(t)
N
, r(t) =
R(t)
N
α = 0.1, β = 0.3, ρ =
α
β
=
1
3
, R0 =
β
α
= 3

delle epidemie
Il modello SIR
SIR
1
2
In sintesi
Modello SIR con
nascite e morti
3
4
SEIR Model
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classiﬁcazione
7
s(t) =
S(t)
N
, i(t) =
I(t)
N
, r(t) =
R(t)
N
α = 0.1, β = 0.3, ρ =
α
β
=
1
3
, R0 =
β
α
= 3
i0 = 0.1%, s0 = 99.9%, r0 = 0

delle epidemie
Il modello SIR
SIR
1
2
In sintesi
Modello SIR con
nascite e morti
3
4
SEIR Model
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classiﬁcazione
8
s(t) =
S(t)
N
, i(t) =
I(t)
N
, r(t) =
R(t)
N
α = 0.1, β = 0.075, ρ =
α
β
= 1.333, R0 =
β
α
= 0.75

delle epidemie
Il modello SIR
SIR
1
2
In sintesi
Modello SIR con
nascite e morti
3
4
SEIR Model
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classiﬁcazione
8
s(t) =
S(t)
N
, i(t) =
I(t)
N
, r(t) =
R(t)
N
α = 0.1, β = 0.075, ρ =
α
β
= 1.333, R0 =
β
α
= 0.75
i0 = 0.1%, s0 = 99.9%, r0 = 0

In sintesi
delle epidemie
Il modello SIR
SIR
1
2
In sintesi
Modello SIR con
nascite e morti
3
4
SEIR Model
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classiﬁcazione
9

Modello SIR con nascite e morti
delle epidemie
Il modello SIR
SIR
1
2
In sintesi
Modello SIR con
nascite e morti
3
4
SEIR Model
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classiﬁcazione
10

Modello SIR con nascite e morti
delle epidemie
Il modello SIR
SIR
1
2
In sintesi
Modello SIR con
nascite e morti
3
4
SEIR Model
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classiﬁcazione
10
dS
dt
= λ(N − S) − λS − βSI
dI
dt
= βSI − αI − λI
dR
dt
= αI − λR

delle epidemie
Il modello SIR
SIR
1
2
In sintesi
Modello SIR con
nascite e morti
3
4
SEIR Model
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classiﬁcazione
11
α =
1
3
, β = 0.175, λ =
1
60
, R0 =
β
α + λ
= 0.5

delle epidemie
Il modello SIR
SIR
1
2
In sintesi
Modello SIR con
nascite e morti
3
4
SEIR Model
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classiﬁcazione
12
α =
1
3
, β = 1.05, λ =
1
60
, R0 =
β
α + λ
= 3

SEIR Model
delle epidemie
Il modello SIR
SIR
1
2
In sintesi
Modello SIR con
nascite e morti
3
4
SEIR Model
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classiﬁcazione
13
E := Exposed, individui esposti all’infezione

SEIR Model
delle epidemie
Il modello SIR
SIR
1
2
In sintesi
Modello SIR con
nascite e morti
3
4
SEIR Model
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classiﬁcazione
13
E := Exposed, individui esposti all’infezione
dS
dt
= λ(N − S) − βSI − νS
dE
dt
= βSI − σE − λE
dI
dt
= σE − αI − λI
dR
dt
= αI − λR + νS

Radioterapia e Programmazione
Lineare
delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Radioterapia
Analisi del problema
Dati del problema
Modello Matematico
Rappresentazione
graﬁca
Method for radiation
therapy planning
Problemi di
Classiﬁcazione
14

Radioterapia
delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Radioterapia
Dati del problema
Modello Matematico
Rappresentazione
graﬁca
therapy planning
Problemi di
Classiﬁcazione
15
La radioterapia consiste nell’uso di un macchinario che dall’esterno invia
un fascio di radiazione ionizzante nel corpo della paziente, danneggiando
sia i tessuti cancerosi che quelli sani.
Normalmente, diversi raggi sono diretti con precisione da differenti angoli
in un piano bidimensionale.

Radioterapia
delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Radioterapia
Dati del problema
Modello Matematico
Rappresentazione
grafica
therapy planning
Problemi di
Classificazione
15
A causa dell’attenuazione, ogni raggio rilascia più radiazione ai tessuti
vicini al punto di ingresso rispetto a quelli vicini al punto di uscita. La
dispersione provoca anche il rilascio di radiazioni su tessuti che si trovano
all’esterno della traiettoria del fascio.
Le cellule tumorali sono tipicamente sparse in modo microscopico tra le
cellule sane e il dosaggio della radiazione su tutta la regione tumorale
deve essere
abbastanza forte da uccidere le cellule maligne, che sono
leggermente più sensibili alle radiazioni,
abbastanza debole da non recare danno alle cellule sane,
la dose associata ai tessuti critici non deve superare livelli di tolleranza
prestabiliti, in modo da impedire complicazioni che possono essere
più dannose del male stesso

Radioterapia
delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Radioterapia
Dati del problema
Modello Matematico
Rappresentazione
grafica
therapy planning
Problemi di
Classificazione
15
L’obiettivo è selezionare la combinazione di fasci di radiazione da utilizzare
e l’intensità di ognuno di essi, in modo da generare la migliore
distribuzione possibile della dose.

delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Radioterapia
Dati del problema
Modello Matematico
Rappresentazione
graﬁca
therapy planning
Problemi di
Classiﬁcazione
16
I tessuti considerati in questo esempio comprendono organi vitali come
pure strutture ossee (es. femore e bacino) che attenuano la radiazione.
Per i due raggi che vengono qui utilizzati sono mostrati sia il punto di
ingresso che la relativa direzione

delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Radioterapia
Dati del problema
Modello Matematico
Rappresentazione
grafica
therapy planning
Problemi di
Classificazione
16
Per ogni raggio di una data intensità, viene calcolato l’assorbimento della
radiazione dalle varie parti del corpo.
Più specificatamente viene calcolata la distribuzione dell’energia in una
sezione trasversale bidimensionale del tessuto costruendo una mappa
isodose (le curve di livello rappresentano l’intensità della dose come
percentuale dell’intensità nel punto di ingresso).
Poi una griglia fine viene sovrapposta alla mappa isodose.

delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Radioterapia
Dati del problema
Modello Matematico
Rappresentazione
grafica
therapy planning
Problemi di
Classificazione
16
Sommando la radiazione assorbita nei quadrati contenenti i vari tipi di
tessuto, si può calcolare la dose media assorbita dal tumore, dalla
struttura anatomica sana e dai tessuti critici.
Si assume che l’assorbimento della radiazione è additivo.

Dati del problema
delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Radioterapia
Dati del problema
Modello Matematico
Rappresentazione
graﬁca
therapy planning
Problemi di
Classiﬁcazione
17
Un’analisi completa di questo tipo permette ai medici di stimare i dati
necessari per progettare il trattamento

Dati del problema
delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Radioterapia
Dati del problema
Modello Matematico
Rappresentazione
graﬁca
therapy planning
Problemi di
Classiﬁcazione
17
La prima colonna elenca le aree del corpo che devono essere
considerate.

Dati del problema
delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Radioterapia
Dati del problema
Modello Matematico
Rappresentazione
graﬁca
therapy planning
Problemi di
Classiﬁcazione
17
Le altre due colonne indicano, in media, la frazione della dose di
radiazione al punto di ingresso assorbita dalle diverse aree per ciascun
raggio.

Dati del problema
delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Radioterapia
Dati del problema
Modello Matematico
Rappresentazione
grafica
therapy planning
Problemi di
Classificazione
17
L’ultima colonna fornisce i vincoli sul dosaggio totale, di entrambi i raggi,
che è assorbito in media dalle rispettive aree del corpo.

Modello Matematico
delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Radioterapia
Dati del problema
Modello Matematico
Rappresentazione
graﬁca
therapy planning
Problemi di
Classiﬁcazione
18
Le due variabili decisionali x1 e x2 rappresentano la dose (in kilorad) al
punto di ingresso rispettivamente per il raggio 1 e il raggio 2.
Il dosaggio totale che raggiunge la parte sana del corpo deve essere
minimizzato.
Occorre rispettare i vincoli di dosaggio per i vari organi ed il tumore

Modello Matematico
delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Radioterapia
Dati del problema
Modello Matematico
Rappresentazione
graﬁca
therapy planning
Problemi di
Classiﬁcazione
18
min
x
0.4x1 + 0.5x2
soggetto a 0.3x1 + 0.1x2 ≤ 27
0.5x1 + 0.5x2 = 6
0.6x1 + 0.4x2 ≥ 6
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Rappresentazione grafica
delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Radioterapia
Dati del problema
Modello Matematico
Rappresentazione
grafica
therapy planning
Problemi di
Classificazione
19

Method for radiation therapy planning
delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Radioterapia
Dati del problema
Modello Matematico
Rappresentazione
graﬁca
therapy planning
Problemi di
Classiﬁcazione
20
US 5418827 A

Problemi di Classificazione
delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classificazione
Il problema di
Classificazione
Quale iperpiano?
Support Vector
Machines
C–Support Vector
Classification
Caso generale
non–separabile
“Problemi di cuore”
Aritmia cardiaca
Regione QRS e
non–QRS
Classificazione di
pazienti affetti da
tumore
Conclusioni
21

Il problema di Classificazione
delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classificazione
Il problema di
Classificazione
Quale iperpiano?
Support Vector
Machines
C–Support Vector
Classification
Caso generale
non–separabile
Aritmia cardiaca
Regione QRS e
non–QRS
Classificazione di
pazienti affetti da
tumore
Conclusioni
22
Dati
l vettori xi ∈ IRm, i = 1, . . . , l,
un vettore y ∈ IRl con yi ∈ {−1, 1}
determinare una funzione h(x) tale che
h(xi) > 0 quando yi = 1
h(xi) < 0 quando yi = −1

delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classificazione
Il problema di
Classificazione
Quale iperpiano?
Support Vector
Machines
C–Support Vector
Classification
Caso generale
non–separabile
Aritmia cardiaca
Regione QRS e
non–QRS
Classificazione di
pazienti affetti da
tumore
Conclusioni
22
Dati
I vettori xi e y definiscono il training set.

delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classificazione
Il problema di
Classificazione
Quale iperpiano?
Support Vector
Machines
C–Support Vector
Classification
Caso generale
non–separabile
Aritmia cardiaca
Regione QRS e
non–QRS
Classificazione di
pazienti affetti da
tumore
Conclusioni
22
Dati
f(x) = wT
x + θ
h(x) = sign(f(x))

Quale iperpiano?
delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classificazione
Il problema di
Classificazione
Quale iperpiano?
Support Vector
Machines
C–Support Vector
Classification
Caso generale
non–separabile
Aritmia cardiaca
Regione QRS e
non–QRS
Classificazione di
pazienti affetti da
tumore
Conclusioni
23

Support Vector Machines
delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classificazione
Il problema di
Classificazione
Quale iperpiano?
Support Vector
Machines
C–Support Vector
Classification
Caso generale
non–separabile
Aritmia cardiaca
Regione QRS e
non–QRS
Classificazione di
pazienti affetti da
tumore
Conclusioni
24
Determinare w ∈ IRn e θ ∈ R tali che

delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classificazione
Il problema di
Classificazione
Quale iperpiano?
Support Vector
Machines
C–Support Vector
Classification
Caso generale
non–separabile
Aritmia cardiaca
Regione QRS e
non–QRS
Classificazione di
pazienti affetti da
tumore
Conclusioni
24
wT
xi
+ θ > 1 quando yi = 1
e
wT
xi
+ θ < −1 quando yi = −1

delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classificazione
Il problema di
Classificazione
Quale iperpiano?
Support Vector
Machines
C–Support Vector
Classification
Caso generale
non–separabile
Aritmia cardiaca
Regione QRS e
non–QRS
Classificazione di
pazienti affetti da
tumore
Conclusioni
24
yi wT
xi
+ θ > 1, i = 1, . . . , l

delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classificazione
Il problema di
Classificazione
Quale iperpiano?
Support Vector
Machines
C–Support Vector
Classification
Caso generale
non–separabile
Aritmia cardiaca
Regione QRS e
non–QRS
Classificazione di
pazienti affetti da
tumore
Conclusioni
24
yi wT
xi
+ θ > 1, i = 1, . . . , l
ed il margine
2
w
sia il più grande possible.

C–Support Vector Classification
delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classificazione
Il problema di
Classificazione
Quale iperpiano?
Support Vector
Machines
C–Support Vector
Classification
Caso generale
non–separabile
Aritmia cardiaca
Regione QRS e
non–QRS
Classificazione di
pazienti affetti da
tumore
Conclusioni
25
Il caso separabile
min
w,θ
1
2 wT w
soggetto a yi wT xi + θ ≥ 1 , i = 1, . . . , l

delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classificazione
Il problema di
Classificazione
Quale iperpiano?
Support Vector
Machines
C–Support Vector
Classification
Caso generale
non–separabile
Aritmia cardiaca
Regione QRS e
non–QRS
Classificazione di
pazienti affetti da
tumore
Conclusioni
25
Il caso generale non–separabile
min
w,θ,ξ
1
2 wT w+CeT ξ
soggetto a yi wT xi + θ ≥ 1−ξi, i = 1, . . . , l
ξi ≥ 0, i = 1, . . . , l

delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classificazione
Il problema di
Classificazione
Quale iperpiano?
Support Vector
Machines
C–Support Vector
Classification
Caso generale
non–separabile
Aritmia cardiaca
Regione QRS e
non–QRS
Classificazione di
pazienti affetti da
tumore
Conclusioni
25
Il caso generale non–separabile
min
w,θ,ξ
1
2 wT w+CeT ξ
soggetto a yi wT xi + θ ≥ 1−ξi, i = 1, . . . , l
ξi ≥ 0, i = 1, . . . , l
Controlla la capacità Controlla il numero
di apprendimento di misclassificazioni

Caso generale non–separabile
delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classificazione
Il problema di
Classificazione
Quale iperpiano?
Support Vector
Machines
C–Support Vector
Classification
Caso generale
non–separabile
Aritmia cardiaca
Regione QRS e
non–QRS
Classificazione di
pazienti affetti da
tumore
Conclusioni
26

delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classificazione
Il problema di
Classificazione
Quale iperpiano?
Support Vector
Machines
C–Support Vector
Classification
Caso generale
non–separabile
Aritmia cardiaca
Regione QRS e
non–QRS
Classificazione di
pazienti affetti da
tumore
Conclusioni
27

Aritmia cardiaca
delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classificazione
Il problema di
Classificazione
Quale iperpiano?
Support Vector
Machines
C–Support Vector
Classification
Caso generale
non–separabile
Aritmia cardiaca
Regione QRS e
non–QRS
Classificazione di
pazienti affetti da
tumore
Conclusioni
28

Aritmia cardiaca
delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classificazione
Il problema di
Classificazione
Quale iperpiano?
Support Vector
Machines
C–Support Vector
Classification
Caso generale
non–separabile
Aritmia cardiaca
Regione QRS e
non–QRS
Classificazione di
pazienti affetti da
tumore
Conclusioni
28
Classificazione in PVC (classe 1) e non–PVC (classe -1)

Aritmia cardiaca
delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classificazione
Il problema di
Classificazione
Quale iperpiano?
Support Vector
Machines
C–Support Vector
Classification
Caso generale
non–separabile
Aritmia cardiaca
Regione QRS e
non–QRS
Classificazione di
pazienti affetti da
tumore
Conclusioni
28
Percentuale di errore con differenti scelte delle caratteristiche (features)

Regione QRS e non–QRS
delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classificazione
Il problema di
Classificazione
Quale iperpiano?
Support Vector
Machines
C–Support Vector
Classification
Caso generale
non–separabile
Aritmia cardiaca
Regione QRS e
non–QRS
Classificazione di
pazienti affetti da
tumore
Conclusioni
29
(a) ECG originale, (b) preprocessamento e filtraggio, (c) Entropia QRS, (d)
Entropia non–QRS. Un livello basso di entropia indica un alto livello di
certezza, un livello basso un alto livello di incertezza.

Regione QRS e non–QRS
delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classificazione
Il problema di
Classificazione
Quale iperpiano?
Support Vector
Machines
C–Support Vector
Classification
Caso generale
non–separabile
Aritmia cardiaca
Regione QRS e
non–QRS
Classificazione di
pazienti affetti da
tumore
Conclusioni
29
Risultati using SVM

Classificazione di pazienti affetti da tumore
delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classificazione
Il problema di
Classificazione
Quale iperpiano?
Support Vector
Machines
C–Support Vector
Classification
Caso generale
non–separabile
Aritmia cardiaca
Regione QRS e
non–QRS
Classificazione di
pazienti affetti da
tumore
Conclusioni
30

Conclusioni
delle epidemie
Radioterapia e
Programmazione
Lineare
Problemi di
Classificazione
Il problema di
Classificazione
Quale iperpiano?
Support Vector
Machines
C–Support Vector
Classification
Caso generale
non–separabile
Aritmia cardiaca
Regione QRS e
non–QRS
Classificazione di
pazienti affetti da
tumore
Conclusioni
31
It’s funny how people look at me like I am crazy when I tell
them that I prepared for medical school by majoring in
mathematics! I think only a true mathematically minded
person can understand that the logic and thought processes
needed to do math can help in virtually every aspect of life. I
am sure that is the case in my field . . . medicine is just one
big word problem.
Hayley Rintel, Medicine/Pediatrics Resident

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