tarea

1. MÉTODO DE LA CORTEZA CILÍNDRICA
En el caso del método de la corteza cilíndrica, el
elemento de área se dibuja “paralelo al eje de
rotación y el elemento de que genera es un
solido contenido entre dos cilindros con el
mismo centro y eje de rotación, pero distinto
radio, tal como se muestra en la figura.
Si la corteza cilíndrica tiene un radio interior “r”,
un radio exterior “R” y altura “h” su volumen
esta dado por: 𝑉 = 𝛱 ⋅ 𝑅2
⋅ ℎ − 𝛱 ⋅ 𝑟2
ℎ
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥

2. Sea nuevamente R región del plano limitada por la curva: entre x=a y x=b . Suponiendo la función f continua
y no negativa en [a,b], además que a>0 .
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑎 𝑏
𝑦
𝑥
𝑥 = 𝑎 𝑥 = 𝑏
f𝑥
Sabemos que al girar esta región sobre el eje Y se
forma un solido de revolución. Para encontrar el
volumen de este solido cuando los elementos de área
se toman paralelos al eje Y, procedemos como sigue:
R
Sea P una partición de [a,b] dada
por: 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏
supongamos que 𝑚𝑖, es el punto medio del subintervalo
[𝑥𝑖−1,𝑥𝑖], es decir, 𝑚𝑖 =
1
2
(𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖) ,Consideremos el rectángulo
construido sobre la base [𝑥𝑖−1,𝑥𝑖], con altura 𝑓 𝑚𝑖 y ancho
𝛥𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1
𝑎 𝑏
𝑦
𝑥 = 𝑏
𝑥 = 𝑎
𝑓 𝑚𝑖
𝑥𝑖−1 𝑥𝑖
𝑚𝑖
𝑥

3. 𝑎 𝑏
𝑦
𝑥
𝑥 = 𝑎 𝑥 = 𝑏
𝑓 𝑚𝑖
f(𝑥)
𝑥𝑖−1 𝑚𝑖
𝑥𝑖
Al rotar este rectángulo sobre el eje Y obtenemos una corteza cilíndrica con radio
mayor 𝑥𝑖 ,radio menor 𝑥𝑖−1 y altura h= 𝑓 𝑚𝑖 cuyo volumen estará dado entonces
por: 𝛥𝑉𝑖 = 𝜋 ⋅ 𝑥𝑖
2
⋅ 𝑓 𝑚𝑖 − 𝜋 ⋅ 𝑥𝑖−1
2
⋅ 𝑓 𝑚1
𝛥𝑉𝑖 = 𝜋 𝑥𝑖
2
− 𝑥𝑖−1
2
⋅ 𝑓 𝑚𝑖
𝛥𝑉𝑖 = 𝜋 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑥𝑖 + 𝑥𝑖−1 ⋅ 𝑓 𝑚𝑖
Como 𝛥𝑥𝑖
= 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 y 2𝑚𝑖 = 𝑥𝑖 + 𝑥𝑖+1 tenemos que: 𝛥𝑉𝑖 = 2𝜋 ⋅ 𝑚𝑖 ⋅ 𝑓 𝑚𝑖 ⋅ 𝛥𝑥𝑖
Haciendo girar alrededor del eje Y, los n elementos de área rectangulares, se
obtienen n cortezas cilíndricas. La suma de sus volúmenes esta dada por la suma de
Riemann:
Así , el volumen del solido de revolución viene dado por:
𝑖=1
𝑛
𝛥𝑣𝑖 =
𝑖=1
𝑛
2𝜋 ⋅ 𝑚𝑖 ⋅ 𝑓 𝑚𝑖 ⋅ 𝛥𝑥𝑖
𝑉 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→𝛼
𝑖=1
𝑛
2𝜋𝑚𝑖 ⋅ 𝑓 𝑚 ⋅ 𝛥𝑥𝑖 = 2𝜋
𝑎
𝑏
𝑥 ⋅ 𝑓 𝑥 ⅆ𝑥
𝑥
𝑦

4. EJEMPLO 01:
Calcular el volumen del solido de revolución obtenido al girar en torno al eje Y, la región limitada por la grafica de 𝑦 = 𝑥2
,
el eje X y la recta x=2, usando el método de la corteza cilíndrica.
𝑦
𝑥
𝑥 = 2
𝑉 = 2𝜋
𝑎
𝑏
𝑥 ⋅ 𝑓 𝑥 ⅆ𝑥
𝑉 = 2𝜋
0
2
𝑥 ⋅ 𝑥2. ⅆ𝑥
𝑉 = 2𝜋
1
4
𝑥4
0
2
= 8𝜋 𝑢𝑣
𝑦 = 𝑥2
0 2

5. EJEMPLO 02:
Calcular el volumen del solido de revolución obtenido al girar en torno al eje Y, la región limitada por la grafica de
𝑦 = 𝑥2
+ 1, el eje y=0 y la recta x=1, usando el método de la corteza cilíndrica.
𝑦
𝑥
𝑦 = 𝑥2
+ 1
0 1
1
2
𝑉 = 2𝜋
𝑎
𝑏
𝑥 ⋅ 𝑓 𝑥 ⅆ𝑥
𝑉 = 2𝜋
0
1
𝑥 ⋅ (𝑥2
+ 1). ⅆ𝑥
𝑉 = 2𝜋
0
1
(𝑥3
+ x). ⅆ𝑥
𝑉 = 2𝜋
𝑥4
4
+
𝑥2
2
0
1
=
3
2
𝜋 𝑢𝑣