SlideShare a Scribd company logo
1 of 13
2. Kursusgang – Partielle differentialligninger: Løsningsforslag til opgave 7, afsnit 12.3.     Opgave løsning lagt på BB. D’Alembert’s løsning af bølgeligningen,  				Afsnit 12.4 s. 553-556 i 10. udg.			 											Opgaver: i 9. udg. 11,13,15 Introduktion til næste gang: Potensrækker: Afsnit 5.1, 5.2, 5.3 s. 167-187 i 10. udg..
Løsningsforslag til opgave 7, afs. 12.3 L=1, c2=1  1/4 (Se løsningen igennem igen) x 0 L/2 L Begyndelsesform på trækket i snoren.                             Begyndelseshastighed
Separation af variable Eks.: Vi vil gerne kunne løse bølgeligningen: (…og andre lignende PDE, Se Eks. 1, side 536): 1) Find løsninger på formen u(x,t)=F(x)G(t) ved separation af variable.  	Der fås to konstante udtryk som giver to almindelige differentialligninger. 2) Find løsninger for F(x) og G(t) som opfylder grænsebetingelserne. Ved at sammensætte løsningerne fås: kaldes egenfunktionerne (modes) og  kaldes egenværdierne 3) Brug Fourierrækker (se. side 491, sætn. 1) og begyndelsesbetingelserne u(x,0)-> ulige funktion med periode 2L som løsning -> som generelt kan beskrives ved en Fourier sinusrække med fastsætte koefficienter Bn. Tilsvarende Bn* for ut(x,0).
Løsningen til bølgeligningen I opgave 7 er begyndelseshastigheden
Bestemmelse af Fourier koefficienter hvor
Løsningen u(x,t), til bølgeligningen                    kan findes hurtigere... 3) Ved at indsætte i bølgeligningen fås  uvw = 0  som kan løses ved to gange integration. Se evt. side A68 D’Alembert’s løsning af bølgeligningen 1) Først ved at vælge v=x+ct og w=x-ct 2) Hvad bliver de afledte af u(x,t) mht.xellert nåru(x,t)=u(v(x,t),w(x,t))? Husk kædereglen, evt. afsnit 9.6, side 400-402 og Hvorfor? Resultatet er at d’Alembert’s løsning til                   bliver:
5) Integrer                mht. x og læg til eller træk fra u(x,0) for at isolere  6) Samlet løsning findes som  D’Alembert’s løsning med begyndelsesværdibetingelser Begyndelsesværdibetingelser for strengen (samme som sidst): 4) Find ut(x,t) og brug t=0.  7) Ved at samle integralerne i ét fås Dvs. løsningen afhænger fuldstændig unikt af begyndelsesværdibetingelserne
Karakteristikmetoden Skal være -2B Generel løsningsform til differentialligninger som ligner:  (med d’Alembert’s løsning som et specialtilfælde, se tabellen øverst side 551) ”Normalformen” og ”det der skal til” for at transformere til denne kan findes ved at løse en karakteristisk ligning for differentialligningen: Bemærk ”store”   må ikke forveksles  med               fra før! Løsningerne kaldes karakteristikkerne for differentialligningen og skrives  Der gælder så:
Karakteristikmetoden på bølgeligningen 2) Bølgeligningen kan så skrives: : 1) For at få formen med x og y sættes y=ct  : Hvad med AC-B2?  0 Hvad med AC-B2<  0 Hvad er A,B,C,og F? vi skal løse: Dvs. Hvad bliver karakteristikkerne? For at transformere skal vi altså bruge  Dvs. med y=ct fås:                                          , hvor vi kender resultatet (d’Alembert’s) Bemærk at der faktisk ikke bliver forskel selvom w=ct-x eller w=x-ct. I begge tilfælde fås ”normalformen” uvw=0 og dermed d’Alembert’s løsning som før.
Introduktion til 3. kursusgang: Potensrækker ,[object Object],					Afsnit 5.1 s. 166-170		 ,[object Object],					Afsnit 5.3 s. 177-180		 ,[object Object],					Afsnit 5.4 s. 182-187
Potensrækker For x0=0 Eksempel:  Se flere s. 167, eller Schaum’s
Potensrækkemetoden Afsnit 5.1 s. 166-170 1) Udtryk p(x) og q(x) ved potensrækker 2) Antag  Og indsæt sammen med de afledte i differentialligningen 3) Sammenhold ens potenser af x for at bestemme koefficienterne Se eksempler, side 167 og 168

More Related Content

Featured

PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024Neil Kimberley
 
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)contently
 
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024Albert Qian
 
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie InsightsSocial Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie InsightsKurio // The Social Media Age(ncy)
 
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024Search Engine Journal
 
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
5 Public speaking tips from TED - Visualized summarySpeakerHub
 
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd Clark Boyd
 
Getting into the tech field. what next
Getting into the tech field. what next Getting into the tech field. what next
Getting into the tech field. what next Tessa Mero
 
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search IntentGoogle's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search IntentLily Ray
 
Time Management & Productivity - Best Practices
Time Management & Productivity -  Best PracticesTime Management & Productivity -  Best Practices
Time Management & Productivity - Best PracticesVit Horky
 
The six step guide to practical project management
The six step guide to practical project managementThe six step guide to practical project management
The six step guide to practical project managementMindGenius
 
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...RachelPearson36
 
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...Applitools
 
12 Ways to Increase Your Influence at Work
12 Ways to Increase Your Influence at Work12 Ways to Increase Your Influence at Work
12 Ways to Increase Your Influence at WorkGetSmarter
 
Ride the Storm: Navigating Through Unstable Periods / Katerina Rudko (Belka G...
Ride the Storm: Navigating Through Unstable Periods / Katerina Rudko (Belka G...Ride the Storm: Navigating Through Unstable Periods / Katerina Rudko (Belka G...
Ride the Storm: Navigating Through Unstable Periods / Katerina Rudko (Belka G...DevGAMM Conference
 
Barbie - Brand Strategy Presentation
Barbie - Brand Strategy PresentationBarbie - Brand Strategy Presentation
Barbie - Brand Strategy PresentationErica Santiago
 

Featured (20)

PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
 
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
 
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
 
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie InsightsSocial Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
 
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
 
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
 
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
 
Getting into the tech field. what next
Getting into the tech field. what next Getting into the tech field. what next
Getting into the tech field. what next
 
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search IntentGoogle's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
 
How to have difficult conversations
How to have difficult conversations How to have difficult conversations
How to have difficult conversations
 
Introduction to Data Science
Introduction to Data ScienceIntroduction to Data Science
Introduction to Data Science
 
Time Management & Productivity - Best Practices
Time Management & Productivity -  Best PracticesTime Management & Productivity -  Best Practices
Time Management & Productivity - Best Practices
 
The six step guide to practical project management
The six step guide to practical project managementThe six step guide to practical project management
The six step guide to practical project management
 
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
 
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
Unlocking the Power of ChatGPT and AI in Testing - A Real-World Look, present...
 
12 Ways to Increase Your Influence at Work
12 Ways to Increase Your Influence at Work12 Ways to Increase Your Influence at Work
12 Ways to Increase Your Influence at Work
 
ChatGPT webinar slides
ChatGPT webinar slidesChatGPT webinar slides
ChatGPT webinar slides
 
More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike RoutesMore than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
 
Ride the Storm: Navigating Through Unstable Periods / Katerina Rudko (Belka G...
Ride the Storm: Navigating Through Unstable Periods / Katerina Rudko (Belka G...Ride the Storm: Navigating Through Unstable Periods / Katerina Rudko (Belka G...
Ride the Storm: Navigating Through Unstable Periods / Katerina Rudko (Belka G...
 
Barbie - Brand Strategy Presentation
Barbie - Brand Strategy PresentationBarbie - Brand Strategy Presentation
Barbie - Brand Strategy Presentation
 

2. kursusgang job js

  • 1.
  • 2. 2. Kursusgang – Partielle differentialligninger: Løsningsforslag til opgave 7, afsnit 12.3. Opgave løsning lagt på BB. D’Alembert’s løsning af bølgeligningen, Afsnit 12.4 s. 553-556 i 10. udg. Opgaver: i 9. udg. 11,13,15 Introduktion til næste gang: Potensrækker: Afsnit 5.1, 5.2, 5.3 s. 167-187 i 10. udg..
  • 3. Løsningsforslag til opgave 7, afs. 12.3 L=1, c2=1 1/4 (Se løsningen igennem igen) x 0 L/2 L Begyndelsesform på trækket i snoren. Begyndelseshastighed
  • 4. Separation af variable Eks.: Vi vil gerne kunne løse bølgeligningen: (…og andre lignende PDE, Se Eks. 1, side 536): 1) Find løsninger på formen u(x,t)=F(x)G(t) ved separation af variable. Der fås to konstante udtryk som giver to almindelige differentialligninger. 2) Find løsninger for F(x) og G(t) som opfylder grænsebetingelserne. Ved at sammensætte løsningerne fås: kaldes egenfunktionerne (modes) og kaldes egenværdierne 3) Brug Fourierrækker (se. side 491, sætn. 1) og begyndelsesbetingelserne u(x,0)-> ulige funktion med periode 2L som løsning -> som generelt kan beskrives ved en Fourier sinusrække med fastsætte koefficienter Bn. Tilsvarende Bn* for ut(x,0).
  • 5. Løsningen til bølgeligningen I opgave 7 er begyndelseshastigheden
  • 6. Bestemmelse af Fourier koefficienter hvor
  • 7. Løsningen u(x,t), til bølgeligningen kan findes hurtigere... 3) Ved at indsætte i bølgeligningen fås uvw = 0 som kan løses ved to gange integration. Se evt. side A68 D’Alembert’s løsning af bølgeligningen 1) Først ved at vælge v=x+ct og w=x-ct 2) Hvad bliver de afledte af u(x,t) mht.xellert nåru(x,t)=u(v(x,t),w(x,t))? Husk kædereglen, evt. afsnit 9.6, side 400-402 og Hvorfor? Resultatet er at d’Alembert’s løsning til bliver:
  • 8. 5) Integrer mht. x og læg til eller træk fra u(x,0) for at isolere 6) Samlet løsning findes som D’Alembert’s løsning med begyndelsesværdibetingelser Begyndelsesværdibetingelser for strengen (samme som sidst): 4) Find ut(x,t) og brug t=0. 7) Ved at samle integralerne i ét fås Dvs. løsningen afhænger fuldstændig unikt af begyndelsesværdibetingelserne
  • 9. Karakteristikmetoden Skal være -2B Generel løsningsform til differentialligninger som ligner: (med d’Alembert’s løsning som et specialtilfælde, se tabellen øverst side 551) ”Normalformen” og ”det der skal til” for at transformere til denne kan findes ved at løse en karakteristisk ligning for differentialligningen: Bemærk ”store” må ikke forveksles med fra før! Løsningerne kaldes karakteristikkerne for differentialligningen og skrives Der gælder så:
  • 10. Karakteristikmetoden på bølgeligningen 2) Bølgeligningen kan så skrives: : 1) For at få formen med x og y sættes y=ct : Hvad med AC-B2? 0 Hvad med AC-B2< 0 Hvad er A,B,C,og F? vi skal løse: Dvs. Hvad bliver karakteristikkerne? For at transformere skal vi altså bruge Dvs. med y=ct fås: , hvor vi kender resultatet (d’Alembert’s) Bemærk at der faktisk ikke bliver forskel selvom w=ct-x eller w=x-ct. I begge tilfælde fås ”normalformen” uvw=0 og dermed d’Alembert’s løsning som før.
  • 11.
  • 12. Potensrækker For x0=0 Eksempel: Se flere s. 167, eller Schaum’s
  • 13. Potensrækkemetoden Afsnit 5.1 s. 166-170 1) Udtryk p(x) og q(x) ved potensrækker 2) Antag Og indsæt sammen med de afledte i differentialligningen 3) Sammenhold ens potenser af x for at bestemme koefficienterne Se eksempler, side 167 og 168