2. 2. Kursusgang – Partielle differentialligninger: Løsningsforslag til opgave 7, afsnit 12.3. Opgave løsning lagt på BB. D’Alembert’s løsning af bølgeligningen, Afsnit 12.4 s. 553-556 i 10. udg. Opgaver: i 9. udg. 11,13,15 Introduktion til næste gang: Potensrækker: Afsnit 5.1, 5.2, 5.3 s. 167-187 i 10. udg..
3. Løsningsforslag til opgave 7, afs. 12.3 L=1, c2=1 1/4 (Se løsningen igennem igen) x 0 L/2 L Begyndelsesform på trækket i snoren. Begyndelseshastighed
4. Separation af variable Eks.: Vi vil gerne kunne løse bølgeligningen: (…og andre lignende PDE, Se Eks. 1, side 536): 1) Find løsninger på formen u(x,t)=F(x)G(t) ved separation af variable. Der fås to konstante udtryk som giver to almindelige differentialligninger. 2) Find løsninger for F(x) og G(t) som opfylder grænsebetingelserne. Ved at sammensætte løsningerne fås: kaldes egenfunktionerne (modes) og kaldes egenværdierne 3) Brug Fourierrækker (se. side 491, sætn. 1) og begyndelsesbetingelserne u(x,0)-> ulige funktion med periode 2L som løsning -> som generelt kan beskrives ved en Fourier sinusrække med fastsætte koefficienter Bn. Tilsvarende Bn* for ut(x,0).
7. Løsningen u(x,t), til bølgeligningen kan findes hurtigere... 3) Ved at indsætte i bølgeligningen fås uvw = 0 som kan løses ved to gange integration. Se evt. side A68 D’Alembert’s løsning af bølgeligningen 1) Først ved at vælge v=x+ct og w=x-ct 2) Hvad bliver de afledte af u(x,t) mht.xellert nåru(x,t)=u(v(x,t),w(x,t))? Husk kædereglen, evt. afsnit 9.6, side 400-402 og Hvorfor? Resultatet er at d’Alembert’s løsning til bliver:
8. 5) Integrer mht. x og læg til eller træk fra u(x,0) for at isolere 6) Samlet løsning findes som D’Alembert’s løsning med begyndelsesværdibetingelser Begyndelsesværdibetingelser for strengen (samme som sidst): 4) Find ut(x,t) og brug t=0. 7) Ved at samle integralerne i ét fås Dvs. løsningen afhænger fuldstændig unikt af begyndelsesværdibetingelserne
9. Karakteristikmetoden Skal være -2B Generel løsningsform til differentialligninger som ligner: (med d’Alembert’s løsning som et specialtilfælde, se tabellen øverst side 551) ”Normalformen” og ”det der skal til” for at transformere til denne kan findes ved at løse en karakteristisk ligning for differentialligningen: Bemærk ”store” må ikke forveksles med fra før! Løsningerne kaldes karakteristikkerne for differentialligningen og skrives Der gælder så:
10. Karakteristikmetoden på bølgeligningen 2) Bølgeligningen kan så skrives: : 1) For at få formen med x og y sættes y=ct : Hvad med AC-B2? 0 Hvad med AC-B2< 0 Hvad er A,B,C,og F? vi skal løse: Dvs. Hvad bliver karakteristikkerne? For at transformere skal vi altså bruge Dvs. med y=ct fås: , hvor vi kender resultatet (d’Alembert’s) Bemærk at der faktisk ikke bliver forskel selvom w=ct-x eller w=x-ct. I begge tilfælde fås ”normalformen” uvw=0 og dermed d’Alembert’s løsning som før.
13. Potensrækkemetoden Afsnit 5.1 s. 166-170 1) Udtryk p(x) og q(x) ved potensrækker 2) Antag Og indsæt sammen med de afledte i differentialligningen 3) Sammenhold ens potenser af x for at bestemme koefficienterne Se eksempler, side 167 og 168