ຕຳລາຄະນິດສາດຊັ້ນ ມ5, ສະບັບປັບປຸງໃໝ່

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2014

2. ĥŁŗĮŁŗ
İŅœĵōįįĽŋĮĥĿĮĪŃĺŁĪ ĵ.5 ŌĻŀŊœĵĮ ńœŐĪĽœįŀģŁĮĽŋįĽŋĦĤĮŅœŌijŒņļĺļĮīŁĵĻŊģŀĺĪň
ĤļĦĥĿĮĪŃĺŁĪĨĮŀœĵĪŀĭĿĩĵʼnĺģŅĺŁīļĮİŁĩ ĺĿįįŀİįŀİĦŇİń 2010. ŏĮĤĮŀœĵĪŀĭĿĩĵʼn
ĺģŅĺŁİńĭń 5 ōģĮĤļĦĻŊģŀĺĪňōĵĮŒ: īģŀģĿĺŁĪ, ĥĹŁĵĽijňœņœĮĬŁĮģŋŒĹģįŀģĵŇŒ, ģĵŇŒħŁŗ
ĮĹĮ, ģŁĮijĹʼnijĮŀ ōĸĿ īŁŗĸŁ, īŁŗĸŁijņœĮĬŁĮ, ĤļįŌĤĪ ōĸĿ ģŁĮīŒŗŌĮŒļņĦĤļĦīŁŗ
ĸŁ, ıĮʼnīŁŗĸŁ ōĸĿ ģŁĮĮŁŗŏĨ,œ ŌĥʼnœŁīŁŗĸŁ ōĸĿ ĺĦŀĥĿĮĪŃ, ŐīĵĵŇĵīŃ,Ń ŌĹŀģŌī ńōĸĿ
ŌĸĤŁĹŃŌĥŁĿŏĮōıŒĮijŋĦ.
İŅœĵōįįĽŋĮĻĹʼnĮŐńœĪĽœįŀģŁĮĽŋįĽŋĦĤĮŅœŌijŒņļŏĻıœĽœňŋĮĺŁĵŁĪĽŋĮĽ ňœōĸĿ ijĪŀĭĿ
ĮŁīĮʼnŌļĦ, ĮŁŗŌļʼnŁĥĹŁĵĽĭňœŁĦĥĿĮĪŃĺŁĪŐİŏĨŏœĮĨĹńĪŃİĿħŁŗĹĮŀ ōĸĿ ŌİŀĮŌĥŒļņĦĵŏņĮ
ģŁĮĽŋĮĽĥňœĿĮĪŃĺŁĪ ōĸĿ ĹĨŃŁļŒĮņŏĮĸĿĪįŀĺĦňĤĮŅœŐİ. ŌĮļņœŏĮĭŒńĺĿōĪĦļļģŏĮİŅœĵ
ĻĹʼnĮ ńœŌİŀĮijŋĦĤŗĵœĮňijņœĮĬŁĮŌijŒņļŏĻĮœģŀĽŋĮ ōĸĿ ĥĮňŁŗŏĨŌœĤʼnœŁŏĮģŁĮĽŋĮ-ģŁĮĺļĮ,
ĪĦŒŀĮĮŀœ ĥ ňōĸĿ ĮģŀĽŋĮĺŁĵŁĪĨļģĻŁĤŗĵœĮňŌijŒńĵŌīĵńħŁģĻŊŁĩōĻŊĦŒŌļģĿĺŁĮ ŌijŒņļŏĻœ
ōĭĪŌţŁĿģįŀĺĿijŁįģŁĮĻĮŀİŒŋĮĤļĦŎĸģŏĮİĿħįŇĮŀ. ŌijŒņļĨŒĹĩŏĻıœĽœňŋĮŐĪĽœŋĮĽňœ
ĪĹœĩīĮʼnŌļĦĻŊŁĩĤĮŅœ, ŏĮģŁĮĽŋįĽŋĦİŅœĵĻĹʼnĮ ńœħŒĦŅŐĪįœĮŀħŌŇļʼnŁĥŁŗōĮĿĮŁŗ ĻŊņ ĥŁŗīļį
ĤļĦįĪʼnŌIJŃģĻĪŀŐĹĭœŁœĩŌĻŀŊœĵ.
ĶŁŒĦŏĪģīŗŁĵģŁĮĽŋįĽŋĦİŅœĵĻĹʼnĮ ńœģĥŗĦʼnįŒŗİŁĺĿħŁģĤŗĤœŁĪīģʼnįģʼnijļŒĦŐĪ,œ ĺĿĮĮŀœ
ħŒĦŅĤŗĥĹŁĵĽĹŒĵĵĮņŁŗĭŁŒĮıĭœňŒńĮŁŗŏĨİœŅœĵĻĹʼnĮ ńœħĦŒʼnĨĹŒĩŌįŒĦŃħĪŇįģʼnijļŒĦ ĻŊņ ħĪŇıŃĪijŁĪ
ōĸĹœĺŒĦʼnĥŁŗĥĪŃŌĻŀĮĤļĦĭŁŒĮŐİĩĦŀĺĿĬŁįĮŀĥĮʼnœĥĹŁœĹĭŃĿĩŁĺŁĪģŁĮĺģŅĺŁ. ijĹģŌĽʼnŁ
ħĿĬĹņŁŒĭģŇĥŁŗĥĪŃŌĻŀĮĤļĦĭŁŒĮŌİŀĮĤŗĵœĮňĭŒńĵĥńĮŇĥŁŒ ōĸĿ ŌİŀĮģŁĮĨĹŒĩİįŀİĦŇĥĮŇĮĿ
ijŁįģŁĮĺŅģĺŁijĹģŌĽʼnŁŏĻœĺňĦĤŅœĮ.
ĺĿĬŁįĮŀĥĮʼnœĥĹŁœĹĭŃĿĩŁĺŁĪģŁĮĺģŅĺŁ

3. ĺŁĸĿįŁĮ
ŢœŁ
ijŁģĭń I īģŀģĿĺŁĪ .......................................................................... 1
įĪʼnĭń 1 ĥŁŗĶņĮĶĮŀ ōĸĿ ģŁĮŌĨŒļņĵĥŁŗĶņĮĶĮŀ ..................................................... 1
įĪʼnĭń 2 ĥŁŗĶņĮĶĮŀĭŋįŌĭŒʼnŁģĮŀ, ĥŁŗĶņĮĶĮŀĬģņīĿĻŊļĪ ōĸĿ ıŃĪīĿĻŊļĪ .............. 14
įĪʼnĭń 3 İĿŎĻĩģŌİńĪ, īĹʼnįŒĦʼnİĿĸŃĵŁĮ ōĸĿ ģŁĮŏĻŌœĻĪıĮʼn ........................... 20
ijŁģĭń II ĥĹŁĵĽijňœņœĮĬŁĮģŋŒĹģįŀģĵŇŒ ............................................. 30
įĪʼnĭń 4 ģĵŇŒ .................................................................................................. 30
įĪʼnĭń 5 ģŁĮĥŁŗĮĹĮŏĮģĵŇŒ ............................................................................ 38
įĪʼnĭń 6 ıĮʼnĥĮňģŁģŌīĨŋĮ ............................................................................. 49
ijŁģĭń III ģĵŇŒħŁŗĮĹĮ ..................................................................... 53
įĪʼnĭń 7 ģĵŇŒħŁŗĮĹĮ ....................................................................................... 53
ijŁģĭń IV ģŁĮijĹʼnijĮŀ ōĸĿ īŁŗĸŁ ............................................... 63
įĪʼnĭń 8 ģŁĮijĹʼnijĮŀ ....................................................................................... 63
įĪʼnĭń 9 īŁŗĸŁ .............................................................................................. 68
ijŁģĭń V īŁŗĸŁijņœĮĬŁĮ ................................................................... 83
įĪʼnĭń 10 īŁŗĸŁĥĦʼnĥŁŒ ōĸĿ īŁŗĸŁĸńŌĮōļ ....................................................... 83
įĪʼnĭń 11 īŁŗĸŁĤĮŀœĺļĦ ............................................................................... 103
įĪʼnĭń 12 ĺĵʼnıĮʼnĤĮŀœĺļĦ .............................................................................. 119
įĪʼnĭń 13 ļĿĺĵʼnıĮʼnĤĮŀœĺļĦ .......................................................................... 131
įĪʼnĭń 14 īŁŗĸŁĤĮŀœĺŁĵ ............................................................................... 138
įĪʼnĭń 15 īŁŗĸŁĽŁģĤĮŀœĺļĦ ōĸĿ ĽŁģĤĮŀœĺŁĵ ............................................. 152

4. ijŁģĭń VI ĤļįŌĤĪ ōĸĿ ģŁĮīŒŗŌĮŒļņĦĤļĦīŁŗĸŁ ..................... 166
įĪʼnĭń 16 ĤļįŌĤĪ ōĸĿ ģŁĮīŒŗŌĮŒļņĦĤļĦīŁŗĸŁ ............................................ 166
ijŁģĭń VII ıĮʼnīŁŗĸŁ ōĸĿ ģŁĮĮŁŗŏĨ œ....................................... 176
įĪʼnĭń 17 ļĪŀīŁİŒŋĮōİĦ ōĸĿ ıĮʼnīŁŗĸŁ ...................................................... 176
įĪʼnĭń 18 ģŁĮĮŁŗŏĨıœĮʼnīŁŗĸŁ ....................................................................... 188
ijŁģĭń VIII ŌĥʼnœŁīŁŗĸŁ ōĸĿ ĺĦŀĥĿĮĪŃ ...................................... 203
įĪʼnĭń 19 ĺĦŀĥĿĮĪŃįŒŗĵĤńļį .......................................................................... 203
įĪʼnĭń 20 ĺĦŀĥĿĮĪŃĵĤńļį ............................................................................ 209
įĪʼnĭń 21 ģŁĮĮŁŗŏĨĺœĦŀĥĿĮĪŃ ....................................................................... 215
ijŁģĭń IX ŐīĵĵŇĵīŃ Ń...................................................................... 233
įĪʼnĭń 22 ĺĪňijņœĮĬŁĮŐīĵĵŇĵīŃ Ń..................................................................... 233
˜Ÿ‰¼Ã X ¡ÒÁ‰¡’à .............................................................................. 251
įĪʼnĭń 23 ŌĹŀģŌīŏńĮĺŁĵĵīŃ Ń.......................................................................... 253
ijŁģĭń XI ŌĸĤŁĹŃŌĥŁĿŏĮōıŒĮijŋĦ ............................................. 278
įĪʼnĭń 24 ĽįňŢŁœīĪŀħĹĩ .............................................................................. 278
įĪʼnĭń 25 ĽįňİŁķŁŎįĮ ............................................................................... 283
įĪʼnĭń 26 ĽįňĹĦʼnĵĮʼn ..................................................................................... 291
įĪʼnĭń 27 ĽįňĹĦʼnĽ ń........................................................................................ 299
įĪʼnĭń 28 ĽįňļōńİģŎįĮ .............................................................................. 308

5. ijŁģĭń I īģŀģĿĺŁĪ
įĪʼnĭń 1 ĥŁŗĶņĮĶĮŀ ōĸĿ ģŁĮŌĨŒļņĵīŒŗĥŁŗĶņĮĶĮŀ
1
1. ĥŁŗĶņĮĶĮŀ
ŏĮĨĹńĪŃİĿħŁŗĹĮŀİĿŎĻĩģ ĻŊņ ĺŁŗĮĹĮĭŒńŏĨŏœĮģŁĮĺŒĺņŁĮĵĻńŊŁĩİĿŌijĪŌĨŒŀĮ: İĿ
ŎĻĩģįļģŌĸŒʼnŁ, İĿŎĻĩģİĿīŌŃĺĪ, İĿŎĻĩģĥŁŗĬŁĵ, İĿŎĻĩģĥŁŗĺĦŒŀ, İĿŎĻĩģ
ĥŁŗĽļœĦ ōĸĿ İĿŎĻĩģĥŁŗļĭŇŁĮ.
ħĦŒʼnĺĦŀŌģĪİĿŎĻĩģ ĻŊņ ĺŁŗĮĹĮĸĵŇŒĮōńœĸĹœįļģĹŁŒōĵĮŒİĿŎĻĩģĭŒńĺŁĵŁĪįļģĹŁŒ:
Ĭģņ, ıŃĪ ĻŊņĹŁŒ įŒŗĺŁĵŁĪįļģŐĪĹœŁŒ Ĭģņ ĻŊņĹŁŒ ıŃĪ.
x ōĤĹĦıĦʼnœĺŁĸńĶijŒňŁģŌŢņļĤļĦĸŁĹ
x ŌĪļņĮĭĮŀĹŁ ĵ ń30 ĹĮŀ
x 3 įŒŗŌİŀĮħŁŗĮĹĮĥ ňŒ
x 2 ĻŊŁĩģĹŁŒ 5
x 9 z 3
x ŌħʼnœŁħĿŐİŏĺ?
İĿŎĻĩģ ĻŊņ ĺŁŗĮĹĮĭŒńĺŁĵŁĪįļģŐĪĹœŁŒ Ĭģņ ĻŊņĹŁŒ ıŃĪ ōĵĮŒİĿŎĻĩģ ĻŊņ
ĺŁŗĮĹĮĭŒńĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ. ĥŁŒĥĹŁĵħĦŃĤļĦĵĮŀ, ĬŁœĵ ńōĵĮŒĵijńŋĦōīŢŒŒŅĦĥŁŒĥ:ņ Ĭģņ ĻŊņĹŁŒ
ıŃĪ.
ĮĩŃŁĵ. ĥŁŗĶņĮĶĮŀōĵĮŒİĿŎĻĩģ ĻŊņ ĺŁŗĮĹĮĭŒńĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ.
İĿŎĻĩģ ĻŊņ ĺŁŗĮĹĮĸĵŇŒĮŌńœİŀĮĥŁŗĶņĮĶĮŀ:
x “ĮĿĥļĮĻŊĹĦĹŋĦħĮŀŌİŀĮŌĵļņĦĻŊĹĦĤļĦ ĺŁĭŁĸĿĮĿĸĪŀ İĿĨŁĭŃİĿŐī
İĿĨŁĨĮʼnĸŁĹ” ĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃĬģņ.

6. x “İŁŌİŀĮĺĪŀįģʼn” ĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃıŃĪ.
x “17 8 z 25 ” ĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃıŃĪ.
x “ħŁŗĮĹĮĥĭňŒģŇħŁŗĮĹĮĻŁĮĤŁĪŏĻ œ2 ” ĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃĬģņ.
x “ 2 3 31” ĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃıŃĪ.
ĺĹŒĮİĿŎĻĩģ ĻŊņ ĤŗĥœĹŁĵĭŒńŌİŀĮĥŁŗĬŁĵ, ĥŁŗĺĦŒŀ, ĥŁŗļļœĮĹļĮ, ĥŁŗĤŗĽļœĦ,
ĥŁŗļĭŇŁĮ, ĤŗĻœŁœĵ ĻŊņ ĺĿōĪĦĥĹŁĵİŁĪĬĿŢŁįŒŗŌİŀĮĥŁŗĶņĮĶĮŀ ŌijŁĿĹŁŒŌĽʼnŁįŒŗĺŁĵŁĪ
ŏĻĥœŁŒĥĹŁĵħĦŃĤļĦĵĮŀŐĪ,œ ŌĨŒŀĮĹŁŒ įĮŀĪŁİĿŎĻĩģĸĵŇŒĮįńœŒŗŌİŀĮĥŁŗĶņĮĶĮŀ:
x 10ĻŁĮŏĻ œ2 ŐĪŌœĭŒʼnŁŏĪ?
x ļļģŐİħŁģįŒļĮĮńœ.
x ĶŁŒĸĵʼnģĮŀŌĹĸŁĽŋĮŢĦŀĺ.ņ
x ģĿĸĮŇŁİŃĪİĿīōňĪ.Œ
x Ŏļĩŕ! ŌĽŀĪıŃĪļģńōĸĹœ.
x ĶŁģŌĤʼnœŁĽŋĮīŒŗĵĿĻŁĹĭŃĿĩŁŐĸ.
ĥŁŒĥĹŁĵħĦŃĬģņĤļĦĥŁŗĶņĮĶĮŀĺĮŀĩĿĸģŀĪĹœĩ T ĵŁħŁģijŁĺŁļĦŀģĪŃ ĭŒńĹŁŒ “True”.
ĥŁŒĥĹŁĵħĦŃıŃĪĤļĦĥŁŗĶņĮĶĮŀĺĮŀĩĿĸģŀĪĹœĩ F ĵŁħŁģijŁĺŁļĦŀģĪŃ ĭŒńĹŁŒ “False”.
2. ģŁĮŌĨŒļņĵīŒŗ ōĸĿ ģŁĮİĿīŌŃĺĪĥŁŗĶņĮĶĮŀ
ŏĮĹĨŃŁĥĿĮĪŃĺŁĪ ĻŊņ ŏĮĨĹńĪŃİĿħŁŗĹĮŀħĿijįʼnİĿŎĻĩģ ĻŊņ ĥŁŗĶņĮĶĮŀĭŒńŐĪħœŁģ
ģŁĮŌĨŒļņĵīŒŗİĿŎĻĩģļŒĮņĪĹœĩĥŁŗĹŁŒ: “ōĸĿ”, “ĻŊņ”, “ĻŊņĹŁŒ”, “ĬŁœĹŁŒ... ōĸĹœ...” ĻŊņ
“ģŒīŗŒŗŌĵŒļņ” ĥŁŗŌĻŒʼnŊŁĮ ńœŌļĮńœĹŁŒīĹʼnŌĨŒļņĵīŒŗ. įŁĦĥĦŀœģijŗįʼnİĿŎĻĩģ ĻŊņ ĥŁŗĶņĮĶĮŀĭŒńİŋŒĮ
ōİĦĵŁħŁģİĿŎĻĩģŌĪĵńŎĪĩīŒĵņĥŁŗĹŁŒ “įŒŗ” İĿŎĻĩģĮŌńœļĮńœĹŁŒģŁĮİĿīŌŃĺĪĥŁŗĶņĮĶĮŀ
ŌĨŒŀĮ:
x ŏĮĹĮŀļŁĭŃĪōĸĹœĮ ńœĮŁĦ ĥŁŗ ŐĪŐœİŌĽŀĪģĪŃħĿģŁŗĶŎŒňĽĦĽŋĮ ōĸĿ ŐİōģįœĪʼn
ŌIJŃģĻĪŀĮŁŗţ.Œň
2

7. x ĵļņœŒĮņŌĨʼnœŁĤļœĩħĿļļģħŁģĹŋĦħĮŀŐİŌĵļņĦİŁģŌĨĪĹœĩĭŁĦĸĪʼn ĻŊņĹŁŒ ĭŁĦĩĮʼn.
x ĵĹņœĮŀijģŀĤļœĩħĿĨĹŒĩōĵļŒĿĮŁŐĵŌĽļņĮ ĻŊņ ĪōňĸĮļœĦ.
3
ŌijŒŃĮĺĮŀĩĿĸģŀ:
“ōĸĿ” ĪĹœĩ š
“ĻŊņ” ĪĹœĩ ›
“ĻŊņĹŁŒ” ĪĹœĩ xor
“ĬŁœĹŁŒ... ōĸĹœ...” ĪĹœĩ Ÿ
“ģŒīŗŒŗŌĵŒļņ” ĪĹœĩ œ
“įŒŗ” ĪĹœĩ a ĻŊņ ™
ŌijŒņļĥĹŁĵĺĿĪĹģŏĮģŁĮĺģŅĺŁģŋŒĹģįŀģŁĮŌĨŒļņĵīŒŗĥŁŗĶņĮĶĮŀ ħĿŏĨļœģŀĺļĮ
ŌĨŒŀĮ: p, q, r, … ōĭĮĥŁŗĶņĮĶĮŀĭŒńħĿĮŁŗĵŁŌĨŒļņĵīŒŗ.
2.1 ģŁĮĺŁœĦīŁīĿĸŁĦĥŁŒĥĹŁĵħĦŃĤļĦĥŁŗĶņĮĶĮŀ
ĥŁŗĶņĮĶĮŀŏĮīģŀģĿĺŁĪļŁĪħĿŌİŀĮĥŁŗĶņĮĶĮŀĪŋŒĹ ĭŒńĵijńŋĦōī Œ1 ĥŁŗĶņĮĶĮŀ ĻŊņ
ŌİŀĮĥŁŗĶņĮĶĮŀİĿĺĵʼn ĭŒńİĿģļįĪĹœĩĻŊŁĩĥŁŗĶņĮĶĮŀĩļŒĩ ĻŊņ ĻŊŁĩļŁŎīĵ. ģŁĮĨļģĻŁ
ĥŁŒĥĹŁĵħĦŃĤļĦĥŁŗĶņĮĶĮŀİĿĺĵʼn ōĵĮŒŐĪħœŁģĥŁŒĥĹŁĵħĦŃĤļĦōīĸŒĿļŁŎīĵ ōĸĿ ŐĪ œ
ħŁģĮĩŃŁĵīĹʼnŌĨŒļņĵīŒŗ. ŌĵŒļņĨļģĻŁĥŁŒĥĹŁĵħĦŃĤļĦĭģŇőģĸŗĿĮĤńļĦĥŁŗĶņĮĶĮŀİĿĺĵʼn
īļœĦŐĪŏœĨīœŁīĿĸŁĦĭŒńŌļĮńœĹŁŒ īŁīĿĸŁĦĥŁŒĥĹŁĵħĦŃĤļĦĥŁŗĶņĮĶĮŀİĿĺĵʼnĮĮŀœő.
x ĺŁŗĸįŀĥŁŗĶņĮĶĮŀĪŋŒĹ p ĥŁŒĥĹŁĵħĦŃĤļĦĵĮŀħĿĵ ń2 ģĸŗĿĮĥń:ņ T ĻŊņĹŁŒ F.
īŁīĿĸŁĦĸĵŇŒĮ ńœŌļĮńœĹŁŒīŁīĿĸŁĦĥŁŒĥĹŁĵħĦŃĤļĦ p.
p
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8. x ĬŁœĹŁŒĥŁŗĶņĮĶĮŀİĿĺĵʼn ĵ ń2 ļŁŎīĵŌĨŒŀĮ p ōĸĿ q īŁīĿĸŁĦĥŁŒĥĹŁĵħĦŃ
ħĿĵ ń4 ōĬĹĪĦŒŀĮ:ńœ
4
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x ĬŁœĹŁŒĥŁŗĶņĮĶĮŀİĿĺĵʼn ĵ ń3 ļŁŎīĵŌĨŒŀĮ p, q ōĸĿ r īŁīĿĸŁĦĥŁŒĥĹŁĵħĦŃ
ħĿĵ ń8 ōĬĹĪĦŒŀĮ:ńœ
p q r
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x ĬŁœĹŁŒĥŁŗĶņĮĶĮŀİĿĺĵʼn ĵ ńn ļŁŎīĵ īŁīĿĸŁĦĥŁŒĥĹŁĵħĦŃħĿĵ ń2n ōĬĹ.
2.2 ĮĩŃŁĵīĹʼnŌĨŒļņĵīŒŗ “ōĸĿ”
ĬŁœĹŁŒ p ōĸĿ q ŌİŀĮĥŁŗĶņĮĶĮŀ, “p ōĸĿ q” ĤŋĮōĭĮĪĹœĩĺĮŀĩĿĸģŀ p š q .
īŁīĿĸŁĦĥŁŒĥĹŁĵħĦŃĤļĦ p š q ōĵĮŒ:
p q p š q
T T T
T F F
F T F
F F F
ĤŗĥœĹĮĺĦŀŌģĪ: p š q ĵĥńŁŒ T ŏĮģĸŗĿĮĪńŋĹŌĭŒʼnŁĮĮŀœ ĥ ņp ōĸĿ q ĸĹœĮōīĵŒĥńŁŒ T.

9. 5
ŌĵŒļņ p ōĸĿ q ĵģńĿōĺŐĴ
ĴœŁĪļģŐĴħŒĦŅħĿĽĦŇŒ.
p q
īĹʼnĶŁŒĦ.
ŌĵŒļņ p ōĭĮ 23 5 ĭŒńĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ T,
q ōĭĮ 5 ! 4 ĭŒńĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ T
ŐĪ œp š q ōĭĮ 2 3 5 ōĸĿ 5 ! 4 ĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ T.
ŌĵŒļņ p ōĭĮ 5 4 9 ĭŒńĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ T,
q ōĭĮ 6 ! 9 ĭŒńĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ F
ŐĪ œ p š q
ōĭĮ 5 4 9 ōĸĿ 6 ! 9 ĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ F.
2.3 ĮĩŃŁĵīĹʼnŌĨŒļņĵīŒŗ “ĻŊņ”
ĬŁœĹŁŒ p ōĸĿ q ŌİŀĮĥŁŗĶņĮĶĮŀ, ĥŁŗĶņĮĶĮŀ “p ĻŊņ q” ĤŋĮōĭĮĪĹœĩ “ p› q ”.
īŁīĿĸŁĦĥŁŒĥĹŁĵħĦŃĤļĦ p› q ōĵĮŒ:
p q p › q
T T T
T F T
F T T
F F F
ĤŗĥœĹĮĺĦŀŌģĪ: p› q ĵĥńŁŒ F ŏĮģĸŗĿĮĪńŋĹŌĭŒʼnŁĮĮŀœĥ ņp ōĸĿ q ĸĹœĮōīĵŒĥńŁŒ F.
īĹʼnĶŁŒĦ.
ŌĵŒļņ p ōĭĮ 25 7 ĭŒńĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ T
q ōĭĮ 2 7 ĭŒńĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ T
ĪĦŒŀĮĮŀœ p› q ōĭĮ 2 5 7 ĻŊņ 2 7 ĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ T.

10. ŌĵŒļņ p ōĭĮ 3u6 18 ĭŒńĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ T
q ōĭĮ 85 4 ĭŒńĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ F
ĪĦŒŀĮĮŀœp› q ōĭĮ 3u6 18 ĻŊņ 85 4 ĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ T
ŌĵŒļņ p ōĭĮ 6 7 1 ĭŒńĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ F
q ōĭĮ 3 !1 ĭŒńĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ T
ĪĦŒŀĮĮŀœ p› q ōĭĮ 6 7 1 ĻŊņ 3 !1 ĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ T.
ŌĵŒļņ p ōĭĮ 4u5 24 ĭŒńĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ F
q ōĭĮ 3 6 8 ĭŒńĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ F
ĪĦŒŀĮĮŀœ p› q ōĭĮ 4u5 24 ĻŊņ 3 6 8 ĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ F.
6
ŌĵŒļņ p ĻŊņ q ĵģńĿōĺ
ŐĴĴœŁ ĪļģŐĴħĿĽĦŇŒ.
P
q
2.4 ĮĩŃŁĵīĹʼnŌĨŒļņĵīŒŗ “ĻŊņĹŁŒ”
ĬŁœĹŁŒ p ōĸĿ q ŌİŀĮĥŁŗĶņĮĶĮŀ, ĥŁŗĶņĮĶĮŀ “p ĻŊņĹŁŒ q” ĤŋĮōĭĮĪĹœĩ
“p xor q ”.
īŁīĿĸŁĦĥŁŒĥĹŁĵħĦŃĤļĦ p xor q ōĵĮŒ:
p q p xor q
T T F
T F T
F T T
F F F
ĤŗĥœĹĮĺĦŀŌģĪ: p xor q ĵĥńŁŒ T ŏĮģĸŗĿĮ ńP ōĸĿ q ĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃīŁŒĦģĮŀ.

11. īĹʼnĶŁŒĦ: ŌĵŒļņ p ōĭĮ 3u6 18 ĭŒńĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ T
q ōĭĮ 8 5 4 ĭŒńĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ F
ĪĦŒŀĮĮŀœ p xor q ōĭĮ 3u6 18 ĻŊņĹŁŒ 8 5 4 ĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ T.
2.5 ĮĩŃŁĵīĹʼnŌĨŒļņĵīŒŗ “ĬŁœĹŁŒ ... ōĸĹœ ...”
ĬŁœĹŁŒ p ōĸĿ q ŌİŀĮĥŁŗĶņĮĶĮŀ, ĥŁŗĶņĮĶĮŀ “ĬŁœĹŁŒ p ōĸĹœ q” ĤŋĮōĭĮĪĹœĩ
7
“p Ÿ q”.
ŏĮģĸŗĿĮĮń ńœp ŌļĮńœĹŁŒŌĻĪ ōĸĿ q ŌļĮńœĹŁŒıĮʼn. ŌĨŒŀĮ “ĬŁœĹŁŒĮģŀĽŋĮŌĺŀĦŐĪĥœĿōĮĮĪ ń
ōĸĹœĥŏňĻĸœŁĦĹĮŀ” ŌĨŒĦŃ “ĮģŀĽŋĮŌĺŀĦŐĪĥœĿōĮĮĪ”ń ōĵĮŒŌĻĪ, “ĥŏňĻĸœŁĦĹĮŀ” ōĵĮŒıĮʼn.
īŁīĿĸŁĦĥŁŒĥĹŁĵħĦŃĤļĦ p Ÿ q ōĵĮŒ:
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īĹʼnĶŁŒĦ. p ōĭĮ “ĮģŀĽŋĮŌĺŀĦŐĪĥœĿōĮĮĪ”ń, q ōĭĮ “ĥħňĿŏĻĸœŁĦĹĮŀ”.
ŌĵŒļņ p Ĭģņ ōĸĿ q Ĭģņ ħĿŐĪ œp Ÿ q Ĭģņ.
ĺĿōĪĦĹŁŒ “ĬŁœĹŁŒĮģŀĽŋĮŌĺŀĦŐĪĥœĿōĮĮĪ ńōĸĹœĥŏňĻĸœŁĦĹĮŀ” ģŌŗİŀĮŌĻĪıĮʼnĭŒńĬģņīļœĦ.
ŌĵŒļņ p Ĭģņ ōĸĿ q ıŃĪ ħĿŐĪ œp Ÿ q ıŃĪ.
ĺĿōĪĦĹŁŒ “ĬŁœĹŁŒĮģŀĽŋĮŌĺŀĦŐĪĥœĿōĮĮĪ ńōĸĹœĥįňŒŗŏĻĸœŁĦĹĮŀ“ ĮŌńœİŀĮŌĻĪıĮʼnĭŒńıŃĪ.

12. ŌĵŒļņ p ıŃĪ ōĸĿ q Ĭģņ ħĿŐĪ œ p Ÿ q “ʼn.
ĺĿōĪĦĹŁŒ “ĬŁœĹŁŒĮģŀĽŋĮŌĺŀĦįŒŗŐĪĥœĿōĮĮĪ ńōĸĹœĥŏňĻĸœŁĦĹĮŀ“ ģŒŌŗŗİŀĮŌĻĪıĮʼnĭŒńĬģņīļœĦ
ŌĨŒĦŃĥŏňĻĸœŁĦĹĮŀĪĹœĩĺŁŌĻĪļŒĮņ.
ŌĵŒļņ p ıŃĪ ōĸĿ q ıŃĪ ħĿŐĪ œ p Ÿ q “ʼn.
ĺĿōĪĦĹŁŒ “ĬŁœĹŁŒĮģŀĽŋĮŌĺŀĦįŒŗŐĪĥœĿōĮĮĪ ńōĸĹœĥįňŒŗŏĻĸœŁĦĹĮŀ“ ģŒŌŗŗİŀĮŌĻĪıĮʼnĭŒńĬģņ
īœļĦ.
2.6 ĮĩŃŁĵīĹʼnŌĨŒļņĵīŒŗ “ ... ģŒīŗŒŗŌĵŒļņ ...”
ĬŁœĹŁŒ p ōĸĿ q ŌİŀĮĥŁŗĶņĮĶĮŀ, ĥŁŗĶņĮĶĮŀ “p ģŒīŗŒŗŌĵŒļņ q” ĺĮŀĩĿĸģŀĪĹœĩ pœq.
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ĤŗĥœĹĮĺĦŀŌģĪ: pœq ĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ T ŌĵŒļņĥŁŒĥĹŁĵħĦŃĤļĦ p ōĸĿ q ĸĹœĮōīĥŒģņĮŀ.
8
ŌĨŒŀĮ, x2 4œ x r2 .
2.7 ĮĩŃŁĵģŁĮİĿīŌŃĺĪĤļĦĥŁŗĶņĮĶĮŀ
ĬŁœĹŁŒ p ŌİŀĮĥŁŗĶņĮĶĮŀ, İĿīŌŃĺĪĤļĦ p ōĵĮŒ ĥŁŗĶņĮĶĮŀĭŒńĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃģĦʼnģĮŀ
ĤŁœĵģįŀ p. İĿīŌŃĺĪĤļĦ p ĤŋĮōĭĮĪĹœĩ ap (ĻŊņ ™p).
īŁīĿĸŁĦĥŁŒĥĹŁĵħĦŃĤļĦ ap ōĵĮŒ:
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13. 9
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¥‘Ê ap ­Ÿ¡“ÂŒ “2 •ÀÉ¡–Á”ÀŸ”Ò”–Ɖ‰ž’” ¼ÃɚËɟ‹ÒŸšÂŒ F.
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3. ‰Ÿ”‰œŸ‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒŠŒ‹ÀŸ›Å”›Á”–žŽÆš
3.1 ŎĪĩŏĨīœŁīĿĸŁĦ
¡šÅɝ›Ÿ‰ÓÈÊ‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒŠŒ‹ÀŸ›Å”›Á”–žŽÆšŽÀŸ¾Á•¼Ç‰¦‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒŠŒ‹ÀŸ›Å”›Á”
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14. ¡ÓÆŸŽŸ
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Š. ŽÊŸŒ“Á”’¥ÀÉ–”ÃÊ: p, p š q, p š q ¢¾ž ( p š q) › p š q

15. ‹. ’ÅÉš‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒ¤ŽÉ’Ÿ’ž¾ŸŒ£‘ÃŒ¤ŽÉ”Ÿš:
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17. ’ÆқɟŒ 2. ŽÊŸŒ’Ÿ’ž¾ŸŒ‹ÉŸ‹ÒŸšŒÂŠŒ‹ÀŸ›Å”›”Á p š q

18. œ r
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19. œ r
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10
3.2 ŎĪĩŏĨōœıĮĹŁĪ
¡šÅɝ›Ÿ‰ÓÈÊ‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒŠŒ‹ÀŸ›Å”›Á”–žŽÆš ŽÀŸ¾Á•‰À¾ž”䑬ÄÉŒŸ‘ž¤Ê¢—”
ÒŸ‘ŒÉŸ¥šÊ.
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20. ¡šÅɝ‰ÀŸ”Æ‘¤œÊ p ¢¾ž q
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22. ’ÆқɟŒ 2. ‰Ÿ”‰œŸ‹ŸÉ‹ÒŸšÂŒŠŒ pŸq

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11
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’ÆқɟŒ 3. ‰Ÿ”‰œŸ‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒŠŒ ª¬ p š q

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28. ¡šÅɝ‰ÀŸ”Æ‘¤œ‹ÊÉŸ
‹ÒŸšÂŒ p ¢¾ž s “ʼn, q ¢¾ž r —‘.
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29. įĪʼnŌIJŃģĻĪŀ
1. İĿŎĻĩģīŒŗŐİĮŌńœİŀĮĥŁŗĶņĮĶĮŀ ĻŊņįŒŗ? ĬŁœĹŁŒŌİŀĮŏĻįœļģĥŁŒĥĹŁĵħĦŃĤļĦĵĮŀijļœĵ.
ģ. ħĦŒʼnĭŁŗĪ!ń ħĦŒʼnĭŁŗĪ!ń ħĦŒʼnĭŁŗĪ!ń Ĥ. ŌħŁʼnœĺĿįŁĩĪįńŒŗ?
ĥ. ħĦŒʼnĶĪŒňĵńĺńģŇ! Ħ. ĻŁœĵŌĪĮńĤĿįĹĮŎĪĩŌĪŀĪĤŁĪ.
ħ. ŌħŁʼnœĨĹŒĩĤļœĩōĪ!Œ ĺ. ĮģʼnĵĻń.ň
Ĩ. ŎĸģĵĮŀģĵʼn. ĩ. 2 2 4
Ī. 3 ŌİŀĮħŁŗĮĹĮĥ ňŒ ī. 12 z 4 7
2. ħĦŒʼnĤŋĮĺĮŀĩĿĸģŀōĭĮĥŁŗĶņĮĶĮŀĸĵŇŒĮ ńœōĸĿ įļģĥŁŒĥĹŁĵħĦŃĤļĦĵĮŀijļœĵ.
ģ. ĦŌňĻŒʼnŁ ōĸĿ ĦħňĦʼnļŁĦŌİŀĮĺĪŀĵijńŃĪ
Ĥ. 3 z 4 ĻŊņ 3 t 4
ĥ. ĬŁœĹŁŒ 2 ŌİŀĮħŁŗĮĹĮĥ ňŒōĸĹœ 4 ŌİŀĮħŁŗĮĹĮĥģń
Ħ. ĬŁœĹŁŒ 2 5 6 ōĸĹœ 2u6 12
3. ħĦŒʼnĨļģĥŁŒĥĹŁĵħĦŃĤļĦĥŁŗĶņĮĶĮŀĸĵŇŒĮ.ńœ
ģ. 0 ŌİŀĮħŁŗĮĹĮĭŁŗĵĿĨŁĪ ōĸĿ 5 ŌİŀĮħŁŗĮĹĮĬĹœĮ
Ĥ. 3u3 6 3 ōĸĿ 30 1
ĥ. 2 ŌİŀĮħŁŗĮĹĮĥ ňŒĻŊņ 3 ŌİŀĮħŁŗĮĹĮĥģŃ
Ħ. ĬŁœĹŁŒ 2 2 4ōĸĹœħĿŐĪ œ4 4 12
ħ. ĬŁœĹŁŒ 1 2 3 ōĸĹœħĿŐĪ œ3 4 7
ĺ. ª¬2 2 5

30. š3 3 3

31. º¼Ÿ5 4 8

32. Ĩ. ª¬2 2 5

33. › 3 3 3

34. º¼œ5 4 8

35. 12

36. 3. ħĦŒʼnĨļģİĿīŌŃĺĪĤļĦĥŁŗĶņĮĶĮŀīŒŗŐİĮ ńœōĸĹœĻŁĥŁŒĥĹŁĵħĦŃĤļĦĥŁŗĶņĮĶĮŀ ĭŒńŌİŀĮ
İĿīŌŃĺĪĮĮŀœ.
ģ. 4 8 5 7 Ĥ. 2 įŒŗŌİŀĮħŁŗĮĹĮħĦŃ
ĥ. ŐģŌŒİŀĮĺĪŀİńģ Ħ. 23 80
4. ħĦŒʼnĨļģĥŁŒĥĹŁĵħĦŃĤļĦĥŁŗĶņĮĶĮŀŌĵŒļņģŁŗĮĪʼnĥŁŒĥĹŁĵħĦŃĺŁŗĸįŀįŁĦĥŁŗĶņĮĶĮŀĪĦŒŀīŒŗ
ŐİĮńœ:
ģ. pŸ(qŸr) ŌĵŒļņ qŸ r ĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ T
Ĥ. (pŸq) š (rŸs) ŌĵŒļņ pŸq ĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ F ōĸĿ rŸs ĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ T
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Ħ. (p š q)Ÿ(r › s) ŌĵŒļņ p š q ĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ F
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Ī. p š (qŸr) ŌĵŒļņ qŸ r ĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ F
ī. (p› q)Ÿ(r šs) ŌĵŒļņ p › q ĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ T ōĸĿ r š s ĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ F
Ĭ. p› (qŸr) ŌĵŒļņ qŸ r ĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃ T
5. ħĦŒʼnĺŁœĦīŁīĿĸŁĦĥŁŒĥĹŁĵħĦŃĤļĦĥŁŗĶņĮĶĮŀīŒŗŐİĮ:ńœ
ģ. pŸ(qŸr) Ĥ. p› (qŸr)
ĥ. (p› q)Ÿ(r šs) Ħ. (p š (pŸq))Ÿq
ħ. pŸ( p š q) ĺ. (pŸ q)Ÿ(q› p)
13

37. įĪʼnĭń 2 ĥŁŗĶņĮĶĮŀĭŋįŌĭŒʼnŁģĮŀ, ĥŁŗĶņĮĶĮŀĬģņīĿĻŊļĪ ōĸĿ
14
ıŃĪīĿĻŊļĪ
1. ‹ÀŸ›Å”›Á”¼Ô•¡¼ÆÉŸ‰Á”
ħĦŒʼnĺĦŀŌģĪīŁīĿĸŁĦĥŁŒĥĹŁĵħĦŃĤļĦĺļĦĥŁŗĶņĮĶĮŀ a(p› q) ōĸĿ apš aq
p q p › q a(p › q) ap aq ap š aq
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Ÿ‰’Ÿ’ž¾ŸŒ¡œÁ”ÒÉŸ a(pvq) ‰Á• ap š aq šÃ‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒ‹Å‰Á”¼Ç‰¦‰À¾ž”Ã.
”Ÿš. ¡šÅɝ‹ÀŸ›Å”›Á”–žŽÆš A ¢¾ž B šÃ‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒ‹Å‰Á”¼Ç‰¦‰À¾ž”à ¡˜ÂÉ”ÒÉŸ A ¢¾ž
B ¼Ô•¡¼ÆÉŸ‰Á” ¢¾ž ŽÁ”ž¾Á‰ A { B. ‰ÆŒ‰Á”ŠÊŸš¡˜ÂÉ”ÒÉŸ A ¢¾ž B •Àɼԕ
¡¼ÆÉŸ‰Á” ¢¾ž ŽÁ”ž¾Á‰ A z B.
Ÿ‰”Ÿš ¥‘Ê a(pvq) { ap š aq (1)
’ÆқɟŒ 1. ÆÉŒ‰Ò‘¡•ÂÉŒÒÉŸ p Ÿ q ¼Ô•¡¼ÆÉŸ‰Á• ap› q œÙÅ•ÀÉ?
•Æ‘¢‰Ê: ŽÊŸŒ’Ÿ’ž¾ŸŒ‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒ
p q p Ÿ q ap ap › q
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Ÿ‰’Ÿ’ž¾ŸŒ¡œÁ”ÒÉŸ p Ÿ q ‰Á• ap› q šÃ‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒ‹Å‰Á”¼Ç‰¦‰À¾ž”Ã.
‘ÁÉŒ”ÁÊ”,
(p Ÿ q) { ap›q (2)

38. ’ÆқɟŒ 2. ÆÉŒ‰Ò‘¡•ÂÉŒÒÉŸ p š q

39. { p› q œÙÅ•ÀÉ.
•Æ‘¢‰Ê:
p q p q p šq (p š q) p› q
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15
‘ÁÉŒ”ÁÊ”,
(p š q) { p› q (3)
’ÆқɟŒ 3. ÆÉŒ‰Ò‘¡•ÂÉŒÒÉŸ (pŸq) { ( qŸ p) œÙÅ•?ÀÉ
•Æ‘¢‰Ê:
p q p q pŸq qŸ p
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ĪĦŒŀĮĮŀœ,
(pŸq) { ( qŸ p) (4)
ŽŸšŸ‘Žž¢‘Œ¤œÊ¡œÁ”ÒÉŸ
pœq ( pŸq) š (qŸ p) (5)
ŽÈ‘ (1) ¢¾ž (3) ¡ÃÊ”ÒÉŸ ŽÈ‘ŠŒ š‰¢‰” (De Morgan’s laws).
ŽÈ‘ (4) šÁ‰¤Ê¤”‰Ÿ”˜ÂŽÈ‘¢••ÑÅ”.
Ÿ‰ŽÈ‘ (5) ¡˜ÂÉ”ÒÉŸ p ¡–Á”¡ŒÅɝ”¥ŠÀŸ¡–Á”ŽÀŸ¾Á• q ¢¾ž q ¢šÉ”¡ŒÅɝ”¥Š˜ÔŒ˜À
ŽÀŸ¾Á• p.

40. ’ÆқɟŒ 4. ÆÉŒ‰Ò‘¡•ÂÉŒÒÉŸ ( pŸq)Ÿr ¼Ô•¡¼ÆÉŸ‰Á• pŸ(qŸr) œÙÅ•ÀÉ?
•Æ‘¢‰Ê: ŽÊŸŒ’Ÿ’ž¾ŸŒ‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒ
p q r p Ÿq (p Ÿ q) Ÿ r q Ÿ r p Ÿ (q Ÿ r)
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Ÿ‰’Ÿ’ž¾ŸŒ¡œÁ”ÒÉŸ pŸq

41. Ÿr ‰Á• pŸqŸr

42. šÃ‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒ•Àɋʼn”Á.
ĪĦŒŀĮĮŀœ, pŸq

43. Ÿr z pŸqŸr

44. 2. ĥŁŗĶņĮĶĮŀĬģņīĿĻŊļĪ ōĸĿ ıŃĪīĿĻŊļĪ
2.1 ‹ÀŸ›Å”›Á”“ʼn’žœÙ‘
ÆÉŒŽÁŒ¡‰‘‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒŠŒ‹ÀŸ›Å”›Á” “”ŸŒ‹ÀŸ¡Á•¢ŠÊÒ ¾ŸÒ’ʝŒ¥–œŸ¼Á”’ž¢˜‘.
”ŸŒ ‹ÀŸ ¡Á•¢ŠÊÒ Žž¢‘ŒÒÉŸ¾ŸÒ¥–œŸ¼Á”’ž¢˜‘”.
16
¤œÊ p ¢¼” ”ŸŒ ‹ÀŸ ¡Á•¢ŠÊÒ.
q ¢¼” ”ŸŒ ‹ÀŸ ¥–œŸ¼Á”’ž¢˜‘.
Ÿ‰’ž’Ÿ¾ŸŒ‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒ
p q pŸq ( pŸq) š p (( pŸq) š p)Ÿq
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45. Žž¢‘ŒÒÉŸ (( pŸq) š p)Ÿq šÃ‹ÉŸ‹ÒŸšŒÂ“ʼn ¤”¼Ç‰¦‰À¾ž”Ã, ¡ÂÉŒ­Ÿ‹ÒŸš
ÒÉŸ‹ÀŸ›Å”›Á” “”ŸŒ‹ÀŸ¡Á•¢ŠÊÒ ¾ŸÒ’ʝŒ¥–œŸ¼Á”’ž¢˜‘. ”ŸŒ ‹ÀŸ ¡Á•¢ŠÊÒ Žž¢‘ŒÒÉŸ
¾ŸÒ¥–œŸ¼Á”’ž¢˜‘” “ʼn’ʝŒ.
”Ÿš. ‹ÀŸ›Å”›Á”–žŽÆš ¼ÃÉ‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒŠŒšÁ”“ʼn¤”¼Ç‰¦‰À¾ž”à ¡˜ÂÉ”ÒÉŸ ¡–Á”‹ÀŸ›Å”›Á”
17
“ʼn’žœÙ‘.
’ÆқɟŒ 1. ÆÉŒ‰Ò‘¡•ÂÉŒÒÉŸ p š q

46. Ÿp “ʼn’žœÙ‘ œ•ÙÅÀÉ.
•Æ‘¢‰Ê: ŽÊŸŒ’Ÿ’ž¾ŸŒ‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒ
p q pšq (pšq) Ÿ p
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Ÿ‰’Ÿ’ž¾ŸŒ ¡œÁ”ÒÉŸ (pšq) Ÿ p šÃ‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒ“ʼn¼Ç‰¦‰À¾ž”Ã.
‘ÁÉŒ”ÁÊ”, ( p š q)Ÿ p “ʼn’žœÙ‘.
’ÆқɟŒ 2. ÆÉŒ‰Ò‘¡•ÂÉŒÒÉŸ pŸp › q

47. “ʼn’žœÙ‘ œ•ÙÅÀÉ.
•Æ‘¢‰Ê: ŽÊŸŒ’Ÿ’ž¾ŸŒ‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒ
p q p › q pŸp › q

48. T T T T
T F T T
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Ÿ‰’Ÿ’ž¾ŸŒ ¡œÁ”ÒÉŸ pŸp › q

49. šÃ‹ÉŸ‹ÒŸšŒÂ“ʼn¼Ç‰¦‰À¾ž”Ã.
‘ÁÉŒ”ÁÊ”, pŸp › q

50. “ʼn’žœÙ‘.

51. 18
2.2 ‹ÀŸ›Å”›Á”—‘’žœÙ‘
ÆÉŒŽÁŒ¡‰‘’Ÿ’ž¾ŸŒ‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒŠŒ p š q

52. š q ’¥ÀÉ–”ÃÊ:
p q aq p š q p š q

53. š q
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Ÿ‰’Ÿ’ž¾ŸŒ ¡ÓÆŸ¥‘Ê‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒŠŒ‹ÀŸ›Å”›Á” p š q

54. š q —‘¼Ç‰¦‰À¾ž”Ã.
”Ÿš. ‹ÀŸ›Å”›Á”–žŽÆš ¼ÃÉ‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒŠŒšÁ”—‘¤”¼Ç‰¦‰À¾ž”à ¡˜ÂÉ”ÒÉŸ ¡–Á”‹ÀŸ›Å”›Á”
—‘’žœÙ‘.
’ÆқɟŒ 1. ÆÉŒ‰Ò‘¡•ÂÉŒÒÉŸ p š q

55. šqŸ p

56. ¡–Á”‹ÀŸ›”Å›Á”—‘’žœÙ‘ œ•ÙÅÀÉ.
•Æ‘¢‰Ê: ŽÊŸŒ’Ÿ’ž¾ŸŒ‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒ
p q p š q ap qŸ p p š q

57. šqŸ p

58. T T T F F F
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F T F T T F
F F F T T F
Ÿ‰’Ÿ’ž¾ŸŒ ¡œÁ”ÒÉŸ ( p š q) š (qŸ p) šÃ‹ÉŸ‹ÒŸšŒÂ—‘¼Ç‰¦‰À¾ž”Ã.
‘ÁÉŒ”ÁÊ”, ( p š q) š (qŸ p) —‘’žœÙ‘.
­Ÿ¡œ‘: ‹ÀŸ›Å”›Á”–žŽÆš¼ÃÉ•Àɗ‘’žœÙ‘ šÃ‹ÒŸš­Ÿ‘ÔÒ‰Á”‰Á••Àɓʼn’žœÙ‘

59. ’ÆқɟŒ 2. ÆÉŒŽÁŒ¡‰‘¡•ÂÉŒ‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒŠŒ ( p › q)Ÿ( p š q) .
•Æ‘¢‰Ê: ŽÊŸŒ’Ÿ’ž¾ŸŒ‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒ
p q p › q p š q ( p › q)Ÿ( p š q)
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Ÿ‰’Ÿ’ž¾ŸŒ ¡œÁ”ÒÉŸ ( p › q)Ÿ( p š q)šÃ‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒ•Àɓʼn’žœÙ‘ ¢¾ž •ÀÉ—‘Â
’žœÙ‘.
2. •Æ‘¡Ñ‰œÁ‘
1. ÆÉŒ”ÀŸ¤Ê’Ÿ’ž¾ŸŒ‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒ¡˜Åɝ‰Ò‘¡•ÂÉŒÒÉŸ‹ÀŸ›Å”›Á”¾ÇÉš”Ãʼԕ¡¼ÆÉŸ‰Á”œÙÅ•ÀÉ.
a. a(pšaq) , ap›q
b. a(ap›aq) , p›q
c. (pšaq) ›a(pšq), a(p›aq) › (ap›aq)
d. pš (aq›ar) , (pšaq) › (pšar)
2. ÆÉŒŽÊŸŒ’Ÿ’ž¾ŸŒ‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒ¡˜ÅɝŽž¢‘Œ¤œÊ¡œÁ”ÒÉŸ‹ÀŸ›Å”›Á”¾ÇÉš”Ãʓʼn’žœÙ‘,
—‘’žœÙ‘ œÙÅÒÉŸ•Àɓʼn’žœÙ‘.
a. (pŸq)š q)Ÿ p b. ((pŸq) š (qŸr))Ÿ(pŸr)
c. ( (p› q)š q)Ÿp d. (((pŸq) š (rŸs)) š (p › r))Ÿ(q › s)
e. (((pŸq) š (rŸs)) š ( q› s))Ÿ( p› r)
19
3. ÆÉŒ˜ÂŽÈ‘ÒÉŸ:
a. pŸq { p › q b. pœq { pŸq

60. šqŸp

61. c. p š p { p d. p › p { p
e. p š q { q š p f. p › q { q › p
g. (p › (q š r)) { ((p › q) š(p › r)) h. (p › q) { ( pš q)
i. (pŸq) { (pš q) j. (p š q)Ÿr { pŸ(qŸr)

62. •Æ‘¼Ã 3 –ž£œ‰¡–Ñ, ’ÆÒ•ÆÉŒ–ž¾ÂšŸ” ¢¾ž ‰Ÿ”¤œÊ¡œ‘—Æ”
1. –ž£œ‰¡–Ñ
ĮĩŃŁĵ. İĿŎĻĩģŌİńĪ ōĵĮŒİĿŎĻĩģĭŒńĵīńĹʼnİŒŋĮ ōĸĿ ĺŁĵŁĪŏĻĥœŁŒĥĹŁĵħĦŃĤļĦĵĮŀ
ŐĪŌœĵŒļņĽĥňœŁŒĤļĦīĹʼnİŒŋĮ ŌĨŒŀĮ:
x ¡˜ÂÉ”¡–Á””Á‰‰Ÿ”¡šÅŒ ¡–Á”–ž£œ‰¡–Ñ¡˜ŸžÒÉŸšÃ’ÆÒ–ÉÔ” “¡˜ÂÉ””, ¡šÅɝ¢¼”
“ŌijŒŃĮ” ĪĹœĩįģŇĥĮʼnŏĪŢŒŅĦōĸĹœħĿŌİŀĮĥŁŗĶņĮĶĮŀ.
x x y 0 ¡–Á”–ž£œ‰¡–Ñ ¡˜ŸžÒÉŸšÃ’ÆÒ–ÉÔ”ŽŒ’ÆÒ x ¢¾ž y , ¡šÅɝ¢¼”
‹ÉŸ x ¢¾ž y ‘ÊҐÀŸ”Ò”ÂŒ¤‘¦¢¾Êҍž¡–Á”‹ÀŸ›Å”›Á”.
x 3x 2 1 ¡–Á”–ž£œ‰¡–Ñ ¡˜ŸžÒÉŸšÃ’ÆÒ–ÉÔ” x , ¡šÅɝ¢¼”‹ÉŸ x ‘ÊҐÀŸ
”Ò”ÂŒ¤‘¦¢¾Êҍž¡–Á”‹ÀŸ›Å”›Á” ¡ÁÉ”:
¡šÅɝ¢¼” x ‘ÊҐ 0 ¥‘Ê 0 2 1 ¥‘Ê‹ÀŸ›Å”›Á”¼šÃÉËɟ‹ÒŸšŒÂ—‘,
¡šÅɝ¢¼” x ‘ÊҐ 1 ¥‘Ê 3 2 1 ¥‘Ê‹ÀŸ›Å”›Á”¼šÃÉËɟ‹ÒŸšŒÂ“ʼn,
¡šÅɝ¢¼” x ‘ÊҐ 2 ¥‘Ê 6 2 1 ¥‘Ê‹ÀŸ›Å”›Á”¼šÃÉËɟ‹ÒŸšŒÂ—‘.
20
2. ’ÆÒ•ÆÉŒ–ž¾ÂšŸ”
ŏĻ œP(x) ŌİŀĮİĿŎĻĩģŌİńĪĭŒńĵīńĹʼnİŒŋĮ x . īĹʼnįŒĦʼnİĿĸŃĵŁĮŏĮīģŀģĿĺŁĪĵ ń2
īĹʼnĥ:ņ ōĸĿ ŌĨŒĦŃĵĥńĹŁĵţŁĩĪĦŒŀĮ:ńœ
x,P(x) ţŁĩŌĬĦŃ P(x) ĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃĬģņ ĺŁŗĸįŀĭģŇőĥŁŒĤļĦīĹʼnİŒŋĮ x ,
x,P(x) P(x)
ţŁĩŌĬĦŃ ĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃĬģņ ĺŁŗĸįŀįŁĦĥŁŒĤļĦīĹʼnİŒŋĮ x ĻŊņ
ŌĹʼnœŁļģńōįįŢŒŅĦĹŁŒ ĵįńŁĦĥŁŒĤļĦ x ĭŒń P(x) ĵĥńŁŒĥĹŁĵħĦŃĬģņ.

63. īĹʼnĶŁŒĦ 1. ħĦŒʼnĤŋĮĤŗĥœĹŁĵīŒŗŐİĮŎńœĪĩŏĨīœĹʼnįŒĦʼnİĿĸŃĵŁĮ.
ĺŁŗĸįŀĭģŇőĥŁŒĤļĦ x ĭŒńŌĽŀĪŏĻ œx 0 x.
ĵįńŁĦĥŁŒĤļĦ x ĭŒńŌĽŀĪŏĻ œ
x 1 ! 3.
ĺŁŗĸįŀĭģŇőĥŁŒĤļĦ x ōĸĿ ĵįńŁĦĥŁŒĤļĦ y ĭŒńŌĽŀĪŏĻ œx y 0.
ĺŁŗĸįŀĭģŇőĥŁŒĤļĦ x ōĸĿ y ĭŒńŌĽŀĪŏĻ œx y y x.
ĵįńŁĦĥŁŒĤļĦ x ōĸĿ y ĭŒńįĹģģĮŀŐĪ œ5
21
ĹŃĭńĤŋĮ: 1)
2)
3)
4)
5)
x, x 0 x.
x, x 1 ! 3.
xy, x y 0.
x y, x y y x.
xy, x y 5.
3. ‰Ÿ”–ž’¡Ž‘’ÆÒ•ÆÉŒ–ž¾ÂšŸ”
ħĦŒʼnĺĦŀŌģĪŌįŒĦŃģŁĮİĿīŌŃĺĪīŒŗŐİĮ:ńœ
x •ÀÉ¢šÉ”¼ÃÉÒÉŸ¼Ç‰¦‹Æ”¤”œÊŒÓÔ”•ÀÉšÁ‰‹ÒŸšŽžŸ‘ ­Ÿ¡“ÂŒšÃ•ŸŒ‹Æ”¤”œÊŒ
ÓÔ” šÁ‰‹ÒŸšŽžŸ‘. ¡šÅɝ¤œÊ P(x) ¢¼”‹Æ”¤”œÊŒÓÔ”•ÀÉšÁ‰‹ÒŸšŽžŸ‘,
ŽŸšŸ‘ŠÔ”–ž£œ‰¼ÃɉɟҚŸ”ÃÊ‘ÊҐŽÁ”ž¾Á‰‘ÁÉŒ”ÃÊ:
x, Px

65. x, P(x).
x •ÀÉ¢šÉ”¼ÃÉÒÉŸšÃ•ŸŒ‹Æ”¤”œÊŒÓÔ”•ÀÉšÁ‰œÙÂÊ”‰Â¾Ÿ ­Ÿ¡“ÂŒ­Æ‘¼Ç‰‹Æ”¤”œÊŒÓÔ”
šÁ‰œÙÂÊ”‰Â¾Ÿ. ¡šÅɝ¤œÊ P(x) ¢¼”‹Æ”¤”œÊŒÓÔ”•ÀÉšÁ‰œ”ÙÂʉ¾Ÿ, ŽŸšŸ‘ŠÔ”–ž
£œ‰¼ÃɉɟҚŸ”ÃÊ‘ÊҐŽÁ”ž¾Á‰‘ÁÉŒ”ÃÊ:
x, Px

67. x, P(x).

68. x, P(x) x, P(x)
x, P(x) x, P(x)

69. 1 2 3 A A A ... A B n š š š š Ÿ
22
ĺĿĻŇŊį:
İĿīŌŃĺĪ ōĵĮŒ
İĿīŌŃĺĪ ōĵĮŒ .
īĹʼnĶŁŒĦ. İĿīŌŃĺĪ “ĮģŀĽŋĮĭģŇőĥĮʼnŐĪĽœŋĮīģŀģĿĺŁĪ“ ŌĨŒĦŃĤŋĮĻĩŗŐœĪĪœĦŒŀĮ ńœ
(x,P(x)) x, P(x)
ōĸĿ ţŁĩĥĹŁĵĹŁŒ ĵĮńģŀĽŋĮįŁĦĥĮʼn įŒŗŐĪĽœŋĮīģŀģĿĺŁĪ.
4. ‰Ÿ”¤œÊ¡œ‘—Æ”
ŌĻĪıĮʼnİĿģļįĪĹœĩĺļĦijŁģĺĹŒĮĥ:ņ ĤŗĺœĵʼnĵĪŇĬŁĮ ōĸĿ ĤŗĺœĿĻŇŊį.
ŏĻœ1 2 n A ,A ,...,A ōĵĮŒĤŗĺœĵʼnĵĪŇĬŁĮ ōĸĿ B ōĵĮŒĤŗĺœĿĻŇŊįĤļĦŌĻĪıĮʼnŢŒŅĦ.
ĺĮŀĩĿĸģŀŌĻĪıĮʼn:
½
°°
¾
°°
¿
1
2
#
n
A
A
A
ĤŗĺœĵʼnĵĪŇĬŁĮ
?B
ĤŗĺœĿĻŇŊį
ĻŊņ ĤŋĮŌİŀĮ
ĮĩŃŁĵ. ŌĵŒļņĥŁŗĶņĮĶĮŀ

70. 1 2 3 n A šA šA š...šA ŸBĬģņīĿĻŊļĪŌijŒŃĮĹŁŒŌĻĪıĮʼnŏĨŐœĪ.œ
ŏĮģĸŗĿĮģńĦʼnģĮŀĤŁœĵŌijŒŃĮĹŁŒŌİŀĮŌĻĪıĮʼnĭŒńŏĨįœŒŗŐĪ.œ
’ÆқɟŒ 1.ÆÉŒŽž¢‘ŒÒÉŸŸ‰ŽŒŠÀÊŽÆššÇ‘“Ÿ”:
A : p q,
A : q,
1
2
Ÿ
¢¾ÊÒŽžœÙÇ•ÒÉŸ B: p ¡–Á”‰Ÿ”¤œÊ¡œ‘—Æ”¼ÃɤÊ¥‘Ê.
22

71. įĪʼnōģ.œ ijŃħŁĸĿĮŁĹŁŒĥŁŗĶņĮĶĮŀ ((pŸq)š q)Ÿ p ŌİŀĮĥŁŗĶņĮĶĮŀĭŒńĬģņ
īĿĻŊļĪĻŊņįŒŗ?
23
ĺŁœĦīŁīĿĸŁĦĥŁŒĥĹŁĵħĦŃ
p q pŸq q (pŸq)š q p ((pŸq)š q)Ÿ p
T T T F F F T
T F F T F F T
F T T F F T T
F F T T T T T
ħŁģīŁīĿĸŁĦ ħĿŌĻŀĮĹŁŒĥŁŗĶņĮĶĮŀ ((pŸq)š q)Ÿ p ŌİŀĮĥŁŗĶņĮĶĮŀĭŒńĬģņ
īĿĻŊļĪ, ħŒĦŅĺĿĻŇŊįŐĪĹœŁŒ ŌĻĪıĮʼnĭŒńģŁŒĹĵŁĮŌńœİŀĮģŁĮŏĻŌœĻĪıĮʼnĭŒńŏĨŐœĪ.œ
īĹʼnĶŁŒĦ 2. ħĦŒʼnijŃħŁĸĿĮŁĹŁŒ ģŁĮŏĻŌœĻĪıĮʼnīŒŗŐİĮŏńœĨŐœĪ œĻŊņ įŒŗ.
ŽÆššÇ‘“Ÿ”:
1) ĬŁœĹŁŒĮŁĦijŃĸŁĮŌńİŀĮŐĤ œōĸĹœĮŁĦijŃĸŁĮħńĿŐİĻŁĭŁŒĮţŗ
2) ĮŁĦijŃĸŁĮ ńŐİĻŁĭŁŒĮţŗ
ĤŗĺœĿĻŇŊį: ĮŁĦijŃĸŁĮ ńŌİŀĮŐĤ.œ
Ò¼â‰Ê. ¤œÊ p ¢¼” ”ŸŒ˜Â¾Ÿ”á–Á”¥ŠÊ
q ōĭĮ ĮŁĦijŃĸŁĮŐńİĻŁĭŁŒĮţŗ
ĪĦŒŀĮĮŀœ, ģŁĮŏĻŌœĻĪıĮʼnĤŁœĦŌĭŃĦļŁĪĤŋĮŏĮĽįňĺĮŀĩĿĸģŀŐĪĪœĦŒŀĮ ńœ
Ÿ
p q
q
p
?

72. ŽÊŸŒ’Ÿ’ž¾ŸŒ‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒŠŒ‹ÀŸ›Å”›”Á ((pŸq) šq)Ÿp .
p q pŸq (pŸq) š q ((pŸq) šq)Ÿp
T T T T T
T F F F T
F T T T F
F F T F T
Ÿ‰’Ÿ’ž¾ŸŒ‹ÉŸ‹ÒŸšÂŒž¡œÁ”ÒÉŸ ((pŸq) šq)Ÿp •Àɓʼn’žœÙ‘
24
¡ÂÉŒ­Ÿ‹ÒŸšÒÉŸ¡œ‘—Æ””ÃʤÊ•ÀÉ¥‘Ê.
ģŁĮijŃĺĪňĹŁŒ ŌĻĪıĮʼnŏĨŐœĪ œĻŊņ ŏĨįœŒŗŐĪļœŁĪŏĨĹœĭŃńĦŁŒŐĵ œĪĦŒŀīĹʼnĶŁŒĦīŒŗŐİĮ:ńœ
īĹʼnĶŁŒĦ3. ħĦŒʼnijŃħŁĸĿĮŁĹŁŒģŁĮŏĻŌœĻĪıĮʼnīŒŗŐİĮŏńœĨŐœĪĻœŊņįŒŗ. (ŎĪĩŏĨĹœĭŃńĦŁŒŐĵ)œ
ŽÆššÇ‘“Ÿ”:
1) ĬŁœĹŁŒĮŁĦijŃĸŁĮŌńİŀĮŐĤ œōĸĹœĮŁĦijŃĸŁĮħńĿŐİĻŁĭŁŒĮţŗ
2) ĮŁĦijŃĸŁĮń ŐİĻŁĭŒŁĮţŗ
ĤŗĺœĿĻŇŊį: ĮŁĦijŃĸŁĮ ńŌİŀĮŐĤ.œ
Ò¼â‰Ê. ¤œÊ p ¢¼””ŸŒ˜Â¾Ÿ”á–Á”¥ŠÊ
q ōĭĮĮŁĦijŃĸŁĮńŐİĻŁĭŒŁĮţŗ
ĪĦŒŀĮĮŀœ, ģŁĮŏĻŌœĻĪıĮʼnĤŁœĦŌĭŃĦļŁĪĤŋĮŏĮĽįňĺĮŀĩĿĸģŀŐĪĪœĦŒŀĮ.ńœ
p Ÿ
q
q
p
?
‰Ÿ”Žž¢‘Œ¤œÊ¡œÁ”ÒÉŸ¡œ‘—Æ””ÃʤÊ¥‘Ê œÙÅ •ÀÉ¢šÉ”‰Ÿ”Žž¢‘Œ¤œÊ¡œÁ”ÒÉŸ
įŒŗĬģņīĿĻŊļĪ įŒŗ?
pŸq

73. š q

74. Ÿp
ĺĵʼnĵĪŇ ĥŁŒĥĹŁĵħĦŃĤļĦĥŁŗĶņĮĶĮŀ ((pŸq) šq)Ÿp ōĵĮŒ F
24

75. 25
ħĿŐĪ:œ
((pŸq) š q) Ÿ p
F T
T T ĭŃĪŏĮģŁĮĥŁŗĮĹĮ
T F
F
įŒŗijįʼnĤŗĤœĪŀōĩĦŒŌĨŒĦŃĺĿōĪĦĤŗĺœĵʼnĵĪŇĭŒńĹŁŒĥŁŒĥĹŁĵħĦŃĤļĦĥŁŗĶņĮĶĮŀ
((pŸq)šq)Ÿp ĵ ńF, ţŁĩĥĹŁĵĹŁŒ ŌĻĪıĮʼnŏĨįœŒŗŐĪ.œ
īĹʼnĶŁŒĦ 4. ħĦŒʼnĺĿōĪĦĹŁŒ ħŁģĺļĦĤŗĺœĵʼnĵĪŇĬŁĮ.
A : p q,
1
A : q,
2
Ÿ
ōĸĹœĺĿĻŇŊįĹŁŒ B: p ŌİŀĮģŁĮŏĻŌœĻĪıĮʼnĭŒńŏĨŐœĪ œŎĪĩŏĨĹœĭŃńĦŁŒŐĵ.œ
įĪʼnōģ.œ ĺĵʼnĵĪŇ ĥŁŒĥĹŁĵħĦŃĤļĦĥŁŗĶņĮĶĮŀ ((pŸq)š q)Ÿ p ōĵĮŒ F
((pŸq) š q)Ÿ p
T F
T T
T F
F
ijįʼnĤŗĤœĪŀōĩĦŒŌĨŒĦŃĺĿōĪĦĤŗĺœĵʼnĵĪŇĭŒńĹŁŒĥŁŒĥĹŁĵħĦŃĤļĦĥŁŗĶņĮĶĮŀ
(( pŸq)š q)Ÿ p ĵ ńF įŒŗĬģņīļœĦ, ţŁĩĥĹŁĵĹŁŒ (( pŸq)š q)Ÿ p
ĬģņīĿĻŊļĪ ōĸĿ ŌĻĪıĮʼnĤŁœĦŌĭŃĦĮŏńœĨŐœĪ.œ

76. •Æ‘¡Ñ‰œÁ‘
1. İĿŎĻĩģīŒŗŐİĮŌńœİŀĮĥŁŗĶņĮĶĮŀ ĻŊņ İĿŎĻĩģŌİńĪ ĻŊņ įŒŗŌİŀĮĭĦŀĥŁŗĶņĮĶĮŀ ōĸĿ
İĿŎĻĩģŌİńĪ.
ģ. ŌĤʼnŁģŁŗĸĦŀĽŋĮĶĨŒňĮŀœĵĪŀĭĿĩĵʼnĺģŅĺŁİńĭń 5.
Ĥ. ŌĤʼnŁģŁŗĸĦŀħĿŐİīĿĻŊŁĪįŒŗ?
ĥ. 8 4 12
Ħ. x2 1
ħ.
2. ŏĻ œP(x) ōĭĮİĿŎĻĩģŌİńĪ ‘‘3 x 7 ”
R(x) ōĭĮİĿŎĻĩģŌİńĪ ‘‘ x ŌİŀĮħŁŗĮĹĮĥ ňŒ”
Gx, y

77. ōĭĮİĿŎĻĩģŌİńĪ ‘‘ x ĻŁĮĤŁĪŏĻ œy ”
Qx, y

78. ōĭĮİĿŎĻĩģŌİńĪ ‘‘xy = 5 ”
ħĦŒʼnĤŋĮİĿŎĻĩģīŒŗŐİĮŌńœİŀĮĥŁŗŌĹʼnœŁ.
a. P(4) b. P(4)ŸR(x)
c. P(2) š R(2) d. R(x)› R(x)
e. G( y, x) f. Q(x, y)› G(x, y)
g. R(10) h. G(x, y) šQ(x, y)
i. Q(2, z) j. ( P(5)š R(5) šQ(x, y))ŸP(x)
26
x2 x 6 x 3

79. x 2

81. 3. ŏĻ œ P(x) ōĭĮİĿŎĻĩģŌİńĪ ‘‘ x ŌİŀĮħŁŗĮĹĮĬĹœĮ”
Q(x) ōĭĮİĿŎĻĩģŌİńĪ ‘‘ x ĵĥńŁŒŢļœĩģĹŁŒ 8”
R(x) ōĭĮİĿŎĻĩģŌİńĪ ‘‘ x ŌİŀĮħŁŗĮĹĮĥ”ňŒ
S(x) ōĭĮİĿŎĻĩģŌİńĪ ‘‘ x ŌİŀĮħŁŗĮĹĮįĹģ”
T(y) ōĭĮİĿŎĻĩģŌİńĪ ‘‘ y 1”
ħĦŒʼnĤŋĮİĿŎĻĩģīŒŗŐİĮĪńœĹœĩĺĮŀĩĿĸģŀ.
a. y ĵĥńŁŒŌİŀĮįĹģ
b. y ŌİŀĮħŁŗĮĹĮĥ ňŒ
c. x ŌİŀĮħŁŗĮĹĮĬĹœĮĭŒńĵĥńŁŒŢļœĩģĹŁŒ 8
d. x ŌİŀĮħŁŗĮĹĮĬĹœĮĭŒńńįŒŗĵĥńŁŒŢļœĩģĹŁŒ 8
e. ĬŁœĹŁŒ x 1 ōĸĹœ x ŌİŀĮħŁŗĮĹĮĬĹœĮįĹģ
f. y ŌİŀĮħŁŗĮĹĮĬĹœĮįĹģĭŒńĵįńŒŗŌĭŒʼnŁ 1
27
4. ŏĻ œP(x) ōĭĮĤŗĥœĹŁĵ “ x ŌİŀĮĮģʼn”
Q(x) ōĭĮĤŗĥœĹŁĵ “ x ŌİŀĮļŁĻŁĮ”
ħĦŒʼnĤŋĮĥŁŗŌĹʼnœŁōĭĮİĿŎĻĩģŌİńĪīŒŗŐİĮ:ńœ
a. b.
c. d.
xP(x)š Q(x)@ x p(x)Ÿ Q(x)@
x p(x) šQ(x)@ x p(x)ŸQ(x)@

82. 5. ŏĻ œP(x) ōĭĮĤŗĥœĹŁĵ “ x ŌİŀĮĨŁĹĮŁ”
Q(x) ōĭĮĤŗĥœĹŁĵ “ x īļœĦŌĽŀĪĹŋģŢģŀ”
ħĦŒʼnĤŋĮĥŁŗŌĹʼnœŁōĭĮİĿŎĻĩģŌİńĪīŒŗŐİĮ:ńœ
a. xP(x)š Q(x)@ b. xP(x)Ÿ Q(x)@
c. xP(x) šQ(x)@ d. xP(x)ŸQ(x)@
6. ŏĻ œP(x) ōĭĮİĿŎĻĩģŌİńĪ “ x ŌİŀĮĨŁĹĮĿĥļĮĻŊĹĦĹŋĦħĮŀ”
Q(x) ōĭĮİĿŎĻĩģŌİńĪ “ x ŌİŀĮĥĮʼnĽģŀĺŁĺŒĦŃōĹĪĸļœĵ”
ħĦŒʼnĤŋĮĺĮŀĩĿĸģŀōĭĮĥŁŗĶņĮĶĮŀīŒŗŐİĮ:ńœ
a. ‘‘ĨŁĹĮĿĥļĮĻŊĹĦĹŋĦħĮŀ ĭģŇĥĮʼnŌİŀĮĥĮʼnĽģŀĺŁĺŒĦŃōĹĪĸļœĵ”
b. ‘‘ĨŁĹĮĿĥļĮĻŊĹĦĹŋĦħĮŀ įŁĦĥĮʼn ŌİŀĮĥĮʼnĽģŀĺŁĺŒĦŃōĹĪĸļœĵ”
c. ‘‘įŒŗĵĨńŁĹĮĿĥļĮĻŊĹĦĹŋĦħĮŀĥĮʼnŏĪ ŌİŀĮĥĮʼnĽģŀĺŁĺŒĦŃōĹĪĸļœĵ”
7. ŏĻ œP(x) ōĭĮİĿŎĻĩģŌİńĪ “ x ŌİŀĮĮģŀĽŋĮ”
Q(x) ōĭĮİĿŎĻĩģŌİńĪ “ x ŌİŀĮĮģŀģĸŃŁ”
28
ħĦŒʼnĤŋĮĺĮŀĩĿĸģŀōĭĮİĿŎĻĩģīŒŗŐİĮ:ńœ
a. “ĮģŀĽŋĮĭģŇĥĮʼnŌİŀĮĮģŀģĸŃŁ”
b. “ĮģŀĽŋĮįŁĦĥĮʼnįŒŗŌİŀĮĮģŀģĸŃŁ”
c. “ĮģŀĽŋĮįŁĦĥĮʼnŌİŀĮĮģŀģĸŃŁ”
d. “įŒŗĵĮńģŀĽŋĮĥĮʼnŏĪŌĸńĩŌİŀĮĮģŀģĸŃŁ”
e. “ĬŁœĹŁŒĮģŀĽŋĮįŁĦĥĮʼnŌİŀĮĮģŀģĸŃŁōĸĹœ įŁĦĥĮʼnħĿįŒŗŌİŀĮĮģŀģĸŃŁ”
f. “ĬŁœĹŁŒĮģŀĽŋĮĭģŇĥĮʼnŌİŀĮĮģŀģĸŃŁōĸĹœ ĮģŀĽŋĮįŁĦĥĮʼnħĿŌİŀĮĮģŀģĸŃŁ”
g. “ĬŁœĹŁŒĮģŀĽŋĮĭģŇĥĮʼnŌİŀĮĮģŀģĸŃŁōĸĹœ ĮģŀģĸŃŁįŁĦĥĮʼnħĿŌİŀĮĮģŀĽŋĮ ”

83. 8. ŏĻ œQ(x) : x ŌİŀĮĺĮŃĥŁœĭŒńĵĥńĮŇĮĿijŁįĪ ń
29
ŌİŀĮĺĮŃĥŁœŏţ Œ
P(x) : x
a. x, P(x)ŸQ(x) b. x, P(x) šQ(x)
c. x,P(x)š Q(x) d. x, P(x)Ÿ Q(x)
ħŁģİĿŎĻĩģĤŁœĦŌĭŃĦĮ.ńœ
1. ħĦŒʼnĤŋĮİĿŎĻĩģĥŁŗŌĹʼnœŁōĭĮİĿŎĻĩģĺĮŀĩĿĸģŀ,
2. ħĦŒʼnĨļģģŁĮİĿīŌŃĺĪĭŒńŌİŀĮĺĮŀĩĿĸģŀ ōĸĿ ĤŋĮŌİŀĮİĿŎĻĩģĥŁŗŌĹʼnœŁ.
9. ħĦŒʼnģĹĪĺļįŌįŒĦŃĹŁŒģŁĮŏĻŌœĻĪıĮʼnīŒŗŐİĮŏńœĨŐœĪ œĻŊņ ŏĨįœŒŗŐĪ.œ
a. ĬŁœĹŁŒIJĮʼnīģʼnōĸĹœŌĪŒĮńħĿİŋģ. IJĮʼnīģʼn. ĪĦŒŀĮĮŀœ, ŌĪŒĮńħŒĦŅİŋģ.
b. įĮŇĵħńĿĨĿĮĿŏĮģŁĮīĵńĹĩģŒīŗŒŗŌĵļņŒŌĤʼnŁĻŊńœĮĺĪŇIJńĵ ņōĸĿ ĥōňŒĤĦŒĤļĦŌĤʼnŁĻŊŃœĮ
ıŃĪijŁĪ. įĮŇĵĻńŊńœĮĺĪŇIJńĵōņīįŒŒŗĨĿĮĿ. ĪĦŒŀĮĮŀœ, ĥōňŒĤĦŒĤļĦŌĤʼnŁĻŊŃœĮıŃĪijŁĪ.
c. ĬŁœĹŁŒģŁĮĺĮŀħļĮīŃĪĤĪŀ, ĸĪʼnħĿīļœĦōĸĮŒĨŁœ. ĬŁœĹŁŒģŁĮĺĮŀħļĮįŒŗīŃĪĤĪŀ
ōĸĿ ĸĪʼnħĿīļœĦōĸĮŒįŒŗĨŁœōĸĹœijĭňļĮħĿŐİŎĽĦĽŋĮĭĮŀŌĹĸŁ. ijĭňļĮŐİŎĽĦ
ĽŋĮĭĮŀŌĹĸŁ. ĪĦŒŀĮĮŀœ, ģŁĮĺĮŀħļĮįŒŗīĪŃĤĪŀ.

84. ijŁģĭń II ĥĹŁĵĽijňœņœĮĬŁĮģŋŒĹģįŀģĵŇŒ
įĪʼnĭń 4 ģĵŇŒ
30
1. ģĵŇŒ ōĸĿ ļĦʼnİĿģļįĤļĦģĵŇŒ
ĥŁŗĹŁŒ “ģĵŇŒ” ŎĪĩĭŒĹʼnŐİōĸĹœ ţŁĩŌĬĦŃ ģŁĮŎĽĵŌļʼnŁĺŒĦŃĤļĦīŁŒĦőŌĤʼnœŁŐĹĮœŁŗ
ģĮŀŌĨŒĦŃļŁĪħĿōĵĮŒĥĮʼn, ĺĪŀ ĻŊņ ĺŒĦŃĤļĦīŁŒĦő ŌĨŒŀĮ: ģĵŇŒĮģŀĽŋĮĩĦŃĨĮŀœ ĵ.5 ĭŒńŌİŀĮĺĿ
ĵŁĨģŃĨŁĹŢĵŒŇ, ģĵŇŒĨŁĹţĵŒŇŌĪĮńĭĿŌĸļŁĨŋĮ-ĶŒńİŒĮŇ, ...
ŏĮģĵŇŒŢŒŅĦļŁĪħĿĵ ńĻŊņ įŒŗĵļńĦʼnİĿģļįĤļĦĵĮŀ. ŌijŒŃĮĺĮŀĩĿĸģŀģĵŇŒĪĹœĩīĹʼnļģŀĺļĮ
ĸŁōīĦīĹʼnŏĻĩ ŒŌĨŒŀĮ: A, B, C, ... ŌijŒŃĮĺĮŀĩĿĸģŀļĦʼnİĿģļįĤļĦģĵŇŒĪĹœĩīĹʼnļģŀĺļĮĸŁ
ōīĦīĹʼnĮļœĩ, īĹʼnŌĸģ ĻŊņ ŌĥŒļņĦţŁĩļŒĮņő. ĺĹŒĮģĵŇŒĭŒńįŒŗĵļńĦʼnİĿģļįŌļĮńœĹŁŒ ģĵŇŒŌİŒʼnŁ
ōĸĿ ĺĮŀĩĿĸģŀĪĹœĩ I ĻŊņ ^ ` .
a A ļŁŒĮĹŁŒ a ŌİŀĮļĦʼnİĿģļįĤļĦģĵŇŒ A
bB ļŁŒĮĹŁŒ b ŌİŀĮļĦʼnİĿģļįĤļĦģĵŇŒ B
cA ļŁŒĮĹŁŒ c įŒŗŌİŀĮļĦʼnİĿģļįĤļĦģĵŇŒ A
2. ģŁĮĺĿŌŢńģĵŇŒ
2.1 ōįįōħģĶŁĩļĦʼnİĿģļį
ģŁĮĺĿŌŢńģĵŇŒōįįōħģĶŁĩļĦʼnİĿģļį ōĵĮŒģŁĮĤŋĮģĵŇŒĪĹœĩĹĭŃńĤŋĮļĦʼnİĿģļį
ĭģŇīĹʼnĤļĦģĵŇŒĮĮŀœőĸĦʼnŏĮĹĦʼnİńģģŁ ŌİńĪ-İŃĪ ōĸĿ ŏĨŌœĥŒļņĦţŁĩħĪŇ “,” ĤĮŀœĸĿĻĹŁŒĦ
ļĦʼnİĿģļįōīĸŒĿīĹʼn, ĸŁŗĪįŀĤļĦļĦʼnİĿģļįįŒŗĬĺņŁŗĥĮŀ ōĸĿ ļĦʼnİĿģļįļĮŀĪŋĹģĮŀįŒŗ
ŏĻĤœŋĮĨŁŗœģĮŀ.

85. 31
ŌĨŒŀĮ:
A ^2,4,6,8`
B ^ ĹĮŀļŁĭŃĪ, ĹĮŀħĮŀ, ĹĮŀļĦŀĥŁĮ, ĹĮŀijĪŇ, ĹĮŀijĿĻĪŀ, ĹĮŀĺģŇ,
ĹĮŀŌĺʼnŁ `
C ^a,e, i,o,u`
N ^1,2,3,4,...`
2.2 ōįįįļģŌĦŒļņĮŐĤĤļĦļĦʼnİĿģļį
ģŁĮĺĿŌŢńģĵŇŒōįįįļģŌĦŒļņĮŐĤĤļĦļĦʼnİĿģļįōĵĮŒ ģŁĮĤŋĮģĵŇŒĪĹœĩĹĭŃńĤŋĮ
īĹʼnļģŀĺļĮŏĪŢŒŅĦōĭĮŏĻļœĦʼnİĿģļįĮĮŀœő ijļœĵĭĦŀĤŋĮŌĦŒļņĮŐĤĤļĦĵĮŀĸĦʼnŏĮĹĦʼnİńģģŁ
ŌİńĪ-İŃĪ ōĸĿ ŏĨŌœĥŒļņĦţŁĩ “/” ĤĮŀœĸĿĻĹŁŒĦīĹʼnļģŀĺļĮ ōĸĿ ŌĦŒļņĮŐĤŌĨŒĦŃļŁŒĮĹŁŒ
“ŌĨŒĦŃĹŁŒ” ĻŊņ “ŎĪĩĹŁŒ”.
ŌĨŒŀĮ:
A ^x / x 10, x 2k, k `` ţŁĩŌĬĦŃ A ^2,4,6,8`
B {x / x ōĵĮŒĨŒĤņļĦĹĮŀŏĮļŁĭŃĪ} ţŁĩŌĬĦŃ
B ^ ĹĮŀļŁĭŃĪ, ĹĮŀħĮŀ, ĹĮŀļĦŀĥŁĮ, ĹĮŀijĪŇ, ĹĮŀijĿĻĪŀ, ĹĮŀĺģŇ,
ĹĮŀŌĺʼnŁ `
C {x / x N, (x 1)(x 3) 0} ţŁĩŌĬĦŃ C ^1`.

86. 2.3 ŏĨōœıĮĹŁĪĤļĦ ōĹĮ (Venn-Euler )
ōıĮĹŁĪĤļĦōĹĮŌİŀĮģŁĮĺĿŌŢńģĵŇŒĪĹœĩĹĦʼnĽļį ŌĨŒŀĮ: ĽįňĺŒōńħĺŁģ, ĹĦʼnĵĮʼn,
c
32
ōļĮĸŃį...
īĹʼnĶŁŒĦ:
ĺĿōĪĦĹŁŒ a A,bB,b A, aB, aU,bU, cU, c A,cB .
3. ĨĿĮĪŃĤļĦģĵŇŒ
ŎĪĩijŃħŁĸĿĮŁħŁģħŁŗĮĹĮļĦʼnİĿģļįĤļĦģĵŇŒ, ģĵŇŒōįĦŒļļģŌİŀĮĺļĦĨĿĮĪŃĥ:ņ
ģĵŇŒĺĮŃœĺĪŇ ōĸĿ ģĵŇŒįŒŗĺĮŃœĺĪŇ.
ģĵŇŒĺĮŃœĺĪŇ ōĵĮŒģĵŇŒĭŒńĺŁĵŁĪĮįŀļĦʼnİĿģļįĤļĦĵĮŀŐĪĭœģŇīĹʼn.
ģĵŇŒįŒŗĺĮŃœĺĪŇ ōĵĮŒģĵŇŒĭŒńħŁŗĮĹĮļĦʼnİĿģļįĤļĦĵĮŀĵĻńŊŁĩ įŒŗĺŁĵŁĪĮįŀ.
īĹʼnĶŁŒĦ: ģĵŇŒ A, B,C ĸĵŇŒĮōńœĵĮŒģĵŇŒĺĮŃœĺĪŇ
A ^2,4,6,8`
B ^ ĹĮŀļŁĭŃĪ, ĹĮŀħĮŀ, ĹĮŀļĦŀĥŁĮ, ĹĮŀijĪŇ, ĹĮŀijĿĻĪŀ, ĹĮŀĺģŇ,
ĹĮŀŌĺʼnŁ `
C ^a,e,i,o,u`
N ^1,2,3,4,...` ŌİŀĮģĵŇŒįŒŗĺĮŃœĺĪŇ.
B
U
A
a b
32

87. 4. ģĵŇŒĭŋįŌĭŒʼnŁģĮŀ
ĮĩŃŁĵ. ŏĻģœĵŇŒ A ōĸĿ B ōĵĮŒģĵŇŒĺĮŃœĺĪŇ. ŌĵŒļņŅħŁŗĮĹĮļĦʼnİĿģļįĤļĦģĵŇŒ A ōĸĿ
B ŌĭŒʼnŁģĮŀ ŌijŒŃĮĹŁŒ ģĵŇŒ A ĭŋįŌĭŒʼnŁģįŀģĵŇŒ B ōĸĿ ĺĮŀĩĿĸģŀA # B .
A B
½ ¾
¿
33
īĹʼnĶŁŒĦ: 1) A {a,b,c,d,e}
B ^1,5, 4, 2,3`
ŌĻŀĮĹŁŒħŁŗĮĹĮļĦʼnİĿģļįĤļĦ A ōĸĿ ĤļĦ B ŌĭŒʼnŁģĮŀ ( n(A) n(B) 5 ).
‘ÁÉŒ”ÁÊ” A # B .
2)
ģ ħ
Ī
ŌĻŀĮĹŁŒ n(A) n(B) 3, ‘ÁÉŒ”ÁÊ”, A # B .
3) A {x / x ōĵĮŒŌĪļņĮĤļĦŢŒŅĦİń}
B {y / y ōĵĮŒĵĤņœļĦŢŒŅĦļŁĭŃĪ}
ŌĻŀĮĹŁŒ n(A) 12 ōī Œn(B) 7 , ĪĦŒŀĮĮŀœ A # B .
5. ģĵŇŒŌĭŒʼnŁģĮŀ
ĮĩŃŁĵ. ŌĵŒļņ A # B ōĸĿ ĵļńĦʼnİĿģļįļĮŀĪŋĹģĮŀ ŌijŒŃĮĹŁŒ ģĵŇŒ A ŌĭŒʼnŁģįŀģĵŇŒ B
ōĸĿ ĺĮŀĩĿĸģŀ A B .
ģĦʼnģĮŀĤŁœĵ ŌijŒŃĮĹŁŒ ģĵŇŒ A įŒŗŌĭŒʼnŁģįŀģĵŇŒ B ōĸĿ ĺĮŀĩĿĸģŀĪĹœĩ A z B .
īĹʼnĶŁŒĦ: 1) A ^1, 2,3, 4,5`
B ^1,5, 4, 2,3`
C ^1,3, 4,5,6`
ħĿŐĪ œA B ; A z C ōĸĿ B z C.
U

88. U
A B
b
o
34
2)
A B
C
a
b 11 2 5
ŐĪ œ A z B, A z C, B C
6. ļĿĮģŇĵŇŒ
ĮĩŃŁĵ. ŌĵŒļņĭģŇőļĦʼnİĿģļįĤļĦģĵŇŒ A ŌİŀĮļĦʼnİĿģļįĤļĦģĵŇŒ B ŌijŒŃĮĹŁŒ A
ŌİŀĮļĿĮģŇĵŇŒĤļĦģĵŇŒ B ōĸĿ ĺĮŀĩĿĸģŀĪĹœĩ A Ž B .
ģŗĸĿĮńģʼnĦģŀĮĤœŁĵ, A įŗŒŌİŀĮļĿĮŇģŇŒĵ ĤļĦ B ōĸĿ ĺŀĮĩĿĸŀģĪœĹĩ A B Ž
.
īĹʼnĶŁŒĦ 1) A ^x / x N, x2 4`
B ^4, 2,0, 2, 4` ¥‘Ê A Ž B
2)
e
i
a
u
U
C
ħĿŐĪ œC Ž B Ž A
y
™ ĺŒĦŃĭŒńĥĹĮŌļʼnŁŏħŏĺ:Œ
x ĭģŇőģĵŇŒ ĸĹœĮōīŌŒİŀĮļĿĮģŇĵŇŒĤļĦĵĮŀŌļĦ
x ģĵŇŒŌİŒʼnŁ ŌİŀĮļĿĮģŇĵŇŒĤļĦĭģŇőģĵŇŒ
x A Bœ(A Ž B) š (B Ž A) .

89. 7. ģĵŇŒijŁģĺĹŒĮ
ĮĩŃŁĵ. ŏĻģœĵŇŒ A ŌİĮŀģĵŇŒĺĮŃœĺĪŇ. ģĵŇŒijŁģĺĹŒĮĤļĦ A ōĵĮŒģĵŇŒĤļĦĭģŇőļĿĮģŇĵŇŒ
ĤļĦ A . ŌijŒŃĮĺĮŀĩĿĸģŀģĵŇŒijŁģĺĹŒĮĤļĦ A ĪĹœĩ P A

90. .
35
P A

91. ^X / X Ž A`
īĹʼnĶŁŒĦ: ŏĻ œA ^1`, B ^a,b` ōĸĿ C ^1, 2,3`.
ħĦŒʼnĨļģĻŁ P A

92. , nP A

94. , P(B), nP(B)

95. , P(C) , PB

96. ōĸĿ nPC

98. .
ĹĭŃńōģ:œ P A

99. ^I ,^1``, nP(A)

100. 2
PB

101. ^I ,^a`,^b`, B`, nP(B)

102. 4
PC

103. ^I ,^1`,^2`,^3`,^1, 2`,^1,3`,^2,3`,C`, nP(C)

104. 8.
ĺĦŀŌģĪŌĻŀĮ: ŌĵŒļņ n A

105. k , ħĿŐĪ œnP A

107. 2k .
8. ģĵŇŒħģŀģĿĹŁĮ
ĮĩŃŁĵ. ģĵŇŒĭŒńģĹĵŌļʼnŁļĦʼnİĿģļįĭģŇőīĹʼnŏĮŌĤĪĭŒńŌĽʼnŁĺŅģĺŁ ĵĨńŒņĹŁŒ ģĵŇŒħģŀģĿĹŁĮ
ōĸĿ ĺĮŀĩĿĸģŀĪĹœĩ U .
īĹʼnĶŒŁĦ: 1) ŌĵŒļņĺŅģĺŁģŋŒĹģįŀħŁŗĮĹĮĬĹœĮįĹģōī Œ1 ŌĬĦŃ 100 ŐĪ œ
U ^1, 2,3,...,100`
2) ģŁŗĮĪʼnŏĻ œ U ^1, 2,3, 4`
B ^x / x2 4`
ħŁģ x2 4 ŐĪ œx r2 ōīĹŒŁŒ 2U
ĪĦŒŀĮĮŀœ B ^2`

108. B U
1 2 3
36
3) ģŁŗĮĪʼnŏĻ œ U {1, 0,1}
C {x / x2 x 6 0}
ħŁģ x2 x 6 0 ŐĪ œx 3, x 2 ōīĹŒŁŒ 3, 2U
ĪĦŒŀĮĮŀœ C ‡.
īŁĵōıĮĹŁĪĤļĦōĹĮ ŌijŒŃĮĺĿŌŢńģĵŇŒħģŀģĿĹŁĮĪĹœĩĽįňĺŒōńħĺŁģ ŌĨŒŀĮ ŏĮ
īĹʼnĶŁŒĦĤŗĭœń 2) ŌĽʼnŁĺŁĵŁĪĺĿōĪĦĪĹœĩģĵŇŒħģŀģĿĹŁĮĪĦŒŀĮ:ńœ
4
įĪʼnŌIJŃģĻĪŀ
1. ħĦŒʼnĺĿŌŢńģĵŇŒīŒŗŐİĮĪńœĹœĩĹĭŃńōħģĶŁĩļĦʼnİĿģļį.
ģ. ģĵŇŒħŁŗĮĹĮĬĹœĮĥģńōī Œ2 ŌĬĦŃ 20.
Ĥ. ģĵŇŒħŁŗĮĹĮĬĹœĮĥōňŒī Œ1 ŌĬĦŃ 20.
ĥ. ģĵŇŒħŁŗĮĹĮĬĹœĮōī Œ2 ŌĬĦŃ 27 ĭŒńĻŁĮĤŁĪŏĻ œ3.
2. ħĦŒʼnĺĿŌŢńģĵŇŒīŒŗŐİĮĪńœĹœĩĹĭŃńŏĨōœıĮĹŁĪĤļĦōĹĮ.
ģ. ŏĻ œU {x / x ōĵĮŒģĵŇŒħŁŗĮĹĮĬĹœĮįĹģŢļœĩģĹŁŒ 15}
A {x / x ōĵĮŒĭĿĹĥńĮňĤļĦĤļĦ 2}
B {x / x ōĵĮŒĭĿĹĥńĮňĤļĦ 3}
C {x / x ōĵĮŒļİŇĿĥĮňĤļĦ 12}

109. 37
Ĥ. ŏĻ œU ^x / 4 d x 4`
A ^x / x2 x 6 0`
B ^x / x x 3

110. x 2

111. x 1

112. 0`
3. ģĵŇŒōīĸŒĿĥīňŒŒŗŐİĮ ńœĥŏňŒĪŌĭŒʼnŁģĮŀ ōĸĿ ĥŏňŒĪĭŋįŌĭŒʼnŁģĮŀ?
ģ. A ^0, 2, 4,6,8,10` B {x / x ōĵĮŒħŁŗĮĹĮĥōňŒī Œ3 ĻŁ 10}
Ĥ. C ^x / x, x2 x 30 0` D ^5;5`
ĥ. E ^1,3, 4,7,11,18` F ^18,15,12,9,6,3,1`
4. ħŁģōıĮĹŁĪĤļĦōĹĮ, ħĦŒʼnĨļģĻŁ
ģ. P A

113. Ĥ. PB

114. ĥ. PC

115. 8
2 3 5
a b
9
6
U
A C B

116. •Æ‘¼Ã 5 ‰Ÿ”‹ÀŸ”Ò”¤”‰ÇÉš
¡šÅɝ¡ÒÆÊŸ¡“ÂŒÀŸ”Ò”¼ÃÉ¡‹ÃÓÔ”—ÉŸ”šŸ, ¡ÓÆŸ¥‘ÊÓÔ”ÓÈʉÁ•Ò¼ÉŸ”‹ÀŸ”Ò”’ÉŸŒ¦‰ÉÔÒ
‰Á•ÀŸ”Ò” ¡ÁÉ”: ‰Ÿ”•Ò‰, ‰Ÿ”¾Æ•, ‰Ÿ”‹È” ¢¾ž ‰Ÿ”œŸ”ŠŒŽŒ œÙÅ œÙŸÀŸ”Ò”
¡˜Åɝ¤œÊ¥‘ʍÀŸ”Ò”¤­É. ¡ÁÉ”‘ÔÒ‰Á” ¡ÓÆŸ‰ÀšÃҼɟ”‹ÀŸ”Ò”’ÉŸŒ¦¼ÃɉÉÔҊʝŒ‰Á•‰ÇÉš¡˜Åɝ
¤œÊ¥‘ʉÇÉš¤­É.
1. ‰Ÿ”£Óš
‰Ÿ”£ÓšŠŒ‰É Çš A ¢¾ž ‰ÇÉš B ŽÁ”ž¾Á‰‘ÊҐ A‰B ¢šÉ”‰ÇÉš¡ÂÉŒŒÆ–ž‰•
ŠŒšÁ”¡–Á”ÆŒ–ž‰•ŠŒ‰ÇÉš A œÙÅ ŠŒ‰ÇÉš B .
A‰B {x / x A œ ÙÅxB}
’ÆқɟŒ: 1) A ^1, 2,3, 4,5` ¢¾ž B ^2, 4,6,8`
¥‘Ê A‰B ^1, 2,3, 4,5,6,8`
A B U
e f
A B
38
2)
a b
c d
A‰B ^a,b, c, d`
3)
A‰B ^1, 2, a,b`
U
1 2 a b

117. A B
39
ŽŸšŸ‘Žž¢‘Œ¤œÊ¡œÁ”ÒÉŸ:
x A‰A A
x A‰‡ A
x A‰U U
x A‰B B‰A
x (A‰B)‰C A‰(B‰C)
x A Ž (A‰B) ¢¾ž B Ž (A‰B) .
2. ‰Ÿ”’Á‘ œÙÅ ‰Ÿ”ÓÉÒš
¤œŽÊŒ‰ÇÉš A ¢¾ž B . A ’Á‘ B ŽÁ”ž¾Á‰‘ÊҐ AˆB ¢šÉ”‰ÇÉš¼Ãɝƌ–ž‰•
ŠŒšÁ”¡–Á”ÆŒ–ž‰•ÓÉÒšŠŒ‰É Çš A ¢¾ž ‰ÇÉš B .
AˆB {x / x A ¢¾ž xB}
’ÆқɟŒ.
1) A ^a , b, c,d` ; B ^c,d , e, f`
a b c f
d e
A ˆB ^c,d`
2) A ^1,3,5` ; B ^2, 4,6`
A B
AˆB ‡
U
1 3 5 2 4 6
U

118. 3) A ^1, 2,3` ; B ^1,2,3,4,5`
A B U
40
B A
4 1 2 3 5
A ˆB ^1, 2,3`.
ŽŸšŸ‘Žž¢‘Œ¤œÊ¡œÁ”ÒÉŸ:
U
x AˆU A
x Aˆ‡ ‡
x AˆA A
x AˆB BˆA
x (AˆB)ˆC Aˆ(BˆC)
x (AˆB) Ž A ¢¾ž (AˆB) Ž B
x (A‰B)ˆC (AˆC)‰(BˆC)
x (AˆB)‰C (A‰C)ˆ(B‰C) .
3. ‰Ÿ”¾Æ•ŠŒ‰ÇÉš
¤œŽÊŒ‰ÇÉš A ¢¾ž B . A ¾Æ• B ŽÁ”ž¾Á‰‘ÊҐ A B ¢šÉ”‰ÇÉš¼Ãɝƌ–ž‰•
ŠŒšÁ”¡–Á”ÆŒ–ž‰•ŠŒ‰É Çš A ¢’É•ÀÉ¡–Á”ÆŒ–ž‰•ŠŒ B .
A B ^x / x A ¢¾ž xB`
B A ^x / xB ¢¾ž x A`
’ÆқɟŒ. ¤œ Ê A ^1, 2,3,8`; B ^2,3, 4,5` .
4
8 2
1 3
5
¥‘Ê A B ^1,8`, B A ^4,5`

119. 41
‹Ç”¾Á‰Žž”ž:
x A A ‡
x (A B)ˆC (AˆC) (BˆC)
x A B A (AˆB)
x A (AˆB)‰(A B) .
4. ‰Ÿ”’ÅÉš¡’ÁšŠŒ A
‰ÇÉš’ÅÉš¡’ÁšŠŒ A ¡ÂÉŒŽÁ”ž¾Á‰‘ÊҐ A' ¢šÉ”‰ÇÉš¼£ÃÉÓš‰Á• A ¡˜Åɝ¤œÊ¥‘ʉÇÉš
Á‰‰žÒŸ” U , ¢šÉ” U A œ ÙÅ¢šÉ”‰ÇÉš¼Ãɝƌ–ž‰•ĤļĦĵĮŀ•ÀÉ¡–Á”ŠŒ‰ÇÉš A ¢’É¡–Á”
ÆŒ –ž‰•ŠŒ U .
A'‰ A U , A' U A, A' {x / xU ¢¾ž x A}
’ÆқɟŒ: ¤œÊ A ¢¾ž B ¡–Á”ž”ljÇÉšŠŒ‰ÇÉšÁ‰‰žÒŸ” U £‘ÒÉŸ
U ^1, 2,3, 4,5,6,7`; A ^1, 3, 5`; B ^2, 4,6`
¥‘Ê A' ^2, 4,6,7`
B' ^1,3,5,7`.
U
A
A'
A 7 B
U
1
3
5
2
4
6

120. A B
42
ĺŁĵŁĪĺĿōĪĦŏĻŌœĻŀĮĹŁŒ:
x (A')' A
x ‡' U ¢¾ž U' ‡
x (A ‰B)' A'ˆB'
x (A ˆB)' A'‰B' .
5. —Æ”¾Æ•¡‹ÂÉŒ‹ÅŠŒ‰ÇÉš
—Æ”¾Æ•¡‹ÂÉŒ‹ÅŠŒ‰ÇÉš A¢¾ž B ¡ÂÉŒŽÁ”ž¾Á‰‘ÊҐ A' B ¢š”É (A B)‰(B A)
œÙÅ (A‰B) (AˆB).
’ÆқɟŒ. Ÿ‰¢—”ÒŸ‘ŠŒ¢Ò”¾ÇÉš”ÃÊ ¡ÓÆŸ¥‘Ê:
c
g
C
a b
e
d
f
U
A' B ^a , c , d , g` , A'C ^a ,b, f , g`, B 'C ^b, c , d , f `.
‹Ç”¾Á‰Žž”ž:
x A' B B' A
x A'I I' A
x A' A I
x [(A B)‰(B A)] [(A‰B) (AˆB)] A' B

121. 6. ‰Ÿ”‰œŸÀŸ”Ò”ÆŒ–ž‰•ŠŒ‰ÇÉšŽÂÊ”ŽÇ‘
¡ÓÆŸŽŸšŸ‘‰œŸÀŸ”Ò”ÆŒ–ž‰•ŠŒ‰ÇÉšŽÂÊ”ŽÇ‘¥‘Ê‘ÊҐ 2 Ò¼Ã.
A B
n A B

122. n AˆB

123. nB A

124. 43
¤ÊŽÈ‘:
x n(A‰B) n(A) n(B) n(AˆB)
x n(A‰B‰C) n(A) n(B) n(C) n(AˆB) n(AˆC) n(BˆC)
n(AˆBˆC)
x n(A B) n(A) n(A ˆB) ,
x n(A') n(U) n(A) .
”ÀŸ¤Ê¢—”ÒŸ‘ŠŒ¢Ò”
U
’ÆқɟŒ 1. Ÿ‰‰Ÿ”Ž•“Ÿš”Á‰ÓÔ” 40 ‹Æ”˜Æ•ÒÉŸšÃ”Á‰ÓÔ” 21 ‹Æ”šÁ‰œÙÂÊ”‰Â¾Ÿ
•Ÿ”¡’ž, 19 ‹Æ”šÁ‰œÙÂÊ”‰Â¾Ÿ•Ÿ”ŽÆÉŒ ¢¾ž 12 ‹Æ”šÁ‰œÙÂÊ”‰Â¾Ÿ¼ÁŒŽŒ–ž¡˜‘”ÃÊ.
“ŸšÒÉŸ:
‰. šÃÁ‰‹Æ”šÁ‰œÙÂÊ”‰Â¾Ÿ•Ÿ”¡’ž œÙÅ •Ÿ”ŽÆÉŒ?
Š. šÃÁ‰‹Æ”•ÀÉšÁ‰œÙÂÊ”‰Â¾Ÿ¼ÁŒŽŒ–ž¡˜‘?
‹. šÃÁ‰‹Æ”¼ÃÉšÁ‰œÙÂÊ”‰Â¾Ÿ•Ÿ”¡’ž, ¢’É•ÀÉšÁ‰œÙÂÊ”‰Â¾Ÿ•Ÿ”ŽÆÉŒ?
•Æ‘¢‰Ê: ‰ÀŸ”Æ‘¤œÊ
U ¢šÉ”‰ÇÉš”Á‰ÓÔ”¼ÁŒ­Æ‘¼ÃɓʼnŽ•“Ÿš
A ¢šÉ”‰ÇÉš”Á‰ÓÔ”¼ÃÉšÁ‰œÙÂÊ”‰Â¾Ÿ•Ÿ”¡’ž
B ¢šÉ”‰ÇÉš”Á‰ÓÔ”¼ÃÉšÁ‰œÙÂÊ”‰Â¾Ÿ•Ÿ”ŽÆÉŒ
n A‰B

125. '

127. 44
Ÿ‰ŠÀʚȔ ¡ÓÆŸšÃ:
n(U) 40, n(A) 21, n(B) 19 ¢¾ž n(AˆB) 12 .
‰œŸ:
‰. n(A‰B) ?
Š. n((A‰B) ') ?
‹. n(A B) ?
¡šÅɝ¤ÊŽÈ‘
‰. n(A‰B) n(A) n(B) n(AˆB)
21 19 12
28
‘ÁÉŒ”ÁÊ”, šÃ 28 ‹Æ”¼ÃÉšÁ‰œÙÂÊ”‰Â¾Ÿ•Ÿ”¡’ž œÙÅ •Ÿ”ŽÆÉŒ
Š. n((A‰B) ') n(U) n(A‰B)
40 28
12
‘ÁÉŒ”ÁÊ”, šÃ 12 ‹Æ”•ÀÉšÁ‰œÙÂÊ”‰Â¾Ÿ¼ÁŒŽŒ–ž¡˜‘”ÃÊ.
‹. n(A B) n(A) n(AˆB)
21 12
9
‘ÁÉŒ”ÁÊ”, šÃ 9 ‹Æ”¼ÃÉšÁ‰œÙÂÊ”‰Â¾Ÿ•Ÿ”¡’ž, ¢’É•ÀÉšÁ‰œÙÂÊ”‰Â¾Ÿ•Ÿ”ŽÆÉŒ.
¡šÅɝ¤Ê¢—”ÒŸ‘ŠŒ¢Ò”
‰Ÿ”’ÅÉšÀŸ”Ò”ÆŒ–ž‰•¤ŽÉ¢—”ÒŸ‘¢Ò”:
- ’ÅÉšÀŸ”Ò”ÆŒ–ž‰•ŠŒ AˆB ‰É”
- ’ÅÉšÀŸ”Ò”ŒÆ–ž‰•ŠŒ A B
- ’ÅÉšÀŸ”Ò”ŒÆ–ž‰•ŠŒ B A
- ’ÅÉšÀŸ”Ò”ŒÆ–ž‰•ŠŒ A‰B

128. '
U
12
A
B
9
12
7

129. ’ÆқɟŒ 2. šÃ”Á‰ŽÄ‰ŽŸšžœŸÒ¼žŸ¥¾ 120 ‹Æ” ¡ÂÉŒ¢’ɾž‹Æ”’ʝŒ¾ÆŒ¼ž•Ô”›ÉŸŒ¬Ê
1 ҏŸ. œÙÁŒŸ‰¾ÆŒ¼ž•Ô”¢¾ÊÒ ŽÁŒ¡‰‘¡œÁ”ÒÉŸ šÃ”Á‰ŽÄ‰ŽŸ¾ÆŒ¼ž•Ô”ÓԔҏŸ‹ž
”‘ŽŸ‘ 60 ‹Æ”, ™ÃÂ‰ŽŸ‘ 50 ‹Æ” ¢¾ž ¡‹šÃŽŸ‘ 72 ‹Æ”; ”Á‰ÓÔ”¼Ãɾƌ¼ž•Ô”
ÓÔ”‹ž”‘ŽŸ‘ ¢¾ž ¡‹šÃŽŸ‘šÃ 27 ‹Æ”, ¡‹šÃŽŸ‘ ¢¾ž ™ÃÂ‰ŽŸ‘ šÃ 30 ‹Æ”; ”Á‰
ÓÔ”¼Ãɾƌ¼ž•Ô”ÓÔ”¼ÁŒ 3 ҏŸšÃ 20 ‹Æ”. “ŸšÒÉŸ šÃÁ‰‹Æ”¼ÃÉÓԔҏŸ‹ž”‘ŽŸ‘
˜ÔŒÒŸ‘ÔÒ, ¡šÅɝÓÈÊÒÉŸ šÃ 15 ‹Æ”ÓÔ”¢’əωŽŸ‘˜ÔŒÒŸ‘ÔÒ ?
45
•Æ‘¢‰Ê: ‰ÀŸ”Æ‘¤œÊ
U ¢šÉ”‰ÇÉš”Á‰ŽÄ‰ŽŸ¼ÁŒ­Æ‘
A ¢šÉ”‰ÇÉš”Á‰ŽÄ‰ŽŸ¼Ãɾƌ¼ž•Ô”ÓԔҏŸ‹ž”‘ŽŸ‘
B ¢šÉ”‰ÇÉš”Á‰ŽÄ‰ŽŸ¼Ãɾƌ¼ž•Ô”ÓԔҏŸ™ÃÂ‰ŽŸ‘
C ¢šÉ”‰ÇÉš”Á‰ŽÄ‰ŽŸ¼Ãɾƌ¼ž•Ô”ÓԔҏŸ¡‹šÃŽŸ‘
Ÿ‰ŠÀʚȔ ¡ÓÆŸšÃ:
n(A) 60 , n(B) 50 , n(C) 72
n(AˆC) 27 , n(BˆC) 30
n(AˆBˆC) 20, n(B A‰C

130. ) 15
‰œŸ: n(A (B‰C) ?
ŽÁŒ¡‰‘Ÿ‰¢—”ÒŸ‘ŠŒ ¢Ò”
¡ÓÆŸ¥‘Ê:
n(A (B‰C) 28
U
A B
15
C
28 5
20
7
10
35
­Ÿ‹ÒŸšÒÉŸ ”Á‰ŽÄ‰ŽŸ¼Ãɾƌ¼ž•Ô”ÓԔҏŸ‹ž”‘ŽŸ‘˜ÔŒÒŸ‘ÔҚà 28 ‹Æ”.

131. •Æ‘¡Ñ‰œÁ‘
1. ¤œ ÊA ^2, 4,5,8,9,11`, B ^2,3,5,9,12`, C ^1,3,5,7`
ÆÉŒ‰œŸ:
a. A ‰B b. A ˆB
c. A ‰(B‰C) d. A ˆ(B‰C)
e. A B f. A ‰(BˆC)
2. ¤œ ÊA, B,C ¢šÉ”ž”ljÇÉšŠŒ‰ÇÉšÁ‰‰žÒŸ” U ‘ÁÉŒ¢—”ÒŸ‘¾ÇÉš”ÃÊ:
ÆÉŒŠÔ”‰É Çš’ÀÉ¥–”ÃÊ¢••¢‰›ŸÆŒ–ž‰•:
46
‰. AˆB, AˆC, BˆC
A‰B, A‰B, B‰C
Š. A‰B

132. ‰C, AˆB

133. ˆC
9
11
4
25
‹. A', B',C ', A‰B

134. ‰C

135. ', Aˆ B

136. ˆC

137. '
Œ. A‰B

138. 'ˆC, AˆC

139. '‰ B,C ˆ A

140. '‰B
. A'B, A'C, B'C
3. ¤œ ÊA, B,C ¢šÉ”ž”ljÇÉšŠŒ‰ÇÉšÁ‰‰žÒŸ” U ^a,b, c, d, e, f , g`,
A ^a,b, c, d, e`, B ^a, c, e, g`, C ^b, e, g` .
ÆÉŒ¤Ê¢—”ÒŸ‘ŠŒ¢Ò”Žž¢‘Œ‰ÇÉšŠÊŸŒ¡¼ÂŒ Ÿ‰”ÁÊ” Žž¡¬Ã‰ÇÉš’ÀÉ¥–”ÃÊ‘ÊҐÓÈ•¢••
¢‰›ŸÆŒ–ž‰•:
x A‰B
x AˆB
x AC
x B'
x A' B
x B'‰C
x AC

141. '
x A B'

142. '
x Aˆ A'

143. '
x AˆB

144. C
x A‰B

145. 'ˆ A'ˆB

146. A B
C
U
1 3
5
7
15
51
2
46

147. 4. ¤œ‰ÊÇÉš A, B,C ¢¾ž D ’Ÿš¢—”ÒŸ‘¾ÇÉš”ÃÊ.
47
1. ¡Š‘ 1 ¢šÉ”………..
2. ¡Š‘ 2 ¢šÉ”………..
3. ¡Š‘ 3 ¢šÉ”………..
A B
1 2 3
C D
U
5. ¤œ ÊU ^1, 2,3, 4,5,6,7,8,9`, A'ˆB' ^1, 4,9`, AˆB ^2`, A'ˆB ^6,8`.
ÆÉŒ‰œŸ A ¢¾ž B' .
6. ¤œ ÊA‰B ^3, 4,5,7,8`, A‰C ^1, 2,3, 4,5,6,8`, AˆC I, BˆC ^8`,
B‰C

148. ˆ A ^3,5` ¢¾ž 4B .
ÆÉŒ‰œŸ‰šÇÉ A, B ¢¾ž C.
7. Ÿ‰‰Ÿ”Ž•“Ÿš”Á‰ÓÔ” 40 ‹Æ” ˜Æ•ÒÉŸšÃ”Á‰ÓÔ” 25 ‹Æ”šÁ‰ÓԔҏŸ‹ž”‘ŽŸ‘,
22 ‹Æ” šÁ‰ÓԔҏŸ™ÃÂ‰ŽŸ‘ ¢¾ž 24 ‹Æ” šÁ‰ÓԔҏŸ¡‹šÃŽŸ‘; ”‰Ÿ‰”ÃÊ¡˜ÂÉ”
ÁŒ¤œÊÓÈʝÉÒÉŸ”Á‰ÓÔ” 12 ‹Æ” šÁ‰ÓÔ”¼ÁŒ‹ž”‘ŽŸ‘ ¢¾ž ™ÃÂ‰,18 ‹Æ” šÁ‰ÓÔ”
¼ÁŒ‹ž”‘ŽŸ‘ ¢¾ž ¡‹šÃŽŸ‘, 15 ‹Æ” šÁ‰ÓÔ”¼ÁŒ¡‹šÃŽŸ‘ ¢¾ž ™ÃÂ‰ŽŸ‘; šÃ 10
‹Æ”¼ÃÉšÁ‰ÓÔ”¼ÁŒŽŸšÒŸ. “ŸšÒÉŸ
‰. šÃÁ‰‹Æ”šÁ‰ÓԔҏŸ‹ž”‘ŽŸ‘ œÙŠҏŸ™ÃÂ‰ŽŸ‘ œÙŠҏŸ¡‹šÃŽŸ‘?
Š. šÃÁ‰‹Æ”•ÀÉšÁ‰ÓÔ”¼ÁŒŽŸšÒŸ ?
8. ÓÊŸ”‹ÊŸ¢œÉŒ¬ÄÉŒ–ž‰Ÿ‘œÙÇ‘¾Ÿ‹ŸŽÂ”‹ÊŸ 2 –ž¡˜‘ ‹Å ŽŸ¢Ò ¢¾ž ¡‰Ã•, –ž‰Æ‘
ÒÉŸ šÃ—ÈÊ¡ŠÆÊŸšŸ¤”ÓÊŸ” 400 ‹Æ” ¤””ÁÊ”šÃ—ÈʏÅÊŽŸ¢Ò 100 ‹Æ”, šÃ—ÈʏÅÊ¡‰Ã• 250 ‹Æ”
¢¾ž šÃ—ÈʏÅʼÁŒ ¡‰Ã• ¢¾ž ŽŸ¢Ò 50 ‹Æ”.
ÆÉŒ‰œŸÀŸ”Ò”—ÈʼÃɏÅʎ”‹ÊŸ›ÉŸŒ”ʝ 1 –ž¡˜‘Ÿ‰ ŽÂ”‹ÊŸ¼ÁŒŽŒ–ž¡˜‘”ÃÊ.

149. 9. ¤”‰Ÿ”ŽÀŸœÙÒ‘‰ÉÔÒ‰Á•‰Ÿ”ÉŸ”¬ÁŒŽÅ˜Âš 2 ž”‘ ‹Å ÒÔŒÁ”¤­É ¢¾ž ŽÔŒ–ž
ŸÆ”ÀŸ”Ò” 150 ‹Æ” –ž‰Æ‘ÒÉŸšÃ 105 ‹Æ” ÉŸ”¬ÁŒŽÅ˜ÂšÒÔŒÁ”¤­É šÃ 50 ‹Æ”
ÉŸ”¬ÁŒŽÅÂؚŽÔŒ–žŸÆ” ¢¾ž šÃ 8 ‹Æ” •Àɝɟ”¬ÁŒŽÅ˜Âš¼ÁŒ 2 ž”‘”ÃÊ.
ÆÉŒ‰œŸÀŸ”Ò”‹Æ”¼Ãɝɟ”¬ÁŒŽÅ˜Âš¼ÁŒ 2 ž”‘”ÃÊ. ‹Æ”¼Ãɝɟ”¢’ɬÁŒŽÅ˜ÂšÒÔŒÁ”
¤­ÉšÃÁ‰‹Æ” ¢¾ž ‹Æ”¼Ãɝɟ”¬ÁŒŽÅ˜ÂšŽÔŒ–žŸÆ”šÃÁ‰‹Æ” ?
10. —Æ”‰Ÿ”ŽÀŸœÙÒ‘”Á‰ŽÄ‰ŽŸÒ¼žŸ¥¾¢œÉŒ¬ÄÉŒ –ž‰Æ‘ÒÉŸ šÃ”Á‰ŽÄ‰ŽŸ 260 ‹Æ”
ÓԔҏŸŽž“Â’Â, 280 ‹Æ” ÓÔ”‹ž”‘ŽŸ‘, 160 ‹Æ” ÓÔ”‹š˜ÂÒ¡’Ã, 76 ‹Æ”
ÓÔ”Žž“Â’Â ¢¾ž ‹ž”‘ŽŸ‘, 48 ‹Æ” ÓÔ”Žž“Â’Â ¢¾ž ‹š˜ÂÒ¡’Ã, 62 ‹Æ”
ÓÔ”‹ž”‘ŽŸ‘ ¢¾ž ‹š˜ÂÒ¡’Ã, 30 ‹Æ”ÓÔ”¼ÁŒ 3 ҏŸ”ÃÊ ¢¾ž šÃ›ÈÉ 150 ‹Æ”
¼ÃÉ•ÀÉ¡¾Å‰ÓÔ”¤” 3 ҏŸ”ÃÊ.
ÆÉŒ‰œŸ ÀŸ”Ò””Á‰ÓÔ”¼ÉÓÃÔ”‹š˜ÂÒ¡’â’É•ÀÉÓÔ”‹ž”‘ŽŸ‘ œÙÅ Žž“Â’.Â
48

150. •Æ‘¼Ã 6 —Æ”‹È”‰Ÿ‰¡’Ô”
¤”‰Ÿ”£”¡ŒÂ”œÙÔ” 1 œÙÔ” 2 ‹ÁÊŒ —Æ”¼Ãɍž¥‘Ê‹Å:
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¡ÂÉŒ T ¢¼”‰Ê ¢¾ž H ¢¼”œÆÒ.
¤”‰ÇÉš nS

155. 4 , ¡ÂÉŒÆŒ–ž‰•ŠŒ S ¡–Á”¢Ñ‘’ÉŸŒ¦. ¢Ñ‘ T,H

156. ¢¾ž
H,T

157. ¢’‰’ÉŸŒ‰Á”¡˜ŸžÒÉŸ T,H

158. ­Ÿ¡“ÂŒ ¡¼Åɝ¼Ã 1 ‰‰Ê ¢¾ž ¡¼Åɝ¼Ã 2 ‰
œÆÒ, ŽÉÒ” H,T

159. ­Ÿ¡“ÂŒ ¡¼Åɝ¼Ã 1 ‰œÆÒ ¢¾ž ¡¼ÅÉ ¼Ã 2 ‰‰Ê.
1. ¢Ñ‘
ÆŒ–ž‰•ŠŒ‰ÇÉš’ÉŸŒ¼ÃÉŠÔ”¥Òʤ”ÒÆŒ¡¾Á•¡–Ñ ¢¾ž ÒÆŒ¡¾Á•–‘ ¢¾ž ŠÁÊ”‘ÊҐ
¡‹ÅɝŒ­ŸÇ‘ “,” ¡ÃÊ”ÒÉŸ ¢Ñ‘.
’ÆқɟŒ. ¢šÉ”ÆŒ–ž‰•¼Ã 1 ŠŒ¢Ñ‘ x, y

160. x, y

161. ¢šÉ”ÆŒ–ž‰•¼Ã 2 ŠŒ¢Ñ‘ x, y

162. ”Ÿš. ŽŒ¢Ñ‘ž¡¼ÆÉŸ‰Á” ¡šÅɝ ÆŒ–ž‰•¼ÃÉ›ÈÉ’ÀŸ¢¬ÉŒ‘ÔÒ‰Á”¡¼ÆÉŸ‰Á”.
a,b

163. c, d

164. ¡šÅɝ a c, b d.
2. —Æ”‹È”‰Ÿ‰¡’Ô”ŠŒŽŒ‰ÇÉš
¤œÊŽŒ‰ÇÉš A ¢¾ž B . —Æ”‹È”‰Ÿ‰¡’Ô”ŠŒ‰ÇÉš A ‰Á• B ŽÁ”ž¾Á‰‘ÊҐ
Au B ¢šÉ”‰ÇÉšŠŒ¼Ç‰¦¢Ñ‘ x, y

165. , ¡ÂÉŒ x A, yB.
Au B ^x, y

166. / x A, yB`.
49

167. ’ÆқɟŒ: ¤œ ÊA ^1, 2` ¢¾ž B ^a,b` . ‰œŸ Au B ¢¾ž Bu A
•Æ‘¢‰Ê: Au B ^1, a

168. , 1,b

169. , 2, a

170. ,2,b

171. `
Bu A ^a,1

172. , a, 2

173. , b,1

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175. `
¡ÓÆŸŽŸšŸ‘‰œŸ—Æ”‹È”‰Ÿ‰¡’Ô”£‘¤Ê’Ÿ’ž¾ŸŒ ¡ÁÉ”:
B
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176. 1,b

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179. ‘ÁÉŒ”ÁÊ” Au B ^1, a

180. , 1,b

181. , 2, a

182. , 2,b

183. `
¡ÁÉ”‘ÔÒ‰Á”, ŽÀŸ¾Á• Bu A ¥‘Ê
A
u 1 2
B
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184. a, 2

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186. b, 2

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189. , b,1

190. , b, 2

191. `
¡œÁ”ÒÉŸ Au B z Bu A
‰Ÿ”ÉŸ”’Ÿ’ž¾ŸŒ”ÃÊ¢šÉ”ÉŸ”
Ÿ‰¡•ÅʝŒÊŸœŸ¡•ÅʝŒŠÒŸ
¡¼ÆÉŸ”ÁÊ”.
50

192. £‘¼ÆÉÒ¥– ŽÀŸ¾Á•
Au A ŽÁ”ž¾Á‰‘ÊҐ A2
A2 u A ŽÁ”ž¾Á‰‘ÊҐ A3 ¡ÂÉŒÆŒ–ž‰•¡ÃÊ”ÒÉŸ ¢Ñ‘ŽŸšŠŒ‰ÇÉš A
A3 ^x, y, z

193. / x A, y A, z A`
’ÆқɟŒ. ¤œ ÊA ^1, a` ¥‘Ê
A2 Au A ^1, a`u^1, a` ^1,1

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A A A
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•Æ‘¡Ñ‰œÁ‘
1. ¤œ ÊA ^1, 2,3`, B ^a,b, c` ¢¾ž C ^m, n` . ÆÉŒ‰œŸ
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224. 2. ¤œ ÊA ^a,b,c, d, e, f `, B ^1,3,5,7,9 ` ¢¾ž C ^x, y, z`.
ÆÉŒ‰œŸÀŸ”Ò”ÆŒ–ž‰•ŠŒ
‰. Au A Š. Bu B
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‰. Au BuC Š. AuCu B
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230. uC Œ. B‰C

231. u A‰C

232. . ÀŸ”Ò”ÆŒ–ž‰•ŠŒ‰ÇÉš¤”ŠÀÊ ‰, Š, ‹ ¢¾ž Œ.
52

233. ˜Ÿ‰¼Ã III ‰ÇÉšÀŸ”Ò”
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ģįŀģŁĮĪŁŗĸĦʼnĨĹńŃĪ ōĸĿ ĽįŀŏĨģœŁĮijĪŀĭĿĮŁŌīŀģŎĮŎĸĨń. ĮģŀĥĿĮĪŃĺŁĪŐĪijœĿĩŁĩŁĵħĪŀ
ħŁŗĮĹĮŌĤʼnœŁŌİŀĮĸĿįįʼn ĻŊņ ŌİŀĮģĵŇŒ. ŏĮijŁģĮńœŌĽʼnŁħĿŐĪĽœŋĮģĵŇŒħŁŗĮĹĮīŒŁĦő ōĸĿ ĥŇĮ
ĸģŀĺĿĮĿĤļĦĵĮŀ.
įĪʼnĭń 7 ģĵŇŒħŁŗĮĹĮ
53
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ħŁŗĮĹĮĭŁŗĵĿĨŁĪijļœĵģįŀŌĥŒļņĦţŁĩĸįʼn, ĺĮň ōĸĿ ħŁŗĮĹĮĭŁŗĵĿĨŁĪŎĽĵ
ŌĤʼnœŁģĮŀŌİŀĮģĵŇŒŢŒŅĦ ŌĨŒĦŃŌijŒŃĮŌļĮńœĹŁŒ ģĵŇŒħŁŗĮĹĮĬĹœĮ ĭŒńĺĮŀĩĿĸģŀĪĹœĩ ] œÙÅ I .
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234. ħŁŗĮĹĮŌĺĪŌĨŒĦŃĺĹŒĮŌĺĪĤļĦĵĮŀįŒŗĺĮŃœĺĪŇ ōĸĿ įŒŗĵĽńļįĹŋĮ ŌļĮńœĹŁŒ ħŁŗĮĹĮļĿ
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ĺĦŀŌģĪŌĻŀĮĹŁŒ ĸĿĻĹŁŒĦĺļĦħŁŗĮĹĮħĦŃŌĽʼnŁĺŁĵŁĪİŋįĭŋį ōĸĿ ĨļģħŁŗĮĹĮħĦŃļŒĮņļģń
ĭŒńĶĸŒňĿĻĹŁŒĦĺļĦħŁŗĮĹĮħĦŃĮĮŀœ. ĪĦŒŀĮĮŀœ ŌijŒŃĮħŒĦŅŌĹʼnœŁĹŁŒģĵŇŒħŁŗĮĹĮħĦŃŌİŀĮģĵŇŒĭŒńŢŁōŢĮœ ĻŊņ
ĶōŒňįįīŃĪģĮŀ ŌĨŒĦŃģĦʼnģĮŀĤŁœĵģįŀģĵŇŒħŁŗĮĹĮĬĹœĮ. ħŁģħĪŇijŃŌĺĪĪĦŒŀģŁŒĹĤļĦģĵŇŒħŁŗĮĹĮħĦŃŌijŒŃĮħŒĦŅ
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235. ˜Ÿ‰ŽÉÒ”¤‘¬ÄÉŒŠŒ¡ŽÁÊ”ÅɍÀŸ”Ò”ÂŒ¡ÃÊ”ÒÉŸœÒÉŸŒÀŸ”Ò”ÂŒ ¡ÂÉŒšÃ‘ÁÉŒ”ÃÊ:
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238. •Æ‘¡Ñ‰œÁ‘
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4. ‰ÀŸ”Æ‘ A ^x | x ! 3`, B ^x | x d 0`,
C ^x | 1 d x 4` D ^x |1 x 3`
ÆÉŒ¢’ÊšÓÈ•Žž¢‘ŒŠŒ‰ÇÉš’ÀÉ¥–”ÃÊ ¢¾ÊÒŠÔ”‹ÀŸ’•¡–Á”¢••œÒÉŸŒ
‰. Aˆ B Š. A‰ B ‹. B ‰C Œ. BˆC
. C ‰ D Ž. Cˆ D . Bˆ D  A‰ D
58

239. 5 5
5 0 5
59
4. ‹ÉŸŽÀŸ•È”
‹ÉŸŽÀŸ•È”ŠŒÀŸ”Ò”ÂŒ a ¡Â ÉŒ’ÀÉ¥–¡ÓÆŸž¡ÃÊ”ŽÁÊ”¦ÒÉŸ ‹ÉŸŽ ÀŸ•È” ŽÁ”ž¾Á‰‘ÊҐ
a , ¢šÉ”¥¾žŸ‰¡šÁ‘¡‹ÆÊŸœŸ¡šÁ‘¡¼ÂŒ¢‰”ÀŸ”Ò”¼ÃɍÁ•‹ÈɉÁ• a.
x ‹ÉŸŽÀŸ•È”ŠŒÀŸ”Ò”ÂŒ•ÀÉ¡–Á”ÀŸ”Ò”¾Æ•
’ÆқɟŒ. 5 5 ¢¾ž 5 5
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240. 5 , 5 5 .
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2 1, 2 1 0
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241. 2 1
2 1,2 1 0
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x x
Ÿ‰¡ŽÁÊ”ÅɍŸÀ”Ò”ÂŒ, ¡šÅɝ b t a ¥¾žœÉŸŒ¾žœÒÉŸŒŽŒ¡šÁ‘¼ÃɍÁ•‹ÈɉÁ• b ¢¾ž
a ¡¼ÆÉŸ‰Á• b a. ¡šÅÉ b a ¥¾žœÉŸŒ¾žœÒÉŸŒŽŒ¡šÁ‘¼ÃɍÁ•‹ÈɉÁ• b ¢¾ž a ¡¼ÆÉŸ‰Á•
a b b a

242. . Ÿ‰”ÂŸš‹ÉŸŽÀŸ•È” ÄÉŒ¥‘Ê ¥¾žœÉŸŒ¾žœÒÉŸŒŽŒ¡šÁ‘¼ÃɍÁ•‹ÈɉÁ• b
¢¾ž a ¡¼ÆÉŸ‰Á• b a .
d(a,b) a b b a
’ÆқɟŒ:
1) ‰ÀŸ”Æ‘ a 3, b 3ž¥‘Ê d(a,b) d(3,3) 3 3 6 6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
2) ¤œÊ a 1, b 6 ž¥‘Ê d(a,b) d(1,6) 6 1 5 5
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
59

243. 5. ŽÆš—Æ” ¢¾ž žŽÆš—Æ”ŠŒ‹ÉŸŽÀŸ•È” ¤”
’ÆқɟŒ. ¢‰ÊŽÆš—Æ” x 3 5
•Æ‘¢‰Ê. ¡ÓÆŸŽŸšŸ‘¢‰ÊŽÆš—Æ””ÃÊ‘ÊҐŽŒÒ¼ÑÁÉŒ”ÃÊ:
Ò¼üà 1 (Ò¼Øđž‹ž”‘) ¡”ÅɝŒŸ‰ÒŸÉ r5 5 ¥‘Ê:
2 3 8
1 1
60
x 3 5 œ ÙÅx 3 5
x 8 œÙÅ x 2
Ò¼üà 2 (ҼᾊŸ‹ž”‘). ‰Ÿ”¢‰ÊŽÆš—Æ” x 3 5 ¢šÉ”‰¡šÁ‘›ÈÉ¡ŽÁÊ”ÅɍÀŸ”Ò”ÂŒ¼ÃÉ
Á•‹ÈɉÁ• x ¢¾ž œÉŸŒ 5 œÆÒ¬ÉҐŸ‰ 3
‘ÁÉŒ”ÁÊ”, x 8 œÙÅ x 2 .
ŽÁŒ¡‰‘¡œÁ”ÒÉŸ: 1) x a A, A t 0Ÿ x a rA
2) x a A, A 0 •Àɚ䍗”Æ.
’ÆқɟŒ 2. ¢‰ÊžŽÆš—Æ” x 2 ! 1
•Æ‘¢‰Ê. ¡ÓÆŸŽŸšŸ‘¢‰ÊŽÆš—Æ””ÃÊ‘ÊҐŽŒÒ¼ÑÁÉŒ”ÃÊ:
ҼᾊŸ‹ž”‘. ‰Ÿ”¢‰ÊžŽÆš—Æ” x 2 ! 1¢šÉ”‰¡šÁ‘›ÈÉ¡ŽÁÊ”ÅɍÀŸ”Ò”ÂŒ¼ÃɍÁ•‹‰ÈÉÁ•
x ¢¾ž œÉŸŒœÙŸ‰ÒÉŸ 1 œÆÒ¬ÉҐŸ‰ 2
‘ÁÉŒ”ÁÊ”, x 1 œÙÅ x ! 3.
5 5
1 2 3
60

244. Ò¼Øđž‹ž”‘. x 2 !1Ÿ x 2 !1 œÙÅ x 2

245. !1
3 3
2 1 4
61
¡ÓÆŸ¥‘Ê x ! 3 œÙÅ x 1
ŽÁŒ¡‰‘¡œÁ”ÒÉŸ: 1) x a ! A, A t 0Ÿ x a ! A
œÙÅ x a A.
2) x a ! A, A 0 ¼Ç‰¦ÀŸ”Ò”ÂŒ x ¢šÉ”¤—Æ”.
’ÆқɟŒ 2. ÆÉŒ¢‰ÊžŽÆš—”Æ x 1 3
•Æ‘¢‰Ê: ¡ÓÆŸŽŸšŸ‘¢‰ÊŽÆš—Æ””ÃÊ‘ÊҐŽŒÒ¼ÑÁÉŒ”ÃÊ:
ҼᾊŸ‹ž”‘. ‰Ÿ”¢‰ÊžŽÆš—Æ” x 1 3 ¢šÉ”‰¡šÁ‘›ÈÉ¡ŽÁÊ”ÅɍÀŸ”Ò”ÂŒ¼ÃɍÁ•‹ ÈÉ
‰Á• x ¢¾ž œÉŸŒ¬Ê‰ÒÉŸ 3 œÆÒ¬ÉҐŸ‰ 1
‘ÁÉŒ”ÁÊ”, 2 x 4 .
Ò¼Øđž‹ž”‘. x 1 3Ÿ3 x 1 3
¡ÓÆŸ¥‘Ê 2 x 4
ŽÁŒ¡‰‘¡œÁ”ÒÉŸ: 1) x a A, A ! 0ŸA x a A
2) x a A, A d 0 •ÀÉš¤Ã—Æ”.
’ÆқɟŒ 4. —Æ”‰Ÿ”ÒÂ¥¥‘ÊŽžœÙÇ•ÒÉŸ ¡Åʝ”ʝŒ¢Ñ‘žšÃ”ÀÊŸ¬Á‰œÙÇ‘¾ÅÉ”‰Á”•ÀÉ¡‰Ã” 3 ‰Â£¾
‰½Ÿš. ÓÈÊÒÉŸ ¡ÅʝšÃ”ÀÊŸ¬Á‰ 52 ‰Â£¾‰½Ÿš “ŸšÒÉŸ”ÀÊŸ¬Á‰ŠŒ”ʝŒž›Èɤ”Š•¡Š‘¤‘?
•Æ‘¢‰Ê: ¤œÊ x ¢šÉ””ÀÊŸ¬Á‰ŠŒ”ʝŒ. Ÿ‰•Æ‘¡¾‰ ÓÒÈÊÉŸ x 52 d 3 .
‹ÀŸ“Ÿš¢šÉ”¤œÊ‰¡Š‘‹ÉŸŠŒ x . ¡šÅɝ¢‰ÊžŽÆš—”Æ x 52 d 3 ¥‘Ê
49 d x d 55 . ‹ÀŸ’•¢š”É ”ʝŒšÃ”ŸÀʬÁ‰›ÈɾžœÒÉŸŒ 49 œŸ 55 ‰Â£¾‰½Ÿš.
61

246. Š.
x Ž. x 3 ! 2
62
•Æ‘¡Ñ‰œÁ‘
1. ÆÉŒ‰‹ÉŸŠŒŽÀŸ”Ò”’ÀÉ¥–”ÃÊ
‰. 3 5 Š. 16 5 ‹. 9 18 Œ. 19 11
. 8 ˜ 5 Ž. 10 ˜ 3 . 24
6
˜
. 4 9
6
‘. 13 8

247. 7 6 ’. 3 8 6 3 4 3

248. 2. ÆÉŒ–Æ‘¡‹ÅɝŒ­Ÿ‹ÉŸŽÀŸ•È”‰Ÿ‰ŽÀŸ”Ò”¾ÇÉš”ÃÊ.
‰. 1 3 Š. 1 3 ‹. 3 1
Œ. x 2 ¡šÅɝ x ! 3 . x 2 ¡šÅɝ x 1
3. ÆÉŒ¢‰ÊŽÆš—Æ”.
‰. x 5 Š. 3x 4 0 ‹. x2 9 Œ. x 1 1 0
. 1
2
x
Ž. 3x 1 x 2 0 . x 3 3 x . x 3 3 x
3 5 11
( 1 2)
4. ÆÉŒ‹Â‘¥¾ É: ‰. 2
y .
( 3)2 (52 3)
15 ( 3)(2)
5. ÆÉŒŽž¢‘Œ¼Ç‰¦ÀŸ”Ò”ÂŒ x ¤ŽÉ¢‰”ÀŸ”Ò” ¤”¢’ɾž‰À¾ž”þÇÉš”ÃÊ:
‰. x 3 5 Š. x 2 3 ‹. x 1 2
Œ. x 4 d 1 . 1 3
2 2
6. ÆÉŒ¢‰ÊžŽÆš—Æ”¾ÇÉš”ÃÊ:
x
‰. 2 x 5 d 8 Š. 3x 6 27 ‹. 1 !
2
4 3
Œ. 3x 5 t 4 . 3 x d 1 2 Ž. 2x 3 ! 4
7. ÆÉŒ˜ÂŽÈ‘žŽž¡­Ã—Æ”:
‰. a b d a b Š. a b t a b
62

249. ijŁģĭń IV ģŁĮijĹʼnijĮŀ ōĸĿ īŁŗĸŁ
įĪʼnĭń 8 ģŁĮijĹʼnijĮŀ
A ­® ½¾ B ­® ½¾
A B
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¯ © ¹ ¿
­ ½ ® ¾
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63
1. ĵĿŎĮijŁįĤļĦģŁĮijĹʼnijĮŀ
ŏĻĺœļĦģĵŇŒ 2 2
3, , 2,0,1,3,1 2 , 0,1,3, 2 1,1 2,
3 3
¯ ¿ ¯ ¿
ŌĵŒļņħįŀĥļňŒĦʼnİĿģļįĤļĦ A ¢¾ž B īŁĵģĪʼn R ĭŒńĹŁŒ ĥŁŒĺŁŗįĮňĤļĦļĦʼnİĿģļįĤļĦ A
ŌİŀĮļĦʼnİĿģļįĤļĦ B ħĿŐĪ.œ
R
3
2
3
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0
1
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1
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3
ĻŊņ ģŁĮħįŀĥĮňŒĺńœŁĵŁĪĤŋĮŏĮĽįňĽŁŒĦģĵŇŒĤļĦōIJĪĪĦŒŀĮ:ńœ
2 2
R 3,3,

250. , , 0,0

251. ,1,1,

252. 3,3,1

253. 2, 2 1

254. 3 3
.
¡˜ÂÉ”¡ÃÊ” R ÒÉŸ‰Ÿ”˜ÆÒ˜Á”Ÿ‰ A œŸ B , ¡ÂÉŒ DR
­ 2
½ ® 3, ,0,1,3,1 2
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¡Š‘‰ÀŸ”Æ‘ŠŒ R ¢¾ž RR
2
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3
šÃÅÉÒÉŸ‰ÇÉš¡ŒÆŸŠŒ R.
ģŁĮijĹʼnijĮŀ R ĤŁœĦŌĭŃĦĮōńœĵĮŒŢŒŅĦŏĮįĮŀĪŁģŁĮijĹʼnijĮŀ ŌĨŒĦŃĽįňōįį ōĸĿ
İĿŌijĪĤĮŅœģįŀģĪʼnĤļĦģŁĮijĹʼnijĮŀĮĮŀœő. ĺĦŀŌģĪŌĻŀĮĹŁŒŌĤĪģŁŗĮĪʼn ōĸĿ ģĵŇŒŌĦŁʼnĤļĦ
63

255. ģŁĮijĹʼnijĮŀ ĤŁœĦŌĭŃĦĮŌńœİŀĮģĵŇŒħŁŗĮĹĮ. ĩĦŀĵŌńĤĪģŁŗĮĪʼn ōĸĿ ģĵŇŒŌĦŁʼnĤļĦģŁĮijĹʼnijĮŀĭŒń
įŒŗŌİŀĮģĵŇŒħŁŗĮĹĮ.
A
’ÆқɟŒ.
B
DR = { ¼ÊŸÒ ‹ÀŸ, ”ŸŒ ‘Ã, ¼ÊŸÒ ¢‰ÊÒ, ¼ÊŸÒ •Ç”}
RR = { •Ÿ”¡’ž, •Ÿ”ŽÆÉŒ, ¡–’ÁŒ}
”Ÿš. ‰Ÿ”˜ÆÒ˜Á”¢šÉ”‰Æ‘‰Ÿ”Á•‹ÈɾžœÒÉŸŒÆŒ–ž‰•ŠŒŽŒ‰ÇÉš‹Å: ‰ÇÉš’ÆÊ” ¢¾ž
‰ÇÉš–ŸŠŒ‰Ÿ”˜ÆÒ˜Á”. ž”ljÇÉšŠŒ‰ÇÉš’ÆÊ”¼ÃɚËÈÉ¡ÃÊ”ÒÉŸ ¡Š‘‰ÀŸ”Æ‘ŠŒ‰Ÿ”˜ÆÒ
˜Á” ¢¾ž ž”ljÇÉšŠŒ‰ÇÉš–Ÿ¼ÃɚËÈÉ¡ÃÊ”ÒÉŸ ‰ÇÉš¡ŒÆŸŠŒ‰Ÿ”˜ÆÒ˜Á”.
‰Ÿ”˜ÆÒ˜Á” R ¢’ÉA œŸ B Ÿ‘Žž¡¬Ã œÙŸÓÈ•¢•• ¡ÁÉ”:
­ § · ½ ® ¨ ¸ ¾
¯ © ¹ ¿
64
1) R: AoB
‰Æ‘ŠŒ‰Ÿ”˜ÆÒ˜Á”
2)

256. 2 2 R 3,3, , , 0,0

257. ,1,1,

258. 3,3,1

259. 2, 2 1

260. 3 3
3) ¤Ê¢—”ÒŸ‘.
4) ‰½Ÿ™.
R: šÁ‰œÙÂÊ”‰Â¾Ÿ
¼ÊŸÒ ‹ÀŸ
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¼ÊŸÒ ¢‰ÊÒ
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64

261. R: šÁ‰œÙÂÊ”‰Â¾Ÿ
R: šÁ‰œÙÂÊ”‰Â¾Ÿ
65
2. ž”‘ŠŒ‰Ÿ”˜ÆÒ˜Á”
ŽÁŒ¡‰‘‰Ÿ”˜ÆÒ˜Á”
A
¼ÊŸÒ ‹ÀŸ
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¼ÊŸÒ ¢‰ÊÒ
¼ÊŸÒ •Ç”
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•Ÿ”¡’ž
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¡–’ÁŒ
¼Ç‰¦ÆŒ–ž‰•ŠŒ‰ÇÉš–Ÿ¢šÉ”¡ŒÆŸŠŒ›ÉŸŒ¬Ê¬ÄÉŒÆŒ–ž‰•ŠŒ‰ÇÉš’ÆÊ”.
‰Ÿ”˜ÆÒ˜Á”–ž¡˜‘”ÃÊ ¡˜ÂÉ”¡ÃÊ”ÒÉŸ ‰Ÿ”˜ÆÒ˜Á”¡‰Ã”.
A
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¼ÊŸÒ ŽÃ
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B
•Ÿ”¡’ž
•Ÿ”ŽÆÉŒ
¡–’ÁŒ
ĭģŇőļĦʼnİĿģļįĤļĦģĵŇŒİŁĩōĵĮŒŌĦŁʼnĤļĦĶŁŒĦĻŊŁĩŢŒŅĦļĦʼnİĿģļįĤļĦģĵŇŒīĮʼnœ.
ģŁĮijĹʼnijĮŀİĿŌijĪĮ ńœŌijŒŃĮŌļĮńœĹŁŒ ģŁĮijĹʼnijĮŀŌĤĮń.
65

262. B
¼Ç‰¦ÆŒ–ž‰•ŠŒ‰ÇÉš’ÆÊ”šÃ˜ÔŒ¢’ɬÄÉŒ¡ŒÆŸ ¢¾ž ¼Ç‰¦ÆŒ–ž‰•ŠŒ‰ÇÉš–ŸšÃ
˜ÔŒ¢’ɬÄÉŒ’ÆÒ’ÆÊ”. ‰Ÿ”˜ÆÒ˜Á”–ž¡˜‘”ÃÊ ¡˜ÂÉ”¡ÃÊ”ÒÉŸ ‰Ÿ”˜ÆÒ˜Á”‹ÔŒ‹ÈÉ.
­Ÿ¡œ‘: ‰Ÿ”˜ÆÒ˜Á”‹ÔŒ‹ÈÉ¢šÉ”‰Ÿ”˜ÆÒ˜Á”¡‰Ã” ¢¾ž ¡ŠÃ”˜Êš‰Á”.
3. ‰½Ÿ™ŠŒ‰Ÿ”˜ÆÒ˜Á”
66
¤œÊ‰Ÿ”˜ÆÒ˜Á”
A
R: šÁ‰œÙÂÊ”‰Â¾Ÿ
¼ÊŸÒ ‘ÀŸ
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¼ÊŸÒ šÃ
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¡–’ÁŒ
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¼ÊŸÒ ‹ÀŸ
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¼ÊŸÒ ¢‰ÊÒ
¼ÊŸÒ •Ç”
B
•Ÿ”¡’ž
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¡–’ÁŒ
66

263. ‰Ÿ”˜ÆÒ˜Á””ÃÊ ŽŸšŸ‘Žž¬Ã¤”ÓÈ•¢••‰½Ÿ™‘ÁÉŒ”ÃÊ:
•
•
•
•
•Æ‘¡Ñ‰œÁ‘
1. ÆÉŒ‰¡Š‘‰ÀŸ”Æ‘, ¡Š‘‹ÉŸ, ¢’Êš¢—”ÒŸ‘ ¢¾ž •‰ž”‘ŠŒ‰Ÿ”˜ÆÒ˜Á”¾ÇÉš
”ÃÊ:
‰. R ^3,9

264. , 1,1

265. , 0,0

266. , 1,1

267. ,3,9

268. ,4,16

269. `
Š. R ^3,0

270. , 2,1

271. , 0,5

272. , 1,1

273. , 3,4

274. , 4,2

275. `
‹. R ^1,3

276. ,2,3

277. ,1,0

278. ,1,1

279. , 3,3

280. `
Œ. R ^ TH, 1

281. , HT, 1

282. , TT, 1

283. , HH, 1

284. `
.
4 4 4 4 67
2. ÆÉŒ¢’Êš‰½Ÿ™ŠŒ‰Ÿ”˜ÆÒ˜Á”¾ÇÉš”ÃÊ:
‰. R {(”ŸŒ ¼Œ, ¢‘Œ), (¼ÊŸÒ ‹ÀŸ, ŠŸÒ), (”ŸŒ ˜”, ŠÔÒ), (¼ÊŸÒ ¥š, ¢‘Œ)}
Š. R ^3,0

285. , 2,1

286. , 0,5

287. , 1,1

288. , 3,4

289. , 4,2

290. `
‹. R ^1,3

291. , 2,3

292. ,1,0

293. ,1,1

294. , 3,3

295. `
Œ. R ^ x, y

296. / x 2 y 2 4, x r2,r1,r 1 ,0
`
2 •
•
•Ÿ”¡’ž
•Ÿ”ŽÆÉŒ
¡–’ÁŒ
¼ÊŸÒ ‹ÀŸ ”ŸŒ ‘à ¼ÊŸÒ ¢‰ÊÒ ¼ÊŸÒ •Ç”
67

297. įĪʼnĭń 9 īŁŗĸŁ
1. ĮĩŃŁĵ ōĸĿ īĹʼnĶŁŒĦĤļĦīŁŗĸŁ
ĮĩŃŁĵ. īŁŗĸŁ ōĵĮŒģŁĮijĹʼnijĮŀŌĤĮń ĻŊņ ĥŋĦĥĭňŒŒńģĵŇŒīĮʼnœ ōĸĿ ģĵŇŒİŁĩŌİŀĮļĿĮģŇĵŇŒĤļĦ
A B
68
ģĵŇŒħŁŗĮĹĮ.
īĹʼnĶŁŒĦ.
1).
R: ‹ÉŸŽÀŸ•È”¢šÉ”
3
2
3
2
0
1
3
1
2
0
1
3
2
1
1
2
2
3
‰Ÿ”˜ÆÒ˜Á””ÃÊ¢šÉ”’ÀŸ¾Ÿ, ¡ÂÉŒŽŸšŸ‘Žž¡¬Ã‘ÁÉŒ”ÃÊ
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x x
o
6 œ ÙÅ f x

298. x , x A
2)
2
f :
x x
o
6
œÙÅ f x

299. x2, x
68

300. 3) R: x2 y2 2, x A, yB

301. A
1
0
1
2
2
B
1
0
1
2
5
‰Ÿ”˜ÆÒ˜Á””ÃÊ•ÀÉ¡–Á”’ÀŸ¾Ÿ, ¡”ÅɝŒŸ‰ÒÉŸ•ÀÉ¢šÉ”‰Ÿ”˜ÆÒ˜Á”¡ŠÃ” ¢¾ž •ÀÉ¢šÉ”‰Ÿ”
69
˜ÆÒ˜Á”‹ÔŒ‹ÈÉ.
4) R: y x 2, x A, yB

302. A
1
0
1
2
2
B
1
2
3
2
2
4
‰Ÿ”˜ÆÒ˜Á””ÃÊ¡–Á”’ÀŸ¾Ÿ, ¡”ÅɝŒŸ‰ÒÉŸ¢šÉ”‰Ÿ”˜ÆÒ˜Á”‹ÔŒ‹ÈÉ.
69

303. 70
2. ŌĺŀĮœĺĿōĪĦĤļĦīŁŗĸŁ
ĺĦŀŌģĪģķŁĴĤļĦģŁĮijĹʼnijĮŀĭŒńŌİŀĮīŁŗĸŁ
īĹʼnĶŁŒĦ 1. R: y x 2, x A, yB

304. A
1
0
1
2
2
ŽÁŒ¡‰‘¡œÁ”ÒÉŸ¡šÅɝ¡•ÂÉŒ¾ÒŒ’ÁÊŒ¡šÁ‘¼ÃÉ–ž‰•¡–Á”‰½Ÿ™ŠŒ’ÀŸ¾Ÿ”ÃʚØԌ¢’É¡šÁ‘
‘ÔÒ ¢¾ž ¡šÅɝ¡•ÂÉŒ’Ÿš¾ÒŒ””‰À¡œÁ”¡ÁÉ”‘ÔÒ‰Á”.
1
2
3
2
2
4
B
70

305. A B
’ÆқɟŒ 2. R: ‹ÉŸŽÀŸ•È”¢šÉ”
3 1 1
71
1
0 2 3
3
3
2
3
2
0
1
3
1 2
0
1
3
2
1
1
2
2
3
ŽÁŒ¡‰‘¡œÁ”ÒÉŸ¡šÅɝ¡•ÂÉŒ¾ÒŒ’ÁÊŒ¡šÁ‘¼ÃÉ–ž‰•¡–Á”‰½Ÿ™ŠŒ’ÀŸ¾Ÿ”ÃʚØԌ¢’É¡šÁ‘
‘ÔÒ. ¢’ÉÒÉŸ¡šÅɝ¡•ÂÉŒ’Ÿš¾ÒŒ””¡œÁ”ÒÉŸšÃœÙŸ¡šÁ‘¼ÃÉ–ž‰•¡–Á”¡šÁ‘ŠŒ’ÀŸ¾Ÿ.
’ÆқɟŒ 3. R: x2 y2 2, x A, yB

306. A
1
0
1
2
2
1
0
1
2
5
B
71

307. 1
1 0
1
1
‰Ÿ”˜ÆÒ˜Á””ÃÊ•ÀÉ¡–Á”’ÀŸ¾Ÿ, ¡”ÅɝŒŸ‰ÒÉŸ•ŸŒÆŒ–ž‰•ŠŒ‰ÇÉš’ÆÊ”šÃ 2 ¡ŒÆŸ.
‰Ÿ”‰Ò‘¡•ÂÉŒÒÉŸ‰½Ÿ™¡–Á”‰½Ÿ™ŠŒ’ÀŸ¾ŸœÙÅ•ÀÉ ¡ÓÆŸŠÃ‘¡ŽÁÊ”ÅÉŠž¬Ÿ”‰Á•¢‰” y .
¡šÅɝ¡ŽÁÊ”ÅÉ”ÃÊ’Á‘‰Á•‰½Ÿ™•ÀÉ¡‰Ã”¬ÄÉŒ¡šÁ‘, ‰½Ÿ™¼ÃɤœÊ¡–Á”‰½Ÿ™ŠŒ’ÀŸ¾Ÿ.
’ÆқɟŒ 4. ¤Ê¡ŽÁÊ”ÅÉ¡˜Åɝ‰Ò‘¡•ÂÉŒÒÉŸ‰½Ÿ™¤‘¾ÇÉš”ÃÊ¡–Á”‰½Ÿ™ŠŒ’ÀŸ¾Ÿ.
a. b.
72
y
x
x
y
•Æ‘¢‰Ê. a. b.
y
x
y
x
•ÀÉ¡–Á”‰½Ÿ™ŠŒ’ÀŸ¾Ÿ ¡–Á”‰½Ÿ™ŠŒ’ÀŸ¾Ÿ
72

308. 3. ŌĤĪģŁŗĮĪʼn ōĸĿ ŌĤĪĥŁŒĤļĦīŁŗĸŁ.
ŏĻīœŁŗĸŁ y f (x) .
- ¡Š‘‰ÀŸ”Æ‘ŠŒ f , ŽÁ”ž¾Á‰‘ÊҐ f D , ¢šÉ”‰ÇÉš¼Ç‰¦‹ÉŸŠŒ x ¼Ãɚà y f (x).
^ /

309. `. f D x y f x
- ¡Š‘‹ÉŸŠŒ f , ŽÁ”ž¾Á‰‘ÊҐ f R , ¢šÉ”‰ÇÉš¼Ç‰¦‹ÉŸŠŒ y ¼ÃɍÁ•‹ÈɉÁ• x ¤”¡Š‘
‰ÀŸ”Æ‘.
f ^ /

310. `. R y y f x
73
’ÆқɟŒ. ‰¡Š‘‰ÀŸ”Æ‘ŠŒ’ÀŸ¾Ÿ:
a.
5
f x x
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2 3
b. 2
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c. k(t) t 2 d. g(t) t2 4t
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ĻĹʼnŢĹŒĩīĦŀœĺŁģ ōĸĿ ģķŁĴĤļĦīŁŗĸŁĥģńŌĥŒĦŃĥĭņŋįŏĺŌŒĵĪŀŌĥʼnœŁ.
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