BAI TAP HINH HOC 12 NĂM 2013 - 2014 HOANG THAI VIET

BAØI TAÄP
OÂN THI TOÁT NGHIEÄP THPT & ÑAÏI HOÏC
GV: HOÀNG THÁI VI T
ĐH BÁCH KHOA ĐÀ N NG
HS:...........................................
TRƯ NG.................................
..................................................
ĐÀ N NG 2013 - 2014

1. Hai ư ng th ng song song
a) nh nghĩa:
a b P
a b
, ( )
a bÇ = Æ
ì Ì
Û
î
íP
b) Tính ch t
( ) ( ) ( )
·
P Q R
( ) ( ) , ,
( ) ( )
( ) ( )
ì
P Q a a b c ñoàng qui
P R b a b c
Q R c
¹ ¹
éÇ =
Þ ê
ïïï
í
Ç = ë
Ç =ïî
ï P P
·
( ) ( )
( ) ,( )
P Q d
d a b
( )
P a Q b
d a d b
a b
ì Ç =
É É Þí
ï é
ê º ºëïî
P P
P
·
a b
,
a b
ì
a c b c
¹
Þ
î
í P
P P
2. ư ng th ng và m t ph ng song song
a) nh nghĩa: d // (P) d (P) =Û Ç Æ
b) Tính ch t
·
( ), ' ( )
( )
d P d P
'
d P
ì
d d
Ë Ì
Þ
î
í P ·
P
( )
( ) ,( ) ( )
d P
d a
ì
Q d Q P aÉ Ç =
Þí
î
P
P
·
( ) ( )
( ) ,( )
P Q d
d a
ì
P a Q a
Ç =
Þ
î
í P
P P
3. Hai m t ph ng song song
a) nh nghĩa: (P) // (Q) (P) (Q) =Û Ç Æ
b) Tính ch t
·
( ) ,
( ) ( )
( ), ( )
P a b
a b M P Q
a Q b Q
ì É
Ç = Þí
ï
ï
î
P
P P
·
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
P Q
P R P Q
ï
Þ
Q R
ì ¹
í
î
ï
P P
P
·
( ) ( ) (
) ( ) (
) ( )
Q R
P Q a a b
P R b
ì
Ç = Þí
ï Ç =
ï
î
P
P
4. Ch ng minh quan h song song
a) Ch ng minh hai ư ng th ng song song
· Ch ng minh 2 ư ng th ng ó ng ph ng, r i áp d ng phương pháp ch ng minh
song song trong hình h c ph ng (như tính ch t ư ng trung bình, nh lí Talét o, …)
· Ch ng minh 2 ư ng th ng ó cùng song song v i ư ng th ng th ba.
· Áp d ng các nh lí v giao tuy n song song.
b) Ch ng minh ư ng th ng song song v i m t ph ng
ch ng minh ( )d P , ta ch ng minh d không n m trong (P) và song song v i m tP
ư ng th ng d nào ó n m trong (P).¢
c) Ch ng minh hai m t ph ng song song
Ch ng minh m t ph ng này ch a hai ư ng th ng c t nhau l n lư t song song v i hai
ư ng th ng trong m t ph ng kia.
CHƯƠNG 0
ÔN T P HÌNH H C KHÔNG GIAN 11
I. QUAN H SONG SONG
BÀI T P HÌNH H C 12 - HOÀNG THÁI VI T BK N - 01695316875

1. Hai ư ng th ng vuông góc
a) nh nghĩa: ^ Û ¶( ) 0
a b =, 90
b) Tính ch t
· u v . 0a b u v^ Û =
r r r r
·
b c
a b
ì ¤¤
í
a c
Þ ^
^î
2. ư ng th ng và m t ph ng vuông góc
a) nh nghĩa: d (P) d a, a (P)^ Û ^ " Ì
b) Tính ch t
· i u ki n ư ng th ng ^ m t ph ng:
a b P a b O
d P
, ( ),ì
d a d b
( )
,
Ì Ç =
Þ ^í
^ ^î
·
a b
P b
P a
( )
ì
( )
Þ ^ ·í
a b
^
a b
î
P ì
a P b P^ ^( ), ( )
¹
î
Þí P
·
P Q
a Q
( ) ( )ì
a P
( )
( )
Þ ^ ·í
P Q
^
P Q
î
P ( ) ( )
P a Q a
( ) )
ì
( ) ,( )
¹
Þ (í
^ ^î
P
·
a P
b a
( )
b P( )
ì
Þ ^ ·í
a P
^
a P
î
P ( )
a b P b,( )
Þ ( )í
ì Ë
^ ^î
P
· M t ph ng trung tr c
· nh lí ba ư ng vuông góc
a P b P^ Ì ¢ ^ Û ^ ¢( ), ( )
3. Hai m t ph ng vuông góc
a) nh nghĩa: ^ Û ·( )( ),( ) =P Q
b) Tính ch t
· i u ki n hai m t ph ng vuông góc v i nhau:
( )
( ) ( )
P a
( )
P Q
ì
a Q
É
Þ ^í
^î
·
( ) ( ),( ) ( )
( )
P Q P Q c
( ),
a Q
ì
a P a c
^ Ç =
Þ ^í
( ) ( )
Ì ^
·
î
P Q
( ) ( )
, ( )
ì
A P a P
a A a Q
^
Î Þ Ìí
ï ' ^
ï
î
( ) ( )
· ( ) ( ) ( )
( ) ( )
P Q a
P R a R
Q R
ì Ç =
^ Þ ^í
ï ^
ï
î
4. Ch ng minh quan h vuông góc
a) Ch ng minh hai ư ng th ng vuông góc
d a^
·
·
· d b^ b aP
·
·
II. QUAN H VUÔNG GÓC

S d ng các tính ch t c a hình h c ph ng (như nh lí Pi–ta–go, …).
b) Ch ng minh ư ng th ng vuông góc v i m t ph ng
^
· Ch ng minh d vuông góc v i hai ư ng th ng a, b c t nhau n m trong (P).
· Ch ng minh d vuông góc v i (Q) và (Q) // (P).
· Ch ng minh d // a và a (P).^
· Ch ng minh d (Q) v i (Q) (P) và d vuông góc v i giao tuy n c c a (P) và (Q).Ì ^
· Ch ng minh d = (Q) (R) v i (Q) (P) và (R) (P).Ç ^ ^
c) Ch ng minh hai m t ph ng vuông góc
^
· Ch ng minh trong (P) có m t ư ng th ng a mà a (Q).^
· Ch ng minh ( ),( ) 90P Q =·( ) 0
1. Góc
a) Góc gi a hai ư ng th ng: Þ , ', 'a b a b=¶( ) ·( )
Chú ý: £ a b, £¶( )
b) Góc gi a ư ng th ng v i m t ph ng:
· ^ ,( )d P·( )
· d P^ ,( )( ) d P , 'd d ¢·( ) ·( )
Chú ý: £ ,( )d P £·( )
c) Góc gi a hai m t ph ng
( ) · ¶( ) ( )( ),( ) ,
a Pì
( )
P Q a b
^
í
b Q
Þ =
^î
· Ç Î
( ),a
( ),
P a c
b Q b c
ì Ì ^
Ì ^
Þ ( ),( ) ,P Q a b=í
î
·( ) ¶( )
Chú ý: ·( )0 0
0 ( ),( ) 90£ £P Q
d) Di n tích hình chi u c a m t a giác
¢ ¢
j ( ),( )P Q S = S.cos·( ) ¢ j
2. Kho ng cách
a) Kho ng cách t m t i m n ư ng th ng (m t ph ng) b ng dài o n vuông
góc v t i m ó n ư ng th ng (m t ph ng).
b) Kho ng cách gi a ư ng th ng và m t ph ng song song b ng kho ng cách t m t
i m b t kì trên ư ng th ng n m t ph ng.
c) Kho ng cách gi a hai m t ph ng song song b ng kho ng cách t m t i m b t kì
trên m t ph ng này n m t ph ng kia.
d) Kho ng cách gi a hai ư ng th ng chéo nhau b ng:
· dài o n vuông góc chung c a hai ư ng th ng ó.
· Kho ng cách gi a m t trong hai ư ng th ng v i m t ph ng ch a ư ng th ng kia
và song song v i ư ng th ng th nh t.
· Kho ng cách gi a hai m t ph ng, mà m i m t ph ng ch a ư ng th ng này và song
song v i ư ng th ng kia.
III. GÓC – KHO NG CÁCH

1. H th c lư ng trong tam giác
a) D
· AB AC BC+ = · AB BC BH AC BC CH= = ·. , . = +
· AB BC C BC B AC C AC B= = = =.sin .cos .tan .cot
b) D
·
2 2 2
a =b c 2bc cosA; b c a ca B c a b ab C+ = + - = + -– .cos .cos. ;
· = = =
·
b c a c a b a b c
a b cm m m; ;
+ + +
= - = - = -
2. Các công th c tính di n tích
a) Tam giác
· = ·== = ==
1 1 1 1 1 1
·
abc
= · ·= ( )( )( )S p p a p b p c= - - -
· D S AB AC BC AH= =. .
· D S =
a
b) Hình vuông
c) Hình ch nh t
d) Hình bình hành: AB AD sinBAD. .´ ·
e) Hình thoi: S AB AD sinBAD AC BD= =. . .· 1
f) Hình thang: ( )= +
1
g) T giác có hai ư ng chéo vuông góc: S AC BD= .
1
IV. Nh c l i m t s công th c
trong Hình h c ph ng

1. Th tích c a kh i h p ch nh t:
V abc= a, b, c
2. Th tích c a kh i chóp:
1
V ñaùyS h= . S áy h
3. Th tích c a kh i lăng tr :
ñaùyV S h= . S áy h
4. M t s phương pháp tính th tích kh i a di n
a) Tính th tích b ng công th c
· Tính các y u t c n thi t: dài c nh, di n tích áy, chi u cao, …
· S d ng công th c tính th tích.
b) Tính th tích b ng cách chia nh
Ta chia kh i a di n thành nhi u kh i a di n nh mà có th d dàng tính ư c th
tích c a chúng. Sau ó, c ng các k t qu ta ư c th tích c a kh i a di n c n tính.
c) Tính th tích b ng cách b sung
Ta có th ghép thêm vào kh i a di n m t kh i a di n khác sao cho kh i a di n thêm
vào và kh i a di n m i t o thành có th d tính ư c th tích.
d) Tính th tích b ng công th c t s th tích
Ta có th v n d ng tính ch t sau:
Cho ba tia Ox, Oy, Oz không ng ph ng. V i b t kì các i m A, A’ trên Ox; B, B'
trên Oy; C, C' trên Oz, ta u có:
OABC
OA B C
V OA OB OC
V OA OB OC' ' '
. .
' ' '
=
* B sung
· Di n tích xung quanh b ng t ng di n tích các m t bên
· Di n tích toàn ph n b ng t ng di n tích xung quanh v i
di n tích các áy.
Baøi 1.
a a
HD: Tính h = atan
1
a Þ V a3
= atan
1
6
Baøi 2.
5
¢ ¢ ¢ ¢
HD: Ghép thêm kh i S.ABC'D' vào kh i ADD'.BCC' thì ư c kh i SABCD
Þ
5 3a3
V =
6
Baøi 3.
HD: Chia kh i SABC thành hai kh i SIBC và AIBC (I là trung i m SA)
CHƯƠNG I
KH I A DI N VÀ TH TÍCH C A CHÚNG

Þ
xy
V x y2 2
12
= - -4
Baøi 4.
1
AP AQ AR. .
Þ V a b c b c a c a b2 2 2 2 2 2 2 2 22
= + - + - + -( )( )( )
12
Baøi 5. ^
16SAMN
SABC
V SA SM SN SA
V SA SB SC SB
æ ö
= = =. . ççç ÷÷÷
è ø
Þ
3 3a3
V =
50
Baøi 6. ^
3
Baøi 7.
Baøi 8. ^
Baøi 9. ¢ ¢ ¢ ¢
D ¢ 6
Baøi 10.
Baøi 11. 2
^
^
Baøi 12. ^

Baøi 1. ASB =· a
a
cot -
a
HD: a) S =xq a cot c) V =
a 1
a cot -
a
Baøi 2.
a
b
a b
HD: a) SBA BSD= =;· ·a b
c) S =tp
a a sin
(sin sin )
cos sin cos sin
b
a b
a b a b
+ +
- -
V =
a sin .sin
(cos sin )
a b
a b-
Baøi 3.
^
HD: b) K thu c ư ng tròn ư ng kính HD c) SK =
a a ax x
a x
- +
+
Baøi 4.
¢ ¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢ ¢
HD:
8SAB C
SABC
V
V
¢ ¢ V= Þ SAB C D¢ ¢ ¢ =
a
Baøi 5.
¢ ¢ ¢ ¢
SA SC SB SD
SA SC SB SD
+ = +
¢ ¢ ¢ ¢
HD: S d ng tính ch t t s th tích hình chóp
Baøi 6.
^
ÔN T P KH I A DI N

a
a
Baøi 7.
a a
Baøi 8.
a
a
h tan
tan -
a
a (tan )-
Baøi 9. £
£
h
a
2 2 2
x y a+ =
x
ay x( a)+
1
a
Baøi 10.
a b
a
cos sin-a b
a sin .sin
(cos sin )
a b
a b-
Baøi 11.
^ ^ ^
Baøi 12.
Baøi 13.
^
D D

Baøi 14.
^ = a
^ Î ^
Baøi 15.
Baøi 16.
Baøi 17. ¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢ ¢ a
a
^ ^
a sin
sin
HD: a) C BI
a
a
·¢ ¢ v i I là trung i m c a A B¢ ¢ ¢
Baøi 18. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
¢ ¢ a
HD: V = h tan - , S =a xq h tan -
Baøi 19. ¢ ¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢ a
^ ^ ¢ CAC¢ a
a a
a .
·
HD: b) V =
sin sinb a-
ab
a a
c) = arctana
Baøi 20. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
HD: V = a3 ; S = 4a2
xq
Baøi 21.
a
HD: S = 4h2
xq
cos
cos
Baøi 22. ¢ ¢ ¢ ¢
¢ ¢ a ¢
AJI a
a
a
-
.
·
HD: b) V =
tan -
a
a
; S = 3a2
xq
tan -
Baøi 23. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
a
.

¢ ¢ ¢
¢ ¢
7
( )+
Baøi 24. ¢ ¢ ¢
¢ ¢
¢ ¢ a a
a
·A AB¢ a
b ¢ ¢
b a
1
a a sin+
Baøi 25. ¢ ¢ ¢ ¢
a
·BAA¢
a
Baøi 26. ¢ ¢ ¢
¢ ¢
¢ j
¢ ¢ ¢
a ¢ ¢ a
j a j
d tan
tan -
j
j
a
tan -j
j
Baøi 27. ¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢
a
¢ ¢ a
¢ ¢ ¢
a
D ^ ¢ ·AHK a
cot
a
Baøi 28. ¢ ¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢ ¢
a
·BA D¢

HD: a) S = 2xq S S+ b) V =
S S
S S-
Baøi 29. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
a ¢ ¢ b
.
· ·CAC vaø AC Ba b¢ ¢= =
a b cos( ).cos( )+ -a b a b
a b ¢ ¢ a b
¢ ¢ a b
HD: c) 2(cos – sin ) = 1 ; V2 2
maxa b =
d
khi = = 300
a b (dùng Côsi).
Baøi 30. ¢ ¢ ¢
¢
¢
µA
HD: a) 600
b) V = ; S = a2
xq
a
.
Baøi 31. ¢ ¢ ¢ ¢ ·BAD
¢ ¢ ¢ a
¢ a
¢ ¢ ¢ ¢
b ABB A ABCD,·( )¢ ¢ a a b
HD: a) Chân ư ng cao là tâm c a tam giác u ABD.
p
b) SBDD B¢ ¢ =
a
sina
; S ACC A¢ ¢ = a2tan c) = arctana a
-
Chân thành c m ơn các b n ng nghi p và các em h c sinh ã c t p tài li u này.
transitung_tv@yahoo.com

I. M t c u – Kh i c u:
1. nh nghĩa
· M t c u: { }S O R M OM R( ; ) = = · Kh i c u: { }V O R M OM R( ; ) = £
2. V trí tương i gi a m t c u và m t ph ng
·
r R d= -
·
·
3. V trí tương i gi a m t c u và ư ng th ng
D D
· D
· D D
· D
4. M t c u ngo i ti p – n i ti p
M t c u ngo i ti p M t c u n i ti p
Hình a di n
Hình tr
Hình nón
5. Xác nh tâm m t c u ngo i ti p kh i a di n
·
·
D D
D
II. Di n tích – Th tích
C u Tr Nón
S Rh=
S R=
tp xq ñaùy
p
p
xq xq
S S S= +
S Rl= p
tp xq ñaùyS S S= +
4
V R= p V R h= p
1
V R h= p
CHƯƠNG II
KH I TRÒN XOAY

V N 1: M t c u – Kh i c u
Baøi 1. SA ABC
R =
^
SC
AB = a
Baøi 2.
·BAC 6=
Baøi 3. SA ABCD^
SA = a
Baøi 4.
CD = a
Baøi 5.
SMK SOAD D:
Baøi 6.
IS = R
Baøi 7.
Baøi 8.
Baøi 9.
Baøi 10.

Baøi 11.
Baøi 12.
Baøi 13.
Baøi 14. ^
Baøi 15. a ^
V N 2: M t tr – Hình tr – Kh i tr
Baøi 1. ¢
¢
Baøi 2. ¢
¢
Baøi 3. ¢
¢
¢
Baøi 4.
Baøi 5.
Baøi 6. ¢
( )h a h R> < +
Baøi 7.

Baøi 8.
Baøi 9. R
Baøi 10.
¢ ¢ x
¢ y
h, x, y
Baøi 11.
Baøi 12.
h = R
(
(
(
)a
a
a
)
)
R
V N 3: M t nón – Hình nón – Kh i nón
Baøi 1. ¢ ¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢ ¢ ¢
¢
Baøi 2. ¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢ ¢
¢
Baøi 3.
Baøi 4.

Baøi 5.
Baøi 6.
·SAO 3= SAB=6·
Baøi 7.
Baøi 8.
Baøi 9.
Baøi 10.
a
a
Baøi 11. SAB =
·
a a
Baøi 12. a
= ( )<<

Baøi 1.
Baøi 2.
Baøi 3. a
tana
Baøi 4.
Baøi 5. ¢
¢
x (0 < x < 2R).
R, x.
x
¢ ¢ ¢
Baøi 6.
a
Baøi 7.
¢ ¢
¢ ¢ ¢
¢ ¢
¢ ¢
Baøi 8.
·BDC =
Baøi 9.
ASB ASC =BSC= =
Baøi 10. ^
· · · a
a
·BAC = ·BAC = ·BAC =
Baøi 11.
ÔN T P KH I TRÒN XOAY

Baøi 12.
Baøi 13. R
Baøi 14.
Baøi 15.
Baøi 16.
Baøi 17.
Baøi 18.
·ASB , ( )= < <a a
Baøi 19.
Baøi 20.
a
a
a

Baøi 1. ^
ACM = a
^ ^
HD: a) Quĩ tích i m H là m t cung tròn. MaxV
·
SAHC=
a
b) AK =
asin
+ sin
a
a
, SK =
sin+
a
a
, V =
a sin
( sin )+
Baøi 2. D BAC 2= a
a
a
·
^
^ a
x=
AK
AI
HD: a) AH =
a.cos
cos +
a
a
b) SMNPQ = a x x a( – )sin .
Baøi 3.
æ ö
ççç ÷÷÷
è ø
2
0 < x <
2
^
HD:
b) V =
x x-
; MaxV = khi x =
Baøi 4.
xy a=
3
a
4
HD: a) MN = a x y+ - b) V =( ) ( )x y+ , (x, y) = a;
æ öa a
ç ÷
è ø
ho c a;
æ öa
ç ÷
è ø
.
Baøi 5.
ÔN T P T NG H P
HÌNH H C KHÔNG GIAN

a
a
a
tan
a
a a
cosa
æ ö
+ç ÷
è ø
atan
cos
a
a
Baøi 6.
·ASB
( )Rh 2R h–
Baøi 7.
^
a x a
a x+
- æ öa a
x - +ç ÷
è ø
a a
Baøi 8.
¢ ¢
Baøi 9.
1V
V
=
3
a
a
Baøi 10.
=
AM
MD
¢ ¢ ¢
a a
Baøi 11.

Î Î
°
HD: a) V = 3
2a 2 m n a mn– + + =p b)a 6
Baøi 12. SA ABCD^
( )2
SA a= =ACM SN CM^
AH SC SC AHK^^ AK SN^
· a
a a
HD: a) N thu c ư ng tròn ư ng kính AC c nh, V =
a
sin a
b) HK =
+
Baøi 13.
a
a
a
AB AC
AM AN
+ =
HD: a) SG =
1
a b c b) V = abc+ +
Baøi 14.
SCB = °
1
·
a
a
HD: a) d(BC, SD) =
a
b) S =
a
Baøi 15. x
(0 x a)£ £
^
HD: b) d(M, (SAC)) =
x
c) V = ya a x+
1
d) MaxV = khi x =
a a
Baøi 16. ·ABC =

SABcos =· 1 a
Baøi 17. A =µ
Baøi 18.
1V
V
=
·BAD =
¢
a
Baøi 19.
Baøi 20. ·BAD =

1. nh nghĩa và các phép toán
·
·
Qui t c ba i m: AB BC AC+ =
uuuur uuur uuur
Qui t c hình bình hành: AB AD AC+ =
uuuur uuur uuur
Qui t c hình h p: ¢ ¢ ¢ ¢ AB AD AA AC+ + =' '
uuuur uuur uuur uuuuur
Hêï th c trung i m o n th ng:
IA IB+ =
uu uur r r
OA OB OI+ =
uuuur uuuur uur
H th c tr ng tâm tam giác:
GA GB GC OA OB OC OG+ + = + + =;
uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuurr
H th c tr ng tâm t di n:
GA GB GC GD OA OB OC OD OG+ + + = + + + =;
uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuurr
i u ki n hai vectơ cùng phương: a vaø b cuøng phöông a k R b ka( :¹ Û$ Î =) !
rr rr r r
i m M chia o n th ng AB theo t s k ¹
OA kOB
MA kMB OM= =;
- k
-
u uuur uuuur
uuur uuur uuur
2. S ng ph ng c a ba vectơ
·
· i u ki n ba vectơ ng ph ng: a b c, ,
rr r
a vaø b
rr
a b c, ,
rr r
Û $ Î c ma nb= +
rr r
· a b c, ,
rr r
x
r
$ Î x ma nb pc= + +
rr r r
3. Tích vô hư ng c a hai vectơ
· Góc gi a hai vectơ trong không gian:
· ·AB u AC v u v BAC BAC= = Þ = £ £, ( , ) ( )
uuuur uuurr r r r
· Tích vô hư ng c a hai vectơ trong không gian:
u v, ¹
rr r
u v u v u v. . .cos( , )=
r r r r r r
u hoaëc v= =
r rr r
u v. =
r r
u v u v^ Û =.
r r r r
u u=
r r
CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TO TRONG KHÔNG GIAN
I. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. H t a êcac vuông góc trong không gian:
i j k, ,
r r r
Chú ý i j k= = =
r r r
i j i k k j. . .= = =
r r r r r r
2. T a c a vectơ:
a) nh nghĩa: u x y z u xi y j zk= Û = + +; ;( )
r r r r r
b) Tính ch t: a a a a b b b b k R= = Î( ; ), ( ; ),; ;
r r
· a b a b a b a b± = ± ± ±( ; ; )
rr
· ka ka ka ka= ( ; ; )
r
·
a bì
a b a b
a b
=
= Û =
ï
ï
=
í
î
r r
· = = = =( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )i j k
r rr r
· a b b )( ¹ Û a kb k R= Î( )
r r rr r r
a kb
a a a
a kb b b b
b b b
a kb
ì
Û = Û = = ¹, ( , , )
=
í
ï
ï
=î
· a b a b a b a b. . . . ·= + +
rr
a b a b a b a b^ Û + + =
r r
· a a a a= + + ·
r
a a a a= + +
r
·
a b a b a ba b
a b
a b a a a b b b
.
cos( , )
. .
+ +
= =
+ + + +
rrr
r
r
r a b ¹,
rrr
3. T a c a i m:
a) nh nghĩa: M x y z OM x y z( ; ; ) ( ; ; )Û =
uuur
Chú ý: · Î Û Î Û Î Û
· Î Û Î Û Î Û
b) Tính ch t: A A A B B BA x y z B x y z( (; ; ), ; ; )
· B A B A B AAB x x y y z z= - - -( ; ; )
uuuur
· B A B A B AAB x x y y z z= - + - + -( ) ( ) ( )
· A B A B A Bx kx y ky z kz
M
k k k
; ;
æ ö- - -
ç ÷
- - -è ø
· A B A B A Bx x y y z z
M ; ;
æ ö+ + +
ç ÷
è ø
·
A B C A B C A B Cx x x y y y z z z
G ; ;
æ ö+ + + + + +
ç ÷
è ø
·
II. H TO TRONG KHÔNG GIAN

A B C D A B C D A B C Cx x x x y y y y z z z z
G ; ;
æ ö+ + + + + + + + +
ç ÷
è ø
4. Tích có hư ng c a hai vectơ: (Chương trình nâng cao)
a) nh nghĩa: Cho a a a a= ( , , )
r
b b b b= ( , , )
r
[ ] ( )
a a a a a a
a b a b a b a b a b a b a b a b
b b b b b b
, ; ; ; ;
æ ö
= Ù = ç ÷ = - - -
ç ÷
è ø
r rr r
Chú ý: Tích có hư ng c a hai vectơ là m t vectơ, tích vô hư ng c a hai vectơ là m t s .
b) Tính ch t:
· i j k j k i k i j, ; ;, ,[ ]é ùé ù = = =ë û ë û
r r rr r r r r r
· a b a a b b[ , ] ; [ , ]^ ^
r r r r r r
· ( )[ , ] . .sin ,a b a b a b=
r r r rr r
· a b,
r r
Û =[ , ]a b
r r r
c) ng d ng c a tích có hư ng:
· i u ki n ng ph ng c a ba vectơ: a b,
r r
c Û [ , ]. =a b c
r r r r
· Di n tích hình bình hành ABCD: ABCDS AB AD,é ù= ë ûY
uuuur uuur
· Di n tích tam giác ABC:
1
ABCS AB AC,D
é ù= ë û
uuuur uuur
· Th tích kh i h p ABCD.A B C D :¢ ¢ ¢ ¢ ABCD A B C DV AB AD AA. ' ' ' ' = [ , ]. '
uuuur uuur u uuur
· Th tích t di n ABCD:
1
ABCDV AB AC AD= [ , ].
uuuur uuur uuur
Chú ý:
– Tích vô hư ng c a hai vectơ thư ng s d ng ch ng minh hai ư ng th ng vuông góc,
tính góc gi a hai ư ng th ng.
– Tích có hư ng c a hai vectơ thư ng s d ng tính di n tích tam giác; tính th tích kh i
t di n, th tích hình h p; ch ng minh các vectơ ng ph ng – không ng ph ng, ch ng minh
các vectơ cùng phương.
a b a b^ Û . =
[ ]a vaø b cuøng phöông a bÛ , =
[ ]a b c ñoàng phaúng a b c, , ,Û =.
r rr r
rr rr r
r rr r r r
5. Phương trình m t c u:
· I(a; b; c) R
( ) ( ) ( )x a y b z c R- + - + - =
· x y z ax by cz d+ + + + + + = a b c d+ + - >
I(–a; –b; –c) R = a b c d+ + - .

V N 1: Các phép toán v to c a vectơ và c a i m
Baøi 1.
a i j= - +
r rr
b i k= -
r rr
d i j k= - +c k= -
rr r rr r
Baøi 2. xi yj zk+ +
rr r
a ; ;
æ ö
ç ÷=
è ø
r
b ( ; ; )= -
r 4
c ; ;
æ ö
ç ÷=
è ø
r 1
d ; ;p
æ ö
ç ÷=
è ø
Baøi 3. a b c= = =; ; ; ; ; ;- -, ,
r
( ) ( ) ( )
rr r
u
u a b c= - +
r
1 rr r r
u a b c= - -
rr r r
u b c= - +
2rr r
u a b c= - +
rr r r 1 4
u a b c= - -
rr r r 3 2
u a b c= - -
rr r r
Baøi 4. x
a x+ =
r
rr r
a ;= - ; a x a+ =( )r r r r
a ;= - ;
a x b+ =
( )r
rr r
a ; ;= - b ;= - ;
Baøi 5. a ( ; ; )= -
b y z= a( ; ; )
c a vaø c
( )r
( )
r
r
r r
r r r
c a=
r r
Baøi 6. a b c= - = - = -; ,; ; ; , ; ;( ) ( ) ( )
rr r
a b c.( )
rr r
a b c.( )
rr r
a b b c c a+ +
r rr r r r
a a b b c b- +.( )
r r rr r r
a c b c. + -
rr r r
Baøi 7. a b
a b= = -; ; , ; ; a b= = -; ; , ; ;
r r
( ) ( )
rr
( ) ( )
rr
a b= - = -( ; ; ), ( ; ; )
rr
a b= = -( ; ; ), ( ; ; )
rr
a b= - = -( ; ; ), ( ; ; ) a b= - = -( ; ; ), ( ; ; )
Baøi 8. u
rr rr
r
a b c= - = - = -( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
a u u b u c. , . , .= - = - =
ì
î
í
rr r
rr r r r r
a b c= - = - = -( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
u a u b u c^ ^ = -, , .
ì
î
í
rr r
rr r r r r
a b c= = - - = -( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
a u b u c u. , . , .= = =
ì
î
í
rr r
rr r r r r
a b c= - = - = -( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
a u b u c u. , . , .= = = -
ì
î
í
rr r
rr r r r r
a b c= = - = -( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
a u b u c u. , . ,= - = - ^
ì
î
í
rr r
rr r r r r
Baøi 9. a b,
rr
a b= - = -( ; ; ), ( ; ; )
u a mb vaø v ma b vuoâng goùc= + = -
ì
í
î
rr
r rr r r r
a b= - = -( ; ; ), ( ; ; )
u ma b vaø v a mb vuoâng goùc= - = +
ì
î
í
rr
r rr r r r
a b= - = -( ; ; ), ( ; ; )
u ma b vaø v a mb cuøng phöông= - = +
ì
î
í
rr
r rr r r r
Baøi 10. a b,
rr

a b a b
X a b
= = ^, ,ì
í
= -î
r rr r
rr
a b a b
Y a b
= - - = - =( ; ; ), ,ì
í
= +î
r rr r
rr
( )a b a b
X a b Y a b
= = =, , ,
= - = +,
ì
í
î
r rr r
r rr r
( )a b a b
X a b Y a b
= - - = =( ; ; ), , ,
= - = +,
ì
í
î
r rr r
r rr r
Baøi 11. a b c, ,
rr r
m, n c a b= ,[ ]
rr r
a b m c= - - = =; ; , ; ; , ; ;( ) ( ) ( )
rr r
a m b n c= - = - =; ; , ; ; , ; ;( ) ( ) ( )
rr r
a b c m n= = =; ; , ; ; , ; ;( ) ( ) ( )
rr r
Baøi 12. a b c, ,
rr r
a b c= - = =; ,; ; ; , ; ;( ) ( ) ( )
rr r
a b c= = - =; ; , ; ; , ; ;( ) ( ) ( )
rr r
a b c= - - = = -; ; , ; ; , ; ;( ) ( ) ( )
rr r
a b c= = =; ; , ; ; , ; ;( ) ( ) ( )
rr r
a b c= = - = -( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
rr r
a b c= - = - = -( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
rr r
a b c= - = - = -( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
rr r
a b c= - = - - = -( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
rr r
Baøi 13. m a b c, ,
rr r
a m b m c m= = + = -; ; , ; ; , ; ;( ) ( ) ( )
rr r
a m m b m m c m m= + - = + + = +( ; ; ); ( ; ; ), ( ; ; )
rr r
a m m m b m m m c= + - = - + =; , ; ; ,; ; ;( ) ( ) ( )
rr r
a b m m m c m= - = + - - = -; , ; , ;; ; ;( ) ( ) ( )
rr r
Baøi 14. a b c u, , ,
rr r r
a b c, ,
rr r
a b c, ,u
r rr r
( ( (a b c= = - = -; ; , ; ; , ; ;
u = -( ; ; )
) ) )ì
î
í
rr r
r
( ( (a b c 2= - = - = -; , ; ,; ; ; ;
u = - -( ; ; )
) ) )ì
î
í
rr r
r
( ( (a b c= = - =; ; , ; ; , ; ;
u = -( ; ; )
) ) )ì
î
í
rr r
r
( ( (a b c= = - = -; ; , ; ; , ; ;
u = - -( ; ; )
) ) )ì
î
í
rr r
r
( ( (a b c= - = - = -; ,; ; ; , ; ;
u = ( ; ; )
) ) )ì
î
í
rr r
r
( ( (a b c= - = - = - -; , ; ,; ; ; ;
u = -( ; ; )
) ) )ì
î
í
rr r
r
Baøi 15. a b c d, , ,
r rr r
a b c d= - - = - - = - - = - -; , ; ; , ; , ( ;; ; ; )( ) ( ) ( )
r rr r
a b c d= - = - = - = -; ; , ; ; , ; ; , ( ; ; )( ) ( ) ( )
r rr r
Baøi 16. a b c, ,
rr r
d
b c d ma nb, , = +
r
r r rr r
m, n ≠ 0) a c d ma nb, , = +
r rr r r
m, n ≠ 0)
a b d ma nb pc, , = + +
r r rr r r
m, n, p ≠ 0) b c d ma nb pc, , = + +
r r rr r r
m, n, p ≠ 0)
a c d ma nb pc, , = + +
r rr r r r
m, n, p ≠ 0)

V N 2: Xác nh i m trong không gian. Ch ng minh tính ch t hình h c.
Di n tích – Th tích.
· AB AC,Û
uuuur uuur
AB k AC=Û
uuuur uuur
Û AB AC,é ù =ë û
uuuur uuur r
· AB DC=Û
uuuur uuur
· D D
EB EC= - .
AB
AC
uuuur uuur AB
FB FC= .
AC
uuuur uuur
· AB AC AD, ,Û
uuuur uuur uuur
AB AC AD, .Û é ù ¹ë û
uuuur uuur uuur
Baøi 1.
· ·
M( ; ; ) M( ; ; )- M( ; ; )- - M( ; ; )-
M( ; ; )- M( ; ; )- M( ; )- ; M( ; ; )
Baøi 2. ¢
· · ·
M( ; ; ) M( ; ; )- M( ; ; )- - M( ; ; )-
M( ; ; )- M( ; ; )- M( ; )- ; M( ; ; )
Baøi 3.
A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- -
A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - -
Baøi 4.
·
· D
·
·
D
· D
· D D
A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )-
A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- -
A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- -
A B C; ; , ; ; , ; ; A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- -
Baøi 5.
A( ; ; ) B( ; ; )- A B( ; ; ), ( ; ; )- A B( ; ; ), ( ; ; )-
A B( ; ; ), ( ; ; )- - A B( ; ; ), ( ; ; )- - - A B( ; ; ), ( ; ; )- -
Baøi 6.
A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- -
A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )-
A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- -
Baøi 7.
· ·
( ) ( ) ( )

A B; ,- -; ; ; A B( ; ; ), ( ; ; )- - A B( ; ; ), ( ; ; )-
A B( ; ; ), ( ; ; )- - A B( ; ; ), ( ; ; )- - - A B( ; ; ), ( ; ; )- -
Baøi 8.
·
·
·
·
·
A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ;- -
A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ; A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ;
A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - -
A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - -
A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - -
Baøi 9.
·
·
A B D C; ; , ; ; , ; ; , ' ; ;- - A B C A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), '( ; ; )- - - -
A B D A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ;), '( ; ; )- - A B C C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), '( ; ; )- - -
Baøi 10.
^ ^ ^
Baøi 11.
^ ^ ^
^ ¢ ¢
Baøi 12.
OI AG,
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
uur uuur
OA OC OD, ,
uuuur uuur uuur
BI
uur
FE FG FI, ,
uuuur uuur uur
Baøi 13.
AE
uuur
AC AF AH, ,
uuur uuur uuur
AG
uuur
AC AF AH, ,
uuur uuur uuur
Baøi 14. ¢
^ ¢
Baøi 15. ¢ ¢ ¢
¢ ¢ x (0 < x < 1) ¢

V N 3: Phương trình m t c u
tâm I bán kính R
D ng 1:
(S): ( ) ( ) ( )x a y b z c R- + - + - =
D ng 2:
D ng 3:
A B A B A B
I I I
x x y y z z
x y z; ;
+ + +
= = =
AB
D ng 4:
x y z ax by cz d+ + + + + + =
Þ
D ng 5:
D ng 6:
¢
Chú ý:
x y z ax by cz d+ + + + + + = a b c d+ + - >
a b c d+ + -
Baøi 1.
x y z x y+ + - + + = x y z x y z+ + + + - - =
x y z x y z+ + - - + = x y z x y z+ + - + - - =
x y z x y z+ + - + - + = x y z x y z+ + - - + + =
x y z x y z+ + - + + - = x y z x y+ + - + =
x y z x y z+ + + - + - = x y z x y z+ + - + - + =
Baøi 2. a
x y z m x my mz m+ + - + + - + + =( )
x y z m x m y mz m+ + - - - + - + + =( ) ( )
x y z x y z+ + + + - - + + =(cos ) cos . cosa a a
x y z x y z+ + + - + - + + + =( cos ) (sin ) cosa a a
x y z t x y z t+ + - + - + + =ln . ln
x y z t x t y t z t+ + + - + + + + + =( ln ) ln . (ln ) ln
Baøi 3.
I R( ; ; ),- = I R( ; ; ),- = I R( ; ; ),- = I R( ; ; ),- =

Baøi 4.
I A( ; ; ), ( ; ; )- I A( ; ; ), ( ; ; )- I A( ; ; ), ( ; ; )- -
I A( ; ; ), ( ; ; )- - I A( ; ; ), ( ; ; )- - -
Baøi 5.
A B( ; ; ), ( ; ; )- A B( ; ; ), ( ; ; )- - A B( ; ; ), ( ; ; )- -
A B( ; ; ), ( ; ; )- - A B( ; ; ), ( ; ; )- - A B( ; ; ), ( ; ; )- -
Baøi 6.
A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ; A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ;
A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - -
A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- -
Baøi 7.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ì - - ìA B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
( ) ( )P Oxzº ( ) ( )P Oxyº
Baøi 8.
í í
î î
ì -I( ; ; )
( ) :T x y z x y z+ + - + - + =
í
î
ì -I( ; ; )
( ) :T x y z x y z+ + - + - + =
í
î
V N 4: V trí tương i gi a hai m t c u
Cho hai m t c u S (I , R ) và S (I , R ).1 1 1 2 2 2
· I I R R< - (S ), (S ) trong nhauÛ ·1 2 I I R R> + (S ), (S ) ng i nhauÛ 1 2
· I I R R= - (S ), (S ) ti p xúc trongÛ ·1 2 I I R R= + (S ), (S ) ti p xúc ng iÛ 1 2
· R R I I R R- < < + (S ), (S ) c t nhau theo m t ư ng tròn.Û 1 2
Baøi 1.
x y z x y z+ + - + - - =ì
x y z x y z+ + + - - + =
í
î
ï
ï
x y
x y z
z
x y z
( ) ( ) ( )ìï + + - + - =
+ + - - - - =
í
îï
x y z x y z+ + - + - + =
x y z x y z+ + - - + - =
ì
í
î
ï
ï
x y z x y z+ + - + - - =
x y z+ + + - - + =x y z
ì
í
î
ï
ï
x y z x y z+ + - - + + =
x y z x y z+ + - + - - =
ì
í
î
ï
ï
x y z x y z
x y z x y z
ìï + + + - + - =
í
+ + - + - - =ï
Baøi 2. m
î
( ) ( ) ( )x y z- + - + + =ì
( ) ( ) ( ) ( )x y z m- + + + - = +
í
î
ï
ï
x y
x y
z
z m
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ìï - + + + + =
í
- + - + - = -ïî
( ) ( ) ( )x y z+ + - + - =
( ) ( ) ( ) ( )x y z m+ + + + + = -
ì
í
î
ï
ï
x y
x y
z
z m
( ) ( ) ( )+ + + + + =
( ) (- + - + - = +) ( ) ( )
ì
í
î
ï
ï

V N 5: T p h p i m là m t c u – T p h p tâm m t c u
1. T p h p i m là m t c u
( ) ( ) ( )x a y b z c R- + - + - =
x y z ax by cz d+ + + + + + =
2. Tìm t p h p tâm m t c u
ì =x f t( )
y g t= ( )
z h t= ( )
ï
ï
í
î
Baøi 1.
=MA MB+ =
MA
MB
MA MB k k+ = >( )
Baøi 2.
MA MB+ =
MA
MB
= ·AMB =
MA MB k k+ = + >( ) ( )
Baøi 3.
x y z x y m z m+ + - - + - + - =( )
x y z m x y z m+ + + - + - + + =( )
x y z x y m z m+ + + - + + + + =( )
x y z m x m y z m+ + - + - + - + + =( cos sin cos) ( )
x y z m x m y z m+ + + - - + - - - =( ) ( sin ) sincos

1. Vectơ pháp tuy n – C p vectơ ch phương c a m t ph ng
· a n an ¹
rr r
· a b, a
rr
a
Chú ý: N u n là m t VTPT c a ( ) thì kn (k ≠ 0) cũng là VTPT c a ( ).· a a
r r
· N u a b là m t c p VTCP c a ( ) thì n a b, ,=
rr
a [ ]
rr r
là m t VTPT c a ( ).a
2. Phương trình t ng quát c a m t ph ng
Ax By Cz D vôùi A B C+ + + = + + >
· a Ax By Cz D+ + + = n A B C= a( ; ; )
r
· M x y z( ; ; ) n A B C= ( ; ; )
r
A x x B y y C z z( ( (- + - + - =) ) )
3. Các trư ng h p riêng
Chú ý: N u trong phương trình c a ( ) không ch a n nào thì ( ) song song ho c ch a· a a
tr c tương ng.
· Phương trình m t ph ng theo o n ch n:
x y z
a b c
+ + =
( ) c t các tr c to t i các i m (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)a
4. V trí tương i c a hai m t ph ng
a b a A x B y C z D+ + + =
b A x B y C z D+ + + =
· a( ), ( ) c t nhaub Û A B C A B C: : : :¹
· a( ) // ( )b Û
A B C D
A B C D
= = ¹ · a º b Û( ) ( )
A B C D
A B C D
= = =
· a ^ b Û( ) ( ) A A B B C C+ + =
5. Kho ng cách t i m M (x ; y ; z ) n m t ph ng ( ): Ax + By + Cz + D = 00 0 0 0 a
( )
Ax By Cz D
d M
A B C
,( )a
+ + +
=
+ +
III. PHƯƠNG TRÌNH M T PH NG
Các h s Phương trình m t ph ng (a) Tính ch t m t ph ng (a)
Ax By Cz+ + = a
By Cz D+ + = a a É
Ax Cz D+ + = a a É
Ax By D+ + = a a É
Cz D+ = a a º
By D+ = a a º
Ax D+ = a a º

V N 1: Vi t phương trình m t ph ng
i m VTPTa a
D ng 1: a ( ) = ( )
r
a ( ( () ) )- + - + - =
D ng 2: a ( ) a b,
rr
n a b= ,a [ ]
rr r
D ng 3: a ( ) b
a ( ( () ) )- + - + - =
D ng 4: a
n AB AC,a é ù= ë û
uuuur uuurr
D ng 5: a
u
r
n AM u,a é ù= ë û
uuurr r
D ng 6: a
u
r
a
D ng 7: a
a b,
rr
n a b= ,a [ ]
rr r
Þ Î a
D ng 8: a
a b,
rr
n a b= ,a [ ]
rr r
Þ Î a
D ng 9: a
a b,
rr
n a b= ,a [ ]
rr r
D ng 10: ba
u n
r
b
r
b
é ùn u n= ,a bë û
r r r
Þ Î a
D ng 11: b ga
n n,b g
r r
b g
n u n,a b gé ù=
ë û
r r r
D ng 12: a
+ + = (a )+ + ¹ .
Î Þ Î a
d M k( ,( )) =a
D ng 13: a
n IH=a
uurr
Chú ý:

Baøi 1. n
= -M 3;1;1 , n 1;1;2 - =M 2;7;0 , n 3;0;1 - - =M 4; 1; 2 , n 0;1;3
- =M 2;1; 2 , n 1;0;0 = - -M 3;4;5 ,n 1; 3; 7 = -M 10;1;9 , n 7;10;1
Baøi 2.
A B( ; ; ), ( ; ; )- - A B( ; ; ), ( ; ; )- - A B( ; ; ), ( ; ; )- -
r
( ) ( )
r
( ) ( )
r
( ) ( )
r
( ) ( )
r
( ) ( )
r
( ) ( )
r
1 1
A ; 1;0 , B 1; ;5
2 2
æ ö æ ö
- -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
2 1 1
A 1; ; , B 3; ;1
3 2 3
æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷-
è ø è ø
A B( ; ; ), ( ; ; )- - -
Baøi 3. a b,
M a b( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- = = - M a b( ; ; ), ; ; ), ( ; ; )- = - - =
M a b( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- = = M a b( ; ; ), ( ; ; ); ( ; ; )- = - =
Baøi 4. a b
M Oxy; ; , = M x y; ; , :- - + =
M x y z- - + - =; ; , : M x z; ; , :- - + - =
M x y z( ; ; ), ( ) :- + - + = M x y z( ; ; ), ( ): - + - =
Baøi 5. a
M ; ; M ;- ; ; ;M - M ; ;-
M( ; ; )- M( ; ; ) M( ; ; )- M( ; ; )-
Baøi 6. a
A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - -
A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - -
A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- -
Baøi 7. a
A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - -
A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - -
A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- -
Baøi 8. a b
rr
rr rr
rr rr
( )
( ) ( ) ( )b b
b b
b b
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ì - - ì - - - ì - - -A B( ; ; ), ( ; ; ) A B( ; ; ), ( ; ; ) A B( ; ; ), ( ; ; )
( ): x y z- + - = ( ): x y z+ - + = ( ): x y z+ - - =b b b
í í í
î î î
ì - - -A B( ; ; ), ( ; ; )
( ): x y z- - + =
Baøi 9. a b g
M x y z x y z( ; ; ), : , :- - + - + = - + + =
b
í
î
( ) ( )b g
M x y z x y z( ; ; ), : , :- + - - = - - - =( ) ( )b g
M x y z x y z( ; ; ), : , :- + - + = + - - =( ) ( )b g
M x y z x y z( ; ; ), : , :- + + = - + - =( ) ( )b g
Baøi 10. a
M P x y z Q : x y z; ; , : ,- - + - = - + - =( ) ( ) ( )

M P x y z Q : x y z; ; , : ,- - + - = - + - =
M P x y z Q : x y z; ; , : ,- - + = - + + =
M P x y z Q x y z; ; , : , :- + - = - - - =
Baøi 11. a
( ): , ( ): , ( ) :P y z Q x y z R x y z+ - = + - - = + + - =
( ): , ( ): , ( ) :P x y z Q y z R x y- + - = + - = - + =
( ): , ( ): , ( ) :P x y z Q x y R x z- + - = + - = - + =
Baøi 12. a
( ): , ( ): , ( ):P x y Q y z R x y z+ - = - - = + - - =
( ): , ( ): , ( ):P y z Q x y z R x y z+ - = + - + = + + - =
( ): , ( ): , ( ):P x y z Q x y z R x y z+ - - = + + + = - - + =
( ): , ( ): , ( ) :P x y z Q x y R x z- + - = + - = - + =
Baøi 13. a
( ): , ( ): , ( ; ; ),P x y Q x y z M k- - = - + = =
( ) (
(
(
) ( )
( ) ) ( )
( ) ) ( )
V N 2: V trí tương i c a hai m t ph ng
Baøi 1.
ì + - + = ì - + + =x y z x y z
x y z+ - - = x y z- + - =
í í
î î
ì + - - =x y z
x y z+ - + =
í
î
ì - - + =x y z
x y z- - - =
í
î
25
ì - - + =x y z
x y z- - + =
ï
î
í
ï
ì - - - =x y z
x y z- - + =
í
î
Baøi 2. · · ·
ì + - - = ì - + - =x my z x y mz
nx y z+ - + = x ny z+ + - =
í í
î î
ì + + - =x my z
nx y z- - + =
í
î
ì - + - =x y mz
x ny z+ + - =
í
î
ì + + - =x y z
mx y z- - - =
í
î
ì - + - =x y mz
x y z+ - + =
í
î
ì + - + = ì - + - =x my z x ny z
x y nz+ + - = x y mz- + - =
í í
î î
x m y z- - + - =( )
m x y mz+ - + - =)
ì
(
í
î
Baøi 3.
x y mz- + + =
x y z+ - + =
ì
î
í
m x my z- - + + =)
mx m y z+ - + - =( )
ì(
î
í
ì + + - =mx y mz
x my z+ + + =
í
î
ì - - + - =x m y( )
( )m x y+ - + - =
z
mz
í
î
x y z- - =
+ - - =y z
ì
mx
í
î
ì - + -x y mz
x y z+ + +
=
=
í
î

V N 3: Kho ng cách t m t i m n m t m t ph ng.
Kho ng cách gi a hai m t ph ng song song.
Hình chi u c a m t i m trên m t ph ng . i m i x ng c a m t i m qua m t ph ng.
· Kho ng cách t i m M (x ; y ; z ) n m t ph ng ( ): Ax + By + Cz + D = 00 0 0 0 a
( )
Ax By Cz D
d M
A B C
,( )a
+ + +
=
+ +
· Kho ng cách gi a hai m t ph ng song song b ng kho ng cách t m t i m b t kì trên m t
ph ng này n m t ph ng kia.
Chú ý: N u hai m t ph ng không song song thì kho ng cách gi a chúng b ng 0.
· i m H là hình chi u c a i m M trên (P) Û MH n cuøng phöông,
H PÎ( )
ì
î
í
uuuur r
· i m M i x ng v i i m M qua (P)¢ Û MM MH¢ =
uuuuuur uuuur
Baøi 1.
· ·
· ¢
( ): , ( ; ; )P x y z M- + - = - ( ): , ( ; ; )P x y z M+ + - = - -
( ): , ( ; ; )P x y z M- + + = - ( ): , ( ; ; )P x y z M- + + = -
( ): , ( ; ; )P x y z M- + - = - ( ): , ( ; ; )P x y z M- + - =
Baøi 2.
ì - + + = ì - + + =x y z x y z
x y z- + + = x y z- + - =
í í
î î
ì - + + =x y z
x y z+ - - =
í
ì - + + = ì - + + = ì + - + =x y z x y z x y z
x y z- + + = x y z+ - - = x y z+ - + =
î
í í í
î î î
Baøi 3. k
x y z k- + - = =, x y z k- - + = =,
x y z k- + + = =, x y z k- + - = =,
Baøi 4.
ì - + + = ì - + + =x y z x y z
x y z- + + = x y z- + - =
í í
î î
ì - + + =x y z
x y z+ - - =
í
ì - + + = ì - + + = ì + - + =x y z x y z x y z
x y z- + + = x y z+ - - = x y z+ - + =
î
í í í
î î î
Baøi 5. k
ì + - - = ì - + + =x y z x y z
x y z+ - + = x y z- + - =
2 1
î î
k = k =
ïïï ïïï ïïï
ì + - - =x y z
íí
ïï
ï ï
x y z+ - + =
4
î
í
k =
Baøi 6. Ox (Oy, Oz)
( ): , ( ; ; )P x y z N+ + - = - ( ): , ( ; ; )P x y z N+ + - = - -
( ): , ( ; ; )P x y z N- + + = - ( ): , ( ; ; )P x y z N- + + = -
( ): , ( ; ; )P x y z N- + - = - ( ): , ( ; ; )P x y z N- + - =
Baøi 7. Ox (Oy, Oz)
ï
ï
ì + - + = ì + - + =x y z x y z
x y z- + - = x y z+ + - =
í í
î î
ì - + + =x y z
x y z+ - - =
í
î

ì - + + = ì - + + = ì + - + =x y z x y z x y z
x y z- + + = x y z+ - - = x y z+ - + =
Baøi 8.
A Q x y z; ;– , ( ) : - - + = A Q x y z; ;– , ( ): - + + =
Baøi 9.
k
( ): , ( ; ; ),Q x y z A k+ - + = - = ( ): , ( ; ; ),Q x y z A k- + + = - =
í í í
î î î
( ) ( )
Baøi 10. k
( ): ,Q x y z k- + - = = ( ): ,Q x y z k+ - + = =
V N 4: Góc gi a hai m t ph ng
Cho hai m t ph ng ( ), ( ) có phương trình: ( ):a b a A x B y C z D+ + + =
( ):b A x B y C z D+ + + =
Góc gi a ( ), ( ) b ng ho c bù v i góc gi a hai VTPTa b n n,
r r
.
( )
n n A A B B C C
n n A B C A B C
.
cos ( ),( )
. .
a b
+ +
= =
+ + + +
r r
r r
Chú ý: · ·( )£ £ .( ),( )a b · ( ) ( )^ Û + + =A A B B C Ca b
Baøi 1.
ì + - + = ì + - + =x y z x y z
x y z- + - = x y z+ + - =
í í
î î
ì x y z- + + =
x y z+ - - =î
í
ì + - + =x y z
x z+ - =
í
î
ì - - + =2x y z
y z+ + =
í
î
x y z- + + =
x y z+ + - =
Baøi 2. m a
ì - - + + = ì + + - = ì + + - + =( )m x my z mx y mz ( )m x my mz
mx m y z+ - + - =( ) x my z+ + + = mx m y z+ - + - =( )
= = =
ì - + + =mx y mz
( ) ( ) ( )m x m y m z+ + - + - - =
=
Baøi 3.
ì
í
î
a a a
ï ï ï
ï ï ï
í í í
î î î
ï
ïa
a b g
í
î
+ + =a b g

V N 5: V trí tương i gi a m t ph ng và m t c u.
Phương trình m t ph ng ti p xúc v i m t c u
Cho m t ph ng ( ) và m t c u (S) có tâm I, bán kính R.a
· a( ) và (S) không có i m chung d I R( ,( )) >Û a
· a( ) ti p xúc v i (S) d I R( ,( )) = (( ) là ti p di n)Û a a
Khi ó ti p i m H c a ( ) và (S) là hình chi u c a I trên m t ph ng (P).a
· a( ) c t (S) theo m t ư ng tròn d I R( ,( )) <Û a
Khi ó tâm H c a ư ng tròn giao tuy n là hình chi u c a I trên m t ph ng (P).
Bán kính r c a ư ng tròn giao tuy n: r R IH= -
Baøi 1.
ì + + - =( ):P x y z
( ) :S x y z x y z+ + - - + + =
í
î
ì - + - =( ):P x y z
( ) :( ) ( ) ( )S x y z- + - + + =
ì + - - =( ):P x y z
í
î
( ) :S x y z x y z+ + + - - + =
í
î
ì - + + =( ):P x y z
( ) :S x y z x y z+ + - - - + =
( ): 2 2 0P x y z
S x y z x y z
í
î
ì + + = P z
2 2 2
( ): 3 0
( ) : 6 2 2 10 0+ + - + - + = S x y z x y z
í
î
ì - =
2 2 2
( ) : 6 2 16 22 0+ + - + - + =
Baøi 2. m
í
î
( ): ; ( ): ( )P x y z S x y z m x my z m- - - = + + - - + + + =
( ): ; ( ) :( ) ( ) ( ) ( )P x y z S x y z m- + - = - + + + - = -
( ): ; ( ) :( ) ( ) ( ) ( )P x y z S x y z m+ - + = - + - + + = +
( ): ; ( ): ( )P x y z S x y z mx m y z m m- + - = + + + - + - + + + - =
Baøi 3.
I P x y z( ; ; ), ( ):- - - - + = I P x y z( ; ; ), ( ): + - + =
I P x y z( ; ; ), ( ): + + + = I P x y z( ; ; ), ( ):- + - + =
Baøi 4.
S x y z2 2 2
( ) :( 3) ( 1) ( 2) 24- + - + + = M( ; ; )-
S x y z x y z2 2 2
( ) : 6 2 4 5 0+ + - - + + = M( ; ; )
( ) :( ) ( ) ( )S M( ; ; )x y z- + + + - = -
( ) : + + - - - - =S x y z x y z x y z- + + =
( ) : + + - + + - =S x y z x y z x z+ - =
( ) : + + - - + =S x y z x y z x y z+ + + =
( ) : + + - + + + =S x y z x y z d x t y t z t: , ,= + = + = +
x + zy + z - x + y + - =
x y z
d :
+ - +
= =
-
x y z
d :
+ + -
= =
-

Bài t p ôn: Phương trình m t ph ng
Baøi 1.
·
·
·
·
·
· ¢ ¢ ¢ ¢
·
·
·
·
A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ; A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ;
A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ; A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - -
A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- -
Baøi 2.
Baøi 3.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )

1. Phương trình tham s c a ư ng th ng
· Phương trình tham s M x y z( ; ; )
a a a a= ;( ; )
r
o
o
o
ì = +x x a t
( ): ( )d y y a t t R= + Î
z z a t= +
ï
ï
í
î
· a a a ¹
x x y y z z
d
a a a
( ):
- - -
= = phương trình chính t c
2. V trí tương i gi a hai ư ng th ng
¢
ì = +x x ta
y y ta= +
z z ta= +
d :
ï
ï
x x t a
í
î
¢ ¢ ¢ì = +
d y y t a:
z z t a
ï
¢ ¢ ¢ ¢= +
ï
í
¢ ¢ ¢= +î
· ¢ Û
a a cuøng phöông¢ì ,
x ta x t a
heä y ta y t a aån t t voâ nghieäm( , )
z ta z t a
ïïï ¢ ¢ ¢ì + = +
í ¢ ¢ ¢ ¢
ï
+ = +
ï
í
¢ ¢ ¢
ï
+ = +ï îî
r r
Û
a a cuøng phöôngì ,
M x y z d( ; ; )Ï
¢
¢í
î
r r
Û
a M M khoâng cuøng phöông,
¢
í
î ¢
r r
uuuuuurr Û
[ ]a a, =
a M M,
ì
í
¢
é ù
ï
¢ ¹ïë ûî
rr r
uuuuuur rr
· º ¢ Û
x ta x t a¢ ¢ ¢ì + = +
heä y ta y t a aån t t coù voâ soá nghieäm( , )
z ta z t a
ï
¢ ¢ ¢ ¢+ = +
ï
í
¢ ¢ ¢+ = +î
Û
M x y z d( ; ; )Î
¢
¢í
î
r r
Û a a M M ñoâi moät cuøng phöông, ,¢ ¢
uuuuuurr r
Û [ ]a a a M M, ,é ù¢ ¢= =ë û
uuuuuur rr r r
· ¢ Û
¢ ¢ ¢ì + = +x ta x t a
y ta y t a
z ta z t a
ï
¢ ¢ ¢+ = +
ï
í
¢ ¢ ¢+ = +î
¢
Û
a a khoâng cuøng phöôngì ,
a a M M ñoàng phaúng, ,
¢
í ¢ ¢î
r r
uuuuuurr r Û
[ ]
[ ]
a a¢ ¹,
a a M M, .
ì
í
ï
¢ ¢ =ïî
rr r
uuuuuurr r
· ¢ Û
a a khoâng cuøng phöông¢ì ,
x ta x t a
heä y ta y t a aån t t voâ nghieäm( , )
z ta z t a
ïïï ¢ ¢ ¢ì + = +
í ¢ ¢ ¢ ¢
ï
+ = +
ï
í
¢ ¢ ¢
ï
+ = +ï îî
r r
Û a a M M khoâng ñoàng phaúng, ,¢ ¢
uuuuuurr r
Û [ ]a a M M, .¢ ¢ ¹
uuuuuurr r
· ^ ¢ Û a a¢^
r r
Û a a. ¢ =
r r
IV. PHƯƠNG TRÌNH Ư NG TH NG

3. V trí tương i gi a m t ư ng th ng và m t m t ph ng
a Ax By Cz D+ + + = d
ì = +x x ta
y y ta= +
z z ta= +
ï
ï
í
î
A x ta B y ta C z ta D( ( (+ + + + + + = t) ) )
· d // ( ) (*) vô nghi ma Û
· d c t ( ) (*) có úng m t nghi ma Û
· Ì a Ûd ( ) (*) có vô s nghi m
4. V trí tương i gi a m t ư ng th ng và m t m t c u
d
ì = +x x ta
y y ta= + (S)
z z ta= +
ï
ï
í
î
( ) ( ) ( )x a y b z c R- + - + - =
d (S)
· d và (S) không có i m chung (*) vô nghi m d(I, d) > RÛ Û
· d ti p xúc v i (S) (*) có úng m t nghi m d(I, d) = RÛ Û
· d c t (S) t i hai i m phân bi t (*) có hai nghi m phân bi t d(I, d) < RÛ Û
5. Kho ng cách t m t i m n m t ư ng th ng (chương trình nâng cao)
d M a0
r
M M a
d M d)( ,
a
,é ù
ë û
=
uuuuur r
r
6. Kho ng cách gi a hai ư ng th ng chéo nhau (chương trình nâng cao)
d d1 2
d M a d M a1 1 2 2
r r
a a M M
d d d
a a
, .
( , )
,
é ùë û
=
é ùë û
uuuuuurr r
r r
Chú ý: Kho ng cách gi a hai ư ng th ng chéo nhau d , d b ng kho ng cách gi a d v i m t1 2 1
ph ng ( ) ch a d và song song v i d .a 2 1
7. Kho ng cách gi a m t ư ng th ng và m t m t ph ng song song
Kho ng cách gi a ư ng th ng d v i m t ph ng ( ) song song v i nó b ng kho ng cách t m ta
i m M b t kì trên d n m t ph ng ( ).a
8. Góc gi a hai ư ng th ng
Cho hai ư ng th ng d , d l n lư t có các VTCP1 2 a a,
r r
.
Góc gi a d , d b ng ho c bù v i góc gi a1 2 a a,
r r
.
( )
a a
a a
a a
.
cos , =
.
r r
r r
r r
9. Góc gi a m t ư ng th ng và m t m t ph ng
Cho ư ng th ng d có VTCP a a a a= và m t ph ng (( ; ) ) có VTPT n A B C; ( ; ; )= .
r
a
r
Góc gi a ư ng th ng d và m t ph ng ( ) b ng góc gi a ư ng th ng d v i hình chi u d c aa ¢
nó trên ( ).a
·( ) Aa Ba Ca
d
A B C a a a
sin ,( )
.
a
+ +
=
+ + + +

V N 1: L p phương trình ư ng th ng
l p phương trình ư ng th ng d ta c n xác nh m t i m thu c d và m t VTCP c a nó.
D ng 1: d M x y z( ; ; ) a a a a= ;( ; )
r
o
o
o
x x a t
d y y a t t R
z z a t
ì
( ): ( )
= +
= + Î
ï
ï
í
= +î
D ng 2: d A, B
M t VTCP c a d là AB
u ruuu
.
D ng 3: d M x y z( ; ; ) D
Vì d // nên VTCP c a cũng là VTCP c a d.D D
D ng 4: d M x y z( ; ; )
Vì d (P) nên VTPT c a (P) cũng là VTCP c a d.^
D ng 5: d
· Cách 1: Tìm m t i m và m t VTCP.
– Tìm to m t i m A d: b ng cách gi i h phương trìnhÎ
P
Q
( )
( )
ì
(v i vi c ch n giá tr
î
í
cho m t n)
– Tìm m t VTCP c a d: P Q
é ùa n n= ,
ë û
r r r
· Cách 2: Tìm hai i m A, B thu c d, r i vi t phương trình ư ng th ng i qua hai i m ó.
D ng 6: d M x y z( ; ; ) d , d :1 2
Vì d d , d d nên m t VTCP c a d là:^ ^1 2 d dé ùa a a= ,
ë û
r r r
D ng 7: d M x y z( ; ; ) .D
· Cách 1: G i H là hình chi u vuông góc c a M trên ư ng th ng .0 D
Hì
M H a
ÎD
í
^î
uuuuur
V
r
Khi ó ư ng th ng d là ư ng th ng i qua M , H.0
· Cách 2: G i (P) là m t ph ng i qua A và vuông góc v i d; (Q) là m t ph ng i qua A và
ch a d. Khi ó d = (P) (Q)Ç
D ng 8: d M x y z( ; ; ) d , d :1 2
· Cách 1: G i M d , M d . T i u ki n M, M , M th ng hàng ta tìm ư c M , M . T ó1 1 2 2 1 2 1 2Î Î
suy ra phương trình ư ng th ng d.
· Cách 2: G i (P) = ( , ), (Q) =M d ( , ). Khi ó d = (P)M d (Q). Do ó, m t VTCP c a dÇ
có th ch n là P Q
é ùa n n= ,
ë û
r r r
.
D ng 9: d d , d :1 2
Tìm các giao i m A = d (P), B = d (P). Khi ó d chính là ư ng th ng AB.1 2Ç Ç
D ng 10: d D d , d :1 2
Vi t phương trình m t ph ng (P) ch a và d , m t ph ng (Q) ch a và d .D D1 2
Khi ó d = (P) (Q).Ç
D ng 11: d d , d1 2
· Cách 1: G i M d , N d . T i u ki nÎ Î
MN d
1 2
ì
MN d^
^
, ta tìm ư c M, N.í
î
Khi ó, d là ư ng th ng MN.
· Cách 2:

Vì d d và d d nên m t VTCP c a d có th là:^ ^1 2 d dé ùa a a= ,
ë û
r r r
.
– L p phương trình m t ph ng (P) ch a d và d , b ng cách:1
+ L y m t i m A trên d .1
+ M t VTPT c a (P) có th là: P dé ùn a a= ,
ë û
r r r
.
– Tương t l p phương trình m t ph ng (Q) ch a d và d .2
D ng 12: d D
· L p phương trình m t ph ng (Q) ch a và vuông góc v i m t ph ng (P) b ng cách:D
– L y M Î D.
– Vì (Q) ch a và vuông góc v i (P) nênD Q P
é ùn a n= ,Dë û
r r r
.
D ng 13: d d d1 2
· Cách 1: G i N là giao i m c a d và d . T i u ki n MN d , ta tìm ư c N.2 1^
Khi ó, d là ư ng th ng MN.
· Cách 2:
– Vi t phương trình m t ph ng (P) qua M và vuông góc v i d .1
– Vi t phương trình m t ph ng (Q) ch a M và d .2
Baøi 1. a
M a(1;2; 3), ( 1;3;5)- = - M a(0; 2;5), (0;1;4)- - = -= M a(1;3; 1), (1;2; 1)
M a(3; 1; 3), (1; 2;0)- - - - = - M a= M a(3; 2;5), ( 2;0;4) (4;3; 2), ( 3;0;0)- = -
Baøi 2.
A , B; ; ; ;- A , B; ; ; ;- A , B; ; ; ;- -
A , B; ; ; ; A , B; ; ; ;- A , B- -; ; ; ;
Baøi 3.
D
A , Ox; ;- º A ñi qua M N; ,- -; ( ; ; ), ( ; ; )
r
r r r
r r r
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) D D( )
ì = -x t
A y t( ; ; ), :- = +
z t= -
D
ï
ï
í
î
x y z
A( ; ; ), :D
+ - -
- = =
ì = +x t
A y t( ; ; ), :- = -
z t= -
D
ï
ï
í
î
x y z
A( ; ; ), :D
+ - +
- = =
Baøi 4.
A , (P) x y z- - + + =; ; : A , P caùc mp toaï ñoä; ):- ; (
A P x y; ; , ( ) : - + = A P x y z( ; ; ), ( ):- - + + =
Baøi 5.
( ) ( )
( )
ì + + + = ì - + - = ì + - + =( ):P x y z ( ):P x y z ( ):P x y z
( ):Q x y z- - - = ( ):Q x y z+ - + = ( ):Q x y z+ + - =
í í í
ì + - + = ì + - = ì + + - =( ):P x y z ( ):P x z ( ):P x y z
( ):Q x y z+ + - = ( ) :Q y - = ( ) :Q x z+ - =
î î î
í í í
î î î

Baøi 6.
d , d1 2
ì ì= + = -
ï ï
= - = +í í
ï ï= + = -î î
x t x t '
A d y t d y t( ; ; ), : , : '
z t z t'
ì ì= + = +
ï ï
- = - + = - +í í
ï ï= = +î î
x t x t'
A d y t d y t( ; ; ), : , : '
z z t'
ì ì= - =
ï ï
- = - - = - +í í
ï ï= - = +î î
x t x
A d y t d y t( ; ; ), : , : '
z t z t'
ì ì= - + = +
ï ï
= - = - +í í
ï ï= + = - -î î
x t x t'
A d y t d y t( ; ; ), : , : '
z t z t'
ì ì= + =
ï ï
- - = + = - +í í
ï ï= - + = -î î
x t x t'
A d y t d y t( ; ; ), : , : '
z t z t '
ì ì= =
ï ï
- = - = -í í
ï ï= - =î î
x t x t'
A d y t d y t( ; ; ), : , : '
z t z
Baøi 7.
D
ì = ì = - +x t x t
A y t( ; ; ), :- = - A y t( ; ; ), :- - = -
z t= z t= - +
ì = + ì =x t x t
A y t( ; ; ), : ( ; ; ), :- - = + A y t- = -
z t= - + z t= -
ì = - ì = +x t x t
A y t( ; ; ), :- = - - A y t( ; ; ), :- = - +
z t= - z =
Baøi 8. d , d
D D
ï ï
ï ï
í í
î î
ï ï
ï ïî î
ï ï
ï ï
1 2
D Dí í
î î
D Dí í
ì ì= + = -
ï ï
= - = +í í
ï ï= + = -î î
x t x t '
A d y t d y t( ; ; ), : , : '
z t z t'
ì ì= + = +
ï ï
- = - + = - +í í
ï ï= = +î î
x t x t'
A d y t d y t( ; ; ), : , : '
z z t'
ì ì= - + = +
ï ï
- - = - - = - +í í
ï ï= - = -î î
x t x t'
A d y t d y t( ; ; ), : , : '
z t z t'
ì ì= + = -
ï ï
- = - + =í í
ï ï= - + =î î
x t x t'
A d y t d y t( ; ; ), : , : '
z t z t'
ì ì= + = - +
ï ï
- = - = +í í
ï ï= + = - +î î
x t x t'
A d y t d y t( ; ; ), : , : '
z t z t'
ì ì= - + = +
ï ï
- = + = -í í
ï ï= + = -î î
x t x t '
A d y t d y t( ; ; ), : , : '
z t z t '
Baøi 9. (P)
d , d1 2
P y z
x t
x y z
d d y t
z
( ):
: , :
ì + =
ïïï ì = -
= = = +
ï
ï-
ï
í
ï
í
=-
îî
ì + + + =
ì ì= + = -ïïï
ï ï
= - = +
í
í í
ï ï
ï
= + = -ï î îî
( ):P x y z
x t x t'
d y t d y t: , : '
z t z t'
ì - + - =
ì ì= - + = +ïïï
ï ï
= - = - +
í
í í
ï ï
ï
= + = - -ï î îî
( ):P x y z
x t x t'
d y t d y t: , : '
z t z t'
ì + - + =
ì ì= - =ïïï
ï ï
= - - = - +
í
í í
ï ï
ï
= - = +ï î îî
( ):P x y z
x t x
d y t d y t: , : '
z t z t'
Baøi 10. D
d , d1 2

x y z
x y z
d
x y z
d :
:
:
D
ì - -
= =ï
ïïï -
+ -
= =í
ï -
- + +ï = =
ïî
x y z
x y z
d
x y z
d :
:
:
D
ì - -
= =ï
ïïï -
- + -
= =í
ï
+ +ï = =
ïî
- + -ì
D = =ï
ï
- + -ï
= =í
ï
+ +ï
= =ï
î
x y z
x y z
d
x y z
d
x y z
x y z
d
x y z
d :
:
:
D
ì + + -
= =ï - -
ïïï - + -
= =í
ï
- - -ï = =
ïî -
Baøi 11.
d , d1 2
t x tx
d y
ì- = +
+ = -t d y t, : '
= - + = -t z t '
ì =
: =
z
' ì ìx t x t= + = - + '
ï
ï
ï
ï
í
î
í
î
d y t d y t: , : '
z t z t'
ï ï
= - + = +í í
ï ï= + = - +î î
ì ìx t x t= + = + '
d y t d y t: , : '
z t z t'
ï ï
= + = +í í
ï ï= - = +î î
ì ìx t x t= + = - + '
d y t d y t: , : '
z t z t'
ï ï
= - - = -í í
ï ï= + = +î î
Baøi 12. d D
x y z
( ):P x y z
:D
ì + - -
ï = =
í
ï
-
- + + =î
x y z
( ):P x y z
:D
ì - - +
ï = =
í
ï
-
+ - + =î
x y z
( ):P x y z
:D
ì + - -
ï = =
í
ï
-
- + - =î
x y z
( ):P x y z
: = =D
ì -
ï
ï
í
+ - + =
-
î
x y z
( ):P x y z
:D
ì - + -
ï = =
í
ï + + + =î
x y z
( ):P x y z
:D
ì - -
ï = =
í - -
ï - - + =
ì - - - = ì - - - =x y z x y z
x z+ - = x z+ - =
( ):P x y z- + - = ( ):P x y z+ - - =
Baøi 13. d
d
î
: :ï ï
î î
ï ï
1
2
ì ì
î î
D Dí í
í í
x
x y z
A d d y t
z t
ì = -
( ; ; ), : , :
ï- -
= = =í
ï = +î
x
x y z
A d d y t
z t
ì =
( ; ; ), : , :
ï- +
= = = +í
ï- = - -î
x y z x y z
A d d( ; ; ), : , :
+ - - + -
- - = = = =
- - -
Baøi 14.

Baøi 15. ==
--
-
-x y z
d
==
-
-
--x y z
d
Baøi 16. A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - - -
D
Baøi 17. S A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- -
Baøi 18. S A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )- - - -

V N 2: V trí tương i gi a hai ư ng th ng
xét VTT gi a hai ư ng th ng, ta có th s d ng m t trong các phương pháp sau:
· Phương pháp hình h c: D a vào m i quan h gi a các VTCP và các i m thu c các ư ng
th ng.
· Phương pháp i s : D a vào s nghi m c a h phương trình các ư ng th ng.
Baøi 1. d , d1 2
{x y z
d d x t y t z t: ; : ; ;
- + -
= = = - + = - = - +
-
{ {d x t y t z t d: ; := + = - = - x t y t z t= + '; '; '; ; = - - = -
{ {d x t y t z d x y t z t: ; : ; '; '= + = - + = = = + = -; ;
x y z x y z
d d: ; :
- - - - - -
= = = =
x y z x y z
d d: ; :
- + - - + +
= = = =
x y z x y z
d d: ; :
- + - -
= = = =
- - -
x y z x y z
d d
x y z x y z
: ; :
ì ì- + - = + - + =
í í
+ - + = - + - =î î
{ x y z
d x t y t z t d
x y z
: ; ; ; :
ì - - - =
= = = - í
- + + =
Baøi 2.
î
{ {d x t y t z t d x t y t z t: ; : '; '; '= - = + = - - = = + = -; ;
{ {d x t y t z t d x t y t z: ; : '; ';= + = - = - = = - =; ;
{ {d x t y t z t d x t y t z t: ; : '; '; '= - = + = - = + = - = -; ;
- + - +
= = = =
-
x y z x y z
d d: ; :
- - - - - -
= = = =
- -
x y z x y z
d d: ; :
- - - - + -
= = = =
- -
x y z x y z
d d: ; :
ì ì- + - = + - + =
í í
x y z x y z
+ - + = - + - =
d d
î îx y z x y z
: ; :
Baøi 3. d và d1 2
{ {d x t y t z t d x: ; := = - = + = + = = +; ; t y t z t'; '; '
{ {d x t y t z t d x t y t z t: ; : '; '; '= = + = - - = + = - + = -; ;
{ {d x t y t z t d x t y t z t: ; := = +; ; ; ;= - - = + = - - =
x y x y z
d d
x y z x y
: ; :
ì ì+ + = + - + =
í í
- + - = - + =î î
Baøi 4. m d và d1 2
{ {d x mt y t z t d x t y t z t: ; : '; '; '= + =; ; = - + = - = + = -

{ {d x t y t z m t d x t y t z t: ; : '; '; '= - = + = + = + = + = -; ;
x y z x y mz
d d
x y x y z
: ; :
ì ì+ - - = + + - =
í í
+ - = + + - =î î
V N 3: V trí tương i gi a ư ng th ng và m t ph ng
xét VTT gi a ư ng th ng và m t ph ng, ta có th s d ng m t trong các phương pháp sau:
· Phương pháp hình h c: D a vào m i quan h gi a VTCP c a ư ng th ng và VTPT c a m t
ph ng.
· Phương pháp i s : D a vào s nghi m c a h phương trình ư ng th ng và m t ph ng.
Baøi 1. d và (P)
d x t y t z t P x y z: ; ( ):= = - = + + + - =; ;
d x t y t z t P x y z: ; ; ; ( ):= - = - = - - - - =
{
{
x y z
d P x y z: ; ( ):
- - -
= = + - - =
x y z
d P x y z: ; ( ):
+ -
= = - + - =
x y z
d P x y z: ; ( ):
- - -
= = + - + =
x y z
d P x z
x y z
: ; ( ) :
ì + + + =
- - =í
- + - =î
x y z
d P y z
x y z
: ; ( ):
ì + + - =
+ + =í
+ + + =
Baøi 2. d và (P) m, n
d (P). d (P) d ^ (P). d Ì (P).
î
x y z
d P x y z
m m
: ; ( ):
- + +
= = + - - =
-
x y z
d P x y z
m m
: ; ( ):
+ - -
= = + + - =
-
x y z
d P x y m z
x y z
: ; ( ) : ( )
ì - + + =
- + + - =í
- + + =
d x t y t z t P m x y z n: ; ( ):( )= + = -; ; = - + - + - + - =
d x t y t z t P m x n y z: ; ( ) :( ) ( )= + = - = - + + + + - =; ;
Baøi 3. d và (P) m, n
d x m t y t z t: = + = - =; ; ( ): - + - =P x y z
î
{
{
{
ì - - =x y
y z+ + =
d : ( ): + + - =P x y z m
î
í
ì + - =x y
x z- - =
d : ( ): + + + =P x y z m
î
í

V N 4: V trí tương i gi a ư ng th ng và m t c u
xét VTT gi a ư ng th ng và m t c u ta có th s d ng các phương pháp sau:
· Phương pháp hình h c: D a vào kho ng cách t tâm m t c u n ư ng th ng và bán kính.
· Phương pháp i s : D a vào s nghi m c a h phương trình ư ng th ng và m t c u.
Baøi 1. d và (S)
x y z
d S x y z x z: ; ( ) :
- -
= = + + - + + =
-
x y z
d S x y z
x z
: ; ( ):( ) ( )
ì + - - =
- + - + =í
- - =î
x y z
d S x y z x y
x y
: ; ( ):
ì - - - =
+ + - + - =í
+ + =î
x y z
d S x y z x y z
x y
: ; ( ) :
ì - - - =
+ + + - - - =í
+ + =î
{d x t y t z t S x y z x y z: ;= - - = = - + + - - + - =; ; ( ):
{d x t y t z t S x y z x y z: ;= - = + = + + + - - + - =; ; ( ):
{d x t y t z S x y z x y z: ;= - = - = + + - - + - =; ; ( ):
Baøi 2. m, d và (S)
x y z m
d S x y z
x y
: ; ( ):( ) ( ) ( )
ì - - + =
- + - + + =í
+ + =î
{d x t y m t z t S x y z x z: ;= - = + = + + + - + + =; ; ( ) :
x y
d S x y z x y z m
x z
: ; ( ):
ì - - =
+ + + - + + =í
+ - =
Baøi 3. (S) I d
I d x t y t z t( ; ; ); : ; ;- = + = - = -
I d x t y z t( ; ; ); : ; ;- = - = =
î
{
{
x y z
I d( ; ; ); :
- + -
- = =
x y z
I d( ; ; ); :
- -
- = =
-
x y
I d( ; ; ); :
ì - - =
z - =
Baøi 4. (S) d (S)
d Î (S) a ( ; ; )=
d Î (S) ( ): .x y z- + + =
Baøi 5.
-
î
í
r
a

V N 5: Kho ng cách
1. Kho ng cách t i m M n ư ng th ng d
· Cách 1: Cho ư ng th ng d i qua M và có VTCP a .0
r
M M a
d M d)( ,
a
,é ù
ë û
=
uuuuur r
r
· Cách 2: – Tìm hình chi u vuông góc H c a M trên ư ng th ng d.
– d(M,d) = MH.
· Cách 3: – G i N(x; y; z) d. Tính MN2 theo t (t tham s trong phương trình ư ng th ng d).Î
– Tìm t MN2 nh nh t.
– Khi ó N H. Do ó d(M,d) = MH.º
2. Kho ng cách gi a hai ư ng th ng chéo nhau
Cho hai ư ng th ng chéo nhau d và d .1 2
· Cách 1: d i qua i m M và có VTCP a , d i qua i m M và có VTCP a1 1 2 2
r r
a a M M
d d d
a a
, .
( , )
,
é ùë û
=
é ùë û
uuuuuurr r
r r
· Cách 2: G i A d , B d .Î Î1 2
AB là ư ng vuông góc chung Û
AB a^
AB a^
ì
í
ï
ï
î
uuuur r
uuuur r . T ó ta tìm ư c A, B.
d d d AB( , ) =
Chú ý: Kho ng cách gi a hai ư ng th ng chéo nhau d , d b ng kho ng cách gi a d v i m t1 2 1
ph ng ( ) ch a d và song song v i d .a 2 1
3. Kho ng cách gi a hai ư ng th ng song song b ng kho ng cách t m t i m thu c ư ng
th ng này n ư ng th ng kia.
4. Kho ng cách gi a m t ư ng th ng và m t m t ph ng song song
Kho ng cách gi a ư ng th ng d v i m t ph ng ( ) song song v i nó b ng kho ng cách t m ta
i m M b t kì trên d n m t ph ng ( ).a
Baøi 1. d
ì = - ì = +x t x t
A d y t( ; ; ), : = + A d y t( ; ; ), :- = -
z t= - z t= -
ï ï
ï ï
í í
î î
x y z
A d( ; ; ), :
- -
= =
x y z
A d( ; ; ), :
+ - +
= =
-
x y z
A d( ; ; ), :
+ - +
- = =
-
x y z
A d
x y z
( ; ; ), :
ì + - - =
+ + + =
-
î
í
Baøi 2. d , d1 2
{ {d x t y t z t d x t y t z t: ; : '; '; '= - = +; ; = - - = = + = -
{ {d x t y t z t d x t y t z: ; : '; ';= + = - = - = = - =; ;
{ {d x t y t z t d x t y t z t: ; : '; '; '= - = + = - = + = - = -; ;
x y z x y z
d d: ; :
- + - +
= = = =
-
x y z x y z
d d: ; :
- - - - - -
= = = =
- -

x y z x y z
d d: ; :
- - - - + -
= = = =
- -
x y z x y z
d d
x y z x y z
: ; :
ì ì- + - = + - + =
í í
+ - + = - + - =î î
Baøi 3. d , d1 2
{ {d x t y t z t d x t y t z t: ; : ', ', '= + = + = + = + = + = +, ,
x y z x y z
d d: ; :
- + - + - +
= = = =
- - -
x y z x y z
d d: ; :
- - + + + -
= = = =
x y zx y z
d d
x y z
: ; :
+ - -ì + - - =
= =í
- - - =
Baøi 4. d
d x t y t z t P x y z: ; ; ; ( ):= - = - = - - - - =
d x t y t z t P x z: ; ( ) := - = = + + + =; ;
-î
{
{
x y z
d P x y z
x y z
: ; ( ):
ì - + + =
- + + =í
+ - - =î
x y z
d P x y z
x y z
: ; ( ):
ì - + + =
- - - =í
- + + =î
V N 6: Góc
1. Góc gi a hai ư ng th ng
Cho hai ư ng th ng d , d l n lư t có các VTCP1 2 a a,
r r
.
Góc gi a d , d b ng ho c bù v i góc gi a1 2 a a,
r r
.
( )
a a
a a
a a
.
cos , =
.
r r
r r
r r
2. Góc gi a m t ư ng th ng và m t m t ph ng
Cho ư ng th ng d có VTCP a a a a= và m t ph ng (( ; ) ) có VTPT n A B C; ( ; ; )= .
r
a
r
Góc gi a ư ng th ng d và m t ph ng ( ) b ng góc gi a ư ng th ng d v i hình chi u d c aa ¢
nó trên ( ).a
·( ) Aa Ba Ca
d
A B C a a a
sin ,( )
.
a
+ +
=
+ + + +
Baøi 1.
{ {d x t y t z t d x t y t z t: – ; := + = + = + = = + = +, , – ', – ', '
x y z x y z
d d: ; :
- + - + - +
= = = =
- -
{x y z
d d x t y t z t
x y z
: ; : ; ; –
ì - - - =
= = = +í
- + + =
{
î
x z
d d x t y z t
x y z
: ; : ; – ; –
ì - + =
= + = =í
- + - =î

x y z x y z
d d
x z
: ; :
- + + ì + - - =
= = í
+ - =î
x y z
d :
+ - -
= = d2
x y z x y z
d d
x y z x y z
: ; :
ì ì- + - = - + - =
í í
- + + = + + =î î
x y z x y z
d d
x y z x y z
: ; :
ì ì- + - = + - + =
í í
+ - + = - + + =î î
Baøi 2.
x z x y z
d d
y z x y
: ; :
ì ì- - = - - - =
í í
+ + = - - =î î
Baøi 3. m a
{ {d x t y t z t d x t y t z mt: ; ; ; : '; ' ; ';= - + = - = + = + = + = + =a
Baøi 4. d (P)
x y z
d P x y z: ; ( ): – – –
- - +
= = =
-
{d x y t z t P x z: ; ; ; ( ):= = + = + + + =
x y z
d P x y z
x y z
: ; ( ): –
ì + - + =
+ + =í
+ - =î
x y z
d P x y z
x y z
: ; ( ): – –
ì + - + =
+ =í
- + + =
Baøi 5.
Baøi 6.
Baøi 7.
î

V N 7: M t s v n khác
1. Vi t phương trình m t ph ng
· D ng 1: M t ph ng (P) i qua i m A và ư ng th ng d:
– Trên ư ng th ng d l y hai i m B, C.
– M t VTPT c a (P) là: n AB AC,é ù= ë û
uuuur uuurr
.
· D ng 2: M t ph ng (P) ch a hai ư ng th ng song song d , d :1 2
– Xác nh VTCP a c a d (ho c d ).
r
1 2
– Trên d l y i m A, trên d l y i m B. Suy ra A, B (P).1 2 Î
– M t VTPT c a (P) là: n a AB,é ù= ë û
uuuurr r
.
· D ng 3: M t ph ng (P) ch a hai ư ng th ng c t nhau d , d :1 2
– L y i m A d (ho c A d ) A (P).Î Î Þ Î1 2
– Xác nh VTCP a c a d , b c a d .
r
1 2
r
– M t VTPT c a (P) là: n a b= ,[ ]
rr r
.
· D ng 4: M t ph ng (P) ch a ư ng th ng d và song song v i ư ng th ng d (d , d chéo1 2 1 2
nhau):
– Xác nh các VTCP a b, c a các ư ng th ng d , d .
rr
1 2
rr r
.
– L y m t i m M thu c d1 Þ ÎM (P).
· D ng 5: M t ph ng (P) i qua i m M và song song v i hai ư ng th ng chéo nhau d , d :1 2
– Xác nh các VTCP a b, c a các ư ng th ng d , d .
rr
1 2
rr r
.
2. Xác nh hình chi u H c a m t i m M lên ư ng th ng d
· Cách 1: – Vi t phương trình m t ph ng (P) qua M và vuông góc v i d.
– Khi ó: H = d (P)Ç
· Cách 2: i m H ư c xác nh b i:
d
ì ÎH d
MH a^
í
î
uuuur r
3. i m i x ng M' c a m t i m M qua ư ng th ng d
· Cách 1: – Tìm i m H là hình chi u c a M trên d.
– Xác nh i m M sao cho H là trung i m c a o n MM .¢ ¢
· Cách 2: – G i H là trung i m c a o n MM . Tính to i m H theo to c a M, M .¢ ¢
– Khi ó to c a i m M ư c xác nh b i:¢ dMM a' ^
H dÎ
ì
í
î
uuuuuur r
.
4. Xác nh hình chi u H c a m t i m M lên m t ph ng (P)
· Cách 1: – Vi t phương trình ư ng th ng d qua M và vuông góc v i (P).
– Khi ó: H = d (P)Ç
· Cách 2: i m H ư c xác nh b i:
P
ì ÎH P( )
MH n cuøng phöông,
í
î
uuuur r
5. i m i x ng M' c a m t i m M qua m t ph ng (P)
· Cách 1: – Tìm i m H là hình chi u c a M trên (P).
– Xác nh i m M sao cho H là trung i m c a o n MM .¢ ¢
· Cách 2: – G i H là trung i m c a o n MM . Tính to i m H theo to c a M, M .¢ ¢
– Khi ó to c a i m M ư c xác nh b i:
P
¢
ì ÎH P( )
MH n cuøng phöông,
í
î
uuuur r .

Baøi 1. (P) d
ì = + ìx t= -x t
A d( ; ; ), : y t- = - A d( ; ; ), : y t- = - +
z t= + z t= -
ï ï
ï ï
í í
î î
x y z
A d( ; ; ), :
- + -
- = =
x y z
A d( ; ; ), :
+ + -
- = =
x y z
A d
x y z
( ; ; ), :
ì - + - =
+ + + =
-
î
í
x y z
A d
x y z
( ; ; ), :
ì + - + =
- + - =
-
î
í
Baøi 2. (P) d , d :
{
1 2
x y z
d x t y t z t d: ; :; ;
+ - +
= + = + = - = =
x y z x y z
d d: , :
- + - + - -
= = = =
x y z x y z
d d: ; :
- + - + - +
= = = =
- - -
x y z x y z
d d: ; :
- - + + + -
= = = =
Baøi 3. (P) d , d :1 2
{ {d x t y t z t d x t y t z t: ; : '; '; '= = - = + = + = = +; ;
{x y z
d d x t y t z t
x y
: ; : ; ;
ì + + + =
= + = - + = -í
- + =î
x y z x z
d d
x y z y z
: ; :
ì ì- - - = - - =
í í
+ + + = + + =î î
x y x y z
d d
x y z x y
: ; :
ì ì+ + = + - + =
í í
- + - = - + =î î
Baøi 4. d , d d
d
1 2 1
2
{ {d x t y t z t d x t y t z t: ; : '; '; '= - = + = - - = = + = -; ;
{ {d x t y t z t d x t y t z: ; : '; ';= + = - = - = = - =; ;
{ {d x t y t z t d x t y t z t: ; : '; '; '= - = + = - = + = - = -; ;
- + - +
= = = =
-
x y z x y z
d d: ; :
- - - - - -
= = = =
- -
x y z x y z
d d: ; :
- - - - + -
= = = =
- -
x y z x y z
d d: ; :
ì ì- + - = + - + =
í í
x y z x y z
+ - + = - + - =
d d
î îx y z x y z
: ; :
Baøi 5. d ¢
d
ì = + ì = -x t x t
M d y t( ; ; ), :- = - M d y t( ; ; ), : = +
z t= - z t= -
ï ï
ï ï
í í
î î

x t
M d y t
z t
ì
( ; ; ), :- = -í
ï = - +
=
ï
î
x t
M d y t
z t
ì
( ; ; ), :
= -
- = +í
ï =
ï
î
x y z
M d( ; ; ), :
- + -
- = =
x y z
M d( ; ; ), :
+ + -
= =
-
x y z
M d
x y z
( ; ; ), :
ì - - =
+ - - =
- í
î
y z
M d
x y z
( ; ; ), :
ì + - =
- - + =
Baøi 6. (P) ¢
(P)
( ): , ( ; ; )P x y z M- + - = - ( ): , ( ; ; )P x y z M+ + - = - -
( ): , ( ; ; )P x y z M- + + = - ( ): , ( ; ; )P x y z M- + + = -
( ): , ( ; ; )P x y z M- + - = - ( ): , ( ; ; )P x y z M- + - =
- í
î
BÀI T P ÔN PHƯƠNG TRÌNH Ư NG TH NG
Baøi 1. D
+
= =
-x y z
( ): - - =x y z
Baøi 2.
Baøi 3.
a
a
a
D
x y z
= =
-
Baøi 4. Oxza
a
Baøi 5. D
-
-
= =
+-x y z
ì
D
ï
= +
í
= - -
ï
x t
= +
z tî
y t
Baøi 6.
x y z
d :
+ - -
= =
-
d
d
Baøi 7. Oxyz
MA MB MC MD+ - + =
uuur uuur uuur uuuuur r
Oz
x y z+ =–

x y z –+ + = x y z– –+ =
x y z- - +
= =
-
d
x y z+ + -
= =
d
x y+ + =
x y z– – – =
D
x y z+ - -
= =
x y
= = +z
x y z– – + =
d
x y z- -
= =
d
x y z- -
= =
1 5
x y t z t= - = - + =; ;í
î
x y z+ =–
D x y z– + + =
ì
¢ ¢ ¢G A G B G C+ +
(S) x y z x y z+ + - - - - =
(S)
x y z x y z+ + - + - + =

Bư c 1: Ch n h tr c t a Oxyz thích h p
Bư c 2:
Bư c 3:
Chú ý: Thông thư ng ta d a vào các y u t ư ng th ng vuông góc v i m t ph ng ch n h
tr c Oxyz sao cho d xác nh to các i m liên quan.
Ví d 1:
D
D
OH OA OB OC
= + +
OAB ABC OBC BCA OAC ACB= = =( ),( ) , ( ),( ) , ( ),( )· ·( ) ( ) ·( )a b g
cos cos cos .+ + =a b g
Gi i:
1. Ch ng minh DABC có ba góc nh n:
AB AC a b a c a. ( ; ; )( ; ; )= - - = >
uuuur uuur
Þ BAC·
· ·ABC ACB,
D
2. Ch ng minh H là tr c tâm DABC:
x y z
bcx acy abz abc
a b c
+ + = Û + + - =
OH ABCOH ABC u n bc ac ab( )^ Þ = =( ) ( ; ; )
r r
ì =x bct
Þ y act t R= Î( )
z abt=
ï
ï
í
î
( )b c a c a b t abc+ + =
V. GI I TOÁN HÌNH H C KHÔNG GIAN
B NG PHƯƠNG PHÁP TO
M T S VÍ D
z
C
H
B
A
x
y
O

abc
t
a b b c c a
Þ =
+ +
ab c a bc a b c
H
a b b c c a a b b c c a a b b c c a
; ;
æ ö
Þ ççç ÷÷÷
+ + + + + +è ø
a
AH ab ac bc b c
a b b c c a
b
BH ac a b bc a c
a b b c c a
( ; ; )
( ; ; )
ì
= - -ï
ï + +
ï
Þ í
= - -
ï + +î
uuur
uuur
a
AH BC ab ac bc b c b c
a b b c c a
b
BH AC ac a b bc a c a c
a b b c c a
. ( ; ; )( ; ; )
. ( ; ; )( ; ; )
ì
= - - - =ï
ï + +
ï
Þ í
= - - - =
ï + +î
uuur uuur
uuur uuur
ì ^AH BC
BH AC
Þ Þ D
î
í
^
3. Ch ng minh
OH OA OB OC
= + +
abc
OH d O ABC
a b b c c a
= =( , ( ))
-
+ +
a b b c c a
OH a b c
+ +
Þ =
a b b c c a
OA OB OC a b c a b c
+ +
+ + = + + =
OH OA OB OC
Þ = + +
4. Ch ng minh cos cos cos .+ + =a b g
·( ) ( )OAB ABCOAB ABC n n( ) ( )cos cos ( ), ( ) cos ,= =a
r r
ABCn n bc ac ab( )= = ( ; ; )
r r
OAB OBC OACn n k n n i n n j( ) ( ) ( )= = = = = = = = =( , , ); ( , , ); ( , , )
r r rr r r r r r
Þ + + = + +cos cos cos cos ( , ) cos ( , ) cos ( , )n n n n n na b g
r r r r r r
a b b c a c
a b b c c a a b b c c a a b b c c a
= + +
+ + + + + +
cos cos cos .+ + =a b g

Ví d 2:
j
a
Gi i:
1
OD OH
BC a
AH BC
a
OD BC
Þ ^
= Þ =
Þ = =
O D H a S a( ; ; ), ; ; , ( ; ), ( ; ; )
aæ ö
ç ÷
è ø
a a
A a B a C a( ; ; ), ; ; , ; ;
æ ö æ ö
Þ - -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
1. Tính cosj :
BE SA Þ ^ SA BCE BEC^ Þ =( ))^ CE SA
SA a a a= =( ; ; ) ( ; ; )
·j
uur
ì =x
y a t t R= - + Î( )
z t=
y a 2z– + =
ï
ï
í
î
( )
- + + = Þ =a t t t
a
a a
E ; ;
æ ö
Þ -ç ÷
è ø
a a a a
EB
a a a a
EC
; ; ( ; ; )
; ; ( ; ; )
ì æ ö-
= = -ï ç ÷
ï è ø
æ ö
Þ
ï
í
= - - = - -ç ÷ï è øî
uuuur
uuur
35
a a
EB EC
a
. ( ; ; )( ; ; )
cos cos( , )j
- - -
Þ = = = =
æ ö
ç ÷
è ø
uuuur uuur
cos =j
2. Ta có: I(0; m; 0), OH a( ; ; )=
uuur
Þ
z
S
E
j
N
Q
A
a I
D
M
x
B
yH
C
P2a
m
O

a. Tính SMNPQ:
a a
AB a; ; ( ; ; )
æ ö
= =ç ÷
è ø
uuuur a a
AC a; ; ( ; ; )
æ ö
= - = - -ç ÷
è ø
uuur
a a
SB a a; ; ( ; ; )
æ ö
= - = -ç ÷
è ø
uur a a
SC a a; ; ( ; ; )
æ ö
= - - = - -ç ÷
è ø
uur
x t
y a t t R= - + Î( )
z =
ì =
ï
ï
í
î
a m
M AB MNPQ M m( ) ; ;
æ ö+
= Ç Þ ç ÷
è ø
x t
y a t t R= - - Î( )
z =
ì =
ï
ï
í
î
a m
N AC MNPQ N m( ) ; ;
æ ö- -
= Ç Þ ç ÷
è ø
x t
y t t R
z a t
= Î( )
ï
ì =
ï
í
= -î
Q SB MNPQ Q m a m( ) ; ;
mæ ö
= Ç Þ -ç ÷
è ø
x t
y t t R
z a t
= - Î( )
ï
ì =
ï
í
= +î
P SC MNPQ P m a m( ) ; ;
mæ ö
= Ç Þ - -ç ÷
è ø
Þ
m a a m a m
MQ a m MP a m MN; ; ; ; ; ; ; ;
æ ö æ ö æ ö- - - - -
= - = - =ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
uuur uuur uuuuur
( )1
1
MNPQ
MNPQ
S MQ MP MP MN
m m a m a
m a m a m a a
m m
S m am a
[ , ] [ , ]
( )
; ; ; ;
( )
( )
= +
æ öæ öæ ö- -
ç ÷= + ÷÷÷ç ÷ çççç ÷è ø è øè ø
æ ö- -
= + = - + +ççç ÷÷÷
è ø
Þ = - + +
uuur uuur uuur uuuuur
b/ Tìm m (SMNPQ max) :

¥ ¥
a
- + +m am a ¥ ¥
a
a a
MNPQÞ £ =S .
a a
MNPQS khi mmax( ) .= =
Cách khác MNPQ
coâsi
a
a m m
a a
S a m m
( )
( )
( )
é ùæ ö
ê ú- + +ç ÷
æ ö ê úè ø= - + £ =ç ÷ ê úë ûè ø
a a a
MNPQS a m m mmaxÞ = Û - = + Û =( ) .
Ví d 3:
a b c
Û = +
Gi i:
1. Tính r:
I AOB I OBC I OCA I ABC OABCV V V V V. . . .+ + + =
r abc
OAB OBC OCA ABC( ) .S S S SD D D DÞ + + + =
1
1
1
ABCS AB AC
a b a c
a b b c c a
r abc
ab bc ca a b b c c a
[ , ]
[( ; ; ), ( ; ; )]
( ) ( )
D =
= - -
= + +
Þ + + + + + =
uuuur uuur
abc
r
ab bc ca a b b c c a+ + + + +
2. Ch ng minh ^
=
a b c
Û = +
b c a c a b
M N P; ; , ; ; , ; ;
æ ö æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
bc ac ab
OMNn OM ON( ) [ , ] ; ;
æ ö
= = -ç ÷
è ø
uuur uuurr
z
C
yb
P
a
x
B
A
O
c
N
M

bc ac ab
OMPn OM OP( ) [ , ] ; ;
æ ö
= = - -ç ÷
è ø
uuur uuurr
OMN OMPOMN OMP n n( ) ( )Þ ^ Û =( ) ( ) .
r r
b c a c a b
a c b b c
a b c
Û - + + = Û + = Û = +( ) .
Ví d 4:
Az ABCD^ ( )
a
( )£ £k a
a
Gi i:
1.
AK k K k k a= Þ £ £( ; ; ),
n KC KD a k a= =[ ], ( ; ; )
uuur uuur
a
r
( ): ( )k y a az ky az ak- + = Û + - =
SB a( ; ; )= -
a
uur
ì = +x a t
y t R= Î( )
z t= -
k
ï
ï
í
î
( ) ; ;SB L L a k
æ ö
a Ç = Þ -ç ÷
è ø
a/ SCDKL = SDCKL + SDCKD:
( )1
1
CK CL CK CD
k
a a k a k a a k a
a k a k
a k a a k a k
[ , ] [ , ]
[( ; ; , ; ; ] [( ; ; ,( ; ; )]
= +
æ ö
= - - - - + - - -
è
ç ÷
ø
æ ö- -
= + + + = +ç ÷
è ø
uuur uuuur uuur uuur
a k k ak a
f k a k f k
k a
/
( ) ( )
- - + -
= + Þ = <
+
¥ ¥
a
z
S
a
B
C
x
yD
N
K
k
A
M
L
2a
I

S a kmax = Û =
S a k amin = Û = .
b/ d(KD, BC)
KD BC DC a k a a
a k aKD BC
[ , ] [ ; ; ), ( ; ; )]( ; ; )
[ ; ; ), ( ; ; ][ , ]
-
= =
-
uuur uuur uuur
uuur uuur
Chú ý
c/ Tính k
1
S CDKL S ABCDV V. .=
a ak
d S
k a
( , ( )) =a
-
+
1
1
S CDKL CDKL
S ABCD ABCD
a a k a k
V d S S
a
V SA S
a a k a k a
k a do k a
.
.
( )
( , ( )).
.
( )( )
( ) ( )
a
- -
Þ = =
= =
- -
Þ =
Û = - £
2. Qu tích I:
a s s
S Az S s s M a N a( ; ; ), ; ; , ; ;
æ ö æ ö
Î Þ > Þ ç ÷ ç ÷
è ø è ø
1 1
BM a a s AN a s= - - - =( ; ; ); ( ; ; )
uuur uuur
Þ
ì = +x a at
y at t R= - Î( )
z st= -
ï
ï
í
î
xì =
y at t R= Î( )
z st=
I AN BM I a s= Ç Þ( ) ( ) ( ; ; )
ID s ID AS= - Þ( ; ; ) / / .
ï
ï
í
î
uur uur uur
Dt ABCD^ ( )
Ví d 5:
·a ASB; .=
a
a
Gi i:

Þ - -C a D a( ; ; ), ( ; ; )
1. Tâm I và R c a (S) ngo i ti p chóp S.ABCD
I OS I zÎ Þ ( ; ; )
x y z z z d+ + - + =
a d
A S S
h z h d
d a
h a
z
h
h a h a h a
I R a
h h h
, ( )
; ; ,
ìï + =
Î Þ
- + =
ì
í
ï
= -
Þ
=
î
ï
-í
ï
î
æ ö æ ö- - +
Þ = + =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
SA SB a h a h h
SA SB a h a h
. ( ; ; )( ; ; )
cos
.
a
- -
= = =
+ +
uur uur
a cos
h
cos
a
a
Þ = a D
-
cos ( cos )
a
R
a a
=
-
a( cos )
OI
cos ( cos )
a
a a
-
=
-
2. Tâm J và r c a (S/) n i ti p chóp S.ABCD:
J OS J r OJ rÎ Þ =( ; ; ),
1
S ABCD tp S ABCD
xp SAB
tp xp ABCD
r a h
V S V h a
S S SA SB a h
S S S a h a
aa h
r
a a h
. .. ; . ( )
. . sin ( )sin
( )sin
cos ( cos )
sin cos( )sin
D a a
a
a a
a aa
= = =
= = = +
Þ = + = + +
-
Þ = =
+ -+ +
a
OJ r
cos ( cos )
.
sin cos
a a
a a
-
= =
+ -
3. Tìm a I º J
aa
I J OI OJ
cos ( cos )( cos )
sin coscos ( cos )
( cos )( sin cos ) cos ( cos )
a aa
a aa a
a a a a a
--
º Û = Û =
+ -
Û - + - = -
( cos ) (sin cos ) (sin cos )(sin cos )sin
sin cos ( sin cos )do
o (do nhoïn)
-
a a a a a a a a
a a a a
a a
Û - + - = Û - - + =
Û = + - >
Û =
oI J .º Û =a
z
S
x A 2 3 B y
h
D
CO
a
a

Ví d 6:
£ £m a)
Gi i:
Þ £ £C a b M m m a( ; ; ), ( ; ; ) ( )
MBCn MB MC b m a( ) = =[ , ] ( ; ; )
uuur uuurr
SD b a= -( ; ; )
u uuur
Þ mx az ma+ - =
ì =x
y b bt t R= + Î( )
z at= -
ï
ï
í
î
ab mb
N SD MBC N m( ) ; ;
a
æ ö-
= Ç Þ ç ÷
è ø
1. Hình tính và di n tích BCMN
ab mb
MN BC b MB a m; ; ; ( ; ; ); ( ; ; )
a
æ ö-
= = = -ç ÷
è ø
uuuuur uuur uuur
MN BC
BCMN
ì
BC MB
Þ Þ
î
í
^
P
BCMN
MB a m ab mb ab mb
S MN BC b a m
a a
( )
æ ö+ - -
= + = + = +ç ÷
è ø
2. Tìm v trí M SBCNM l n nh t:
mS a m m a
a
b
( ) = - +( )
m
b a m m b m am a
S m a
a am a m a
/
( )
é ù( )- - + -
Þ = - + + = .ê ú
ê ú+ +ë û
a
S m/
( )m
( )±
= Û =
¥
a( )- a( )+
¥
/
( )mS
( )mS ab +
ab - ab
a
A
b
N
D
y
B C
x
S
z
2a
M
m

ab a
S mmax
+ +( )
Þ = Û =
ab a
S mmin
- -( )
= Û =
3. Tìm v trí M
1
S BCNM S ABCDV V. .=
a ma
d S MBC
m a
( , ( )) =
-
+
1
S BCNM
S ABCD
a ma ab mb b a m a m
V m a
am a
a b
V a ab
.
.
( )( )
. .
. . .
- - - -
Þ = + =
+
= =
( )( )a m a m- -
Û = a
Û - + = Û = - £m am a m a (vì m 2a)( )
AM a= -( ) .
Ví d 7:
¢ ¢ ¢ ¢
A C AB D/ / /
^ j ¢ ¢ ¢( )
( )< <k a
¢
Gi i:
k k k k
M N a; ; , ; ;
æ ö æ ö
Þ -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
1. Ch ng minh A C AB D/ / /
^( )
A C a a a= -( ; ; )
AB a a= ( ; ; )
AD a a= ( ; ; )
ì /
ïïï
/
/ï
ï
í
î
uuuur
uuuur
uuuur
AB D
AB D
AB D
n AB AD a a a
A C n a a a a a a
A C n
/ /
/ /
/ /
/ /
( )
/
( )
/
( )
Þ = = - -, ( ; ; )
, ( ; ; ), ( ; ; )é ù é ù= - - - =ë ûê úë û
Þ
uuuuur uuuur
r
uuuur
uuuur
P
rr
r
A C AB D/ / /
^ ( )
z
A D/ /
B C/ /
M
k
A D
B
z
C
k
y
N
a

Cách khác:
A C AB A C AB/ / / /
A C AB D
A C AD
/ / /
A C AD
.
/ /
ì
( )
/ /
ì
.
ï ï= ^
Þ Þ ^í í
= îï ^ïî
uuuur uuuur
uuuur uuuur
j n DA DC a a= =[ , ] ( ; ; )/
uuuurr uuur
n n jABB A/ /= = = ( ; ; )( )
r r r
n n a
an n
.
Þ = = =cosj
r r
r r
.=
2. a. Ch ng minh MN // (A D BC):
o
/ /
j
A D BC
MN k a k k
n n BA BC a/
/ /
( )
( ; ; )
[ , ] ( ; ; )
= - -
= = = -
uuuuur
uuuuur uuurr r
MN n k k. ( )= - =
-auuuuur r
MN A D BC do M A D BC/ / / /
Þ Ï( ) ( ( )
b/ Tìm k MN :
P
min
1
MN k ak a= - +( )
¥
a
¥a
a
a a
MN kminÞ = Û =
a
k = MN ( ; ; )= -
auuuuur
a
MN AD a a
MN AD
a MN BD
MN BD a a
/
. ( ; ; )( ; ; ) /
. ( ; ; )( ; ; )
ì
= - = ìïïï ^Þ Þí í
îï ^
= - - =
ïî
uuuuruuuuur
uuuuur uuur
Ví d 8:

Gi i:
a a a
M N; ; , ; ;
æ ö æ ö
Þ ç ÷ ç ÷
è ø è ø
1. Tính R:
x y z x y z d+ + - - - + =a b g
C D M N S, , , ( )Î/
a a a d
a a a d
a
a d
a
a a d
( )
( )
( )
( )
a b
b g
a
b g
ì - - + =
- - + =
ï
- + =
ï
ï
í
ï
ï
- - + =ï
î
a g
a
( )
a
( )
a g
b
Þ = =
Þ =
Þ
a a a
x y z x y z a+ + - - - + =
a a a aæ ö
R a
æ ö æ ö
= + + - =ç ÷ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
R .=
2. Tính r:
¢
a
x y z x y z d/ / / /
a b g+ + - - - + =
A B C D S/ / / /
, , , ( ),Î
a a d
a a d
a a a a d
a a d
/ /
/ /
/ / / /
/ /
g
a
a b g
b
ì - + =
ï
ï
- + =
- - - + =
ï
í
ï
- + =
a
î
d/ / / /
Þ = = = =,a b g
Þ + + - - - =( ):S x y z ax ay az/ a
S C CÎ Þ Î( ) ( )
I I J, ,
R/ =
/
/
A/ D
z
/
L
C/
N
D
B/
A
a
C
x
B
y
K
M
I/
R/
(C) C
(S)
I
R
rJ

a a a a a a
I I; ; , ; ;/æ ö æ ö
Þ ç ÷ ç ÷
è ø è ø
JC II^ /
II CI
r d C II
II
/
/
/
[ , ]
Þ = =( , )
uur uur
a a a a a a
II CI; ; ; ;/ æ ö æ ö- -
= - =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
uur uur
Þ = -[ , ] ( ; ; )II CI
a/
uur uur
14
Þ =r a
3. Tính S:
a
CMNn CM CN( ) = =- -[ , ] ( ; ; )
uuur uuurr
Þ x y z a- + - =
ì =x
¢ y t R= Î( )
z t=
ì =x
¢ y a t R= Î( )
z t=
K CMN AA L CMN DD
ï
ï
í
î
ï
ï
/ /
í
î
= Ç = Ç( ) , ( )
( )1
CMKL
a a
K L a
S S CM CK CK CL
a a a a
a a a a a a
; ; , ; ;
[ , ] [ , ]
; ; , ; ; ; ; , ; ;
æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷Þ
è ø è ø
Þ = = +
æ öé ù é ùæ ö æ ö æ ö æ ö
= - - - - + - - -ççç ÷÷÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ê ú ê ú
è ø è ø è ø è øë û ë ûè ø
uuur uuur uuur uuuur
a
Þ =S .

BÀI T P
Baøi 1. OABC OBC O OB a OC a a
OA a M BC AB
OM
HD: Ch n h tr c t a sao cho: O A a B a C a( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ).
Þ
a 15
d AB OM) =( ;
Baøi 2. O.ABC
HD: Ch n h tr c t a sao cho: O A a B b C c( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ).
1 2 3 1
a b c
Þ Vmin = Û = = =
Baøi 3. S ABC SA ABC C
SA AC BC M AB H C M
SHB SBC
HD: Ch n h tr c to sao cho: A B C S H
Baøi 4. S.ABC ABC A AB AC a a
S G DABC SG x x x
HD: Ch n h tr c to sao cho: A B C a
a a a a
D
G S x; ; , ; ;
æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Þ x .=
Baøi 5. S ABC a M N SB SC
a DAMN AMN SBC
a
HD: Ch n h tr c to sao cho: O(0; 0; 0), S(0; 0; h),
a
A ; 0; 0
æ ö
ççç ÷÷÷
è ø
(SO = h).
Þ
1
AMN SBC AMN
a a
AMN SBC n n h S AM AN( ) ( )( ) ( ) . ,D
é ù^ Þ = Þ = Þ = =
ë û
r r uuur uuur
Baøi 6. ABC A B C a D F
BC C B A B B C
HD: Ch n h tr c to sao cho:
a a a a a a a a
A B C A a B a C a( ; ; ), ; ; , ; ; , '( ; ; ), ' ; ; , ' ; ;
æ ö æ ö æ ö æ ö
- -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
Þ ( ) a
d A B B C' .' ; ' =
Baøi 7. ABCD AB AC AD AB AC AD
A BCD
HD: Ch n h tr c to sao cho: A B C D
Baøi 8. SABC DABC I
S
H I SB IH G
DSAC

HD: Ch n h tr c to sao cho: O(0; 0; 0), A ; ;
æ ö
ççç ÷÷÷
è ø
1
B ; ;
æ ö
- -ççç ÷÷÷
è ø
1
C ; ;
æ ö
-ççç ÷÷÷
è ø
S ;
æ ö
ççç ÷÷÷
è ø
I ; ;
æ ö
ççç ÷÷÷
è ø
1SBCM
SABC
V
V
( )
( )
Þ =
Baøi 9. ABCD A B C a AA a
ABC D BB M AA
MC D
HD: Ch n h tr c to sao cho: A B a A a
a a
C ; ; a
æ ö
ççç ÷÷÷
è ø
D a a
Þ Giá tr l n nh t DC M
a
S = khi M Aº
Baøi 10. D SA ABC^ ( )
AH SB^ AK SC^
HK SC.^
I HK BC.= Ç
j
S: a/ HK SC. ;=
uuur uur
c/ ; d/
a
SJ JC R= =,
Baøi 11. D SA ABC^ ( ) SA a=
a a
S: a/
a a
A Bd d= = b/;
a
d/
Baøi 12. D d ABC^ ( )
SBC^ D D( )
D
D
S: a/
a h+
ah
; b/ Tr ng tâm ABC d/D
a
a h; .=
Baøi 13. SA ABCD^ ( ) SA a=
SC( ) ^
AH SB AK SD^ ^, .
a
a

S: a/ AH SB AK SD. .= =
uuur uur uuur uuuur
b/ BD n BD HK. = =;
3
a
uuur r uuur uuur
;
c/ HG GK/ / ; d/
a
Baøi 14. SA ABCD^ ( )
.
·cos =CMN
S: a/
a ab
a b
; ; b/
+ a b+
b
; c/ a b V; .= =
Baøi 15. Az ( )^
a
a
( ) ( )^ SBC ( ) ( )^ SCD
AH SI^
D D
S: a/ MA h AB NA h AD= , = ;
uuur uuuur uuur uuur
b/
h hæ ö
I AC- - Î; ; ;ç ÷
è ø
c/ AH SMN MN SH SM AH^ ^ ^ d/( ); ; ; .
Baøi 16. SA ABCD^ ( )
SAM SMN( ) ( )^
S: a/
16
a a x y axy x y x y- + + + - = b/( ) ( ) x ax ay- + =
Baøi 17. a
a
S: a/
a a
V OI R= = = b/; a c/ .
a
Baøi 18.

S: a/
3
sin = b/j a c/
a
.
Baøi 19. ^ ( )a Oz ABCD
a
b
S: a/ a .sin b/ cos .
Baøi 20. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
¢ AM mAD BN mBB/
= =,
a a
uuuuuruuur uuur uuur
( )£ £m
¢
¢
¢
S: a/ b/ [ =IN IJ IM, ].
12 uur uuur uuuur
c/ K R( ; ; ), ;= d/
Baøi 21. ¢ ¢ ¢ ¢
¢
¢ ¢
¢ ¢
.
S: a/ MN n MN d. = = =; ; ;
uuuuur r
b/ oV ; ;= = c/j
Baøi 22. ¢ ¢ D
¢
a
.
D
S: a/ a h< b/
Va b a b h a
S
Vh a b a h b h a( )
;
+ +
= =
+ + -
Baøi 23. SC ABC^ ( )
a
S: a/
a a
MN t at a t= - + = = b/ MN AM MN CN; min , ^ ^, .
Baøi 24.
SA ABC^ ( )

S SI IC R= =; max , .S x= =
3
Baøi 25.
CMF SIB( ) ( )^
S
a a
; .
Baøi 26. ¢ ¢ ¢ ¢
BAD = ¢ ¢
¢
¢ ¢
· o
S a .

THI T T NGHI P
Baøi 1.
a 3
V a 2=
1 3
3
Baøi 2.
a3
6
Baøi 3.
a3
2
3
Baøi 4.
^ ^ Þ ^
a3
11
24
Baøi 5.
a 3
a3
3
2
a 13
2
Baøi 6.
BAC 120=· 0
a3
2
36
Baøi 7.
0
60
a3
6
6
Baøi 8.
I. KH I A DI N – KH I TRÒN XOAY

THI I H C
Baøi 1.
S =
a
Baøi 2.
a
MP C N.^
Baøi 3.
6 34
Baøi 4.
· · ·BAC CA DAB= = =D 60
Baøi 5.
Baøi 6.
Baøi 7.
a b g
0
0
60
cos cos cos 3+ + £a b g
Baøi 8. a 6 2=
Baøi 9.
a 6
2
Baøi 10. ¢ ¢ ¢ ¢
¢
Baøi 11.
BAD =
o
o·

a .
Baøi 12.
a a
R AH= =; .
Baøi 13.
B CD 90=· 0
Baøi 14. ¢ ¢ ¢
BAC 120= ¢ ¢
¢ ¢
· 0
Baøi 15. ¢ ¢ ¢ ¢
¢ ¢
Baøi 16.
j 0 0
(0 90 )< <j
Baøi 17.
AMBS a=D
Baøi 18.
2S ( )³ + +abc a b c
Baøi 19.
j ( )< <
j j
j
a
V.tan ; .tan=j j
Baøi 20. ^
ABC 120=· 0
Baøi 21.
m n m a2
( )- =

Baøi 22. ¢
¢
¢
V =
a
Baøi 23.
= ^
^
V =
a
Baøi 24.
^
a
V =
Baøi 25.
a ·BAD =
^
V =
a
Baøi 26.
a
10 3
V a=
Baøi 27.
·BAD = ^
V =
a
Baøi 28.
a
a
a
b a-
a
a b a-
Baøi 29.
V =

2 a b
a b
V .=
-
Baøi 30. ¢ ¢ ¢ ¢
¢ a a
2
a a
V V= =;
Baøi 31.
^
V =
a
Baøi 32.
^
a
d =
Baøi 33.
· ·ABC BAD= = ^ =
d =
a
Baøi 34.
·BAC = ^
a
d =
Baøi 35. ( ),( ) =SBC ABC·( )
a
d =
Baøi 36. ^
=
^
V =
a
Baøi 37.
(SAB) SBC,( ) =·( )

V =
R
Baøi 38.
V =
a
Baøi 39.
^
a
d =
Baøi 40.
1a
V ; cos= =j
Baøi 41.
a
V ; cos= =j
Baøi 42.
¢
a a
V d= =;
Baøi 43. · ·BAD ABC 90= = 0
a3
3
Baøi 44.
a
Baøi 45. ¢ ¢ ¢ ¢

¢ ·BAC =
¢
¢
Baøi 46. ¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢ ¢
¢
a
a a
Baøi 47. a 2
a3
6
48
Baøi 48.
a 3
5 3a3
24
2 3a
19
Baøi 49. ¢ ¢ ¢
¢ ¢0
60
3 3a3
8
7a
12
Baøi 50.
AC
4
a3
14
48
Baøi 51.
a3
5
6
Baøi 52.
Baøi 53.
Baøi 54.
.

THI T T NGHI P
Baøi 1. x y z –1 0+ + =a
x y -
= =
-
Baøi 2.
= + -
a
a
uuur r r r
= + -
uuur r r r
  


a
4
3
x
y t
z t
D
2
4 2
1
ì =
= -í
ï = - +
ï
î
5
sin =
5
j
x y z x y z2 2 2
+ + - - - + =3 6 2 7 0 z z
21 2 21 2
1 2( ): 0; ( ): 0
2 2
a a
- +
+ = - =
Baøi 3.
¢
¢

x y z x y z2 2 2
+ + - - - + = x y z5 2 2 1 0 3 4 2 1 0+ + + =
Baøi 4.
x y z x y z2 2 2
+ + - + + - = D2 2 4 3 0
x y2 2 0
x z2 0
ì + - =
- =
Dí
î
x y z1
1 1 1
-
= =
- -
P y z P y z1 2( ): 3 3 2 0; ( ): 3 3 2 0+ + + = + + - =
Baøi 5.
II. PHƯƠNG PHÁP TO TRONG KHÔNG GIAN

x y z
OG :
1 2 0
= = x y z x y2 2 2
+ + - - =2 2 0 x y+ - ± =2 3 10 0
Baøi 6.
D
ABC x y z( ):3 2 6 0+ + - = ABCS 3 14=D
2 2
x y z
1 1 492
( 1)
3 2 36
æ ö æ ö
- + - + - =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
D
MB MC= -2
uuur uuur
AB x t y z t: 1 ; 1; 2= - + = = -{ x y z- + - =3 0
28
3
Baøi 7.
x y z2 1 1
1 2 3
- + -
= = x y z- + + =3 2 0
x z3 5 0- - =
Baøi 8.
x y z+ - - =2 4 0
x y z+ - + =2 2 0 x t y t z t= - + = - + = -1 1 2; ;
x y z+ - + =2 2 6 0
D
x y z
{
2 2 2
+ + = 4 : 1 2x t y t z t= + = + = -; 2 ; 3 2
Baøi 9.
{D
¢
x y z1 2 1
d :
1 2 1
- + -
x t
= = d y t
ì
: 1 2
z t1 3
= - +1
¢ ï
= -í
ï = - +î
¢
¢
x y z- + - =2 3 8 0
Baøi 10.
x y z2 2 2
( 1) ( 4) ( 5) 44- + + + - = x y z+ + - =3 5 0

ì = +x t1 2
y t= - +3
z t= -6
x y z2 0+ - = x t y t z t= + = = +1 2 ; ; 2 3
Baøi 11.
x y z2 3 6 35 0- + + =
ï
ï
í
î
{
x y z1 2 3
2 3 6
- - -
= = d M P( ,( )) 7=
-
Baøi 12.
x y z2 2 1 0- + - =
ì = +x t3 2
y t= - -2 2
z t= - +2
ï
ï
í
î
d A P( ,( )) = Q x y z( ): 2 2 6 0- + + = Q x y z( ): 2 2 8 0- + - =
7
3
y z+ - =2 2 0
Baøi 13.
x y z1 1
2 1 2
- +
= =
-
x y z2 2 9 0- + + =
Baøi 14.
x y z2 2 7 0+ + - =
x y z1 2
MN :
2 3 1
- +
= = d I P( ,( )) 2=
-
x y z- - - =2 2 10 0
d A P( ; 2 ; 3 2,( )) 4= x t y t z t= + = - - = -2 1
Baøi 15.
{

x y z2 2 2
( 1) ( 2) ( 2) 36- + - + - = x y z+ + + =2 2 18 0
x t y t z t= + = + = +1 2; 2 ; 2 2{
x y z1 2 3
2 1 1
+ - +
= =
-
x y z2 3 0+ - + = d A d) 5 2( , = x y z2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 50- + + + - =
Baøi 16.
y z- + =2 3 0 I
1 3
;1;
2 2
æ ö
ç ÷
è ø
D
x y z1 1
2 2 1
+ -
= =
-
D
D
d O( , ) 1= x y z+ + =2 2 0D
Baøi 17.

THI I H C
Baøi 1.
ì - + - =x y z
x y z+ - + =
:
î
D
x t
í
ì = +
: y t= +
z t= + .
D
D
D
( ): - =P x z H( ; ; ).
Baøi 2. x y2 – 2 0+ =
D
ï
ï
í
î
ì + + - + - =( ) ( )m x m y m
mx m z m+ + + + =( )
í
î
m .= -
Baøi 3.
1
ì - - + =2 2 1 0x y z
x y z+ - - =2 2 4 0
í x y z x y m
î
2 2 2
+ + + - + =4 6 0
Baøi 4.
ì - - = ì + - =x az a 0 ax y3 3 0
y z- + =1 0 x z+ - =3 6 0
Baøi 5. D
D
d : d :
î î
1 2í í
ì + + + =2 1 0x y z
x y z+ + + =2 0
í x y z4 2 1 0- + - =
î
D
Baøi 6.
x y z 3 0- + + = A B( 1; 3; 2), ( 5;7;12)- - - -
Baøi 7.
¢ ¢ ¢ ¢ ¢
¢
¢
a
b
¢
a b a
¢
2
1=
Baøi 8.
4 b

AC (0;6;0)=
uuur
Baøi 9.
x ky z
kx y z
3 2 0
1 0
ì + - + =
í
- + + =
x y z- - + =2 5 0
Baøi 10.
î
x y z
1d :
1
1 2 1
+
= =
x z
2 x y
d
3 1 0
2 1 0
:
ì - + =
í
+ - =î
D
x y z1 7 3
1 4 2
- - -
= =
-
Baøi 11.
A(2;3;2) B(6; 1; 2) C( 1; 4;3) D(1;6; 5)- - - - -
Baøi 12.
( )A a0;0; 3 B a( ;0;0) ( )C a0; 3;0
Baøi 13. I(0;0;1)
K(3;0;0)
Baøi 14.
x y z m m2 2 3 0+ + - - = x y z
0
30
2 2 2 2
( 1) ( 1) ( 1) 9- + + + - =
Baøi 15. A(2;1;1)
B(0; 1;3)-
x y
y z
3 2 11 0
3 8 0
ì - - =
+ - =
x y z 1 0+ - + =
Baøi 16.
í
î
( )S 0;0;2 2

d SA BM
2 6
( , ) =
3 S ABMN S ABM S AMNV V V
2 2 2
. . . 2
3 3
= + = + =
Baøi 17.
x t
y t
z t
3 2
1
1 4
ì = - +
= -í
ï = - +
ï
D
î
D
x y z4 2 4
3 2 1
+ + -
= =
-
Baøi 18.
a b 4+ =
x y z 2 0+ + - =
ab
d B C AC
a b
1 1
2 2
( , ) =
+
max 2 2d khi a b= = =
x y z2 2 2
( 1) ( 1) 1- + + - =
Baøi 19.
( )A 0;0; 21
Baøi 20.
( )A 2; 1;0- -
( )B 2; 1;0-
Baøi 21.
x y z3 6 1
2 2 1
- - -
= =
-
D
Baøi 22.
¢

bc
b c+ =
Baøi 23.
¢
Baøi 24.
2
ì + =x y 0
2 2 0x z
í
- - =î
¢
Baøi 25.
x y z1 3 3
d :
1 2 1
- + -
= = x y z2 2 9 0+ - + =
-
D D
I I1 2
ì =x t
( 3;5;7), (3; 7;1)- - y = -1
z t= +4
Baøi 26.
D
ï
ï
í
î
x y z2 2 2 576
+ + + =( 3)
25
x y z+ - + =4 2 12 0
17
2
Baøi 27.
x y z1 2 1
3 1 2
- + +
= =
-
x y zì + - - =2 0
x y+ - =3 12 0
í
î
x y z15 11 17 10 0+ - - =
Baøi 28.

y z 0- = M
2 2 2
; ;
3 3 3
æ ö
ç ÷
è ø
x y z2 2 2
+ - + - =( 1) ( 1) 2
Baøi 29.
x y z2 2 2
( 1) ( 2) ( 2) 9- + - + - =
Baøi 30.
x y z
1d :
1 1 2
ì = - -x t1 2
= = d y t: =
z t= +1
ï
2
î
x y z 0- + =
í
ï
2
M N
4 4 8 1 4 3
; ; , ; ;
7 7 7 7 7 7
æ ö æ ö
-ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Baøi 31.
x y z2 2 – 1 0+ + =
x y z1 1 5
2 1 6
- - -
= =
-
x y z+ + - =4 10 0
Baøi 32.
x y z2 2 2
( 1) ( 2) ( 2) 9- + - + - =
2 5
3
Baøi 33.
d
d 2
1
2
2
=
Baøi 34.
¢ ¢ ¢ ¢ ¢
¢
¢ a
1
cos =
6
a

1
2 2
x y z2 1 0- + - = x y z- - + =2 1 0
Baøi 35.
x y z1 1
2 1 1
- +
x t
= = y t
-
1
z t
ì = +
= - -1 2
= +2
ï
ï
í
î
x y z+ + - =3 5 13 0
Baøi 36.
x y z2 2 3
2 1 1
- + -
= =
-
x y z1 1 1
1 2 1
- - +
= =
-
¢
D
¢ D
x y z1 2 3
1 3 5
- - -
= =
- -
Baøi 37.
¢ ¢ ¢ ¢
¢ ¢
¢ ¢ ¢
y z 0- =¢
ì + + - =x y z 4 0
y z- = 0
Baøi 38.
x y z3 2 4 0+ - + =
í
î
K
1 1 3
; ;
4 2 4
æ ö
-ç ÷
è ø
Baøi 39. D D
ì = +x t1
D y t= - -1 D
z = 2
ï
ï
í
î
x y z3 1
1 2 1
- -
= =
-
D D
D D
x y z 2 0+ - + =
Baøi 40.
x y z2 5 0+ - + =
¢ ¢
ì - + + =2 2 5 0x y z
2 3 4 0x y z- + - =
í x y z x y z
î
2 2 2
+ + - - - =2 2 4 0
Baøi 41.
x y z4 3 11 26 0- + - =
x y z3 1
1 2 3
- +
= =
-
x y z4 3
1 1 2
- -
= =

D
D
x y z2 7 5
5 8 4
+ - -
= =
- -
Baøi 42.
D
D
x y z
6 3 4
= = x y z- + + = x y z6 3 4 0 6 3 4 0+ - =
Baøi 43.
x y z1 2
2 1 1
- +
ì = - +x t1 2
= = y t= +1
-
x y z7 4 0+ - =
ï
z 3=
í
ïî
x y z2 1
7 1 4
- +
= =
-
Baøi 44.
x y z x y z2 2 2
+ + - + + - = x y z2 4 2 3 0 2 2 14 0- + - =
y z- =2 0
Baøi 45.
D
x y z1 2
1 1 2
- +
= =
-
D MA MB2 2
+
x y z2 2
d :
2 1 1
- -
= =
-
Baøi 46.
x y z2 1 0- + + =
Î
x y z2 5 11 0+ + - =
Baøi 47.
ì - + =6 3 2 0x y z
6 3 2 24 0x y z+ + - =
D
í
î
D
ì + + - =6 3 2 12 0x y z
3 3 0x y z- + =
í
î
Baøi 48.

x y z 0+ + =
Î
Baøi 49.
x y+ =2 – 9 0
º
x y z
1
2 3 3
+ + =
x y z2
1
2 3 6
- - =
Baøi 50.
x y z3 2 1
2 1 1
- + +
= = x y z 2 0+ + + =
-
D D ^
D 42
D
x y z5 2 5
2 3 1
- + +
= =
-
D
x y z3 4 5
2 3 1
+ + -
= =
-
Baøi 51.
x y z– 2 2 –1 0+ =
x y z
1d
1 3
:
2 3 2
- -
= =
-
x y z
2d
5 5
:
6 4 5
- +
= =
-
^
Î Î
x y z2 2 8 0+ + - =
Baøi 52.
x y z1 2
2 1 2
- -
= =
a a
x y z- + - =4 3 0
Baøi 53.
x y z2 2 3 0+ + - =
x y z+ - + =2 4 6 0
Baøi 54.
x y z x y z
a
2 2 2
+ + - - - =3 3 3 0
Baøi 55.

P y z( ): 0- =
2 2 2
, ,
3 3 3
M
æ ö
ç ÷
è ø
( ) ( )
2 22
x y z+ - + - =1 1 2
Baøi 56.
x y z2 2 2
( 1) ( 2) ( 2) 9- + - + - = A ( 2;4;4)-
Baøi 57.
1
x y z
1 :
1 1 2
1 2
d = = :
x t
2
1
ì
d y t
z t
= - -
=í
ï = +
ï
î
0x y z- + = 2
M N
4 4 8 1 4 3
; ; , ; ;
7 7 7 7 7 7
æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷-
è ø è ø
Baøi 58.
2 2 1 0x y z+ - + =
.
x y z1 1 5
d :
2 1 6
- - -
= =
-
M (1; 2; 1)- - 4 10 0x y z+ + - = .
Baøi 59.
1
S x y z2 2 2
( ) :( 1) ( 2) ( 2) 9- + - + - = KN
2 5
3
= .
Baøi 60.
d 2
d 2
1
2
= .
Baøi 61.
x y z 1
1 1 2
-
= =
-

x y z- + - = M(1; 1;3)-2 6 0 M
5 5 7
; ;
3 3 3
æ ö
- -ç ÷
è ø
Baøi 62.
x y z2 2 4 0- - - =
x y z x y z
.
2 2 2
+ + - - - - =2 4 6 11 0
x y z- + - =2 2 1 0
D
x y z1 9
1 1 6
+ +
= = D
x y z1 3 1
2 1 2
- - +
= =
-
D D
M
18 53 3
; ;
35 35 35
æ ö
ç ÷
è ø
Baøi 63.
x y z- + - =2 2 5 0
P x y z( ): 4 2 7 15 0+ + - = x z2 3 5 0+ - =
x y z3 1
:
26 11 2
D
+ -
= =
-
Baøi 64.
x y z 20 0+ + - =
D
x y z2 2
1 1 1
+ -
= =
-
x y z+ - + =2 3 4 0
D
D
5 1
; ; 1
2 2
æ ö
-ç ÷
è ø
ì = - +x t3
d y t: 1 2= -
z t= -1
ï
ï
í
î
Baøi 65.
x y z+ + + =2 3 4 0
x y z3 2 1 0+ - + =
D
ì = - +x t1
x y z4 5 2 1 0- + - = y t= +3
z = -4
Baøi 66.
D
D
ï
ï
í
î
x y z1 2
2 1 1
- +
= =
-
x y z- + = D D2 0

6
D
x y z2 2 5
2 3 2
+ - +
= = D
D
( , ) 3= S x y zd M P( ,( )) = d A
1
6
D 2 2 2
( ) : ( 2) 25+ + + =
Baøi 67.
y z 1 0- + =
1
3
D
x y z1
2 1 2
-
= =
D
b c= =
1
2
Baøi 68.
x y z 3 0+ + - =
x y z 1 0- + - =
ì = +x t3
D y t= D
z t=
ï
ï
í
î
x y z2 1
2 1 2
- -
= = D D
x z 2 2 0- ± =
Baøi 69.
x y z 4 0+ + + =
H( 1; 4;1)- -
AB
x y z2 2 2 1
( 4) ( – 3) ( 2)+ + + + =
3
x y z2 2 2 1
( 6) ( 5) ( 4)+ + - + + =
3
z-
= =
-
x y z2 2 2 0- + - =
x y+ = M(0;1;0)2 – 2 0

BAI TAP HINH HOC 12 NĂM 2013 - 2014 HOANG THAI VIET

Recommended

Recommended

More Related Content

More from Hoàng Thái Việt

More from Hoàng Thái Việt (20)

BAI TAP HINH HOC 12 NĂM 2013 - 2014 HOANG THAI VIET