Bài tập và đáp án môn nguyên lý thống kê

HUỲNH BÁ HỌC 1/24 BÀI TẬP MÔN NGUYÊN LÝ THỐNG KÊ
BÀI TẬP MÔN NGUYÊN LÝ THỐNG KÊ
Các bài tập này phần lớn do tôi tự giải. Vì khả năng có hạn nên dĩ nhiên các bài giải sẽ
không tránh được sai sót. Nếu ai đó đọc được tài liệu này, nhận ra chỗ nào chưa ổn,
hãy liên lạc với tôi qua email: nguyen123765@yahoo.com.vn. Hi vọng với sự đóng góp
của tôi sẽ có ích cho các bạn
Bài 1. Có một hộp chứa 3 quả cầu màu xanh, 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu vàng. Lấy
ngẫu nhiên 1 quả. Tính xác suất để quả cầu lấy ra là quả cầu màu đỏ?
Giải
- Gọi A là biến cố quả cầu lấy ra là quả cầu màu đỏ. Xác suất:
3
1
12
4
)( 1
12
1
4

C
C
AP
Bài 2: Một thùng gồm 10 viên bi, trong đó có 3 viên bi đen và 7 viên bi trắng. Lấy ngẫu
nhiên 1 viên bi từ thùng.
a. Tìm xác suất để viên bi lấy ra là viên bi trắng?
b. Lấy ngẫu nhiên (1 lần) 4 viên bi từ thùng. Tìm xác suất để trong 4 viên bi này có đúng
2 viên bi trắng?
Giải
a. Tìm xác suất để viên bi lấy ra là viên bi trắng.
- Số kết quả đồng khả năng xảy ra: 101
10 C
- Gọi A là biến cố viên bi lấy ra là bi trắng.
- Số kết quả thuận lợi cho A xảy ra: 71
7 C
- Xác suất bi lấy ra là bi trắng: 7,0
10
7
)( AP
b. Lấy ngẫu nhiên (1 lần) 4 viên bi từ thùng. Tìm xác suất để trong 4 viên bi này có đúng
2 viên bi trắng.
- Gọi B: Biến cố 4 bi lấy ra có đúng 2 viên bi trắng.
- Xác suất để trong 4 viên bi lấy ra có đúng 2 viên bi trắng:
10
3
210
63
210
321
)( 4
10
2
3
2
7





C
CC
BP
Bài 3. Có một hộp có chứa 7 bi đỏ và 5 bi xanh. Có bao nhiêu cách lấy:
a. 3 bi đỏ và 1 bi xanh?
b. Ít nhất 1 bi đỏ? (Có bao nhiêu cách lấy sao cho được nhiều nhất 3 bi xanh?)
Giải
a. 3 bi đỏ và 1 bi xanh
- Gọi A: Biến cố 4 bi lấy ra có 3 bi đỏ và 1 bi xanh. )(1755351
5
3
7 CáchCCA 
b. Ít nhất 1 bi đỏ
- Gọi B: Biến cố 4 bi lấy ra có ít nhất 1 bi đỏ.   )(490)15(4950
7
4
5
4
12 CáchCCCB 
Bài 4. Trong một thùng đựng 20 quả cầu, được đánh số từ 1 đến 20.
Lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu. Tính xác suất để:
a. Quả cầu lấy ra là quả cầu số chẵn?
b. Quả cầu lấy ra là quả cầu chia hết cho 3?
Giải
a. Quả cầu lấy ra là quả cầu số chẵn

- Tổng số chẵn từ 1 đến 20: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.
- Có 10 số chẵn và tổng số lẻ: 20-10=10.
- Gọi A là biến cố quả cầu lấy ra là quả cầu số chẵn.
- Tính xác suất:
2
1
20
110
)( 1
20
0
10
1
10





C
CC
AP
b. Quả cầu lấy ra là quả cầu chia hết cho 3
- Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
- Từ 1 đến 20 có 6 số chia hết cho 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18 và có 20-6=14 số không chia hết cho 3.
- Gọi B là biến cố quả cầu lấy ra là quả cầu chia hết cho 3.
- Tính xác suất:
10
3
20
16
)( 1
20
0
14
1
6





C
CC
BP
Bài 5. Cho X = {1,2,3,4,5,6,7}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ X và sao cho:
a) Có chữ số đầu là 3?
b) Không tận cùng bằng chữ số 4?
c) Cứ 2 chữ số kề nhau là khác nhau?
d) Không được bắt đầu bằng 123?
Giải
a) Có chữ số đầu là 3
- Với chữ số đầu tiên là 3 thì các chữ số còn lại (từ 2 đến 5) đều có 7 cách chọn từ X
- Do đó số tự nhiên có 5 chữ số với chữ số đầu là 3 thì gồm có: 74
=2401 (số). (Chữ số đầu tiên
là 1 cách).
b) Không tận cùng bằng chữ số 4
- Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số bất kỳ (gồm cả các số có tận cùng bằng 4).
- Gọi B là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số có số tận cùng bằng 4.
- Gọi C là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số mà số tận cùng khác 4.
Khi đó:
+ A = 75
= 16.807
+ Nếu số tận cùng là 4 thì đã có 1 cách. Vì vậy 4 chữ số còn lại, mỗi chữ sẽ có 7 cách. Áp dụng
quy tắc nhân ta tính như sau: B=74
=2401 (số).
+ Như đã phân tích, ta có: A=B+C → C=A-B=16807-2401=14.406 (số).
c) Cứ 2 chữ số kề nhau là khác nhau
Xét n=X1x2x3x4x5
Chữ đầu tiên có 7 cách chọn, theo đề bài số kề nhau phải khác nhau nên số liền kề phải khác
số liền trước, vậy x2 có 7-1=6 cách chọn, x3 phải khác x2 nhưng không khác x1, x3 có 7-1=6
cách, suy luận tương tự ta có được x4 có 6 cách, x5 cũng có 6 cách.
Vậy áp dụng quy tắc nhân ta tính như sau: 7x64
=9072 (số).
d) Không được bắt đầu bằng 123
- Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số bất kỳ (gồm cả các số bắt đầu bằng 123).
- Gọi B là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số bắt đầu bằng 123.
- Gọi C là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số mà các số không được bắt đầu bằng 123.
→ C=A-B.
Theo kết quả câu a. ta có A=16.807, tính B?
Vì các số tự nhiên bắt đầu bằng 123 nên ta chỉ xét các số thứ 4 và 5. Vì đề bài không yêu cầu
điều kiện nên số thứ 4 có 7 cách, thứ 5 cũng có 7 cách. Vậy B=7x7=49 (số)
- Vậy C=A-B = 16.807 – 49 = 16.758 (số).
Bài 6. Một nhóm có 10 ứng cử viên để chọn vào 3 vị trí: Trưởng, Phó và Thư ký.
a. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 người để xếp vào 3 vị trí trên?
b. Có bao nhiêu cách bổ nhiệm 3 người vào 3 vị trí trên?

Giải
a. Cách chọn ra 3 người để xếp vào 3 vị trí trên
- Theo đề bài ta chỉ việc chọn ra 3 người mà không xét đến vị trí của họ nên. Như vậy cách lấy
ở đây là cách lấy theo kiểu tổ hợp (không xét đến vị trí, thứ tự).
- Số cách chọn: )(1203
10 cáchC 
b. Cách bổ nhiệm 3 người vào 3 vị trí trên
- Việc bổ nhiệm sẽ xét đến vị trí của 3 người. Cách lấy như vậy là lấy theo kiểu chỉnh hợp.
- Số cách bổ nhiệm: )(7203
10 cáchA 
Bài 7. Một hộp đựng 6 bi đỏ, 4 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 6 bi. Tính xác suất để:
a. Cả 6 bi đều là bi đỏ?
b. Có 4 bi đỏ, 2 bi vàng?
c. Có ít nhất 2 bi vàng?
Giải
a. Cả 6 bi đều là bi đỏ:
10 C
- Gọi A là biến cố 6 viên bi lấy ra là bi đỏ.
6 C
- Xác suất 6 bi lấy ra đều là bi đỏ:
210
1
)( AP
Tính nhanh như sau:
210
1
210
11
)( 6
10
0
4
6
6





C
CC
AP
b. Có 4 bi đỏ, 2 bi vàng:
10 C
- Gọi B là biến cố 6 bi lấy ra có 4 bi đỏ và 2 bi vàng: 902
4
4
6  CCB
- Xác suất cần tìm:
7
3
210
90
)( BP
Tính nhanh như sau:
7
3
210
90
210
615
)( 6
10
2
4
4
6





C
CC
BP
c. Có ít nhất 2 bi vàng:
Cách giải 1:
Vì 6 bi lấy ra có ít nhất 2 bi vàng, nghĩa là số bi vàng lấy ra sẽ giao động từ 2 bi vàng đến 4 bi
vàng (số bi vàng tối đa). Vì vậy sẽ có 3 trường hợp xảy ra như sau:
- Trường hợp 1: 2 bi vàng được lấy ra khi đó số bi đỏ sẽ là 4 bi.
+ Gọi C là biến cố 2 bi vàng được lấy ra:
7
3
210
156
)( 6
10
4
6
2
4





C
CC
CP
- Trường hợp 2: 3 bi vàng được lấy ra khi đó số bi đỏ sẽ là 3 bi:
+ Gọi D là biến cố 3 bi vàng được lấy ra:
21
8
210
204
)( 6
10
3
6
3
4





C
CC
DP
- Trường hợp 3: 4 bi vàng được lấy ra khi đó số bi đỏ sẽ là 2 bi:
+ Gọi E là biến cố 4 bi vàng được lấy ra:
14
1
210
151
)( 6
10
2
6
4
4





C
CC
EP
Gọi F là biến cố 6 bi lấy ra có ít nhất 2 bi vàng:
42
37
14
1
21
8
7
3
)()()()(  EPDPCPFP
Cách giải 2:

Ta dùng biến cố đối lập
- Gọi A là biến cố 6 bi lấy ra có ít nhất 2 bi vàng;
Tính P(A)?
      
42
37
210
185
210
)11()46(210
)( 6
10
0
4
6
6
1
4
5
6
6
10





C
CCCCC
AP
Bài 8. Có một hộp có 6 bi đỏ 4 bi xanh, lấy ngẫu nhiên ra 1 bi, tìm xác suất bi lấy ra là bi
đỏ.
Giải
10 C
- Gọi A là biến cố bi lấy ra là bi đỏ.
6 C
- Xác suất bi lấy ra là bi đỏ: 6,0
10
6
)( AP
Bài 9. Một hộp có 6 bi đỏ, 4 bi xanh, lấy ngẫu nhiên ra 4 bi. Tìm xác suất 4 bi lấy ra có 2 bi
đỏ và 2 bi xanh.
Giải
10 C
- Gọi A là biến cố 4 bi lấy ra có 2 bi đỏ và 2 bi xanh: 902
4
2
6  CCA
7
3
210
90
)( AP
Bài 10. Một cái hộp đựng 16 viên bi gồm 7 trắng, 6 đen và 3 đỏ. Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi.
Tính xác suất để được 5 viên trắng, 3 viên đen và 2 viên đỏ.
Giải
- Số kết quả đồng khả năng xảy ra: 008.810
16 C
- Gọi A là biến cố 10 bi lấy ra có 5 viên trắng, 3 viên đen và 2 viên đỏ: 260.12
3
3
6
5
7  CCCA
286
45
8008
1260
)( AP
Bài 11. Một công ty cần tuyển 4 nhân viên, có 15 ứng cử viên, trong đó có 10 nam và 5
nữ. Khả năng được tuyển của mỗi người như nhau. Tính xác suất để có kết quả 4 người
được tuyển gồm 2 nam 2 nữ?
Giải
15 C
- Gọi A là biến cố kết quả tuyển được 4 người gồm 2 nam 2 nữ: 4502
5
2
10  CCA
- Xác suất:
91
30
1365
450
)( AP
Bài 12. Một công ty cần tuyển 2 nhân viên. Có 6 người nộp đơn trong đó có 4 nữ và 2
nam. Giả sử khả năng trúng tuyển của cả 6 người là như nhau. Tính xác suất biến cố.
a. 2 người trúng tuyển là nam?

b. 2 người trúng tuyển là nữ?
c. Có ít nhất 1 nữ trúng tuyển?
Giải
a. 2 người trúng tuyển là nam
- Gọi A là biến cố 2 người trúng tuyển là nam. Xác suất:
15
1
)( 2
6
0
4
2
2



C
CC
AP
b. 2 người trúng tuyển là nữ
- Gọi B là biến cố 2 kết quả trúng tuyển là nữ. Xác suất:
5
2
)( 2
6
2
4
0
2



C
CC
BP
c. Có ít nhất 1 nữ trúng tuyển
- Gọi C là biến cố kết quả trúng tuyển có ít nhất 1 nữ:
   
15
14
15
1115
)( 2
6
0
4
2
2
2
6





C
CCC
CP
Bài 13. Một hộp có 6 bi đỏ và 4 bi xanh, lấy cùng lúc ra 3 bi.
a. Tìm xác suất 3 bi lấy ra cùng màu?
b. Xác suất 3 bi lấy ra có ít nhất một bi đỏ?
Giải
a. Gọi:A là biến cố 3 bi lấy ra đều là bi đỏ.
B là biến cố 3 bi lấy ra đều là bi xanh.
C là biến cố 3 bi lấy ra cùng màu.
Vì 3 bi lấy ra phải cùng màu nên 3 bi lấy ra hoặc là 3 bi đỏ hoặc là 3 bi xanh nên hai biến cố A
và B xung khắc nhau.
Khi đó: )()()()( BPAPBAPCP 
Tính P(A):
6
1
120
20
)( 3
10
3
6

C
C
AP ; Tính P(B):
30
1
120
4
)( 3
10
3
4

C
C
BP
Vậy xác suất cần tìm là: 2,0
5
1
30
1
6
1
)()(  BPAP
b. Xác suất 3 bi lấy ra có ít nhất 1 bi đỏ
Cách 1:
Vì 3 bi lấy ra có ít nhất 1 bi đỏ, nghĩa là số bi đỏ lấy ra sẽ giao động từ 1 bi đỏ (ít nhất) đến 3 bi
đỏ (nhiều nhất). Vì vậy sẽ có 3 trường hợp xảy ra như sau:
- Trường hợp 1: 1 bi đỏ được lấy ra khi đó số bi xanh sẽ là 2 bi.
+ Gọi C là biến cố 1 bi đỏ được lấy ra:
10
3
120
66
)( 3
10
2
4
1
6





C
CC
CP
- Trường hợp 2: 2 bi đỏ được lấy ra khi đó số bi xanh sẽ là 1 bi:
+ Gọi D là biến cố 2 bi đỏ được lấy ra:
2
1
120
415
)( 3
10
1
4
2
6





C
CC
DP
- Trường hợp 3: 3 bi đỏ được lấy ra khi đó số bi xanh sẽ là 0 bi:
+ Gọi E là biến cố 3 bi đỏ được lấy ra:
6
1
120
120
)( 3
10
0
4
3
6





C
CC
EP
Gọi F là biến cố 3 bi lấy ra có ít nhất 1 bi đỏ:
30
29
6
1
2
1
10
3
)()()()(  EPDPCPFP
Cách 2:
- Gọi E là biến cố 3 bi lấy ra có ít nhất 1 bi đỏ.

- Gọi Ē là biến cố 3 bi lấy ra toàn xanh. Tức Ē là biến cố đối lập của E.
Khi đó: P(E) = 1 – P(Ē )
Tính P(Ē)? P(Ē)
30
29
30
1
1)(
30
1
120
4
3
10
3
4
 EP
C
C
Bài 14. Phòng kinh doanh công ty A có 7 nam, 5 nữ. Bây giờ cần lập một nhóm 6 người
đi dự họp trong công ty.
a. Có bao nhiêu cách lập?
b. Trong nhóm có 4 nam và 2 nữ?
Giải
a. Có bao nhiêu cách lập
- Số cách lập một nhóm có 6 người đi dự họp: )(9246
12 CáchC 
b. Trong nhóm có 4 nam và 2 nữ
- Số cách lập một nhóm có 6 người đi dự họp trong đó có 4 nam và 2 nữ: )(3502
5
4
7 CáchCC 
Bài 15. Một tổ học sinh gồm 9 nam và 3 nữ. Giáo viên chọn 4 học sinh dự đại hội trường.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:
a. Chọn học sinh nào cũng được?
b. Trong đó có đúng 1 học sinh nữ được chọn?
c. Trong đó có ít nhất 1 học sinh nữ được chọn?
Giải
a. Số cách chọn 4 học sinh bất kỳ từ 12 học sinh (9 nam và 3 nữ): 4954
12 C
b. Số cách chọn mà trong đó có đúng 1 học sinh nữ được chọn: 2523
9
1
3 CC
c. Số cách chọn mà trong đó có ít nhất 1 học sinh nữ được chọn:
Cách 1:
  )(3690
3
4
9
4
12 CáchCCC 
Cách 2:
Vì 4 học sinh được chọn có ít nhất 1 học sinh nữ, nghĩa là số học sinh nữ được chọn sẽ giao
động từ 1 học sinh nữ (ít nhất) đến 3 học sinh nữ (tối đa). Vì vậy sẽ có 3 trường hợp xảy ra như
sau:
- Trường hợp 1: 1 học sinh nữ được chọn khi đó số học sinh nam sẽ là 3 học sinh.
9
1
3 CáchCC 
9
2
3 CáchCC 
9
3
3 CáchCC 
Vậy số cách chọn mà trong đó ít nhất 1 học sinh nữ được chọn: )(3699108252 Cách
Bài 16. Cho đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất sau:
X 1 3 5
P 0,1 0,4 0,5
Tìm phương sai của X?
Giải
- Xác định kỳ vọng: 8,35,054,031,01)( XE

- Tìm phương sai của X:
Ta có 44,148,3)]([8,3)( 22
 XEXE ; 2,165,054,031,01)( 2222
XE
Vậy: 76,144,142,16)]([)()( 22
 XEXEXV
Bài 17. Trong một hộp bịt kín đựng 14 cây bút. Trong đó có 8 bút xanh, 6 bút đen. Lấy
ngẫu nhiên 1 lần 2 cây. Gọi X là số cây bút màu xanh lấy được.
a. X có phải là đại lượng ngẫu nhiên không?
b. Lập bảng phân phối xác suất tương ứng?
Giải
a. X có phải là đại lượng ngẫu nhiên?
Theo định nghĩa ta có: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng biến đổi biểu thị các giá trị kết quả
của một phép thử ngẫu nhiên.
Có 3 trường hợp xảy ra như sau:
- Trường hợp 1: X=0; 2 cây lấy ra là đen. 165,0
91
15
91
151
)0( 2
14
2
6
0
8





C
CC
P
- Trường hợp 2: X=1; 1 cây lấy ra là đen. 527,0
91
48
91
68
)1( 2
14
1
6
1
8





C
CC
P
- Trường hợp 3: X=2; 0 cấy lấy ra là đen. 3,0
91
28
91
128
)2( 2
14
0
6
2
8





C
CC
P
Kết luận: X là đại lượng ngẫu nhiên.
b. Lập bảng phân phối xác suất tương ứng
x 0 1 2
P(x) 0,165 0,527 0,3
Bài 18. Có một hộp chứa 10 viên bi, trong đó có 6 viên bi trắng và 4 viên bi đen. Chọn
ngẫu nhiên từ hộp 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm trắng trong 2 sản phẩm chọn ra.
a. Tìm luật phân phối của X?
b. Kỳ vọng của X?
c. Phương sai của X?
d. Độ lệch chuẩn của X?
Giải
a. Tìm luật phân phối của X
Ta thấy X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 0, 1, 2. Vậy sẽ có 3 trường hợp xảy
ra như sau:
T. HỢP BI TRẮNG (X) BI ĐEN (2-X) XÁC SUẤT
1 0 2
15
2
)0( 2
10
2
4
0
6



C
CC
XP
2 1 1
15
8
)1( 2
10
1
4
1
6



C
CC
XP
3 2 0
3
1
)2( 2
10
0
4
2
6



C
CC
XP
Bảng phân phối xác suất của X:
X 0 1 2
P(X) 2/15 8/15 1/3
b. Kỳ vọng của X

Xác định kỳ vọng: 2,1
3
1
2
15
8
1
15
2
0)( XE
c. Phương sai của X
Xác định phương sai: Ta có 44,12,1)]([2,1)( 22
 XEXE
3
1
2
15
8
1
15
2
0)( 2222
XE
Do đó: 4267,044,1
3
1
2
15
8
1
15
2
0)]([)()( 22222






 XEXEXV
d. Độ lệch chuẩn của X: 6532,04267,0)()(  XVX
Bài 19. Một nhóm có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên ra 3 người. Gọi X là
số nữ ở trong nhóm. Lập bảng phân phối xác suất của X và tính E(X), V(X), mod(X)?
Giải
X là số nữ ở trong nhóm, X lúc này giao động từ từ 0 đến 3 trong mỗi lần chọn ra. Vậy sẽ có 4
trường hợp xảy ra như sau:
T. HỢP SỐ NỮ (X) SỐ NAM (3-X) XÁC SUẤT
1 0 3
6
1
120
20
120
201
)0( 3
10
3
6
0
4





C
CC
XP
2 1 2
2
1
120
60
120
154
)1( 3
10
2
6
1
4





C
CC
XP
3 2 1
10
3
120
36
120
66
)2( 3
10
1
6
2
4





C
CC
XP
4 3 0
30
1
120
4
120
14
)3( 3
10
0
6
3
4





C
CC
XP
X 0 1 2 3
P(X) 1/6 1/2 3/10 1/30
30
1
3
10
3
2
2
1
1
6
1
0)( XE
 XEXE
2
30
1
3
10
3
2
2
1
1
6
1
0)( 22222
XE
Do đó: 56,044,12)]([)()( 22
Mod(X): Mod(X) = 1 Vì P(x=1) = 1/2 (lớn nhất).
Bài 20. Thống kê về doanh thu của một nhà sách trong năm có các thông số sau:
Doanh thu ĐVT: triệu đồng 15 17 20 23 24 27 29
Số ngày 35 40 45 51 52 69 65
Ghi chú: 7 ngày Tết nhà sách nghỉ.
a. Lập bảng phân phối xác suất doanh thu nhà sách/ngày?
b. Tính giá trị kỳ vọng?
c. Tính phương sai, mốt?
d. Nhận xét kết quả trên?
Giải

a. Lập bảng phân phối xác suất doanh thu nhà sách/ngày
Gọi X là số doanh thu của nhà sách/ngày.
098,0
357
35
)15(15  PX 112,0
357
40
)17(17  PX 126,0
357
45
)20(20  PX
143,0
357
51
)23(23  PX 14,0
357
52
)24(24  PX 193,0
357
69
)27(27  PX
182,0
357
65
)29(29  PX
Bảng phân phối xác suất:
X 15 17 20 23 24 27 29
P(X) 0,098 0,112 0,126 0,143 0,14 0,193 0,182
b. Tính giá trị kỳ vọng
032,23182,029193,02714,024143,023126,020112,017098,015)( XE
c. Tính phương sai, mốt
- Phương sai: 473,530032,23)]([032,23)( 22
 XEXE ;
864,554182,029193,02714,024143,023126,020112,017098,015)( 22222222
XE
Vậy: 391,24473,530864,554)]([)()( 22
- Mốt: Mod(X) = 27 Vì P(x=27) = 0,193 (lớn nhất).
- Lệch chuẩn: 9387,4391,24)()(  XVX
d. Nhận xét kết quả trên
Kết quả trên cho thấy doanh thu trung bình của nhà sách là 23,032 triệu (Giá trị kỳ vọng).
Doanh thu thấp nhất của nhà sách ở mức 15 triệu và cao nhất 29 triệu.
Ở mức 27 triệu có số ngày nhiều nhất vì xác suất cao nhất.
Bài 21. Có một hộp chứa 10 viên bi, trong đó có 6 viên màu đỏ, 4 viên màu trắng. Rút
đồng thời 4 viên bi và gọi X là số viên bi màu đỏ được rút ra. Lập luật phân phối xác suất
của X.
Giải
Gọi A là biến cố rút được 4 viên bi, X là số viên bi màu đỏ được rút ra, X lúc này giao động từ
từ 0 đến 4 trong mỗi lần rút ra. Vậy sẽ có 5 trường hợp xảy ra như sau:
T. HỢP SỐ BI ĐỎ (X) SỐ BI XANH (4-X) XÁC SUẤT
1 0 4 005,0
210
1
210
11
)0( 4
10
4
4
0
6





C
CC
XP
2 1 3 114,0
35
4
210
46
)1( 4
10
3
4
1
6





C
CC
XP
3 2 2 43,0
7
3
210
615
)2( 4
10
2
4
2
6





C
CC
XP
4 3 1 38,0
21
8
210
420
)3( 4
10
1
4
3
6





C
CC
XP
5 4 0 07,0
14
1
210
115
)4( 4
10
0
4
4
6





C
CC
XP
X 0 1 2 3 4
P(X) 0,005 0,114 0,43 0,38 0,07

Bài 22. Thống kê về lương của 400 cán bộ GV trường Đại học A có số liệu sau:
Lương (triệu đồng) 1,5 1,8 2 2,2 2,4 3 4
Số người 16 50 160 100 40 24 10
a. Lập bảng phân phối xác suất?
b. Tính các giá trị kỳ vọng?
c. Mốt, phương sai, lệch chuẩn?
Giải
a. Lập bảng phân phối xác suất
Gọi x là số lương của cán bộ GV trường Đại học A.
04,0
400
16
)5,1(5,1  PX 125,0
400
50
)8,1(8,1  PX 4,0
400
160
)2(2  PX
25,0
400
100
)2,2(2,2  PX 1,0
400
40
)4,2(4,2  PX 06,0
400
24
)3(3  PX
025,0
400
10
)4(4  PX
Bảng phân phối xác suất:
X 1,5 1,8 2 2,2 2,4 3 4
P(X) 0,04 0,125 0,4 0,25 0,1 0,06 0,025
b. Tính các giá trị kỳ vọng:
155,2025,0406,031,04,225,02,24,02125,08,104,05,1)( XE
c. Mốt, phương sai, lệch chuẩn:
- Mốt: Mod(X) = 2 Vì P(x=2) = 0,4 (lớn nhất).
- Phương sai: 644,4155,2)]([155,2)( 22
 XEXE ;
821,4025,0406,031,04,225,02,24,02125,08,104,05,1)( 22222222
XE
Vậy: 177,0644,4821,4)]([)()( 22
- Lệch chuẩn: 42,0177,0)()(  XVX
Bài 23. Một hộp chứa 12 bi gồm 8 bi đỏ và 4 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp ra 4 bi. Gọi
X là số bi đỏ có trong 4 bi chọn ra. Hãy tìm luật phân phối của X và xác định kỳ vọng,
phương sai của X.
Giải
X giao động từ từ 0 đến 4 trong mỗi lần rút ra. Vậy sẽ có 5 trường hợp xảy ra như sau:
T. HỢP SỐ BI ĐỎ (X) SỐ BI XANH (4-X) XÁC SUẤT
1 0 4
495
1
495
11
)0( 4
12
4
4
0
8





C
CC
XP
2 1 3
495
32
495
48
)1( 4
12
3
4
1
8





C
CC
XP
3 2 2
495
168
495
628
)2( 4
12
2
4
2
8





C
CC
XP
4 3 1
495
224
495
456
)3( 4
12
1
4
3
8





C
CC
XP
5 4 0
495
70
495
170
)4( 4
12
0
4
4
8





C
CC
XP

X 0 1 2 3 4
P(X) 1/495 32/495 168/495 224/495 70/495
495
70
4
495
224
3
495
168
2
495
32
1
495
1
0)( XE
 XEXE
7576,7
495
70
4
495
224
3
495
168
2
495
32
1
495
1
0)( 222222
XE
Do đó: 644711,0112889,77576,7)]([)()( 22
LÝ THUYẾT:
1. Xác định số tổ và khoảng cách tổ:
- Lượng biến thiên biến thiên lớn: ta phân tổ có khoảng cách tổ và mỗi tổ có 2 giới hạn:
- Giới hạn dưới: lượng biến nhỏ nhất của tổ: (Xmin).
- Giới hạn trên: lượng biến lớn nhất của tổ: (Xmax).
- Khoảng cách tổ: mức độ chênh lệch giữa 2 giới hạn: h.
a. Phân tổ có khoảng cách tổ đều:
- Đối với lượng biến liên tục: các trị số lấp kín 1 khoảng [a,b]
Khoảng cách tổ:
k
XX
h minmax 
 ; Số tổ: 3/1
)2( nk  ; n: Tổng số đơn vị
Ví dụ: Năng suất lúa bình quân 1 ha gieo trồng của các hộ trồng lúa trong 1 xã biến động đều
đặn từ 30 đến 70 tạ/ha. Nếu định chia thành 5 tổ thì khoảng cách tổ là:
8
5
3070minmax





k
XX
h (tạ/ha)
Các tổ được hình thành như sau:
1. Từ 30 đến 38 tạ/ha
- Đối với lượng biến rời rạc: nhận một số hữu hạn và đếm được các trị số cách rời nhau.
k
kXX
h
)1(minmax 

b. Phân tổ có khoảng cách không đều
Áp dụng khi lượng biến thiên không đều đặn hoặc với mục đích đánh giá quy mô, mức độ theo
các loại, tiêu chuẩn đã được đặt ra:
h
f
m 
Trong đó: m: mật độ phân phối; f: tần số; h: trị số khoảng cách tổ
NSLĐ (chiếc) Số CN (f) h m = f/h
30 – 40 30 10 3
40 – 50 50 10 5
50 – 70 80 20 4
70 – 75 35 5 7
2. Tần số, tần suất
a. Tần số
Tần số là số lần xuất hiện của mỗi giá trị (xi) trong mỗi số liệu.
b. Tần suất
Tần suất fi của giá trị xi là tỉ số giữa tần số ni và kích thước mẫu N:
N
n
f i
i  Với N bằng tổng tần số.

BÀI TẬP:
Bài 24. Thống kê về sản lượng (tạ/ha) của ND huyện Diên Khánh có các thông số sau:
35 41 32 44 33 41 38 44 43 42
30 35 35 43 48 46 48 49 39 49
46 42 41 51 36 42 44 34 46 34
36 47 42 41 37 47 49 38 41 39
40 44 48 42 46 52 43 41 52 43
a. Phân năng suất trên thành các tổ khoảng cách hợp lý?
b. Lập bảng tần số, tần suất?
c. Nhận xét?
Giải
a. Phân năng suất trên thành các tổ khoảng cách hợp lý
n: 50; Số tổ: 5)502( 3/1
k ; Khoảng cách tổ: 5
5
3052


h
Các tổ được hình thành như sau:
TỔ
SẢN
LƯỢNG (xi)
TẦN
SỐ (ni)
TẤN SUẤT
(fi)
c. Nhận xét
- Ở mức sản lượng 40 đến 45 tạ/ha chiếm tần
suất cao nhất.
- Ở mức sản lượng 50 đến 55 tạ/ha chiếm tần
suất thấp nhất.
0
5
10
15
20
TỔ
30 – 35
35 – 40
40 – 45
45 – 50
50 – 55
I 30 – 35 8 8/50 = 16%
II 35 – 40 8 8/50 = 16%
III 40 – 45 19 19/50 = 38%
IV 45 – 50 12 12/50 = 24%
V 50 – 55 3 3/50 = 6%
TỔNG 50 100%
Bài 25. Có tài liệu về bậc thợ của các công nhân trong một xí nghiệp như sau:
1 3 2 4 3 1 2 7 1 3 4 3 2 4
2 4 3 5 6 2 6 3 3 4 3 2 4 3
1 4 3 1 2 3 1 3 4 2 3 4 1 6
2 4 3 5 1 4 2 6 3 5 4 2 1 3
3 4 5 1 3 3 5 3 2 4 3 5 4 1
5 4 3 5 2 3 6 4 5 6 7 1 4 1
a. Căn cứ vào bậc thợ, hãy phân công nhân trên thành 7 tổ có khoảng cách đều nhau?
b. Biểu diễn kết quả lên đồ thị?

Giải
a. Căn cứ vào bậc thợ, hãy phân công nhân trên thành 7 tổ có khoảng cách đều nhau
n: 84; Số tổ: k = 7; Khoảng cách tổ: 0
7
)17(17


h
TỔ
BẬC THỢ
(xi)
TẦN SỐ
(ni)
TẤN SUẤT
(fi)
c. Nhận xét
- Ở bậc 3 chiếm tần suất cao nhất fi = 27,38%.
- Ở bậc 7 chiếm tần suất thấp nhất fi = 2,39%.
b. Biểu diễn kết quả lên đồ thị
0
5
10
15
20
25
BẬC I
BẬC II
BẬC III
BẬC IV
BẬC V
BẬC VI
BẬC VII
I 1 13 13/84 = 15,48%
II 2 13 13/84 = 15,48%
III 3 23 23/84 = 27,38%
IV 4 18 18/84 = 21,43%
V 5 9 9/84 = 10,7%
VI 6 6 6/84 = 7,14%
VII 7 2 2/84 = 2,39%
TỔNG 84 100%
Bài 26. Có tài liệu ghi lại được số nhân viên bán hàng của 40 cửa hàng thương mại trong
một thành phố ở một kỳ báo cáo như sau:
25 24 15 20 19 10 5 24 18 14
7 4 5 9 13 17 1 23 8 3
16 12 7 11 22 6 20 4 10 12
21 15 5 19 13 9 14 18 10 15
a. Căn cứ theo số nhân viên bán hàng, phân tổ các cửa hàng nói trên thành 6 tổ có
khoảng cách đều nhau?
b. Tính tần số và tần suất?
Giải
a. phân tổ các cửa hàng nói trên thành các tổ có khoảng cách đều nhau.
n: 40; Số tổ: k = 6; Khoảng cách tổ: 4
5
)15(125


h
TỔ
NHÂN VIÊN
(xi)
TẦN SỐ
(ni)
TẤN SUẤT
(fi)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
TỔ
1 – 5
5 – 9
9 – 13
13 – 17
17 – 21
21 – 25
I 1 – 5 7 7/40 = 17,5%
II 5 – 9 6 6/40 = 15%
III 9 – 13 8 8/40 = 20%
IV 13 – 17 7 7/40 = 17,5%
V 17 – 21 7 7/40 = 17,5%
VI 21 – 25 5 5/40 = 12,5%
TỔNG 40 100%

Bài 27. Thống kê về doanh thu của một siêu thị có các thông số sau: (ĐVT: triệu
đồng/ngày)
40 43 69 67 63 55 42 54 55 65 54 50 60 69
42 44 53 70 54 56 41 55 50 64 56 54 59 67
54 47 54 45 56 70 43 59 41 68 42 52 64 62
50 67 65 51 57 68 67 60 40 53 46 53 63 50
46 62 48 56 68 64 68 61 47 57 45 61 61 53
a. Phân doanh thu siêu thị trên thành các tổ khoảng cách hợp lý?
c. Nhận xét?
Giải
N=70, Số tổ 5)702( 3/1
5
4070


h
TỔ
DOANH
THU
(xi)
TẦN
SỐ
(ni)
TẤN SUẤT
(fi)
Nhận xét:
- Doanh thu ở siêu thị ở tổ 52 – 58 triệu/ngày
chiếm tỷ lệ cao nhất: 27,143%.
- Doanh thu ở siêu thị ở tổ 46 – 52 triệu/ngày
chiếm tỷ lệ thấp nhất: 27,143%.
0
5
10
15
20
TỔ
40 – 46
46 – 52
52 – 58
58 – 64
64 – 70
I 40 – 46 14 14/70 = 20%
II 46 – 52 9 9/70 = 12,857%
III 52 – 58 19 19/70 = 27,143%
IV 58 – 64 14 14/70 = 20%
V 64 – 70 14 14/70 = 20%
TỔNG 70 100%
Bài 28. Thống kê về tuổi của cán bộ giáo viên của một trường Đại học như sau:
23 30 34 27 55 28
45 33 56 26 57 29
57 45 42 22 43 32
60 50 45 40 40 41
34 28 50 52 38 43
a. Phân tuổi của CB-GV trường trên thành các tổ hợp lý?
c. Nhận xét?
Giải
N=30, Số tổ 4)302( 3/1
4
2260


h

TỔ
ĐỘ TUỔI
(xi)
TẦN
SỐ
(ni)
TẤN SUẤT
(fi)
Nhận xét:
- Độ tuổi ở tổ I (22 – 32 tuổi) chiếm tỷ lệ cao
nhất: 30%.
- Độ tuổi ở tổ IV (52 – 62 tuổi) chiếm tỷ lệ thấp
nhất: 16%.
0
2
4
6
8
10
TỔ
22 –32
32 –42
42 –52
52 –62
I 22 – 32 9 9/30 = 30%
II 32 – 42 8 8/30 = 27%
III 42 – 52 8 8/30 = 27%
IV 52 – 62 5 5/30 = 16%
TỔNG 30 100%
Bài 29. Có số lượng về học sinh phổ thông phân theo cấp học 3 năm 2001, 2002 và 2003
như bảng sau:
2001 2002 2003
Số lượng
(Người)
Cơ cấu
(%)
Số lượng
(Người)
Cơ cấu
(%)
Số lượng
(Người)
Cơ cấu
(%)
TỔNG SỐ
HỌC SINH
1.000 100 1.140 100 1.310 100
Tiểu học 500 50 600 53 700 53,5
THCS 300 30 320 28 360 27,5
THPT 200 20 220 19 250 19,0
Yêu cầu: Vẽ biểu đồ phản ánh số lượng và cơ cấu học sinh phổ thông?
Giải
Vẽ biểu đồ phản ánh số lượng và cơ cấu học sinh phổ thông
1. Xác định bán kính tương ứng:
Năm 2001: 85,17
14,3
1000
1 R ; Năm 2002: 19
14,3
1140
2 R ; Năm 2003: 4,20
14,3
1310
3 R ;
2. Xác định tỷ lệ phù hợp:
Nếu chọn R1 làm tỉ lệ gốc (R=1) thì khi so R2, R3 thật với R1 thật sẽ có các tỉ lệ tương ứng sau:
NĂM 2001 NĂM 2002 NĂM 2003
R1 thật R1 đã quy đổi R2 thật R2 đã quy đổi R3 thật R3 đã quy đổi
17,85 1 19 19/17,85 = 1,06 20,4 20,4/17,85 = 1,143
3. Vẽ biểu đồ:
NĂM 2001 NĂM 2002 NĂM 2003
Biểu đồ phản ánh số lượng và cơ cấu học sinh phổ thông

Bài 30. Thống kê về sản lượng Cà phê của Việt Nam có các thông số sau: (ĐVT: ngàn tấn)
Tỉnh Năm 2005 Năm 2010 Ghi chú
ĐăkLăc 600 950
Gia Lai 250 420
Lâm Đồng 340 630
Quảng Trị 70 75
Nghệ An 24 25
Quảng Nam 39 42
Tỉnh khác 65 95
Anh chị hãy vẽ biểu đồ thích hợp và rút ra nhận xét?
Giải
1. Xử lý số liệu và vẽ biểu đồ.
a. Tính bán kính các đường tròn
12005 R
27,1
65392470340250600
95422575630420950
2010 







R
b. Tính cơ cấu sản lượng cà phê của các tỉnh trong tổng sản lượng Cà phê của Việt Nam.
Kết quả như sau: (Đơn vị: phần trăm (%)).
Tỉnh Năm 2005 Năm 2010
ĐăkLăc 43,23 42,47
Gia Lai 18,01 18,78
Lâm Đồng 24,50 28,16
Quảng Trị 5,04 3,35
Nghệ An 1,73 1,12
Quảng Nam 2,81 1,88
Tỉnh khác 4,68 4,25
TỔNG SỐ 100 100
c. Vẽ biểu đồ
NĂM 2005 NĂM 2010
Biểu đồ cơ cấu sản lượng cà phê của Việt Nam trong năm 2005 và 2010
2. Nhận xét
- Nhìn chung, sản lượng cà phê của Việt Nam vào năm 2010 tăng 1,6 lần so với năm 2005.

0
2
4
6
8
10
12
14
16
76/80 1988 1992 1994 1999 2002 2004 2005
GDP C«ng nghiÖp – X©y dùng N«ng- L©m- Ng- nghiÖp
- Từ năm 2005 đến 2010, sản lượng cà phê của các tỉnh đều tăng, nhưng tốc độ tăng trưởng
thì khác nhau giữa các tỉnh. Tốc độ gia tăng sản lượng cà phê của các tỉnh Gia Lai và Lâm
Đồng từ năm 2005 đến 2010 nhanh hơn so với các tỉnh còn lại. Cụ thể: tỉnh Gia Lai từ 18,01%
lên 18,78% trong khi tốc độ tăng trưởng của tỉnh Lâm Đồng là nhanh nhất từ 24,5% lên tới
28,16%.
- Về quy mô sản lượng cà phê (từ năm 2005 đến 2010):
+ Các tỉnh ĐăkLăc, Gia Lai và Lâm Đồng chiếm phần lớn sản lượng cà phê của Việt Nam.
Trong 3 tỉnh vừa nêu thì sản lượng cà phê của ĐăkLăc là vượt trội nhất, chiếm tỉ trọng cao nhất
(khoảng 2/5 cơ cấu sản lượng cà phê của cả nước).
+ Sản lượng cà phê của các tỉnh còn lại thấp hơn nhiều so với 3 tỉnh ĐăkLăc, Gia Lai và Lâm
Đồng, chiếm một tỉ lệ khá nhỏ trong cơ cấu sản lượng cà phê của Việt Nam.
Bài 31. Dựa vào bảng số liệu dưới đây hãy vẽ và nhận xét biểu đồ sự tăng trưởng kinh
tế nước ta trong thời gian 1976-2005 (Đơn vị %/năm)
Năm, giai đoạn 76/80 1988 1992 1994 1999 2002 2004 2005
GDP 0,2 5,1 8,3 8,40 4,8 7,04 7,80 8,20
Công nghiệp Xây
dựng
0,6 3,3 12,6 14,4 7,7 14,5 12,5 13,5
Nông, Lâm Ngư
nghiệp
2,0 3,9 6,3 3,9 5,2 5,8 5,20 4,85
Giải
1. Vẽ biểu đồ
Biểu đồ sự tăng trưởng kinh tế nước ta trong thời gian 1976-2005
2. Nhận xét
a. Những năm trước đổi mới ( từ 1976 đến năm 1988).
- Tăng trưởng kinh tế chậm: GDP chỉ có 0,2%/năm; công nghiệp là 0,6%, nông nghiệp tăng khá
hơn 2%. Sự phát triển kinh tế dựa vào nông nghiệp là chính. Lý do tốc độ tăng trưởng thấp.
b. Giai đoạn sau đổi mới (từ 1988 tới 2005)

- Tăng trưởng kinh tế nhanh hơn rất nhiều: tốc độ tăng GDP cao nhất vào năm 1994, so với
giai đoạn 76/80 gấp 40,2 lần; công nghiệp cao gấp 24 lần; nông nghiệp gấp 1,4 lần.
- Công nghiệp là động lực chính đối với sự tăng trưởng GDP. Lý do... Năm 1999 sự tăng
trưởng kinh tế có giảm đi đáng kể là do tác động của cuộc khủng hoảng tài chính trong khu
vực ĐNA.
- Năm 2002 tới 2005 tốc độ tăng trưởng đã được khôi phục lại tuy có thấp hơn so với các năm
trước đó.
Bài 32. Thống kê về tình hình xuất khẩu của Việt Nam có các thông số sau: (ĐVT: triệu
USD)
Anh, chị vẽ biểu đồ thích hợp thể hiện sự biến động xuất khẩu các hàng hóa và rút ra
nhận xét?
Giải
1. Vẽ biểu đồ
Biểu đồ cột
Biểu đồ thể hiện sự biến động xuất khẩu các hàng hóa
Biểu đồ hình chữ nhật (được ưu tiên).
- Tính cơ cấu nhóm hàng hóa trong tổng doanh thu xuất khẩu. Kết quả như sau:
Nhóm hàng hóa 2006 2007 2008 2009 2010
Lương thực – TP 32,9 % 34,3 % 32,8 % 32,0 % 31,2 %
Hàng thủ công – Mỹ nghệ 6,6 % 7,1 % 7,2 % 7,5 % 8,2 %
Công nghệ 3,9 % 4,3 % 4,3 % 4,9 % 5,5 %
Tài nguyên khoáng sản 34,2 % 33,1 % 31,7 % 30,1 % 29,9 %
Hàng tiêu dùng 22,4 % 21,3 % 24,0 % 25,5 % 25,3 %
TỔNG 100 % 100 % 100 % 100 % 100 %
Nhóm hàng hóa 2006 2007 2008 2009 2010
Lương thực – TP 12.500 14.500 15.000 15.700 16.000
Hàng thủ công – Mỹ nghệ 2.500 3.000 3.300 3.700 4.200
Công nghệ 1.500 1.800 1.990 2.400 2.800
Tài nguyên khoáng sản 13.000 14.000 14.500 14.800 15.340
Hàng tiêu dùng 8.500 9.000 11.000 12.500 13.000

Biểu đồ thể hiện sự biến động xuất khẩu các hàng hóa
2. Nhận xét
- Nhìn chung tình hình xuất khẩu các hàng hóa từ năm 2006 đến 2010 đều tăng. Tuy nhiên, tốc
độ gia tăng giữa các nhóm hàng hóa là khác nhau. Cụ thể, tốc độ gia tăng của nhóm hàng hóa
công nghệ là nhanh nhất, từ năm 2006 đến 2010 số tiền tăng gần gấp đôi. Xếp vị trí số 2 là
nhóm hàng thủ công – Mỹ nghệ, năm 2010 tăng 1,68 lần so với 2005. Tiếp theo là nhóm hàng
tiêu dùng, năm 2010 tăng gấp 1,5 lần so với năm 2006.
- Các nhóm hàng hóa: Lương thực, thực phẩm; Tài nguyên khoáng sản và hàng tiêu dùng
chiếm tỉ trọng cao hơn nhiều so với các nhóm hàng hóa còn lại. Trong đó mặt hàng chiếm tỉ
trọng cao nhất, đem về ngoại tệ lớn nhất (trừ năm 2006) đó là mặt hàng Lương thực – TP.
Nhóm mặt hàng Tài nguyên khoáng sản chiếm tỉ trọng tương đương với nhóm Lương thực –
TP.
- Các nhóm hàng hóa: Hàng thủ công – Mỹ nghệ; Công nghệ chiểm tỉ trọng thấp hơn so với các
nhóm hàng hóa còn lại. Tuy nhiên chúng có tốc độ gia tăng qua từng năm.
LÝ THUYẾT:
1. Số tương đối động thái:
Số tương đối động thái hay tốc độ phát triển là kết quả so sánh giữa 2 mức độ của cùng một
hiện tượng nhưng khác nhau về thời gian.
Số tương đối động thái là chỉ tiêu phản ánh biến động theo thời gian về mức độ của chỉ tiêu
kinh tế - xã hội. Số tương đối này tính được bằng cách so sánh hai mức độ của chỉ tiêu được
nghiên cứu ở hai thời gian khác nhau. Mức độ của thời kỳ được tiến hành nghiên cứu thường
gọi là mức độ của kỳ báo cáo, còn mức độ của một thời kỳ nào đó được dùng làm cơ sở so
sánh thường gọi là mức độ kỳ gốc.
Ví dụ: So với năm 2001, GDP năm 2002 của Việt Nam bằng 1, 07 lần hoặc 107,0%.
0
1
Y
Y
t 
Y1: Là mức độ nghiện cứu (kỳ báo cáo)
Y0: Là mức độ kỳ gốc
2. Số tương đối kế hoạch:
Số tương đối kế hoạch là chỉ tiêu phản ánh mức cần có được trong kỳ kế hoạch, hoặc mức đã
có được so với kế hoạch được giao về một chỉ tiêu kinh tế - xã hội nào đó. Số tương đối kế
hoạch được chia thành hai loại:

+ Số tương đối nhiệm vụ kế hoạch: Phản ánh quan hệ so sánh giữa mức độ đề ra trong kỳ
kế hoạch với mức độ thực tế ở kỳ gốc của một chỉ tiêu kinh tế - xã hội.
0Y
Y
t K
nk 
Yk: Mức độ kế hoạch
Y0: Mức độ kỳ gốc
+ Số tương đối hoàn thành kế hoạch: Phản ánh quan hệ so sánh giữa mức thực tế đã có
được với mức kế hoạch trong kỳ về một chỉ tiêu kinh tế - xã hội.
k
hk
Y
Y
t 1

Y1: Mức độ thực tế
Yk: Mức độ kế hoạch
Chú ý:
- Đối với những chỉ tiêu mà kế hoạch dự kiến tăng là chiều hướng tốt (doanh thu, sản lượng,
năng suất lao động…) thì số tương đối hoàn thành kế hoạch tính được lớn hơn 1 (lớn hơn
100%) thì hoàn thành kế hoạch và ngược lại không hoàn thành kế hoạch
- Đối với những chỉ tiêu mà dự kiến giảm là chiều hướng tốt (giá thành, giá bán, mù chữ, thất
nghiệp….) thì số tương đối hoàn thành kế hoạch tính được trên 1 hoặc trên 100% thì không
hoàn thành kế hoạch và ngược lại là hoàn thành kế hoạch.
+ Mối liên hệ giữa số tương đối động thái và số tương đối kế hoạch
- Số tương đối động thái bằng số tương đối nhiệm vụ kế hoạch nhân với số tương đối hoàn
thành kế hoạch: hknk ttt 
- Tác dụng:
+ Kiểm tra tính chất chính xác của số liệu đã xử lý.
+ Dùng để tính gián tiếp số tương đối.
BÀI TẬP:
Bài 33. Sản lượng lúa của huyện Diên Khánh năm 2010 là 250.000 tấn, kế hoạch 2011 là
300.000 tấn, thực tế năm 2011 là 330.000 tấn. Tính t, tnk, thk?
Giải
Theo dữ liệu bài toán ta có được:
- Mức độ nghiện cứu (kỳ báo cáo): Y1 = 330.000
- Mức độ kỳ gốc: Y0 = 250.000
- Mức độ kế hoạch: Yk = 300.000
Tính t, tnk, thk
 32,1
250000
330000
0
1

Y
Y
t (lần) hay 132%
 2,1
250000
300000
0

Y
Y
t K
nk (lần) hay 120% so với năm 2010 (tăng 20%)
 1,1
300000
3300001

k
hk
Y
Y
t (lần) hay 110% so với kế hoạch đề ra (tức tăng 10%)
Bài 34. Có tài liệu về thực hiện kế hoạch về doanh thu quý I, II trong một năm của 3 cửa
hàng của công ty A như sau (đơn vị tính: triệu đồng):
Tên cửa hàng Thực tế quý I Kế hoạch quý II Thực tế quý II
1 900 1000 1000
2 1300 1500 1800
3 1600 2500 2075

Hãy tính các số tương đối thích hợp nhằm đánh giá kế hoạch doanh thu của từng cửa
hàng của cả công ty?
Giải
Tính các số tương đối thích hợp nhằm đánh giá kế hoạch doanh thu của từng cửa hàng
của cả công ty
Tên cửa
hàng
Thực
tế
quý I
(Y0)
Kế
hoạch
quý II
(Yk)
Thực
tế quý
II
(Y1)
Số tương đối
động thái







0
1
Y
Y
t
Số tương đối
NVKH







0Y
Y
t K
nk
Số tương đối
HTKH







k
hk
Y
Y
t 1
1 900 1.000 1.000 1,11 1,11 1,00
2 1.300 1.500 1.800 1,38 1,15 1,20
3 1.600 2.500 2.075 1,30 1,56 0,83
TOÀN BỘ
CÔNG TY
3.800 5.000 4.875 1,28 1,32 0,98
Nhận xét:
Theo như kết quả của bảng tính trên, ta đã biết được doanh thu của toàn bộ công ty trong quý
II tăng so với quý I, quá trình tăng này thể hiện qua số tương đối động thái t = 1,28 lần tức là
tăng 28% so với doanh thu quý I. Tuy nhiên, số tương đối hoàn thành kế hoạch chung của toàn
bộ công ty trong quý II là 0,98 hay 98%, có nghĩa là trong quý II, doanh thu của công ty không
hoàn thành kế hoạch đặt ra là 2%. Vì số tương đối NVKH tnk = 1,32 hay 132% cho biết nhiệm
vụ của công ty là phải tăng thêm 32% so với doanh thu quý I.
Bài 35. Thống kê về doanh thu của một doanh nghiệp có thông số sau: Doanh thu năm
2009 là 115 tỉ đồng. Kế hoạch dự kiến năm 2010 là 130 tỉ đồng. Thực tế năm 2010 được
140 tỉ đồng.
a. Anh chị hãy tìm số tương đối động thái, số tương đối nhiệm vụ kế hoạch và hoàn
thành kế hoạch?
b. Rút ra nhận xét?
Giải
a. Tìm số tương đối động thái, số tương đối nhiệm vụ kế hoạch và hoàn thành kế hoạch:
Thực tế
năm
2009
(Y0)
Kế hoạch
năm 2010
(Yk)
Thực tế
năm 2010
(Y1)
Số tương đối
động thái







0
1
Y
Y
t
Số tương đối
NVKH







0Y
Y
t K
nk
Số tương đối
HTKH







k
hk
Y
Y
t 1
115 130 140 217,1
115
140
t 130,1
115
130
nkt 0769,1
130
140
hkt
b. Rút ra nhận xét:
Theo như kết quả có được: tnk = 1,13 (lần) hay 113%, nghĩa là nhiệm vụ đặt ra cho năm 2010
về doanh thu phải tăng so với năm 2009 là 13%; Số tương đối HTKH thk = 1,0769 (lần) hay
107,69% cho thấy trên thực tế doanh thu năm 2010 vượt xa kế hoạch đề ra là 7,69%. Kết luận:
Doanh nghiệp kinh doanh có lãi chứng tỏ doanh nghiệp đang trên đà phát triển.
Bài 36. Một xí nghiệp có kế hoạch tăng sản lượng kỳ nghiên cứu so với kỳ gốc 10%. Trên
thực tế sản lượng kỳ nghiên cứu so với kỳ gốc tăng 15%. Tính tỷ lệ hoàn thành kế hoạch
về sản lượng của xí nghiệp.

Giải
- Mức độ nghiện cứu (kỳ báo cáo): Y1
- Mức độ kỳ gốc: Y0
- Mức độ kế hoạch: Yk
Tính thk
 %115%15%100
0
1

Y
Y
t
 %110%10%100
0

Y
Y
t K
nk
Mà ta lại có: 045,1
110
115

nk
hkhknk
t
t
tttt (lần) hay 104,5% so với kế hoạch đề ra
Bài 37. Một xí nghiệp có kế hoạch giá thành kỳ nghiên cứu so với kì gốc giảm 5%. Trên
thực tế, giá thành kỳ nghiên cứu so với kì gốc giảm 3%. Tính tỉ lệ hoàn thành kế hoạch
giá thành và cho biết xí nghiệp có hoàn thành kế hoạch hay không?
Giải
- Mức độ nghiện cứu (kỳ báo cáo): Y1
- Mức độ kỳ gốc: Y0
- Mức độ kế hoạch: Yk
Tính thk
 %97%3%100
0
1

Y
Y
t
 %95%5%100
0

Y
Y
t K
nk
Mà ta lại có: 021,1
95
97

nk
hkhknk
t
t
tttt (lần) hay 102,1% so với kế hoạch đề ra.
Vì 102,1% > 100% nên xí nghiệp không hoàn thành kế hoạch đề ra.
Bài 38. Có tài liệu về số lượng sinh viên của trường Đại học A như sau:
Năm 2006 2007 2008 2009 2010
Số SV 8500 9100 9600 10400 10900
Hãy tìm các số tương đối động thái về số SV. Qua đó rút ra nhận xét?
Giải
Hãy tìm các số tương đối động thái về số SV. Qua đó rút ra nhận xét?
- Mức độ kỳ gốc: Y0 = 8500
Tính t
Năm 2007 2008 2009 2010
Mức độ nghiện cứu: Y1 9100 9600 10400 10900
Số TĐĐT 






0
1
Y
Y
t %107
8500
9100
 %113
8500
9600
 %122
8500
10400
 %128
8500
10900


Nhận xét:
Từ kết quả ở bảng trên ta thấy: Số sinh viên qua các năm 2007, 2008, 2009 và 2010 của Đại
học A luôn luôn nhiều hơn so với thời điểm ban đầu 2006. Quá trình tăng trưởng được thể hiện
qua các số tương đối động thái, cụ thể nếu so số sinh viên năm 2006 (100%) thì các năm 2007
số sinh viên tăng thêm 7%, năm 2008 tăng thêm 13%, năm 2009 tăng thêm 22% và năm 2010
tăng thêm 28%.
LÝ THUYẾT:
Số bình quân là chỉ tiêu biểu hiện mức độ điển hình của một tổng thể gồm nhiều đơn vị cùng
loại được xác định theo một tiêu chí nào đó. Số bình quân được sử dụng phổ biến trong thống
kê để nêu lên đặc điểm chung nhất, phổ biến nhất của hiện tượng kinh tế - xã hội trong các
điều kiện thời gian và không gian cụ thể.
Ví dụ: Tiền lương bình quân một công nhân trong doanh nghiệp là mức lương phổ biến nhất,
đại diện cho các mức lương khác nhau của công nhân trong doanh nghiệp; thu nhập bình quân
đầu người của một địa bàn là mức thu nhập phổ biến nhất, đại diện cho các mức thu nhập khác
nhau của mọi người trong địa bàn đó.
Số bình quân còn dùng để so sánh đặc điểm của những hiện tượng không có cùng một quy mô
hay làm căn cứ để đánh giá trình độ đồng đều của các đơn vị tổng thể. Xét theo vai trò đóng
góp khác nhau của các thành phần tham gia bình quân hoá, số bình quân chung được chia
thành số bình quân giản đơn và số bình quân gia quyền.
+ Số bình quân giản đơn: Được tính trên cơ sở các thành phần tham gia bình quân hoá có vai
trò về qui mô (tần số) đóng góp như nhau.
n
x
X
n
i
i
 1
___
___
X : Số bình quân số học
xi (i=1,2,…, n): Các trị số của lượng biến
n: Số đơn vị tổng thể.
+ Số bình quân gia quyền: Được tính trên cơ sở các thành phần tham gia bình quân hoá có vai
trò về qui mô (tần số) đóng góp khác nhau.




 k
i
i
k
i
ii
f
fx
1
1
 fi: Quyền số của lượng biến xi (số đơn vị tổng thể có lượng biến xi) (

k
i
i nf
1
).
BÀI TẬP:
Bài 39. Một tổ học sinh có 10 học sinh, với kết quả học môn toán của các em như sau:
Điểm 7 có 3 em; điểm 8 có 5 em và điểm 9 có 2 em. Tính điểm môn toán bình quân của 10
em học sinh?
Giải
Tính điểm môn toán bình quân của 10 em học sinh: 9,7
10
)29()58()37(



Bài 40. Nhập vật tư hàng hoá A trong tháng là:
LẦN SỐ LƯỢNG (đơn vị) ĐƠN GIÁ
1 50 10.000
2 100 12.000
3 100 110.000

Xác định giá bình quân của tháng?
Giải
Giá bình quân của tháng: 800.50
)10010050(
)110000100()12000100()1000050(




Bài 40. Có tình hình tiền lương trong tháng 12 của nhân viên của một công ty như sau:
TIỀN LƯƠNG (1000đ) SỐ NHÂN VIÊN
1.500 13
1.600 23
1.650 12
1.800 11
2.100 18
Tính tiền lương trung bình của một nhân viên? Tiền lương TB trên là số gì?
Giải
Tính tiền lương trung bình của một nhân viên:
736.1
)1811122313(
)18100.2()11800.1()12650.1()23600.1()13500.1(




Tiền lương trung bình trên là số trung bình cộng gia quyền.
Bài 41. Độ tuổi của 5 nhân viên trong phòng kinh doanh như sau:
STT NHÂN VIÊN TUỔI
1 A 22
2 B 24
3 C 25
4 D 28
5 E 35
Tính tuổi trung bình của nhân viên?
Giải
Tính tuổi trung bình của nhân viên
8,26
5
3528252422___


X
Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết
Biên soạn và tổng hợp
Huỳnh Bá Học
HẾT

Bài tập và đáp án môn nguyên lý thống kê

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Bài tập và đáp án môn nguyên lý thống kê

Similar to Bài tập và đáp án môn nguyên lý thống kê (20)

More from Thanh Hoa

More from Thanh Hoa (20)

Bài tập và đáp án môn nguyên lý thống kê