1. Vantaggi delle curve B-Spline
• Il grado della curva è indipendente dal
numero dei punti di controllo => si può usare
un elevato numero di punti di controllo senza
che s’inneschino oscillazioni nella curva
• Le funzioni di miscelamento sono diverse
da zero solo in un intervallo => si può
spostare un punto di controllo senza
modificare l’intera curva
Le curve Spline,B-spline e Bézier formano
i principali metodi di modellazione di
curve CAD.
Svantaggio: queste curve rappresentano
le forme quadratiche solo in modo
approssimato (es. coniche)
NURBS

2. NURBS
Le curve B-spline si dividono in tre
categorie:
• uniformi
• non uniformi
• razionali

3. NURBS: B-spline razionali non uniformi
(Non Uniform Rational B-spline)
lo distanza fra i nodi non è uniforme
u1 u2 u3 u4 u5 u6 un
u
Vantaggi delle NURBS
• a differenza delle B-spline possono
rappresentare esattamente le curve
coniche
analogamente per le superfici
(es. sfere, cilindri)

4. • Le NURBS sono generalmente più utili
nell’interpolazione
permettono di interpolare anche punti
non uniformemente equispaziati
• Ulteriori parametri, detti “pesi” (weights),
permettono un controllo più fine della
curva
I pesi (wi) determinano l’influenza di un
punto di controllo su un tratto limitato
della curva

5. Le NURBS sono una
generalizzazione delle forme
B-Spline e di Bézier
Espressione delle NURBS
n
p(u) = p R (u)
i i, k
i=0
dove:
pi : i-esimo punto di controllo
Ri,k(u) : funz. di miscelamento NURBS

6. • Le funzioni di miscelamento delle
NURBS sono:
N i, k ( u)w i
R i, k ( u ) = n
N j, k (u)w j
j= 0
dove
Ni,k funz. miscelamento B-spline
wi “peso” i-esimo punto di controllo
Proprietà
• Le funzioni di miscelamento sono dei
rapporti di polinomi => da qui il termine
Razionali
• Hanno le stesse proprietà analitiche e
geometriche delle B-Spline
• Se tutti i pesi sono unitari (wi=1,i=1,..,n)
Ri,k(u) = Ni,k(u)

7. Cambiando il valore di un solo peso wi si
modificano solo k tratti consecutivi di
curva (con k=ordine curva)
Si possono pensare i pesi come fattori di
accoppiamento fra il punto di controllo e
la curva NURBS (es. aumentando il peso si
attira la curva verso il punto di controllo)
Si può dimostrare che le
forme coniche sono
rappresentabili esattamente
dalle NURBS

8. Le Coniche
Equazioni delle coniche
y
• cerchio r
x2 + y2 = r2 x
• ellisse
x2 y2
+ =1
a 2 b2

9. • parabola
y = ax 2 + bx + c
• iperbole (equilatera)
xy = c
• Una curva polinomiale cubica può
rappresentare esattamente un arco di
parabola nello spazio
x( u) = a 0 + a 1 u + a 2 u 2 + a 3 u 3
y( u ) = b 0 + b 1 u + b 2 u 2 + b 3 u 3
z(u) = c 0 + c 1 u + c 2 u 2 + c 3 u 3

10. La mappa proiettiva della cubica sul
piano z=1 genera un’altra conica che
può essere una iperbole o ellisse
descritta dal punto corrente di
coordinate:
[xw yw] <=> [x/z y/z 1]
z
ARCO DI PARABOLA
(X,Y,Z)
y
x

11. z
ARCO DI PARABOLA
(X,Y,Z)
(X/Z,Y/Z,1)
y
Z=1
ARCO DI IPERBOLE
x
z
p
(X,Y,Z)
Z=1
p’
(X/Z,Y/Z,1)
y
O
q’
q
x

12. z
ARCO DI PARABOLA
(X,Y,Z)
y
Z=1 (X/Z,Y/Z,1)
ARCO DI IPERBOLE
x