Prijedlog predavanja za državni stručni skup u Osijeku

1. Van Hieleove razine geometrijskog mišljenja
Josip Kličinović, prof.
Hotelijersko-turistička škola, Zagreb
Klasičan problem s kojim se susreću učitelji i nastavnici matematike jest da neki učenici mogu
prepoznati kvadrat, ali ga ne znaju opisati i definirati. Ili da učenici ne mogu pojmiti da je kvadrat
istovremeno i pravokutnik. Ili da se žale kako im se predstavlja neki geometrijski dokaz koji već
poznaju. Danski matematičari, supružnici van Hiele promatrali su učenike na satovima geometrije i
također se suočili s navedenim problemima. Potom su za svoje doktorske disertacije uspostavili
sustav danas poznat kao van Hieleove razine geometrijskog mišljenja. Teorija koju su razvili sastoji se
od tri aspekta: postojanje razina, svojstva razina i prijelaz s jedne razina na drugu. Ta teorija ne samo
da objašnjava uzroke navedenih problema, nego daje i praktične upute kako učenicima pomoći da
prijeđu s jedne razine na drugu. Van Hiele su te razine označavali brojevima 0 do 4, premda danas
neki znanstvenici govore o razinama 1 do 5. Hoffer (1979., 1981.) je dao imena tim razinama kako
slijede (zajedno s kratkim opisom razine) kako se danas koriste, a podcrtani nazivi su oni koje je dala
Dina van Hiele (1957.):
0. (vizualizacija ili prepoznavanje): Učenici znaju imena geometrijskih likova i prepoznati oblik u
cjelini (trokut i četverokut prepoznaju kao različite oblike).
1. (vanjština geometrije, analiza): Učenici mogu uspoređivati likove u terminima njihovih bitnih
svojstava, izbjegavaju inkluzije među različitim klasama geometrijskih likova, za opisivanje
likova koriste sva njihova svojstva umjesto samo dovoljnih, empirijski se uvjeravaju u
istinitost tvrdnji, itd.
2. (srž geometrije, apstrakcija): Učenici mogu logički poredati geometrijske likove i njihove
međusobne relacije, prihvaćaju različite ekvivalentne definicije istog pojma, itd., ali ne
razumiju ulogu aksioma, definicije, teorema i dokaza (njima su to sve pravila).
3. (uvid u teoriju geometrije, dedukcija): Učenici razumiju uloge aksioma, definicije, teorema i
dokaza, spontano stvaraju pretpostavke i samoinicijativno ih deduktivno provjeravaju.
4. (znanstveni uvid u teoriju geometrije, strogost): Učenici razumiju potrebu za strogošću i
shvaćaju apstraktnu dedukciju (razumiju neeuklidsku geometriju).
Prvo svojstvo („fiksni poredak“) van Hieleove teorije je da učenik ne može preći na razinu n ako prije
toga bio na razini n-1. Treće svojstvo („različitost“) kaže da svaka razina ima sebi svojstven jezični
aparat i terminologiju. Četvrto svojstvo („razdvojenost“) kaže da se osobe na različitim van Hieleovim
razinama međusobno ne mogu razumjeti. Četvrto je svojstvo povezano s trećim svojstvom te su
upravo ta dva svojstva najbitnija za razumijevanje problema s geometrijom u nastavi. Problem je što
učitelji/nastavnici često od učenika očekuju da se nalaze na višoj razini od one na kojoj se trenutno
nalaze te se i izražavaju u skladu s očekivanom razinom. Možda najbitnije svojstvo jest peto svojstvo
(„postignuće“) kaže da je moguće ispravnim vođenjem učenike pomaknuti na višu razinu te da se to
vođenje sastoji od pet faza.
U izlaganju se predstavlja teorija (s naglaskom na peto svojstvo teorije) i predstavljaju zanimljivi
rezultati konkretni rezultati istraživanja provedenih u SAD i Japanu (Whitman i sur., 1997.).