2. II
THE INFLUENCE OF SUBGROUP COMMUTATIVITY DEGREES OF
FINITE GROUPS ON THE STRUCTURE OF FINITE GROUPS
ABSTRACT
In this paper, we study the relationship between the structure of finite
groups and subgroup commutativity degrees. And we discuss the properties and
the structure of finite groups by using properties of quantities of subgroup
commutativity degrees. We give the relationship between subgroup
commutativity degrees and cyclic groups, and introduce one method to calculate
subgroup commutativity degrees of some group classes. The main results include
the following three chapters.
In the first chapter, we introduce some notations, results and give some
useful lemmas .
In the second chapter, we obtain a necessary and sufficient condition of the
cyclic groups by using the concept of subgroup commutativity degrees .
In the third chapter, we introduce a method to calculate subgroup
commutativity degrees of finite dihedral groups and work out the subgroup
commutativity degree of 10D to prove the correctness of the method introduced.
KEY WORDS: finite group , subgroup commutativity degree , normal
subgroup , subgroup lattice , cyclic group
4. 1
前 言
群论是现代数学的一个重要分支，群的结构、表示及其应用是 21 世纪核
心数学的重要组成部分。群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结
构，包括环、域和向量空间等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理
而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对
抽象代数的其它分支有重要影响。线性代数群（linear algebraic groups）
和李群（Lie groups）作为群论的分支，在经历了重大的发展之后，已经形
成相对独立的研究领域。群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因
为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建
模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。有限群论
无论是从理论本身还是从实际应用来说，都占有突出地位，它中的置换群、
可解和非可解群、幂零群、以及群表示论等等，都是重要的研究对象，总之，
其内容十分丰富而且庞大。随着有限群理论的迅速发展，其应用的日益增多，
有限群论已经成为现代科技的数学基础之一，是一般科技工作者乐于掌握的
一个数学工具。
有限单群分类定理完成之后，可解群仍被确认为群论研究的主要问题之
一。在探索和寻找刻画或揭示群的结构的过程中，人们找到了一些有效的途
径来刻画或描述可解群及其性质，即通过给定有限群 G 的子群、商群一些条
件或数量性质来刻画群 G 的结构。如 Thompson 证明了：若有限群 G 有一个
奇阶的幂零的极大子群，则 G 是可解的；Huppert 得到了：假设 G 的每个极
大子群在 G 中的指数都是素数，则 G 是超可解(见[1])；B.Baumeister 解决
了保持三十多年的 O. H. Kegel 猜想：如果有限群 G 的每个极大子群有广义的
补(supplement)，那么 G 是可解群。而算术结构是一个群的最基本的数学特
征之一。因此从群本身固有的数量信息来描述、刻画群的结构一直是群论研
究的主流课题，涉及群的各种问题和性质，有着广泛的发展空间和应用背景。
近几年，有限群概率方面的应用越来越受关注，在研究中，最重要的一
个方面是有限群 G 的子群交换度与有限群结构之间有着密切联系。对有限群
5. 2
G ，令它的交换度为 2
1
( ) ( , )d G x y G G xy yx
G
。显然 G 是交换群当且仅
当 ( ) 1d G 。更进一步，P. Lescot, D.J. Rusin 给出下列结果：
1. 如果 G 是非交换群，则
5
( )
8
d G ，(见[3，定理 2])；
2. 如果
1
( )
2
d G ， G 是幂零群，(见[3，定理 3])；
3. 如果
1
( )
2
d G 且 G 不是幂零群，则 3( )
G
Z G
且 '
3G Z ，(见[4，定理 5])；
4. 如果
1
1 ( )
2
d G ，则
1 1( ) { (1 ) N, 1}
42
nd G n n ，(见[6，p.246])。
之后，在文[5]中，M. Tărnăuceanu 考虑了子群的交换度
2
2
1
( ) ( , ) ( )
( )
sd G H K L G HK KH
L G
2
2
1
( , ) ( ) ( )
( )
H K L G HK L G
L G
对 群
结构的影响，本课题将继续讨论这一问题。
首先我们介绍有限群 G 的子群交换度的概念，并利用子群交换度的数量
性质给出了循环群的一个新刻画。得到：
定理2.1 设 G 为有限群, N 是 G 的非平凡正规子群，则：
2 2
2
2
1
1 1 1G G Gsd G L N L sd N L N sd L
N N NL G
的充分必要条件是 G 是 n
p 阶的循环群，其中 p 为素数， 2n 的整数。
之后，我们介绍了一个计算具体群（二面体群）的子群交换度公式，并
用两种方法计算 10D 的子群交换度以验证介绍公式的正确性。
6. 3
第一章 预备知识
§1.1 符号说明
本文所采用通用的记号都是标准的（见文[2]）.为了叙述的方便和统一,
特将文中可能用的一些符号作如下说明：
G 表示一个有限群
G 表示群 G 的阶
H G 表示 H 是 G 的子群
H G 表示 H 是 G 的真子群
GN 表示 N 是 G 的正规子群
ba, 表示由元素 ba, 生成的群
HG 表示 G 关于其子群 H 的商群
|)(| G 表示 G 的阶的素因子的个数
L G 表示群 G 的子群格
ks G 表示群 G 中 k
p 阶子群个数
d G 表示 G 的交换度
sd G 表示群 G 的子群交换度
A 表示集合 A所含元素的个数
7. 4
§1.2 基本概念与基本结果
定义 1.2.1 设 G 是有限群，H ，K G 。若 ,HK hk h H k K L G
即 HK KH ，则称 H ， K 可交换。
定义 1.2.2 (见[5]) 设 G 是有限群， H ， K G 。称
2 2
2 2
1 1
, ,sd G H K L G HK KH H K L G HK L G
L G L G
为
G 的子群交换度。
注：因为群 G 的平凡子群与 G 的任意子群可交换，所以 0 1sd G 。并
且易知 1sd G 当且仅当 G 是交换群。
接下来，我们给出几个在文中用到的的记号：对于群 G 的任一子群 H ，
群 G 中所有与 H 可交换的子群的集合，记为 C H ，即： {C H K L G
}HK KH 。从而由定义 1.2.2 知，
2
1
H L G
sd G C H
L G
。为计算方便，
我们定义函数
2
: 0,1f L G ：
1,
, ,
0,
HK KH
f H K H K L G
HK KH
显然，对于 H L G ，有
,
K L G
C H f H K
。所以有：
2
,
1
,
H K L G
sd G f H K
L G
上述记号在文章证明中会被多次应用。
引理 1.2.3([5]，Proposition 2.4) 设 G 是有限群， N 是 G 的一个正规子
群，则：
2 2
2
2
1
1 1 1G G Gsd G L N L sd N L N sd L
N N NL G
证明： N 是 G 的一个正规子群，令集合 1A H L G N H 和集合
2A H L G H N 。由于 1 2A A L G ，则：
8. 5
1 2
1 2 1 2 2 1
1 2 1 2
2 2
, ,
2
, ,
2
, ,
1 1
= , ,
1
, , , ,
1
, , 2 ,
H K L G H K A A
H K A H K A H A K A H A K A
H K A H K A H A K A
sd G f H K f H K
L G L G
f H K f H K f H K f H K
L G
f H K f H K f H K
L G
下面我们分别计算
1,
,
H K A
f H K
，
2,
,
H K A
f H K
，
1 2
,
H A K A
f H K
。
1. 因为 1A H L G N H ，所以 1
GA L
N
。根据定义 1.2.2 知,
1
, ,
2 2
, ,
GH K L H K AN
f H K f H K
Gsd
N G GL L
N N
，整理得：
1
2
,
,
H K A
G Gf H K sd L
N N
。
2. 因为
2 2 2, ,
, , ,
H K A H K A N H A N
f H K f H K f H N
2
,
K A N
f N K
,f N N ，又
2 2
, ,
H A N K A N
f H N f N K
且 , 1f N N ，于是有
2 2 2, ,
, , 2 , 1
H K A H K A N H A N
f H K f H K f H N
。
3. 根据 1A H L G N H ， 2A H L G H N ，可知对 1H A 及
2K A ，有 K H ，从而 H 与 K 可交换。所以
1 2
1 2, 1
H A K A
Gf H K A A L L N
N
综上，代入后，有：
2 2
2
2
1
1 1 1G G Gsd G L N L sd N L N sd L
N N NL G
证毕。
引理 1.2.4 ([2], 第四章定理 6.2) 设 n
G p ，1 m n ，若 1ms G ，
则 G 循环。
9. 6
引理 1.2.5 ([11],第三章§6 定理 3) 设 G 是一个有限群，且 G pn ，
其中 p 是一个素数，则 G 有 p 阶子群。
引理 1.2.6 （Sylow 定理）
设 G 是有限群， s
G p m ，其中 p 是素数，s 是正整数， p 不整除 m ，则：
（1） 对每个 i
p 0,1, , 1i s 阶的子群 H ，总存在 G 的 1i
p
阶子群 K 使得
H K 。
（2） G 的所有 Sylow p 子群恰好是群 G 的一个共轭子群类。
（3） 若 G 的 Sylow p 子群共有 k 个，则 k G ，且 1 modk p 。
10. 7
第二章 子群交换度与有限群的结构
本章主要讨论有限群 G 的子群交换度与群 G 的具体结构的关系，并利用
子群交换度给出了循环群的一个数量刻画。
定理2.1 设 G 为有限群, N 是 G 的非平凡正规子群，则：
2 2
2
2
1
1 1 1G G Gsd G L N L sd N L N sd L
N N NL G
的充分必要条件是 G 是 n
p 阶的循环群，其中 p 为素数， 2n 的整数。
证明:
必要性：
设 1A H L G N H ， 2A H L G H N 。利用第一章中所定义
的函数：
1,
, ,
0,
HK KH
f H K H K L G
HK KH
，带入引理1.2.3有：
1 2
2
,
1
,
H K A A
sd G f H K
L G
。并由引理1.2.3的证明知：
2 2
2
2
1
1 1 1G G Gsd G L N L sd N L N sd L
N N NL G
时， 1 2A A L G ，从而得到， G 中存在正规子群 N ，使得对 G 的任意子群
H ，或者 H N ，或者 N H 。
下面分三步来证明定理的必要性：
1. N G 。
假设 N G ，则存在素数 mp ，使得 mp G ，而 mp N 。于
是由引理1.2.6知， G 中存在 Sylow mp 子群 H 。因为 H 的阶数是素数的方
幂，所以 H 不整除 N ，且 N 不整除 H ，从而与 H N 且 N H ，矛盾，故
假设不成立。因而 N G 成立。
2. 1G 。
假设 1G ，于是令 1 2
1 2
t
tG p p p
，其中 ip 是素数， i 是正整数，
则 1t 。由 N G 知， 1 2
1 2
t
tN p p p
，其中 i i 的正整数且 1t 。
因为 N 是 G 的非平凡正规子群，从而 G N ，于是存在 1,2, ,i t ，使得
i i 。由引理1.2.6知，群 G 中存在 Sylow ip 子群 H ， i
iH p
。若 H 整
11. 8
除 N ，则 i i ，与 i i 矛盾。若 N 整除 H ，则 1N H ，所以
1N ，即 1t ，与 1t 矛盾，故假设不成立。因而 1G 成立。
3. 由第2步可设， n
G p 。由于 N 是 G 的非平凡正规子群，于是 2n 且
N p
，其中 为正整数。下面断言群 G 的 p
阶子群只有一个。
假设 H 是 G 的任意 p
阶子群，即 N H 。由前面的证明知， H N 或
N H 。
情形1. H N 。
若 H N ，那么 N 中有元素 a ，使得 a N ，而 a H ，则 N H ，矛盾
于 N H ，故假设不成立，所以 H N 。
情形2. N H 。
在这种情况下， N H ，矛盾于 N H 。
综上，群 G 的 p
阶子群只有一个。根据§1.2中引理 1.2.4 知，G 是 n
p
阶的循环群，其中 p 为素数， 2n 的整数。必要性证毕。
充分性：
若 G 为循环群，那么 G 是交换群，且 G 的子群都是交换群。所以 N 是交
换群， G
N
是交换群，则 1sd N ， 1Gsd
N
。带入定理中等式得：
2
2
1
1Gsd G L N L
NL G
只需证 1GL G L N L
N
。下面分三步证明此等式：
1. 若 H G ， N 是 G 的正规子群，则 HN G
N
。
封闭性： 1 2,h h H ， 1
HNh N
N
， 2
HNh N
N
， 1 2 1 2
HNh Nh N h h N
N
存 在 单 位 元 ： e H ， h H ， eh he h 。 所 以 HNhN
N
，
eNhN ehN hN ， hNeN heN hN ，所以 eN 即 N 是 HN
N
的单位元。
存在逆元：对于 h H ， 1
h H
，使 1
h h e
。所以 HNhN
N
，存在
12. 9
1
h N
， 1 1
h NhN h hN eN
。
运 算 的 结 合 律 ： 1 2 3, ,h h h H ， 1 2 3 1 2 3hh h h h h 。 所 以
1 2 3, , HNh N h N h N
N
， 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3h Nh N h N hh h N h h h N h N h Nh N 。结
合律成立。
综上， HN
N
是一个群，即 HN G
N
。
2. GL
N
中的元素都是这样的形式： HN
N
，其中 H 是 G 的子群。
由于 G
N
的子群是 H
N
的形式，其中 H 是 G 的子群，且 N H ，所以可
写成 HN
N
。
3. 若 1 2,H H L G ， 1 2,H H L N 且 1 2H H ，则 1 2H N H N
N N
。
因为 G 是循环群， 1 2,H H L N ，所以 1H N ， 2H N 。于是当 1 2H H ，
则存在 1 2h H H ，使得 1 2H N H N
hN
N N
，且 1 2H N H N
hN
N N
。所以
1 2H N H N
N N
。
综上， ,G HN HNL H L G H L N H L N
N N N
。所以
,G HN HNL H L G H L N H L N
N N N
……………… 1 。
而 ,HN H L G H L N L G L N
N
。又知 HN H L N N
N
，
所以 1HN H L N N
N
。将以上每项带入 1 式，可得下面等式：
, 1G HN HNL H L G H L N H L N L G L N
N N N
，
充分性证毕。
13. 10
注 1： 特别地，当 N = G 时，等式
2 2
2
2
1
1 1 1G G Gsd G L N L sd N L N sd L
N N NL G
恒成立。
由定理 2.1 及注 1 易得推论 2.2。
推论 2.2 若群 G 不是循环群，且 N 是 G 的真正规子群，那么
2 2
2
2
1
1 1 1G G Gsd G L N L sd N L N sd L
N N NL G
推论 2.3 设 G 是有限 p -群， G 的阶数是 k
p ，且 G 有极大循环子群。
若
2
1k
sd G
L G
， 1k ，则 G 是循环群。
证明： 因为 G 是有限 p -群， G 的阶数是 k
p ， 1k ，且 G 有极大循环
子群。所以 G 是可解的。由引理 1.2.6（1）知，G 的极大循环子群 N 是 G 的
正规子群，且 N 的阶数是 1k
p
， 1k ，于是 G
N
是 p 阶循环群。又因为 N 是
阶 为 1k
p
的 循 环 群 ， 所 以 L N k ， 2GL
N
， 1Gsd N sd
N
。 故
1 1GL N L k
N
， 1 0sd N ， 1 0Gsd
N
。从而由题设条件知，
2
1k
sd G
L G
=
2 2
2
2
1
1 1 1G G GL N L sd N L N sd L
N N NL G
根据定理 2.1 的必要性知， G 是循环群，证毕。
14. 11
第三章 计算有限二面体群子群交换度的方法与应用
本章主要讨论有限二面体群的子群交换度的计算方法并用两种方法计算
有限二面体群（ 10D ）的子群交换度。
一个二面体群 2nD 2n 是正 n 边形的 2n 阶对称群。用生成元可以简便
地描述 2nD ：x 是 n 阶的旋转变换， y 是 2 阶的对称变换。用这几个记号，有：
2 1
2 , 1,n
nD x y x y yxy x
。对于 n 的任意因子 r ， 2nD 都有与 r 同构的子
群，记为 0
n
r r
H x ，并且
n
r
子群与 2rD 同构，记为 1
,
n
r ir
iH x x y
， 1,2,
n
i
r
。
则 2nL D n n ，其中 n 代表 n 的所有因子个数， n 代表 n 的所
有因子的和。因为 2nD 得所有循环子群 0
r
H 是正规的，可得：
n
2
2
o
r 1H
r 1
C H
n
n
r
r
i
H L D n i
n
r
r
i
n i
C H C H
n n n C H
假设 n 的因子 r 和 1,2,...,
n
i
r
是不变的，那么
0 2 ,r r r r
i n i i
r n
C H H K L D K H K KH
二面体群 。子群 s
jK H ,其中
1, 2, ...,
n
s n j
s
且 ， 包 含 于 r
iC H ， 当 且 仅 当 ,2
n
r si j
x x
， 即 ：
2
,
n
i j
n s
………… 2 。用 2 的结果表示 ,r r r
i i ix C H n x 得出 可得计
算 2nsd D 的方程。
引理 3.1 二面体群 2nD 的子群交换度 2nsd D 可用下面的方程给出
2
1
2 2
2
n
rr
ir i
n
n
n n n x
sd D
n n
…………………… 3
下面我们明确计算出上式中 r
ix 的量，首先注意两种情况。
15. 12
情况 1， n 是奇数
此情况下 2 与
mod
,
n
i j
r s
等价。显然，对一个固定的 S ，同余式有
,r s
s
个 解 ， 1,2,...,
n
j
s
， 所 以 有 ：
, 1
,
r
i
s s
n n
r s
x r
s r s
。 所 以
1
n
r
r
i
r i
n
x g n
， 其中 g 是一个函数，表达式为
,
1
,r k s k
g k k
r s
。对于所
有 k ，显然 g 是可乘的且
2 1
2
2
2 1 2 3 1
1
p p p
g p
p
。对任意
素数 p 和 i ，若 1 2
1 2 ... m
mn p p p
是 n 的分解质因数，用上面的记号得出
2 1
2
1
2 1 2 3 1
1
i im
i i i i i
i i
p p p
g n
p
…………………… 4
推论 3.2 若 n 是奇数且 g 是 4 给出的函数，那么二面体群 2nD 的子群交
换度是：
2
2 2
2
n
n n n g n
sd D
n n
情况 2， 1
2m
n
对 于 r n , 2 满 足 所 有 s 整 除 n ， 和 所 有 1 , 2 , . . . ,
n
j
s
。 所 以
1
1
1 2 1
n
s
n m
s n j
x n
。对 ,r n 当 2 ,0 2n
r u m 。若 s n ,则 2 只有唯
一 解 。 若 s n , s 是 2
的 形 式 ， 且 0 2m ， 2 式 可 改 写 为
2 max ,
mod2m u
i j
。这个同余式有 max , 1
2
u
个解， 1
1, 2,..., 2m
j
，且得
2
max , 1 2
0
1 2 2 2 2 5
m
ur u
ix u m
。根据直接计算得：
2
1 2 2
1 0
2 1 2 2 2 2 5 2 2 9
n
mr
r m m u u m
i
r n i u
x u m m
此值与 1
2m
g
不同，此等式与 3 式让我们可以推出 2msd D 明确的方程。
推论 3.3 二面体群 2mD 的子群交换度 2msd D 由下式给出：
22 1
2 2
2 2 2 1 8
1 2
m m
m
m
m m m
sd D
m
。
16. 13
推论 3.4 2lim 0m msd D
最后，我们假设 n 是任意的，比如 2 'n n
， 'n 是偶数，在这种情况下，
1
n
rr
ir i
n
x 。 与 对 于 上 面 2n
且 'n n 中 相 似 的 积 是 分 别 相 等 的 ， 这 样
2ms d D 的值可以得到。用上面的记号，n 的因子 r 是 2 'r
的形式， ，且
' 'r n 。若 ，那么对于每个因子
2 's s
（ s 是奇数） 2 有
2 '
' '
r
r s
个解 1, 2,...,
n
j
s
，所以得到
1
0 ' ' ' '
2 ' 1
2 1 '
' ' ' '
r
i
s n s n
r
x r
r s r s
…………………… 5 。
下 面 ， 我 们 假 设 ， s 如 上 。 若 ， 且 易 知 2 式 有
'
' , '
r
r s
个 解
1, 2 , . . . ,
n
j
s
。若 ， 2 式有
'
1 min ,
', '
2
r
r s
个解：
1
1 min , 2
0 ' ' ' '
' '
1 2 2 2 2 3 '
', ' ', '
r
i
r s n s n
r r
x r
r s r s
… … … … 6 。
现在，利用 5 ， 6 式，可得： 3
1
... 1 2 9 '
n
r
r
i
r n i
x g n
所以，我们
证明了下面的定理。
引理 3.5 令正整数 2 'n n
， 'n 是奇数， g 是由 4 式得到的函数，那么
二面体群 2nD 的子群交换度 2nsd D 是
2 3
2 2
2 1 2 9 '
n
n n n g n
sd D
n n
下面，我们举例验证定理 3.5。
命题 3.6 用两种方法计算 10sd D 。
利用引理 3.5，将 0
2 5n ， 1 ， 5p ， 5 2 ， 5 6 带入定理
3.5 中得出 10
11
16
sd D 。下面验证结论，首先找出二面体群 10D 的所有子群。
1
0H e ， 5 2 3 4
0 , , , ,H e x x x x ， 5 2 3 4 2 3 4
1 , , , , , , , , ,H e x x x x y xy x y x y x y ， 1
1 ,H e y ，
1
2 ,H e xy ， 1 2
3 ,H e x y ， 1 3
4 ,H e x y ， 1 4
5 ,H e x y 。所以 10 8L D ，现
在找 出 可交 换 的子 群对 。 1 1
0 0H H ， 1 5
0 0H H ， 1 5
0 1H H ， 1 1
0 1H H ，
17. 14
1 1
0 2H H ， 1 1
0 3H H ， 1 1
0 4H H ， 1 1
0 5H H ； 5 1
0 0H H ， 5 5
0 0H H ， 5 5
0 1H H ，
5 1
0 1H H ， 5 1
0 2H H ， 5 1
0 3H H ， 5 1
0 4H H ， 5 1
0 5H H ； 5 1
1 0H H ， 5 5
1 0H H ，
5 5
1 1H H ， 5 1
1 1H H ， 5 1
1 2H H ， 5 1
1 3H H ， 5 1
1 4H H ， 5 1
1 5H H ； 1 1
1 0H H ，
1 5
1 0H H ， 1 5
1 1H H ， 1 1
1 1H H ； 1 1
2 0H H ， 1 5
2 0H H ， 1 5
2 1H H ， 1 1
2 2H H ；
1 1
3 0H H ， 1 5
3 0H H ， 1 5
3 1H H ， 1 1
3 3H H ； 1 1
4 0H H ， 1 5
4 0H H ， 1 5
4 1H H ，
1 1
4 4H H ； 1 1
5 0H H ， 1 5
5 0H H ， 1 5
5 1H H ， 1 1
5 5H H ，共有 44 对。根据
子 群 交 换 度 定 义 1.2.2 求 出 二 面 体 群 10D 的 子 群 交 换 度 ，
2 2
44 44 11
8 16
sd G
L G
，所得结果与利用利用引理 3.5 所求出的结果一样，
验证完毕，说明引理 3.5 可正确求得二面体群的子群交换度。
18. 15
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