some tricks on bitwise operations and how to manipulate set using bits

1. BIT HACKS
lancer1268

2. BITWISE OPERATION

3. Binary number
• 19 10 = 10011 2
• 7 10 = 111 2

4. AND
• int a = 3 = 011 2
int b = 5 = 101 2
• a & b = 1 = 001 2
011
& 101
--------
= 001

5. OR
• int a = 3 = 011 2
int b = 5 = 101 2
• a | b = 7 = 111 2
011
| 101
--------
= 111

6. XOR (Exclusive OR)
• int a = 3 = 011 2
int b = 5 = 101 2
• a ^ b = 6 = 110 2
011
^ 101
--------
= 110

7. NOT
• 1變0，0變1
• 假設只有4個bit
• a = 3 = 0011 2
~a = 12 = 1100 2

8. Shift
• 正數 right-shift
a = 11 = 1011 2
a >> 2 = 2 = 0010 2
• 正數 left-shift
a = 11 = 1011 2
a << 2 = 2 = 1100 2

9. TRICKS

10. 正負號
• 正：0 負：-1
int sign = a >> 31;
• 正：1 負：-1
int sign = 1 | ( a >> 31 );
• 正：1 零：0 負：-1
int sign = ( a != 0 ) | ( a >> 31 );

11. 不同正負號
• 計算幾何判斷相交、凸包…
• 不同正負號：true 同正負號：false
bool diff = ( a ^ b ) >> 31 ;

12. 是不是 2 的冪次
• 例子：8 ⇒ 𝑦𝑒𝑠 , 7 ⇒ 𝑛𝑜
• 正整數
bool result = ( a & ( a – 1 ) ) == 0 ;
• 考慮0
bool result = a && !( a & ( a – 1 ) ) ;

13. 計算有幾個 bit 是 1
• 基礎方法
for( cnt = 0 ; a ; a >>= 1 ) cnt += a & 1 ;
• 查表
cnt = table256[ a & 0xff ] +
table256[ ( a >> 8 ) & 0xff ] +
table256[ ( a >> 16 ) & 0xff ] +
table256[ a >> 24 ];

14. 往上取2的冪次
• 例子： 5 ⇒ 8
• --a ;
a |= a >> 1 ;
a |= a >> 2 ;
a |= a >> 4 ;
a |= a >> 8 ;
a |= a >> 16 ;
++a ;

15. 最右邊的 1
• 也叫 lowbit
• 例子： 010010 2 ⇒ 000010 2
101000 2 ⇒ 001000 2
• lowbit(x) = x & ( -x ) ;

16. BITMASK

17. 集合
• 有一個由 0, 1, ⋯ , 𝑛 − 1 構成的集合 𝑆
• 我們可以用一個 𝑛 bit的整數 𝑚 𝑆 來表示 𝑆
• 第 𝑖 個 bit 為 1 代表 𝑖 在 𝑆 裡面（從右邊數）
• 例子：
𝑛 = 5
𝑆 = 0, 2, 3 ⇒ 𝑚 𝑆 = 01101 2
𝑆′
= 1, 2, 4 ⇒ 𝑚 𝑆′ = 10110 2

18. 常用的集合
• 𝑆1 = 0, 1, ⋯ , 𝑛 − 1
𝑚 𝑆1
= ( 1 << n ) – 1 ;
• 𝑆2 = 𝑖
𝑚 𝑆2
= 1 << i ;

19. Set operations
• 給你兩個集合，你可以做一些事
– 聯集 Union
– 交集 Intersection
– 對稱差 Symmetric Difference
– 判斷包含 Inclusion

20. 聯集 Union
• 聯集其實就是在做 bitwise OR
• 𝑚 𝑆∪𝑆′ = 𝑚 𝑆 | 𝑚 𝑆′
• 例子：
𝑛 = 5
𝑆 = 0, 3, 4 ⇒ 𝑚 𝑆 = 11001 2
𝑆′
= 0,1,4 ⇒ 𝑚 𝑆′ = 10011 2
𝑆 ∪ 𝑆′
= 0,1,3,4
⇒ 𝑚 𝑆∪𝑆′ = 11011 2

21. 交集 Intersection
• 交集其實就是在做 bitwise AND
• 𝑚 𝑆∩𝑆′ = 𝑚 𝑆 & 𝑚 𝑆′

22. 對稱差 Symmetric Difference
• 對稱差其實就是在做 bitwise XOR
• 𝑚 𝑆Δ𝑆′ = 𝑚 𝑆 ^ 𝑚 𝑆′

23. 判斷包含 Inclusion
• 判斷包含可以看交集以後有沒有變
• 𝑆 ⊆ 𝑆′ ? = 𝑆 ∩ 𝑆′ = 𝑆 ?
bool inc = 𝑚 𝑆 & 𝑚 𝑆′ == 𝑚 𝑆;

24. MORE TRICKS

25. 枚舉子集
• 有時會需要枚舉子集合
• 例子：
𝑆 = 0, 1, 3
∅, 0 , 1 , 3 , 0,1 , 0,3 , 1,3 , 0,1,3
0000, 0001, 0010, 1000,0011, 1001, 1010, 1011

26. 枚舉子集 - simplified
• 先考慮比較簡單的版本
• 目標：枚舉 𝑆 = 0, 1, ⋯ , 𝑛 − 1 的子集合
• 作法：就是 0 ~ 2 𝑛
− 1
– 0...000
– 0...001
– 0...010
– 0...011
– ...
– 1...111

27. 枚舉子集 - original
• 目標：枚舉 𝑆 的子集合
• 有一些用不到的 bit 怎麼辦？那就不要考慮他們！
for ( int sub = sup ; ; sub = ( sub - 1 ) & sup ) {
// do something
if ( sub == 0 ) break ;
}

28. 枚舉子集 2
• 有時需要枚舉大小為 𝑘 的子集合們
• 例子：
𝑆 = 0, 1, 3 , 𝑘 = 2
0,1 , 0,3 , 1,3
0011, 1001, 1010

29. 枚舉子集 2 - simplified
• 先考慮 𝑆 = 0, 1, ⋯ , 𝑛 − 1
• 例子：
int lower = ( 1 << k ) - 1, upper = 1 << n ;
for ( int comb = lower ; comb < upper ; ) {
// do something
comb = next_permu( comb ) ;
}

30. 枚舉子集 2 - simplified
• 重點是找出下一個排列，自己畫個圖看看
int next_permu( int p ) {
int x = lowbit( p ), y = p + x ;
return y | ( ( p & ~y ) / x >> 1 ) ;
// or return y | ( ( p & ~y ) >> ( lg( x ) + 1 ) ) ;
}