2. Thomas Windfeldt Grønkjær Specialerapport, 4L, KLT, KEA
Nøjagtighed kontra afstand og prismehøjde // Side 1 af 57
Titelblad
Titel på specialerapport:
Nøjagtighed kontra afstand og prismehøjde
Omfang:
Hele rapportens omfang svarer til 14 normalsider af 2200 tegn.
Institutions navn:
Københavns Erhvervsakademi, KEA
Prinsesse Charlottes Gade 38
2200 København N
Den studerendes navn og klasse:
Thomas Windfeldt Grønkjær, 4L, 2015
Fagkonsulent:
Anders Christian Dissing, Atkins Danmark
Pædagogisk konsulent:
Jens Boelt Gregersen, KEA
”Jeg bekræfter hermed, at specialerapporten er udfærdiget uden uretmæssig hjælp”
_______________________
Thomas Windfeldt Grønkjær
3. Thomas Windfeldt Grønkjær Specialerapport, 4L, KLT, KEA
Nøjagtighed kontra afstand og prismehøjde // Side 2 af 57
Forord
Denne specialerapport er udarbejdet på 4. og afsluttende semester af Kort- og
landmålingsteknikeruddannelsen på Københavns Erhvervsakademi.
Erfaringer fra 3. semesters obligatoriske praktikforløb er udgangspunkt for ideen til denne
specialerapport.
Rapporten omhandler afstandens betydning for nøjagtigheden af punktbestemmelsen ved polær
detailmåling på jernbanen, samt forholder sig til de nøjagtighedskrav, der gælder for landmåling på
jernbanen. Endvidere undersøges prismehøjdens betydning for nøjagtigheden af
punktbestemmelsen af fikspunkter ved polær netmåling på jernbanen.
Første halvdel af rapporten omhandler den teori og empiri, der danner grundlag for rapportens
anden halvdel, hvor resultaterne analyseres og en konklusion drages.
Alle illustrationer er forfatterens egne, med undtagelse af Figur 1, hvis ophav er noteret i den
tilhørende billedtekst.
Kildehenvisninger er angivet som (Efternavn, Udgivelsesår, Sidetal), enten som citater i selve
rapportens tekst eller som fodnoter. Kildehenvisningerne refererer i begge tilfælde til den
alfabetiske litteraturliste bagerst i rapporten. Bagerst i rapporten finder man også projektets
væsentligste datamateriale som bilag.
Der rettes speciel tak for lån af udstyr og for kreativ sparring til gruppeleder for landmåling hos
Atkins Danmark, Anders Christian Dissing, der har fungeret som fagkonsulent, samt til underviser
hos KEA, Jens Boelt Gregersen for sin vejledende rolle som pædagogisk konsulent.
5. Thomas Windfeldt Grønkjær Specialerapport, 4L, KLT, KEA
Nøjagtighed kontra afstand og prismehøjde // Side 4 af 57
Indledning
Udgangspunkt
I forbindelse med min uddannelse til Kort- og Landmålingstekniker på Københavns
Erhvervsakademi var jeg i 3. semester på et obligatorisk 10 ugers praktikophold. Det foregik i
afdelingen for Miljø og Landmåling hos det rådgivende ingeniørfirma Atkins Danmark, hvor jeg
blev tilknyttet et større opmålingsprojekt på jernbanen for Banedanmark. Jeg lærte hurtigt en masse
om de nøjagtighedskrav, der stilles, og de procedurer, der følges for at opnå denne nøjagtighed. Hér
blev jeg især opmærksom på to procedurer, som jeg satte spørgsmålstegn ved.
Hvorfor målte man jernbanespor maksimalt 100 meter ud fra hver opstilling? Min egen erfaring fra
tidligere projekter i løbet af mit studieforløb var, at man opnår rimelig stor præcision ved meget
længere sigter, så hvorfor ikke måle spor længere end 100 meter og dermed optimere arbejdsgangen
og den enkelte opstilling?
Dernæst fandt jeg det mærkværdigt, at man konsekvent netmålte til fikspunkter med cirkulært
prisme i prismehøjde 1.3 meter, også når det var muligt at måle til f.eks. miniprisme i lavere
prismehøjde.
Alt arbejde for Banedanmark følger en stribe forskrifter, også kaldet Banenormer. Hvad angår
landmåling for Banedanmark gælder ”Banenorm BN2-94-2, Landmåling på banen”. 1
Dette er en
uhyre detaljeret vejledning i, hvordan Banedanmark kræver arbejde udført og afleveret for at sikre,
at det opmålingsmateriale, som Banedanmark modtager, har den ønskede kvalitet og ensartethed.
Jeg vil i løbet af min specialerapport henvise til bl.a. specifikke nøjagtighedskrav i Banenormen,
men grunden til at jeg indledningsvis nævner Banenormen, er at de to nævnte procedurer, som jeg
satte spørgsmålstegn ved i løbet af min praktikperiode, ikke er krav stillet i Banenormen, men i
stedet nogle empiriske størrelser/vante metoder baseret på erfaring hos Atkins Danmark - og altså
noget man reelt kan ændre på, hvis argumenterne og dokumentationen er i orden.
Problemformulering
Med afsæt i mine erfaringer som praktikant ved opmålinger på jernbanen har jeg besluttet mig for at
undersøge følgende:
Hvilken betydning har afstanden for nøjagtigheden af punktbestemmelsen ved polær detailmåling
på jernbanen?
Ved hvilken afstand overskrides nøjagtighedskravene ved spormåling udstukket i den gældende
Banenorm?
Endvidere vil jeg undersøge følgende:
Hvilken betydning har prismehøjden for nøjagtigheden af punktbestemmelsen af fikspunkter ved
polær netmåling på jernbanen?
1
(Banedanmark, 2011)
6. Thomas Windfeldt Grønkjær Specialerapport, 4L, KLT, KEA
Nøjagtighed kontra afstand og prismehøjde // Side 5 af 57
Målgruppe
Denne specialerapport henvender sig til medstuderende samt Kort- og Landmålingsteknikere og
firmaer, der beskæftiger sig med eller interesserer sig for detail- og netmåling, især på jernbanen.
7. Thomas Windfeldt Grønkjær Specialerapport, 4L, KLT, KEA
Nøjagtighed kontra afstand og prismehøjde // Side 6 af 57
Teori
Spredning
Som et udtryk for nøjagtigheden af punktbestemmelsen ved forskellige afstande ved polær
detailmåling, anvender jeg den gængse fejlteori for spredning:
𝛿2
=
∑(𝜀 𝑛)2
𝑛
hvor:
𝛿 er udtryk for spredning, altså nøjagtighed i punktbestemmelsen.
𝜀 er udtryk for den sande fejl, altså forskellen imellem den sande middelværdi 𝜇 for det konkrete
punkt og de forskellige målte værdier 𝑣1 … 𝑣 𝑛 for det konkrete punkt
𝑛 er udtryk for antallet af gentagne observationer til det konkrete punkt.
Else Mærsk-Møller og Poul Frederiksen konstaterer at ”spredningen bestemt ud fra den sande
middelværdi 𝜇 kaldes nøjagtigheden, idet den indeholder samtlige mulige fejlkilder.” (Mærsk-
Møller, 1978, s. 13)
Ved nettets plan- og højdeudjævning har jeg dokumenteret, at spredningen i nettets punkter er
meget lille, varierende mlm 0 og 1 mm (se Bilag 1 og 2). Derfor vælger jeg at benytte netpunkternes
X, Y og Z koordinater som sande middelværdier i de efterfølgende spredningsberegninger.
Normalfordeling
Desuden antager jeg, at de målte vinkler og afstande,
der ligger til grund for detailmålingerne, er
normalfordelte, og at værdierne for samme detailmålte
punkt er uafhængige identisk fordelte stokastiske
variable.2
Således gælder Gauss’ karakteristiske klokkeformede
kurve over normalfordeling, hvor den vandrette akse,
abscissen, udtrykker forskellen fra den sande
middelværdi 𝜇, og hvor den lodrette akse, ordinaten,
udtrykker den relative hyppighed, f.eks. den
procentmæssige forekomst.
Ovenstående spredning 𝛿 bestemmer faconen på Gauss-
kurven. Jo flere målinger der nærmer sig den sande
middelværdi 𝜇, des mindre spredning 𝛿, og desto smallere og højere bliver kurven.
Desuden gælder, at i 68,27% af tilfældene vil målingerne ligge indenfor 1 x 𝛿, i 95,45% indenfor 2
x 𝛿 og i 99,73% indenfor 3 x 𝛿.
2
http://en.wikipedia.org/wiki/Independent_and_identically_distributed_random_variables
Figur 1: Gauss-kurve til illustration af den
procentmæssige fordeling af spredningen 𝛿 i
forhold til den sande middelværdi 𝜇. (Illustration
fra http://wirtschaftslexikon.gabler.de/)
8. Thomas Windfeldt Grønkjær Specialerapport, 4L, KLT, KEA
Nøjagtighed kontra afstand og prismehøjde // Side 7 af 57
Deraf kan det i flg. Bent Sørensens udregning ”forventes, at den tilfældige fejl får en størrelse på 2
x 𝛿 i 1 tilfælde ud af 22 målinger, og først ved 368 målinger vil den tilfældige fejl én gang få en
størrelse på 3 x 𝛿.” (Sørensen, 1997, s. 34)
Den centrale grænseværdi
Hvad angår teori vedr. det fornødne antal observationer og den centrale grænseværdi læner jeg mig
op ad Kasper K. Berthelsens fortolkning: ”Hvis de stokastiske variable er uafhængige og fra samme
fordeling, så er gennemsnittet cirka normalfordelt, hvis bare 𝑛 er stor nok. Som regel er 𝑛 = 30 stor
nok.” (Berthelsen, 2012, s. 31)
9. Thomas Windfeldt Grønkjær Specialerapport, 4L, KLT, KEA
Nøjagtighed kontra afstand og prismehøjde // Side 8 af 57
Empiri
Etablering af net
Med øje for slutteligt at kunne overføre denne specialerapports analyse og konklusion til praksis
ved måling på jernbanen, har jeg helt fra den tidlige planlægningsfase af mine målinger bestræbt
mig på så vidt muligt at genskabe de fysiske rammer og vanlige procedurer for måling på
jernbanen.
Rygraden i god landmåling er som bekendt et godt fikspunktsnet, og hér er man udfordret, når man
måler på jernbanen. Opmålingsområdet er meget smalt og meget langt, så god geometri i vanlig
forstand er svær at opnå. For at kompensere for dette, har Banedanmark vedtaget at ”ved
nyetablering af net, tillades afstanden mellem 2 fikspunkter maksimalt at være 200 meter”
(Banedanmark, 2011, s. 16). Til at forstærke og stabilisere nettet er der i vid udstrækning etableret
referencepunkter, såkaldte faste
afmærkninger, på master, broer
og perroner.
I forsøget på at genskabe disse
forhold fandt jeg en asfalteret
600 meter lang, lige og smal
vejstrækning på Granatvej på
Kalvebod Fælled. Hér etablerede
jeg 22 punkter med Hilti-søm og
en parvis indbyrdes afstand på
50 meter – med undtagelse af
yderpunkterne hvor den parvise
afstand var 100 meter til de
nærmeste punkter.
Som det fremgår af
nedenstående skitse over punkterne og deres indbyrdes afstande blev punkterne 02, 03, 12, 19 og 22
betragtet som fikspunkter (F) med max. indbyrdes afstande på 200 meter, som foreskrevet i
Banenormen (se ovenstående), imens resten af nettets punkter blev betragtet som referencepunkter
(R).
Figur 3: Principiel skitse over fikspunkter (F) og referencepunkter (R), samt deres indbyrdes afstande.
Figur 2: De faktiske forhold på Granatvej under selve etableringen af de 22
punkter.
10. Thomas Windfeldt Grønkjær Specialerapport, 4L, KLT, KEA
Nøjagtighed kontra afstand og prismehøjde // Side 9 af 57
Forskellen mellem fiks- og referencepunkter gør sig gældende på to måder. Først og fremmest
måles der som regel på jernbanen til alle fikspunkter med cirkulært prisme i prismehøjde 1.3 m og
til alle referencepunkter, faste afmærkninger på bl.a. master, med miniprisme i prismehøjde 0.1 m.
Alle netmålinger sker med to fulde satser, hvilket også er et krav i Banenormen.3
Dernæst betyder forskellen imellem punkterne, at jeg i netmålingen kun har stillet op i punkterne
03, 12 og 19, og derudover har anvendt fem frie opstillinger for bedre indbinding og minimum tre
sigter til alle punkter.
Det plane net er efterfølgende beregnet i SDL som et lokalt, frit net med apriori-værdier udstukket i
Banenormen.4
Fejlbehæftede observationer er blevet luget ud efter grænserne for vægtede rettelser
(P*V) udstukket i Banenormen.5
Det fri net er efterfølgende blevet transformeret henover fem af
punkternes GPS-målte koordinater i KP2000, som er det koordinatsystem Banenormen foreskriver.6
Dette er udelukkende sket for at få mit lokale net i system, så det endelige resultat af denne
specialerapport er så sammenligneligt med praksis som muligt. For at undgå at overføre spændinger
til nettet fra GPS’ens unøjagtighed er transformationen sket uden målestoksændring, og de fem
GPS-målte punkter er overført transformerede til et nyt fikspunktskatalog.
Højdenettet er blevet til med udgangspunkt i et geometrisk dobbeltnivellement imellem alle nettets
22 punkter. Lukkesummen var hér 2.1 mm fordelt på det 1.2 km lange stræk, hvilket er acceptabelt i
flg. Banenormens forskrifter (max. 5 mm/km).7
Efterfølgende er højdenettet udjævnet og koter til
hvert af nettets 22 punkter udregnet i SDL.
Afstandsrelateret forsøg
Efter nettet var beregnet blev der stillet op i ni af punkterne og derfra detailmålt til alle
omkringliggende punkter i afstande á 50, 100, 150, 200 og 250 meter.
I forhold til den
afstandsrelaterede
spredningsberegning
har jeg for at holde
hoved og hale i
datamængden
nummereret
detailpunkter unikt
efter et system, hvor
tallet før bindestregs-
separatoren angiver
punktet, der er målt til,
og tallet efter angiver
punktet, der er stillet op i. Eksempelvis ”07-09” og ”09-07”. Her er førstnævnte en måling til Pkt 07
3
(Banedanmark, 2011, s. 18)
4
(Banedanmark, 2011, s. 14)
5
(Banedanmark, 2011, s. 14)
6
(Banedanmark, 2011, s. 13)
7
(Banedanmark, 2011, s. 15)
Figur 4: Antallet af observationer fra de enkelte opstillinger, fordelt på afstande til
omkringliggende punkter. Yderst til højre det totale antal observationer fordelt på afstande til
omkringliggende punkter.
11. Thomas Windfeldt Grønkjær Specialerapport, 4L, KLT, KEA
Nøjagtighed kontra afstand og prismehøjde // Side 10 af 57
fra opstilling i Pkt 09, og sidstnævnte en måling til Pkt 09 fra opstilling i Pkt 07. På den måde blev
målinger til punkterne ikke blandet sammen og alle observationer kunne efterfølgende relativt let
sorteres på indbyrdes afstande i mellem punkterne.
Slutteligt er punktspredningen fordelt på afstande á 50, 100, 150, 200 og 250 meter analyseret, og
denne sammenlignet med nøjagtighedskrav i plan (1 cm) og højden (5 mm) for spormålinger i
Banenormen.8
Prismehøjderelateret forsøg
For at kunne analysere betydningen af prismehøjden ved
netmålinger blev der igen stillet op i fikspunkterne 03, 12 og
19. Herfra blev der målt til omkringliggende fikspunkter
indenfor en radius af 300 meter med prismet i fire forskellige
højder, hhv 0.2, 0.5, 0.8 og 1.2 meter. Derudover blev der
benyttet fire frie opstillinger for at opnå bedre indbinding og
minimum tre sigter til alle punkter.
Således er der reelt blevet opmålt fire forskellige fikspunktsnet
baseret på fire forskellige prismehøjder. Hér er det af afgørende
betydning, at alle fire net er funderet i de samme opstillinger,
og sågar opmålt samme dag. På den måde er de væsentligste
fejlkilder ens for alle fire net, og dermed udlignet i den
endelige sammenligning og analyse.
Som et udtryk for nøjagtigheden af punktbestemmelsen af
fikspunkter ved polær netopmåling, anvender jeg den
beregnede punktspredning i SDL’s plane netudjævning af
observationerne med mindste kvadraters metode. I forhold til
den prismehøjderelaterede spredningsanalyse benyttes SDL’s
beregnede punktspredninger fra resultat-filerne ved plan-
netudjævning af de fire forskellige fikspunktsnet målt med
prismehøjde i hhv. 0.2, 0.5, 0.8 og 1.2 meter.
Varierende prismehøjder skønnes at have en meget lille indflydelse på nøjagtigheden af
højdebestemmelsen af fikspunkter. Derfor analyseres spredningen udelukkende for den plane
punktbestemmelse i det prismehøjderelaterede forsøg.
Den primære forskel fra det oprindeligt etablerede net har været, at jeg til det prismehøjderelaterede
forsøg har undladt at måle til alle referencepunkterne. Dette skete primært for at isolere
udjævningens spredninger til kun at berøre fikspunkter og de spændinger, der måtte opstå ved
observationer til prismet i forskellige højder.
Udfordring
Inden opstart af målingerne til denne specialerapport rådførte jeg mig hos skolens lærere i forhold
til at køre ”Tjek og justér”-programmet for af kalibrere det instrument, jeg var tildelt, men fandt at
8
(Banedanmark, 2011, s. 42)
Figur 5: Foto af bagsiden af SECO’s
6455-00 prisme, der kan justeres i højden
på 5120-03 prismestokken.
12. Thomas Windfeldt Grønkjær Specialerapport, 4L, KLT, KEA
Nøjagtighed kontra afstand og prismehøjde // Side 11 af 57
der var restriktioner. Man ønskede ikke at de studerende kalibrerede skolens instrumenter på egen
hånd.
Eftersom de fleste målinger af den vertikale vinkel lå i tilnærmelsesvis vandret plan, vurderede jeg
at den mest betydelige fejl kunne være på registreringen af den horisontale vinkel. Derfor besluttede
jeg at tjekke for kollimationsfejl inden start på hver ny måledag, og fandt aldrig hér anledning til
bekymring. Resultatet af beregningerne af det plane net viste sig også at være aldeles godt, med
punktafvigelser på maksimalt 1 mm.
Da jeg nåede til selve detailberegningerne, figurerede der derimod ualmindeligt store
koteafvigelser, når SDL regnede opstillingerne. Det spillede i plan, men der var et markant problem
med højderne. Det var tydeligt at se, at afvigelserne var afstandsrelaterede, hvilket er forventeligt,
men ikke på helt op til 3-4 cm på blot 200 meter. Afvigelserne var lineære og tydede i høj grad på
en systematisk fejl.
Allerførst dobbelttjekkede jeg naturligvis alle de indtastede instrumenthøjder med min målebog og
fandt ingen fejl.
Dernæst forsøgte jeg at regne opstillingerne som frie, for at se om spændingerne måske var et
resultat af konsekvent, forkert opmålte instrumenthøjder, men fik næsten samme koteafvigelser.
Herefter baserede jeg mine detailberegninger på et lokalt net i stedet for i KP2000, for på den måde
at belyse om fejlen lå i systemkorrektioner og muligvis en geoide-relateret regnefejl i SDL, men
også hér fik jeg præcis samme koteafvigelser.
Undervejs skærpedes mit fokus på, at det kunne skyldes en decideret instrumentfejl på den
horisontale akse. For endeligt at konkludere dette vendte jeg tilbage til mine målinger af det plane
net, som foregik med to fulde satser. Hér burde en eventuel instrumentfejl altså være udlignet pga.
gennemslaget og ovenikøbet midlet pga. de to satser. Derfor valgte jeg at detailberegne mine
netmålinger, og med ét var koteafvigelserne i SDL’s beregninger af opstillingerne helt nede mlm 1
og 5 mm. Ergo, måtte mit instrument have en markant fejl på den horisontale akse.
Da detailmålinger på jernbanen ikke foregår med to fulde satser, ville mit resultat ikke være 100%
sigende for praksis, hvis jeg som nødløsning valgte at bruge mine netmålinger som detailmålinger.
Derfor valgte jeg helt at skrotte de oprindelige detailmålinger fra det fejlbehæftede instrument, og i
stedet foretage helt nye og friske målinger med et instrument, som var nyligt serviceret og kalibreret
af producenten.
13. Thomas Windfeldt Grønkjær Specialerapport, 4L, KLT, KEA
Nøjagtighed kontra afstand og prismehøjde // Side 12 af 57
Resultater/Diskussion
Afstandsrelateret forsøg
Efter endt detailopmåling og –beregning (se Bilag 3) foretages en reel spredningsberegning baseret
på alle de detailberegnede punkter og deres indbyrdes afvigelse fra de beregnede værdier til de
tilhørende punkter i nettet.
Af Bilag 4 fremgår hele grundlaget for den afstandsrelaterede spredningsberegning. Resultatet ses
øverst, hvor det fremgår at punktspredningen i det horisontale plan varierer fra 3 mm ved 50 meters
afstand til 5 mm ved 250 meters afstand. Punktspredningen i det vertikale plan, altså på
højdebestemmelsen, varierer fra 3 mm i 50 meters afstand til 13 mm i 250 meters afstand.
Som tidligere nævnt i teoriafsnittet antager vi, at de målte vinkler og afstande, der ligger til grund
for detailmålingerne, er normalfordelte, og at værdierne for samme punkt er uafhængige identisk
fordelte stokastiske variable. Således gælder Gauss’ karakteristiske klokkeformede kurve over
normalfordeling og dermed, at i 68,27% af tilfældene vil målingerne ligge indenfor 1 x 𝛿, i 95,45%
indenfor 2 x 𝛿 og i 99,73% indenfor 3 x 𝛿.
Jeg har i nedenstående to kurvediagrammer bestræbt mig på at tydeliggøre, hvorledes
punktspredningen i plan (Figur 6) og i højden (Figur 7) forholder sig til Banenormens
nøjagtighedskrav til spordata, der som tidligere nævnt er 1 cm i plan og 5 mm i højden. Endvidere
har jeg i begge diagrammer inkluderet kurver over udviklingen af punktspredningen, hvis den
fordobles og tredobles.
Figur 6: Kurvediagram over punktspredning i plan fordelt på afstand, og hvordan denne forholder sig til
Banenormens nøjagtighedskrav.
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
50 100 150 200 250
Punktspredning(imeter)
Afstand (i meter)
Punktspredning i plan fordelt på afstand
δ
δ x 2
δ x 3
Nøjagtighedskrav
14. Thomas Windfeldt Grønkjær Specialerapport, 4L, KLT, KEA
Nøjagtighed kontra afstand og prismehøjde // Side 13 af 57
Af disse to diagrammer ses det tydeligt, at Banenormens nøjagtighedskrav sagtens kan overholdes i
plan, både ved 1 og 2 gange punktspredning. Det er først ved tredoblet punktspredning og omkring
120 meters afstand at kravene overskrides. Noget anderledes ser det imidlertid ud for
punktspredningen i højden. Hér er det også ved omkring 120 meters afstand at nøjagtighedskravene
overskrides, men det er kun ved 1 gange punktspredning. Fordobler eller tredobler man
punktspredningen har man faktisk overskredet nøjagtighedskravene inden man overhovedet er
kommet i gang!
Derfor er det ret væsentligt, hvorledes Banenormens nøjagtighedskrav præcis defineres. Anses det
f.eks. for nøjagtigt nok at, jf. teoriafsnittet, i 1 tilfælde ud af 22 målinger vil den tilfældige fejl have
en størrelse på 2 x 𝛿 eller derover? Med andre ord, menes der 1, 2 eller 3 gange punktspredning, når
Banenormen omtaler nøjagtighedskrav?
Hér kommer man til kort, hvis man blot holder sig til teksten i Banenormen. Ingen steder defineres
betydningen af ”nøjagtighed” præcist i forhold til punktspredningen.
Imidlertid har en gruppe landinspektørstuderende tilbage i 2007 haft samme vanskeligheder i et
forsøg på at integrere laserskanningsudstyr og en banetrolje for at udvikle en prototype til
jernbanemåling. I den forbindelse kontaktede de Carsten Jørgensen fra COWI, der havde udarbejdet
den dengang gældende Banenorm for Banedanmark, og deraf konkluderede gruppen, at ”de nævnte
nøjagtighedskrav i Banenormen er tre gange spredningen.” (Rønbøg Nørnberg, 2007, s. 15)
Velvidende at dén version af Banenormen, som ovenstående gruppe har forholdt sig til, er ældre
end den gældende, vælger jeg imidlertid at tro, at Banedanmark i den for nuværende gældende
Banenorm ikke har slækket på kravene, og at der derfor med ”nøjagtighed” stadig menes tredobbelt
spredning.
Med nøjagtighedskravene helt på plads og set i forhold til den konkrete afstandsrelaterede
spredningsberegning, bliver det aldeles tydeligt, at Banenormen har meget strenge krav til
Figur 7: Kurvediagram over punktspredning i højden fordelt på afstand, og hvordan denne forholder sig til
Banenormens nøjagtighedskrav.
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
50 100 150 200 250
Punktspredning(imeter)
Afstand (i meter)
Punktspredning i højden fordelt på afstand
δ
δ x 2
δ x 3
Nøjagtighedskrav
15. Thomas Windfeldt Grønkjær Specialerapport, 4L, KLT, KEA
Nøjagtighed kontra afstand og prismehøjde // Side 14 af 57
højdebestemmelsen af spormålinger på banen. Men nytter det noget, når kravene er så strenge, at
man som illustreret i ovenstående kurvediagram over punktspredning i højden fordelt på afstand
(Figur 7), praktisk talt ikke kan komme i gang med sine målinger, før man har overskredet
nøjagtighedskravene? Er man tvunget til at kalibrere sit instrument inden hver eneste måledag, eller
skal der måske andre målemetoder til for at opnå den nøjagtighed som Banedanmark foreskriver?
En ekstra analyse
For eksperimentets skyld vender jeg blikket tilbage til den udfordring, jeg havde med det første
fejlbehæftede instrument, og alle de overvejelser jeg hér gjorde mig i forhold til at isolere
problemet. Dér regnede jeg mine netmålinger som detailpunkter og eliminerede ved den lejlighed
de fejl, der måtte være i instrumentet på både den horisontale og vertikale akse, fordi netmålinger
foregår med to fulde satser.
Derfor vil jeg nu anvende beregningerne af netmålingerne som detailpunkter og foretage en
lignende afstandsrelateret spredningsberegning. Efterfølgende vil jeg analysere resultatet for at
belyse, om man ved detailopmåling med to fulde satser kan opfylde de strenge nøjagtighedskrav i
Banenormen.
Af Bilag 5 fremgår hele grundlaget for den nye afstandsrelaterede spredningsberegning. Igen ses
resultatet øverst, hvor det fremgår at punktspredningen i det horisontale plan ligger støt på 1 mm
uanset om det gælder 50, 100, 150 eller 200 meters afstand. Punktspredningen i det vertikale plan,
altså på højdebestemmelsen, varierer fra 2 mm i 50 meters afstand til 6 mm i 200 meters afstand.
Det skal pointeres, at jeg
er helt bevidst om, at
denne afstandsrelaterede
spredningsberegning
baserer sig på langt færre
observationer end
tilfældet var med den
første, hvilket går på
kompromis med det
teoretiske grundlag for
den centrale
grænseværdi.
Ideelt set skulle jeg have haft i omegnen af 30 observationer totalt fra de forskellige opstillinger
fordelt på hver afstand til de omkringliggende punkter. At jeg kun baserer min spredningsberegning
for 150 og 200 meters afstand på hhv. 9 og 3 observationer er ikke optimalt. Men dette eksperiment
tjener igen blot til at illustrere, om man selv ved detailopmåling med to fulde satser kan møde de
strenge nøjagtighedskrav i Banenormen, og hér mener jeg grundlaget for at finde en tendens ved 50
og 100 meters afstand med hhv. 21 og 17 observationer er acceptabelt.
Til analyse af den nye afstandsrelaterede spredningsberegning har jeg igen udarbejdet to
kurvediagrammer, hvori jeg har bestræbt mig på at tydeliggøre, hvorledes punktspredningen i plan
(Figur 9) og i højden (Figur 10) forholder sig til Banenormens nøjagtighedskrav.
Figur 8: Antallet af observationer fra de enkelte opstillinger, fordelt på afstande til
omkringliggende punkter. Yderst til højre det totale antal observationer fordelt på afstande
til omkringliggende punkter.
16. Thomas Windfeldt Grønkjær Specialerapport, 4L, KLT, KEA
Nøjagtighed kontra afstand og prismehøjde // Side 15 af 57
Af disse to diagrammer ses det tydeligt, at Banenormens nøjagtighedskrav denne gang sagtens kan
overholdes i plan, både ved 1, 2 og 3 gange punktspredning. Igen er den store forskel at spore ved
højdebestemmelsen. Denne gang kan Banenormens nøjagtighedskrav overholdes ved 1 og 2 gange
punktspredning helt ud på over 150 meters afstand, men ved tredobbelt punktspredning er
nøjagtighedskravene igen overskredet inden man overhovedet er kommet i gang.
Så selvom man vælger at udføre sine detailmålinger med to fulde satser overholder man ikke
nøjagtighedskravene for højdebestemmelsen i den gældende Banenorm. Tankevækkende.
Figur 9: Kurvediagram over punktspredning i plan fordelt på afstand, og hvordan denne forholder sig til
Banenormens nøjagtighedskrav.
Figur 10: Kurvediagram over punktspredning i højden fordelt på afstand, og hvordan denne forholder sig til
Banenormens nøjagtighedskrav.
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
50 100 150 200
Punktspredning(imeter)
Afstand (i meter)
Punktspredning i plan fordelt på afstand
δ
δ x 2
δ x 3
Nøjagtighedskrav
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
50 100 150 200
Punktspredning(imeter)
Afstand (i meter)
Punktspredning i højden fordelt på afstand
δ
δ x 2
δ x 3
Nøjagtighedskrav
17. Thomas Windfeldt Grønkjær Specialerapport, 4L, KLT, KEA
Nøjagtighed kontra afstand og prismehøjde // Side 16 af 57
Instrumentets grundfejl
Ovenstående har jeg med et kronologisk og logisk forløb analyseret, hvorledes resultaterne af mine
målinger lever op til nøjagtighedskravene stillet i den gældende Banenorm. Det er gradvist blevet
mere og mere tydeligt, hvor høje Banenormens nøjagtighedskrav i virkeligheden er, især i forhold
til højdebestemmelsen.
For at prøve at anskue problemet med at leve op til nøjagtighedskravene fra en anden vinkel, vil jeg
i stedet starte med at tage afsæt i, at nøjagtighedskravet på højden som bekendt er 5 mm, og at dette
tilmed bør være 3 gange punktspredningen. Ergo, er 1 gange den tilladte punktspredning lig 1,667
mm. Er det realistisk? Det kan man jo sige, at jeg allerede har belyst i ovenstående resultatanalyse,
men jeg har endnu ikke draget grundfejlen på instrumentet ind i regnestykket.
For hvis man allerhøjest må opnå en punktspredning på 1,667 mm på højden, hvor stor en
betydning har instruments grundfejl så egentlig? Og hvor meget ”albuerum” er der reelt tilbage til
landmåleren, inden Banenormens nøjagtighedskrav overskrides?
Til mine detailmålinger brugte jeg Leica’s totalstation TS15 med Viva/SmartWorx 5.50 controller.
Leica Geosystems oplyser at dette instrument har en grundfejl på afstandsmålingen på 1mm + 1,5
ppm ved målinger med standard måletid (typisk 2,4 sek.).9
Omregnet til de afstands-inddelinger, der opereres med i denne specialerapport, ser grundfejlen på
afstandsmålingen for TS15 således ud:
50 m: 1 mm + 0,075 mm
100 m: 1 mm + 0,150 mm
150 m: 1 mm + 0,225 mm
200 m: 1 mm + 0,300 mm
250 m: 1 mm + 0,375 mm
Derudover oplyses det, at grundfejlen på vinkelmålingen på dette instrument, der er kategoriseret
som 1”, er 0,3 mgon.
Med begge grundfejl på plads kan det beregnes, hvor stor en samlet betydning disse har på
højdebestemmelsen ved de afstands-inddelinger, der opereres med i denne specialerapport:
50 m: (50 m + 1 mm + 0,075 mm) * sin (0,0003) = 0,236 mm
100 m: (100m + 1 mm + 0,150 mm) * sin (0,0003) = 0,471 mm
150 m: (150 m + 1 mm + 0,225 mm) * sin (0,0003) = 0,707 mm
200 m: (200 m + 1 mm + 0,300 mm) * sin (0,0003) = 0,942 mm
250 m: (250 m + 1 mm + 0,375 mm) * sin (0,0003) = 1,178 mm
Af ovenstående kan sluttes, at alle andre fejl ved f.eks. 150 meters afstand maksimalt må ophobe sig
til lige under 1 mm, hvis nøjagtighedskravene skal overholdes. Med andre ord skal der fastcentreres
meget præcist i opstillingen, og samtidig skal prismet, der måles til, være fejlfrit og meget præcist
centreret. Hvis disse fejl tilsammen hober sig op i nærheden af den tilbageværende millimeter, så
forudsætter det jo et instrument, der kun har grundfejlen for ikke at overskride Banenormens
9
(Leica Geosystems, 2010, s. 2)
18. Thomas Windfeldt Grønkjær Specialerapport, 4L, KLT, KEA
Nøjagtighed kontra afstand og prismehøjde // Side 17 af 57
nøjagtighedskrav. Hvis der er den mindste smule fejl på akserne, har jeg i ovenstående bevist, at
selv målinger med to fulde satser ikke udligner tilstrækkeligt.
Prismehøjderelateret forsøg
For at analysere betydningen af prismehøjden for nøjagtigheden af punktbestemmelsen af
fikspunkter ved polær netopmåling har jeg først foretaget fire forskellige plane netudjævninger i
SDL, én for hver af de opmålte fikspunktsnet med prismehøjden (PH) i hhv. 0.2, 0.5, 0.8 og 1.2
meter. Resultaterne af disse fire netudjævninger findes i Bilag 6-9.
Ved PH i 0.2 opnås en punktspredning på 2 mm for alle fikspunkter, imens punktspredningen
spænder mlm 2 og 3 mm ved PH i både 0.5 og 0.8, og endeligt varierer punktspredningen mlm 3 og
4 mm ved PH i 1.2.
Jeg har i nedenstående søjlediagram (Figur 11) bestræbt mig på at tydeliggøre, hvorledes
punktspredningen i plan fordeler sig i de enkelte fikspunkter i forhold til prismehøjden.
Hér ses det tydeligt, hvor meget mere nøjagtig punktbestemmelsen bliver jo lavere prismehøjden er.
Selve størrelsen af spredningen i det enkelte punkt er ikke så vigtig for analysen. Det er forskellen i
punktspredningen ved de forskellige prismehøjder, der har relevans. Det er nemlig denne forskel i
punktspredningen, der er udtryk for betydningen af prismets højde.
Derfor kan man også for forenklingens skyld se bort fra punktspredningernes udsving i nettets
yderpunkter (hvilket formentlig beror på SDL’s udjævningsmetode), og i stedet sammenligne
gennemsnittet af punktspredningerne i de fem punkter for hver af de fire forskellige prismehøjder.
Ved PH i 0.2 er gennemsnittet 2 mm, imens gennemsnittet ved PH i 0.5 og 0.8 er ens og 2,4 mm.
Ved PH i 1.2 er gennemsnittet 3,4 mm.
Figur 11: Søjlediagram over punktspredningen i plan for nettets fem fikspunkter, fordelt på prismehøjde.
0
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0.2 0.5 0.8 1.2
Punktspredning(imeter)
Prismehøjde (i meter)
Punktspredning i plan fordelt på
prismehøjde
Pkt 02
Pkt 03
Pkt 12
Pkt 19
Pkt 22
19. Thomas Windfeldt Grønkjær Specialerapport, 4L, KLT, KEA
Nøjagtighed kontra afstand og prismehøjde // Side 18 af 57
Med andre ord kan punktspredningen mindskes med små 30% ved at justere PH fra 1.2 til enten 0.8
eller 0.5, og har man mulighed for at justere PH helt ned til 0.2 så vinder man godt 40% i forhold til
at måle til prismet i PH 1.2.
Et andet tydeligt udtryk for den markante forbedring af nøjagtigheden ved målinger til prismet i PH
0.2 i forhold til 1.2 er SDL’s beregnede middelfejl på vægtenheden i resultatfilerne. Denne værdi
halveres næsten med PH 0.2 sammenlignet med PH 1.2.
20. Thomas Windfeldt Grønkjær Specialerapport, 4L, KLT, KEA
Nøjagtighed kontra afstand og prismehøjde // Side 19 af 57
Konklusion
Et af formålene med denne specialerapport har været at undersøge, hvilken betydning afstanden har
for nøjagtigheden af punktbestemmelsen ved polær detailmåling på jernbanen.
Hér mener jeg, at ovenstående dokumentation af mit afstandsrelaterede forsøg med al ønskelig
tydelighed har belyst, hvor stor en indflydelse afstanden har for nøjagtigheden af
punktbestemmelsen i både plan og højden. Jeg har især bemærket, hvor markant større betydning
afstanden har for punktbestemmelsens nøjagtighed i højden i forhold til plan.
Derudover var et andet formål, at undersøge ved hvilken afstand nøjagtighedskravene ved
spormåling udstukket i den gældende Banenorm overskrides.
Hér har jeg især fokuseret mit blik. For uden disse strenge nøjagtighedskrav at forholde mine
målinger til ville jeg næppe have analyseret helt så grundigt. En nøgtern konklusion må være, at
nøjagtighedskravene for plan punktbestemmelse først overskrides på omkring 120 meters afstand,
imens billedet er noget anderledes for punktbestemmelsen i højden. Hér har det i det hele taget
været umuligt at overholde Banenormens nøjagtighedskrav, uanset om der er blevet detailmålt på
almindelig vis, ellers sågar med to fulde satser.
Reelt har jeg bevist, at Banenormens nøjagtighedskrav overskrides ved praksis i dag – forudsat at
der med ”nøjagtighed” menes 3 gange spredningen. I praksis er det ikke muligt at foretage en
lignende post-teoretisk spredningsanalyse for hvert enkelt projekt, da detailpunkter i marken
sjældent er særligt veldefinerede, og man naturligvis ofte kun har én måling til hvert punkt. Dette er
formentlig også grunden til at nøjagtighed i Banenormen ikke defineres i forhold til spredning.
I stedet beror kvalitetssikringen af de store mængder opmålingsdata Banedanmark modtager
ugentligt fra deres mange leverandører på nogle andre og delvist empiriske parametre. Som nævnt
udstikker Banenormen bl.a. præcise krav til størrelsen og antallet af vægtede rettelser i
netberegninger. Derudover vurderer den enkelte leverandør nøjagtigheden af opmålingsdataen ud
fra bl.a. kvaliteten af opstillingerne, hvor den beregnede målestoksfaktor og afstands- og
koteafvigelser i detailberegningens resultat-fil er de vigtigste parametre. Endvidere er fejlbehæftet
spordata relativt nem at få øje på, fordi sporene skal sammenstykkes meget præcist af mange
forskellige målinger fra opstillinger langs hele opmålingsstrækningen.
Jeg er meget overrasket over, hvor strenge nøjagtighedskravene egentlig har vist sig at være på
højden. Oprindeligt havde jeg forestillet mig, at jeg skulle udfordre ”100 meter-reglen” hos Atkins,
om at man i praksis måler jernbanespor maksimalt 100 meter ud fra hver opstilling, og måske endda
ændre praksis til, at man kunne måle spor f.eks. dobbelt så langt ud fra hver opstilling uden at gå på
kompromis med nøjagtighedskravene i Banenormen. Dér har arbejdet med denne specialerapport
været en øjenåbner.
Som nævnt i indledningen har min egen erfaring fra tidligere projekter i løbet af mit studieforløb
været, at man opnår rimelig stor præcision ved meget længere sigter end 100 meter. Set i bakspejlet
må jeg konstatere, at min erfaring med højere præcision primært må være funderet i plane
spredningsberegninger. Nu er jeg den erkendelse rigere.
Det sidste formål med min specialerapport var at undersøge, hvilken betydning prismehøjden har
for nøjagtigheden af punktbestemmelsen af fikspunkter ved polær netmåling på jernbanen.
21. Thomas Windfeldt Grønkjær Specialerapport, 4L, KLT, KEA
Nøjagtighed kontra afstand og prismehøjde // Side 20 af 57
Med dokumentationen til mit relativt enkle prismehøjderelaterede forsøg har jeg bl.a. belyst, hvor
meget der procentmæssigt er at vinde i nøjagtigheden af punktbestemmelsen ved at justere ned på
prismehøjden ved måling til fikspunkter.
22. Thomas Windfeldt Grønkjær Specialerapport, 4L, KLT, KEA
Nøjagtighed kontra afstand og prismehøjde // Side 21 af 57
Litteraturliste
Banedanmark. (2011). Banenorm BN2-94-2, Landmåling på banen. Hentet fra Banedanmarks
filarkiv, 01-01-2015: http://www.bane.dk/db/filarkiv/5044/bn2-94-2.pdf
Berthelsen, K. K. (2012). Landmålingens Fejlteori... Hentet fra Aalborg Universitet. Institut for
Matematiske Fag, 09-02-2015:
http://people.math.aau.dk/~kkb/Undervisning/LF12/slides/handout2.pdf
Leica Geosystems. (2010). Leica Viva TS15 Datablad. Hentet fra Leica Geosystems download-
sektion, 03-03-2015: http://www.leica-
geosystems.dk/downloads123/zz/tps/Viva%20TS15/brochures-
datasheet/Leica%20Viva%20TS15%20Datasheet_da.pdf
Mærsk-Møller, E. /. (1978). Landmåling: Fejlteori og udjævning. Instituttet For Landmåling Og
Fotogrammetri.
Rønbøg Nørnberg, J. /.-C. (2007). Prototype til jernbanemåling. Hentet fra Aalborg Universitets
projektarkiv, 01-03-2015:
http://projekter.aau.dk/projekter/files/10764945/Prototype_til_Jernbanem__ling.pdf
Sørensen, B. (1997). Landmåling. Ingeniørhøjskolen i Horsens.
