VOL-1-No-42-42-2019

No 42 (2019)
Р.1
The scientific heritage
(Budapest, Hungary)
The journal is registered and published in Hungary.
The journal publishes scientific studies, reports and reports about achievements in different scientific
fields. Journal is published in English, Hungarian, Polish, Russian, Ukrainian, German and French.
Articles are accepted each month. Frequency: 12 issues per year.
Format - A4
ISSN 9215 — 0365
All articles are reviewed
Free access to the electronic version of journal
Edition of journal does not carry responsibility for the materials published in a journal. Sending the
article to the editorial the author confirms it’s uniqueness and takes full responsibility for
possible consequences for breaking copyright laws
Chief editor: Biro Krisztian
Managing editor: Khavash Bernat
 Gridchina Olga - Ph.D., Head of the Department of Industrial Management and Logistics
(Moscow, Russian Federation)
 Singula Aleksandra - Professor, Department of Organization and Management at the University
of Zagreb (Zagreb, Croatia)
 Bogdanov Dmitrij - Ph.D., candidate of pedagogical sciences, managing the laboratory
(Kiev, Ukraine)
 Chukurov Valeriy - Doctor of Biological Sciences, Head of the Department of Biochemistry of
the Faculty of Physics, Mathematics and Natural Sciences (Minsk, Republic of Belarus)
 Torok Dezso - Doctor of Chemistry, professor, Head of the Department of Organic Chemistry
(Budapest, Hungary)
 Filipiak Pawel - doctor of political sciences, pro-rector on a management by a property complex
and to the public relations (Gdansk, Poland)
 Flater Karl - Doctor of legal sciences, managing the department of theory and history of the state
and legal (Koln, Germany)
 Yakushev Vasiliy - Candidate of engineering sciences, associate professor of department of
higher mathematics (Moscow, Russian Federation)
 Bence Orban - Doctor of sociological sciences, professor of department of philosophy of religion
and religious studies (Miskolc, Hungary)
 Feld Ella - Doctor of historical sciences, managing the department of historical informatics,
scientific leader of Center of economic history historical faculty (Dresden, Germany)
 Owczarek Zbigniew - Doctor of philological sciences (Warsaw, Poland)
 Shashkov Oleg - Сandidate of economic sciences, associate professor of department (St. Peters-
burg, Russian Federation)
«The scientific heritage»
Editorial board address: Budapest, Kossuth Lajos utca 84,1204
E-mail: public@tsh-journal.com
Web: www.tsh-journal.com

CONTENT
PHYSICS AND MATHEMATICS
Voronov A.
DEVELOPMENT OF THE TIME PARAMETERIZATION
METHOD IN THE TWO-BODY PROBLEM......................3
Mukhambetova А.
THE RESEARCH OF SOLUTIONS OF A SYSTEM OF THE
FIRST ORDER QUASILINEAR DIFFERENTIAL
EQUATIONS ...............................................................20
TECHNICAL SCIENCES
Gorkunov B., Lvov S.,
Borysenko Y., Tamer S.
MULTI-PARAMETER ELECTROMAGNETIC METHOD OF
TESTING CYLINDRICAL CONDUCTORS.......................25
Teliura N., Beketov O.M.
ECOLOGICAL SAFETY OF EUTROPHIC WATER BODIES
VIA THE IMPLEMENTATION OF PRIORITY WATER
DISPOSAL TECHNOLOGIES IN SETTLEMENTS ............29
Abbasova H.
FULL-FACTORIAL MODEL OF ACCURACY IN
MULTITOOL TWO-CARRIAGE MACHINING...............31
Grebenshchikova T., Krasnova M.
3D FEATURE FROM TITANIUM..................................36
Barashko E., Mazurenko S., Shadrin A.
MODERN SOLUTIONS OF HUMAN IDENTIFICATION.
FACE RECOGNITION ..................................................40
Melnyk O.
IMPACT OF OVERSIZED AND HEAVY CARGO LOAD ON
SHIP’S TRIM AND STABILITY......................................42
Nikolaenko V., Bulin M., Marchuk K.
IMPROVEMENT OF THE VEHICLE TRANSMISSION.....48
Barashko E., Kruzhilin K., Osipova N.
MODERN RUSSIAN SUPERCOMPUTERS. ANALYSIS
AND SCOPE................................................................50
Akimova E., Popova Y., Rashchepkina S.
ABOUT DESIGNING TOWER COOLERS.......................52
Gorkunov B., Tyshchenko A.,
Bogomaz O., Lvov S., Abbasi Jabbar
SORTING THIN-WALL SHEETS OF THE SAME STEEL
GRADE VARIOUS MANUFACTURERS .........................58
Hafed I.S. Abdulsalam
DYNAMICS MODEL OF GEAR TRANSMISSION...........64
Kovalenko T., Kholodenin A.
RELEVANCE OF INFORMATION AUDIT IN THE
MODERN WORLD ......................................................69
Melnichenko O., Chechet A.
FORMATION OF CRITERIA FOR ASSESSMENT OF
ORGANIZATIONS PROVIDING SERVICES FOR
PASSENGER SURVEY PROJECTS .................................71

The scientific heritage No 42 (2019) 3
PHYSICS AND MATHEMATICS
РАЗВИТИЕ МЕТОДА ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ВРЕМЕНИ В ЗАДАЧЕ ДВУХ ТЕЛ
Воронов А.М.
Кандидат физико-математических наук, доцент,
доцент кафедры логистики и информационных технологий
Витебского филиала Международного университета «МИТСО»
DEVELOPMENT OF THE TIME PARAMETERIZATION METHOD IN THE TWO-BODY
PROBLEM
Voronov A.
Candidate of physical and mathematical Sciences, associate Professor,
Associate Professor of logistics and information technology Department
Vitebsk branch of the international University «MITSO»
Аннотация
В данной статье получено параметрическое представление решений задачи двух тел в терминах пара-
метра, который естественно назвать собственным временем данной динамической системы. Найденные
соотношения позволяют в удобном аналитическом виде находить радиальную составляющую и декартовы
координаты гравитирующих тел. Кроме того, соответствующие дифференциальные уравнения позволяют
утверждать, что задача двух тел в эллиптическом случае эквивалентна задаче о линейном гармоническом
осцилляторе, что, по мнению автора, представляет собой интересный теоретический факт.
Полученная явная зависимость декартовых координат от параметра дает возможность находить в яв-
ном виде различные характеристики движения: скорость, ускорение, кривизну орбиты, а в гиперболиче-
ском случае угол между асимптотами, что представляет интерес в теории рассеяния. Кроме того, рассмат-
ривается релятивистская модель задачи двух тел в рамках СТО без учета запаздывания взаимодействия
между телами. Такая модель приводит к аналогу уравнения Бине и позволяет приближенно найти смеще-
ние перигелия Меркурия.
Abstract
In this paper, we obtain a parametric representation of the solutions of the two-body problem in terms of a
parameter that can be called the eigentime of a given dynamical system. The found relations allow to find the
radial component and Cartesian coordinates of gravitating bodies in a convenient analytical form. in addition, the
corresponding differential equations allow to assert that the problem of two bodies in the elliptic case is equivalent
to the problem of a linear harmonic oscillator, which, according to the author, is an interesting theoretical fact.
The obtained explicit dependence of Cartesian coordinates on the parameter makes it possible to find explic-
itly different characteristics of motion: velocity, acceleration, curvature of the orbit, and in the hyperbolic case the
angle between the asymptotes, which is of interest in the scattering theory. In addition, we consider a relativistic
model of the two-body problem within SRT without taking into account the lag of interaction between bodies.
This model leads to an analogue of the Binet equation and allows us to approximate the displacement of the peri-
helion of Mercury.
Ключевые слова: собственное время, параметризация, аппроксимация, гравитационный потенциал,
эллиптическое движение, параболическое движение, гиперболическое решение, задача Кеплера, смеще-
ние перигелия.
Keyword: proper time, parameterization, approximation, gravitational potential, elliptic motion, parabolic
motion, hyperbolic solution, Kepler problem, perihelion displacement.
Введение. Система дифференциальных уравнений, описывающая кеплеровское движение двух тел в
прямоугольных декартовых координатах с центром в точке с массой 0 ,m имеет следующий вид ([1],
с.434):
, , ,
3 3 3
yx zx y z
r r r
    (1)
где  0 1 0 1, ,f m m m m   – массы гравитирующих тел, f – гравитационная постоянная,
2 2 2.r x y z  
Основные классические методы аналитического интегрирования системы (1) – это метод Клеро –
Лапласа и метод Бине. Метод Клеро – Лапласа состоит в переходе к цилиндрической системе координат
2 2cos , sin , ,x y r z       
что приводит к системе уравнений ([1], с.430)

4 The scientific heritage No 42 (2019)
3
2 21 ,
2
0,
u u s
c
s s




  
    




   
  
(2)
где
1 , ,zu s c
 
  – некоторая постоянная.
Система (2) представляет собой систему из двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными
функциями u и ,s после интегрирования которой и время t определяется квадратурой в зависимости от
долготы .
В методе Бине ([1], с.464) в качестве параметра берется величина
.
0 2
0
t dtc
rt
    (3)
Такой подход приводит к дифференциальному уравнению
2
,
2 2
d u u
d c


 
где
1,u c
r
 – некоторая постоянная.
Однако, – и в этом цель настоящей статьи, можно получить более удобное параметрическое представ-
ление решений системы (1), если в качестве параметра выбрать параметр  следующим образом:
  .dt r t
d


   (4)
Замена времени в задаче двух тел с произвольным потенциалом
Рассмотрим задачу движения двух тел с массами 0m и
1
m в силовом поле с потенциалом  ,U r
2 2 2
,
1 0 1 0 1 0
r x x y y z z     
     
     
      зависящим лишь от расстояния между телами в абсо-
лютной декартовой системе координат.
Система дифференциальных уравнений, описывающая движение, в абсолютных декартовых коорди-
натах будет иметь вид:
      1 ,
0 0 1 0
0 0
U r dU r dU rrm x x x
rx xdr dr
 
 
 
       
 
      1 .
1 1 1 0
1 1
U r dU r dU rrm x x x
rx xdr dr
 
 
 
       
 
Аналогичные уравнения получаются и для переменных , , , .
0 1 0 1
y y z z
Таким образом,
 1 1 1 .
1 0 1 0
1 0
dU r
x x x x
m m r dr
 
  
     
 
      
Это уравнение дает возможность перейти к относительной системе координат; положив
, , ,
1 0 1 0 1 0
x x x y y y z z z     
получим систему уравнений

 
 
 
 
 
 
10 1 , 5.1
0 1
10 1 , 5.2
0 1
10 1 . 5.3
0 1
m m dU r
x x
m m r dr
m m dU r
y y
m m r dr
m m dU r
z z
m m r dr














   

   

   
Заметим, что квадратичная аппроксимация потенциала  U r приводит систему (5.1 – 5.3) к системе
линейных дифференциальных уравнений, но это направление исследований отражено в работах [2] – [7].
Теорема 1. Подстановка (4) приводит уравнение для радиальной составляющей к виду
 
2 20 1 ,
2 0 1
m md r dhr r U r
m m drd
 
 
 

    (6)
в котором постоянная энергии h определяется равенством
       
2
0 12 2 20 0 0 0 .
0 1
m m
h x y z U r
m m
 
 
   
 

     (7)
При этом уравнения для координат будут иметь вид:
         
 
 20 1 0;
0 1
m m dU r
r x r x r x
m m dr
     

        (8.1)
         
 
 20 1 0;
0 1
m m dU r
r y r y r y
m m dr
     

        (8.2)
         
 
 20 1 0.
0 1
m m dU r
r z r z r z
m m dr
     

        (8.3)
Штрихом здесь обозначена производная по параметру .
Доказательство. Умножим обе части уравнения (5.1) на x (соответственно (5.2) на ,y (5.3) на z)
и сложим полученные равенства, тогда
 
 
 10 1 0 1 ,
0 1 0 1
m m m m dU r tdU r
xx yy zz xx yy zz
m m r m mdr dt
  
 
         
т.е.
 1 2 2 2 0 1 .
2 0 1
m m dU r td x y z xx yy zz
m mdt dt
    
 
 

       
Таким образом, интеграл энергии будет иметь вид
 
2
0 12 2 2 .
0 1
m m
x y z U r t h
m m
 
 
    

     (9)
В терминах параметра  данное равенство запишется в виде
 
       
21 0 12 2 2 .
2 0 1
m m
x y z U r h
m mr
   

 
         
 

        (10)
Далее из системы (5.1 – 5.3) получаем
 1 20 1 ;
0 1
m m dU r
xx x
m m r dr

   

 1 20 1 ;
0 1
m m dU r
yy y
m m r dr

   
 1 20 1 .
0 1
m m dU r
zz z
m m r dr

   
Сложим эти три уравнения, тогда
 0 1 .
0 1
m m dU r
xx yy zz r
m m dr

     (11)
Из (9) и (11) получаем следующее уравнение
   
2 2 2 2 22 2 2 2 2
2
d dr xx yy zz xx yy zz x y z
dtdt
   
   
   
         
 
 
2 4
0 1 0 1 2 ,
0 1 0 1
m m m mrdU r
U r h
m m m mdr
   
   
   
 
    
т.е.
 
22 0 12 2 2 .
2 0 1
m md dUr r U r h
m m drdt
 
      
  
    

    (12)
С другой стороны
 
2 22 2 2 .
2
d r r rr
dt
 
 
 
  (13)
Приравнивая правые части равенств (12) и (13) найдем, что
   
 
2 0 1 2 .
0 1
m m dU r
r rr r U r h
m m dr
 
 
  

     (14)
Далее заметим, что
  ,dr dr dtr rr
d dt d

 
    
   
2 2 22 .
2
d r rr r r r rr r
d
 
 
  
    (15)
Из равенств (14) и (15) получаем:
   
 
2 2 0 1 2
2 0 1
m m dU rd r r rr r r r U r h
m m drd
     
    
        

      
 
   2 20 1 0 12 ,
0 1 0 1
m m m mdU r dhr r rU r hr r U r
m m m mdr dr
   
   
   
 
        
т.е. имеет место уравнение (6).
Для вывода уравнения (8.1) заметим, что
   
 ,
dx t dx t dt xr
d dt d
 

 
        
и
 
     
 
 
   
2 12 2 0 1
2 0 1
m md x t dU r
xr xr r x xr
m m r drd

    

  

         
 
 
 
   
 
0 1 .
0 1
m m dU r x r
r x
m m rdr
  

  
    

Умножив обе части последнего уравнения на  ,r  получим уравнение (8.1).
Аналогично выводятся уравнения (8.2) и (8.3).
Теорема доказана.
Следствие 1. Если
  0 1,
fm m
U r
r

то уравнение (6) приводится к виду
2
.
0 12
d r hr f m m
d
 
 
 
   (16)
При этом уравнения для координат преобразуются следующим образом:
          0,r x r x x          (17.1)
          0,r y r y y          (17.2)
          0.r z r z z          (17.3)
Доказательство. Действительно, в этом случае
2 20 1 0 1 .
0 12 0 1
m m fm md r dhr r hr f m m
m m rdrd
 
  
    
  

       
Далее из (8.1)
20 1 0 1 0.
0 120 1
m m fm m
rx r x r x rx r x f m m x
m m r
 
  
     
 

               
Уравнения (17.1) – (17.3) представляют собой линейные дифференциальные уравнения второго по-
рядка с переменными коэффициентами.
Следствие доказано.
Случай эллиптического движения. Решение двухточечных краевых задач. Рассмотрим краевую
задачу для уравнения (16).
Лемма 1. Пусть , , sin 0,
0 0 1 1 1 0
r r r r        
    
    
    тогда решение  r  двухто-
чечной краевой задачи для уравнения (16) будет иметь вид
   sin ,
2
r a   

   (18)
где
1cos cos cos ,
0 1 1 0sin
1 0
a     
  
 
 
   
 
 
  

(19)
1sin sin sin ,
0 1 1 0sin
1 0
a     
  
 
 
   
 
 
  

(20)
12 2 2 2 cos ,
0 1 0 1 1 02sin
1 0
a       
  
  
      
 
 
    

(21)
, ,
0 0 1 12 2
r r  
 
    (22)
2 .h 
Доказательство. Функция
   sin
2
r a   

  
является решением уравнения (16), остается найти неизвестные cos , sina a  из системы алгебра-
ических линейных уравнений

sin cos cos sin ,
0 0 0
sin cos cos sin
1 1 1.
a a
a a
    
    





 
 
(23)
Решая систему (23) по правилу Крамера, получаем требуемый результат.
Теорема 2. Решение краевой задачи   ,
0 0 1 1
x x x x x      
   
   
  для уравнения (17.1)
имеет вид:
   sin ,x b c     (24)
где
1cos cos cos ,
0 1 1 0sin
1 0
b x c x c  
  
    
        
 
 
    

(25)
1sin sin sin ,
0 1 1 0sin
1 0
b x c x c  
  
    
        
 
 
    

(26)
2 cos
0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 ,
1 0 1 02 2 22 sin 2 cos
0 12 2
x x x x
c
       
     
   
    
        
      
              
    
      
   

 
 
(27)
2, , .
0 0 1 12 2
r r h   
 
    
Доказательство. Будем искать функцию  x  в виде
   sin ,x b c     (28)
где , ,b c  – некоторые постоянные. Подставив выражение (28) и соответствующие производные в
уравнение (17.1), получим
       2sin sin cos cos
2
a b a b          

                 
       
       2sin sin sin sinb c ab b                   
       2 2cos cos sin cos 0.ab b c ab c                     
В результате по отношению к переменным , ,b c  мы имеем систему из трех уравнений
   
 
 
2cos 0, 29.1
sin , 29.2
0 0
sin . 29.3
1 1
ab c
b c x
b c x
   
 
 



  
  
 

   
  
   
  
  
Выразим из уравнений (29.2), (29.3) величины cos , sin :b b 
1cos cos cos ,
0 1 1 0sin
1 0
b x c x c  
  
    
        
 
 
    

(30)
1sin sin sin .
0 1 1 0sin
1 0
b x c x c  
  
    
        
 
 
    

(31)

Сделав следующие обозначения
sin , cos , cos , sin , sin ,
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
s s s t t       
 
 
     
подставим выражения (30) и (31) в уравнение (29.1), тогда с учетом равенств (19) и (20) получим
 2 cos cos sin sina b a b c          
1 12
0 1 1 0 0 1 1 0 0 1
s s x s x s c s s
s s
  
                
     
1 1
01 10 01 10 0 1
t t x t x t c t t c
s s
  
    
        
       
2
0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 12
s s x s x s s s s s c
s
         
          
      
0,
01 10 01 10 01 10 0 1
t t x t x t t t t t c c         
            
       
т.е.
2
0 1 1 0 0 1 01 10 0 12
s s s s t t t t c
s
    
 
       
               
      
2
.
0 1 1 0 0 1 1 0 01 10 01 102
s s x s x s t t x t x t
s
          
            
      (32)
Упростим каждое из выражений
;
0 1 1 0 0 1 01 10 0 1
s s s s t t t t        
     
     
     (33)
.
0 1 1 0 0 1 1 0 01 10 01 10
s s x s x s t t x t x t        
     
     
     (34)
Раскрывая скобки и группируя нужным образом, получаем
0 1 1 0 0 1 01 10 0 1
s s s s t t t t        
     
     
     
2 2 2 2
0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 01 01 10 101
s s s s s s t t t t t t               
cos 1 cos
0 1 0 1 1 0 0 1 1 0
                                          
        
1 022 sin ;
0 1 2
  
 
 
 
   
 
 

   (35)
0 1 1 0 0 1 1 0 01 10 01 10
s s x s x s t t x t x t              
     
    
2 2 2 2
0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 01 0 101 1 0 01 1 10
x s x s s x s s x s x t x t t x t t x t               
cos .
0 0 1 1 0 1 1 0 1 0
x x x x         
   
   
     (36)
Подставляя выражения (35) и (36) в уравнение (32), найдем выражение для :c

2
cos
0 0 1 1 0 1 1 0 1 02
1 02 22 sin
0 1 2
1 0 1 02 24sin cos
2 2
x x x x
sc
       
  
  

     
    
        
 
 
   
 
 
   
   
   
   
 



 
1 02 22 cos cos
0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 2
1 0 1 0 1 02 2 2 24sin cos 2 cos
0 12 2 2
x x x x
  
       
        
   
 
       
        
      
              
  
  

   
 
  
 
2 cos
0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 .
1 0 1 02 2 22sin 2 cos
0 12 2
x x x x       
     
   
    
        
    
          
  
  
   

 
 
Заметим, что формулы (18), (21), (24) – (27) позволяют по двум наблюдениям находить
, , ,max maxmin min
r r x x (аналогично , , ,max maxmin min
y y z z ).
Следствие 2. Справедливы равенства
1
1 2 2 22 cos ,max 0 1 0 1 1 02 sin
1 0
r        
   
  
      
 
 
     

(37)
1
1 2 2 22 cos ,
0 1 0 1 1 0min 2 sin
1 0
r        
   
  
      
 
 
     

(38)
1
2 2 21 2 cos ,max 0 1 0 1 1 0sin
1 0
x c x c x c x c x c   
  
 
         
                  
    
 
         

(39)
1
2 2 21 2 cos ,
0 1 0 1 1 0min sin
1 0
x c x c x c x c x c   
  
 
         
                  
    
 
         

(40)
где c определяется равенством (27).
Доказательство. Равенства (37), (38) непосредственно вытекают из вида радиальной составляющей
(18). Для доказательства равенств (39), (40) заметим, что

2 212 2 2 2 2cos sin
0 1 1 0 0 1 1 02
b b b x c s x c s x c t x c t
s
 
 
          
                    
 
          
21 2 2
0 1 0 1 0 12
x c s x c x c s s
s

    
         

     
22 22 2 22
1 0 0 1 0 1 01 1 0
x c s x c t x c x c t t x c t

         
                 

         
2 21 2 cos .
0 1 0 1 1 02
x c x c x c x c
s
  
 
         
                 
  
        
Следствие доказано.
Случай параболического движения. В случае параболического движения 0h и, таким образом,
уравнение (16) будет иметь вид
2
.
2
d r
d


 (41)
Теорема 3. В параболическом случае решение двухточечной краевой задачи будет иметь вид
 
2 11 0 0 1 1 0 .
1 0 0 12 2 21 0 1 0
r r r r
r
       
   
 
  
   
  
 
     
 
(42)
Доказательство. Действительно, из уравнения (41) следует, что
 
2
,
1 02
dt r
d
   

    (43)
где постоянные 0 1,  определяются из системы уравнений
2
0 ,
1 0 0 0 2
2
1 .
1 1 0 1 2
r
r

  

  









  
  
(44)
Таким образом,
10 1 1 0 ,
0 0 121 0
r r 
  
 

 

1 0 .
1 1 021 0
r r   
 
 
 
 

  

Теорема 4. Пусть выполняется условие
2
2 0.
1 0 0 1
r r     
   
   
    (45)
Тогда решение краевой задачи
,
0 0 1 1
x x x x    
  
  
 
в параболическом случае будет иметь вид
  2 ,x a b c     (46)
где
31 2, , ,a b c
 
  
  
(47)
21 2 ,
1 0 1 0 0 12
r r    
 
      
           
  
      (48)

0
1
1 ,
1 0 0
1
1 1
x
x
 



 
2 0
0
2 1 ,
2 0 0
2 1
1 1
x
x
 


 
2 0
0 1
2 ,
3 0 0 0
2
1 1 1
x
x
 
 
 

 
10 1 1 0 1 0, .
0 0 1 1 1 02 21 0 1 0
r r r r       
   
 
 
 
 
    
 
Доказательство. Подставляя выражение
  2x a b c    
в уравнение
          0,r x r x x         
получаем
 
2 2 22 2 2 2
1 0 1 1 02
a a b a b c a a a             
 
   
         
 
           
2 22 2 2 .
1 1 0 1
a b a b a b c a b c                     
Таким образом, система для нахождения коэффициентов , ,b c  будет иметь вид:
2 ,
0 1
2 ,
0 0 0
2 .
1 1 1
a b c
a b c x
a b c x
  
 
 









 
  
  
Найдем определитель  этой системы.
2 2
0 1 0 1
2 21 1
0 0 0 0
2 2 21 0
1 1 1 0 1 0
     
   
     
 
   
 
2
0 1
2 2
0 10 02 1
1 0 0 0 1 0 11 0 10 1
1 0
0 1
  
  
      
  
 
 
 
       
    
 
  
 
 


     


2 2 2
1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1
                
     
     
       
2
1 0 0 1 0 1 0 1
           
        
     
2
2
0 1 1 0 1 0 0 1 0 1
1 0 0 1 0 1 21 0 1 0
r r r r      
     
   
 
       
               
  
  
 
 
   
       
 

2
2 2 2
0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 02
r r r r r r              
 
      
           
  
           
2
2
0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 02
r r          
 
         
                 
  
        
2
1 0 2
1 0 0 12
r r
 
  
 
    
       
  

    .
Далее применяем правило Крамера.
Случай гиперболического движения. В случае гиперболического движения 0,h но уравнение
для радиальной составляющей  r  имеет тот же вид
2
.
2
d r hr
d


 
Теорема 5. В гиперболическом случае решение двухточечной краевой задачи
,
0 0 1 1
r r r r    
  
  
 
будет иметь вид
  ,
1 2 2
r c e c e  

   (49)
где
1 0 1 ,
1 1 02 22sh
1 0
c r e r e
  
    
    
    
     
     
 
 
    

(50)
1 01 ,
2 0 12 22sh
1 0
c r e r e
 
    
    
    
     
     
 
    

(51)
.h 
Доказательство. Система для нахождения коэффициентов ,
1 2
c c определяется краевыми услови-
ями:
0 0 ,
1 2 0 2
1 1 .
1 2 1 2
c e c e r
c e c e r
  

  










  

  
Покажем, что определитель  этой системы не равен нулю. Действительно,
0 0
2sh 0.
1 0
1 1
e e
e e
 
  
 
 
 
 

    

(52)
Теорема 6. Пусть выполнено условие
1 02 22 ch ,
0 1 2
  
   
  
       
   
  

  (53)
где

, ,
0 0 1 12 2
r r  
 
    (54)
тогда решение  x  двухточечной краевой задачи
,
0 0 1 1
x x x x    
  
  
 
выражается следующим образом:
  ,x ae be c     (55)
где
31 2, , ,a b c
 
  
  
2 22 2
2 1
0 0 1 ,
1 1 1
c c
e e
e e
  
 
 

 

20 2
1
0 1 ,
1 0
1 1
1
c
x e
x e
 



 

22 0
2
0 1 ,
2 0
1 1
1
c
e x
e x
 


 
2 22 2 0
2 1
0 0 ,
3 0
1 1
1
c c
e e x
e e x
 
 
 

 

,
1 2
c c определяется равенствами (50), (51).
Доказательство. Покажем прежде всего, что при выполнении условия
2 22 2 0
1 2
c b c a c     (56)
функция  x  определяемая равенством (55), является решением уравнения (17.1). Действительно,
2 2
1 2 2
c e c e a e b e    

       
    
    2 2
1 2 1
c e c e a e b e ae be c c ae            
 
 
         
2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 1 1
c b c a c be ae be c ae c b                 
2 2 2 2 22 2 0.
2 2 1 2
c a c be ae be c c b c a c                  
Таким образом, для нахождения коэффициентов , ,a b c получается система уравнений
2 22 2 0,
2 1
0 0 ,
0
1 1 .
1
c a c b c
e a e b c x
e a e b c x
  
 
 









  

  

  
(57)
Покажем, что определитель  системы (57) не равен нулю. Действительно,

2 22 2
2 1
2 20 0 0 01 11 2 2
2 1
1 1 1
c c
e e c e e c e e
e e
  
    
 
 
   
   
   
   
  
      

220 0 0 01 1 1 1
1 12sh
1 0
e e e e e e e e
        
  
    
    
     
     
 
  
       

22 0 01 1 2 sh
0 1 1 02sh
1 0
e e e e
        
  
                
 

      

2
0 0 01 1 1(
1 1 0 0 0 0sh
1 0
e e e e e e
          
   
 
 
 
       

0 1) 2 sh
1 1 1 0
e e
 
      
 
 

    
2
2 2 ch 2 sh
0 1 0 1 1 0 1 0sh
1 0
           
  
        
                  
 
 
        

22
0 1 1 ch 2 sh
1 0 1 0sh
1 0
  
      
  
 
       
          
 
 

       

1 02 24 sh
0 1 2
2 sh
1 0sh
1 0
  
  
   
  
  
       
   
    
 
   
 
 


   

2 1 02 2 22 sh sh
0 1 1 02sh
1 0
  
      
  
   
             
               

     

1 024sh
2
1 02 22 ch .
0 1 2sh
1 0
  
  
   
  
  
    
    
             
              


   

Из условия (53) следует, что определитель системы (57) не равен нулю. Далее осталось применить
правило Крамера.
Cравнение с методом Бине
Без ограничения общности рассмотрим задачу двух тел на плоскости. Введем полярные координаты
cos , sin ,x r y r  
тогда
cos sin , sin cosx r r y r r         (58)

и
2 2 2
v x y   2 2
( cos sin ) ( sin cos )r r r r         
2 2 2 2 2
cos 2 cos sin sinr rr r        
2 2 2 2 2 2 2 2
sin 2 cos sin cos .r rr r r r          
Следовательно, интеграл энергии будет иметь вид
 2 2 2 0 12
.
f m m
r r h
r


  
Запишем далее в полярных координатах интеграл площадей:
   cos sin cos sin cos sinxy yx r r r r r r            
2 2 2 2 2
cos sin cos sin cos sin .rr r rr r r M const               (59)
Выражая из равенства (59)  и подставляя в интеграл энергии, получаем равенство
 2
2 2 0 1
4
2
,
f m mM
r r h
r r

  
т.е.
 2
2 0 1
2
2
.
f m mM
r h
r r

  
Продифференцируем последнее равенство по времени, тогда
 2
0 1
3 2
22
2 .
f m mM
rr r r
r r

  
Сокращая последнее равенство на получаем, что
 2
0 1
3 2
.
f m mM
r
r r

 
(60)
С другой стороны
2 2
d dr d dr d d M dr M
r
dt dt d dt dt d r d r

  
    
           
     
2
2 2 2 2 2
1 1
.
Md d
d M dr M M d Mr r
d r d r r d d r d    
    
                  
  
  
(61)
Приравнивая правые части равенств (60) и (61), получаем
 
2
2 2
0 1
2 2 2 3
1
.
d
f m mM Mr
r d r r
 
     
Умножим обе части последнего уравнения на r 3
и разделим на М2
, тогда
 
2
0 1
2 2
1
1
.
d
f m mr
d r M
 
      
(62)
Уравнение (62) является уравнением Бине и позволяет в явном виде найти зависимость радиальной
составляющей от угла. Однако, параметрическая зависимость, полученная автором настоящей статьи, яв-
ляется, по мнению автора, более удобной в вопросах вычисления эфемерид небесных тел.
2 ,r

Релятивистский вариант задачи Кеплера
Выведем релятивистский вариант задачи двух тел (задачи Кеплера). Чтобы получить траекторию ча-
стицы, нужно проинтегрировать уравнение движения, т.е. уравнение
 
 0 1
( ), .
p f m md
gradU r U r
dt r

  (63)
Чтобы получить ускорение в релятивистском случае, используем соотношение
2
,p v
E U
c

 (64)
где ([8], c. 104) p релятивистское значение импульса:
2
1 12 2
1
,p v v v
E U
m m c
c c
 

   (65)
где
2
1
, .
1
v
c
 

 

Как известно ([8], c. 128), момент импульса частицы в поле централь-
ной силы сохраняется и в релятивистском случае. Закон сохранения энергии в полярных координатах в
релятивистском случае будет иметь вид
   2
1 2 2 2
2
1
1 , .
1
m c U r E
r r
c
 

   


(66)
Сохранение момента импульса преобразуется следующим образом
2
1 2
1
, .
d M
M m r
dt m r

 

  (67)
Получим аналог равенства (60):
2 2 2
1 1 1
; .
M dr M d M dr
r r
m r d m r d m r d     
 
     
 
(68)
Из равенства (66) вытекает, что
2
2
2 2
1
1 ( )
1 .
1
E U r
mc


 
   
  
С другой стороны,
22 2 2 2
2
2 2 2 2 2
1 1
,
r r M dr
c m c r d r


 
  
     
   
где учтены выражения (67) и (68). Сделав замену 1/ ,u r получаем
22 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1
1 1 1
1 1
M du
u
m c d

  
   
  
             
и тогда
 
222
2
2 2 2
1 1
1 1 .
E U rM du
u
m c d m c
    
       
     
Продифференцируем последнее равенство по , после чего разделим на появляющийся общий мно-
житель 2 / :du d
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1
2 2 2 1 ,
M du d u du E u du
u
m c d d d m c m c d
 
   
     
      
    

тогда будем иметь
0 1
2 2 2
1 0 1
2 2 2 2
1 1
( )
( )
1 .
f m m
Ed u m c f m mru
d M m c m c
 
  
   
 
 
Раскрывая скобки в правой части последнего равенства, получим следующее уравнение
 2 2 2 2
0 10 1 1 1
2 2 2 2 2
1 1 1
[ ( )]
1 .
f m md u f m m m m E
u u
d M m M m c m
 
    
  (69)
Полученное дифференциальное уравнение не учитывает запаздывания взаимодействия между те-
лами, свяанного с конечной скоростью распространения гравитационных сил. Кроме того, при подста-
новке не релятивистского значения импульса
  2 2
0 1 1M af m m e  
получаем промежуточный вариант между точной релятивистской моделью и ньютоновским вариан-
том задачи. Релятивистский момент импульса получается умножением обычного момента по формуле (67)
на γ. Однако и в этом случае уравнение (69) дает смещение перигелия Меркурия, но несколько меньшее
наблюдаемого.
Вычисление смещения перигелия Меркурия
В релятивистском случае траектория движения подчиняется уравнению (69). Уравнение (69) не пред-
ставляет собой уравнение конического сечения, а перигелий орбиты не сохраняет своего положения в про-
странстве. Если записать уравнение (69) в виде
2
2
2
,
d u
u A
d


 
То видно, что угол, соответствующий радиус-вектору перигелия, всё время меняется. Пусть угол, со-
ответствующий первому перигелию, равен нулю. Следующее положение перигелия определяется равен-
ством.
0
360 , 
т.е.
0
360
.


В нашем случае этот угол больше 3600
и, следовательно, происходит вращение перигелия по окруж-
ности, причём угловое перемещение перигелия за один оборот составляет
0
0 0360 1
360 360 1 .
 
 
    
 
Таким образом, в релятивистском случае, в отличие от классического, движение происходит по слож-
ной орбите; последовательные перигелии орбит совершают вращение по кругу. Из астрономических
наблюдений известно, что перигелии некоторых планет испытывают вековые смещения. Наиболее замет-
ное смещение (43”) за 100 лет наблюдается у ближайшей к Солнцу планеты Меркурий. Вычислим это
смещение с полученным нами значением
 
 
2 0 1
2 2 2
1 .
1
f m m
ac e



 

Вычисления, проведённые с полученным значением ω, дают следующий результат:
> v2:= 132718*10^15/(0.387099*149600*10^6); v2c2:=1-v2/((299792*10^3)^2);g1:=132718*10^15;
g2:=(1-0.205634^2)*(0.387099*1.49600*10^11)*(299792.5*10^3)^2*v2c2;

> g3:=1-(g1/g2);
> omega:=(g3)^(1/2);
> g4:=360*((1/omega)-1);
> g5:=100*g4/0.29;
> g6:=g5*3600;
Получается 6 угловых секунд. Такой результат можно объяснить тем, что взаимодействие между те-
лами берётся в ньютоновском приближении, т.е. мы пренебрегаем запаздыванием взаимодействия между
ними.
Заключение. Данная статья посвящена по-
строению алгоритма замены времени особым пара-
метром (этот параметр естественно назвать соб-
ственным временем динамической системы) в за-
даче двух тел с произвольным потенциалом,
зависящим только от расстояния между телами.
Для ньютоновского потенциала такая конструкция
приводит к явной параметрической зависимости
как радиальной составляющей, так и декартовых
координат движущихся тел в случае эллиптиче-
ского, параболического и гиперболического движе-
ний. Другое эффективное направление линеариза-
ции уравнений задачи многих тел основано на че-
бышевской аппроксимации потенциала и отражено
в работах [2]-[7]. Метод собственного времени ди-
намической системы будет полезен в космологии,
квантовой и небесной механике, в частности, для
развития теории движения ИСЗ и т. д. Кроме того,
рассматривается релятивистская модель задачи
двух тел в рамках СТО без учета запаздывания вза-
имодействия между телами. Такая модель приво-
дит к аналогу уравнения Бине и позволяет прибли-
женно найти смещение перигелия Меркурия. Отме-
тим, что эллиптический случай применения
данного метода рассмотрен в работе [9].
Список литературы
1. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основ-
ные задачи и методы М.: Наука, 1975. – 800 с.
2. Трубников Ю.В., Воронов А.М. Решение
задачи трех тел с предварительной чебышевской
аппроксимацией // Аналитические методы анализа
и дифференциальных уравнений: Труды междунар.
матем. конф., посвящ. 100-летию со дня рожд. ака-
демика Ф.Д. Гахова, Минск, 13−19 сент. 2006 г. /
Труды Института математики НАН Беларуси / ред-
кол.: А.А. Килбас, С.В. Рогозин. – Минск, 2006. – С.
134-138.
3. Трубников Ю.В., Воронов А.М.
Аппроксимативный метод решения задачи многих
тел // Веснiк Вiцебскага дзяржаўнага універсітэта. –
2008. - №2 (48). – С. 130−138.
4. Трубников Ю.В., Воронов А.М. Аппрокси-
мация силовой функции общей задачи многих тел в
метрике 2L // Вестник Полоцкого государствен-
ного университета, серия фундаментальных наук
(С). – 2008. - №3. – С. 133−140.
5. Трубников Ю.В., Воронов А.М. Чебышев-
ская аппроксимация силовой функции общей за-
дачи многих тел // Математические идеи П.Л. Че-
бышева и их приложение к современным пробле-
мам естествознания: Тезисы 4-й междунар. матем.
конф., Обнинск, 14−18 мая 2008 г. / Российский
фонд фундаментальных исследований, Обнинский
гос. технич. унив. атомной энергетики, Матем.
инст. им. В.А. Стеклова РАН, Инст. матем. модели-
рования РАН, МГУ им. М.В. Ломоносова, Инст.
прикл. матем. им. Келдыша РАН, Инст. вычислит.
матем. РАН: редкол. В.А. Галкин [и др.]. – Об-
нинск, 2008. – С. 78-79.
6. Трубников Ю.В., Воронов А.М. Аппрокси-
мативный метод решения задачи многих тел // X Бе-
лорусская математическая конференция: Тезисы
междунар. научной конф, Минск, 3−7 ноября 2008
г. / Труды Института математики НАН Беларуси /
редкол. А.А. Килбас, С.В. Рогозин. – Минск, 2006.
– С. 134-138.
7. Трубников Ю.В., Воронов А.М. Метод че-
бышевской аппроксимации потенциала в задаче
многих тел Витебск: изд. УО «ВГУ им. П.М. Маше-
рова», 2009. – 187 с.
8. Угаров В.А. Специальная теория относи-
тельности М.: Наука, 1969. – 304 с.
9. Воронов А.М. Метод собственного вре-
мени в задаче двух тел. // Веснiк Вiцебскага
дзяржаўнага універсітэта. – 2009. - №3 (53). – С.
145−151.

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Мухамбетова А.А.
к.ф.-м.н., доцент Казахского университета
экономики, финансов и международной торговли
THE RESEARCH OF SOLUTIONS OF A SYSTEM OF THE FIRST ORDER QUASILINEAR
DIFFERENTIAL EQUATIONS
Mukhambetova А.
Cand.Sci. Phys-Math Kazakh University of Economics,
Finance and International Trade
Аннотация
Объектом исследования настоящей работы являются квазилинейные системы уравнений с линей-
ными дифференциальными операторами в частных производных первого порядка и с коэффициентами,
зависящими от характеристик.
Ставится задача об исследовании существования и единственности многопериодического решения
квазилинейной системы. Для решения данной задачи используется метод приведения к каноническому
виду матрицы системы на основе линейного преобразования.
Уравнения в частных производных первого порядка широко применяются в задачах механики сплош-
ных сред, акустики, оптики, гидродинамики. Рассмотрение различных видов упругих, звуковых, электро-
магнитных волн, а также колебательных явлений приводит к исследованию дифференциальных уравнений
в частных производных. В свою очередь, исследование их решений является актуальным вопросом, осо-
бенно в случаях многочастотных колебаний.
Abstract
The object of this study is a quasi-linear system of equations with linear partial differential operators of the
first order and with coefficients depending by characteristics.
The problem about studying the existence and uniqueness of a multiperiodic solution of a quasi-linear system
is posed. The method of reduction to the canonical form of the matrix system based on a linear transformation use
for solution this problem.
Partial differential equations of the first order widely use in the problems of continuum mechanics, acoustics,
optics, hydrodynamics. For example, consideration of various types of elastic, sound, electromagnetic waves, os-
cillatory phenomena leads to the study of partial differential equations. In turn, the study of their solutions is a
topical issue, especially in cases of multi-frequency oscillations.
Ключевые слова. Квазилинейные уравнения, собственные значения, матрица преобразования, кано-
ническая форма, периодическое решение.
Keywords: Quasi-linear equations, eigenvalues, the transformation matrix, the canonical form, the periodic
solution.
Рассмотрим систему квазилинейных уравнений вида:
  ),,,( xtfxAxDe
  (1)
с дифференциальным оператором
t
eDe





 ,

, (2)
где  A - гладкая и периодическая по
m
R с вектор-периодом  m
 ,...,1
 nn -
матрица
     
 m
RCAkA 1
  ,
m
Zk  , (3)
  m
m
ZZZkkk  ...,...,1
, Z – множество целых чисел,  mm
kkk  ,...,11
 -
кратный вектор-период,   R , ,   ,...,...,1
m
m
RRRttt 













mttt
,...,
1
- символический вектор,   me  1,...,1 -вектор, , - знак скалярного произведе-
ния векторов,  et  - базовая характеристика оператора e
D .
Предполагается, что вектор-функция ),,,( xtf  обладает свойствами:

)(),,,(),,,(
)2,2,2,0(
,,,
nmm
xt
RRRRxtfxqqtf C  
 (4)
0),,,( 


constLxt
x
f
 (5)
При условиях (3)- (5) начальная задача Коши имеет единственное решение с глобальной продолжи-
тельностью.
Ставится задача об исследовании существования и единственности ),,(  периодических ре-
шений ),,(  txx квазилинейной системы (1) в терминах собственных значений матрицы  A пу-
тем приведения к каноническому виду.
Линейной неособенной заменой:
 yBx  (6)
с ( nn )-матрицей  B из такого же класса что и  A систему (1) приводим к системе:
      ),,,(1
ytgyBAByDe
  
, (7)
где
))(,,,()(),,,( 1
yBtfBytg  
 .
Очевидно, что если возможно выбрать матрицу  B так, чтобы матрица подобия
        BAB 1
 (8)
имела жорданову каноническую форму, то поставленная задача для системы (1) решалась бы до-
вольно просто. В связи с этим возникает необходимость рассмотрения вопроса о приведении гладкой
многопериодической матрицы (3) к жордановой канонической форме   преобразованием подобия (8).
Задача такого характера рассматривалась в связи с различными проблемами теории
дифференциальных уравнений в работах [1]- [9].
В дальнейшем точки
m
Rt  и kt  ,
m
Zk  рассматриваются как идентичные. Совокупность
таких точек
m
 называется m - мерным тором. Справедливы следующие леммы.
Лемма 1. Если уравнение    0det  tAE при условии (3) имеет l различных собственных
значений  t
 , l,1 с независящими от
m
Tt  кратностями 
n , то собственные функции  t

обладают свойствами многопериодичности и гладкости.
Лемма 2. Если выполнены условия леммы 1 и ранг 
r матрицы    tAEt 
 не зависит от
m
Tt  при каждом l,1 , то матрица  tA подобна матрице
       
 
   tBtb
t
tPtAtPtB
0
11
0
 
(9)
с некоторой неособенной матрицей преобразования    
 m
CtP  1
, где  t1
 - собственная
функция матрицы  tA , 0 – нулевая строка,  tb - вектор –функция,  tB0
квадратная матрица по-
рядка )1( n , причем    
 m
Ctb  1
и    
 m
CtB  1
0
.
Далее, предположим, что матрица  tB0
из (8) приводится к –периодической гладкой жордановой
канонической форме    
 m
TCtJ 1
 периодическим гладким преобразованием подобия:
       tJtPtBtP 1
000
, (10)
где
   
 m
TCtP 1
0
 ,   0det 0
tP ,
m
Tt  ,         tJtJdiagtJ li
 ,...,22
 -

жорданова форма с 
n - клетками вида
     
 EtHtJ  , l,2 ,

H -матрица, у которой поддиагональные элементы – единицы, а остальные – нули, 
E - единичная
матрица.
Теорема 1. Пусть выполнены условия леммы 2 и условие (9), тогда матрица  tA  – периодиче-
ским гладким преобразованием подобия приводится к виду
     
 
   tJta
t
tQtAtQ
011


, (11)
где
       
 m
TCtbtPta 1
0
 .
Рассмотрим матрицу
 
 
    tJta
t
t
22
1
0


 , (12)
где    tt 21
,  - скалярные функции,       tatata n
,...,1
 - столбцовая вектор – функция,
  tJ 22
 - жорданова nn - клетка, соответствующая  t2
 ,
m
Tt  .
Лемма 3. Если    tt 21
  ,    
 m
TCta 1
 , то матрица (11) –периодической гладкой мат-
рицей  tQ приводится к жордановой канонической форме:
       tJtQttQ 1
, (13)
где        tJtdiagtJ 221
,  и  tQ - матрица преобразования вида:
 
 
 
 m
TC
Etq
tQ 1
01
 (14)
с единичной n- матрицей E и неизвестной столбец–функцией       tqtqtq n
,...,1
 .
Далее, для обобщения леммы 3 рассмотрим матрицу
 
 
   tJta
t
t
01

 , (15)
где  t1
 - скалярная функция,         tJtJdiagtJ ss
 ,...,22
 -   tJ 
 - 
nn 
- клетки Жордана,       tatata s
,...,2
 -       tatata n
,...,1
 - заданные вектор – функ-
ции, nnn s
...2
.
Лемма 4. Если    tt 
 1
,    
 m
TCta 1

, s,2 , то матрица (15) подобна матрице:
          tPttPtJtdiag 1
1
, 
 (16)
с некоторой неособенной матрицей
 
 
 
 m
TC
Etp
tP 1
01
 , (17)
где  )(),...,()( 2
tptptp s
 ,       tptptp n
,...,1
 - вектор – функции, s,2 .

Теорема 2. Пусть выполнены условий леммы 2 и матрица  tA имеет различные собственные значе-
ния, тогда существует неособенная матрица преобразования    
 m
TCtP 1
 такая, что
       tJtPtAtP 1
, (18)
где  tJ - жорданова каноническая матрица.
Для доказательства теоремы используем метод математической индукции.
Таким образом, на основе лемм 1-4 и теорем 1, 2 система (1) приводится к каноническому виду
  ),,,( ytgyJyDe
  , (19)
Матрица  J имеет диагональный вид:
   )(...,),(1
 n
diagJ  ,
причем предположим, что все собственные значения   n,1, 
действительные, различные и
спектр не содержит нуля:
nRconst m
,1,,0)(  
(20)
При условии (20) система (19) дихотомична и задача о ее многопериодическом решении имеет функ-
цию Грина  ,, sG  которая обладает свойствами:
10
.     ,,,)(, ssGJsGDe
 
20
.     ,,0,0 EGG  
30
.     ,,,,,, mm
ZqRRssGqsG  
40
.   s
esG 
 
 , ,
где E - единичная матрица,  0,1  некоторые постоянные.
Тогда задача о многопериодическом решении системы (19) имеет единственное решение
  ,,ty . Это решение определяется из интегрального уравнения:
  dsesetsxesetgsGty 


 )),,(,,,(),(,,  (21)
Тогда в силу замены (5) система (1) имеет единственное ),(  решение.
Таким образом, имеем основную теорему.
Теорема 3. Пусть наряду с условиями теоремы 2 выполнены условия (4), (5) и (20). Тогда система (1)
при достаточно малом 0L имеет единственное   ,, периодическое решение
   ,,,)(,,  tyBtx 
где   ,,ty есть решение системы (19), определяемое интегральным уравнением (21).
Заметим, что доказательство существования решения уравнения (21) приводится на основе принципа
неподвижных точек для оператора
  ,)),,(,,,(),(,, dsesetsxesetgsGtyQ 


 
определенного в пространстве непрерывно дифференцируемых функций   ,,ty , ограниченных
по норме:  





m
t
yy
yy
1
1
 

положительным числом  , где  - знак нормы вектор-
функции.

Список литературы
1. Вазов В. Асимптотические разложения ре-
шений обыкновенных дифференциальных уравне-
ний. М.: Мир, 1968-464 с.
2. Мухамбетова А.А. Устойчивость линей-
ных уравнений в частных производных второго по-
рядка с колебательными коэффициентами. Между-
народный журнал экспериментального образова-
ния, №4, 2013 г., с. 120-124.
3. Мухамбетова А.А., Сартабанов Ж.А. Об
ограниченности решений линейных D- уравнений
второго порядка с многопериодическим потенциа-
лом //Математический журнал. - Алматы, 2003. Т.3
№1 (7).- С. 68- 73.
4. Самойленко А.М., Лаптинский В.Н., Кен-
жебаев К.К. Конструктивные методы исследования
периодических и многоточечных краевых задач. -
Киев: ИМ НАН Украины, 1999. - 220 с.
5. Сартабанов Ж.А. О краевой задаче для D-
уравнений второго порядка. Известия АН КазССР,
сет физ-мат, 1992 г., №3, с. 59-64
6. Мухамбетова А.А., Сартабанов Ж.А. Об
устойчивости решений систем D- уравнений. Изве-
стия НАН РК. Серия физ.-мат., 2004. № 1. - С.33-38.
7. Mukhambetova, A.A., Sartabanov, Zh.A. Re-
search of multiperiodic solutions of quasi-linear system
in the first order partial derivatives. Bulletin d'Eurotal-
ent-Fidjip, 4, 2014, 33-37.
8. Sibuya Y. Some global properties of matrices
of functions of one variable. Math. Ann. 161 (1969),
67-77.
9. Vejvoda O. Partial differential equations: time
periodic solutions. The Hague/ Boston/ London, 1982.-
357 p.

TECHNICAL SCIENCES
БАГАТОПАРАМЕТРОВИЙ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИЙ МЕТОД КОНТРОЛЮ ЦИЛІНДРИЧНИХ
СТРУМОПРОВОДІВ
Горкунов Б.М.
доктор технічних наук, професор
кафедри інформаційно-вимірювальних технологій і систем
Національного технічного університету «Харківський політехнічний інститут»
Львов С.Г.
кандидат технічних наук, професор
Борисенко Є.А.
кандидат технічних наук, доцент
Тамер Ш.
аспірант
MULTI-PARAMETER ELECTROMAGNETIC METHOD OF TESTING CYLINDRICAL
CONDUCTORS
Gorkunov B.
Doctor of technical sciences, professor of the department of
Information-measuring technologies and systems,
National technical university “Kharkiv polytechnic institute”
Lvov S.
Candidate of technical sciences, professor of the department of
Borysenko Y.
Candidate of technical sciences, associate professor of the department of
Tamer S.
Postgraduate student of the department of
information-measuring technologies and systems,
Анотація
У роботі розглянуто принцип побудови електромагнітного перетворювача з просторово-періодичним
полем для контролю магнітних, електричних і геометричних параметрів циліндричних протяжних металевих
виробів. Отримано основні математичні вирази, що описують розподіл напруженості електромагнітного
поля всередині виробу, між виробом і обмотками перетворювача, а також за провідниками перетворювача.
Бібл. 7, рис. 1.
Abstract
The paper observes the approach by which the authors developed electromagnetic transducer with spatially-
periodic field structure. This transducer is for estimating magnetic, electrical and geometrical parameters of metal
objects of cylindrical form. Authors derived key mathematical equations, describing distribution of magnetic field
strength inside and outside the object. Applying these equations allow authors to calculate parameters of spatial har-
monic, such as amplitude and phase. The authors show, that using the mathematical apparatus after results of meas-
urement it is possible to estimate electrical and geometrical parameters of object under study.
Ключові слова: електромагнітний перетворювач, напруженість магнітного поля, магнітна проникність,
електропровідність.
Keywords: eddy-current electromagnetic transducer, spatially-periodic field structure, magnetic permeability,
electric conductivity.
The task of quality monitoring for production
manufactured in energy and machinery industries to-
gether with embedded diagnostics of operating equip-
ment, requires increasing accuracy, sensitivity and reli-
ability of NDT means, being used. In order to enhance
functionality of NDT means considering growth of no-
menclature of controlled parameters a task of develop-
ment of multi-parameter means for monitoring is ac-
tual. Electromagnetic methods are considered to be
such in particular.

Currently, the development of multiparameter
measurement methods is of particular practical interest.
These methods allow us to obtain the fullest infor-
mation concerning object under study (OUS). In this
regard eddy-current methods and devices with output
signals depending upon large number of parameters of
the OUS and transducer have undisputable advantages.
For simultaneous determination of OUS’s two pa-
rameters the most suitable approach is to apply single
frequency eddy-current transducers. In this case two
parameters of the transducer’s output signal need to be
measured. Afterwards, it is supposed to solve a system
of two equations, connecting these parameters with
OUS’s certain properties [1, 2].
If we want to define three or more OUS’s param-
eters, it is obligatory to involve more input quantities,
which gives us extra independent equations. We can de-
fine these quantities using eddy-current transducer
which operates on several fixed frequencies. In that
case, OUS is penetrated with the multi-frequency field,
and then we extract amplitude and phase for harmonics
of each frequency [3].
Nevertheless, utilizing this approach is difficult in
practice, due to complexity of phase synchronization
for sinusoidal fields and extraction of output parame-
ters out from the eddy-current transducer’s output sig-
nal.
The same downside of complexity of the output
signal processing, which lies in time-domain analysis
with extracting parameters of the harmonics, is inherent
for eddy-current transducers based on pulsing excita-
tion field [4].
It appears, as it is shown below, that multi-param-
eter simultaneous measurements can be simplified by
utilizing single-frequency sinusoidal spatially-periodic
magnetic fields.
This paper utilizing this approach studies aspects
of eddy-current transducers’ theory applied in multi-pa-
rameter measurements with magnetic fields having spa-
tially-periodic structure.
Consider the problem of determining the distribu-
tion of the alternating magnetic field in the wire with a
current located at a distance d from the center of the
ferromagnetic cylinder of radius a. (fig. 1)
d
a
r
I
z
for Hr
for Hφ
φ1
φ2
Fig 1 The collocation of the object of control, exciting and measuring wires of the electromagnetic transducer
The important condition is that the lengths of the
wire and cylinder are significantly bigger than the
transverse dimensions of the last one (a and d respec-
tively).
Using Maxwell’s equations and Ohm’s law [5-7]
we obtain mathematical description of the magnetic
field in the conductive media. Providing the condition
of constancy of the magnetic permeability  and elec-
tric conductivity  in the cylindrical object this equa-
tion is following:
t
H
H





0 , (1)
where Н – magnetic field strength, 0 – magnetic
constant.
We assume, that the electromagnetic field is quasi-
stationary, with a wavelength exceeding transverse di-
mensions of the wire and the cylinder. We also consid-
ering the following system: a threadlike wire with cur-
rent I produce field in continuous cylindrical object
with longitudinal Z-axis in cylindrical coordinates (fig.
1) and this current flows in the positive direction of Z-
axis. Produced magnetic field contain only transverse
components  0,, HHHH r 

, where Hr and H are r-
th и -th components of magnetic field strength.
Solving equation (1) together with the boundary
conditions we define the regularities of field distribu-
tion in a cylindrical object:
on the surface of a cylinder with radius r = a
  0)()(
 mi
BBn

(2)
  0)()(
 mi
HHn

(3)
on the surface of a cylinder with radius r = d
  0)()(
 ml
BBn

(4)
  jHHn ml

 )()(
(5)
where upper indexes in brackets correspond to the
fields of different areas:
(i) – inside cylindrical object (0  r < a);
(m) – between surfaces of cylindrical object and
virtual cylinder of radius d (a < r < d);
(l) – behind the surface of this cylinder (d < r < );
j

– current density vector;
I, n

– vector normal to the surface of a cylindrical
object.

As so as functions, which describes field distribu-
tion are periodical, initial conditions can be arbitrary.
Conditions (2) – (4) establish regularity of the nor-
mal components of the induction vector B and tangen-
tial components of the vector of the magnetic field
strength under transition from given media to another,
and (5) describes a leap of field strength in case of
crossing cylinder surface. There is a convenient way to
represent flowing current, which has the component
along Z-axis, using Fourier transformation:
     





 



1
0 cos,
n
n
titi
Z njje
d
I
etj (6)
where n – spatial harmonic number, t – time,  –
cyclic frequency, () – delta-function.
       
n
n
ti
r nrfjetrH sin,, (7)
       

n
n
ti
nrgjetrH cos,, (8)
where fn(r) and gn(r) – functions undefined yet.
Since studied magnetic field has two components
so the coordinate representation of the equation (1)
could be rewritten as the following system:
nnn
n
fig
r
n
f
r
n
dr
df
r
dr
d
r








22
2
211
, (9)
nnn
n
gif
r
n
g
r
n
dr
dg
r
dr
d
r








22
2
211
. (10)
This system of equations considering boundary
conditions (2)–(5) has solution:
      iyIiyI
d
a
iD
j
irf nn
n
n
ni
n 11
1
)(
)(
, 








 ; (11)
      iyIiyI
d
a
iD
j
irg nn
n
n
ni
n 11
1
)(
)(
, 








 ; (12)
          






























 11
11
1
)(
11
)(
,
nn
nn
n
n
nm
n
r
a
d
r
ixIixI
d
a
iD
j
irf ; (13)
          






























 11
11
1
)(
11
)(
,
nn
nn
n
n
nm
n
r
a
a
r
ixIixI
d
a
iD
j
irg ; (14)
         












































 

ixI
d
a
ixI
d
a
r
d
iD
j
irgf n
n
n
nn
n
nl
n
l
n 1
2
1
21
)()(
1111
)(2
, , (15)
where generalized parameters  0ax ,
 0ry , discriminant
        ixIixIiD nnn 11 11)(   ,
11,  nn II – modified Bessel function of the corre-
sponding orders.
Thus, provided we knew , , a and d of the object
and values of current I and valid radius r, using formu-
las (1)–(15) we can calculate functions fn(r, , t) and
gn(r, , t) for any spatial harmonic, and by these func-
tions reconstruct the structure of the magnetic field dis-
tribution in any area (inside the object, between the ob-
ject and a wire with a current, behind this wire).
Formulas (11)–(15) describe magnetic field of the
threadlike wires which transversal dimensions infi-
nitely small. But practically we use wire with some fi-
nite width and radial height. The latter is conveniently
realized either in a form of threadlike wire or as pole
having some number of thin wires with currents codi-
rected alongside cylinder’s generatrix (e.g. alongside
Z-axis). In the latter case currents of individual wires
create total current.
To consider the radial thickness of the ribbon-like
wire or pole with total field producing current we have
to substitute r value for some effective radius, the value
of which depends on the shape of the pole, in the for-
mulas for field’s strength.
To account finite width of the pole with total cur-
rent we substitute  for ( – ) in formulas (7) and (8)
and integrate these formulas of  on a range from – до
 (where  – angular half-width of the pole). As a result,
we get:
        


 
n
n
ti
r nrf
n
n
jetrH sin
sin
,, (16)
        


 

n
n
ti
nrg
n
n
jetrH cos
sin
,, (17)
It is convenient to build electromagnetic transduc-
ers based on spatially-periodical field structure using
transformer approach. For such transducers measuring
wires should be situated on a circle with radius r ≈ а
which is less than d. Using several measuring wires
with different angular coordinates  allows us to obtain
several primary prevailing harmonics since other har-
monics fade, like (а / d)n-1
.
The translational symmetry let us use rather nar-
row frame-like measuring wires, placed alongside the
object in parallel with excitation wires, in the way
shown in fig. 1.

The components of the magnetic field Нг or Нφ
penetrate into these measuring wires. In order to per-
ceive Нг measuring wire need to be perpendicular to
coordinate r, and to perceive Нφ – perpendicular to φ.
For instance, if we place measuring wire between
the object and the excitation wire (а < ап < d), then to
calculate the r-th component of the transducer’s EMF
for the mode of operation “transducer with the object”
based on formulas (7) – (15) we get formulas for calcu-
lation of module and phase:
     



 
n
n
n
a
a
a
a
h
a
a
SW
d
IW
eiWiE
n
nn
n
r
n
ti
r
n
r
cos
sin
2
2
п
1
н
п
1
н
п
и
н
0и
)(
 



























 (18)
     n
r
n
r
n
hhtg ReImФ  (19)
In these formulas Фr – instantaneous value of the
magnetic flux (r-th component), which induces EMF Er
in the measuring wire; S – area of the frame-like meas-
uring winding; Wн и Wи – number of turns of the exci-
tation and measuring windings; complex parameter hr
(n)
describes object’s reaction to the excitation field (n-th
harmo nic), which is defined as:
 
2
2
2
1
2112
2
2
2
1
2211
hh
hhhh
hh
hhhhn
r
BB
BABA
i
BB
BABA
h





 (20)
    xxA nrnrh 111 ber1μber1-μ   (21)
    xxA nrnrh 112 bei1bei1-   (22)
    xxB nrnrh 111 ber1μber1μ   (23)
    xxB nrnrh 112 bei1μbei1μ   (24)
where x – generalized parameter.
Formulas (21) – (24) are based on (11) – (15) us-
ing modified Bessel bern x, bein x and Kelvin functions.
Conclusions.
Analyzing equations (16) and (17) we can con-
clude, that provided the quantity  is finite we have
sin(n)/n < 1, that results in decrease of an amplitude
of n-th spatial harmonic of the field, produced by either
ribbon-like wire or pole with a current comparing to the
amplitude of the same harmonic of the field, produced
by thread-like wire. What is more, as the order of har-
monic increases, the decrease of amplitude, mentioned
above, become substantial. It should be noted that in the
limit   0 (16) and (17) become (7) and (8) respec-
tively. As a result of the study authors obtained equa-
tions for estimating amplitude and phase for any har-
monic of the output signal of the transducer with spa-
tially-periodic model for representation magnetic field
inside and outside of metal cylindrical object.
References
1. Measurement, monitoring, testing and diagno-
sis. V.III/V.V. Kluev, F.R. Sosnin, V.N. Filinov, etc.;
Ed. V.V. Klyuyev. – Moscow: Mashinostroenie, -
1996. – 464p. (Rus.)
2. Non-destructive testing. In 5 books. Book 3.
Electromagnetic Testing / Ed. V.V. Sukhorukov. –
Moscow: Vyshaya shkola, 1992. – 312p. (Rus.)
3. Gorkunov B.M., Tyupa I.V. Eddy current two-
parameter control of ferromagnetic cylindrical products
// Vesnik NTU "HPІ", Kharkov. - № 5. - 2004. - P. 93-
99. (Rus.)
4. Non-destructive testing: Reference book: In 7
vol. Ed. V.V. Klyuyev. Vol. 2: In 2 books. - Moscow:
Mashinostroenie, 2003. – 688p. (Rus.)
5. Neiman L.R., Demirchan K.S. Theory of Elec-
trical Engineering, in 2 vol. Textbook for high schools.
V.2. –Leningrad: Energoizdat, 1981. -415 p. (Rus.)
6. Landau L.D., Lifshitz E.M. Electrodynamics of
continuous media. – Moscow: Publishers physical and
mathematical literature, 1959. - 532 p. (Rus.)
7. Reference book of Mathematical Functions
with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables / Ed.
M. Abrmovitsa and M. Stigan. – Moscow: Nauka,
1979. (Rus.)

VOL-1-No-42-42-2019

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to VOL-1-No-42-42-2019

Similar to VOL-1-No-42-42-2019 (20)

More from The scientific heritage

More from The scientific heritage (20)

VOL-1-No-42-42-2019