In questo progetto si implementa un risolutore sequenziale alla versione decisionale del problema difficile Vertex Cover, sfidando l'intrattabilità sfruttando particolari proprietà del problema. Dettagli del progetto: - Realizzazione del algoritmo bruteforce ricorsivo e quello ottimizzato - Realizzazione di benchmark prestazionali

1. Analisi VertexCover
RecursiveVC VS BruteForce
Capaldo Giuseppe 0522500498
Guastaferro Sergio 0522500500

2. Descrizione del Problema
VertexCover
 Che cos’è?
 Dato un grafo 𝐺 = 𝑉, 𝐸 un insieme 𝑆 ⊂ 𝑉 è un insieme di vertici che ricopre 𝐺 se
ogni arco 𝑒 ∈ 𝐸 ha almeno un dei suoi vertici in 𝑆
 Esempio di Applicazione
 Eseguire flooding efficiente in una Rete Ad Hoc composta da nodi mobili
 Trovare un insieme di nodi (MPRSet) a distianza 1-hop che riesce a coprire tutti i
nodi a distanza 2-hop
 Come si risolve?
 È un problema NP-HARD, nella pratica si usa un algoritmo approssimato

3. Obiettivi del Progetto
 Analizzare le complessità di VertexCover
 BruteForce
 RecursiveVC
 Creare una Test Suite per fare il benchmarking sui tempi
 Commentare i risultati ottenuti

4. Complessità del VertexCover
BruteForce
Complessità
 𝑂 𝑘 ∗ 𝑛 𝑘
 K chiamate
 Ognuna ha complessità 𝑂(𝑛 𝑘
)
Algoritmo

5. Come trattare l’intrattabile
Riflessioni sul problema
1. Se 𝐺 = (𝑉, 𝐸) ha un insieme ricoprente di taglia 𝑘 allora 𝐸 ≤ 𝑘(𝑛 − 1),
dove 𝑛 = |𝑉|
2. Sia 𝑒 = (𝑢, 𝑣) un arco di 𝐺. Il grafo 𝐺 ha un insieme ricoprente di taglia
𝑘 se e solo se almeno uno dei grafi 𝐺/{𝑢} e 𝐺/ 𝑣 ha un insieme
ricoprente di taglia 𝑘 − 1

6. Complessità del VertexCover
RecursiveVC
Complessità
 𝑂 2 𝑘
∗ 𝑘 ∗ 𝑛
 2 𝑘
chiamate ricorsive
 Ognuna ha complessità 𝑂(𝑘 ∗ 𝑛)
Algoritmo

7. Test Suite – 1
 Per poter effettuare l’analisi dei tempi consideriamo i fattori:
 |V| : Numero di nodi
 K : Dimensione del VertexCover
 |E| : Numero di archi, al variare della densità del grafo
 Abbiamo generato un dataset di 9 grafi per ogni |V| fissata
 25 – 30 – 35 nodi
0.1 0.4 0.7
0.2 0.5 0.8
0.3 0.6 0.9
 numero di archi al variare della densità 𝐷𝑖
 𝐷𝑖 =
2 |𝐸|
|𝑉|( |𝑉|−1 )
 𝐸 = 𝐷𝑖
|𝑉|( 𝑉 −1)
2
Istanze
Densità

8.  Definite le istanze, lanciamo l’algoritmo verificando l’esistenza di un
VertexCover di taglia :
 K piccolo = 𝐾𝑝 =
1
5
|𝑉|
 K medio = 𝐾 𝑚 =
1
2
|𝑉|
 K grande = 𝐾𝑔 =
4
5
|𝑉|
Istanze
Piccola Media Grande
Dp Dm Dg Dp Dm Dg Dp Dm Dg
K
0.1 0.4 0.7 0.1 0.4 0.7 0.1 0.4 0.7
0.2 0.5 0.8 0.2 0.5 0.8 0.2 0.5 0.8
0.3 0.6 0.9 0.3 0.6 0.9 0.3 0.6 0.9
K piccolo K medio K grande
Schema Progettazione Test Suite
Test Suite – 2

9.  Fissiamo 𝑛 = |𝑉|
 Per i=0 fino a 9
 Calcoliamo m = 𝐸 = 𝐷 𝑥
|𝑉|( 𝑉 −1)
2
con 𝐷 𝑥 = {0.1, 0.2, … 0.9}
 Generiamo un grafo random avente n nodi e m archi
 Esporta su file «dataset_i.mtx»
Test Suite – 3
Generazione del dataset
%%%%%% Dataset_3 %%%%%%
30 30 120 %% n n m
1 1 %% e=(i, j)
2 5
5 8
2 6
12 5
21 6
16 30
…
Esempio dataset_3.mtx

10. BruteForce – 25 Nodi
Risultati Misure Bruteforce VC su 25 nodi
NOME-FILE NUM-EDGE K
Tempi Esperimenti
Tmedio
Esp0 Esp1 Esp2 Esp3 Esp4 Esp5 Esp6 Esp7 Esp8 Esp9
dataset_0.mtx 30 5 156 95 95 95 142 102 96 95 110 116 110,2
dataset_0.mtx 30 13 109 110 109 109 109 125 125 110 125 122 115,3
dataset_0.mtx 30 20 110 109 109 109 110 109 109 125 109 121 112
dataset_1.mtx 60 5 914 906 891 907 916 922 922 889 891 969 912,7
dataset_1.mtx 60 13 885 877 879 908 887 894 931 876 937 997 907,1
dataset_1.mtx 60 20 926 892 891 903 891 953 1000 916 892 962 922,6
dataset_2.mtx 90 5 2504 2481 2502 2534 2470 2521 2479 2604 2532 2727 2535,4
dataset_2.mtx 90 13 2472 2581 2534 2565 2487 2486 2471 2563 2481 2764 2540,4
dataset_2.mtx 90 20 2524 2534 2477 2574 2485 2515 2516 2617 2504 2725 2547,1
dataset_3.mtx 120 5 7281 7201 7497 7366 7240 7202 7214 7233 7383 7762 7337,9
dataset_3.mtx 120 13 7220 7216 7841 7356 7184 7184 7421 7274 7431 7764 7389,1
dataset_3.mtx 120 20 7222 7270 7402 7281 7232 7307 7315 7199 7498 7703 7342,9
dataset_4.mtx 150 5 7273 7173 7410 7275 7298 7364 7302 7319 7395 7704 7351,3
dataset_4.mtx 150 13 7347 9044 7423 7485 7244 7304 7458 7284 7408 7751 7574,8
dataset_4.mtx 150 20 7379 8038 7458 7577 7263 7306 7261 7335 7514 7734 7486,5
dataset_5.mtx 180 5 20342 21066 20990 21121 20152 20260 21048 20884 20960 21726 20854,9
dataset_5.mtx 180 13 20264 20269 21194 20653 20204 20074 21118 20987 20811 21665 20723,9
dataset_5.mtx 180 20 20483 20862 21175 20221 20319 20744 20623 20464 20832 21669 20739,2
dataset_6.mtx 210 5 20035 20220 20521 20574 20061 20725 20187 20281 20381 21624 20460,9
dataset_6.mtx 210 13 20211 20365 20577 20439 20129 20364 20401 20260 21707 21534 20598,7
dataset_6.mtx 210 20 20149 20310 20886 20349 20245 20592 20298 20532 21917 21408 20668,6
dataset_7.mtx 240 5 18553 18388 19040 18745 18492 19145 18567 19192 20533 19739 19039,4
dataset_7.mtx 240 13 18365 18479 19060 18525 18425 18614 18715 18908 19925 19979 18899,5
dataset_7.mtx 240 20 18507 18528 18787 18569 18585 18893 18624 18786 19993 19629 18890,1
dataset_8.mtx 270 5 20122 20562 21039 20093 20823 20037 20266 20878 21715 21271 20680,6
dataset_8.mtx 270 13 20068 20528 20465 20111 20232 20027 20290 20615 21897 21302 20553,5
dataset_8.mtx 270 20 19973 20353 20563 20060 20191 20576 20283 20780 21699 21474 20595,2

11. BruteForce – 25 Nodi
Grafici2(Ordine K)
NOME-FILE NUM-EDGE K TIME
dataset_0.mtx 30 5 110,2
K Piccolo
dataset_1.mtx 60 5 912,7
dataset_2.mtx 90 5 2535,4
dataset_3.mtx 120 5 7337,9
dataset_4.mtx 150 5 7351,3
dataset_5.mtx 180 5 20854,9
dataset_6.mtx 210 5 20460,9
dataset_7.mtx 240 5 19039,4
dataset_8.mtx 270 5 20680,6
dataset_0.mtx 30 13 115,3
K Medio
dataset_1.mtx 60 13 907,1
dataset_2.mtx 90 13 2540,4
dataset_3.mtx 120 13 7389,1
dataset_4.mtx 150 13 7574,8
dataset_5.mtx 180 13 20723,9
dataset_6.mtx 210 13 20598,7
dataset_7.mtx 240 13 18899,5
dataset_8.mtx 270 13 20553,5
dataset_0.mtx 30 20 112
K Grande
dataset_1.mtx 60 20 922,6
dataset_2.mtx 90 20 2547,1
dataset_3.mtx 120 20 7342,9
dataset_4.mtx 150 20 7486,5
dataset_5.mtx 180 20 20739,2
dataset_6.mtx 210 20 20668,6
dataset_7.mtx 240 20 18890,1
dataset_8.mtx 270 20 20595,2
0
5000
10000
15000
20000
25000
30 60 90 120 150 180 210 240 270
T
Medio
|E|
BruteForce(|E| e K-piccolo)

12. BruteForce – 25 Nodi
0
5000
10000
15000
20000
25000
30 60 90 120 150 180 210 240 270
T
Medio
|E|
BruteForce(|E| e K-medio)
Grafici2(Ordine K)
NOME-FILE NUM-EDGE K TIME
dataset_0.mtx 30 5 110,2
K Piccolo
dataset_1.mtx 60 5 912,7
dataset_2.mtx 90 5 2535,4
dataset_3.mtx 120 5 7337,9
dataset_4.mtx 150 5 7351,3
dataset_5.mtx 180 5 20854,9
dataset_6.mtx 210 5 20460,9
dataset_7.mtx 240 5 19039,4
dataset_8.mtx 270 5 20680,6
dataset_0.mtx 30 13 115,3
K Medio
dataset_1.mtx 60 13 907,1
dataset_2.mtx 90 13 2540,4
dataset_3.mtx 120 13 7389,1
dataset_4.mtx 150 13 7574,8
dataset_5.mtx 180 13 20723,9
dataset_6.mtx 210 13 20598,7
dataset_7.mtx 240 13 18899,5
dataset_8.mtx 270 13 20553,5
dataset_0.mtx 30 20 112
K Grande
dataset_1.mtx 60 20 922,6
dataset_2.mtx 90 20 2547,1
dataset_3.mtx 120 20 7342,9
dataset_4.mtx 150 20 7486,5
dataset_5.mtx 180 20 20739,2
dataset_6.mtx 210 20 20668,6
dataset_7.mtx 240 20 18890,1
dataset_8.mtx 270 20 20595,2

13. BruteForce – 25 Nodi
Grafici2(Ordine K)
NOME-FILE NUM-EDGE K TIME
dataset_0.mtx 30 5 110,2
K Piccolo
dataset_1.mtx 60 5 912,7
dataset_2.mtx 90 5 2535,4
dataset_3.mtx 120 5 7337,9
dataset_4.mtx 150 5 7351,3
dataset_5.mtx 180 5 20854,9
dataset_6.mtx 210 5 20460,9
dataset_7.mtx 240 5 19039,4
dataset_8.mtx 270 5 20680,6
dataset_0.mtx 30 13 115,3
K Medio
dataset_1.mtx 60 13 907,1
dataset_2.mtx 90 13 2540,4
dataset_3.mtx 120 13 7389,1
dataset_4.mtx 150 13 7574,8
dataset_5.mtx 180 13 20723,9
dataset_6.mtx 210 13 20598,7
dataset_7.mtx 240 13 18899,5
dataset_8.mtx 270 13 20553,5
dataset_0.mtx 30 20 112
K Grande
dataset_1.mtx 60 20 922,6
dataset_2.mtx 90 20 2547,1
dataset_3.mtx 120 20 7342,9
dataset_4.mtx 150 20 7486,5
dataset_5.mtx 180 20 20739,2
dataset_6.mtx 210 20 20668,6
dataset_7.mtx 240 20 18890,1
dataset_8.mtx 270 20 20595,2
0
5000
10000
15000
20000
25000
30 60 90 120 150 180 210 240 270
T
Medio
|E|
BruteForce(|E| e K-grande)

14. RecursiveVC – 25 Nodi
Risultati Misure RecursiveVC su 25 nodi
NOME-FILE NUM-EDGE K
Tempi Esperimenti
Tmedio
Esp0 Esp1 Esp2 Esp3 Esp4 Esp5 Esp6 Esp7 Esp8 Esp9
dataset_0.mtx 30 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
dataset_0.mtx 30 13 32 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4,3
dataset_0.mtx 30 20 156 110 109 110 118 125 109 109 109 111 116,6
dataset_1.mtx 60 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
dataset_1.mtx 60 13 16 15 16 15 0 0 16 16 16 15 12,5
dataset_1.mtx 60 20 768 797 797 767 810 812 781 812 780 769 789,3
dataset_2.mtx 90 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
dataset_2.mtx 90 13 3 0 0 16 0 16 0 16 0 0 5,1
dataset_2.mtx 90 20 1390 1399 1430 1375 1434 1401 1474 1408 1422 1439 1417,2
dataset_3.mtx 120 5 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0,1
dataset_3.mtx 120 13 0 2 2 1 1 1 3 2 1 1 1,4
dataset_3.mtx 120 20 1036 1013 1031 1021 1028 1014 1089 995 1022 1010 1025,9
dataset_4.mtx 150 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
dataset_4.mtx 150 13 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0,9
dataset_4.mtx 150 20 1110 1143 1139 1132 1165 1187 1114 1134 1243 1093 1146
dataset_5.mtx 180 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
dataset_5.mtx 180 13 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0,7
dataset_5.mtx 180 20 375 377 341 344 366 344 375 391 344 334 359,1
dataset_6.mtx 210 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
dataset_6.mtx 210 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
dataset_6.mtx 210 20 287 281 281 281 297 312 297 313 300 339 298,8
dataset_7.mtx 240 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
dataset_7.mtx 240 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,1
dataset_7.mtx 240 20 220 219 234 212 219 225 219 219 219 211 219,7
dataset_8.mtx 270 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
dataset_8.mtx 270 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
dataset_8.mtx 270 20 156 161 141 157 156 141 161 172 141 161 154,7

15. RecursiveVC – 25 Nodi
Grafici2(Ordine K)
NOME-FILE NUM-EDGE K TIME
dataset_0.mtx 30 5 0
K Piccolo
dataset_1.mtx 60 5 0
dataset_2.mtx 90 5 0
dataset_3.mtx 120 5 0,1
dataset_4.mtx 150 5 0
dataset_5.mtx 180 5 0
dataset_6.mtx 210 5 0
dataset_7.mtx 240 5 0
dataset_8.mtx 270 5 0
dataset_0.mtx 30 13 4,3
K Medio
dataset_1.mtx 60 13 12,5
dataset_2.mtx 90 13 5,1
dataset_3.mtx 120 13 1,4
dataset_4.mtx 150 13 0,9
dataset_5.mtx 180 13 0,7
dataset_6.mtx 210 13 0
dataset_7.mtx 240 13 0,1
dataset_8.mtx 270 13 0
dataset_0.mtx 30 20 116,6
K Grande
dataset_1.mtx 60 20 789,3
dataset_2.mtx 90 20 1417,2
dataset_3.mtx 120 20 1025,9
dataset_4.mtx 150 20 1146
dataset_5.mtx 180 20 359,1
dataset_6.mtx 210 20 298,8
dataset_7.mtx 240 20 219,7
dataset_8.mtx 270 20 154,7
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
30 60 90 120 150 180 210 240 270
T
Medio
|E|
RecursiveVC (|E| e K-piccolo)

16. RecursiveVC – 25 Nodi
Grafici2(Ordine K)
NOME-FILE NUM-EDGE K TIME
dataset_0.mtx 30 5 0
K Piccolo
dataset_1.mtx 60 5 0
dataset_2.mtx 90 5 0
dataset_3.mtx 120 5 0,1
dataset_4.mtx 150 5 0
dataset_5.mtx 180 5 0
dataset_6.mtx 210 5 0
dataset_7.mtx 240 5 0
dataset_8.mtx 270 5 0
dataset_0.mtx 30 13 4,3
K Medio
dataset_1.mtx 60 13 12,5
dataset_2.mtx 90 13 5,1
dataset_3.mtx 120 13 1,4
dataset_4.mtx 150 13 0,9
dataset_5.mtx 180 13 0,7
dataset_6.mtx 210 13 0
dataset_7.mtx 240 13 0,1
dataset_8.mtx 270 13 0
dataset_0.mtx 30 20 116,6
K Grande
dataset_1.mtx 60 20 789,3
dataset_2.mtx 90 20 1417,2
dataset_3.mtx 120 20 1025,9
dataset_4.mtx 150 20 1146
dataset_5.mtx 180 20 359,1
dataset_6.mtx 210 20 298,8
dataset_7.mtx 240 20 219,7
dataset_8.mtx 270 20 154,7
0
2
4
6
8
10
12
14
30 60 90 120 150 180 210 240 270
T
Medio
|E|
RecursiveVC(|E| e K-medio)

17. RecursiveVC – 25 Nodi
Grafici2(Ordine K)
NOME-FILE NUM-EDGE K TIME
dataset_0.mtx 30 5 0
K Piccolo
dataset_1.mtx 60 5 0
dataset_2.mtx 90 5 0
dataset_3.mtx 120 5 0,1
dataset_4.mtx 150 5 0
dataset_5.mtx 180 5 0
dataset_6.mtx 210 5 0
dataset_7.mtx 240 5 0
dataset_8.mtx 270 5 0
dataset_0.mtx 30 13 4,3
K Medio
dataset_1.mtx 60 13 12,5
dataset_2.mtx 90 13 5,1
dataset_3.mtx 120 13 1,4
dataset_4.mtx 150 13 0,9
dataset_5.mtx 180 13 0,7
dataset_6.mtx 210 13 0
dataset_7.mtx 240 13 0,1
dataset_8.mtx 270 13 0
dataset_0.mtx 30 20 116,6
K Grande
dataset_1.mtx 60 20 789,3
dataset_2.mtx 90 20 1417,2
dataset_3.mtx 120 20 1025,9
dataset_4.mtx 150 20 1146
dataset_5.mtx 180 20 359,1
dataset_6.mtx 210 20 298,8
dataset_7.mtx 240 20 219,7
dataset_8.mtx 270 20 154,7
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
30 60 90 120 150 180 210 240 270
T
Medio
|E|
RecursiveVC (|E| e K-grande)

18. Esplosione Del Problema
 Eravamo partiti con l’intento di fare un confronto, tra il problema risolto
usando il puro BruteForce e RecursiveVC Ricorsivo
 Ci siamo subito scontrati con la complessità esponenziale dell’algoritmo.
 Sull’istanza da 30 nodi non siamo riusciti per questioni di tempo a fare lo stesso
livello di testing.
 Abbiamo ristretto il numero di test eseguiti (fino al dataset_4.mtx)

19. BruteForce – 30 Nodi
Grafici2(Ordine K)
NOME-FILE NUM-EDGE K TIME
dataset_0.mtx 3 10 1
K Piccolo
dataset_1.mtx 51 10 4986
dataset_2.mtx 99 10 43906
dataset_3.mtx 147 10 229590
dataset_4.mtx 195 10 460698
dataset_0.mtx 3 17 0
K Medio
dataset_1.mtx 51 17 4933
dataset_2.mtx 99 17 44274
dataset_3.mtx 147 17 230899
dataset_4.mtx 195 17 460356
dataset_0.mtx 3 25 0
K Grande
dataset_1.mtx 51 25 4911
dataset_2.mtx 99 25 44094
dataset_3.mtx 147 25 229867
dataset_4.mtx 195 25 461246
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
350000
400000
450000
500000
3 51 99 147 195
T
|E|
BruteForce(|E| e K-piccolo)

20. BruteForce – 30 Nodi
Grafici2(Ordine K)
NOME-FILE NUM-EDGE K TIME
dataset_0.mtx 3 10 1
K Piccolo
dataset_1.mtx 51 10 4986
dataset_2.mtx 99 10 43906
dataset_3.mtx 147 10 229590
dataset_4.mtx 195 10 460698
dataset_0.mtx 3 17 0
K Medio
dataset_1.mtx 51 17 4933
dataset_2.mtx 99 17 44274
dataset_3.mtx 147 17 230899
dataset_4.mtx 195 17 460356
dataset_0.mtx 3 25 0
K Grande
dataset_1.mtx 51 25 4911
dataset_2.mtx 99 25 44094
dataset_3.mtx 147 25 229867
dataset_4.mtx 195 25 461246
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
350000
400000
450000
500000
3 51 99 147 195
T
|E|
BruteForce(|E| e K-medio)

21. BruteForce – 30 Nodi
Grafici2(Ordine K)
NOME-FILE NUM-EDGE K TIME
dataset_0.mtx 3 10 1
K Piccolo
dataset_1.mtx 51 10 4986
dataset_2.mtx 99 10 43906
dataset_3.mtx 147 10 229590
dataset_4.mtx 195 10 460698
dataset_0.mtx 3 17 0
K Medio
dataset_1.mtx 51 17 4933
dataset_2.mtx 99 17 44274
dataset_3.mtx 147 17 230899
dataset_4.mtx 195 17 460356
dataset_0.mtx 3 25 0
K Grande
dataset_1.mtx 51 25 4911
dataset_2.mtx 99 25 44094
dataset_3.mtx 147 25 229867
dataset_4.mtx 195 25 461246
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
350000
400000
450000
500000
3 51 99 147 195
T
|E|
BruteForce(|E| e K-grande)

22. RecursiveVC – 30 Nodi
Risultati Misure RecursiveVC su 30 nodi
NOME-FILE NUM-EDGE K
Tempi Esperimenti
Tmedio
Esp0 Esp1 Esp2 Esp3 Esp4 Esp5 Esp6 Esp7 Esp8 Esp9
dataset_0.mtx 3 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
dataset_0.mtx 3 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
dataset_0.mtx 3 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
dataset_1.mtx 51 10 0 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1
dataset_1.mtx 51 17 265 232 237 232 219 215 234 248 225 232 233,9
dataset_1.mtx 51 25 4978 4967 4908 4988 4783 4839 4938 5041 4868 4930 4924
dataset_2.mtx 99 10 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0,2
dataset_2.mtx 99 17 125 123 131 129 109 109 126 127 109 127 121,5
dataset_2.mtx 99 25 36307 36612 35599 37673 35505 35507 35759 36176 35066 35772 35997,6
dataset_3.mtx 147 10 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0,4
dataset_3.mtx 147 17 62 70 68 69 64 67 64 65 67 63 65,9
dataset_3.mtx 147 25 52648 52402 52196 54064 51516 51903 51579 52144 52359 51665 52247,6
dataset_4.mtx 195 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
dataset_4.mtx 195 17 16 16 19 16 20 20 18 17 17 18 17,7
dataset_4.mtx 195 25 29301 29448 29310 29379 29240 29413 29076 29174 28991 29317 29264,9
dataset_5.mtx 243 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
dataset_5.mtx 243 17 15 13 14 14 14 15 14 1 2 13 11,5
dataset_5.mtx 243 25 19625 20201 20087 20089 20029 20007 20035 20113 20353 20550 20108,9
dataset_6.mtx 291 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
dataset_6.mtx 291 17 0 5 5 0 0 0 6 5 1 1 2,3
dataset_6.mtx 291 25 16930 17138 17113 17052 16766 16823 16891 16938 17256 17498 17040,5
dataset_7.mtx 339 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
dataset_7.mtx 339 17 0 4 2 3 0 0 2 0 0 3 1,4
dataset_7.mtx 339 25 17640 17427 17617 17459 17353 16911 17566 17319 17693 17761 17474,6
dataset_8.mtx 387 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
dataset_8.mtx 387 17 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0,1
dataset_8.mtx 387 25 7702 7753 7604 7581 7482 7443 7690 7556 7655 7614 7608

23. RecursiveVC – 30 Nodi
Grafici2(Ordine K)
NOME-FILE NUM-EDGE K TMedio
dataset_0.mtx 3 10 0
K Piccolo
dataset_1.mtx 51 10 1
dataset_2.mtx 99 10 0,2
dataset_3.mtx 147 10 0,4
dataset_4.mtx 195 10 0
dataset_5.mtx 243 10 0
dataset_6.mtx 291 10 0
dataset_7.mtx 339 10 0
dataset_8.mtx 387 10 0
dataset_0.mtx 3 17 0
K Medio
dataset_1.mtx 51 17 233,9
dataset_2.mtx 99 17 121,5
dataset_3.mtx 147 17 65,9
dataset_4.mtx 195 17 17,7
dataset_5.mtx 243 17 11,5
dataset_6.mtx 291 17 2,3
dataset_7.mtx 339 17 1,4
dataset_8.mtx 387 17 0,1
dataset_0.mtx 3 25 0
K Grande
dataset_1.mtx 51 25 4924
dataset_2.mtx 99 25 35997,6
dataset_3.mtx 147 25 52247,6
dataset_4.mtx 195 25 29264,9
dataset_5.mtx 243 25 20108,9
dataset_6.mtx 291 25 17040,5
dataset_7.mtx 339 25 17474,6
dataset_8.mtx 387 25 7608
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
3 51 99 147 195 243 291 339 387
T
Medio
|E|
RecursiveVC (|E| e K-piccolo)

24. RecursiveVC – 30 Nodi
Grafici2(Ordine K)
NOME-FILE NUM-EDGE K TMedio
dataset_0.mtx 3 10 0
K Piccolo
dataset_1.mtx 51 10 1
dataset_2.mtx 99 10 0,2
dataset_3.mtx 147 10 0,4
dataset_4.mtx 195 10 0
dataset_5.mtx 243 10 0
dataset_6.mtx 291 10 0
dataset_7.mtx 339 10 0
dataset_8.mtx 387 10 0
dataset_0.mtx 3 17 0
K Medio
dataset_1.mtx 51 17 233,9
dataset_2.mtx 99 17 121,5
dataset_3.mtx 147 17 65,9
dataset_4.mtx 195 17 17,7
dataset_5.mtx 243 17 11,5
dataset_6.mtx 291 17 2,3
dataset_7.mtx 339 17 1,4
dataset_8.mtx 387 17 0,1
dataset_0.mtx 3 25 0
K Grande
dataset_1.mtx 51 25 4924
dataset_2.mtx 99 25 35997,6
dataset_3.mtx 147 25 52247,6
dataset_4.mtx 195 25 29264,9
dataset_5.mtx 243 25 20108,9
dataset_6.mtx 291 25 17040,5
dataset_7.mtx 339 25 17474,6
dataset_8.mtx 387 25 7608
0
50
100
150
200
250
3 51 99 147 195 243 291 339 387
T
Medio
|E|
RecursiveVC (|E| e K-medio)

25. RecursiveVC – 30 Nodi
Grafici2(Ordine K)
NOME-FILE NUM-EDGE K TMedio
dataset_0.mtx 3 10 0
K Piccolo
dataset_1.mtx 51 10 1
dataset_2.mtx 99 10 0,2
dataset_3.mtx 147 10 0,4
dataset_4.mtx 195 10 0
dataset_5.mtx 243 10 0
dataset_6.mtx 291 10 0
dataset_7.mtx 339 10 0
dataset_8.mtx 387 10 0
dataset_0.mtx 3 17 0
K Medio
dataset_1.mtx 51 17 233,9
dataset_2.mtx 99 17 121,5
dataset_3.mtx 147 17 65,9
dataset_4.mtx 195 17 17,7
dataset_5.mtx 243 17 11,5
dataset_6.mtx 291 17 2,3
dataset_7.mtx 339 17 1,4
dataset_8.mtx 387 17 0,1
dataset_0.mtx 3 25 0
K Grande
dataset_1.mtx 51 25 4924
dataset_2.mtx 99 25 35997,6
dataset_3.mtx 147 25 52247,6
dataset_4.mtx 195 25 29264,9
dataset_5.mtx 243 25 20108,9
dataset_6.mtx 291 25 17040,5
dataset_7.mtx 339 25 17474,6
dataset_8.mtx 387 25 7608
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
3 51 99 147 195 243 291 339 387
T
Medio
|E|
RecursiveVC (|E| e K-grande)

26. RecursiveVC – 35 Nodi
Grafici2(Ordine K)
NOME-FILE NUM-EDGE K TIME
dataset_0.mtx 60 7 2
K Piccolo
dataset_1.mtx 119 7 0
dataset_2.mtx 179 7 0
dataset_3.mtx 238 7 0
dataset_4.mtx 298 7 0
dataset_5.mtx 357 7 0
dataset_6.mtx 417 7 0
dataset_7.mtx 476 7 0
dataset_8.mtx 536 7 0
dataset_0.mtx 60 18 572
K Medio
dataset_1.mtx 119 18 287
dataset_2.mtx 179 18 129
dataset_3.mtx 238 18 47
dataset_4.mtx 298 18 15
dataset_5.mtx 357 18 0
dataset_6.mtx 417 18 0
dataset_7.mtx 476 18 0
dataset_8.mtx 536 18 0
dataset_0.mtx 60 28 68137
K Grande
dataset_1.mtx 119 28 632165
dataset_2.mtx 179 28 566227
dataset_3.mtx 238 28 371194
dataset_4.mtx 298 28 148300
dataset_5.mtx 357 28 92618
dataset_6.mtx 417 28 78495
dataset_7.mtx 476 28 35361
dataset_8.mtx 536 28 19324
0
0.5
1
1.5
2
2.5
60 119 179 238 298 357 417 476 536
T
|E|
RecursiveVC(|E| e K-piccolo)

27. RecursiveVC – 35 Nodi
Grafici2(Ordine K)
NOME-FILE NUM-EDGE K TIME
dataset_0.mtx 60 7 2
K Piccolo
dataset_1.mtx 119 7 0
dataset_2.mtx 179 7 0
dataset_3.mtx 238 7 0
dataset_4.mtx 298 7 0
dataset_5.mtx 357 7 0
dataset_6.mtx 417 7 0
dataset_7.mtx 476 7 0
dataset_8.mtx 536 7 0
dataset_0.mtx 60 18 572
K Medio
dataset_1.mtx 119 18 287
dataset_2.mtx 179 18 129
dataset_3.mtx 238 18 47
dataset_4.mtx 298 18 15
dataset_5.mtx 357 18 0
dataset_6.mtx 417 18 0
dataset_7.mtx 476 18 0
dataset_8.mtx 536 18 0
dataset_0.mtx 60 28 68137
K Grande
dataset_1.mtx 119 28 632165
dataset_2.mtx 179 28 566227
dataset_3.mtx 238 28 371194
dataset_4.mtx 298 28 148300
dataset_5.mtx 357 28 92618
dataset_6.mtx 417 28 78495
dataset_7.mtx 476 28 35361
dataset_8.mtx 536 28 19324
0
100
200
300
400
500
600
700
60 119 179 238 298 357 417 476 536
T
|E|
RecursiveVC(|E| e K-medio)

28. RecursiveVC – 35 Nodi
Grafici2(Ordine K)
NOME-FILE NUM-EDGE K TIME
dataset_0.mtx 60 7 2
K Piccolo
dataset_1.mtx 119 7 0
dataset_2.mtx 179 7 0
dataset_3.mtx 238 7 0
dataset_4.mtx 298 7 0
dataset_5.mtx 357 7 0
dataset_6.mtx 417 7 0
dataset_7.mtx 476 7 0
dataset_8.mtx 536 7 0
dataset_0.mtx 60 18 572
K Medio
dataset_1.mtx 119 18 287
dataset_2.mtx 179 18 129
dataset_3.mtx 238 18 47
dataset_4.mtx 298 18 15
dataset_5.mtx 357 18 0
dataset_6.mtx 417 18 0
dataset_7.mtx 476 18 0
dataset_8.mtx 536 18 0
dataset_0.mtx 60 28 68137
K Grande
dataset_1.mtx 119 28 632165
dataset_2.mtx 179 28 566227
dataset_3.mtx 238 28 371194
dataset_4.mtx 298 28 148300
dataset_5.mtx 357 28 92618
dataset_6.mtx 417 28 78495
dataset_7.mtx 476 28 35361
dataset_8.mtx 536 28 19324
0
100000
200000
300000
400000
500000
600000
700000
60 119 179 238 298 357 417 476 536
T
|E|
RecursiveVC(|E| e K-grande)

29. Stima Crescita Tempi RecursiveVC
RecursiveVC
Numero Nodi O(Tempo)
25 1,4 s
30 52 s
35 632 s
40 8738 s
45 188083 s
50 40,5 giorni
55 694,4 giorni
0
500000
1000000
1500000
2000000
2500000
3000000
3500000
25 30 35 40 45 50
Tempo
(s)
|V|
Andamento dei Tempi RecursiveVC
 Basate su k-grande e densità medio-bassa (0.3/0.4)
 25-30-35 misure basate su medie
 40-45 misure effettuate su singola esecuzione
 50-55 predizioni

30. Conclusioni
 BruteForce
 K non ha influenza sui tempi
 Esplode su una istanza da 30 nodi
 Dataset_4.mtx : densità di 0,5 ( T ≃ 8 min. )
 RecursiveVC
 Esplode su instanze con K-grande e densità medio-bassa (≃ 0.3)
 Generando opportune istanze
 |V| = 40 -- |E| = 234 –- K = 32 TEMPO : 2,43 ore
 |V| = 45 –- |E| = 297 –- K = 36 TEMPO : 52,24 ore
 |V| = 50 -- |E| = 367 –- K = 40 TEMPO : ? (stima, Ω(40 giorni))

31. Perche non usare Java?
 Uso tipi primitivi al posto degli oggetti
 Accessi diretti in memoria al posto di Getter/Setter
 Evitato l’uso della creazione/gestione Object
 Evitato il cambio contesto copiando lo stesso codice nella chiamata ricorsiva
 Su una istanza da 40 nodi impiega 4,31 min anzicchè 2,43 ore .
 Stesso linguaggio, JAVA .

32. RecursiveVC3
Numero Nodi O(Tempo)
25 0 s
30 0 s
35 24,95 s
40 258,75 s
45 800 s
50 2000 s
Perche non usare Java?
Stima Crescita Tempi RecursiveVC3
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
25 30 35 40
Tempo
(s)
|V|
Andamento dei Tempi RecursiveVC3
 Basate su k-grande e densità medio-bassa (0.3/0.4)
 Basate su singola esecuzione, DynTestRunningVC3

33. Grazie per l’attenzione