2. EKA JUMIANTI
NURAFNI
11154203071
11154201774
(Pertemuan tgl 11 November 2013)
1. Defenisi 4.1.1 (Dijelaskan oleh Eka Jumianti)
Diberikan
. Sebuah titik
setidaknya satu titik
adalah titik limit dari A jika
terdapat
sehingga berlaku
Defenisi ini diulang dalam bahasa persekitaran sebagai berikut: Sebuah titik c adalah titik
limit dari himpunan A jika
persekitaran-
dari c memuat setidaknya
satu titik A yang berbeda dari c.
Catatan. Titik c boleh jadi anggota dari A atau bukan anggota dari A, Sebaliknya, suatu
anggota A dapat menjadi titik limit atau bukan titik limit A, karena secara khusus yang
diperlukan adalah adanya titik di
yang berbeda dengan c agar c menjadi titik limit dari
A.
Sebagai contoh, jika
, lalu titik 1 bukan lah titik limit dari A, oleh karena itu pilih
yang diberikan dari persekitaran 1 yang tidak memuat titik A yang berbeda dari 1. Hal
serupa benar untuk titik 2, jadi kita ketahui bahwa A tidak memiliki titik-titik limit.
2. Teorema 4.1.2 (Dijelaskan oleh Nurafni)
Sebuah bilangan
sedemikian hingga
adalah titik limit dari
jika dan hanya jika terdapat barisan
untuk semua
3. Bukti.
jika c adalah titik limit dari A, kemudian untuk suatu
yaitu
memuat setidaknya satu titik
kemudian
di A yang berbeda dari c.
. Karena berlaku
Sebaliknya, jika diketahui terdapat barisan
dibuktikan c adalah titik limit A. Karena diketahui
, persekitaran-
maka disimpulkan
dengan
,
kemudian untuk suatu
bilangan asli sedemikian hingga jika
Oleh karena itu, persekitarantermasuk ke A dan berbeda dari c. yaitu
mengandung titik
. Terbukti c titik limit A.
yang
