1. 1 Sign-Solvability inMathematical Programming数理計画法における符号可解性 垣村 尚徳 数理第２研究室 2011/5/23 数理助教の会

3. 線形計画問題[Iwata, K. ’08]

4. 線形相補性問題 [K. ’08]

5. マッチング理論

9. 先行研究 定性的行列理論： 線型方程式や行列の解析 今日の話： 5 [Samuelson ’47] 正則? 可解? 基本的な数理計画: 符号可解性＆効率的解法 線型相補性問題[K. ’08 ] 線型計画問題 [Iwata & K. ’08 ]

10. 先行研究 定性的行列理論： 線型方程式や行列の解析 今日の話： 6 [Samuelson ’47] 正則? 可解? 基本的な数理計画: 符号可解性＆効率的解法 線型相補性問題[K. ’08 ] 線型計画問題 [Iwata & K. ’08 ]

11. 経済学における定性的解析 [Samuelson ’47] 7 商品の価格は需給により決定 生産量 需要: t：嗜好 供給: 均衡価格： 交点 x0 t微小変化 -> 均衡点の変化？ D: 単調減少(－) 値段 D: 単調増加(+) 符号パターンから解ける？ S: 単調増加(+)

13. Aが正方: 符号正則性で特徴付け[Klee, Ladner, Manber ’84]

15. Pólyaのパーマネント問題[Pólya ’13]

16. 有向グラフの偶閉路[Thomassen ’85]

17. 二部グラフのPfaffian orientations [Kasteleyn ’61] etc.

18. で判定可能[Robertson, Seymour, Thomas ’99][McCuaig ’04]

19. 10 定性的行列理論の歩み ’47 Samuelson の符号安定性 経済学 の符号可解性 Quirk, Ruppert ’65 Lancaster ’62 ’64 Gorman ’64 線形時間判定 Klee, van den Driessche ’77 ’70s 生態学への応用Logofet’92 Aが長方: NP完全性 Klee, Ladner, Manber ’84 計算量 統計物理 Kasteleyn ’61 グラフ理論 Thomassen ’85,Seymour ’74 Aが正方 ⇔ 符号正則性 応用 等価 ’90s Brualdi, Shader ’95 Pfaffian orientationの多項式性 Robertson, Seymour, Thomas ’99 線形代数の拡がり 符号正則性の多項式判定 符号付解集合Kim, Shader ’00 固有値の符号Hall, Li, Wang ’01 利用 数理計画の符号可解性 拡張 発展 対称行列の符号数 (線形計画とLCP)

20. 先行研究 定性的行列理論： 線型方程式や行列の解析 今日の話： 11 [Samuelson ’47] 正則? 可解? 基本的な数理計画: 符号可解性＆効率的解法 線型相補性問題[K. ’08 ] 線型計画問題 [Iwata & K. ’08 ]

21. 12 線型計画問題 (LP) 単体法[Dantzig ’47] 楕円体法 [Khachiyan ’79] 内点法 [Karmarkar ’84] 有限回の反復，実用的に高速 (弱) 多項式 入力数値が不確かな場合 ? 確率計画，ロバスト最適化 符号パターンを使った解法? 符号可解性

22. Ex.: ５変数２制約のLP 13 単体法 など 最適な基底解: 最適解の取りうる符号パターンの集合:

23. Ex.: 非零要素の値を変えてみる 14 最適な基底解: 最適解の取りうる符号パターンの集合: 前の例と同じパターン

24. Ex.: 最適解の符号パターンが，符号情報から決まる 15 最適な基底解 最適解の取りうる符号パターンの集合: 与えられた符号パターンによって一意に決まる

25. LPの符号可解性 16 最適解のとりうる符号パターンの集合 LP が符号可解: 非ゼロ要素の絶対値を変えても不変 一意の最適解:

27. 19 Thm[Iwata, K. ’08] 符号可解LPの十分条件 ：row-full rank 符号可解 : TSNS ⇒ 実行可能解の取り得る符号パターンの集合 ⇒双対スラック変数の取り得る符号パターンの集合 が，入力の絶対値によらない [Kim, Shader ’00, Shao, Ren ’04] ：row-full rank : TSNS

30. 線形計画問題[Iwata, K. ’08]

31. 線形相補性問題 [K. ’08]

32. マッチング理論

35. 23 Papers N. Kakimura and S. Iwata,Computing the Inertia from Sign Patterns.Mathematical Programming, 110, pp. 229-244, 2007. S. Iwata and N. Kakimura,Solving Linear Programs from Sign Patterns.Mathematical Programming, 114, pp.393-418, 2008. N. Kakimura,Sign-SolvableLinearComplementarityProblems, Linear Algebra and Its Applications, 429, pp. 606-616, 2008.

36. 24 Papers N. Kakimura,Matching Structure of Symmetric Bipartite Graphs and a Generalization of Pólya’s Problem. J. of Combinatorial Theory, Ser. B, to appear.