Dokumen tersebut membahas tentang dekomposisi dan penghalusan data. Metode dekomposisi digunakan untuk memisahkan komponen trend dan musiman pada suatu time series data. Beberapa teknik yang dijelaskan meliputi moving average untuk menghaluskan data, analisis harmonik untuk merepresentasikan data melalui fungsi sinus dan kosinus, serta empirical mode decomposition untuk memecah data menjadi mode intrinsik.

1. Modul I Decomposition and Smoothing Data Analysis
Oleh: Muhammad Rafi Al-Hariri Nasution / 12812035
I. Pendahuluan
Prosedur dekomposisi digunakan dalam suatu time-series untuk memisahkan suatu sinyal
seperti trend dan seasonal dalam time-series itu sendiri. Lebih luas lagi, dekomposisi juga
termasuk dalam siklus panjang, mingguan, atau harian, dsb. Namun pada modul ini kita akan fokus
pada trend dan seasonal decomposition.
Tujuan utama dalam dekomposisi adalah mengestimasi efek musiman yang digunaan
untuk membuat dan menyajikan nilai musiman yang disesuaikan. Nilai musiman yang telah
disesuaikan akan menghilangkan efek musman dari suatu nilai sehingga trend dapat terlihat lebih
jelas. Contohnya, banyak wilayah di U.S., pengangguran akan berkurang saat musim panas karena
meningkatnya jumlah pekerjaan di sector pertanian. Sehingga, menurunnya jumlah pengangguran
di bulan Juni jika dibandingkan dengan bulan Mei tidak dibutuhkan untuk melihat trend jumlah
pengangguran pada umumnya, karena jumlah ini terpengaruh pada musim summer saja. Untuk
melihat adanya “Trend” yang sesungguhnya, kita perlu untuk mendekomposisi nilai tersebut
dengan menghilangkan nilai musimannya.
II. Moving Average
HadCRUT3 monthly global surface air temperatures since 1850 (left panel). HadCRUT3 annual
global surface air temperatures since 1850 (centre). HadCRUT3 annual global surface air
temperatures since 1850 smoothedwith a 21-point binomial filter (right panel). All diagrams were
downloaded from the Hadley Center 7 March 2009.
Smoothing data-series adalah teknik biasa dalam sains, banyak textbook yang menjelaskan
tentang beberapa pendekatan untuk Smoothing ini. Banyaknya data pada suatu data-series, akan
menjadikannya sulit untuk direpresentasikan karena terlihat seperti noise atau gangguan.
Banyaknya data yang serupa dalam data Geofisika seperti Meteorologi dan Klimatologi,
menjadikan Smoothing atau filtering menjadi penting sehingga kita dapat merepresentasikan
confusing data tersebut.
Adapun tipe Smoothing data yang sederhana adalah Moving Average atau Running Mean
atau yang biasa disebut dengan rata-rata berjalan. Moving Average dapat dihitung dengan
menjumlah N jumlah data dan membagikannya dengan N jumlah (biasanya merupakan bilangan
ganjil). Adapun formula dari Moving Average adalah sebagai berikut.

2. 𝑀𝐴 𝑛 =
∑ 𝐷𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
Dimana,
n = Periode yang dibutuhkan dalam moving average
Di = Data dalam periode i
Berikut adalah contoh dari Moving Average dengan jumlah data 12, dan dirata-ratakan per tiga dan
lima bulan.
1 1 3 2 2 4 3 3 5 4 4 6
5/3 2 7/3 8/3 3 10/3 11/3 4 13/3 14/3
9/5 12/5 14/5 14/5 17/5 19/5 19/5 22/5
Contoh lain terkait Moving Average dengan menggunakan data temperature permukaan secara
global dapat dilihat dari gambar berikut.
Gambar I. Global Surface Temperature mean by time for each month

3. III. Harmonik Analisis
Analisis dalam domain frekuensi melibatkan penyajian data-series dalam artian kontribusi
dibuat pada skala waktu yang berbeda. Contoh, data suhu perjam dalam satu deret waktu tertentu
dapat merepresentasikan siklus diurnal serta siklus annual (pemanasan karena gerak semu
matahari). Jika kita memiliki data 1 tahun tiap jam, artinya terdapat 24x365 = 8760 jam time-series
data. Jika dilihat pada domain frekuensi, kita dapat melihat kontribusi dari variabilitas waktu pada
periode 24 jam dan 8760 jam, atau frekuensi 1/24 = 0.04174 perjam (representasi dari siklus
diurnal) atau 1/8760 = 0.000114 perjam (representasi dari siklus annual).
Harmonik Analisis terdiri dari representasi fluktuasi atau variasi dalam suatu time-series
data yang muncul dari berbagai fungsi sinus dan kosinus suatu data. Fungsi Trigonometri ini
merupakan sesuatu yang harmonic dalam arti bahwa mereka terpilih karena mereka memiliki
frekuensi yang menunjukkan adanya kelipatan suatu bilangan bulat pada frekuensi yang ditentukan
pada pengambilan suatu ukuran sampel data-series.
Jika kita memiliki suatu data time-series seperti diatas (garis berwarna hitam), sebenarnya
data tersebut dapat dibangun dari beberapa fungsi sinus dan cosinus.
Pada Harmonik Analisis, kita perlu mengetahui bagaimana bentuk alami dari sinus (sin(α))
dan cosinus (cos(α)) dimana nilai fungsi ini bergantung pada besarnya nilai α dalam satuan sudut
yang merujuk pada derajat ataupun radian. Berikut merupakan bentuk sinus dan cosinus pada
rentang 0 hingga 360o (0 ke 2π)

4. Mengingat bahwa keduanya merupakan fungsi periodic. Cosinus bernilai maximum pada
0o, 360o, dan seterusnya, dan sinus maksimum pada 90o, 450o, dan seterusnya. Sehingga kita dapat
menyimpulkan bahwa
Cos (α-π/2) = sin (α)
dan
Sin (α+π/2) = cos (α)
Konsep Dasar Representasi Time-series dengan Fungsi Harmonis
Bahkan dalam suatu time-series sederhana, fungsi kosinus dan sinus dapat ditemukan, namun
untuk mengeksekusi suatu siklus pada n pengamatan, 3 kesulitan dasar harus diselesaikan agar
fungsi kosinus dan sinus dapat merepresentasikan data tersebut.
1) Fungsi trigonometri menggunakan sudut, sedangkan data dalam bentuk time-series
Solusi: 𝛼 =
3600
𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒
𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡
𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑠𝑖 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑖𝑘𝑙𝑢𝑠
=
𝑡
𝑛
3600
=
𝑡
𝑛
2𝜋
Adapun frekuensi dasar dapat didefinisikan sebagai
𝜔1 =
2𝜋
𝑛
Kuantitas ini merupakan frekuensi angular, yang memiliki dimensi fisis dalam radian per
satuan waktu. Frekuensi angular ini menggambarkan siklus penuh dan jumlah unit n dalam
satuan waktu.
2) Sinus dan kosinus berada pada rentang -1 dan +1 sedangkan data bisa berada jauh diatas
itu.
Solusi: Pada suatu fungsi sinus dan kosinus, kita dapat menambah besar amplitude yang
akan membuat range nilai semakin tinggi. Jika amplitude A = 5, maka nilai sinus dan
kosinus akan berada disekitar -5 dan +5 variatif berdasarkan besar sudut ataupun waktu.

5. Adapun kita dapat menambahkan nilai 𝑦̅ yang merupakan nilai rata-rata time-series data.
Sehingga, kita akan mendapatkan bahwa
𝑌𝑡 = 𝑦̅ + 𝐶1 𝑐𝑜𝑠(
2𝜋𝑡
𝑛
)
3) Fungsi sinus dan kosinus berada pada nilai α = 0 dan α = 2π. Namun, bagaimana jika
kondisi ini tidak cocok terhadap kondisi aslinya?
Solusi: Penambahan fasa sangat perlu dilakukan ketika suatu fungsi ternyata tidak cocok
untuk mendekati nilai tersebut, sehingga kita dapat menuliskan suatu fungsi baru dengan
suatu penambahan besar fasa ф1 sebagai berikut.
𝑌𝑡 = 𝑦̅ + 𝐶1 𝑐𝑜𝑠 (
2𝜋𝑡
𝑛
− ф1)
Gambar III. Contoh bagaimana pengurangan atau penambahan fasa dapat mengestimasi
suatu nilai dengan baik.

6. IV. Empirical Mode Decomposition (EMD)
Empirical Mode Decomposition (EMD) adalah sebuah metode yang dikembangkan oleh
Norden Huang di NASA sebagai bagian dari Hilbert-Huang Transformasi. Aslinya, EMD
dikembangkan untuk menghitung frekuensi yang terukur saat itu juga dari suatu data non-linear
dan non-stasioner (Huang, 1998). Namun, dikarenakan banyaknya fenomena alam yang juga
merupakan proses nonlinear dan non-stationary, metode ini mulai digunakan untuk banyak data
sains termasuk data-data Meteorologi dan Iklim (Peel 2005 dan McMahon 2008)
Jika dibandingkan dengan teknik dekomposisi lain seperti Fourier analisis, Wavelet atau
bahkan Principle Componen Analysis (PCA), EMD memiliki lebih banyak keunggulan karena ini
dapat menangani suatu data time-series yang nonlinear dan non-stationary. Dikarenakan
dekomosisi didasarkan pada karakteristik skala waktu lokal dari data, EMD dapat mengkomputasi
proposi dari suatu variasi dalam time-series yang dapat dikaitkan pada fluktuasi (baik rendah
ataupun frekuensi yang tinggi) pada skala waktu yang berbeda (McMahon, 2008). Dengan
demikian, penggunaan EMD dalam analisis klimatologi dapat berguna karena banyaknya data
klimatologi seperti intensitas curah hujan, suhu, kelembaban, dsb yang bersifat nonlinear dan non-
stasioner.
Dengan menggunakan metode EMD, suatu time series data akan didekomposisi kedalam
beberapa komponen yang independen dan tidak berkolerasi satu dengan lainnya. Komponen ini
biasa disebut sebagai Intrinstic Mode Functions (IMFs). Bagian akhir IMF merupakan sisa atau
trend dari seluruh time-series. Jika semua IMF dan semua sisanya dijumlahkan kembali, maka data
asli akan terbentuk kembali.
Contoh: Data ketinggian Geopotensial pada ketinggian 700 dan 30 mb.

7. Figure IV-I. Top. The total geopotential height at 30 hPa and 700 hPa spatially averaged over
20◦N to 90◦N. Bottom. The decomposition of the 30 hP (left) and 700 hPa (right)
geopotential height produces five modes and a trend. The first mode is the annual cycle. The
second mode is the extratropical QBO, with an average period of 28 months. The third ENSO-like
mode has an average period around four years and the fourth mode is highly correlated with the
11-yr sunspot cycle. We refrain from commenting on the 22-yr mode found since the data record
contains only two periods of this oscillation. The trend in recent decades indicates cooling in the
troposphere and warming in the stratosphere. This is consistent with the anticipated effect of
increasing greenhouse gases. Figure taken from Coughlin, K. T., and K. K. Tung, 2004: 11-year
solar cycle in the stratosphere extractedby the empirical mode decomposition method. Adv.Space
Res., 34, 323–329 with permission.
Berdasarkan (Huang, 1998), IMF adalah suatu fungsi yang memenuhi 2 kondisi: (1) dalam
keseluruhan satuan data, jumlah nilai extrim dan minimum yang bertentangan haruslah bernilai
sama atau sangat berbeda satu dengan lainnya, dan (2) pada suatu titik, rata-rata nilai dari nilai
maksimum dan minumnya adalah bernilai 0. Secara teoritis, tiap-tiap IMF merupakan orthogonal
dan tidak berkorelasi.
(Huang, 2005), prosedur untuk memperoleh IMF dengan EMD terdiri dari beberapa step
yang dapat dirangkum sebagai berikut.
Setiap data, mengidentifikasi seluruh lokal maksimum dan kemudian menghubungkan
semua lokal maksimum dengan sebuah persamaan garis cubil spline sebagai upper envelope.
Ulangi prosedur untuk lokal minimum sehingga kita memperoleh lower envelope. Bagian upper
dan lower envelope harus meng-cover seluruh data diantara mereka. Langkah selanjutnya adalah
menghitung rata-rata dari upper dan lower envelope (ml) dan perbedaan diantara data dan ml.
Hasilnya adalah komponen first proto-IMF (PIMF) atau hl. Ulangi proses dengan menggunakan
hl hingga data PIMF mencapai stoppage criteria. Kriteria stop mirip dengan Tes Konvergensi
Cauch.

8. Ketika suatu fungsi telah mencapai kriteria stopnya, komponen ini ditunjuk sebagai IMF
pertama atau cl. IMF pertama ini kemudian dikurangi dengan sisa data untuk mendapatkan data
sisanya. Sisa tersebut kemudian digunakan untuk mengurangi data asli sehingga diperoleh IMF
selanjutnya. Prosedur ini diulangi terus menerus hingga didapatkan IMF terakhir. Residual
mungkin konstan, trend-monoton, atau tidak komplit (≤3 extrema) dengan fluktuasi periode lebih
panjang daripada panjang data itu sendiri (McMahon 2008). Proses untuk mendapatkan IMF ini
dinamakan sebagai Sifting process.
Figure II.1 Exampleof intrinsic mode function (IMF-4) from Univ. of Delaware temperature data
at Tarakan.
Contoh dari salah satu IMF ditunjukkan pada gambar diatas. Gambar ini merepresentasikan
sebuah osilasi mode sebagai salah satu banding terhadap fungsi harmonic sederhana, namun dapat
lebih digeneralisasikan. Dapat dilihat bahwa osilasi IMF tersebut bergerak disekitar nilai 0, sesuai
dengan definisinya pada lokal maksimum dan minimum.
IMF juga memiliki arti fisis karena sifat skalanya yang didefinisikan oleh data fisis. Kita
dapat melihat mode Diurnal, Annual, Seasonal, Interdecadal, Sun spot (11 tahunan), dsb
bergantung pada panjang data itu sendiri.
Univ-Delaware Temperature IMFs at Tarakan (1961 - 1990)
1961 1966 1971 1976 1981 1986
-1
-0.5
0
0.5
1
Year
Temperature(C)
IMF-4
1961 1966 1971 1976 1981 1986
-1
0.5
0
0.5
1
Year
IMF-3
1961 1966 1971 1976 1981 1986
-2
-1
0
1
2
Year
Temperature(C)
IMF-2
1961 1966 1971 1976 1981 1986
-2
-1
0
1
2
Year
IMF-1

9. V. Langkah Kerja
V.1 Running Mean
1) Sintesis dan Normalisasi data sintesis dengan periode 5, 10, 15 dan jumlah bilangan
gelombang untuk setiap Periode.
2) Dekomposisi masing-masing sinyal sesuai dengan periode yang telah didefinisikan, plot
gambar

10. V.2 Emphirical Mode Decomposition
1) Sintesis dan Normalisasi data yang sama

11. 2) Gunakan fungsi EMD.m dan plot hasil IMFnya
V.3 Harmonic Analysis
1) Sintetis dan normalisasi data seperti gambar berikut.

12. 2) Definisikan Himpunan X yang akan diisi dengan pendekatan fungsi sinus kosinus untuk
setiap bilangan gelombang (total n/2 gelombang)
3) Dengan pendekatan Multiple Linear Regression (MLR), akan didekati nilai Amplitudo dan
fasa gelombang

13. 4) Estimasi nilai Yi dengan jumlah bilangan gelombang (n/2); Plot gambar dengan
menggunakan script berikut.
5) Running program, analisis!

14. REFERENCES
http://www.climate4you.com/DataSmoothing.htm
Coughline, Katie et all.2005. EMPIRICAL MODE DECOMPOSITION OF CLIMATE
VARIABILITY. University of Washington
Draper, N. R., and H. Smith. Applied Regression Analysis. Hoboken, NJ: Wiley-Interscience,
1998. pp. 307–312.
Doherty, Sarah J., and Coauthors, 2009: Lessons Learned from IPCC AR4: Scientific
Developments Needed to Understand, Predict, and Respond to Climate Change. Bull. Amer.
Meteor. Soc., 90, 497–513.
Huang, N. E., Shen, Z., Long, S. R., Wu, M. C., Shih, S. H., Zheng, Q., Tung, C. C., and Liu, H.
H. 1998: The empirical mode decomposition method and the Hilbert spectrum for non-stationary
time series analysis. Proc. Roy. Soc. London, A454, 903–995.
Huang, Norden E., 2005: Introduction to Hilbert-Huang Transform and Some Recent
Developments. In: The Hilbert-Huang Transform in Engineering [Huang N. E. and Attoh-Okine
N. O. (eds.) CRC Press
International Arctic Science Committee/IASC (Lead Author), Sidney Draggan (Topic Editor),
2010: Statistical downscaling approach and downscaling of AOGCM climate change projections.
In: Encyclopedia of Earth. Eds. Cutler J. Cleveland (Washington, D.C.: Environmental
Information Coalition, National Council for Science and the Environment). [First published in the
Encyclopedia of Earth February 8, 2010; Last revised Date February 8, 2010; Retrieved November
3, 2010
http://www.eoearth.org/article/Statistical_downscaling_approach_and_downscaling_of_AOGC
M_climate_change_projections
Juneng, Liew, Fredolin T. Tangang, Hongwen Kang, Woo-Jin Lee, Yap Kok Seng, 2010:
Statistical Downscaling Forecasts for Winter Monsoon Precipitation in Malaysia Using
Multimodel Output Variables. J. Climate, 23, 17–27.
Kang, Hongwen, Chung-Kyu Park, Saji N. Hameed, Karumuri Ashok, 2009: Statistical
Downscaling of Precipitation in Korea Using Multimodel Output Variables as Predictors. Mon.
Wea. Rev., 137, 1928–1938.
Li, H., J. Sheffield, and E. F. Wood (2010), Bias correction of monthly precipitation and
temperature fields from Intergovernmental Panel on Climate Change AR4 models using
equidistant quantile matching, J. Geophys. Res., 115, D10101, doi:10.1029/2009JD012882.
Li, Yun, Ian Smith, 2009: A Statistical Downscaling Model for Southern Australia Winter Rainfall.
J. Climate, 22, 1142–1158.
McMahon, Thomas A., Anthony S. Kiem, Murray C. Peel, Phillip W. Jordan, Geoffrey G. S.
Pegram, 2008: A New Approach to Stochastically Generating Six-Monthly Rainfall Sequences
Based on Empirical Mode Decomposition. J. Hydrometeor, 9, 1377–1389.

15. Peel, M. C., G. E. Amirthanathan, G. G. S. Pegram, T. A. McMahon, and F. H. S. Chiew, 2005:
Issues with the application of empirical decomposition analysis. Proc. MODSIM 2005 Int.
Congress on Modelling and Simulation, Melbourne, Australia, Modelling and Simulation Society
of Australia and New Zealand, 5 pp.
Randall, D.A., R.A. Wood, S. Bony, R. Colman, T. Fichefet, J. Fyfe, V. Kattsov, A. Pitman, J.
Shukla, J. Srinivasan, R.J. Stouffer, A. Sumi and K.E. Taylor, 2007: Climate Models and Their
Evaluation. In: Climate Change 2007: The Physical Science Basis. Contribution of Working Group
I to the Fourth Assessment Report of the Intergovernmental Panel on Climate Change [Solomon,
S., D. Qin, M. Manning, Z. Chen, M. Marquis, K.B. Averyt, M.Tignor and H.L. Miller (eds.)].
Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom and New York, NY, USA.
Rilling G., P. Flandrin and P. Gonçalves, 2003: On Empirical Mode Decomposition and its
algorithms. IEEE-EURASIP Workshop on Nonlinear Signal and Image Processing NSIP-03,
Grado (I)
Salathé , Eric P. Jr, 2005: Downscaling Simulations of future Global Climate with Application to
Hydrologic Modeling International Journal of Climatology. Int. J. Climatol. 25: 419–436 (2005)
Timbal, B., P. Hope, S. Charles, 2008: Evaluating the Consistency between Statistically
Downscaled and Global Dynamical Model Climate Change Projections. J. Climate, 21, 6052–
6059.
Widmann, Martin, Christopher S. Bretherton, Eric P. Salathé, 2003: Statistical Precipitation
Downscaling over the Northwestern United States Using Numerically Simulated Precipitation as
a Predictor*. J. Climate, 16, 799–816.
Wilks, Daniel S.2006. Statistical Methods in The Atmospheric Sciences. Oxford University,
United Kingdom