10. ÈÖ
ÜÔÐÓÖ Ò Ø ÓÙÒ Ö × Ò Û Ò ×× × Ó Ø ÓÖ × × Ò ÒØÖ Ù Ò Ó ÙÔ Ø ÓÒº
Ì Ø ÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ × Ò Ü ÑÔÐ Ó Ø ×¸ × Ò Ø Ò ÓÙÒØ Ö×
Ø Ð Ñ Ø Ø ÓÒ× Ó ÓÙÖ ÑÓ Ð Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº ÅÝ ÓÛÒ × Ò Ø ÓÒ ÓÖ Ø × ×Ù Ø
ØÓ Ø Ö Û Ø ÑÝ Ú ×ÓÖ³× ÒØ Ö ×Ø Ð Ù× ØÓ ×ØÙ Ý ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ× Ò
Ø Ð Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ ØÖݺ ÅÝ Ñ Û × ØÓ Ø Ô ÙÒ Ö×Ø Ò Ò Ó
Ø Ö º Ì × ÛÓÙÐ Ò ÐÙ ÒØ Ò ÔÖ Ø Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ׸
ÔÖÓ Ð Ñ Ð ×× Ø ÓÒ Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ð Øݸ Ò Ø Ò ÕÙ × Ù× ÓÖ
ÔÖÓÚ Ò Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ØÝ Ö ×ÙÐØ׺ Ê Ð Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ× Ö Û ÑÝ ØØ ÒØ ÓÒ Ð×Ó
ØÓ ÓÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ׸ ÐØ ÓÙ ×ÓÑ Ó ÑÝ Ö ×ÙÐØ× Ó Ø Ò Ò Ø × Ö ÓÙÐ
Ú Û × ÐÝ Ø ÓÖ Ø Ðº
Ì Ø × × ×Ô Ò× Û Ö Ò Ó ×Ù Ø× Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ ØÖݺ ÁØ ×
Ú ÒØÓ Ø Ö Ô ÖØ׸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ØÓ Ö × Ö ÔÖÓ Ø Ó Ø× ÓÛÒº
ÇÒ ØÛÓ Ó × ÓÒ× Á Ú Ö ÖÓÑ ÑÝ Ò Ö Ð Ñº ÁÒ ÔØ Ö ¿ Û ÔÓ ÒØ ÓÙØ
Ò ÖÖÓÖ Ò ÔÖ Ú ÓÙ× Ü Ø Ð ÓÖ Ø Ñ× ÓÖ ÓÑÔÙØ Ò × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ×º
ÁÒ Ø ÐÐÝ ÓÛ Ú Ö¸ ÓÙÖ ÒØ ÒØ ÓÒ Û × ØÓ Ú Ò ÒØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ
ÓÖ Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñº Ú Ò Ø ÑÔÓÖØ Ò Ó Ø Ö ×ÙÐØ Ò Ø× ÑÔÐ Ø Ö Ð Ø ÓÒ
ØÓ ÝÔÓØ Ø Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ¸ Á Ó× ØÓ Ò ÐÙ Ø Ò Ø Ø × ×º
Ì × ÓÒ Ö ×× ÓÒ × Ò ÔØ Ö ¸ Û Ö Û ÓÒ× Ö Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó
Ø Ê¹ØÖ º Ì × × Ý ÒÓ Ñ Ò× Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ¸ ÙØ Ø × ÖÚ × ×
ÓÓ ÓÑÔ Ò ÓÒ ØÓ Ø × ÓÒ ÔØ Ö Ò È ÖØ ÁÁÁº
Á Ö ØÓ × Ý Ø Ø Á Ú ÜÔ Ö Ò ×ÓÑ Ó Ø ×Ø ÑÓÑ ÒØ× Ò ÑÝ Ð ×
È ¹×ØÙ ÒØ Ø ÄÙÒ ÍÒ Ú Ö× Øݺ Á ÛÓÙÐ Ð ØÓ Ø Ò ×ÓÑ Ô ÓÔÐ ¸ Û Ø ÓÙØ
Û ÓÑ ÑÝ Ø × × ÛÓÙÐ Ú Ò ÓÐÓÙÖÐ ×׺ Ö×Ø Ó ÐÐ Á Ø Ò ÑÝ Ú ×ÓÖ Ò
Ö Ò Ò Ø Âº Æ Ð××ÓÒº Á Ð Ö Ø × Ù Ò Ò Ò ÖÓÙ× ÓÑÑ ØÑ Òظ Ò
Á Ú ÐÙ ÓÙÖ ÓÐÐ ÓÖ Ø ÓÒ Ò Ø Û Ý Ø × Ò ÓÒ Ù Ø º Ë ÓÒ Ðݸ Á Ø Ò
ÓÙÖ ÔÖÓ ××ÓÖ Ò ÖÞ Ä Ò ×º ÑÓÒ ÓØ Ö Ø Ò ×¸ Á Ø Ò Ñ ÓÖ Ø Ò Ò Ð
×ÙÔÔÓÖØ Ø Ø × Ô ÖÑ ØØ Ñ ØÓ ØÖ Ú Ð ÖÓÙÒ Ø ÛÓÖÐ Ò Ñ Ø Ñ ÒÝ Ô ÓÔÐ
Û Ø Ò ÑÝ Ð º ËÓÑ Ó Ø Ñ Á Ú Ø Ö Ø ÔÐ ×ÙÖ ØÓ ÛÓÖ Û Ø ¸
Ò ×Ô Ð Ø Ò × Ó ØÓ Ø Ñº Á Ñ ÐÝ Ò Ø ØÓ ÑÝ Ó¹ ÙØ ÓÖ× Å Ö
Ö ¸ ÖÒ ÖÓ Ò¸ ÂÓ Ñ Ù ÑÙÒ ××ÓÒ¸ Å Ö Ú Ò ÃÖ Ú Ð Ø¸ Ò Ø Âº
Æ Ð××ÓÒ¸ Å Ö ÇÚ ÖÑ Ö׸ Ò ËÚ Ò Ë Ù Ö Ö ÓÖ Ø Ö ÒÚ ÐÙ Ð ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ×
ØÓ Ø × Ø × ×º ×Ô ÐÐݸ Á Ø Ò Å Ö Ö ÓÖ ÒÚ Ø Ò Ñ ØÓ ÍØÖ Ø
11. ÍÒ Ú Ö× ØÝ Ò Ø ÐÐ Ó ½ º Á Ð×Ó Ø Ò ÇØ Ö ÓÒ ÓÖ × ÒÚ Ø Ø ÓÒ ØÓ
Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ ØÖÝ ÓÒ Ö Ò Ò ÀÓÒ ÃÓÒ º ÂÓ Ñ Ù ÑÙÒ ××ÓÒ¸
Ò ÖÞ Ä Ò ×¸ ÝØ ËÞÝÑ × ¸ Ò ÒÒ ×ØÐ Ò Ö ÔÖ Ú ÓÙ× Ú Ö× ÓÒ Ó
Ø ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ò Á ÔÔÖ Ø Ø Ö Ú ÐÙ Ð ÓÑÑ ÒØ׺
Ì ÒÓØØÝ Ò ØÛÓÖ Ó Ö Ò × Ø Ø Á Ú Ò ÄÙÒ Ò Ð× Û Ö × Ñ ÒØ
ÐÓØ ØÓ Ñ º Ì Ö ×ÙÔÔÓÖØ Ò Ø Ö Ö Ø Ú Ñ Ò × Ú ×Ù×Ø Ò Ñ ¸ Ò ÔØ
Ñ ÑÓÚ Ò ØÓÛ Ö × Ø × Ó Ðº Å ÒÝ Ø Ñ × ÔÖÓ Ö ×× ×ÔÖÙÒ ÓÙØ Ó ÓÙÖ ÑÓÙ×
Ó Ö × Á Ñ Ö Ø ÙÐ ØÓ Ø Ó× Û Ó ÙÒ Ö×Ø Ò Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ó× Ö ×º
Ì Ö ÓÖ ¸ Á Ø Ò Ø ÒÐ Ø Ò ÓÒ × Û Ó Ö ÙÐ ÖÐÝ × Ö ÙÔ Ó Ó
Û Ø Ñ Ò Ö ×¸ ÒÒ ¸ ÒÒ ¸ Ò Ø¸ ÖÒ¸ ÝØ ¸  ×Ô Ö¸ ÂÓ Ñ¸ Å ¸
È Ö¸ ËÚ Ò¹ÇÐÓ ¸ Ò Ì ÓÖ º
Ò ÐÐݸ Á × Ò Ø ÓÙ Ø ØÓ ÑÝ Ñ ÐÝ Ò ÐÓÚ ¸ Û Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ×ÐÝ Ö Ò
Ð Ø ØÓ Ø Ô Ø Á ØÖ Ú Ðº ÅÝ Ú ÖÝ ×Ô Ð Ø Ò × Ó ØÓ ÑÝ Ô Ö ÒØ׺ Ì Ý ÐÛ Ý×
×Ø Ò Ý Ñ ¸ Ò × Ò ×× × Û ÐÐ × Ò ÐØ º
Å Ð À ÑÑ Ö
ÄÙÒ ¾¼¼½
Ü
12. Ä ×Ø Ó ÈÙ Ð Ø ÓÒ×
Ì Ñ Ø Ö Ð ÔÖ × ÒØ Ò Ø × Ø × × × × ÓÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ô Ô Ö׺
• º ÖÓ Ò¸ ź À ÑÑ Ö¸ º º Æ Ð××ÓÒº Ù Ö Ò Ä Ò × Ò ¾¹Ä Ò
ÈÓÐÝ ÓÒ× × À Ö º Ì Ò Ð Ê ÔÓÖØ ÒÓº ½ ¸ Ä͹ ˹ÌÊ ¾¾ º ÁÒ ´ÒÓÒ¹
Ö Ö µ ÔÖÓ º ½¿Ø Ò Ò ÓÒ Ö Ò ÓÒ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ ØÖݸ
¾¼¼½¸ Ô × ¹ ¸ ¾¼¼½º
• º ÖÓ Ò¸ ź À ÑÑ Ö¸ º º Æ Ð××ÓÒº Ì Ñ Ô Ò ÒØ ÌÖ Ú Ð Ò
Ë Ð ×Ñ Ò ÈÖÓ Ð Ñ Û Ø Ì Ñ ÓÒ ×º Ì Ò Ð Ê ÔÓÖØ ÒÓº ½ ¸ Ä͹ ˹
ÌÊ ¾¾¿¸ ÄÙÒ ÍÒ Ú Ö× Øݸ ¾¼¼½º ËÙ Ñ ØØ ØÓ ÇÔ Ö Ø ÓÒ× Ê × Ö º
• ź Ö ¸ º Ù ÑÙÒ ××ÓÒ¸ ź À ÑÑ Ö¸ ź ÇÚ ÖÑ Ö׺ ÇÒ
R¹ØÖ × Û Ø ÐÓÛ ×Ø Ò ÒÙÑ Öº ÁÒ ÔÖÓ º Ø ÒÒÙ Ð ËÝÑÔÓ× ÙÑ ÓÒ
Ð ÓÖ Ø Ñ׸ Ë ¾¼¼¼¸ ÚÓÐÙÑ ½ Ó Ä ØÙÖ ÆÓØ × Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ¸
Ô × ½ ½ º ËÔÖ Ò Ö Î ÖÐ ¸ ¾¼¼¼º
• º Ù ÑÙÒ ××ÓÒ¸ ź À ÑÑ Ö¸ ź Ú Ò ÃÖ Ú Ð º À Ö ÇÖ Ö ¹
Ð ÙÒ Ý ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ׺ ÔØ ÓÖ ÔÙ Ð Ø ÓÒ Ý ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ ¹
ØÖÝ Ì ÓÖÝ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ׸ ¾¼¼½º Ð×Ó Ò ÔÖÓ º Ø ÒÒÙ Ð ËÝÑÔÓ× ÙÑ
ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ׸ Ë ¾¼¼¼¸ ÚÓÐÙÑ ½ Ó Ä ØÙÖ ÆÓØ × Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë ¹
Ò ¸ Ô × ¾¿¾ ¾ ¿º ËÔÖ Ò Ö Î ÖÐ ¸ ¾¼¼¼º
• ź À ÑÑ Ö¸ º º Æ Ð××ÓÒº ÓÒ ÖÒ Ò Ø Ì Ñ ÓÙÒ × Ó Ü ×Ø Ò
Ë ÓÖØ ×Ø Ï Ø Ñ Ò ÊÓÙØ Ð ÓÖ Ø Ñ׺ ÁÒ ÔÖÓ º ½½Ø ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ËÝѹ
ÔÓ× ÙÑ ÓÒ ÙÒ Ñ ÒØ Ð× Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ì ÓÖݸ ̳ ¸ ÚÓÐÙÑ ½¾
Ó Ä ØÙÖ ÆÓØ × Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ¸ Ô × ¾½¼ ¾¾½º ËÔÖ Ò Ö Î ÖÐ ¸
½ º
• ź À ÑÑ Ö¸ º º Æ Ð××ÓÒº ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ê ×ÙÐØ× ÓÖ Ã Ò Ø Î Ö ÒØ×
Ó ÌËȺ ÔØ ÓÖ ÔÙ Ð Ø ÓÒ Ý × Ö Ø Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Óѹ
ØÖݸ ¾¼¼½º Ð×Ó Ò ÔÖÓ º ¾ Ø ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÐÐÓÕÙ ÙÑ ÓÒ ÙØÓÑ Ø ¸
Ä Ò Ù ×¸ Ò ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ¸ Á Äȳ ¸ ÚÓÐÙÑ ½ Ó Ä ØÙÖ ÆÓØ ×
Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ¸ Ô × ¿ ¾ ¼½º ËÔÖ Ò Ö Î ÖÐ ¸ ½ º
• ź À ÑÑ Ö¸ º º Æ Ð××ÓÒ¸ ˺ Ë Ù Ö Öº È Ö ÐÐ Ð Ë Ö Ò ÓÒ m
Ê Ý׺ ÈÙ Ð × Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ ØÖÝ Ì ÓÖÝ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ×
½ ¸ Ô × ½¾ ½¿ ¸ ¾¼¼½º Ð×Ó Ò ÔÖÓ º ½ Ø ÒÒÙ Ð ËÝÑÔÓ× ÙÑ ÓÒ Ì ¹
ÓÖ Ø Ð ×Ô Ø× Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ¸ ËÌ Ë³ ¸ ÚÓÐÙÑ ½ ¿ Ó Ä ØÙÖ
ÆÓØ × Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ¸ Ô × ½¿¾ ½ ¾º ËÔÖ Ò Ö Î ÖÐ ¸ ½ º
• ź À ÑÑ Ö¸ º º Æ Ð××ÓÒ¸ ˺ Ë Ù Ö Öº ÁÑÔÖÓÚ ÜÔÐÓÖ Ø ÓÒ Ó
Ê Ø Ð Ò Ö ÈÓÐÝ ÓÒ׺ Ì Ò Ð Ê ÔÓÖØ ÒÓº ½ ¸ Ä͹ ˹ÌÊ ¾¾¾¸ ÄÙÒ
ÍÒ Ú Ö× Øݸ ¾¼¼½º ËÙ Ñ ØØ ØÓ ÆÓÖ ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÑÔÙØ Ò º
Ü
14. ÔØ Ö ½
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ
ÈÓÒ Ö Ø Ô Ø Ó Ø Ý Ø¸ Ò Ð Ø ÐÐ Ø Ý Û Ý× ×Ø Ð × º
ÈÖÓÚ Ö × ¾ ¸ Ì ÀÓÐÝ Ð
´Ã Ò Â Ñ × Î Ö× ÓÒµ
Ü Ø ÓÔØ Ñ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ× Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ ØÖÝ Ö ÐÓ× Ò ÖÓÙÒ Ñ ÒÐÝ
ÓÖ ØÛÓ Ö ×ÓÒ׺ Ö×Ø Ó Ðи × Ñ Ò ÐÝ ÓÖÖ Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ× Ó Ü Ø Ð Ó¹
Ö Ø Ñ× Ñ Ý ×ÔÐ Ý Ò×Ø Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ׺ Ë ÓÒ Ðݸ Ñ ÒÝ ÔÖÓ Ð Ñ× Ö ÓÑÔÙ¹
Ø Ø ÓÒ ÐÐÝ ÙÐØ Ò Ø Ó×Ø Ó ÓÔØ Ñ Ð ØÝ Ò ÜØÖ Ñ ÐÝ º
Ì Ò×Ø Ð ØÝ × Ù× Ý Ø × Ö Ô Ò Ý ØÛ Ò Ø ×Ø Ò Ö ÓÑ ØÖ
ÑÓ Ð Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ¸ Û Ö Û ÐÐÓÛ ÓÙÖ× ÐÚ × ÑÑ Ø ×× ØÓ ÒÝ ÔÓ ÒØ
Ò Rn
¸ Ò Ø ØÙ Ð Ö Û Ö Ó ÓÑÔÙØ Ö¸ Ø Ø ×Ù Ö× Ø Ð Ñ Ø Ø ÓÒ× Ó
× Ö Ø ÛÓÖÐ º Ì × × Ö Ô Ò Ý Ý Ð × ÒÓØ ÓÒÐÝ ÙÒ×Ø Ð Ð ÓÖ Ø Ñ׸ Ø Ñ Ý
Ú Ò ÔÖÓ Ø Ü Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ× Ú Ò Ø Ø Ñ ÓÒ×ØÖ ÒØ× Ö ÒØ Ý Ø ÓÑ Ø¹
Ö ÑÓ Ð Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº ÌÖÝ ÓÖ Ü ÑÔÐ ØÓ ×Ø Ò Ù × ØÛ Ò π/n Ò
π/(n+1) Ò ÓÒ×Ø ÒØ Ø Ñ Ù× Ò ÓÑÔÙØ Öº ÓÖ Ð Ö Ú ÐÙ × Ó n Ø Ý Ö ¹
Ø Ö Ò ×Ø Ò Ù × Ð ÓÖ Ø ÖÙÒÒ Ò Ø Ñ × Ô Ò ÒØ ÓÒ nº Ì Ò × Ð ØÝ Ó
Ø × Ü ÑÔÐ ×Ù ×Ø× Ø Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ× Ó Ø Ò Ö Ò ×× ÖÝ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð
ÓÑ ØÖݺ
ÐÓ Ø Ò ÔÓ ÒØ Ö Ø Ñ Ø × ÓÒØÖ Ú Ö ×ÓÒ Ð Ö ÙÑ ÒØ ØÓ ×ØÙ Ý ÔÔÖÓܹ
Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ׺ ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø ÓÖ ÑÓ×Ø Ö ×ÓÒ ØÓ ÒØÖÓ Ù ×Ù Ð ÓÖ Ø Ñ×
ÔÔ Ö× Û Ò Û ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÙÐØ ÔÖÓ Ð Ñ׺ ÁÒ Ñ ÒÝ × × ÓÔ¹
Ø Ñ Ð ØÝ × ÒÓØ ÛÓÖØ Ð Ò Ò ØÓ Û Ò Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò×Û Ö × ÓÓ ÒÓÙ
Ò ×Ý ØÓ Ò º Ò ÒØ Ö ×Ø Ò ××Ù × ØÓ Ø ÖÑ Ò Û Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Õ٠й
ØÝ × Ú Ð º ÆÓØ Ø Ø Ø Ø ÓÖÝ Ó × ÒÓØ ÐÐÓÛ Ò ×ÓÐÙØ Ñ ×ÙÖ ÓÒ
ÒØÖ Ø Ð Øݸ × Ò Û Ó Ø Ò Ò ØÓ Ö ÐÝ ÓÒ ÙÒÔÖÓÚ Ò ÝÔÓØ × × Ð È=ÆÈ
Ò Ù Ò Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÔÖÓ Ð Ñº Ì ×Ù Ø Ò Ò Ø× Ú Ò ÑÓÖ
ÒÚÓÐÚ Û Ò Û ÓÒ× Ö Ø ××Ù Ó ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒº ÀÓÛ Ú Ö¸ × Û × ÐÐ ×
Ò Ø Ò ÜØ × Ø ÓÒ¸ Û Ó Ú ×ÓÑ ØÓÓÐ× ØÓ Ò ÐÝ× Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ØÝ Ó
ÔÖÓ Ð Ñº
15. ¾ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ
ÇÔØ Ñ Ð ØÝ Ò Ð×Ó ØÖÙÐÝ ÙÒ Ú Ð º Á Ø ÓÑÔÐ Ø Ô ØÙÖ × ÒÓØ
ÒÓÛÒ Ò Ú Ò ¸ º º Ø ÙØÙÖ × ÙÒ ÒÓÛÒ¸ Ø Ò Û Ñ Ø ÒÓØ ÒÓÛ Û Ø
× ÓÒ× ØÓ Ñ º Ì ×Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ × ÒÓØ Ó Ø Ò Ð Û Ø ÖØ ÒØÝ Ò Ô¹
ÔÖÓÜ Ñ Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ× ÓÑ Ò ×× Øݺ
ÁÒ Ø × Ø × × Û Ó Ù× ÓÒ Ò Ò ÙÔÔ Ö Ò ÐÓÛ Ö ÓÙÒ × ÓÒ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ ¹
Ð ØÝ Ó ×ÓÑ ÒØ Ö ×Ø Ò ÓÑ ØÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ׺ ÇÙÖ ÚÓØ ÓÒ × Ñ ÒÐÝ Ö Ð Ø
ØÓ Ø × ÓÒ Ò Ø Ö Ü ÑÔÐ × Ö ÓÚ ¸ ÐØ ÓÙ Ø Ö×Ø Ü ÑÔÐ ×
ÐÛ Ý× Ó Ò ØÓ ÙÒØ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ Ø Ö Ö ÐÝ Ò ÓÒ Ø ×Ø Ò Ö Ó¹
Ñ ØÖ ÑÓ Ð Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº
½º½ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ×
Ñ ÓÖ Ô ÖØ Ó Ø Ø × × Ð× Û Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ× Ò Ö Ò ×× Ó
ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒº ÌÓ ÙÒ Ö×Ø Ò Ø × ØÓÔ ×¸ Ø Ö Ö × ×ÙÔÔÓ× ØÓ Ú ×Ù ¹
ÒØ ÒÓÛÐ Ó × Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ø ÓÖݺ × ÓÖØ ÜÔÐ Ò Ø ÓÒ
Ó Ø ÓÒ ÔØ Ó ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ × Ú Ò ÐÓÛº Ò Ø ÓÒ× Ò Ø ÓÖ Ñ× ÓÐÐÓÛ
Ø ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ò Ù× ÐÐÓ Ø Ðº Ò ÒÝ ÓÒ ÔØ ÙÒ Ò × ÓÒ× Ö
Ô ÖØ Ó Ð ×× Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ø ÓÖÝ ¾ º
Ò Ø ÓÒ ½º½ Ò ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Π × Ö Ø Ö × Ý Ø ÕÙ ÖÙÔÐ
IΠ¸ SΠ¸ MΠ¸ Ò GΠ Û Ö
• IΠ × Ø × Ø Ó ÒÔÙØ Ò×Ø Ò × Ó Π¸
• SΠ × ÙÒ Ø ÓÒ ××Ó Ø Ò ÒÝ ÒÔÙØ Ò×Ø Ò x ∈ IΠ Û Ø Ø × Ø Ó
× Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ× Ó x¸
• MΠ × Ø Ñ ×ÙÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ó Πº ÓÖ x ∈ IΠ Ò y ∈ SΠ(x)¸ MΠ(x, y) ∈
Q × Ø Ú ÐÙ Ó Ø × Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ y¸
• GΠ ∈ {ÅÁÆ, Å } ×Ô × Û Ø Ö Π × Ñ Ò Ñ × Ø ÓÒ ÓÖ Ñ Ü Ñ × Ø ÓÒ
ÔÖÓ Ð Ñº
Ì Ñ ×ÙÖ ÙÒ Ø ÓÒ × Ð×Ó ÒÓØ CΠ Π × Ñ Ò Ñ × Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ´Ø
Ó×ص Ò PΠ Π × Ñ Ü Ñ × Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ´Ø ÔÖÓ Øµº Ì × Þ Ó Ò ÒÔÙØ
Ò×Ø Ò x ÓÖ ×ÓÐÙØ ÓÒ y Ö ÒÓØ |x| Ò |y| Ö ×Ô Ø Ú Ðݺ
Ï Ð Ø ÇÈÌ(x) ÒÓØ Ø ÓÔØ Ñ Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÒÔÙØ Ò×Ø Ò x¸ º º¸
MΠ(x, ÇÈÌ(x)) = GΠ{v|v = MΠ(x, z) ∧ z ∈ SΠ(x)}.
ËÓÑ Ø Ñ × Û ×Ð ØÐÝ Ù× Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Ò Ù× ÇÈÌ(x) ØÓ ÒÓØ Ø ÓÔØ Ñ Ð
×ÓÐÙØ ÓÒ³× Ñ ×ÙÖ º
16. ½º½ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ× ¿
Ò Ø ÓÒ ½º¾ Ï Ø Ú ÖÝ ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Π Û ××Ó Ø Ø Ö ÓÖÖ ¹
×ÔÓÒ Ò ÔÖÓ Ð Ñ×
ÓÒ×ØÖÙ Ø Ú ÈÖÓ Ð Ñ´ΠCµ Ú Ò Ò Ò×Ø Ò Ó Π¸ Ö Ú Ò ÓÔØ Ñ Ð ×Ó¹
ÐÙØ ÓÒ Ò Ø× Ñ ×ÙÖ º
Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÈÖÓ Ð Ñ´ΠEµ Ú Ò Ò Ò×Ø Ò Ó Π¸ ÓÑÔÙØ Ø Ñ ×ÙÖ Ó
Ò ÓÔØ Ñ Ð ×ÓÐÙØ ÓÒº
× ÓÒ ÈÖÓ Ð Ñ´ΠDµ Ä Ø x ∈ IΠ Ò ÔÓ× Ø Ú ÒØ Ö K Ú Òº Á G =
Å Ø Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ × ØÓ Û Ø Ö
M(x, ÇÈÌ(x)) ≥ K. ´½º½µ
Á ´½º½µ × ØÖÙ Û × Ý Ø Ø x × ÔÓ× Ø Ú Ò×Ø Ò ØÓ Ø × ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº
ÇØ ÖÛ × ¸ Û × Ý Ø Ø x × Ò Ø Ú Ò×Ø Ò º Á G = ÅÁÆ Ø Ò Ø
ÔÖÓ Ð Ñ × ØÓ Û Ø Ö
M(x, ÇÈÌ(x)) ≤ K, ´½º¾µ
Ò ÔÓ× Ø Ú Ò Ò Ø Ú Ò×Ø Ò × Ö Ò Ò ÓÖ Ò Û Ø ´½º¾µº
ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ¸ Û Ò Ø Ð ×× Ó ÒÓÒ Ø ÖÑ Ò ×Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ
ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ× ´ÆÈǵº Ì Ò Ø ÓÒ × ÐÓ× ÐÝ Ö Ð Ø ØÓ Ø Û Ðй
ÒÓÛÒ Ð ×× Ó ÒÓÒ Ø ÖÑ Ò ×Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ × ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ× ´Æȵ Ø Ø
Û ØÓÙ ÙÔÓÒ Ò Ø ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒº
Ò Ø ÓÒ ½º¿ Ò ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Π ÐÓÒ × ØÓ Ø Ð ×× ÆÈÇ
• IΠ × Ö Ó Ò × Ð Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ ¸
• Ø Ö Ü ×Ø× ÔÓÐÝÒÓÑ Ð q ×Ù Ø Ø¸ Ú Ò x ∈ IΠ Ò ÓÖ ÒÝ y ∈ SΠ(x)¸
|y| ≤ q(|x|)º ÁÒ Ø ÓÒ¸ ÓÖ ÒÝ y ×Ù Ø Ø |y| ≤ q(|x|) Ø × Ð Ò
ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Û Ø Ö y ∈ SΠ(x)¸
• MΠ × ÓÑÔÙØ Ð Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ º
Ò Ø ÓÒ ½º ÓÖ ÒÝ Ò×Ø Ò x Ó Ò ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Π Ò ÓÖ ÒÝ
× Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ y Ó x¸ Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ö Ø Ó Ó y Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ x × Ò ×
ÈÊ(x, y) = max
M(x, y)
M(x, ÇÈÌ(x))
,
M(x, ÇÈÌ(x))
M(x, y)
.
Ï × Ý Ø Ø Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ä ÓÖ Π × r¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ¸ Ú Ò
ÒÝ ÒÔÙØ Ò×Ø Ò x Ó Π¸ Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ö Ø Ó Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ
Ä (x) × ÓÙÒ Ý rº Ì Ò ÑÙÑ ÓÚ Ö ÐÐ r ×Ù Ø Ø Ä × r¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø
17. ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ
× ÐÐ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö Ø Ó Ó Ä º Ò ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Π × ÐÐ
r¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ð Ø Ö Ü ×Ø× ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ r¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Πº
Á ÒÓ ×Ù Ð ÓÖ Ø Ñ Ü ×Ø× Û × Ý Ø Ø Π × Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð Û Ø Ò ØÓÖ Ó r¸
ÓÖ × ÑÔÐÝ r¹ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð º
Ò Ø ÓÒ ½º È × Ø Ð ×× Ó ÔÖÓ Ð Ñ× Ò ÆÈÇ Ø Ø¸ ÓÖ ×ÓÑ ÓÒ×Ø ÒØ
r ≥ 1¸ Ö r¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ð º
Ò Ø ÓÒ ½º Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ä × × ØÓ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ ÔÔÖÓÜ Ñ ¹
Ø ÓÒ × Ñ ´ÈÌ Ëµ ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Π Ò ÆÈÇ ¸ ÓÖ ÒÝ Ò×Ø Ò x Ó Π Ò ÒÝ
Ö Ø ÓÒ Ð Ú ÐÙ r > 1¸ Ä ÓÒ ÒÔÙØ (x, r) ÖÙÒ× Ò Ø Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò |x|¸ Ò
Ä (x, r) × Ò r¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ xº
Ì Ð ×× Ó ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñ× Ò ÆÈÇ Ø Ø Ñ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ ÔÔÖÓÜ Ñ ¹
Ø ÓÒ × Ñ × ÐÐ ÈÌ Ëº ÁØ × ÒÓÛÒ Ø Ø¸ ÙÒÐ ×× È Æȸ
ÈÌ Ë ⊂ È ⊂ ÆÈÇ.
ÌÓ ÔÖÓÚ Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ × Ö ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ¸ º º¸ Ø Ø Ø Ó × ÒÓØ ÐÓÒ
ØÓ ÈÌ Ë ÙÒÐ ×× È Æȸ Û Ù× ×Ó ÐÐ Ô¹ÔÖÓ Ù Ò Ö Ù Ø ÓÒ׺ Ì Ø Ò ÕÙ
× Ò×Ô Ö Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÖ Ñº
Ì ÓÖ Ñ ½º½ Ä Ø Π Ò Æȹ ÓÑÔÐ Ø × ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ð Ø Π Ò ÆÈÇ
Ñ Ò Ñ × Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº Á Ø Ö Ü ×Ø ØÛÓ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ ÓÑÔÙØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ×
f : IΠ → IΠ Ò c : IΠ → Q Ò δ > 0¸ ×Ù Ø Ø¸ ÓÖ ÒÝ Ò×Ø Ò x Ó Π ¸
ÇÈÌΠ(f(x)) ≤ c(x) x × ÔÓ× Ø Ú Ò×Ø Ò ¸
ÇÈÌΠ(f(x)) ≥ c(x)(1 + δ) ÓØ ÖÛ × ¸
Ø Ò ÒÓ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ r¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Π Û Ø r < 1+δ Ò Ü ×ظ
ÙÒÐ ×× È ÆȺ
Ç Ú ÓÙ×ÐÝ Û Ò Ú Ø × Ñ Ö ×ÙÐØ Ù× Ò Ò r¹ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ÓÔØ Ñ ¹
× Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò×Ø Ó × ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ´Ø Ø ×¸ r¹ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ÙÒ Ö
Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ø È=Æȵº ÁÒ Ø × × Û ÐÖ Ý Ú Ô δ Ø Ø Û ØÖÝ ØÓ
ÔÖ × ÖÚ ÙÖ Ò Ø Ö Ù Ø ÓÒº ËÙ Ö Ù Ø ÓÒ× Ö ÐÐ Ô¹ÔÖ × ÖÚ Ò Ö Ù ¹
Ø ÓÒ׺
½º½º½ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò Ø ÌÖ Ú ÐÐ Ò Ë Ð ×Ñ Ò ÈÖÓ Ð Ñ
Ì ØÖ Ú ÐÐ Ò × Ð ×Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ¸ ÌËÈ ÓÖ × ÓÖظ × ÔÖÓ ÐÝ Ø ×Ø ÒÓÛÒ
ÒØÖ Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñº Ì × ÑÔÐ ØÝ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ö Û Ø Ø
Ñ Ò Ø ×Ñ Ó Ø× ÒØÖ Ø Ð Øݸ Ñ ÌËÈ Ò ÚÓÐ ÒØ Ü ÑÔÐ Ø Ø ÐÐÙ×ØÖ Ø ×
×ÓÑ Ó Ø Ú Ò Ò Ø ÓÒ׸ Ö Ö Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ׺
18. ½º½ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ×
Ì ÔÖÓ Ð Ñ × × ÓÖ Ø × ÓÖØ ×Ø ÐÓ× ØÓÙÖ Ø Ø Ú × Ø× Ø Ú ÖØ × Ò
Ú Ò Û Ø ÓÑÔÐ Ø Ö Ô Ü ØÐÝ ÓÒ º Ì × ÔØ Ú ÐÝ × ÑÔÐ ÔÖÓ Ð Ñ
Ð × Ø Ø ÖØ Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ Ò Ø × ×Ô ÛÒ Û ÐØ Ó
Ö × Ö Ò ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ø ÓÖÝ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ× Ö × Ö × Ä ÛÐ Ö Ø Ðº ¿ º
ÌËÈ ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ × Ò × ÓÛÒ ØÓ Æȹ Ö ¸ Ú Ò ÓÖ Ö ×ØÖ Ø Ò¹
×Ø Ò ×º ËÔ ÐÐݸ Ø Ö Ô × Ñ ØÖ ÓÖ Ú Ò Ñ Ð Ò Ø Ù Ð Ò
ÔÐ Ò ¸ Ø ÔÖÓ Ð Ñ × Æȹ Ö ¾¸ ½ º
Ú Ò ÑÓÒ Æȹ Ö ÔÖÓ Ð Ñ׸ ÌËÈ × ÓÒ× Ö ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÐÐÝ
ÙÐØ ÔÖÓ Ð Ñº ÁØ ÒÒÓØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Û Ø Ò ÒÝ ÓÒ×Ø ÒØ ØÓÖ Ý
ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ¸ ÙÒÐ ×× È ÆÈ ½¼¼ º Ì ÔÖÓÓ × × Ò Ø Ò ÐÝ × ÑÔÐ
Ò Ñ × Ô Ö Ø Ü ÑÔÐ Ó ÓÛ Ø Ô¹ÔÖÓ Ù Ò Ø Ò ÕÙ Ò Ù×
ØÓ × ÓÛ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ØÝ Ö ×ÙÐØ׺
Ì Ö Ù Ø ÓÒ × ÖÓÑ Ø À Ñ ÐØÓÒ Ý Ð ÔÖÓ Ð Ñ¸ Ò Û Û × ØÓ
Û Ø Ö Ö Ô ÓÒØ Ò× À Ñ ÐØÓÒ Ý Ð ¸ º º¸ Ö Ù Ø Ø Ø Ô ×× × Ø ÖÓÙ
Ú ÖÝ Ú ÖØ Ü Ò Ø Ö Ô Ü ØÐÝ ÓÒ º Ì × × ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ × ÒÓÛÒ ØÓ
Æȹ ÓÑÔÐ Ø ¿ º Ì Ö Ù Ø ÓÒ Ó × × ÓÐÐÓÛ׺ Ä Ø G = (V, E) ÒÓØ Ò
Ò×Ø Ò Ó Ø À Ñ ÐØÓÒ Ý Ð ÔÖÓ Ð Ñ¸ Û Ø |V | = nº Ì × Ø Ó ×ÓÐÙØ ÓÒ× ØÓ
Ø × Ò×Ø Ò × Ó ÓÙÖ× Ø × Ø Ó ÐÐ À Ñ ÐØÓÒ Ý Ð × Ò Gº Ï ÓÒ×ØÖÙ Ø Ò
Ò×Ø Ò Ó Ø ØÖ Ú ÐÐ Ò × Ð ×Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÖÓÑ G¸ Ù× Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò × Ö Ø
ÙÒ Ø ÓÒ
d(vi, vj) =
1 (vi, vj) ∈ E¸
1 + nr ÓØ ÖÛ × º
Ï Ð Ø f Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ø¸ Ú Ò Ò Ò×Ø Ò G Ó Ø À Ñ ÐØÓÒ Ý Ð ÔÖÓ Ð Ñ¸
ÓÒ×ØÖÙ Ø× ÓÑÔÐ Ø Û Ø Ö Ô G = (V, E ) Ý ÔÔÐÝ Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ d
ØÓ Ú ÖÝ Ô Ö Ó Ú ÖØ × Ò Gº Ï Ø c(G) = n Û Ú Ø Ø
ÇÈÌ(f(G)) = c(G) G × ÔÓ× Ø Ú Ò×Ø Ò ¸
ÇÈÌ(f(G)) ≥ c(G)(1 + r) ÓØ ÖÛ × ¸
Ò Û Ò ÔÔÐÝ Ì ÓÖ Ñ ½º½ ØÓ × ÓÛ Ø Ø Ø ØÖ Ú ÐÐ Ò × Ð ×Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ×
(r + 1)¹ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð º Ë Ò r Û × Ó× Ò Ö ØÖ Ö ÐÝ Ø ÓÐÐÓÛ× Ø Ø Ò Ò Ö Ð¸
Ø ØÖ Ú ÐÐ Ò × Ð ×Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ × ÒÓØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ð Û Ø Ò ÒÝ ÓÒ×Ø ÒØ ØÓÖº
ÓÖ Ñ ØÖ Ö Ô × Ø × ØÙ Ø ÓÒ × ØØ Öº Ö ×ØÓ × ¿¾ ÔÖ × ÒØ× ÔÓÐݹ
ÒÓÑ Ð Ø Ñ
3
2 ¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ¸ ÙØ ØØ Ö Ø Ò ÓÒ×Ø ÒØ ØÓÖ Ô¹
ÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ × ÒÓØ ÔÓ×× Ð Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ ÙÒÐ ×× È ÆÈ º
ÖÓÖ Ò Ò Ô Ò ÒØÐÝ Å Ø ÐÐ ¸ Ò Ø Ö × Ñ Ò Ð Ô Ô Ö׸ × ÓÛ
Ø Ø Ø Ö Ü ×Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ × Ñ × ÓÖ ÌËÈ Û Ò Ø Ö Ô
× Ñ Ò Ø Ù Ð Ò ÔÐ Ò º Ê ÒØÐݸ ÖÙÒÒ Ò Ø Ñ × Ó ÈÌ Ë³× ÓÖ d¹
Ñ Ò× ÓÒ Ð Ù Ð Ò ÌËÈ Ú Ò × Ò ÒØÐÝ ÑÔÖÓÚ ¸ º
19. ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ
Ö Ý Ø Ðº ¾ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ù Ð Ò ØÖ Ú ÐÐ Ò × Ð ×Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ × Æȹ
Ö Ý Ö Ù Ø ÓÒ ÖÓÑ Ø Æȹ ÓÑÔÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ ¿ ´ Ü Ø ÓÚ Ö Ý ¿¹× Ø×µº
Ï Ñ ÜØ Ò× Ú Ù× Ó Ø Ö ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ Ò Ø × Ø × ×º Ì ÔÖÓÔ ÖØÝ Û
ÜÔÐÓ Ø × × Ö Ö Ýº ÓÖ ÑÓÖ Ð ÓÖ Ø × Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø × Ò×Ø Ò Ø
Ö Ö × Ú × ØÓ ÓÒ×ÙÐØ ÔØ Ö º
Ü Ø ÓÚ Ö Ý ¿¹× Ø× × Ò × ÓÐÐÓÛ×
Ú Ò Ñ ÐÝ F = {F1, F2, . . . , Fr} Ó 3¹ Ð Ñ ÒØ ×Ù × Ø× Ó × Ø U
Ó 3k Ð Ñ ÒØ× ´Ö ÔÖ × ÒØ Ý ÒØ Ö× 1, . . . , 3kµ¸ Ó × Ø Ö Ü ×Ø
×Ù Ñ ÐÝ F ⊆ F Ó Ô ÖÛ × × Ó ÒØ × Ø× ×Ù Ø Ø F ∈F F = U
Ö Ý Ø Ðº ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ó×Ø Ó Ò ÓÔØ Ñ Ð ØÓÙÖ × Ð ×× ÓÖ ÕÙ Ð ØÓ ×ÓÑ
×Ô Ú ÐÙ L∗
Ò Ü Ø ÓÚ Ö Ü ×Ø× ÓÖ Ø ¿ ¹ Ò×Ø Ò º Á Ø Ö × ÒÓ
Ü Ø ÓÚ Ö¸ Ø Ò Ø × Ø Ð ×Ø Ø Ó×Ø L∗
+1º ÇÒ Ò¸ ÌËÈ Ö Ú Ð× Ò
Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ØÝ Ô¸ ÐØ ÓÙ Ú ÖÝ Ø Òݸ Ò Ø × ÔÖÓÔ ÖØÝ Û ÐÐ ÔÖÓ Ø ÐÝ
Ù× Ò ÔØ Ö º
½º¾ ÇÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ×
Ú ÖÝ Ý Ô ÓÔÐ Ö ÓÖ ØÓ Ñ × ÓÒ× × ÓÒ Ñ Ö ÐÝ Ô ÖØ Ð ÓÖ × ÑÔÐÝ
ÒÓ ÒÓÛÐ ÓÙØ Ø ÙØÙÖ º ÌÓ Ò Ð Ø × × ØÙ Ø ÓÒ׸ Û Ø Ò ØÓ ÒÚ ÒØ
×ØÖ Ø × Ø Ø Ñ ×Ø Ñ Ø ÓÒ× Ó Ø ÙØÙÖ × ÓÒ Ô ØØ ÖÒ× ÓÙÒ Ò Ø
Ô ×غ Ï ÐÐ ×Ù ×Ø Ñ Ø ÓÒ× ÓÒÐ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ× Ò ×ØÖ Ø × Ø Ù× Ö Ø
Ö ÐÐ ÓÒÐ Ò ×ØÖ Ø × ÓÖ ÓÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ׺ ÐØ ÓÙ Ñ ÒÝ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð
ÔÖÓ Ð Ñ× Ö Ò ØÙÖ ÐÐÝ ÓÒÐ Ò ¸ Ø ÓÒ ÔØ Ó ÓÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ× × ÒÓØ Ö Ú
Ø ÔÓ× Ø ÓÒ Ø × ÖÚ × Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÓÖݸ ÓÚ Ö× ÓÛ × Ø × Ý Ð ×× Ð
Ö × Ð ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ò Ö Ô Ø ÓÖݺ × Ø Ò Û Ó Ò ÓÖ¹
Ñ Ø ÓÒ Ø ÒÓÐÓ Ý ÒØ Ö× Ú ÖÝ Ý Ð Ó ÑÓ ÖÒ Ú Ð × Ø ÓÒ¸ Û Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ
Û Ý× Ò Ø ÁÒØ ÖÒ Ø × Ö × Ò ×Ø Ö׸ Ø Ø ÓÖÝ Ó ÓÒÐ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ×
ÔÖ Ø ØÓ Ú Ö ÐÐ ÒØ ÙØÙÖ ¿ º
ÇÖ Ò ÐÐݸ Ø ÔÔÖÓ ØÓ ÓÒÐ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Û × ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ÔÖÓ Ð ×Ø ¸
Û Ø Ú Ö × Ò ÐÝ× × ÓÒ ÝÔÓØ × × Ú ÒØ ×ØÖ ÙØ ÓÒº ÙØ Ø × Ñ¹
ÔÐ ØÝ Ó ÛÓÖ×Ø × Ò ÐÝ× ×¸ Ø ÓÑ Ò Ø Ò Ñ Ø Ó Ò ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ø ÓÖݸ Û ×
ÔÔ Ð Ò ØÓ Ø ÓÑÔÙØ Ö × Ò ÓÑÑÙÒ Øݸ Ò Ò Ø Ð Ø Ò Ò Ø Ò Ø ×
Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Ø ÓÖÝ Ó ÓÑÔ Ø Ø Ú Ò ÐÝ× × Û × ÓÒ Ú º ÁÒ Ø × Ø ÓÖݸ
Ø ÕÙ Ð ØÝ Ó Ò ÓÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ × ÓÑÔ Ö ØÓ Ø ÓÔØ Ñ Ð Ó Ò Ð ÓÖ Ø Ñº
Ì Ñ Ò Ò Ó Ó Ò Ö × Ø Ø Ó ÓÑÒ × Ò ¸ º º¸ ÓÑÔÐ Ø ÒÓÛÐ Ó
ÙØÙÖ Ú ÒØ׺ ÓÖÓ Ò Ø Ðº ¾¿ × ÐÝ Ö ÓÑÑ Ò Ð Ø ÜØ ÓÓ ÓÒ Ø
×٠غ
20. ½º¿ ÓÑ ØÖ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ×
½º¾º½ ÓÑÔ Ø Ø Ú Ò ÐÝ× × Ò Ñ Ì ÓÖÝ
Ò ÓÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ä Π ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Π × ÐÐ c¹ ÓÑÔ Ø Ø Ú Ø Ö ×
ÓÒ×Ø ÒØ α ×Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ Ò Ø ÒÔÙØ Ò×Ø Ò × I¸
Ä Π(I) ≤ c · ÇÈÌΠ(I) + α.
Á α ≤ 0 Û × Ý Ø Ø Ä Π × ×ØÖ ØÐÝ c¹ ÓÑÔ Ø Ø Ú º ÁÒ Ø × × Ä Π ×
ÒÓØ ÓÒÐÝ c¹ ÓÑÔ Ø Ø Ú ¸ Ø × Ð×Ó c¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø º ÁÒ Ø × Ø × × Û Ö Ñ Ö ÐÝ
ÒØ Ö ×Ø Ò ÓÒÐ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ׺ Ì Ö ÓÖ ¸ Û Ò c¹ ÓÑÔ Ø Ø Ú
ÓÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ× Ö Ò × Ù×× ¸ Û ÐÛ Ý× Ö Ö ØÓ ×ØÖ ØÐÝ ÓÑÔ Ø Ø Ú
Ð ÓÖ Ø Ñ׺ Ì ÓÑÔ Ø Ø Ú Ö Ø Ó R( Ä Π) × Ø Ò ÑÙÑ ÓÚ Ö ÐÐ Ú ÐÙ × Ó c
×Ù Ø Ø Ä Π × c¹ ÓÑÔ Ø Ø Ú Ò Ø ÓÑÔ Ø Ø Ú Ö Ø Ó Ó Ò ÓÒÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ
Π × Ò ×
RΠ = min
Ä Π
R( Ä Π).
ÌÓ Ò ÐÝ× ÓÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ× Û Ö ×ÓÖØ ØÓ Ñ Ø ÓÖݺ Ì ÓÑÔ Ø Ø Ú Ö Ø Ó
× Ó Ø Ò Ø ÖÓÙ ØÛÓ ÔÐ Ý Ö Ñ ØÛ Ò Ø ÓÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ò × Ù×
ÔØÓÖº Ì ÓÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ × ÔÖ × ÒØ Û Ø Ò ÒÔÙØ × ÕÙ Ò ÓÒ×ØÖÙ Ø
Ý Ø × Ñ Ð ÓÙ× Ú Ö× Öݺ Ì Ú Ö× ÖÝ ØÖ × ØÓ Ö Ú Ð Ø ÓÑÔ Ø Ø Ú Ö Ø Ó
Ó Ø ÓÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ý ÓÒ×ØÖÙ Ø Ò Ò Ò×Ø Ò ÓÒ Û Ø ÓÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ
Ú × ÐÝ × ÓÑÔ Ö ØÓ Ø ÓÔØ Ñ Ð Ó Ò Ð ÓÖ Ø Ñº Ì ÑÓ×Ø Ñ Ð ÓÙ×
Ú Ö× ÖÝ ÒÓÛ× Ø Ü Ø Ú ÓÙÖ Ó Ø ÓÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ¸ Ò Ò Ø Ö Ý
ÓÒ×ØÖÙ Ø ÛÓÖ×Ø × ÒÔÙØ Ò×Ø Ò Ø Ø Ñ Ü Ñ × × Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ö Ø Óº
Ì Ö Ö ÓØ Ö ØÝÔ × Ó Ú Ö× Ö × Û Ø Ö ×ØÖ Ø Ð Øݸ ÙØ Ò Ø × Ø × × ÓÙÖ
Ñ × ØÓ ÜÔÓ× Ø ÛÓÖ×Ø × Ú ÓÙÖ Ó ÓÙÖ Ð ÓÖ Ø Ñ׸ ÓÖ Û ¸ Ó ÓÙÖ× ¸
Ø ÑÓ×Ø Ú Ð Ú Ö× ÖÝ × Ò º
½º¿ ÓÑ ØÖ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ×
ÓÖ Û Ò ×Ø ÖØ ÓÙÖ ÓÙÖÒ Ý¸ Û Ò ØÓ Ò ×ÓÑ ÓÒ ÔØ× Ò ÓÑ ØÖÝ
Ù× Ø ÖÓÙ ÓÙØ Ø Ø × ×º Ì Ö Ö × ÓÙÐ Ñ Ð Ö Û Ø Ø Ø ÓÖÝ
Ó Ù Ð Ò Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ ØÖݺ Ï ××ÙÑ Ø Ö Ð Ê Å ÑÓ Ð
Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ¸ Ò ÓÙÖ × Ù×× ÓÒ× Ñ ÒÐÝ ÓÒ ÖÒ ÔÖÓ Ð Ñ× Ò Ò Ø
Ù Ð Ò ÔÐ Ò º
ÁÒ ÔØ Ö× ¾ Û Ö ÓÒ× Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ× Ö Ð Ø ØÓ Ù Ö Ò Ò ÜÔÐÓÖ¹
Ò ÔÓÐÝ ÓÒ׺ Ì Ö ÓÖ ¸ × ÓÖØ ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ Ø × ÓÑ ØÖ Ð Ó Ø × Ú Ò
Ò Üغ Ï Ð×Ó ÔÖ × ÒØ ×ÓÑ × ÔÖÓÔ ÖØ × Ó Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ×¸ ÓÒ ÔØ Ù×
Ò Ù Ö Ò Ø ÓÖݺ
21. ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ
½º¿º½ ÈÓÐÝ ÓÒ× Ò ×ÓÑ Ó Ø Ö ÈÖÓÔ ÖØ ×
Ï Ö ×ØÖ Ø ÓÙÖ ØØ ÒØ ÓÒ ØÓ × ÑÔÐ ÔÓÐÝ ÓÒ׸ º º¸ ÒÓÒ¹ Ò Ö Ø ÔÓÐÝ ÓÒ× Û Ø ¹
ÓÙØ ÓР׺ Ï ×Ø Ò Ù × ØÛ Ò Ò Ö Ð ÔÓÐÝ ÓÒ× Ò Ö Ø Ð Ò Ö ÔÓÐÝ ÓÒ׺
Ì Ò Ø ÛÓÖ Ö Ø Ð Ò Ö Ð Ø Ö ÐÐݸ ÓÒ ÛÓÙÐ ÜÔ Ø ÐÐ ÔÓÐÝ ÓÒ× ØÓ Ö ¹
Ø Ð Ò Öº ÙØ ØÙ ÐÐݸ Ö Ø Ð Ò Ö Ò Ø × × × ÓÑ ×ÝÒÓÒÝÑÓÙ× ØÓ Ü ×
Ô Ö ÐРи Ò Ö Ø Ð Ò Ö ÔÓÐÝ ÓÒ× Ö Ø Ó× Û Ø ÓÒÐÝ Ü × Ô Ö ÐРР׺
Ä Ø P × ÑÔÐ ÔÓÐÝ ÓÒ Û Ø n ׺ ××ÙÑ Ø Ø P × Ö ÔÖ × ÒØ Ý
Ð ×Ø Ó Ø × Ó P × Ø Ý Ö Ò ÓÙÒØ Ö ÙÖ Ò ÐÓ Û × × Ò Ó Ø
ÓÙÒ ÖÝ Ó Ø ÔÓÐÝ ÓÒº Ú ÖØ Ü Ó ÔÓÐÝ ÓÒ × Ö Ü¸ Ø ÜØ Ö ÓÖ Ò Ð
× Ð ×× Ø Ò π¸ ÓØ ÖÛ × Ø × × ØÓ ÓÒÚ Üº ÌÛÓ ÔÓ ÒØ× p Ò q Ö Ú × Ð
ÖÓÑ ÓØ Ö¸ Ø Ð Ò × Ñ ÒØ [p, q] × ÓÒØ Ò Ò Pº Ï Ð×Ó × Ý Ø Ø p
Ò q × ÓØ Öº ÓÖ ÔÓ ÒØ p Ò P Û ÒÓØ Ý VP(p) Ø × Ø Ó ÔÓ ÒØ×
Ó P Ø Ø Ö Ú × Ð ÖÓÑ pº VP(p) × ÐÐ Ø Ú × Ð ØÝ ÔÓÐÝ ÓÒ Ó pº
Ò Ø ÓÒ ½º P × ÓÒÚ Ü ¸ ÓÖ Ú ÖÝ Ô Ö Ó ÔÓ ÒØ× p, q ∈ P¸ Ø Ð Ò × Ñ ÒØ
[p, q] ∈ Pº
Ò Ø ÓÒ ½º P × ×Ø Ö × Ô Ø Ö × ÔÓ ÒØ p ∈ P ×Ù Ø Ø VP(p) = Pº
Ò Ø ÓÒ ½º P × Ð Ò Ñ Ø Ö k k × Ø Ñ Ò ÑÙÑ ÒØ Ö Ú ÐÙ ×Ù
Ø Ø ÓÖ ÐÐ ÔÓ ÒØ× x, y ∈ P Ø Ö Ü ×Ø× Ô Ø ÖÓÑ x ØÓ y Ø Ø Ó × ÒÓØ ÖÓ××
Ø ÓÙÒ ÖÝ Ó P Ò Ø Ø ÓÒ× ×Ø× Ó k ×ØÖ Ø Ð Ò × Ñ ÒØ׺ Ï × Ý Ø Ø
ÔÓÐÝ ÓÒ × k¹Ð Ò Ø × Ð Ò Ñ Ø Ö kº
ÆÓØ Ø Ø ÓÒÚ Ü ÔÓÐÝ ÓÒ× Ú Ð Ò Ñ Ø Ö ÓÒ ¸ Û Ö × ×Ø Ö × Ô ÔÓÐݹ
ÓÒ× Ú Ð Ò Ñ Ø Ö Ø ÑÓ×Ø ØÛÓº
Ï Ò ÓÙÖ ÕÙ Ö ÒØ× Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ ÔÓ ÒØ p ∈ Pº Ì Ó× Ö Ø
Ö ÓÒ× Ó Ø Ò Ý ÙØØ Ò P ÐÓÒ Ø ØÛÓ Ñ Ü Ñ Ð Ü × Ô Ö ÐÐ Ð Ð Ò × Ñ ÒØ×
Ò× P Ø Ø Ô ×× Ø ÖÓÙ pº Ì ÓÙÖ ÕÙ Ö ÒØ× Ö ÒÓØ Q1(p)¸ Q2(p)¸
Q3(p)¸ Ò Q4(p) Ò ÓÙÒØ Ö ÐÓ Û × ÓÖ Ö ÖÓÑ Ø ØÓÔ Ö Ø ÕÙ Ö ÒØ ØÓ Ø
ÓØØÓÑ Ö Ø ÕÙ Ö ÒØ × ÙÖ ½º½´ µº
Á e × Ò Ó P Û Ø Ö Ü Ú ÖØ Ü v¸ Ø Ò Ø Ñ Ü Ñ Ð Ð Ò × Ñ ÒØ Ò P
ÓÐÐ Ò Ö ØÓ e¸ Û Ø ÓÒ Ò ÔÓ ÒØ Ò v × ÐÐ Ò ÜØ Ò× ÓÒ × ÙÖ × ½º½´ µ
Ò ½º¾´ µº Ì ÜØ Ò× ÓÒ × Ø × Ñ Ö Ø ÓÒ × Ø eº ÁÒ Ø Ö Ø Ð Ò Ö
× Û Ù× Ø ÓÙÖ ÓÑÔ ×× Ö Ø ÓÒ× north¸ west¸ south¸ Ò east ØÓ ÒÓØ
Ø Ö Ø ÓÒ Ó Ò ÜØ Ò× ÓÒº ÆÓØ Ø Ø Ú ÖÝ Ö Ü Ú ÖØ Ü × ××Ó Ø Û Ø
ØÛÓ ÜØ Ò× ÓÒ׺ Ï × Ý Ø Ø Ò ÜØ Ò× ÓÒ c ÓÑ Ò Ø × ÒÓØ Ö ÜØ Ò× ÓÒ c ¸
ÐÐ ÔÓ ÒØ× Ò P ØÓ Ø Ö Ø Ó c¸ Ð×Ó Ð ØÓ Ø Ö Ø Ó c º Ò ×× ÒØ Ð ÜØ Ò× ÓÒ
× Ò ÜØ Ò× ÓÒ Ø Ø × ÒÓØ ÓÑ Ò Ø Ý ÒÝ ÓØ Ö ÜØ Ò× ÓÒ × ÙÖ × ½º½´ µ
Ò ½º¾´ µº
22. ½º¿ ÓÑ ØÖ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ×
Q1(p)
Q2(p)
Q3(p)
Q4(p)
´ µ ´ µ
ÜØ Ò× ÓÒ×
p
e e
p
e ÓÑ Ò Ø × e
e × Ð Ø ÜØ Ò× ÓÒ
ۺֺغ p
´ µ
ÙÖ ½º½ ÁÐÐÙ×ØÖ Ø Ò ×ÓÑ Ò Ø ÓÒ× Ö Ö Ò Ö Ø ¹
Ð Ò Ö ÔÓÐÝ ÓÒ׺
00110000
0000
0000
0000
1111
1111
1111
1111
c × ×× ÒØ Ð Ö ×Ô Ø ØÓ p
c ÓÑ Ò Ø × c ÓÖÒ Ö Û ØÜØ Ò× ÓÒ×
p
´ µ´ µ´ µ
c c
ÙÖ ½º¾ ÁÐÐÙ×ØÖ Ø Ò ×ÓÑ Ò Ø ÓÒ× Ö Ö Ò × ÑÔÐ
ÔÓÐÝ ÓÒ׺
23. ½¼ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ
Á ÔÓ ÒØ p Ð × ØÓ Ø Ð Ø Ó Ò ÜØ Ò× ÓÒ¸ Ø Ò Ø Ø ÜØ Ò× ÓÒ × ÐÐ
Ð Ø ÜØ Ò× ÓÒ Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ pº Ä Ø c1, c2, . . . , ck Ø ×× ÒØ Ð Ð Ø ÜØ Ò× ÓÒ×
Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ ×ÓÑ ÔÓ ÒØ pº Ì × ÜØ Ò× ÓÒ× Ö Ò Ü × Ø ×Ø ÖØ Ò
ÔÓ ÒØ× Ó Ø ÜØ Ò× ÓÒ× Ö ÓÙÒ Ò ÐÓ Û × × Ò Ó Ø ÓÙÒ ÖÝ Ó Pº
ÓÖÒ Ö Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ p × Ñ Ü Ñ Ð ×Ù × Ø Ó ÓÒ× ÙØ Ú ×× ÒØ Ð Ð Ø
ÜØ Ò× ÓÒ× cj, cj+1, . . . , cm Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ p ×Ù Ø Ø ci ÒØ Ö× Ø× ci+1 ÓÖ
j ≤ i < m × ÙÖ ½º¾´ µº ÜØ Ò× ÓÒ Ò ÓÖÒ Ö × Ú Ý Ø
ÜØ Ò× ÓÒ ÒØ Ö× Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× ÒØÓ Ø ÑÓ×Ø m × Ñ ÒØ׺ Ì × × Ñ ÒØ× Ö
ÐÐ Ö Ñ ÒØ׺ Ö Ñ ÒØ f ÓÑ Ò Ø × Ò ÜØ Ò× ÓÒ c¸ f Ð × ØÓ Ø Ö Ø
Ó ¸ ÓÖ ÓÒ¸ cº
½º¿º¾ Ï Ø Ñ Ò ÊÓÙØ × Ò ×ÓÑ Ó Ø Ö ÈÖÓÔ ÖØ ×
Á C × ÔÓÐÝ ÓÒ Ð ÙÖÚ ¸ Ø Ò Ø Ð Ò Ø Ó C¸ ÒÓØ length(C)¸ × Ò ×
Ø ×ÙÑ Ó Ø ×Ø Ò × ØÛ Ò ÓÒ× ÙØ Ú Ô Ö× Ó × Ñ ÒØ Ò ÔÓ ÒØ× Ò Cº
Ì Ú × Ð ØÝ ÔÓÐÝ ÓÒ VP(C) Ó C × Ò Ý VP(C) = p∈C VP(p)º
Ä Ø p ÔÓ ÒØ ×ÓÑ Û Ö Ò× Pº Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ø ÖÓÙ p × Ò
ØÓ ÐÓ× ÙÖÚ C Ø Ø Ô ×× × Ø ÖÓÙ p Û Ø VP(C) = Pº Ì × ÓÖØ ×Ø
Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ø ÖÓÙ p × ÒÓØ Ý SWRpº ÁØ Ò × ÓÛÒ Ø Ø Ø
× ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ò × ÑÔÐ ÔÓÐÝ ÓÒ × ÐÓ× ÔÓÐÝ ÓÒ Ð ÙÖÚ ¿¼¸ ¿½ º
Ä ÑÑ ½º½ Ò Ò ÆØ Ó× ¿½ ÐÓ× ÙÖÚ × Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ¸ Ò
ÓÒÐÝ Ø ÙÖÚ × Ø Ð ×Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ ØÓ Ø Ö Ø Ó ¸ ÓÖ ÓÒ¸ ×× ÒØ Ð
ÜØ Ò× ÓÒº
Ä ÑÑ ½º¾ Ò Ò ÆØ Ó× ¿½ Ì Ö × × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ø Ø
Ú × Ø× Ø ÓÖÒ Ö× Ò Ø ÓÖ Ö Ò Û Ø Ý ÔÔ Ö ÓÒ Ø ÓÙÒ ÖÝ Ó Pº
Ú Ò Ø Ò Ø ÓÒ× Ò Ë Ø ÓÒ ½º¿º½ Û Ò ÒÓÛ Ú ÓÖÑ Ð Ò Ø ÓÒ Ó
Ø × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÔÖÓ Ð Ñ ¿½¸ ¸ ½¼ ¸ ½¼ º
Ú Ò ÔÓÐÝ ÓÒ P Ò ÔÓ ÒØ p ÓÒ Ø× ÓÙÒ Öݸ ÓÑÔÙØ Ø × ÓÖع
×Ø ÐÓ× ÔÓÐÝ ÓÒ Ð ÙÖÚ Ø Ø ÒØ Ö× Ø× ÐÐ ×× ÒØ Ð Ð Ø ÜØ Ò× ÓÒ×
Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ pº
Ï ÐÐ Ð ÓÖ Ø Ñ× ×ÓÐÚ Ò Ø × ÔÖÓ Ð Ñ ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ׺
½º Ì Å Ò Ö Ò È Ø
Ì Ø × × × Ú ÒØÓ Ø Ö Ô ÖØ׸ Ô ÖØ ÓÒ× Ö× Ö ÒØ ØÓÔ × Ò
ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ ØÖݺ ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø Ö Ö Ð Ò × ØÛ Ò Ø Ö ÒØ Ö ×
ÔÖ × ÒØ ¸ ÓØ Ö Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ× Ò ÔÖÓÓ Ø Ò Õ٠׺ ÐØ ÓÙ
24. ½º Ì Å Ò Ö Ò È Ø ½½
Ø Ø × × ÓÒØ Ò× ÒØ ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ× Ø Ú Ö ×ÙÐØ׸ Ø ÓÔ × Ø Ø Ø
ÙØ ÓÖ³× × Ò Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÙÒ ÒÓÛÒ Ò Ø Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð × ÜØ Ò× Ú ÐÝ ×¹
ÔÐ Ý Ø ÖÓÙ ÓÙØ Ø Ø × ×º
½º º½ Ù Ö Ò ¸ ÜÔÐÓÖ Ò ¸ Ò Ë Ö Ò
Ù Ö Ò Ò ÜÔÐÓÖ Ò ÈÓÐÝ ÓÒ×
È ØÙÖ ÝÓÙÖ× Ð × Ø ÔÖ × ÒØ Ó Ø Ò Ø ÓÒ Ð ÑÙ× ÙÑ Ò ÝÓÙÖ ÓÙÒØÖÝ ÓÐ Ò
ÒÚ ÐÙ Ð ØÖ ×ÙÖ × Ó ×ØÓÖÝ Ò Öغ ÀÓÛ Ñ ÒÝ ×ÙÖÚ ÐÐ Ò Ñ Ö × ÛÓÙÐ
ÝÓÙ Ú Ò×Ø ÐÐ Ò Ø ÑÙ× ÙÑ ØÓ Ñ ÝÓÙ ×Ð Ô Ø Ø Ø Ò Ø Ò
× ÒØ ×Ø ÝÓÙ Ñ Ø ÓÑ ØÓ Ø ÓÒ ÐÙ× ÓÒ Ø Ø Ú ÖÝ Ô ÖØ Ó Ø ÐÐ ÖÝ ×
× Ò Ý Ø Ñ Ö ×¸ Ø × ÛÓÙÐ ÙÐ ÐÐ ÝÓÙÖ Ò ×º Ì Ò×Û Ö × ×ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ
Ø ÖØ ÐÐ ÖÝ ÈÖÓ Ð Ñ ¿ ¸ ¸ ¼ ÓÛ Ñ ÒÝ Ñ Ö × Ó Û Ò ØÓ Ù Ö
Ú Ò ÐÐ ÖÝ Ò ÓÛ Ó Û Û Ö ØÓ ÔÐ Ø Ñ Ì × ÔÖÓ Ð Ñ
Û × ÔÓ× Ý Î ØÓÖ ÃÐ Ò ½ ¿ Ò Ö ×ÔÓÒ× ØÓ ÕÙ ×Ø ÓÒ Ö × Ý Î
Ú Ø Ð ¾ º
ØÙ ÐÐݸ Û Ö ÒØ Ö ×Ø Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ú Ö× ÓÒ Ó Ø ÖØ ÐÐ ÖÝ ÔÖÓ ¹
РѸ º º¸ Ò Ò Ò Ñ Ò ÑÙÑ ÒÙÑ Ö Ó Ù Ö × ÓÖ Ú Ò ÖØ ÐÐ Öݺ Ì ×
ÔÖÓ Ð Ñ × ÐÐ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñº Ì ÔÖÓ Ð Ñ × ÒÓÛÒ
ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÙÐØ ¿ Ò Ø × ×ØÖÓÒ ÐÝ Ö Ð Ø ØÓ Ø Ñ Ò ÑÙÑ × Ø
ÓÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñº ÁÒ ÔØ Ö ¾ Û × ÓÛ Ø Ø Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ
× Ö Ú Ò ÓÖ 2¹Ð Ò ÔÓÐÝ ÓÒ Ò×Ø Ò ×º
ÒÓØ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ò × Ñ Ð Ö × ØØ Ò ÙØ ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ö ÒØ Ö Ö Ò Ø
ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ×Ô Ø× × Ø × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ò Ë ¹
Ø ÓÒ ½º¿º¾º ÁÒ ÔØ Ö ¿ Û × Ù×× Ø Ø Ñ ÓÙÒ × Ó ×ÓÑ Ó Ø ÖÐÝ ØØ ÑÔØ×
ØÓ ÓÑÔÙØ × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ × Û Ø ÔÖ ÓÖ ×Ô ×Ø ÖØ Ò ÔÓ ÒØ׺
Ö Ð Ø ØÓÔ × Ø Ø Ó ÜÔÐÓÖ Ò Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó ÔÓÐÝ ÓÒ¸ × Ò Ø Ò
Ú Û × Ø ÓÒÐ Ò Ú Ö× ÓÒ Ó Ø × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÔÖÓ Ð Ñº Ì
ÜÔÐÓÖ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ × Ò ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Û ÐÐ ×ØÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÖÓ ÓØ ×º ÁÒ
Ñ ÒÝ Ö Ð ×Ø × ØÙ Ø ÓÒ× Ø ÖÓ ÓØ Ó × ÒÓØ ÔÓ×× ×× ÓÑÔÐ Ø ÒÓÛÐ ÓÙØ
Ø× ÒÚ ÖÓÒÑ Òظ ÓÖ Ò×Ø Ò ¸ Ø Ñ Ý ÒÓØ Ú Ñ Ô Ó Ø× ×ÙÖÖÓÙÒ Ò × ¾¾¸ ¾ ¸
¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ½¸ ¸ ¼¸ ½¸ ¸ ¸ º
Ï Ö ÒØ Ö ×Ø Ò Ó Ø Ò Ò ÑÔÖÓÚ ÙÔÔ Ö ÓÙÒ × ÓÖ Ø ÓÑÔ Ø Ø Ú
Ö Ø Ó Ó ÜÔÐÓÖ Ò Ö Ø Ð Ò Ö ÔÓÐÝ ÓÒº Ò Ø Ðº ¿ × ÓÛ Ø ÖÑ Ò ×Ø
×ØÖ Ø Ý Ú Ò ÓÑÔ Ø Ø Ú Ö Ø Ó ØÛÓ ÓÖ Ø × ÔÖÓ Ð Ñ ×Ø Ò × Ñ ×ÙÖ
ÓÖ Ò ØÓ Ø L1¹Ñ ØÖ º ÃÐ Ò Ö ½ ÔÖÓÚ × ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ó 5/4 ÓÖ Ø
ÓÑÔ Ø Ø Ú Ö Ø Ó Ó ÒÝ Ø ÖÑ Ò ×Ø ×ØÖ Ø Ýº ÁÒ ÔØ Ö Û × ÓÛ ×ØÖ Ø Ý
Ó Ø Ò Ò ÓÑÔ Ø Ø Ú Ö Ø Ó Ó 5/3 ÓÖ ÜÔÐÓÖ Ò Ö Ø Ð Ò Ö ÔÓÐÝ ÓÒ Ò Ø
L1¹Ñ ØÖ º
25. ½¾ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ
ÓÑ ØÖ Ë Ö ÈÖÓ Ð Ñ× ÓÖ È Ö ÐÐ Ð Ê Ý×
ÌÓ × Ö ÓÖ Ø Ö Ø ÓÒ Ð Ò × Ð ×× Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø
Ø ÓÖÝ Ó ÓÑ ØÖ × Ö Ø Ø Ó × Ý Ø Ò Ñ Ì Ð Ò Ö × Ö ÔÖÓ Ð Ñ º
Ì ÔÖÓ Ð Ñ Û × Ö×Ø Ò ÐÝ× Ý º ½¾ Ò ½ ¿º ³× Ô Ö×Ô Ø Ú
Û × ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ÔÖÓ Ð ×Ø Ò Ø Ñ Û × ØÓ Ñ Ò Ñ × Ø ÜÔ Ø ×Ø Ò
ØÖ Ú ÐÐ Ý × Ö Öº Ò ÓØ Ö× ÔÙ Ð × Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó Ô Ô Ö×
ÓÒ ÖÒ Ò Ø × ÔÖÓ Ð Ñ ½¿¸ ½ ¸ ½ ¸ ¸ ¼ Ò Ø Ð ÙÐÑ Ò Ø Û Ø
ÑÓÒÓ Ö Ô Ý Ëº Ð ½ Ò ½ ¼ Ø Ø Ò ÐÙ × ÑÓÒ Ñ ÒÝ ÓØ Ö Ø Ò ×¸ Ò
ÓÔØ Ñ Ð ×ØÖ Ø Ý ÓÖ × Ö Ò m ÓÒ ÙÖÖ ÒØ Ö Ý× Ù× Ò × Ò Ð ÖÓ Óغ Ì ×
ÔÖÓ Ð Ñ Û × Ö × ÓÚ Ö Ò Ø Ð Ø Ò Ò Ø Ò Ø × Ò Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ
Ø Ò ÕÙ × ÔÖÓÚ ØÓ Ú ÖÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓÓÐ ÓÖ × Ò Ò ÓØ Ö ÐÓÛ Ö ÓÙÒ
ÔÖÓÓ × ÓÖ × Ö Ò Ò ÒÙÑ Ö Ó Ð ×× × Ó × ÑÔÐ ÔÓÐÝ ÓÒ× ¿ ¸ ¿ ¸ ¼¸ ¸ º
Ì Ø Ò ÕÙ × Ù× Ò Ø Ö ÒØ ÖØ Ð × ÓÖ Ò Ø ÖÓÑ Ø Ð Ó Óѹ
Ô Ø Ø Ú Ò ÐÝ× × Ò ÓÒÐ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ׸ × Ò Ø Ð Ò Ö × Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ò
Ø ÓÙ Ø Ó × Ò ÓÒÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñº Ý ÒØÖÓ Ù Ò ÓÑÔ Ø Ø Ú Ò ÐÝ× ×¸ Ø Ó¹
Ù× × Ø× ÖÓÑ ÜÔ Ø ØÖ Ú ÐÐ Ò ×Ø Ò Ò ÔÖÓ Ð ×Ø Ò ÐÝ× × ØÓ Ø Ø Ó
ÛÓÖ×Ø × Ò ÐÝ× ×º Ì × × ÑÔÐ × Ø Ò ÐÝ× × ÙØ Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÔÖÓÓ × ×Ø ÐÐ
Ø Ú ÖÝ ÓÑÔÐ Ø Ò ÐÝ ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ðº
ÁÒ ½ Þ ¹ Ø × Ò Ë ÓØØ ½¼ Ò Ö Ð × Ø Ð Ò Ö × Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ý
ÒØÖÓ Ù Ò × ÓÒ ÖÓ ÓØ Ò Ø Ö Ý Ô Ö ÐÐ Ð × Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñº Ì Ý ÓÙÒ
ØÛÓ ×ØÖ Ø × ÓÖ Ø × × Ö ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø ÕÙ Ð Ô Ö ÓÖÑ Ò Ù Ö ÒØ × ´
ØÓÖ Ó Ò Ò ÖÓÑ Ø Ó Ò ÓÔØ ÑÙѵ ÙØ Ø Ý ÒÓØ Ú ÒÝ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ×
ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ö ×ØÖ Ø × Û Ö ÓÔØ Ñ Ðº ÁÒ ÔØ Ö Û Ú Ñ Ø Ò
ÐÓÛ Ö ÓÙÒ × ÓÖ ØÛÓ Ð Ö Ð ×× × Ó ×ØÖ Ø × ÓÖ Ø Ò Ö Ð × Ð Ò Ö × Ö
ÔÖÓ Ð Ñº Ï Ð×Ó Ò Ö Ð × Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÙÖØ Ö Ý ÒØÖÓ Ù Ò m ÓÒ ÙÖÖ ÒØ
Ö Ý× Ò m ÖÓ ÓØ׸ Ù×Ø Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ × ÓÖ Ø Ò Û × ØÙ Ø ÓÒ¸ Ò ÔÖÓÚ
Ø Ø Ø Ö Ö ×ØÖ Ø × Û Ø Ñ Ø Ò ÓÑÔ Ø Ø Ú Ö Ø Ó׺
½º º¾ Ì Ñ Ô Ò ÒØ ÌÖ Ú ÐÐ Ò Ë Ð ×Ñ Ò ÈÖÓ Ð Ñ×
ÁÒ È ÖØ ÁÁ Û Ö ØÙÖÒ ØÓ Ø ØÖ Ú ÐÐ Ò × Ð ×Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ¸ ÐÖ Ý × Ù×× Ò
Ë Ø ÓÒ ½º½º½º Î Ö ÒØ× Ó Ø × Û Ðй ÒÓÛÒ ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÔÔ Ö
Ò Ñ ÒÝ Ö ÒØ ÓÒØ ÜØ× Ò Ø Ô ×غ Ï ×ØÙ Ý ×ÓÑ Ò Ö Ð × Ø ÓÒ× Ó ÌËÈ
Ø Ø ÐÐÓÛ × Û Ø Ø Ñ Ô Ò ÒØ Û Ø׺ ×Ð Ø ÓÑÔÐ Ø ÓÒ × Ø Ø
ØÛÓ Ó Ø × ÔÖÓ Ð Ñ× Ö ÓØ ÒÓØ Ø Ø Ñ Ô Ò ÒØ ØÖ Ú ÐÐ Ò × Ð ×Ñ Ò
ÔÖÓ Ð Ñ ´Ì ÌËȵ Ò Ø Ð Ø Ö ØÙÖ º ÌÓ ×Ø Ò Ù × ØÛ Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ× Û
Ö Ò Ñ Ø Ñ ÔÔÖÓÔÖ Ø ÐÝ ÐÓÛº
Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ì ÌËÈ × Ù ØÓ Å Ð Ò Ö Ò × Ò ¾ º
ÓÑÔÐ Ø Ö Ø Ö Ô G(V, E) × Ú Ò ØÓ Ø Ö Û Ø ÔÓØ Ú ÖØ Ü Ø Ø
Ø × Ð ×Ñ Ò ×Ø ÖØ× ÖÓѺ Ì Ö Ô × Ö ÔÖ × ÒØ Ý Ø Ñ Ô Ò ÒØ Ó×Ø
26. ½º Ì Å Ò Ö Ò È Ø ½¿
Ñ ØÖ Üº Ì × Ñ ØÖ Ü ××Ó Ø × (i, j) Ò E Û Ø Ø Ñ Ô Ò ÒØ Ó×Ø
ÙÒ Ø ÓÒ cij(t)º Ì Ó Ø Ú × ØÓ Ò À Ñ ÐØÓÒ Ý Ð Ó Ñ Ò ÑÙÑ Ó×Ø Ò Gº
Ï ÐÐ Ø × Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó×Ø Ô Ò ÒØ ÌËÈ ´ ÌËȵº
ÁÒ Ø ÖÐÝ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ× Ó Ì ÌËÈ ¸ ¸ ¸ ¿¸ Ø × ××ÙÑ Ø Ø Ø
Ó×Ø Ó Ò Ô Ò × ÓÒ Ø× ÔÓ× Ø ÓÒ Ò Ø À Ñ ÐØÓÒ Ý Ð º Ì × Ú Ö× ÓÒ Ó
Ø ÔÖÓ Ð Ñ¸ Û Û Ö Ö ØÓ × Ø ×Ø Ô Ô Ò ÒØ ÌËÈ ´Ë ÌËȵ¸ × Ñ ÒÝ
ÔÔÐ Ø ÓÒ× Ò × ÙÐ Ò ½½¸ ¸ ¸ º ÓØ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ× Ö Ù×Ù ÐÐÝ ×ÓÐÚ
Ù× Ò ÒØ Ö Ð Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ´ÁÄȵ Ø Ò Õ٠׸ ÓÖ Û ÒÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ
Ù Ö ÒØ × Ò Ú Òº Ë Ò ÓØ ÔÖÓ Ð Ñ× Ú Ø ØÖ Ú ÐÐ Ò × Ð ×Ñ Ò
ÔÖÓ Ð Ñ × ×Ô Ð × ¸ ÒÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ù Ö ÒØ × Ö ÔÓ×× Ð ÙØ Ø Ö
Ö ÒØ Ö ×Ø Ò Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ØÓ Ø × ÔÖÓ Ð Ñ× Ø Ø Ñ Ø Ö Ú Ð ÔÓ× Ø Ú Ö ×ÙÐØ׺
Ï Ú ×ØÙ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ØÓ Å Ð Ò Ö Ø Ðº³× Ò Ö Ð Ì ÌËȺ Ì
Ò Ø ÌËÈ × ×Ù Ö ×ØÖ Ø ÓÒ Ò Û Ø Ú ÖØ × Ó Ø Ö Ô Ö Ö ÔÖ × ÒØ
× ÔÓ ÒØ× Ò Ø ÔÐ Ò Ò Ø Ó×Ø ÙÒ Ø ÓÒ× × Ö Ø Ó×Ø Ó ØÖ Ú ÐÐ Ò
ØÛ Ò ÔÓ ÒØ× Ò Ö ÑÓØ ÓÒº Ì × × Ò ØÙÖ Ð Ò ÓØ Ø ÓÖ Ø ÐÐÝ Ò
ÔÖ Ø ÐÐÝ ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Ö Ð × Ø ÓÒ Ó ÌËÈ ´ º º × Ú Ö Ð × ÙÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ×
Ò Ö Ù ØÓ ×ÓÐÚ Ò Ú Ö ÒØ× Ó Ò Ø ÌËȵº ÁÒ ÔØ Ö Û × Ù×× Ø
ÓÑÔÐ Ü ØÝ ×Ø ØÙ× Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒº Ï ÔÖÓÚ Ø
ÓÐÐÓÛ Ò Ö ×ÙÐØ׺
½º Á Ø ÔÓ ÒØ× ÐÐ ÑÓÚ Û Ø Ø × Ñ ×Ô Ò Ò Ø × Ñ Ö Ø ÓÒ Ø Ò
Ø Ö × ÈÌ Ë ÓÖ Ø Ò Ø ÌËȺ
¾º Ì Ò Ø ÌËÈ ÒÒÓØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Û Ø Ò ØÓÖ Ó ØÛÓ Ò ÔÓÐݹ
ÒÓÑ Ð Ø Ñ ÙÒÐ ×× È Æȸ Ú Ò Ø Ö Ö ÓÒÐÝ ØÛÓ ÑÓÚ Ò ÔÓ ÒØ× Ò Ø
Ò×Ø Ò º
¿º Ä Ø n ÒÓØ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ ÒØ× Ò Ø ÒÔÙØ Ò×Ø Ò º Ì Ò Ø
ÌËÈ ÒÒÓØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Û Ø Ò ØÓÖ Ó 2Ω(
√
n)
Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ
ÙÒÐ ×× È Æȸ Ú Ò Ø Ñ Ü ÑÙÑ ×Ô × ÓÙÒ º
Ý ÒØÖÓ Ù Ò Ø ÓÒ ÔØ Ó Ø Ñ ÒØ ÖÚ Ð× ÓÖ Ø Ñ ÞÓÒ ×¸ Å Ð Ò Ö Ø
к Ö ×ØÖ Ø Ø Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÜØ Ò× Ú ÐÝ ØÓ ÐÐÓÛ Ò ÒØ Ö Ð Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ ÓÖ¹
ÑÙÐ Ø ÓÒ¸ Ò Ø × Ö ×ØÖ Ø ÓÒ Ó × ÒÓØ ÓÚ Ö Ø Ò Ø ÌËȺ ÁÒ ÔØ Ö Û
×ØÙ Ý Ë ÌËÈ Ò ÌËÈ Ò Ò ÓÒÐ Ò × ØØ Ò º Ï ÙÖØ Ö Ú ÐÓÔ Ø ÒÓØ ÓÒ
Ó Ø Ñ ÞÓÒ × Ò Ù× Ø × ÓÒ ÔØ ØÓ Ö ×ØÖ Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ× Ú Ò ÑÓÖ º Í× Ò
Ø ÓÒÐ Ò Ú Ö× ÓÒ× Û ÓÒ×ØÖÙ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ× Ø Ø ÖÙÒ Ò ÔÓÐÝÒÓ¹
Ñ Ð Ø Ñ º Ì × ÛÓÖ × Ò×Ô Ö ÙÖØ Ö Ö × Ö Ò Ø Ö º ÆÓØ Ð × Ò
ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø Ø Ñ Ô Ò ÒØ ÓÖ ÒØ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ò Ý
ÓÑ Ò Ø Ðº ¿ º Ì ÓÖ ÒØ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ × Ö Ð Ø ØÓ ÐÓÒ ×Ø Ô Ø ÔÖÓ Ð Ñ
Ø Ø Û ÐÐ Ò Ò × Ù×× Ò ÔØ Ö º
27. ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ
½º º¿ Ó Ö Ô ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ËÝ×Ø Ñ×
ÁÒ Ø Ð ×Ø Ô ÖØ Ó Ø Ø × × Û ÓÒ× Ö ØÛÓ ÔÖÓ Ð Ñ× Ö Ð Ø ØÓ Ø ×ØÖÙ ØÙÖ ×
Ò Ó Ö Ô Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ×Ý×Ø Ñ× ´ Á˵º
Ì Ö×Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ð× Û Ø ÒØ Ø ×ØÖÙ ØÙÖ × ÓÖ ÓÑ ØÖ Ø º ÌÝÔ¹
ÐÐݸ Ø Ø × Ø× Ö ÑÑ Ò× ¸ Ñ Ò Ò ×Ø Ð ÓÖ Ø Ñ× Û Ø Ð Ò Ö ×ØÓÖ º
ÁÒ ÔØ Ö Û Ò ÐÝ× Ø R¹ØÖ ¸ Û Ðй ÒÓÛÒ ÓÙÒ Ò ¹ÚÓÐÙÑ Ö Ö Ý
Ø Ø × ×Ù Ø Ð ÓÖ ×ØÓÖ Ò ÓÑ ØÖ Ø ÓÒ × ÓÒ ÖÝ Ñ ÑÓÖݺ ÍÒ ÓÖØÙÒ Ø Ðݸ
ÒÓ ÓÓ Ò ÐÝ× × Ó Ø× ÕÙ ÖÝ Ø Ñ Ü ×Ø׺ Ï × Ö Ò Û Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ
ÓÒ×ØÖÙ Ø Ò Ê¹ØÖ ÓÖ × Ø Ó ÔÐ Ò Ö Ó Ø× Ø Ø × ÔÖÓÚ ÐÝ ÓÓ ÕÙ ÖÝ
ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÓÖ ÔÓ ÒØ ÐÓ Ø ÓÒ ÕÙ Ö × Ò Ö Ò ÕÙ Ö × Û Ø Ö Ò × Ó ×Ñ ÐÐ
Û Ø º ÓÖ ÖØ Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ×Ô Ð × ×¸ ÓÙÖ ÓÙÒ × Ö ÓÔØ Ñ Ðº Ï Ð×Ó
× ÓÛ ÓÛ ØÓ ÙÔ Ø Ø ×ØÖÙ ØÙÖ ÝÒ Ñ ÐÐݸ Ò Û Ò Ö Ð × ÓÙÖ Ö ×ÙÐØ× ØÓ
Ö¹ Ñ Ò× ÓÒ Ð ×Ô ×º
Ì × ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ó Ö Ô Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ×Ý×Ø Ñ× ÒÚÓÐÚ × Ø ×ØÖÙ ¹
ØÙÖ × ÓÖ Ø ÖÖ Ò ÑÓ ÐÐ Ò º ÁØ ÓÒ ÖÒ× ÙØÓÑ Ø Ö ÑÓÚ Ð Ó ÖØ Ð ÖØ Ø×
Ò Ø ÖÖ Ò× ÓÑÔÙØ Ù× Ò × ÑÔÐ ÔÓ ÒØ׸ Ò Ò Ö Ð × × Ø Ø ÓÖÝ Ó Ð ÙÒ Ý
ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ׺ Ì ÛÓÖ ¸ ÔÖ × ÒØ Ò ÔØ Ö ¸ × Ô Ö ÐÐ Ð ØÓ Ø kØ ÓÖ Ö
ÎÓÖÓÒÓ Ö Ñ¸ Û Ò ØÙÖÒ × Ò Ö Ð × Ø ÓÒ Ó Ø ÎÓÖÓÒÓ Ö Ñº ÓÖ
× Ø P Ó ÔÓ ÒØ× Ò Ø ÔÐ Ò ¸ Û ÒØÖÓ Ù Ð ×× Ó ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ× Ø Ø × Ò
ÜØ Ò× ÓÒ Ó Ø Ð ÙÒ Ý ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒº ÁÒ×Ø Ó Ö ÕÙ Ö Ò Ø Ø ÓÖ ØÖ Ò¹
Ð Ø Ö Ð Ø ÖÓÙ Ø× Ú ÖØ × ÓÒØ Ò× ÒÓ ÔÓ ÒØ× Ó P Ò× ¸ Û Ö ÕÙ Ö Ø Ø
Ø ÑÓ×Ø k ÔÓ ÒØ× Ö Ò× Ø Ö Ð º ËÙ ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ × ÐÐ k¹ÓÖ Ö
Ð ÙÒ Ý ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒº Ë Ò Ø Ö Ö Ñ ÒÝ Ö ÒØ ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ× Ó Ø Ø
×ÓÖØ ÓÖ ÔÓ ÒØ × Ø¸ ÓØ Ö Ù× ÙÐ Ö Ø Ö ÓÖ ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ× Ò Ò ÓÖÔÓÖ Ø
Û Ø ÓÙØ × Ö Ò Ø Û ÐÐ¹× Ô Ò ×× ØÓÓ ÑÙ º ÔÔÐ Ø ÓÒ× Ò ÐÙ × Ü ÔØ
ÓÖ Ö Ð ×Ø Ø ÖÖ Ò ÑÓ ÐÐ Ò Ð×Ó Ñ × Ò Ö Ø ÓÒ ÓÖ Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ñ Ø Ó ×º
30. ÔØ Ö ¾
Ù Ö Ò Ä Ò × Ò ¾¹Ä Ò
ÈÓÐÝ ÓÒ×
ÇÒ Ö Ò Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑ ØÖÝ ÓÒ ÖÒ× Ø ×Ó ÐÐ ÖØ ÐÐ ÖÝ ÔÖÓ ¹
РѺ ÁÒ Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ó Ó ×Ø Ð ×¸ Û Û × ØÓ ÔÓ× Ø ÓÒ ×ÙÖÚ ÐÐ Ò Ñ Ö ×
´ÓÖ Ù Ö ×µ Ò ×Ù Û Ý Ø Ø Ø ÓÐÐ Ø Ú × Ø Ó Ñ Ö × ÓÚ Ö Ú ÖÝØ Ò Ò
Ø ÒÚ ÖÓÒÑ Òغ Ì ÔÖÓ Ð Ñ Û × ÔÓ× Ý Î ØÓÖ ÃÐ Ò ½ ¿ Ò Ö ×ÔÓÒ× ØÓ
ÕÙ ×Ø ÓÒ Ö × Ý Î Ú Ø Ð ¾ º Ì Ð ØØ Ö × ÓÛ Ò ½ Ø Ø n/3
Ñ Ö × Ö ×Ù ÒØ Ò ×ÓÑ Ø Ñ × Ò ×× ÖÝ ØÓ Ù Ö ÒÝ ÐÐ ÖÝ Ö ÔÖ × ÒØ
× ØÛÓ Ñ Ò× ÓÒ Ð × ÑÔÐ ÔÓÐÝ ÓÒ ¿¿ º
Ì Ð ÓÖ Ø Ñ Ú Ö× ÓÒ Ó Ø × ÔÖÓ Ð Ñ × ØÓ Ò Ñ Ò ÑÙÑ ÒÙÑ Ö Ó
Ù Ö × ÓÖ Ú Ò ÖØ ÐÐ Öݺ Ì × × ÐÐ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ
Ò Û × × ÓÛÒ ØÓ Æȹ Ö Ý ÖÛ Ð ¿ Ò Ä Ò Ä Ò º Ì × ×
ØÙ ÐÐÝ ÔÓÐÝ ÓÒ ÓÑÔÓ× Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº Ì Ú × Ð ØÝ ÔÓÐÝ ÓÒ ÖÓÑ ÔÓ ÒØ
× ×Ø Ö × Ô º Ì × Ñ × Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ð ØÓ
Ø Ø Ó Ò Ò Ñ Ò ÑÙÑ ×Ø Ö ÓÚ Ö Ó ÔÓÐÝ ÓÒº Ì ÔÖÓ Ð Ñ × ÒÓÛÒ ØÓ
ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÙÐØ ¿ Ò Ø × ×ØÖÓÒ ÐÝ Ö Ð Ø ØÓ Ø Ñ Ò ÑÙÑ × Ø
ÓÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñº
ÁÒ ½ ÂÓ× Ô Ëº º Å Ø ÐÐ Ö × Ø ÕÙ ×Ø ÓÒ Ó ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ØÛ Ò
Ð Ò Ñ Ø Ö Ò Ù Ö Ð ØÝ Ó × ÑÔÐ ÔÓÐÝ ÓÒ׺ 1¹Ð Ò ÔÓÐÝ ÓÒ× Ö ÓÒÚ Ü
Ò Ò ØÖ Ú ÐÐÝ Ù Ö Ð Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ º Ì ÓÖ Ò Ð Æȹ Ö Ò ××
ÔÖÓÓ × ¿¸ ÑÑ Ø ÐÝ Ú Æȹ Ö Ò ×× ÓÖ ÔÓÐÝ ÓÒ× Û Ø Ð Ò Ñ Ø Ö
Ø Ð ×Ø ÓÙÖº Æ Ð××ÓÒ ÔÖÓÚ Ø Æȹ Ö Ò ×× ÓÖ 3¹Ð Ò ÔÓÐÝ ÓÒ× º Ì ×
Ð Ú × Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÕÙ ×Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ 2¹
Ð Ò ÔÓÐÝ ÓÒ× ÓÔ Òº ÆÓØ Ø Ø Ð Ö Ð ×× Ó 2¹Ð Ò ÔÓÐÝ ÓÒ× Ö ×Ø Ö × Ô
Ò Ø Ö ÓÖ Ù Ö Ð Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ º ÁÒ Ø × ÔØ Ö Û × Ø ÓÙØ ØÓ Ò×Û Ö
Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÕÙ ×Ø ÓÒ ÓÖ 2¹Ð Ò ÔÓÐÝ ÓÒ׺ ÁÒ Ó Ò ×Ó Û Ò ÐÝ× Ö Ð Ø
ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ð Ò ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û × ÒØ Ö ×Ø Ò Ò Ø×
ÓÛÒ Ö Øº Ï Ú ×Ù Ò Ø Ö Ù Ø ÓÒ ÖÓÑ Å 2Ë Ì ÔÖÓÚ Ò Ø Ø Ø
Ð Ò ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ × Ö ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø º × Ñ Ð Ö Ö ×ÙÐØ Û × Ð Ñ Ý
31. ½ Ù Ö Ò Ä Ò × Ò ¾¹Ä Ò ÈÓÐÝ ÓÒ×
ÃÙÑ Ö Øº к ¾ ÙØ ÓÙÖ ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ Ú × Ò ÜÔÐ Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ø
ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö Ø Óº
ÖÓÑ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ð Ò ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö × ×ØÖ Ø ÓÖÛ Ö Ô ÔÖ ¹
× ÖÚ Ò Ö Ù Ø ÓÒ ØÓ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ¸ Ø Ø Ø Å Ø ÐÐ
Ò ÃÓÒ Ò Ð×Ó Ú Ó × ÖÚ º
¾º½ ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ
ÓÖ Û ÔÖÓÚ ÓÙÖ Ð Ñ Û Ú ÓÖÑ Ð Ò Ø ÓÒ× Ó Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ¹
Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ð Ò ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñº
Ì Å Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò ÈÖÓ Ð Ñ ´Å ȵ
ÁÒ×Ø Ò ÔÓÐÝ ÓÒ Pº
ËÓÐÙØ ÓÒ Ñ Ò ÑÙÑ × Ø Ó ÔÓ ÒØ× Ò P ÖÓÑ Û Ø ÒØ Ö ÔÓÐÝ ÓÒ¸ ÒØ Ö ÓÖ
Ò ÓÙÒ ÖÝ Ò × Òº ÌÛÓ ÔÓ ÒØ× x, y ∈ P × ÓØ Ö Ø ×ØÖ Ø
Ð Ò × Ñ ÒØ xy ⊂ Pº
Ì Å Ò ÑÙÑ Ä Ò ÓÚ Ö Ò ÈÖÓ Ð Ñ ´ÅÄ Èµ
ÁÒ×Ø Ò × Ø L Ó ÒÓÒ¹Ô Ö ÐÐ Ð Ð Ò × Ò Ø ÔÐ Ò º
ËÓÐÙØ ÓÒ Ñ Ò ÑÙÑ × Ø P Ó ÔÓ ÒØ× ×Ù Ø Ø Ø Ö × Ø Ð ×Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ò P
ÓÒ Ð Ò Ò Lº
Ì Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ × ØÖ Ú Ð ÓÖ 1¹Ð Ò ÔÓÐÝ ÓÒ× × Ò Ø ×
ÔÓÐÝ ÓÒ× Ö ÓÒÚ Üº Ì ÓÖ Ò Ð Æȹ Ö Ò ×× ÔÖÓÓ × Ó Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö
ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ×ØÖÙ Ø× ÔÓÐÝ ÓÒ Ò×Ø Ò Ú Ò Ð Ò Ñ Ø Ö 4 ¿¸
Ò Ø × Û × ×ØÖ Ò Ø Ò ØÓ 3¹Ð Ò ÔÓÐÝ ÓÒ× Ý Æ Ð××ÓÒ º ÁÒ Ø Ò ÜØ × Ø ÓÒ
Û ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ð Ò ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ × Ö ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø º Ì ×¸
Ò ØÙÖÒ¸ Ð × Ù× ØÓ Ø Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ØÝ Ö ×ÙÐØ ÓÖ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò
ÔÖÓ Ð Ñ Ò 2¹Ð Ò ÔÓÐÝ ÓÒ Ò×Ø Ò ×¸ ×ØÖ Ò Ø Ò Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ× Ö ×ÙÐØ׺
¾º¾ Ì Ê Ù Ø ÓÒ
Ì Ö Ù Ø ÓÒ × Ñ ÖÓÑ ×Ô Ð × Ó Å Ë Ì Û Ö Ð Ù× ÓÒ¹
Ø Ò× ØÛÓ Ð Ø Ö Ð× Ò Ð Ø Ö Ð Ó ÙÖ× Ø ÑÓ×Ø ØÛ º
Å 2Ë Ì´2ĵ
ÁÒ×Ø Ò × Ø U Ó Ú Ö Ð × Ò ÓÐÐ Ø ÓÒ C Ó × ÙÒ Ø Ú Ð Ù× × Û Ø
Ü ØÐÝ ØÛÓ Ð Ø Ö Ð׺ Ð Ø Ö Ð Ò ÔÔ Ö Ø ÑÓ×Ø ØÛ Ò Cº Ð Ø Ö Ð ×
Ú Ö Ð ÓÖ Ò Ø Ú Ö Ð Ò Uº
32. ¾º¾ Ì Ê Ù Ø ÓÒ ½
BA
CD
a
c
b
d
ÙÖ ¾º½ Ì ÓÒ× ×Ø Ò Ý Øº
ËÓÐÙØ ÓÒ ØÖÙØ ×× ÒÑ ÒØ ÓÖ U Ø Ø × Ø × × × Ñ ÒÝ Ð Ù× × × ÔÓ×× Ð
Ò Cº
Å 2Ë Ì´2ĵ × È ¹ Ö ¸ ÓÒ× ÕÙ Ò Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ð ÑÑ
Ä ÑÑ ¾º½ ÖÑ Ò ² à ÖÔ Ò× ½ ÓÖ Ú ÖÝ > 0¸ Ø × Ö ØÓ ÔÔÖÓÜ ¹
Ñ Ø 3¹Ç ¹Å 2Ë Ì Û Ø Ò ØÓÖ 2012/2011 − º
À Ö 3¹Ç ¹Å 2Ë Ì × Ø Å 2Ë Ì ÔÖÓ Ð Ñ Û Ö Ú Ö Ð Ò
Ó ÙÖ Ø ÑÓ×Ø Ø Ö Ø Ñ × ×Ô Ð × Ó Å 2Ë Ì´2ĵº
Ì Ö Ù Ø ÓÒ × Ú ÒØÓ ØÛÓ Ô ÖØ׺ Ì Ö×Ø Ô ÖØ Ö Ù × Ò Ö ØÖ ÖÝ
Å 2Ë Ì´2ĵ Ò×Ø Ò ØÓ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ð Ò ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ´ÅÄ Èµº Ì
× ÓÒ Ô ÖØ Ö Ù × Ø ÅÄ È ØÓ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ 2¹
Ð Ò ÔÓÐÝ ÓÒ Ò×Ø Ò ×º ÆÓØ Ø Ø Ø Ò×Ø Ò × ÓÚ Ö Ý Ø ÅÄ È ÐÐ ÓÒ× ×Ø×
Ó ÒÓÒ¹Ô Ö ÐÐ Ð Ð Ò ×º Ì × × ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Ø × ÓÒ Ô ÖØ Ó Ø Ö Ù Ø ÓÒ¸ × Ò
Û Ò ÓÒ×ØÖÙ Ø 2¹Ð Ò ÔÓÐÝ ÓÒ ÖÓÑ ×Ù Ò ÖÖ Ò Ñ Òغ
¾º¾º½ Ì Ê Ù Ø ÓÒ ØÓ ÅÄ È
Ä Ø (U, C) Å 2Ë Ì´2ĵ Ò×Ø Ò º Ï ×Ø ÖØ Ø Ö Ù Ø ÓÒ Ý Ö Ø Ò ¸
ÓÖ Ú Ö Ð xi ∈ U¸ × Ø Li Ó Ø Ð Ò × Û Ø ÒØ Ö× Ø ÓÒ× × Ò ÙÖ ¾º½º
× Ø Li ÓÖÑ× ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø Ò Ø Ý Ö Ù ÐØ ×Ó Ø Ø ÒÓ ØÛÓ Ð Ò ×
Ö Ô Ö ÐРк ÙÖØ ÖÑÓÖ ¸ Ø Ö Ö ÒÓ ÒØ Ö× Ø ÓÒ× ØÛ Ò Ø Ö Ð Ò × Ü ÔØ
Ø Ó× ÜÔÐ ØÐÝ × Ö º ÆÓØ Ø Ø Ø Ð Ò × Ò ÙÖ ¾º½ Ø Ø ÔÔ Ö ØÓ
Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÐÐÝ Ö ÒÓغ ÁÒ Li Ø Ð Ò × a Ò c Ö ÔÖ × ÒØ Ø Ð Ø Ö Ð xi¸ Ò
Ø Ð Ò × b, d Ø Ð Ø Ö Ð ¬xiº Ï ÐÐ Ø × Ð Ò × Ð Ø Ö Ð Ð Ò ×º
33. ¾¼ Ù Ö Ò Ä Ò × Ò ¾¹Ä Ò ÈÓÐÝ ÓÒ×
xi
xj
xi ¬xi ¬xi
¬xj
xj
xj
¬xj
(¬xi, xj)
xi
ÙÖ ¾º¾ Ï Ö Ø Ð Ò × ÖÓÑ Ø Ð Ø Ö Ð× Ò Ð Ù× ÖÓ×× Ø Ð Ò ÓÖ Ø Ø
Ð Ù× Û Ò Û Ð Ò º
ÓÖ Ð Ù× (li, lj) ∈ C Û Ö Ø Ð Ò ¸ ÒÓØ Ð Ù× Ð Ò Ø Ø ÒØ Ö× Ø×
ÐÐ ÓØ Ö Ð Ò × Ò Ø ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒº
ÙÖØ ÖÑÓÖ ¸ ÓÖ Ð Ø Ö Ð Ò Ð Ù× Û Ö Ø Ò Ø ÓÒ Ð Ð Ò º
Ì × Ð Ò Ô ×× × Ø ÖÓÙ Ø ÒØ Ö× Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ ØÛ Ò Ø Ð Ù× Ð Ò Ò Ø
Ð Ø Ö Ð Ð Ò Ó Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Ú Ö Ð ×
ÙÖ ¾º¾º Ì Ö Ö ØÛÓ ÔÓ×× Ð Ð Ø Ö Ð Ð Ò × ØÓ ÓÓ× ÖÓÑ Ò Ð Ø Ö Ð Ò
Ø Å 2Ë Ì´2ĵ Ò×Ø Ò Ò Ó ÙÖ Ò Ø ÑÓ×Ø ØÛÓ Ð Ù× ×º Ì Ù׸ Ø Ö ×
ÐÛ Ý× Ö Ð Ø Ö Ð Ð Ò ØÓ ÓÓ× ÖÓÑ Ø ÒÝ Ø Ñ Ò Ø ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒº ÆÓØ
Ø Ø Ø ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ ÓÒØ Ò× ÒØ Ö× Ø ÓÒ× Ó ØÛÓ Ò Ø Ö Ð Ò × ÓÒÐݸ Ò Ø Ø
ÒÓ Ð Ò × Ö Ô Ö ÐРк Ì ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ ÓÒØ Ò× ØÓØ Ð Ó 8|U| Ð Ò × Ò ÓÒ× ×Ø Ò Ý
Ø× Ò 3|C| Ø ÓÒ Ð Ð Ò × ÓÖ Ø Ð Ù× ×¸ ÓÖ ØÓØ Ð Ó 3|C| + 8|U| Ð Ò ×º
Ä Ø L Ø × Ø Ó Ð Ò × Ø Ù× ÓÒ×ØÖÙ Ø º
Ò ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø S ÓÖ L × Ñ Ü Ñ Ð × Ø Ó ÔÓ ÒØ× ×Ù Ø Ø Ú ÖÝ ÔÓ ÒØ
x ∈ S × Ø ÒØ Ö× Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ð Ò × Ò L Ò Ú ÖÝ Ð Ò Ò L ÓÒØ Ò× Ø ÑÓ×Ø
ÓÒ ÔÓ ÒØ ÖÓÑ Sº ÇÒ Ú ÖÝ Ð Ù× Ð Ò Ø Ö Ö ØÛÓ ÒØ Ö× Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× Ø Ø
ÓÙÐ Ò ÐÙ Ò Ò ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø Ò Ò Ú ÖÝ ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø Ø Ö Ö
ÓÙÖ ÒØ Ö× Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ׺ ÆÓ ÓØ Ö ÔÓ ÒØ× Ò Ò ÐÙ º
Ä ÑÑ ¾º¾ Ì × Þ Ó ×ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÅÄ È ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ ×
3|C| + 8|U| − |S|
2
,
Û Ö S × Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø Ò Ø ×ÓÐÙØ ÓÒº
ÈÖÓÓ º Ï Ò Ú Û Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÅÄ È × ÓÐÐÓÛ׺ Ú ÖÝ ÔÓ ÒØ Ò Ø
Ñ Ü ÑÙÑ ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø ÓÚ Ö× Ø Ö Ð Ò ×º Ì Ö Ñ Ò Ò ÔÓ ÒØ× Ò Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ
34. ¾º¾ Ì Ê Ù Ø ÓÒ ¾½
Ò ÓÚ Ö Ø ÑÓ×Ø ØÛÓ Ð Ò × º Ì ØÓØ Ð ÒÙÑ Ö Ó Ð Ò × Ò Ø ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÒ
× 3|C| + 8|U| ×Ó Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ³× × Þ ×
3|C| + 8|U| − 3|S|
2
+ |S| =
3|C| + 8|U| − |S|
2
.
2
Ï Ù× Ø ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø ØÓ × Ö ØÖÙØ ×× ÒÑ ÒØ ØÓ Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò
Å 2Ë Ì´2ĵ Ò×Ø Ò Ò ØÓ ÓÙÒØ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ð Ù× × × Ø × Ý Ø
×× ÒÑ Òغ Ì ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø Ö ×ØÖ Ø ØÓ ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø × × Þ ÒÓ
Ð Ö Ö Ø Ò ØÛÓ × ÙÖ ¾º½º Ì × Ñ Ü Ñ Ð × Ø× Ö {A, C} Ò {B, D}º
Ï Ò Ø Ý Ó ÙÖ Ò Ò ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø Ø Ý Ö ÔÖ × ÒØ Ø Ú ÐÙ Ð× ´{A, C}µ
ÓÖ ØÖÙ ´{B, D}µ Ó Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Ú Ö Ð º Ï × Ý Ø Ø Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ý
Ø Ò Ø × × × × Ø Ø Ö ØÓ Ð× ÓÖ ØÖÙ ´ Ý Ø ÒØ Ö ×Ø Ò × Øµº ÁØ ×
ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓ ÒÓØ Ø Ø Ø Ö ¹Û Ý ÒØ Ö× Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× Ò Ö ÒØ ÓÒ× ×Ø Ò Ý
Ø× Ö Ò Ô Ò ÒØ Ó ÓØ Ö Ò Ø × Ò× Ø Ø ÐÐ ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø×
Ò × Ø Ö ØÖ Ö ÐÝ ØÓ Ø Ö ØÖÙ ÓÖ Ð× Û Ø ÓÙØ Ú ÓÐ Ø Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ó
ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø׺ ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø Ý Û ÐÐ ÔÙØ Ö ×ØÖ Ø ÓÒ× ÓÒ Ø Ö ×Ø Ó Ø ÔÓ ÒØ× Ò
Ø ÒØ Ö ×Ø Ò × Øº Ì × ÔÓ ÒØ× ÐÐ Ð ÓÒ Ð Ù× Ð Ò × Ò Û Ù× Ø Ñ ØÓ ÓÙÒØ
Ø ÒÙÑ Ö Ó Ð Ù× × × Ø × Ý Ø ØÖÙØ ×× ÒÑ Òغ Ä Ø Ù× ××ÙÑ Ø Ø
Ø ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø ÓÒØ Ò× × Ö ÔØ ÓÒ Ó ØÖÙØ ×× ÒÑ Òظ Ø Ø ×¸ Ú ÖÝ
ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø × × Ø ØÓ ×ÓÑ Ú ÐÙ º Ý Ø Ò Ø ÓÒ Ó ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø Ø Ö
Ò Ø ÑÓ×Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ò S ÓÒ Ð Ù× Ð Ò º Ì × ÔÓ ÒØ Ö ÔÖ × ÒØ× Ð Ø Ö Ð
Ø Ø × Ø × × Ø Ð Ù× º ÁØ Ò Ò ÐÙ Ò Ø ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø Ò ÓÒÐÝ Ø
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø × × Ø ØÓ Ú ÐÙ Ø Ø Ñ × Ø Ð Ø Ö Ð × Ø × Ý
Ø Ð Ù× × ÙÖ ¾º¿º Ì × ÑÔÐ × Ø Ø Ø ØÖÙØ ×× ÒÑ ÒØ × Ö Ý
Ø ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø × Ø × × c Ð Ù× × Ó Ø Ò×Ø Ò Ò ÓÒÐÝ Ø × Ø ÓÒØ Ò×
c ÔÓ ÒØ× ÖÓÑ Ø Ð Ù× Ð Ò ×¸ º º Ø × Þ Ó Ø ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø × 2|U| + c¸ ×Ø ÐÐ
ÙÒ Ö Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø Ú ÖÝ ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø × × Ø ØÓ ×ÓÑ Ú ÐÙ º
ÌÓ ÓÑÔÐ Ø Ø Ö Ù Ø ÓÒ Û Ò ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ö × ÐÛ Ý× Ñ Ü ÑÙÑ
ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø ÓÒ× ×Ø ÒØ Û Ø ØÖÙØ ×× ÒÑ ÒØ Ó Ø Ú Ö Ð ×º Á Ø × ×
ØÖÙ Ø Ò Û Ú Ö Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ØÛ Ò Ø × Þ Ó Ø ÓÚ Ö Ò
Ø ÒÙÑ Ö Ó × Ø × Ð Ù× ×º ××ÙÑ Ø Ø Ø Ö × ÒÓ Ñ Ü ÑÙÑ ÒØ Ö ×Ø Ò
× Ø Ø Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ × ØÓ ØÖÙØ ×× ÒÑ Òغ ÓÒ× Ö Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÒØ Ö ×Ø Ò
× Ø¸ S¸ Ø Ø ÓÒØ Ò× Ø Ð Ö ×Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ ÒØ× ÖÓÑ Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø׺
Ì Ö × Ø Ð ×Ø ÓÒ ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø G Ø Ø × ÒÓØ × Ø¸ º º¸ Ø ÓÒØ Ò× Ð ×× Ø Ò
ØÛÓ ÔÓ ÒØ× Ò Sº Ë Ø Ø Ø G Ý Ü Ò ÓÒ ÓÖ ØÛÓ ÔÓ ÒØ× ÔÔÖÓÔÖ Ø Ðݺ Ä Ø
p ∈ G ÓÒ Ó Ø × ÔÓ ÒØ׺ Ì Ö ×ÓÒ ÓÖ p ÒÓØ Ò Ò S × Ø Ø Ø Ð Ø Ö Ð
Ð Ò Ø Ø ÓÒØ Ò× p Ð×Ó ÓÒØ Ò× ÔÓ ÒØ q ∈ Sº Á Û Ö ÑÓÚ q ÖÓÑ S Ø Ò Û
Ò Ò ÐÙ p Ò S¸ Ø Ö Ý ØØ Ò Ò Û ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø S Û Ø |S| = |S | ÙØ
Û Ø ÓÒ ÑÓÖ ÔÓ ÒØ ÖÓÑ Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø׺ Ì × ÓÒØÖ Ø× ÓÙÖ Ó
35. ¾¾ Ù Ö Ò Ä Ò × Ò ¾¹Ä Ò ÈÓÐÝ ÓÒ×
ÙÖ ¾º¿ Ì ÒØ Ö× Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ ÓÒ Ø Ð Ù× Ð Ò Ò Ò ÐÙ Ò Ø ÒØ Ö¹
×Ø Ò × Ø Ò ÓÒÐÝ Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø × × Ø ´ØÓ ØÖÙ Ò Ø × Ü ÑÔÐ µº
Ó S × Ø Ñ Ü ÑÙÑ × Ø Ò Ò ÓÙÖ ××ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø Ø Ö × ÒÓ Ñ Ü ÑÙÑ
ÒØ Ö ×Ø Ò × Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ØÓ ØÖÙØ ×× ÒÑ Òغ
Ì Ø ÓÖÓÙ Ö Ö ÒÓØ × Ø Ø Ø Ö × ÓÒ ÑÓÖ Ø Ò ØÓ ÔÖÓÚ ÓÖ
Û Ò ÓÒ ÐÙ Ø Ø Ø Ö Ù Ø ÓÒ Ò ÓÒ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ ¸ º º¸ Ø Ø
Ø × Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø Ð Ò × × ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Ø × Þ Ó Ø 3¹Ç ¹Å 2Ë Ì
Ò×Ø Ò º ÌÓ × Ø × Û Ú × Ö ÔØ ÓÒ Ó ÓÛ Ø Ð Ò × Ö ÔÐ Ò Ø
ÔÐ Ò º Ö×Ø Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø× Ö ÔÐ Ú ÒÐÝ ×Ô × Ò ÙÖ ¾º¾º
Æ ÜØ Û ÖÓØ Ø Ø Ö×Ø Ø 45/|U| Ö ×¸ Ø × ÓÒ ÓÒ ØÛ × ÑÙ ¸
Ø Ø Ö ÓÒ Ø Ö Ø Ñ × × ÑÙ Ò ×Ó ÓÖØ º Ë Ò Ø Ò Ð ØÛ Ò ØÛÓ
Ð Ò × Ò Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ø × ÒÓ Ð ×× Ø Ò 45 Ö × Ø × Ñ Ò× Ø Ø ÐÐ
Ð Ò × ÒØ Ö× Øº Ï ÔÐ Ø |C| Ð Ù× Ð Ò × Ò ×Ù Û Ý Ø Ø ÒÓ ØÛÓ Ð Ò ×
Ö Ô Ö ÐРк Ì × Ò ÓÒ × Ðݺ ÆÓÛ¸ Û ÔÐ Ø ÜØÖ Ð Ò × Ø Ø
ÒØ Ö× Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× ØÛ Ò Ø Ð Ù× Ð Ò × Ò Ø Ö Ð Ú ÒØ Ð Ø Ö Ð Ð Ò ×º Ì ×
Ð ÖÐÝ Ú × ÔÓÐÝÒÓÑ Ð × Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø Ð Ò ×º Ï Ú ÔÖÓÚ Ø ÓÐÐÓÛ Ò
Ø ÓÖ Ñº
Ì ÓÖ Ñ ¾º½ ÓÖ Ú ÖÝ δ > 0¸ Ø × Ö ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÅÄ È Û Ø Ò ØÓÖ
Ó 28169/28168 + δº
ÈÖÓÓ º Ú Ò Ò Ò×Ø Ò ØÓ Å 2Ë Ì´2ĵ¸ Ð Ø c ÒÓØ Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÒÙÑ Ö
Ó Ð Ù× × × Ø × Ð º Ï Ò ÓÙÒ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ú Ö Ð × ØÓ |U| ≤ 2|C|¸
× Ò Ð Ù× ÓÒØ Ò× 2 Ð Ø Ö Ð׺ ÖÓÑ Ä ÑÑ ¾º½¸ Ò Ä ÑÑ ¾º¾ Ò Ø×
ÓÐÐÓÛ Ò × Ù×× ÓÒ Û Ò Ö Ø Ø Ø Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð ØÝ Ö Ø Ó ×
3|C| + 6|U| − 2011c/2012 +
2
3|C| + 6|U| − c
2
≥ 28169/28168 + δ,
× Ò Ø ÛÓÖ×Ø × Ó ÙÖ× Û Ò c = |C|º Ì δ Ô Ò × ÓÒ º
2
36. ¾º¿ ÓÒ ÐÙ× ÓÒ ¾¿
ÙÖ ¾º Ì × Ø Ó Ð Ò × Ö Ñ Ò× Ö Ø Ò Ð º Ï Ö Ø Ö ×ÙÐØ Ò
Ð Ò × Ñ ÒØ× Ñ Ø Ø ÓÙÒ ÖÝ Û Ö Ø Ò ÖÖÓÛ ×Ô º
¾º¾º¾ Ì Ê Ù Ø ÓÒ ØÓ Å È
ÁÒ Ø × ÓÒ Ô ÖØ Ó Ø Ö Ù Ø ÓÒ Û Ö Ú Ò Ò ÖÖ Ò Ñ ÒØ Ó ÒÓÒ¹Ô Ö ÐÐ Ð
Ð Ò ×º Ö Ø Ò Ð R ×Ù ÒØÐÝ Ð Ö ØÓ ÓÒØ Ò ÐÐ ÒØ Ö× Ø ÓÒ× ØÛ Ò Ð Ò × Ò
L × Ö Ø º ÓÒ× Ö Ð Ò × Ñ ÒØ Ò R ∩ Lº Ø ÓÒ Ò ÔÓ ÒØ Û ÔÙØ ×Ô
Ò Ø Ö Ø Ò Ð × ¾º º Ì ÓÒ × Ú × Ð ÖÓÑ ÒÝ ØÖ ÔÐ Ø Ó ×Ô × × ÓÙÐ
ÒØ Ö× Ø Ò ÓÒÐÝ Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò Ð Ò × Ñ ÒØ× ÖÓ×׺ Á Ø × Ö Ø Ö ÓÒ
× Ñ Ø Ø Ò Ø ÒØ Ö× Ø ÓÒ× ØÛ Ò Ð Ò × Ñ ÒØ× Û ÐÐ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ØÓ Ö × Ò
Ø × ÔÓÐÝ ÓÒº Ì Ù׸ ÖÓÑ Ù Ö × Ø Ò Ø ÔÓÐÝ ÓÒ Û Ø ÔÓ ÒØ × Ø Ò Ø
ÅÄ Èº Ì Ø ×¸ Û Ò ×ÓÐÚ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò Û
ÑÑ Ø ÐÝ Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÅÄ Èº
Ì ÓÖ Ñ ¾º¾ Ì Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ × ÒÓØ Ò Ø Ð ×× ÈÌ Ëº
¾º¿ ÓÒ ÐÙ× ÓÒ
Ï Ú ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ö ×ØÖ Ø ØÓ 2¹Ð Ò
ÔÓÐÝ ÓÒ× × Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ð º ÁÒ Ø ÓÒ Û Ú Ò ÜÔÐ Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ø
ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö Ø Ó Ó Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ð Ò ÓÚ Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñº ÆÓØ Ø Ø Ø ×Ø
ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö ÓÚ Ö Ò Ð ÓÖ Ø Ñ × Ð Ò Ö
ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö Ø Óº Ì Ù׸ Ò ÓÙØ×Ø Ò Ò ÓÔ Ò ÔÖÓ Ð Ñ × ØÓ Ò ÖÖÓÛ Ø Ô
ØÛ Ò Ø ×Ø ÙÔÔ Ö Ò ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÒÓÛÒ ÓÖ Ø ÔÖÓ Ð Ñº
38. ÔØ Ö ¿
ÓÒ ÖÒ Ò Ø Ì Ñ ÓÙÒ × Ó
ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ×
Ä Ø Ù× ×Ø Ý Û Ø Ø ÖØ ÐÐ ÖÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ð ØØÐ Û Ð º ÁÒ Ø ÔÖ Ú ÓÙ× ÔØ Ö
Û ÒÓÛÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÔÐ Ò ×ÙÖÚ ÐÐ Ò Ñ Ö × ´ÓÖ Ù Ö ×µ Ò Ò
ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ö ÔÖ × ÒØ Ý × ÑÔÐ ÔÓÐÝ ÓÒº ÁÒ Ø × ÔØ Ö Û ×ØÙ Ý Ø
Ö Ð Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÔÐ Ò ÓÒ ÑÓ Ð Ù Ö Ò Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ò ×Ø Ð ×
Ø × ÓÖØ ×Ø ÐÓ× ÙÖÚ ÐÓÒ Û Ø Ù Ö ÑÙ×Ø ØÖ Ú Ð Ò ÓÖ Ö ØÓ ×
Ú ÖÝØ Ò º Ì × ÙÖÚ × ÐÐ Ø × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ º
ÁÒ ÔÓÐÝ ÓÒ× Û Ø ÓÐ × Ò Ò Ø Ö ¹ Ñ Ò× ÓÒ Ð ÔÓÐÝ Ö ¸ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó
Ò Ò × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ × ÒÓÛÒ ØÓ Æȹ Ö ¿¼ º
ÍÒ Ö Ø Ö ×ØÖ Ø ÓÒ Ø Ø ×Ø ÖØ Ò ÔÓ ÒØ × Ú Ò¸ Ò Ò ÆØ Ó× ¿½
ÔÖ × ÒØ Ø Ö×Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ×ÓÐÚ Ò Ø × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ
× ÑÔÐ ÔÓÐÝ ÓÒ׺ Ì ×Ø ÖØ Ò ÔÓ Òظ Û × ÓÙÐ ÐÓ Ø ×ÓÑ Û Ö ÓÒ Ø
ÓÙÒ ÖÝ Ó Ø ÔÓÐÝ ÓÒ¸ × ×ÓÑ Ø Ñ × ÐÐ Ø ÓÓÖ Ò Û ÒÓØ Û Ø Ñ Ò
ÖÓÙØ × Û Ø ÔÖ ÓÖ ×Ô ÓÓÖ× × Ü Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ × Û Ð Û Ø Ñ Ò
ÖÓÙØ × Û Ø ÓÙØ ×Ô ÓÓÖ× Ö ÒÓØ Ó Ø Ò Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ×º Ì × Ð¹
ÓÖ Ø Ñ Û × Ð Ñ ØÓ Ú Ø Ø Ñ ÓÙÒ O(n4
)º
Ä Ø Ö¸ ØÛÓ Ò Û Ð ÓÖ Ø Ñ× ÓÖ Ø × ÓÖØ ×Ø Ü Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÔÖÓ Ð Ñ
Û Ö ÔÙ Ð × º Ö×ظ ×ÙÔÔÓ× O(n3
) Ð ÓÖ Ø Ñ Û × ÔÖ × ÒØ Ý Ì Ò¸ À Ö Ø
Ò ÁÒ ½¼ Ò Ø Ò Ò ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ Ó Ø × Ð ÓÖ Ø Ñ Û × ÔÖ × ÒØ Ý
Ì Ò Ò À Ö Ø ½¼ º Ì Ò Û Ð ÓÖ Ø Ñ Ö × × Ø Ø Ñ ÓÙÒ Ó Ø
× ÓÖØ ×Ø Ü Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÔÖÓ Ð Ñ Ý Ð Ò Ö ØÓÖº
ÓÖ Ø × ÓÖØ ×Ø Ó Ø Ò Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö × Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ø
Ø ×ÙÔÔÓ× Ø Ñ ÓÙÒ O(n4
) ¾ ¸ º Ì × Ð ÓÖ Ø Ñ Ö×Ø Ò × Ø × ÓÖØ ×Ø
Ü Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ × ÓÖ × Ø Ó ÓÓÖ׺ Ì Ò¸ Ý ÐÓ ÐÐÝ Ù×Ø Ò Ü
Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÖÓÙÒ Ø× ÓÓÖ¸ × ÓÖØ ×Ø Ó Ø Ò Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ × ÓÙÒ º
ÁÒ Ø × ÔØ Ö¸ Û × ÓÛ Ø Ø Ø Ö Ü ×Ø× Ò Ò×Ø Ò Ó Ø Ü Û Ø Ñ Ò
ÖÓÙØ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Û Ø Ð ÓÖ Ø Ñ× Ñ ÒØ ÓÒ ÓÚ Ú ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ
Ò Ø Ñ º ÁÒ Ø Ò ÜØ × Ø ÓÒ¸ Û ÔÖ × ÒØ ×ÓÑ Ò Ø ÓÒ× Ò ÔÖ Ð Ñ Ò ÖÝ Ö ×ÙÐØ׺
39. ¾ ÓÒ ÖÒ Ò Ø Ì Ñ ÓÙÒ × Ó ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ×
c
δ
ψ
δ × Ø Ò ÓÑ Ò Ò Ð
ψ × Ø ÓÙØ Ó Ò Ò Ð
R
ÓÙØ Ó Ò × Ñ ÒØ
Ò ÓÑ Ò × Ñ ÒØ
ÙÖ ¿º½ Ê Ü ÓÒ ÓÒ ÜØ Ò× ÓÒ׺
ÁÒ Ë Ø ÓÒ ¿º½ × ÓÖØ ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ü ×Ø Ò × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ð¹
ÓÖ Ø Ñ× × Ú Òº ÁÒ Ë Ø ÓÒ ¿º¾ Û × ÓÛ Ø Ø Ø Ò ÐÝ× × Ó Ø ÔÖ Ú ÓÙ×
Ð ÓÖ Ø Ñ× ¿½¸ ½¼ Ö ÖÖÓÒ ÓÙ׺
¿º½ × Ö ÔØ ÓÒ Ó ÖÐÝ ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ×
ÌÝÔ ÐÐݸ ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ ×Ø ÖØ× Ý ÓÑÔÙØ Ò Ò Ò Ø Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ º
Ý Ó Ò ÒÙÑ Ö Ó Ù×ØÑ ÒØ× ÓÒ Ø Ò Ø Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ¸ Ø × ÓÖØ ×Ø
Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ô ×× Ò Ø ÖÓÙ Ø ÓÓÖ × ÓÙÒ º Ì Ù×ØÑ ÒØ× Ö Ñ
Ø Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× ØÛ Ò Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ò Ø ×× ÒØ Ð Ð Ø ÜØ Ò× ÓÒ×
Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ dº ÜØ Ò× ÓÒ× Û Ø Û Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ñ × Ö Ø ÓÒ
ÓÒØ Ø× Ö ÐÐ Ø Ú º Ì Ö Ñ ÒØ× ÓÒØ Ò Ò Ø Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× Ó
Ø Ø Ú ÜØ Ò× ÓÒ× Ö ÐÐ Ø Ø Ú Ö Ñ ÒØ× Ò Ø × Ø ÓÒØ Ò Ò ÐÐ
Ø Ú Ö Ñ ÒØ× × ÐÐ Ø Ø Ú Ö Ñ ÒØ × Øº Ì Ö Ñ ÒØ × Ø Ó Ø Ò Ø Ð
Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ × ÐÐ Ø Ò Ø Ð Ö Ñ ÒØ × Øº Ì Ò Ø Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ×
Ø × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ö Ø Ò ÓÒ Ø Ö Ñ ÒØ× Ò Ø Ò Ø Ð Ö Ñ ÒØ
× Øº
Ì Ö×Ø Ð Ò × Ñ ÒØ Ó Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ R Ø Ø ÒØ Ö× Ø× Ò ÜØ Ò× ÓÒ c ×
ÐÐ Ø Ò ÓÑ Ò Ð Ò × Ñ ÒØ Ó R Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ c Ò Ø Ð ×Ø Ð Ò × Ñ ÒØ
Ó R Ø Ø ÒØ Ö× Ø× c × ÐÐ Ø ÓÙØ Ó Ò Ð Ò × Ñ ÒØ Ó R Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ c
× ÙÖ ¿º½º Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ñ Ý ÖÓ×× Ò ÜØ Ò× ÓÒ ÑÓÖ Ø Ò ÓÒ ÙØ
Ø × ÓÒÐÝ Ø Ò ÓÑ Ò Ò Ø ÓÙØ Ó Ò Ð Ò × Ñ ÒØ× Ø Ø Ö Ó ÒÝ ÒØ Ö ×Ø
ØÓ Ù׺ Ì Ò ÓÑ Ò Ò Ð Ó R Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ c × Ø Ò Ð ØÛ Ò c Ò
Ø Ò ÓÑ Ò Ð Ò × Ñ ÒØ Ó R Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ cº Ì ÓÙØ Ó Ò Ò Ð Ó R Û Ø
Ö ×Ô Ø ØÓ c × Ø Ò Ð ØÛ Ò Ø ÓÙØ Ó Ò Ð Ò × Ñ ÒØ Ó R Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ
c Ò Ø ÜØ Ò× ÓÒ c × ÙÖ ¿º½º
Ä Ø f Ò Ø Ú Ö Ñ ÒØ ÓÒ Ò ÜØ Ò× ÓÒ c Ò Ð Ø r Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ
40. ¿º½ × Ö ÔØ ÓÒ Ó ÖÐÝ ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ× ¾
´ µ
−1¹ Ù×ØÑ ÒØ 0¹ Ù×ØÑ ÒØ +1¹ Ù×ØÑ ÒØ +1¹ Ù×ØÑ ÒØ
+1¹×Û Ø
´ µ
´ µ´ µ ´ µ
Ï Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ø Ö Ø Ù×ØÑ ÒØ
Ø Ú Ö Ñ ÒØ Ø Ö Ø Ù×ØÑ ÒØ
Ï Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÓÖ Ø Ù×ØÑ ÒØ
Ø Ú Ö Ñ ÒØ ÓÖ Ø Ù×ØÑ ÒØ
ÙÖ ¿º¾ Ì ÔÓ×× Ð ØÝÔ Ó Ù×ØÑ ÒØ׺
Ó Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ R¸ ÐÝ Ò ÓÒ Ø Ð Ø ´Ö ص Ò ÔÓ ÒØ Ó fº Ì Û Ø Ñ Ò
ÖÓÙØ × Ù×Ø Ð ÐÓÒ c ´½µ Ø Ò ÓÑ Ò Ò Ð Ó R Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ c ×
×Ñ ÐÐ Ö ´Ð Ö Öµ Ø Ò Ø ÓÙØ Ó Ò Ò Ð º ´¾µ R × ×Ø ÐÐ Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ø
Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ × ÑÓÚ ØÓ Ø Ð Ø ´Ö ص¸ Ø Ú Ø Ò fº
Ø Ö Ù×ØÑ Òظ Ø × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ¸ Ö Ø Ò ÓÒ Ø Ö ¹
Ñ ÒØ× Ó Ø Ö ×ÙÐØ Ò Ö Ñ ÒØ × Ø × ÓÑÔÙØ Ù× Ò Ø ÔÖÓ ×× Ó ÙÒÖÓÐÐ Ò
ÔÓÐÝ ÓÒ× ¿¼¸ ¿½ º Ì Ø Ñ ÓÙÒ Ó Ø × ÔÖÓ ×× × O(n)º
Ì Ó Ø Ù×ØÑ ÒØ× × ØÓ Ò Ø Ø Ú Ö Ñ ÒØ × Ø ×Ó Ø Ø
Ø × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ö Ø Ò ÓÒ Ø Ö Ñ ÒØ× Ò Ø Ò Û Ø Ú Ö ¹
Ñ ÒØ × Ø × × ÓÖØ Ö Ø Ò Ø × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ö Ø Ò ÓÒ Ø Ö ¹
Ñ ÒØ× Ò Ø ÓÐ Ø Ú Ö Ñ ÒØ × Øº Ì Ö Ü ×Ø Ø Ö ØÝÔ × Ó Ù×ØÑ ÒØ׺
−1¹ Ù×ØÑ ÒØ Ñ × Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø Ú Ö Ñ ÒØ× Ö × Ý ÓÒ × ¹
ÙÖ ¿º¾´ µº Ì Ù×ØÑ ÒØ × × ØÓ ÐÓÒ Ø ÜØ Ò× ÓÒ c¸ Ø Ù×Ø
Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ð × ÓÒ c ÓØ ÓÖ Ò Ø Ö Ø Ù×ØÑ Òغ 0¹ Ù×ØÑ ÒØ
Ö ÔÐ × ÓÒ Ö Ñ ÒØ Ò Ø Ø Ú Ö Ñ ÒØ × Ø Û Ø ÒÓØ Ö Ö Ñ ÒØ × ¹
ÙÖ ¿º¾´ µº Ò ÐÐݸ Ø +1¹ Ù×ØÑ ÒØ Ò Ø +1¹×Û Ø Ñ Ø ÒÙÑ Ö Ó
Ö Ñ ÒØ× Ò Ö × Ý ÓÒ × ÙÖ ¿º¾´ µ¹´ µº Ì +1¹ Ù×ØÑ ÒØ Ø × Ö
Ó Ø × ØÙ Ø ÓÒ Û Ö Ø Ö Ø ÓÒ ÓÒØ Ø Ó Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ×ÔÐ Ø× ÒØÓ
ØÛÓ ÓÖ Ø Ö Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ׺
ÓÒ× Ö ØÛÓ ÒØ Ö× Ø Ò ÜØ Ò× ÓÒ× ci Ò cj Ò Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ö ¹
Ø Ò ÓÒ Ø × ÜØ Ò× ÓÒ× Ø Ø ÒØ Ö× Ø ÓÒ ÔÓ Òغ Ä Ø δi Ò δj ÒÓØ Ø
Ò ÓÑ Ò Ò Ð × Ó Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ Ø ØÛÓ ÜØ Ò× ÓÒ× Ò
Ð Ø ψi Ò ψj ÒÓØ Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÓÙØ Ó Ò Ò Ð ×º ÙÖØ ÖÑÓÖ ¸ Ð Ø ξ
Ø Ò Ð ØÛ Ò Ø ØÛÓ ÒØ Ö× Ø Ò ÜØ Ò× ÓÒ׺
41. ¾ ÓÒ ÖÒ Ò Ø Ì Ñ ÓÙÒ × Ó ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ×
Ä ÑÑ ¿º½ ´½µ −1¹ Ù×ØÑ ÒØ ÐÓÒ ci Ø × ÔÐ Ò ÓÒÐÝ ψj < δi −ξº
´¾µ −1¹ Ù×ØÑ ÒØ ÐÓÒ cj Ø × ÔÐ Ò ÓÒÐÝ ψj > δi + ξº
´¿µ +1¹ Ù×ØÑ ÒØ Ø × ÔÐ Ò ÓÒÐÝ ψj < ξ − δiº
ÈÖÓÓ º Ý Ò Ø ÓÒ¸ −1¹ Ù×ØÑ ÒØ ÐÓÒ ci Ò −1¹ Ù×ØÑ ÒØ ÐÓÒ cj Û ÐÐ
Ñ ÒØ Ò Ú × Ð Øݺ ÁØ ÓÐÐÓÛ× Ø Ö ÓÖ ÖÓÑ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ù×Ø Ð ØÝ Ø Ø
−1¹ Ù×ØÑ ÒØ ÐÓÒ ci Ø × ÔÐ Ò ÓÒÐÝ ψi < δi Ò −1¹ Ù×ØÑ ÒØ
ÐÓÒ cj Ø × ÔÐ Ò ÓÒÐÝ ψj > δjº ÆÓØ Ð×Ó Ø Ø ψj = ψi − ξ Ò
δj = δi + ξº Ï Ø Ø × Ð Ö Ø ÓÒ׸ ´½µ Ò ´¾µ ÓÐÐÓÛ× ØÖ Ú ÐÐÝ
´½µ ψj < δi − ξ ⇔ ψi − ξ < δi − ξ ⇔ ψi < δiº
´¾µ ψj > δi + ξ ⇔ ψj > δjº
´¿µ Ì Ø Ö ÕÙ Ú Ð Ò × ×ÓÑ Û Ø ÑÓÖ ÙÐØ ØÓ ÔÖÓÚ × Ò Ø Ö Ð Ø ×
ØÓ Ø ÔÖÓ ×× Ó ÙÒÖÓÐÐ Ò ÔÓÐÝ ÓÒ׺ Ç × ÖÚ Ø Ø Ø +1¹ Ù×ØÑ ÒØ
ØÝÔ × ÒÓØ ÓÒ× ÕÙ Ò Ó Ø Ù×Ø Ð ØÝ Ò Ø ÓÒ × Ø ØÛÓ ØÝÔ ×
Ó −1¹ Ù×ØÑ ÒØ× Ö º Ê Ø Ö¸ Ø × ØÓ × Ò × ÓÑÔÐ Ñ ÒØ ØÓ Ø Ø
Ò Ø ÓÒº Ì Ö ÓÖ ¸ Û ÒÒÓØ Ö Ú Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÖÓÑ Ø Ò Ø ÓÒ
Ó Ù×Ø ÐØÝ ÐÓÒ º
ÙÖ ¿º¿´ µ × Ö × × ØÙ Ø ÓÒ Ò Û Ø ÓÙØ ÓÑ × +1¹ Ù×ØÑ Òغ
Ç × ÖÚ Ø Ø ÓØ δi Ò ψj Ö ×Ñ ÐÐ Ö Ø Ò ξ ×Ó Ø Ð ×Ø ÒÓ −1¹ Ù×ØÑ ÒØ
× ÔÓ×× Ð Ö º ÁÒ ÙÖ ¿º¿´ µ Û Ú Ö Ð Þ Ø +1¹ Ù×ØÑ ÒØ Ò
ÖÓÐÐ ÓÙØ Ø Ô ÖØ Ó Ø ÔÓÐÝ ÓÒ ÓÒØ Ò Ò ÓÙÖ ÜØ Ò× ÓÒ׺ Ì ×
Ð Ò × Ñ Ö Ø ÓÐ ÖÓÙØ ¸ ÒÓØ R Ò Ø ÙÖ ¸ × Ú Û Ø Ö Ø ¹
Ù×ØÑ ÒØ Ò Ø ×ØÖ Ø Ð Ò ØÛ Ò s Ò e × Ø Ò Û ÖÓÙØ ¸ ÒÓØ
R º Ð ÖÐݸ Ø Ò Û ÖÓÙØ × × ÓÖØ Ö Ø Ò Ø ÓÐ ÖÓÙØ Ò Ø Ò Û ÖÓÙØ
ÖÓ×× × ÓØ ci Ò cj¸ º º Ø Ö Ø Ù×ØÑ Òظ Ø ÖÓÙØ Ö Ø× ÓÒ ÓØ
ÜØ Ò× ÓÒ׺ Ì Ö Ø Ð Ó × ÖÚ Ø ÓÒ ØÓ Ñ Ö × Ø ÓÐÐÓÛ Ò º Ä Ø
Ù× ÜØ Ò Ø Ò ÓÑ Ò Ð Ò × Ñ ÒØ ÛºÖºØº ci ´E Ò Ø ÙÖ µº Á Ø
ÖÓÙØ × ØÓ ÖÓ×× ÓØ ci Ò cj Ø ÑÙ×Ø Ð ÓÚ E ´Ù× Ò Ø ÓÓÖ Ò Ø
×Ý×Ø Ñ ÑÔÐ Ø Ò Ø ÙÖ µº Ì Ø ×¸ Ø ÓÙØ Ó Ò Ò Ð ÛºÖºØº cj ÓÖ
Ø +1¹ Ù×ØÑ ÒØ ÑÙ×Ø ×Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ø Ò Ð ØÛ Ò E Ò cjº
ÆÓÛ¸ Ø Ò Ð ØÛ Ò E Ò cj × ξ − δiº Ì Ù׸ ψj < ξ − δi Ò Ø
Ð Ñ × ÔÖÓÚ Òº
2
Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ × ÒÓØ Rk
Û Ö k × Ø ÒÙÑ Ö Ó Ù×ØÑ ÒØ× Ø Ø
Ú Ò Ñ × Ò Ø Ò Ø Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ R0
Û × ÓÑÔÙØ º Û Ø Ñ Ò
ÖÓÙØ Û Ø ÒÓ Ù×Ø Ð Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× × × ØÓ ÒÓÒ¹ Ù×Ø Ð ¸ Û Ö ×
Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ø Ø ÓÒØ Ò× ÓÒÐÝ ÓÒ Ù×Ø Ð Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ × ÐÐ
ÓÒ ¹ÔÐ ¹ Ù×Ø Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ º
42. ¿º½ × Ö ÔØ ÓÒ Ó ÖÐÝ ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ× ¾
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
cj
s
e
ξ
R
s
ci
ξ
ψj
e
δi
α
´ µ ´ µ
α = δi × Ò Ø Ý Ö ÐØ ÖÒ Ø Ò Ð ×º
E
ci
cj
R
R
cj
ÙÖ ¿º¿ ÁÐÐÙ×ØÖ Ø Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ó +1¹ Ù×ØÑ Òغ
Ò Ò ÆØ Ó× ¿½ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ö × ÓÒÐÝ ÓÒ ÒÓÒ¹ Ù×Ø Ð Ü Û Ø ¹
Ñ Ò ÖÓÙØ Ò ÔÓÐÝ ÓÒ Ò Ø Ø Ø × ÖÓÙØ × Ø × ÓÖØ ×Ø Ü Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ
Ò Ø ÔÓÐÝ ÓÒº
ÓÒ× Ö Ò Ò Ø Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ R0
ÔÖ ÓÑÔÙØ Ý ×ÓÑ Ñ Ø Ó º Ì ×
ÖÓÙØ Ñ Ý Ú × Ú Ö Ð Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× Ø Û Ù×ØÑ ÒØ× Ò Ñ º Ò
Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø × ÖÙÐ Ø Ø Ø ÖÑ Ò × Ø ÓÖ Ö Ò Û Ù×ØÑ ÒØ×
Ö ØÓ Ñ º ÙÖØ ÖÑÓÖ ¸ × ÕÙ ÒØ Ð Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø × Ò Ù×ØÑ ÒØ
ÙÖ ×Ø Ø Ø ÐÛ Ý× Ù×Ø Ø Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× Ò × ÕÙ Ò ÖÓÑ ×ÓÑ ×Ø ÖØ Ò
ÔÓ ÒØ v¸ Ò×ÙÖ Ò Ø Ø Ø Ô ÖØ Ó Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ØÛ Ò v Ò Ø Ó× Ò
Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ × ÒÓÒ¹ Ù×Ø Ð ¸ º º Ø Ø Ø ÓÒØ Ò× ÒÓ Ù×Ø Ð Ö Ø ÓÒ
ÔÓ ÒØ׺
Ì ÓÖ Ò Ð ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ Ó Ò Ò ÆØ Ó× ¿½ Ù× × × ÕÙ ÒØ Ð ¹
Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø ÐÐ Ø Ö×Ø Ó Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø ¸ Ø Ø Ù×Ø× Ø
Ø Ö×Ø Ù×Ø Ð Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ò ÓÙÒØ Ö ÙÖ Ò ÐÓ Û × Û Ð Ó Ø
Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ¸ ×Ø ÖØ Ò Ø Ø ÓÓÖº Í× Ò Ø × Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø ¸ Ò
Ò ÆØ Ó× ÖÖÓÒ ÓÙ×ÐÝ Ó Ø Ò Ø Ø Ñ ÓÙÒ O(n4
) ÓÖ Ø Ö Ð ÓÖ Ø Ñº
Ì Ò¸ À Ö Ø Ò ÁÒ Ð Ñ Ø Ø Ø ÑÓ×Ø Ð Ò Ö ÒÙÑ Ö Ó Ù×ØÑ ÒØ×
× Ò ØÓ Ñ ÓÒ ¹ÔÐ ¹ Ù×Ø Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÒÓÒ¹ Ù×Ø Ð Ù× Ò
ÒÝ Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø ½¼ º × ÓÒ Ø × Ö ×ÙÐØ Ø Ý ÓÒ×ØÖÙ Ø Û Ø Ñ Ò
ÖÓÙØ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐÝ ÓÑÔÙØ × ×Ó ÐÐ Û Ø Ñ Ò Ô Ø × ØÛ Ò
d Ò ×× ÒØ Ð Ð Ø ÜØ Ò× ÓÒ Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ dº Ú Ò ÒÓÒ¹ Ù×Ø Ð
Û Ø Ñ Ò Ô Ø Pi ØÛ Ò d Ò Ø ÜØ Ò× ÓÒ ci Ò Û Û Ø Ñ Ò Ô Ø P0
i+1
ØÛ Ò d Ò ci+1 × ÓÑÔÙØ º Ì × Û Ø Ñ Ò Ô Ø × ÓÒ ¹ÔÐ ¹ Ù×Ø Ð
Ò Ù× Ò Ø Ö Ð Ñ¸ Ø Ò Ù×Ø ÒØÓ Ø ÒÓÒ¹ Ù×Ø Ð Û Ø Ñ Ò
Ô Ø Pi+1 Û Ø Ð Ò Ö ÒÙÑ Ö Ó Ù×ØÑ ÒØ׺ Ì × Ò Ö Ñ ÒØ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ Û ×
43. ¿¼ ÓÒ ÖÒ Ò Ø Ì Ñ ÓÙÒ × Ó ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ×
ÔÖÓÔÓ× ØÓ Ú Ø Ø Ñ ÓÙÒ O(n3
)º
Ì Ú ¹ Ò ¹ ÓÒÕÙ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ½¼ Ú × Ø Ò Ø Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ
ÒØÓ ÒÓÒ¹ Ù×Ø Ð ×Ù ÖÓÙØ ×¸ ÐÐ Ô ÖØ Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ×º Ô ÖØ Ð Û Ø ¹
Ñ Ò ÖÓÙØ Rst × Û Ø Ñ Ò Ô Ø ØÛ Ò ØÛÓ ÔÓ ÒØ× s Ò t¸ ÐÓ Ø ÓÒ Ø Ü¹
Ø Ò× ÓÒ× ci Ò cj Ö ×Ô Ø Ú Ðݺ È Ö× Ó ÒÓÒ¹ Ù×Ø Ð Ô ÖØ Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ×
Ö Ñ Ö ÒØÓ ÓÒ ¹ÔÐ ¹ Ù×Ø Ð Ô ÖØ Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ×º Ì × ÖÓÙØ × Ö
Ø Ò Ù×Ø ÒØÓ ÒÓÒ¹ Ù×Ø Ð Ô ÖØ Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ × Ù× Ò Ø Ø Ò ÕÙ
Ú ÐÓÔ ÓÖ Ø Ò Ö Ñ ÒØ Ð Ð ÓÖ Ø Ñº Ì Ô ÖØ Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ × Ö Ô Ö¹
Û × Ñ Ö ÙÒØ Ð × Ò Ð ÒÓÒ¹ Ù×Ø Ð Ô ÖØ Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ö Ñ Ò׺ Ì ×
ÖÓÙØ × ÕÙ Ð ØÓ Ø × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ó Ø ÔÓÐÝ ÓÒº
Ä ÑÑ ¿º¾ Ì Ò Ò À Ö Ø ½¼ Ì Ø Ñ ÓÙÒ Ó Ø Ú ¹ Ò ¹ ÓÒÕÙ Ö
Ð ÓÖ Ø Ñ × O(n2
)¸ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ø × O(j − i) Ù×ØÑ ÒØ× ØÓ Ò Ø
× ÓÖØ ×Ø Ô ÖØ Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÖÓÑ Ø ÓÒ ¹ÔÐ ¹ Ù×Ø Ð ÖÓÙØ Rst¸ Û Ø
s ÐÝ Ò ÓÒ Ø ÜØ Ò× ÓÒ ci Ò t ÐÝ Ò ÓÒ Ø ÜØ Ò× ÓÒ cjº
ÍÒ ÓÖØÙÒ Ø Ðݸ × Û Û ÐÐ × ÓÛ Ò Ø Ò ÜØ × Ø ÓÒ¸ Ø ÙÖ ×Ø × Ù× ØÓ
× ÓÖØ Ò Ù×Ø Ð ÖÓÙØ × Ò Ü Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÖÙÒÒ Ò Ø Ñ º Ì × ×ÔÖÓÚ ×
Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ ÓÙÒ × Ð Ñ Ò ¿½¸ ½¼ ¸ ½¼ º
¿º¾ Ì Ñ ÓÙÒ × Ó ÖÐÝ ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ×
ÙÖ ¿º × Ö × Ø ÑÔ Ø ÓÒ Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ù× Ý −1¹ Ò
+1¹ Ù×ØÑ Òغ × Û Ò × ¸ Ø Ò ÓÑ Ò Ð Ò × Ñ ÒØ Ó Ø Û Ø Ñ Ò
ÖÓÙØ Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ Ø × ÓÖÒ Ö Ó× ÐÐ Ø × Ù× Ó Ø × Ù×ØÑ ÒØ׺ Ì ×
Ó× ÐÐ Ø ÓÒ Ò × Ø Ö Ø ÓÒ Ò Û Ø Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× ÓÒ Ø ÖÐ Ö Ü¹
Ø Ò× ÓÒ× Ö ÑÓÚ º Á Û Ö ÒÓØ Ö Ùи Ø × Ò Ò Ö Ø ÓÒ Ñ Ý Ö ×ÙÐØ
Ò Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ø Ø Ó× ÐÐ Ø × ÓÚ Ö Ö Ñ ÒØ Ò ÔÓ Òغ Ý ÐÐÓÛ Ò Ó× Ð¹
Ð Ø ÓÒ× ÓÚ Ö Ö Ñ ÒØ Ò ÔÓ ÒØ׸ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ù×ØÑ ÒØ× Ò ØÓ Ò Ø
× ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ñ Ý ÓÑ ÜÔÓÒ ÒØ Ðº Ì Ö ÓÖ ¸ ÐÐ Ù×ØÑ ÒØ
× ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ× ØÖÝ ØÓ ÚÓ ÓÖ ÓÒØÖÓÐ Ø × Ó× ÐÐ Ø ÓÒ׺ Ç × ÖÚ Ø Ø
Ø −1¹ Ù×ØÑ ÒØ Ò ÙÖ ¿º Û × ÐÓÒ ci Ò×Ø Ó cj¸ Ø Ò Ø ÓÙØ Ó Ò
Ð Ò × Ñ ÒØ Ó Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ Ø × ÓÖÒ Ö ÛÓÙÐ Ó× ÐÐ Ø º
Ì Ö ÓÖ ¸ Ø × ÒÓØ ÔÓ×× Ð ØÓ ÚÓ Ó× ÐÐ Ø ÓÒ× Ó Ø Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ׺
Ò Ø ÓÒ ¿º½ Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ × ÕÙ ÒØ Ð Ù×ØÑ ÒØ
ÙÖ ×Ø × Ò Ù×ØÑ ÒØ Ø Ø Ù× × Ø Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× Ò Ø Ù×Ø Ô ÖØ
Ó Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ØÓ Ó× ÐÐ Ø º
Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ× ÔØÙÖ Ø ÒÓØ ÓÒ Ø Ø Ø Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× Ò Ø ¹
Ù×Ø Ô ÖØ Ó Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ×Û Ô× Ò ÓÖØ ÐÓÒ ÜØ Ò× ÓÒ׸ º º¸
44. ¿º¾ Ì Ñ ÓÙÒ × Ó ÖÐÝ ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ× ¿½
01 01
00001111 Critical point
ci
´ µ
cj
s
cj r
s
r pij
ci
r pij r
ÓÖ Ù×ØÑ ÒØ
Ø Ù×ØÑ ÒØ
Ø Ö Ù×ØÑ ÒØ
´ µ
ÙÖ ¿º ÌÛÓ ØÝÔ × Ó Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ׺
ÒÓ Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ× Ó ÙÖ¸ Ø Ò Ø Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× Ò Ø Ù×Ø Ô ÖØ Ó
Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Û ÐÐ ÐÛ Ý× ÑÓÚ Ò Ø × Ñ Ö Ø ÓÒ¸ Ò Ò ¸ Ö ¹
Ñ ÒØ Û ÐÐ Ò Ú Ö Ø Ú ÑÓÖ Ø Ò ÓÒ º Á Û Ó ÐÐÓÛ Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ׸
Ø ÓÒ× ÕÙ Ò × Ö Ú ×Ø Ø Ò × Û ÒÓÛ × ÐÐ × º
Ú Ò × ÕÙ ÒØ Ð Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø ¸ Ø Ö Ö ØÛÓ ØÝÔ × Ó Ö Ø Ð ¹
Ù×ØÑ ÒØ׸ ÓÒ +1¹ Ù×ØÑ ÒØ Ò ÓÒ −1¹ Ù×ØÑ Òغ Ä Ø Ù× ××ÙÑ Ø Ø Ø
Ô ÖØ Ð Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Rsr × Ø Ù×Ø Ô ÖØ Ó Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÓÖ
Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ Ò Rsr Ø × Ñ Ô ÖØ Ø Ö Ø Ù×ØÑ ÒØ × ¹
ÙÖ ¿º º Ì Ù×Ø Ð Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× Ó Rsr Ö Ø Ö×Ø Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ×
ØÓ Ù×Ø Ø Ö Ø Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ Ù×Ø Ñ º Ì ÔÓ×× Ð Ö Ø Ð ¹
Ù×ØÑ ÒØ× Ø pij Ö Ø −1¹ Ù×ØÑ ÒØ ÐÓÒ cj¸ × × Ö Ò ÙÖ ¿º ´ µ
Ò Ø +1¹ Ù×ØÑ ÒØ Ø Ø ÒØÖÓ Ù × Ò Û Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ ÓÒ ci¸ × × ÓÛÒ Ò
ÙÖ ¿º ´ µº
Ú Ò Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ Ø Ø ÜØ Ò× ÓÒ× ci Ò cj¸ Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ ÓÒ
Ø Ö ÜØ Ò× ÓÒ × ÔÓ ÒØ Ø Ø Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ×Û Ô× ÓÚ Ö ÓØ ÓÖ
Ò Ø Ö Ø Ö Ø Ð Ù×ØÑ Òغ Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ × Ø Ù× Ô ×× ØÛ Ý Ø
Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ º Á Ò Ù×ØÑ ÒØ × Ñ ×ÓÑ Û Ö ÓÒ Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ
× Ø × Ô ×× Ò Ø ÖÓÙ Ö Ø Ð ÔÓ Òظ Ø Ò Ø × Ù×ØÑ ÒØ Û ÐÐ ÙÒÑ
Ø × ÓÒ Ø Ñ Ø Ø Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ô ×× × Ø ÖÓÙ Ø Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ º º¸
Ò Ó× ÐÐ Ø ÓÒ ÓÚ Ö Ö Ñ ÒØ Ò ÔÓ ÒØ Û ÐÐ Ó ÙÖº
Ì Ò¸ À Ö Ø Ò ÁÒ ½¼ Ð Ñ Ø Ø¸ Û Ð Ù×Ø Ò Ô ÖØ Ð Û Ø Ñ Ò
ÖÓÙØ Rst Ù× Ò ÒÝ Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø ¸ Ò Ø Ú ÜØ Ò× ÓÒ ÓÑ × Ò Ø Ú ¸
Ø Ò Ø Ø ÜØ Ò× ÓÒ Û ÐÐ ÒÓØ ÓÑ Ø Ú Òº Ì × Ñ Ò× Ø Ø −1¹
Ù×ØÑ ÒØ Ø × ÔÐ Ø Ò ÒØ Ö× Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ p ØÛ Ò Ø ÜØ Ò× ÓÒ× ci Ò
cj¸ Ø Ò ÒÓ +1¹ Ù×ØÑ ÒØ Û ÐÐ Ñ Ø p¸ ÓÖ Ú Ú Ö× º Ï Ð Ñ Ø Ø Ø
45. ¿¾ ÓÒ ÖÒ Ò Ø Ì Ñ ÓÙÒ × Ó ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ×
Ö×Ø Ó Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø Ñ Ý ÓÓ× ØÓ Ô Ö ÓÖÑ Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ
Ø Ò ÒØ Ö× Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ p Ø Ø Ù× × Ö Ø Ð +1¹ Ù×ØÑ ÒØ ØÓ Ñ Ø
ÒÓØ Ö ÒØ Ö× Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ pº Ì × +1¹ Ù×ØÑ ÒØ Ò ÓÒ×ØÖÙ Ø ×Ó Ø Ø Ø
× Ø ÒÚ Ö× Ó ÔÖ Ú ÓÙ×ÐÝ Ô Ö ÓÖÑ Ö Ø Ð −1¹ Ù×ØÑ Òظ Ø Ù× Ñ Ò
Ø Ú Ø ÜØ Ò× ÓÒ Ø Ú Òº Ç Ú ÓÙ×Ðݸ Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ× Ñ Ý Ó ÙÖ
Ù× Ò Ø Ö×Ø Ó Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø º Ì Ù׸ Ø × Ö ×ÙÐØ ÓÒØÖ Ø× Ø
Ð Ñ Ó Ì Ò Ò À Ö Ø º
Ï × ÐÐ ÒÓÛ ÔÖÓÚ ÓÙÖ Ð Ñº Ì Ö ÓÖ ¸ Ð Ø Ù× ××ÙÑ Ø Ø Ö Ø Ð Ù×ع
Ñ ÒØ × Ø Ò ÔÐ Ø Ø ÒØ Ö× Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ p ØÛ Ò ØÛÓ ÜØ Ò× ÓÒ× ck Ò
cl Ò Ð Ø q Ö Ø Ð ÔÓ ÒØ Ú Ò Ý Ø × Ö Ø Ð Ù×ØÑ Òغ Ï Û ÐÐ Ù Ð
ÓÖÒ Ö ÔÖ Ú ÓÙ× ØÓ ck Ò cl¸ ÓÒ× ×Ø Ò Ó Ø ÜØ Ò× ÓÒ× ci Ò cjº Ì × ÓÖÒ Ö
× ØÓ ÔÐ ×Ó Ø Ø Ø Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ× Ø ÔÐ Ø Ø ÒØ Ö× Ø ÓÒ
ÔÓ ÒØ p ØÛ Ò ci Ò cjº Ì × × Ú Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ýº ××ÙÑ Ø Ø
Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ × Ö Ø Ò Ø p Ò Ø Ø Ø × ÒÓÒ¹ Ù×Ø Ð ØÛ Ò Ø
×Ø ÖØ Ò ÔÓ ÒØ s Ò p¸ Û ÒÓØ Ø Ø Ô ÖØ Ó Ø ÖÓÙØ Ý Rspº Ì ÓÖÒ Ö ×
ØÓ ÓÒ×ØÖÙ Ø Ò ×Ù Û Ý Ø Ø¸ Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÓÒØ ÒÙ × ÖÓÑ p ØÓ
q¸ Ø Ò Ö Ø Ð +1¹ Ù×ØÑ ÒØ × ØÓ Ñ Ø pº ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò ¸ Ø
Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÓÒØ ÒÙ × ÖÓÑ p ØÓ p ¸ Ø Ò Ö Ø Ð −1¹ Ù×ØÑ ÒØ × ØÓ
Ñ º Ä Ø δ Ø Ò ÓÑ Ò Ò Ð Ó Rsp Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ ci Ò Ð Ø ψq Ò ψp
Ø ÓÙØ Ó Ò Ò Ð × Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ cj Ó Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ × Rpq Ò Rpp
Ö ×Ô Ø Ú Ðݺ ÙÖØ ÖÑÓÖ ¸ Ð Ø ξ Ø Ò Ð ØÛ Ò Ø ÜØ Ò× ÓÒ× ci Ò cjº
Ö Ø Ð +1¹ Ù×ØÑ ÒØ Ó ÙÖ× Ø p ψq < ξ −δ ´½µ Ò Ö Ø Ð −1¹ Ù×ØÑ ÒØ
Ø × ÔÐ Ø p ψp > ξ + δ ´¾µ¸ ÓÖ Ò ØÓ Ä ÑÑ ¿º½º Ì Ù׸ Ø Ò Ð
ØÛ Ò Ø ÓÙØ Ó Ò Ð Ò × Ñ ÒØ× pp Ò pq × ϕ = ψp −ψq > 2δ ´¿µº Ç × ÖÚ
Ø Ø Û Ò ÓÓ× Ø Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÜØ Ò× ÓÒ× ci Ò cj Ý Ø ÖÑ Ò Ò Ø
Ò Ð × ψq¸ ψp ¸ δ Ò ξº Ä Ø ψp = 5ψq¸ δ = ψq Ò ξ = 3ψqº ÆÓÛ ´½µ¸ ´¾µ Ò
´¿µ Ö ÐÐ × Ø × ¸ ×Ó Ø ÓÒ×ØÖÙ Ø ÓÖÒ Ö Ü Ø× Ø Ó× ÐÐ Ø Ò ØÙÖ
× Ö ÓÚ × ÙÖ ¿º ´ µ¹´ µº
Ä Ø Ù× ÐÐ ÓÖÒ Ö× Ü Ø Ò Ø Ó× ÐÐ Ø Ò ØÙÖ ¸ Ó× ÐÐ Ø Ò ÓÖÒ Ö׺ ÌÓ
ÓÒ×ØÖÙ Ø ÔÓÐÝ ÓÒ ÓÒØ Ò Ò ×Ù ÓÖÒ Ö × ØÖ Ú Ð Ò Ý ÔÐ Ò × Ú Ö Ð
Ó× ÐÐ Ø Ò ÓÖÒ Ö× Ò × ÕÙ Ò ¸ Û Ò Ö Ø ×Ô Ö Ð ÔÓÐÝ ÓÒ Ø Ø × ÒØÖ Ø Ð
ÓÖ ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ Ù× Ò Ø Ö×Ø Ó Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø º
Ä Ø Ø Ó× ÐÐ Ø Ò ÓÖÒ Ö Ó ÙÖ ¿º Ø Ð ×Ø ÓÖÒ Ö Ò × ÕÙ Ò Ó h
Ó× ÐÐ Ø Ò ÓÖÒ Ö׺ Ä Ø Ù× ××ÙÑ Ø Ø Û Ö Ù× Ò Ø Ò Ö Ñ ÒØ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ
Û Ø Ø Ö×Ø Ó Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø ØÓ Ò Ø × ÓÖØ ×Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ
Ò Ø ÔÓÐÝ ÓÒ Ø Ø ÓÒØ Ò× Ø × × ÕÙ Ò Ó Ó× ÐÐ Ø Ò ÓÖÒ Ö׺ Ø Ø ×Ø
Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ô ØÙÖ Ò ÙÖ ¿º ´ µ¸ Ø ÓÙØ Ó Ò Ò Ð Ó Ø Û Ø Ñ Ò
ÖÓÙØ Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ cj ÑÓÚ × ÖÓÑ q ØÓ Ø ÒØ Ö× Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ p Ò Û Ö
ÓÙØ ØÓ Ô Ö ÓÖÑ Ø Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ Ø p º ÓÖ Û Ò Ó Ø Ø ÓÛ Ú Ö¸
Ø Ö×Ø Ó Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø ÓÖ × Ù× ØÓ Ù×Ø Ø Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× ÓÒ
46. ¿º¾ Ì Ñ ÓÙÒ × Ó ÖÐÝ ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ× ¿¿
p
cj
p
´ µ
ci
q
ci
cj
p
´ µ
s p
ξ
qp
p
cj
q
ci
δ
´ µ
s
ξ
ψp
ψq
ÙÖ ¿º Ç× ÐÐ Ø Ò ÓÖÒ Ö ÛºÖºØº Ò Ù×ØÑ ÒØ Ø p º
Ø ÖÐ Ö ÜØ Ò× ÓÒ× Ø Ø Ñ Ù×Ø Ð Ù× Ó Ø Ø ÑÓÚ Ñ Òغ ÁÒ
Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ Ø ÓÖÒ Ö ÓÒØ Ò Ò Ø ÜØ Ò× ÓÒ× ci Ò cj × Ò ÓÒ×ØÖÙ Ø
×Ó Ø Ø Ö Ø Ð −1¹ Ù×ØÑ ÒØ ÒÓÛ Û ÐÐ Ø ÔÐ Ø pº Ä Ø Ù× ××ÙÑ Ø Ø
Ø × Ù×ØÑ ÒØ Ù× Ah Ù×ØÑ ÒØ× ÓÒ ÖÐ Ö ÜØ Ò× ÓÒ׺ × Û Ô Ö ÓÖÑ Ø
Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ ÓÒ p ¸ Ø Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ× ÓÒ Ø ÖÐ Ö ÜØ Ò× ÓÒ× Ò
Ö Ø ÓÒ Ò × Ò Ø ÓÙØ Ó Ò Ð Ò × Ñ ÒØ Ó Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Û Ø Ö ×Ô Ø
ØÓ cj ÑÓÚ × ÖÓÑ p ØÓ q¸ Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ÓÑ × Ù×Ø Ð ÓÒ Ò Ø
pº Ì × Ø Ñ ¸ Ö Ø Ð +1¹ Ù×ØÑ ÒØ × Ñ Ø pº Ë Ò Ø Ø Ù×ØÑ ÒØ ×
Ø ÒÚ Ö× Ó Ø ÔÖ Ú ÓÙ× Ù×ØÑ ÒØ Ø p¸ Ø Û ÐÐ Ð×Ó Ù× Ah Ù×ØÑ ÒØ× ÓÒ
Ø ÖÐ Ö ÜØ Ò× ÓÒ׺ Ì Ù׸ Ø Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ Ø p Ù× × Ah+1 = 2Ah +1
Ù×ØÑ ÒØ× ÓÒ Ø ÖÐ Ö ÜØ Ò× ÓÒ׺ Ì Ó× ÐÐ Ø Ò ÓÖÒ Ö× Ö ÐÐ ÓÒ×ØÖÙ Ø
×Ó Ø Ø Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ Ø Ø i Ø ÓÖÒ Ö Û ÐÐ Ù× 2Ai−1 + 1 Ù×ØÑ ÒØ×
ÓÒ Ø ÖÐ Ö ÜØ Ò× ÓÒ׺ ËÓÐÚ Ò Ø × ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ × ÕÙ Ò Ó h Ó× ÐÐ Ø Ò
ÓÖÒ Ö׸ Û Ø Ah+1 = 2h
Ù×ØÑ ÒØ× ÓÒ Ø ÖÐ Ö ÜØ Ò× ÓÒ׺ Ì ÔÓÐÝ ÓÒ
Ò ÓÒ×ØÖÙ Ø ×Ó Ø Ø h = Ω(n)º
Ì Ø Ó Ø Ö Ø Ð Ù×ØÑ ÒØ Ø p × Ô ØÙÖ Ò ÙÖ ¿º ´ µº ×
Ø ÓÙØ Ó Ò Ð Ò × Ñ ÒØ Ó Ø Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ cj ÑÓÚ × ÖÓÑ
q ØÓ p Ö Ø Ð −1¹ Ù×ØÑ ÒØ Ø × ÔÐ Ø pº Ì × Ù×ØÑ ÒØ Ñ × Ø
Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ ÓÒ Ø ÔÖ Ú ÓÙ× ÓÖÒ Ö Ó× ÐÐ Ø ÓÚ Ö Ö Ñ ÒØ Ò ÔÓ Òغ
Ì Ú ¹ Ò ¹ ÓÒÕÙ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ù× × Ø × Ñ Ù×ØÑ ÒØ ÙÖ ×Ø × Ø
Ò Ö Ñ ÒØ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ ÙÖ Ò Ø Ñ Ö Ò ÔÖÓ ×׸ ×Ó Ø × ØÙ Ø ÓÒ × Ö
ÓÚ Ò Ð×Ó Ó ÙÖ ÓÖ Ø Ú ¹ Ò ¹ ÓÒÕÙ Ö Ð ÓÖ Ø Ñº
47. ¿ ÓÒ ÖÒ Ò Ø Ì Ñ ÓÙÒ × Ó ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ×
¿º¿ Ä Ø ×Ø Ú ÐÓÔÑ ÒØ× Ò Ø Ð
Ì × ÖØ Ð Û × ÔÖ × ÒØ Ø Ø Ì ÓÒ Ö Ò Ò ½ º Ä Ø Ö Ò ½ ¸
Ò Û Ü ËÏʹ Ð ÓÖ Ø Ñ × ÓÒ ÝÒ Ñ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Û × Ú Ò Ý Ì Ò¸
À Ö Ø Ò ÁÒ ½¼ º Ì ÖÙÒÒ Ò Ø Ñ Ó Ø Ò Û Ð ÓÖ Ø Ñ × O(n4
)º Ì ×
ÑÔÐ × Ø Ø Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ × ÓÖØ ×Ø Ó Ø Ò Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ × Ý ÖÐ××ÓÒ Ø
к ¾ ¸ × ÖÙÒÒ Ò Ø Ñ Ó O(n6
)º Ê ÒØÐÝ Ì Ò ½¼ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø
× ÓÖØ ×Ø Ó Ø Ò Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ ØÙ ÐÐÝ × ÙÒ ÕÙ ÓÖ ÐÐ ÒØ Ö ×Ø Ò × ×¸ Ò
× ÓÒ Ø × Ö ×ÙÐØ Ñ Ò ØÓ Ú Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø × ÓÖØ ×Ø
Ó Ø Ò Û Ø Ñ Ò ÖÓÙØ Ò O(n5
) Ø Ñ º
48. ÔØ Ö
ÁÑÔÖÓÚ ÜÔÐÓÖ Ø ÓÒ Ó
Ê Ø Ð Ò Ö ÈÓÐÝ ÓÒ×
Ë Ö Ò Ò Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ × Ò ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Û ÐÐ ×ØÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÖÓ ÓØ ×º
ÁÒ Ñ ÒÝ Ö Ð ×Ø × ØÙ Ø ÓÒ× Ø ÖÓ ÓØ Ó × ÒÓØ ÔÓ×× ×× ÓÑÔÐ Ø ÒÓÛÐ
ÓÙØ Ø× ÒÚ ÖÓÒÑ Òظ ÓÖ Ò×Ø Ò ¸ Ø Ñ Ý ÒÓØ Ú Ñ Ô Ó Ø× ×ÙÖÖÓÙÒ ¹
Ò × ¾¾¸ ¾ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ½¸ ¸ ¼¸ ½¸ ¸ ¸ º
Ì × Ö Ó Ø ÖÓ ÓØ Ò Ú Û × Ò ÓÒÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ × Ò Ø ÖÓ Óس×
× ÓÒ× ÓÙØ Ø × Ö Ö × ÓÒÐÝ ÓÒ Ø Ô ÖØ Ó Ø× ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ø Ø Ø
× × Ò ×Ó Öº Ï Ù× Ø Ö Ñ ÛÓÖ Ó ÓÑÔ Ø Ø Ú Ò ÐÝ× × ØÓ Ñ ×ÙÖ Ø
Ô Ö ÓÖÑ Ò Ó Ò ÓÒÐ Ò × Ö ×ØÖ Ø Ý S ½¼ º Ì ÓÑÔ Ø Ø Ú Ö Ø Ó Ó S ×
Ò × Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ó Ø Ö Ø Ó Ó Ø ×Ø Ò ØÖ Ú ÐÐ Ý ÖÓ ÓØ Ù× Ò S
ØÓ Ø ÓÔØ Ñ Ð ×Ø Ò Ó Ø × Ö º
ÁÒ Ø¸ Ø × × Ö ÔÖÓ Ð Ñ× ÓÑ Ò × ÐÐÝ ØÛÓ ÚÓÙÖ׺ ÁÒ ×ÓÑ × ×
Û Û ÒØ ØÓ × Ö ÓÖ Ø Ö Ø Ò Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ¿ ¸ ¿ ¸ ¸ ¼¸ ½¸ º Ì
Ø Ö Ø × Ù×Ù ÐÐÝ ÑÓ ÐÐ × ÔÓ ÒØ Ò Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ø Ø × ØÓ Ö
Ý Ø ÖÓ Óغ ÒÓØ Ö ÔÖÓ Ð Ñ ØÝÔ × Ø Ø Ó ÜÔÐÓÖ Ò Ò ÒÚ ÖÓÒÑ Òظ º º¸
Û Ø ÓÙØ ÔÖ ÓÖ ÒÓÛÐ Ó Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ð Ø ÖÓ ÓØ ÓÒ×ØÖÙ Ø Ñ Ô Ó
Ø ¿ ¸ ½¸ ½ º
Ï Ö ÒØ Ö ×Ø Ò Ó Ø Ò Ò ÑÔÖÓÚ ÙÔÔ Ö ÓÙÒ × ÓÖ Ø ÓÑÔ Ø Ø Ú
Ö Ø Ó Ó ÜÔÐÓÖ Ò Ö Ø Ð Ò Ö ÔÓÐÝ ÓÒº Ì × Ö × ÑÓ ÐÐ Ý Ô Ø ÓÖ
ÐÓ× ØÓÙÖ ÓÐÐÓÛ Ý ÔÓ ÒØ × Þ ÖÓ ÓØ Ò× Ø ÔÓÐÝ ÓÒ¸ Ú Ò ×Ø ÖØ Ò
ÔÓ ÒØ ÓÖ Ø × Ö º Ì ÓÒÐÝ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ø Ø ÖÓ ÓØ × ÓÙØ Ø× ×ÙÖÖÓÙÒ ¹
Ò ÔÓÐÝ ÓÒ × Ø Ô ÖØ Ó Ø ÔÓÐÝ ÓÒ Ø Ø Ø × × Ò ×Ó Öº Ò Ø Ðº ¿
× ÓÛ Ø ÖÑ Ò ×Ø ×ØÖ Ø Ý Ú Ò ÓÑÔ Ø Ø Ú Ö Ø Ó ØÛÓ ÓÖ Ø × ÔÖÓ Ð Ñ
×Ø Ò × Ñ ×ÙÖ ÓÖ Ò ØÓ Ø L1¹Ñ ØÖ º ÃÐ Ò Ö ½ ÔÖÓÚ × ÐÓÛ Ö
ÓÙÒ Ó 5/4 ÓÖ Ø ÓÑÔ Ø Ø Ú Ö Ø Ó Ó ÒÝ Ø ÖÑ Ò ×Ø ×ØÖ Ø Ýº Ï Û ÐÐ
× ÓÛ ×ØÖ Ø Ý Ó Ø Ò Ò ÓÑÔ Ø Ø Ú Ö Ø Ó Ó 5/3 ÓÖ × Ö Ò Ö Ø Ð Ò Ö
ÔÓÐÝ ÓÒ Ò Ø L1¹Ñ ØÖ º
Ì ÔØ Ö × ÓÖ Ò × × ÓÐÐÓÛ׺ ÁÒ Ø Ò ÜØ × Ø ÓÒ Û ÔÖ × ÒØ ×ÓÑ
