Ricostruzioni Lisce di Superfici da una data Triangolazione - presentazione

Ricostruzioni Lisce di Superﬁci da una Data
Triangolazione
Martina Bellettini
Relatore: Prof. Fabio Perroni
Correlatore: Prof. Luca Heltai
7 luglio 2020
Martina Bellettini Ricostruzioni Lisce di Superﬁci da una Data Triangolazione

Motivazioni
L. Heltai, W. Bangerth, M. Kronbichler and A. Mola, Using
exact geometry information in finite element computations
Simulazioni di processi fisici:
1 Introduction
The traditional workflow of finite element, finite volume, and finite di↵erence simulations of physi-
cal processes consists of three phases: what is called “preprocessing”; the actual numerical solution
of a partial di↵erential equation; and what is called “postprocessing”. In this workflow, preprocess-
ing generally means the generation of a geometric description of the domain on which one wants
to solve the problem – either through the use of Computer Aided Design (CAD) or by combining
simpler geometries into one via constructive geometry – and the use of a mesh generator that uses
the geometry to create the computational grid on which the simulation is then run. On the other
end of the pipeline, postprocessing consists of the visualization of the computed solution and the
extraction of quantities of interest.
Overall, this “traditional” workflow can be visualized through the following graph in which
information is only propagated from one box to the next:
Geometry description Mesh generation Simulation Visualization
Quantities of interest
1 ↑
Oggi: simulatori più complessi → informazioni sulla geometria
Esempio: non una sola mesh (griglia) ma gerarchia di mesh

Problema di infittimento di una mesh
Corrisponde a determinazione di nuovi vertici → vari modi
In questa presentazione: tramite geodetica approssimata
mesh iniziale
⇓
vettori normali nei vertici



→ funzione di interpolazione
↓
geodetica approssimata congiungente due punti qualsiasi
dell’immagine, immagine di una curva di Bézier cubica
Nuovo vertice: sulla geodetica approssimata ed equidistante
dai due estremi
K. Crane, Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction

Funzioni di interpolazione quadratiche su triangoli
M. J. D. Powell and M. A. Sabin, Piecewise quadratic approximations on
triangles
9 termini noti (valore e gradiente), polinomiale di grado 2 →
deﬁnita a tratti
Divisione in sottotriangoli:
↓ ↓
triangoli acuti almeno un angolo > 75◦

Funzioni di interpolazione quadratiche su triangoli
Caso di un triangolo rettangolo isoscele
Coeﬃcienti indipendenti: 12
ulteriori 3 termini noti necessari: derivate normali, stimate con
interpolazione lineare o date

Equazioni:
q1(x, y) = ax
2
+ bxy + cy
2
+ dx + ey + f
q2(x, y) =(a − λ5)x
2
+ (b − 4λ5)xy + (c − 4λ5)y
2
+ (d + 2λ5)x + (e + 4λ5)y+
f − λ5
q3(x, y) =(a − λ5 − 4λ6)x
2
+ (−4λ5 + b − 4λ6)xy + (c − 4λ5 − λ6)y
2
+
(d + 2λ5 + 4λ6)x + (e + 4λ5 + 2λ6)y + f − λ5 − λ6
q4(x, y) =(a + λ4 − λ5 − 4λ6)x
2
+ (b − 2λ4 − 4λ5 − 4λ6)xy + (c + λ4 − 4λ5 − λ6)y
2
+
(d + 2λ5 + 4λ6)x + (e + 4λ5 + 2λ6)y + f − λ5 − λ6
q5(x, y) =(a + λ4 − 4λ6)x
2
+ (b − 2λ4 − 4λ6)xy + (c + λ4 − λ6)y
2
+ (d + 4λ6)x+
(e + 2λ6)y + f − λ6
q6(x, y) = (a + λ4)x
2
+ (b − 2λ4)xy + (c + λ4)y
2
+ dx + ey + f
Q1(x, y) = (a + k1)x
2
+ bxy + cy
2
+ (d − k1)x + ey + f +
1
4
k1
Q2(x, y) =(a − λ5 + k1)x
2
+ (b − 4λ5)xy + (c − 4λ5)y
2
+ (d + 2λ5 − k1)x + (e + 4λ5)y+
f − λ5 +
1
4
k1
Q3(x, y) =(a − λ5 − 4λ6 + k2)x
2
+ (b − 4λ5 − 4λ6 + 2k2)xy + (c − 4λ5 − λ6 + k2)y
2
+
(d + 2λ5 + 4λ6 − k2)x + (e + 4λ5 + 2λ6 − k2)y + f − λ5 − λ6 +
1
4
k2

Q4(x, y) =(a + λ4 − λ5 − 4λ6 + k2)x
2
+ (b − 2λ4 − 4λ5 − 4λ6 + 2k2)xy+
(c + λ4 − 4λ5 − λ6 + k2)y
2
+ (d + 2λ5 + 4λ6 − k2)x + (e + 4λ5 + 2λ6 − k2)y+
f − λ5 − λ6 +
1
4
k2
Q5(x, y) =(a + λ4 − 4λ6)x
2
+ (b − 2λ4 − 4λ6)xy + (c + λ4 − λ6 + k3)y
2
+ (d + 4λ6)x+
(e + 2λ6 − k3)y + f − λ6 +
1
4
k3
Q6(x, y) = (a + λ4)x
2
+ (b − 2λ4)xy + (c + λ4 + k3)y
2
+ dx + (e − k3)y + f +
1
4
k3.

Funzioni di interpolazione cubiche su triangoli
Peter Percell, On cubic and quartic Clough-Tocher finite elements:
suddivisione in 3 sottotriangoli
12 termini noti, 30 coefficienti incogniti e 30 equazioni
(condizioni di continuità all’interno del triangolo); condizioni
esplicite nell’elaborato
Stessi conti per dominio della funzione di interpolazione
unione di due triangoli

Condizioni esplicite e risoluzione per dati a scelta: nell’elaborato
Possibile esempio di graﬁco di funzione interpolante:

Geodetiche approssimate - caso di un triangolo
Costruire una geodetica approssimata h(s) F(γ(s)),
h(s) ∈ F( ˆT); si richiede γ(·) spline cubica, per convenienza si
prende curva di B´ezier.

Geodetiche approssimate - caso di un triangolo: soluzione
Determinazione della funzione di interpolazione cubica
G(x, y) dati v1, v2, v3, n1, n2, n3
Posta F(x, y) :=


x
y
G(x, y)

 , determinazione della
lunghezza approssimata di F(γ(s)) al variare dei vettori
tangenti negli estremi di γ(s):
¯L(t1, t2) :=
nq
i=1
d
ds
F(γ(si )) ωi
1
0
d
ds
F(γ(s)) ds

Determinazione di ¯t1, ¯t2 che minimizzano ¯L:
¯L(¯t1, ¯t2) = 0
2 ¯L(¯t1, ¯t2) > 0
Un esempio di calcolo di (F(γ(s))) con F(x, y) funzione di
interpolazione calcolata nel Capitolo 2 `e stato riportato
nell’elaborato.
Caso di due triangoli: minimizzare L(t0, t1, t2, t3, p).

Applicazioni
Esempio di Applicazione
Distanza geodetica
tra punti su triangolazione discreta
Tu
nn n

Esempio di Applicazione
Distanza geodetica
tra punti su triangolazione discreta
U.S. Department of Health and Human Services - National Institutes of Health,
https://3dprint.nih.gov/discover/3dpx-000168

Figure 7: Directional projection strategy with a horizontal direction of projection perpendicular to
the axis of symmetry. The first two rows show side view of the coarse grid and grids obtained
from five successive refinements. The last row shows a front view of the same grids shown in the
second row. This strategy produces uniformly distributed cells away from areas where the projection
direction is close to the tangent to the shape (namely, at the bottom of the shape as well as the
front of the bulb).
L. Heltai, W. Bangerth, M. Kronbichler and A. Mola, Using exact geometry
information in finite element computations

Conclusioni
Motivazioni ricerca di nuovi vertici
Funzioni di interpolazione
Geodetiche approssimate
Applicazioni biomediche

Bibliografia
K. Crane, Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction,
2019
L. Heltai, W. Bangerth, M. Kronbichler and A. Mola, Using exact
geometry information in finite element computations, preprint
arXiv:1910.09824 [math.NA], (2019).
N. Jaxon and X. Qian, Isogeometric analysis on triangulations,
Computer-Aided Design 46 (2014), 45–57.
Peter Percell, On cubic and quartic Clough-Tocher finite elements,
SIAM J. Numer. Anal. 13 (1976), 100–103.
M. J. D. Powell and M. A. Sabin, Piecewise quadratic
approximations on triangles, ACM Trans. Math. Softw. 3, 4 (1977),
316–325.
U.S. Department of Health and Human Services - National Institutes
of Health, https://3dprint.nih.gov/discover/3dpx-000168.

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