CO LI THUYET -DONG HOC.pptx

Phần thứ hai
ĐỘNG HỌC
O1
M
O A x
y
φ
a
v
v
at
an
9/29/2023 1

Mở đầu
-Hệ quy chiếu : vật chọn làm mốc để theo dõi vị trí
của vật chuyển động.
- Thời điểm gốc ( to )
Động học nghiên cứu c/đ cơ học của vật thể
thuần tuý về mặt hình học, không quan tâm đến
các nguyên nhân gây ra c/đ của vật.
- Nội dung nghiên cứu:
+ Xác định các thông số xác định vị trí của
điểm hoặc vật thê;
+ Thiết lập các ph trình mô tả mối liên hệ giữa
các thông số đó với thời gian – ph trình c/đg;
+ Xác định các thông số đặc trưng của c/đg :
vận tốc, gia tốc, vận tốc góc, gia tốc góc .v.v…
9/29/2023 2

Chương 5
ĐỘNG HỌC ĐIỂM
5.1. Khảo sát chuyển động bằng phương trình vectơ.
5.1.1. Phương trình chuyển động
)
(t
r
r  (5. 1)
Vị trí điểm M
.
r OM

Khi M chuyển động:
O
x
x
y y
z
z M
r
Quỹ đạo của điểm M
chính là đường mút tia của
bán kính vectơ r xác định
vị trí của điểm M .
- Chuyển động thẳng; chuyển động cong.
9/29/2023 3

5.1.2. Vận tốc.
r
r
r 

 1
- chuyển vị
của M sau thời gian Δt.
t
r
vtb


 -vận tốc t / bình
của chất điểm M trong khoảng thời gian Δt.
Vận tốc thực :
dt
r
d
t
r
v
t





 0
lim (5. 2)
Vectơ vận tốc bằng đạo hàm của bán kính vectơ theo
thời gian và hướng theo tiếp tuyến với quỹ đạo về phía
chuyển động của điểm.
Đơn vị của vận tốc là mét/giây (m/s).
r
- vị trí M tại
thời điểm t;
r
r
r 


1
- t + Δt;
x
x y
y
z
z
M
M1
O
dt
r
d
t
r


r

i
j
k
r r1
9/29/2023 4

5.1.3. Gia tốc.
t
v


Gia tốc trung bình trong khoảng thời gian Δt :
Gia tốc thực:
2
2
0
lim
dt
r
d
dt
v
d
t
v
a
t







(5. 3)
Δv - sự thay đổi vận tốc sau khoảng th/gian Δt.
Ch/đg nhanh dần;
a 0;
v a
 
v
và cùng chiều hay
Ch/đg chậm dần.
0;
v a
 
a v
và ngược chiều hay
9/29/2023 5

5.2. Khảo sát c/đ của chất điểm trong toạ độ Đềcác .
5.2.1. Phương trình chuyển động.
x = x(t); y = y(t); z = z(t) . ( 5. 4 )
Điểm M chuyển động trong mặt phẳng:
F( x, y ) = 0.
x = x(t); y = y(t).
Khử t trong hai phương trình phg trình quỹ đạo
của điểm trong mặt phẳng:
5.2.2. Vận tốc.
Có thể viết: k
z
j
y
i
x
r 


k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
dt
r
d
v 


 (5. 5a)
9/29/2023 6

Ký hiệu vx, vy, vz - hình chiếu của vectơ vận tốc trên
các trục toạ độ:
Hình chiếu của vận tốc trên các trục toạ độ bằng
đạo hàm bậc nhất của toạ độ tương ứng theo
thời gian.
Độ lớn của vận tốc:
2
2
2
2
2
2
z
y
x
v
v
v
v z
y
x 

 




 (5. 6)
Phương của vectơ vận tốc đối với các trục toạ độ :
cos
v
v
v
Ox x

)
,
( ; cos
v
v
v
Oy
y

)
,
( ; cos
v
v
v
Oz z

)
,
( . (5. 7)
k
v
j
v
i
v
v z
y
x 


x
dt
dx
vx 

 ; y
dt
dy
vy 

 ; z
dt
dz
vz 

 . (5. 5)
9/29/2023 7

5.2.3. Gia tốc.
x
dt
x
d
ax 


 2
2
: y
dt
y
d
ay 


 2
2
; z
dt
z
d
az 


 2
2
. (5. 9)
2
2
2
2
2
2
z
y
x
a
a
a
a z
y
x 




 




 (5. 10)
cos
a
a
a
Ox x

)
,
( ; cos(
a
a
a
Oy
y

)
, ; cos(
a
a
a
Oz z

)
, .
0


 z
z
y
y
x
x 







 - chuyển động nhanh dần;
0


 z
z
y
y
x
x 







 - chuyển động chậm dần.
2 2 2 2
2 2 2 2
;
d r d x d y d z
a i j k
dt dt dt dt
    (5. 8)
k
z
j
y
i
x
r 


9/29/2023 8

5.3. Khảo sát c/đ của chất điểm trong hệ toạ độ
tự nhiên. a/ Một vài khái niệm về hình học :
MT, M1T1 - tiếp tuyến với đưòng cong tại M và M1.
Mặt phẳng H chứa - vectơ đơn vị của các
tiếp tuyến ;
1
,

Nếu quỹ đạo là đường
cong phẳng thì mặt
phẳng mật tiếp chứa
toàn bộ đường cong
quỹ đạo .
H
M
T
M1
O
C
N
r
Δθ


1

1


T1
Mặt phẳng đi qua điểm
M và vuông góc với tiếp
tuyến T - mặt phẳng pháp tuyến.
M1 → M; H → vị trí giới hạn mặt phẳng mật tiếp
của quỹ đạo tại điểm M.
9/29/2023 9

-Độ cong trung bình
(ứng với MM1) :
s
ktb




-Độ cong của quỹ đạo
tại điểm được xét :
ds
d
s
k
s







 0
lim (6. 12)
- Bán kính cong:



d
ds
s
k s






 0
lim
1 (6. 13)
MC = ρ C là tâm cong của đường cong tại M
Quỹ đạo là đg thẳng: 


k
1

đg tròn:
1
onst.
tb
k c
R
 
Cung MM1 = Δs
9/29/2023 10

Tất cả các đường thẳng đi qua M và nằm trong mặt
phẳng pháp tuyến gọi là pháp tuyến, pháp tuyến nằm
trong mặt phẳng mật tiếp gọi là pháp tuyến chính,
ký hiệu N .
Pháp tuyến vuông góc với tiếp tuyển T và pháp tuyến
N gọi là trùng pháp tuyến, ký hiệu là B.
MTNB
M
O
T
N
B
C
x y
z 
n
b
i
j
k
Hệ trục toạ độ tự nhiên:
-Trục pháp tuyến ( n hướng
về phía lõm của quỹ đạo);
-Trục tiếp tuyến (τ hưóng
theo chiều c/đ );
- Trục trùng pháp tuyến( b
với Mtnb hệ trục thuận.
9/29/2023 11

5.3.1. Phương trình chuyển động
+ chiều dương
so - khoảng cách ban đầu
hoặc toạ độ ban đầu.
Phương trình chuyển động:
s = s ( t ) . ( 5. 12 )
O
x
x
y y
z
z
s
so
M
Mo
(t=0)
A
B
O1
r
Chọn trên quỹ đạo:
+ điểm cố định O1
gốc tính toán
9/29/2023 12

5. 3.2. Vận tốc.

dt
ds
dt
ds
ds
r
d
dt
r
d
v 



dt
ds
v  (5. 13)
(3. 2)
Giả sử sau khoảng thời gian Δt điểm M vị trí M1
và cung MM1 = Δs.
5.3.3. Gia tốc .

v
v  (5. 3)
dt
d
v
dt
dv
v
dt
d
a


 

 )
(
dt
ds
ds
d
v
dt
dv




=
9/29/2023 13

(5. 11) n
v
dt
dv
a


2



dt
dv
at  - gia tốc tiếp tuyến ;
n
v
an

2
 - gia tốc pháp tuyến
t
a
M
n
a
a

n
n
t a
a
a 

2
2
n
t a
a
a 

;
2 2
2
;
t n
dv d s v
a a
dt dt 
   (5. 15)
(5. 14)
9/29/2023 14

- Điểm chuyển động đều : at = 0 vì v = const.
Chuyển động của điểm với gia tốc không đổi gọi là
chuyển động biến đổi đều, khi đó at = const.
;
2
2
const
a
dt
s
d
t 

- Điểm chuyển động thẳng : an = 0 vì ρ = ∞; a = at.
- Điểm chuyển động tròn: ρ = R;
1
C
t
a
v
dt
ds
t 


;
2
1
2
1
2
C
t
C
t
a
s t 


Khi t = 0, s = so, v = vo C1 = 0; C2 = so ;
t
a
v
v t
o 

2
2
t
a
t
v
s
s t
o
o 

 (5. 17)
;
9/29/2023 15

Nếu chọn chiều dương của quỹ đạo thuận chiều c/đ :
- a > 0 , chuyển động nhanh dần ,
v và at cùng dấu - c/đ nhanh dần ;
v và at trái dấu - c/đ chậmdần ;
Khi a = const, c/đg nhanh hoặc chậm dần đều.
- a < 0, chuyển động chậm dần .
9/29/2023 16

5. 4. Chuyển động tròn.
x
y
O
Mo
M
x
y
φ
φo
Vị trí ban đầu: Mo φo;
Tại thời điểm t M φo + φ
φ = φ( t );
- vận tốc góc, đặc trưng cho sự biến đổi
của góc φ.
( a )
( b )
( a ) + ( b ) vx = - yω; vy =xω.
);
cos( o
R
x 
 

);
sin( o
R
y 
 

*Vận tốc điểm M.
9/29/2023 17

2 2 2 2
;
x y
v v v x y

   
2 2
;
x y R
  v = ωR.
Vận tốc dài của điểm chuyển động theo vòng tròn bằng
tích số của vận tốc góc với bán kính quỹ đạo.
*Gia tốc của điểm M:
( )
;
t
dv d R d
a R
dt dt dt
 
  
d
dt


 – gia tốc góc, đặc trưng cho sự biến đổi
của vận tốc góc
Gia tốc tiếp tuyến:
Gia tốc pháp tuyến:
9/29/2023 18

2
2
2
( / );
d d
rad s
dt dt
 
  
;
t
a R
 2
;
n
a R

2 2 4 2
;
n t
a a a R  
   
2
;
t
n
a R
tg
a R



  2
;
tg




Nếu chọn chiều dương quỹ đạo trùng với chiều c/đ :
ε > 0 at cùng chiều với vận tốc v, c/đ nhanh dần;
ε < 0 at ngược chiều với v, c/đ chậm dần.
y
O
M
μ
x
- Nếu ε = 0 ω = const; điểm c/đ đều theo vòng tròn.
9/29/2023 19

5. 5. Chuyển động dao động điều hoà.
M c/đ đều vòng tròn bk a,
vận tốc góc ω;
M1 - hình chiếu của M
trên trục x:
x = a sin(φ + φo);
x = a sin (ωt + φo) ;
φ = ωt
Chuyển động thẳng của điểm theo quy luật sin hoặc
cosin - chuyển động dao động điều hoà của điểm.
O – tâm dao động; a – biên độ dao động ;
(ωt + φo) – pha dao động; φo – pha ban đầu.
.
Điểm M chuyển động đều
O y
x
Mo
M
M1
M2
φ
φo
v
9/29/2023 20

Chu kỳ dao động :
2
( );
T s



Tần số dao động :
1
( );
2
f Hz
T


 
ω - tần số vòng, nếu biết số vòng quay n trong
một phút, ta có: .
n
T
60

30
n



 n – vg/ph ; ω – 1/s.
;
9/29/2023 21

Ví dụ 5. 1 . Cho phương trình chuyển động của điểm:
Tìm phương trình quỹ đạo, vị trí Mo,
quy luật s = s(t), chiều c/đg.
x = 3 cos
3

t; y = 3 sin
3

t . ( a )
Phương trình q/ đ: x2 + y2 = 32.
Quỹ đạo: đường tròn bán kính 3 đơn vị và có tâm
trùng với gốc toạ độ .
t
dt
dx
3
sin



 ; 

dt
dy
cos t
3

.
















2
2
dt
dy
dt
dx
dt
ds
s = πt .
y
x
O
Mo
Khi t = 0, x = 3 và y = 0, Mo nằm trên trục hoành độ.
t tăng → x , y , điểm c/đ ngc chiều kim đồng hồ.
9/29/2023 22

Ví dụ 5.2. Tầu hoả bắt đầu chạy với vận tốc ban đầu
vo = 54 km/h, trong khoảng 30 giây đầu, tầu đi được
600m. Xem ch/động của tầu là thay đổi đều, hãy xác
định vận tốc, gia tốc của tầu tại cuối giây thứ 30 nếu
tầu chuyển động trên đường vòng bán kính R = 1 km.
t = 0, s = so = 0;
2
2
t
a
t
v
s t
O 

vo = 54 km/h = 15 m/s;
2
2
t
a
t
v
s
s t
o
o 

 ;
2
2
3
2 / ;
9
o
t
s v t
a m s
t

 
2 2
2
25
0,625 / .
1000
n
v
a m s
R
  
v = vo + at.t = 15 + 30.1/3 = 25 m/s.
2
2 2 2 2
3
0,625 0,708 / .
9
t n
a a a m s
 
    
 
 
9/29/2023 23

CÁC CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN
Chương 6
6. 1. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn.
Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động mà
mỗi đoạn thẳng bất kỳ thuộc vật luôn di chuyển song
song với vị trí ban đầu của nó.
Ví dụ
O
A B
C
A’ B’
9/29/2023 24

1
1 ;
dr
v
dt

dr
v
dt
 
2 2
1
1
2 2
;
d r d r
a a
dt dt
  
Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, quỹ đạo,
vận tốc và gia tốc của các điểm thuộc vật là như nhau.
1
1
1;
m
dr
dr dr dr
v v
dt dt dt dt
    
1 m
r r r
 
A M1
M
O
rm
r1
r
Định lý
Quỹ đạo của các điểm M và M1 là các đường cong
toàn đẳng .(như nhau)
A chuyển động tịnh tiến; m
r = const
9/29/2023 25

6. 2. Chuyển động quay của vật rắn quanh một
trục cố định.
Chuyển động quay của vật rắn quanh
một trục cố định là chuyển động có hai điểm thuộc vật
luôn cố định.
Trục cố định đi qua hai điểm
đó gọi là trục quay của vật.
A
B
P
P1
φ
Vị trí của vật tại thờiđiểm t
được xác định bởi :
φ = φ( t ). (6. 1)
Thường quy ước chọn chiều
dương là chiều quay ngược
chiều kim đồng hồ.
là ph trình c/đg quay của vật.
6.2.1. Phương trình c/động.
Định nghĩa.
9/29/2023 26



 


dt
d
*Vận tốc góc của vật:
Đơn vị : rad/s hay 1/s.
ω > 0, vật quay theo chiều dương,
ω < 0, vật quay theo chiều âm.



 



 2
2
dt
d
dt
d
* Gia tốc góc của vật :
ε = 0, ω = const :
t
o 

 

Đơn vị : (rad/s2 hoặc 1/s2)
vật rắn chuyển động quay đều
6.2.2. Vận tốc góc và gia tốc góc.
9/29/2023 27

ε = const :
;
o t
  
 
2
2
t
t
o
o



 


φo – góc quay ban đầu; ωo – vận tốc góc ban đầu.
ω.ε > 0 : vật quay nhanh dần;
ω.ε < 0 : vật quay chậm dần.
z
ω
ε
*Vectơ vận tốc góc và vectơ gia tốc góc:
;
k
 
  ;
d d
k k
dt dt
 
 
   
k – vectơ đơn vị trên trục quay
Chiều của ε được xác định bởi dấu của ε.
chuyển động quay biến đổi đều
9/29/2023 28

*Vận tốc của điểm M :
6.2.3.Chuyển động của một điểm bất kỳ M thuộc vật:
dt
r
d
r
v 

 
v = ωrsinα = ωh.
v O1M, hướng theo chiều quay của vật.
s = hφ(t).
h – k/c từ M đến trục quay;
*Ph trình c/đ của điểm M:
;
ds
v s h
dt

  
Hoặc:
x
y
α
O
O1
M
h
ω
v
r
Quỹ đạo M vg tròn b/k h
9/29/2023 29

*Gia tốc điểm M thuộc vật:
dt
v
d
a 
dt
r
d
r
dt
d
dt
r
d








)
(
v
r
a 


 

t
a
r 

 - gia tốc tiếp tuyến;
n
a
v 

 - gia tốc pháp tuyến.
at = ε rsinα = ε h;
an = ωvsin90o = ω2h.
Giống như trong trường hợp điểm M chuyển động
theo vòng tròn bán kính h.
O
M
h
α
z
r
a
at
an
ω
ε
9/29/2023 30

Ví dụ 6. 1. Một bánh đà bắt đầu quay từ trạng thái
đứng yên với gia tốc đều. Sau khi quay được 60
vòng, bánh đà có vận tốc góc bằng 6π 1/s. Xác định
gia tốc góc bánh đà.
Giải.
9/29/2023 31

Ví dụ 6. 2. Một bánh đà bán kính R = 1 m quay chung
quanh một trục cố định đi qua tâm bánh đà theo
phương trình 2
2
1
t


Tìm vận tốc và gia tốc của điểm M nằm trên vành bánh
sau thời gian 2 giây kể từ khi bánh bắt đầu chuyển
động.
Giải.
9/29/2023 32

ĐỘNG HỌC VẬT RẮN
Chương 7
7. 1. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn.
Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động mà
mỗi đoạn thẳng bất kỳ thuộc vật luôn di chuyển song
song với vị trí ban đầu của nó.
Ví dụ
O
A B
C
A’ B’
9/29/2023 33

1
1 ;
dr
v
dt

dr
v
dt
 
2 2
1
1
2 2
;
d r d r
a a
dt dt
  
Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, quỹ đạo,
vận tốc và gia tốc của các điểm thuộc vật là như nhau.
1
1
1;
m
dr
dr dr dr
v v
dt dt dt dt
    
1 m
r r r
 
A M1
M
O
rm
r1
r
Định lý
Quỹ đạo của các điểm M và M1 là các đường cong
toàn đẳng .(như nhau)
A chuyển động tịnh tiến; m
r = const
9/29/2023 34

Chuyển động quay của vật rắn quanh
một trục cố định là chuyển động có hai điểm thuộc vật
luôn cố định.
Trục cố định đi qua hai điểm
đó gọi là trục quay của vật. A
B
P
P1
φ
Vị trí của vật tại thờiđiểm t
được xác định bởi :
φ = φ( t ). (7. 1)
là ph trình c/đg quay của vật.
7.2.1. Phương trình c/động.
Định nghĩa.
9/29/2023 35



 


dt
d
*Vận tốc góc của vật:
Đơn vị : rad/s hay 1/s.



 



 2
2
dt
d
dt
d
* Gia tốc góc của vật :
ε = 0, ω = const :
t
o 

 

Đơn vị : (rad/s2 hoặc 1/s2)
vật rắn chuyển động quay đều
7.2.2. Vận tốc góc và gia tốc góc.
9/29/2023 36

ε = const :
;
o t
  
 
2
2
t
t
o
o



 


φo – góc quay ban đầu; ωo – vận tốc góc ban đầu.
ω.ε > 0 : vật quay nhanh dần;
ω.ε < 0 : vật quay chậm dần.
z
ω
ε
*Vectơ vận tốc góc và vectơ gia tốc góc:
;
k
 
  ;
d d
k k
dt dt
 
 
   
k – vectơ đơn vị trên trục quay
chuyển động quay biến đổi đều
9/29/2023 37

*Vận tốc của điểm M :
7.2.3.Chuyển động của một điểm bất kỳ M thuộc vật:
dt
r
d
r
v 

 
v = ωrsinα = ωh.
v O1M, hướng theo chiều quay của vật.
s = hφ(t).
h – k/c từ M đến trục quay;
*Ph trình c/đ của điểm M:
;
ds
v s h
dt

  
Hoặc:
x
y
α
O
O1
M
h
ω
v
r
Quỹ đạo M vg tròn b/k h
9/29/2023 38

*Gia tốc điểm M thuộc vật:
dt
v
d
a 
dt
r
d
r
dt
d
dt
r
d





 

 )
(
v
r
a 


 

t
a
r 

 - gia tốc tiếp tuyến;
n
a
v 

 - gia tốc pháp tuyến.
at = ε rsinα = ε h;
an = ωvsin90o = ω2h.
Giống như trong trường hợp điểm M chuyển động
theo vòng tròn bán kính h.
O
M
h
α
z
r
a
at
an
ω
ε
9/29/2023 39

Ví dụ 7. 1. Một bánh đà bắt đầu quay từ trạng thái
đứng yên với gia tốc đều. Sau khi quay được 60
vòng, bánh đà có vận tốc góc bằng 6π 1/s. Xác định
gia tốc góc bánh đà.
Giải.
9/29/2023 40

Ví dụ 7. 2. Một bánh đà bán kính R = 1 m quay chung
quanh một trục cố định đi qua tâm bánh đà theo
phương trình 2
2
1
t


Tìm vận tốc và gia tốc của điểm M nằm trên vành bánh
sau thời gian 2 giây kể từ khi bánh bắt đầu chuyển
động. Vẽ đồ thị vận tốc và gia tốc của các điểm nằm
dọc theo bán kính OM.
Giải.
9/29/2023 41

7. 3. Chuyển động song phẳng của vật rắn.
7.3. 1.Định nghĩa và phương trình chuyển động.
Chuyển động song phẳng của vật rắn là chuyển động
của vật mà trong đó mỗi điểm thuộc vật luôn di chuyển
trong các mặt phẳng song song với một mặt phẳng
cố định đã cho.
A2
A1
H
S1
S2
A1; A2
quỹ đạo
vận tốc
gia tốc
như nhau
Vật A chuyển động
đoạn A1A2 ch/đ nhưng
luôn song song với vị trí
ban đầu
9/29/2023 42

Để khảo sát c/đ song
phẳng của vật rắn A chỉ cần khảo
sát c/đ của một hình phẳng S
thuộc vật trong mặt phẳng chứa nó,
song song với mặt phẳng cố định.
C/đ của hình phẳng S 2 c/đ:
- c/đ tịnh tiến cùng với cực O1;
- chuyển động quay quanh O1;
với Ox;
gắn chặt với h/phẳng S
c/đ quay cùng với hình phẳng.
c/đ tịnh tiến cùng O1;
O1Ao
O1A
O
x x
y
y
Ao
A
O1 φ
S
Nhận xét.
x = x ( t ); y = y ( t ); φ = φ ( t ).
Phương trình chuyển động của hình phẳng:
A
B
C
A’
B’
C’
9/29/2023 43

+ Chuyển động của hình phẳng hoàn toàn xác định
khi biết ch/đg của hai điểm bất kỳ thuộc hình phẳng.
C
C1
Để nghiên cứu chuyển động của hình phẳng trong
mặt phẳng của nó ta hoàn toàn chỉ cần nghiên cứu
chuyển động của một đoạn thẳng thuộc hình phẳng.
A
B
I
A1
B1
II
Hình phẳng: I II
AB A1B1
Vị trí mới điểm C:
vị trí C1.
Nhận xét :
~
ABC A1B1C1
9/29/2023 44

AB → A1B1 :
- AB tịnh tiến với cực A → A1B’,
- A1B’ quay quanh A1 một góc φ A1B1.
A’
A1
A
B’
B1
B
φ
φ
.
góc quay φ như nhau.
+ Góc quay của hình, do đó , vận tốc góc của hình
không phụ thuộc việc chọn điểm nào làm cực.
- AB tịnh tiến với B A’B1.
-A’B1 quay quanh B1 một góc φ
A1B1.
*/ Điểm A cực:
*/ Điểm B cực
Nhận xét:
9/29/2023 45

7.3.2. Vận tốc của các điểm thuộc hình phẳng.
a/ Quan hệ vận tốc giữa hai điểm.
Biết vA; xác định vB.
vBA
vBA = ω.AB
phương AB
chiều thuận chiều ω.
A
B
ω
vA vBA
BA
A
B v
v
v 
 (7. 8)
Chiếu (7. 8) phương AB:
hcAB( B
v ) = hcAB( A
v );
Hình chiếu của vận tốc hai điểm bất kỳ thuộc hình
phẳng lên đường thẳng nối hai điểm đó là bằng nhau
và cùng chiều.
vA
vB
9/29/2023 46

b/ Tâm vận tốc tức thời.
Nếu ω ≠ 0 , tại mỗi thời điểm có
duy nhất một điểm thuộc hình
phẳng có vận tốc bằng không, gọi
là tâm vận tốc tức thời.
A
P
ω vA
vA
vPA
0
P A PA A A
v v v v v
    
A
v
AP

1
 PA A
v v
 
+ Tại mỗi thời điểm , P là duy nhất
CM : + sự tồn tại
giả sử có thêm một tâm P’ 0
P P
v v
  
P
P
P
P v
v
v '
' 

Nhưng 0
'
' 

 P
P
v P
P 
mà
.
' P
P 
9/29/2023 47

Vận tốc của một điểm bất kỳ M
;
M P MP MP
v v v v
   0
P
v 
( )
M MP
v v
 ;
M MP
v v PM

  
PM, theo chiều ω.
Vận tốc tức thời của một điểm thuộc hình phẳng được
xác định giống như vận tốc của điểm đó trong chuyển
động quay tức thời của hình phẳng quanh tâm vận tốc
tức thời P , tỷ lệ thuận với khoảng cách từ điểm đến
tâm quay tức thời, vuông góc với các khoảng cách đó
và hướng theo chiều của vận tốc góc ω.
Điểm nằm trên mặt phẳng cố định trên đó hình phẳng
chuyển động, tại thời điểm khảo sát trùng với tâm vận
tốc tức thời P gọi là tâm quay tức thời của hình phẳng.
9/29/2023 48

Cách thực hành tìm tâm vận tốc tức thời.
P
P
vA
vB
A B
P
vA
vB
P
A
B
vB
vA
A
B
P
vA
vB
A
B
P
∞
A
B
vA
vB
P
∞
9/29/2023 49

7.3.3.Gia tốc của một điểm thuộc hình phẳng.
BA
B a
a
a 
 A (7. 9 )
t
BA
n
BA
BA a
a
a 
 (7. 10)
t
BA
a
. ;
t
BA
a AB


AB, thuận chiều ε.
n
BA
a
2
. ;
n
BA
a AB


hướng từ B A.
2 2 2 4
( ) ) ;
t n
BA BA BA
a a a AB  
   
μ aA
t
BA
a
n
BA
a
aBA
aB
a/ Quan hệ gia tốc giữa hai điểm.
2
tg



 
Biết aA , tìm aB
A
aA
B
ε
ω
9/29/2023 50

Tại mỗi thời điểm khảo sát, nếu ω và ε không đồng thời
triệt tiêu, có một điểm duy nhất thuộc hình phẳng có
gia tốc bằng không. Điểm dó gọi là tâm gia tốc tức thời.
b/ Tâm gia tốc tức thời.
4
2
A

 

a
AQ
A
4
2
a
AQ
aQA 

 

.
0
A
A
A 



 a
a
a
a
a QA
Q
+ Q là duy nhất:
0
1
1 

 Q
Q
Q
Q a
a
a
vô lý vì 0
1 
Q
Q
a Q
Q 
1
nếu Q1 có 0
1 
Q
a
+ Sự tồn tại: A
μ
Q aA
aA
aQA
ε
(ngc chiều
với aA)
9/29/2023 51

- Nói chung tâm vận tốc tức thời P và tâm gia tốc tức
thời Q không trùng nhau.
- khi ω và ε đồng thời triệt tiêu thì Q → ;

Gia tốc của một điểm bất kỳ M thuộc hình phẳng
;
M Q MQ MQ
a a a a
   0

Q
a
( )
Gia tốc của một điểm bất kỳ thuộc hình phẳng tại
thời điểm đã cho được xác định giống như gia tốc
của điểm đó khi hình phẳng chuyển động quay
quanh tâm gia tốc tức thời.
2 2 2 4 2 2
M Mt ;
Mn
a a a QM QM
 
   
2 4
;
M
a QM  
 
9/29/2023 52

Hai điểm A và B trên hình phẳng:
2 2 2 4
A At ;
An
a a a QA  
   
2 4
;
B
a QB  
 
2
;
tg




Tâm gia tốc tức thời nằm tại giao điểm của hai nửa
đường thẳng vẽ từ hai điểm A, B bất kỳ và tạo thành
một góc μ với gia tốc các điểm đó .
A
Q
μ
B
μ
aA
aB
9/29/2023 53

Ví dụ 7. 3. Bánh xe bán kính
R = 40 cm lăn không trượt
theo một đường thẳng với
vận tốc vC = 36 km/giờ. Tìm
độ lớn và phương chiều của
vận tốc các điểm A và B .
ω
C
R
A
B
P
vC
vB
vA
Giải.
9/29/2023 54

P’
ωP’
Ví dụ 7. 4. OA = 30 cm;
R2 = 20 cm ; R1 = 10 cm;
BC = cm.
26
20
Xác định vận tốc góc
của thanh truyền và vận
tốc các điểm B, C khi
AB OA .
Giải.
ωP
vA
O
P
C
ωo
A B
vB
vC
9/29/2023 55

Ví dụ 7. 5. Bánh xe bán kính R = 1m lăn không trượt
trên đường thẳng nằm ngang với gia tốc tâm O là
ao = 4m/s2. Xác định vận tốc và gia tốc điểm A ở thời
điểm vo = 2m/s.
ε
ω
n
AO
a
t
AO
a
vA
A
P
O
aO
Giải.
9/29/2023 56

Chương 8
HỢP CHUYỂN ĐỘNG ĐIỂM VÀ VẬT RẮN
8.1. Hợp chuyển động điểm.
8.1.1. Định nghĩa.
-Chuyển động tuyệt đối.
Chuyển động của điểm M đối với hệ quy chiếu cố định
Ooxoyozo
dt
r
d
v  ; 2
2
dt
r
d
a  . (8. 1)
*Điểm M ch/đg hệ quy
chiếu Oxyz gắn với vật A;
*Vật A cùng với Oxyz lại
ch/đg hệ quy chiếu
cố định Ooxoyozo.
O0
xo
yo
zo
O
M
x
y
z A
r
ro
i
j
k
9/29/2023 57

- Chuyển động tương đối.
Chuyển động của điểm M đối với
hệ quy chiếu động Oxyz. ( vr ; ar )
k
z
j
y
i
x
OM 


;
r
dOM dx dy dz
v i j k
dt dt dt dt
   
2 2 2 2
2 2 2 2
.
r
d OM d x d y d z
a i j k
dt dt dt dt
    (8. 2)
- Chuyển động theo.
Là chuyển động của hệ quy chiếu động Oxyz đối với
hệ quy chiếu cố định Ooxoyozo .
M* là một điểm thuộc hệ quy chiếu động trùng với vị
trí điểm M ở thời điểm khảo sát.
O0
xo
yo
zo
O
M
x
y
z A
r
ro i
j
k
9/29/2023 58

e
e a
v ;
-Vận tốc và gia tốc của điểm M* tại thời điểm khảo sát –
vận tốc theo và gia tốc theo của điểm M. ( )
O * OM*
O
O M r
 
Tại thời điểm khảo sát t:
* ;
O
OM r xi y j zk
   
dt
k
d
z
dt
j
d
y
dt
i
d
x
dt
r
d
v O
e 



2
2
2
2
2
2
2
dt
k
d
z
dt
j
d
y
dt
i
d
x
dt
r
d
a o
e 


 (8. 3)
x = x*; y = y*; z = z*;
* * *
O
r x i y j z k
   
O0
xo
yo
zo
O
M
x
y
z A
r
ro
i
j
k
9/29/2023 59

8.1.2. Các định lý hợp vận tốc và hợp gia tốc.
a/ Vận tốc:
;
o o
r r OM r xi y j zk
      (8. 4)
(8. 5)
(8. 6)
Ở mỗi thời điểm, vận tốc tuyệt đối của điểm bằng tổng
hình học vận tốc tương đối và vận tốc theo của điểm.
dr
v
dt
 )
(
dt
k
d
z
dt
j
d
y
dt
i
d
x
dt
r
d o




);
( k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx



v = ve + vr ;
9/29/2023 60

b/ Gia tốc .
* Hệ quy chiếu động chuyển động tịnh tiến.
Các vectơ đơn vị không thay đổi
phương chiều.
k
j
i ,
,
(8. 7)
);
(
)
( 2
2
2
2
2
2
k
z
j
y
i
x
r
dt
d
OM
r
dt
d
dt
r
d
a o
o 






);
( 2
2
2
2
2
2
k
dt
z
d
j
dt
y
d
i
dt
x
d



2
2
dt
r
d o

a = ae + ar;
9/29/2023 61

* Hệ động chuyển động quay.
2 ;
dx di dy d j dz dk
dt dt dt dt dt dt
 
     
 
 
Các vectơ đơn vị thay đổi phương chiều.
k
j
i ,
,
- số hạng 1 + 2 – gia tốc trong chuyển động theo.
- số hạng thứ 3 – gia tốc trong chuyển động tương đối.
2 2 2 2
2 2 2 2
o
d r d i d j d k
x y z
dt dt dt dt
 
    
 
 
2 2 2
2 2 2
d x d y d z
i j k
dt dt dt
 
   
 
 
;
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
dt
k
z
j
y
i
x
r
d
dt
OM
r
d
dt
r
d
a
o
o







9/29/2023 62

- Số hạng thứ tư: ký hiệu ac :
i
dt
i
d
e 
  ; j
dt
j
d
e 
  ; k
dt
k
d
e 
 
(7. 4)
2
dx di dy d j dz dk
dt dt dt dt dt dt
 
     
 
 
ωe - vận tốc góc của hệ động .
c
r
e a
a
a
a 

 (8. 8)
Tại mỗi thời điểm, gia tốc tuyệt đối của điểm bằng tổng
hình học của gia tốc theo, gia tốc tương đối và gia tốc
Côriôlit.
2 2 ;
e e r
dx dy dz
i j k v
dt dt dt
 
 
     
 
 
r
e
c v
a 
 
2 Gia tốc Côriôlit;
9/29/2023 63

90o
z
α
ωe
vr
v’r
ac
Phương chiều của ac :
- Chiếu vr mặt phẳng ωe
v’r ;
- Quay v’r 90o theo chiều ωe;
ac .
ac = 2ωevrsin( r
e v
,
 ) = 2ωevrsinα . (8. 9)
0

C
a khi:
*/ ωe = 0, hệ động chuyển động tịnh tiến.
*/ sin ( r
e v
,
 ) = 0
vr song song với trục quay của hệ động.
9/29/2023 64

Ví dụ 7. 1 Một vành tròn
bán kính R quay đều quanh
trục O với vận tốc góc không
đổi ωo. Một người (M) chuyển
động theo vành thuận chiều
kim đồng hồ với vận tốc
không đổi vo. Tìm vận tốc, gia
tốc tuyệt đối của người ( M )
khi vị trí như hình vẽ.
O
M
I
x
y
ωo
2R
9/29/2023 65

O
ω
B
A
vr
art
Ví dụ 8. 1. Xác định gia
tốc tuyệt đối của phần tử
nước A chạy dọc theo
cánh quạt với vận tốc
vr = 2 m/s, gia tốc tiếp
tuyến art = 51 m/s2.
Vận tốc góc của bơm
ω = 20 1/s và
OA = AB = BO = 0,5 m.
9/29/2023 66

A1
A4
A3
O
ω
A2
a
Giải.
Ví dụ 8. 2. Tàu chuyển động tịnh tiến thẳng với gia
tốc a ;trên tàu có lắp một tuốc bin, trục của tuốc bin
vuông góc với phương chuyển động của tàu và quay
đều với vận tốc góc ω và có bán kính R.
Tìm gia tốc tuyệt đối của các điểm A1, A2, A3, A4 .
9/29/2023 67

7.2. Hợp chuyển động của vật rắn.
8.2.1. Hợp hai chuyển động tịnh tiến của vật rắn.
Chuyển động tuyệt đối của vật cũng là c/đ tịnh tiến
với vận tốc bằng tổng hình học vận tốc của chuyển
động tương đối và chuyển động theo.
chuyển động theo tịnh tiến
chuyển động tương đối tịnh tiến
Khi
9/29/2023 68

8.2.2. Hợp chuyển động quay với chuyển động
tịnh tiến theo phương vuông góc với trục quay.
Quay Ox 90o theo chiều ωr;
Ox’;
OO1 = m = ve/ωr.
e
r
r
e
r
rO v
v
O
v 



 


1
1 O
vo1 = 0; 1 .
e
r
v
m
 
 
Chuyển động tuyệt đối của vật rắn tại thời điểm xét là
chuyển động quay với vận tốc góc ω1 quanh trục đi
qua O1 và song song với trục quay trong ch/đg tương
đối và cách trục quay đã cho một đoạn m = ve/ωr ..
O1
ω1
m
ve
vr
O
ωr
ve
x
x’
9/29/2023 69

8.2.3. Hợp hai chuyển động quay quanh hai trục
song song.
O2
O1
A
ω2
ω1
P
ω
O1 O2
ωr
ωe
M
vrP
veP
vO2
P chia trong O1O2:
Trường hợp hai trục quay cùng chiều
e
r
PO
PO






1
2
2
1
1
2
eP e
rP r
v PO
v PO


  
 
vP = veP – vrP = 0.
ω - vận tốc góc trong c/đ quay tuyệt đối:
tại thời điểm đã cho
điểm P không ch/động .
đĩa A quay tức thời chung quanh trục đi qua P song
song với các trục đã cho. P – tâm vận tốc tức thời.
9/29/2023 70

2
1
2
2 O
O
PO
v e
O 


 

1 2 1 2 1 2
2 2 2
( )
;
e e e e
O O O P PO O P PO
PO PO PO
   

  
  
2
1 PO
P
O r
e 
 
2
2
2
PO
PO
PO e
r 




e
r 

 

Trường hợp hai trục quay ngược chiều
O1
O2 P
ωe
ωr
ω
P chia ngoài đoạn O1O2 theo
cùng tỷ lệ và nằm về phía trục
có vận tốc góc lớn hơn.
Nếu ωr > ωe ω = ωr - ωe ;
e
r 

 

Nói chung:
* ωr = - ωe ω = 0 , chuyển động tổng hợp là ch/đg
tịnh tiến với vận tốc v = ωe.m; m – khoảng cách O1O2.
9/29/2023 71

Trường hợp các cặp bánh răng ăn khớp có các
ω1
ω2
Quy ước: Chiều dương
của vận tốc góc: ngược
chiều kim đồng hồ.
a/ Cặp bánh răng ăn khớp ngoài
r1ω1 + r2ω2 = 0 .
b/ Cặp bánh răng ăn khớp trong
r1ω1 - r2ω2 = 0 .
ω1 ω2
9/29/2023 72

8.2. 4. Hợp hai chuyển động quay quanh hai trục
cắt nhau.
ωe ωr
Vẽ ωe; ωr và dựng hình
bình hành OBCD.
Xét điểm C thuộc đĩa A:
vr = ωra1 = 2 dt Δ OCD;
ve = ωea2 = 2 dt Δ OBC .
Δ OCD = Δ OBC
vr = ve, vC = 0.
. Điểm O cố định, nên tại thời
điểm đã cho trục OC cố định.
ve, vr OBCD.
ngược chiều;
B
C
D
a1
a2
E
F
α
z’
z
ωe ωr
ω
ω
B
D
C
z
z’
A
O
1
2
9/29/2023 73

Xét ch/đg của điểm D đối với
trục quay OB và OC :
ωe.DE = ω.DF = dt OBCD
= OC.DF.
OC = ω .
e
r 

 






 cos
2
2
2
r
r
e
r 


Vận tốc góc tuyệt đối bằng tổng hình học vận tốc góc
tương đối và vận tốc góc theo.
O
B
C
D
a1
a2
E
F
α
z’
z
ωe ωr
ω
Hợp hai chuyển động quay quanh hai trục cắt nhau,
được một chuyển động quay quanh trục quay tức thời
trùng với đường chéo của hình bình hành dựng nên
bởi các vectơ vận tốc góc theo và vận tốc góc tg đối.
9/29/2023 74

Ví dụ 8. 3. Xác định vận tốc góc tuyệt đối của
bánh răng II.
II
I
O
A
ω
ω1
ω2 - vận tốc góc tuyệt đối của bánh răng II
hệ vận tốc góc - ω
9/29/2023 75

1
I II
III
R
R
r
1
2
A B
ω
ω1 ω2
O III
A B
O ω3
Ví dụ 8. 4. Cơ cấu vi sai như hình vẽ, bánh I và II
quay tự do trên trục 1 – 1. Trên trục 2 lắp bánh
răng nón III ăn khớp đồng thời với các bánh răng I
và II. Biết ω1 , ω2 , xác định vận tốc góc ω của trục
1 - 1 và vận tốc góc ω3 của bánh răng III quanh
trục 2.
9/29/2023 76

Phần thứ ba
ĐỘNG LỰC HỌC
9/29/2023 77

Chương 9
HỆ TIÊN ĐỀ ĐỘNG LỰC HỌC
• 9 1. Hệ tiên đề động lực học (các định luật Niutơn)
(phát biểu cho chất điểm).
Chất điểm không chịu tác dụng của lực nào sẽ
giữ nguyên trạng thái đứng yên hoặc chuyển
động thẳng đều.
(trạng thái quán tính )
-Lực là nguyên nhân duy nhất làm biến đổi trạng
thái chuyển động của chất điểm.
Tiên đề thứ nhất (định luật quán tính).
9/29/2023 78

Tiên đề thứ hai (định luật cơ bản của động lực học).
Dưới tác dụng của lực, chất điểm chuyển động
với gia tốc có cùng hướng với lực và có độ lớn
tỷ lệ với cường độ của lực.
(9. 1) - phương trình cơ bản của động lực học.
.
P m a
  (9. 1)
m - khối lượng của chất điểm, là một đại lượng
vô hướng
• chất điểm rơi tự do trong trọng trường :
g
m
Q  . ( 9. 2 )
9/29/2023 79

Tiên đề thứ ba
Dưới tác dụng đồng thời của một số lực, chất điểm
có gia tốc bằng tổng hình học các gia tốc mà chất
điểm nhận được do mỗi lực tác dụng riêng biệt .
(tác dụng đồng thời của các lực có thể thay thế bằng
hợp lực )
( 9. 3 )
(định luật về tính độc lập giữa tác dụng của các lực).



n
i
i
m
P
a
1



n
i
i
P
a
m
1
m - khối lượng của chất điểm;
P1, P2,…, Pi,…, Pn – các lực tác dụng lên chất điểm.
m
P
a i
i 
9/29/2023 80

Các lực tác dụng tương hỗ giữa hai chất điểm có
cùng cường độ, cùng đường tác dụng và ngược
chiều.
Tiên đề thứ tư
(định luật về tác dụng và phản tác dụng).
Chất điểm không tự do có thể được xem như chất
điểm tự do bằng cách giải phóng nó khỏi các liên
kết và thay thế các liên kết bằng phản lực liên kết.
Tiên đề thứ năm
( định luật về giải phóng liên kết).
9/29/2023 81

• 9. 2. Lực.
+ Ngoại lực ng
P .
+ Nội lực n
P .
-Véc tơ chính của tất cả các nội lực:
n
i
n
P
P 
 = 0.
- Mômen chính của tất cả các nội lực đối với
một tâm bất kỳ hay trục bất kỳ:
.
0
)
(
;
0
)
(






n
i
Z
n
z
n
i
O
n
O
P
m
M
P
m
M
9/29/2023 82

Niutơn là lực gây cho vật có khối lượng 1 kg
gia tốc 1m/s2.
Đơn vị đo cường độ lực : Niutơn ( N ).
Hệ đơn vị cơ học
* Các đại lượng cơ bản trong cơ học:
- Độ dài: mét (m);
- Khối lượng: kilôgam (kg);
- Thời gian: giây (s).
* Lực là đơn vị dẫn xuất
Hệ quy chiếu quán tính:
- hệ quy chiếu trong đó định luật quán tính được
nghiệm đúng.
-Trong kỹ thuật : hệ trục toạ độ gắn liền với quả đất .
9/29/2023 83

• Chương 10
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG
CỦA CHẤT ĐIỂM
10.1. Phương trình vi phân chuyển động.
* Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
dưới dạng vectơ
- vectơ định vị của chất điểm
r
;

 i
P
a
m (10. 1)
;

 i
P
r
m 
 (10. 1b)
Tiên đề thứ hai:
9/29/2023 84

*Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
trong hệ toạ độ Đềcác
;
;
;
1
2
1
1
2
1
1
2
1






























n
i
nz
nz
z
z
n
i
ny
ny
y
y
n
i
nx
nx
x
x
P
P
P
P
z
m
P
P
P
P
y
m
P
P
P
P
x
m






(10. 1c)
*Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
trong hệ toạ độ tự nhiên:
;
0
;
;
2
b
n
t P
P
v
m
P
dt
dv
m 



(10.1d)
9/29/2023 85

•10. 2. Hai bài toán cơ bản của động lực học
chất điểm.
Bài toán thứ nhất (bài toán thuận) :
Biết các lực tác dụng lên chất điểm và các điều kiện
ban đầu của chuyển động (vị trí ban đầu và vận tốc
ban đầu), cần xác định chuyển động của chất điểm .
Biết chuyển động của chất điểm, xác định lực tác
dụng lên chất điểm .
Bài toán thứ hai (bài toán ngược) :
9/29/2023 86

Giải.
Ví dụ 10. 1. Thang máy trọng lượng Q đi lên nhanh
dần với gia tốc a ; xác định lực căng T của dây cáp.
a
Q
T
z
Theo ( 10. 1a ) :
9/29/2023 87

Ví dụ 10. 2. Tìm áp lực của ôtô lên cầu tại đỉnh A, biết
trọng lượng của ôtô là P, vận tốc của ôtô khi qua cầu
là v không đổi, bán kính cong của cầu tại A là ρ.
Giải. Xem ôtô là chất điểm.
T
N
A v
P
n
9/29/2023 88

Ví dụ 10. 3. Con lắc hình nón gồm vật M trọng lượng
Q = 10N buộc vào đầu sợi dây dài l = 30cm, đầu kia
của sợi dây buộc vào điểm cố định O Khi con lắc ch/đ ,
dây làm với phương thẳng đứng một góc α = 60o và
vật M vẽ thành một vòng tròn trong mặt phẳng nằm
ngang. Xác định vận tốc v của vật M và lực căng dây.
Giải.
α
O
Q
T
v
n
τ
b
M
C
9/29/2023 89

• Ví dụ 10. 4. Đổ hạt lên một máng ngiêng như hình vẽ.
Biết: α = 30o; l = 5 m, hệ số ma sát giữa hạt và máng là f
= 0,2. Xác định khoảng thời gian t1 để hạt trượt ra khỏi
máng nếu vận tốc ban đầu của hạt khi mới tiếp xúc với
máng là vo = 2 m/s.
l
Q
α
O
x
F
N
Giải
9/29/2023 90

Thí dụ 10.5. Viên đạn trọng lượng Q được bắn lên với
vận tốc ban đầu vo làm với phương ngang một góc α.
Bỏ qua lực cản của không khí, tìm ch/đg của viên đạn.
Giải.
O
vo
α
x
y
z
Coi viên đạn như 1 chất
điểm, chỉ chịu tác dụng của
trọng lực.
9/29/2023 91

11.1.1. Khối tâm của cơ hệ.
C là khối tâm của cơ hệ :
M
r
m
r
n
i
i
i
C


 1



n
i
i
m
M
1
- khối lượng của cơ hệ.
M
z
m
z
M
y
m
y
M
x
m
x i
i
C
i
i
C
i
i
C





 ;
; ( 11. 2 )
( 11. 1 )
Chương 11
CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC
y
O
z
M1
M2
C
Mi
Mn
2
r
C
r
n
r
x
i
r
1
r
11.1. Định lý về chuyển
động của khối tâm.
9/29/2023 92

Nhân cả tử và mẫu số của (11. 1) với gia tốc
trọng trường g :
P
r
p
Mg
r
g
m
r i
i
i
i
C




trùng với công thức xác định vị trí trọng tâm .
Vậy, đối với vật rắn trong trường trọng lực thì vị trí
khối tâm trùng với vị trí trọng tâm.
9/29/2023 93

•11. 1. 2. Định lý chuyển động của khối tâm.
Khối tâm của cơ hệ chuyển động như một chất điểm
có khối lượng bằng khối lượng cơ hệ và chịu tác dụng
của lực bằng vectơ chính của hệ ngoại lực tác dụng
lên cơ hệ.
ng
i
C P
a
M 
 . ( 11. 3 )
Chứng minh: Áp dụng (9. 1) cho chất điểm thứ i:
ng
i
n
i
i
i P
P
a
m 

ng
i
n
i
i
i P
P
a
m 



 . ( a )
Với cơ hệ:
9/29/2023 94

Từ (11. 1):
Thay ( b ) vào ( a ), và chú ý 0

 n
i
P ,
;
;
.
ng
C ix
ng
C iy
ng
C iz
M x P
M y P
M z P
  
  
  
Nội lực không ảnh hưởng đến chuyển động khối tâm.
C
i
i r
M
r
m 
 ,
2
2
2
2
dt
r
d
M
dt
r
d
m C
i
i 
 ( b )
ng
i
C P
a
M 

( 11. 3 ) toạ độ Đề các:
9/29/2023 95

Định luật bảo toàn chuyển động của khối tâm.
-Nếu vectơ chính của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ
bằng không thì khối tâm của cơ hệ hoặc đứng yên
hoặc chuyển động thẳng đều.
-Nếu tổng hình chiếu của các ngoại lực lên một trục cố
định nào đó bằng không thì hình chiếu của khối tâm
của cơ hệ lên trục đó hoặc đứng yên hoặc chuyển
động thẳng đều.
0

 ng
i
P 0

C
a
const
vC  hay 
C
v 0.
0

 ng
ix
P 0

C
x


const
xC 
 hoặc 
C
x
 0
Tương tự:
9/29/2023 96

• 11. 2. Định lý động lượng.
11. 2. 1. Động lượng.
* Động lượng của chất điểm là một đại lượng vectơ
bằng tích của khối lượng chất điểm với vectơ vận tốc
của nó:
v
m
K 
 . ( 11. 4 )
* Động lượng của cơ hệ bằng tổng động lượng của
các chất điểm thuộc cơ hệ:
i
i v
m
K 
 . ( 11. 5 )
( 11. 1 ) :
M
v
m
v i
i
C


 .
C
i
i v
M
v
m
K 


 . ( 11. 6 )
M
r
m
r
n
i
i
i
C


 1
9/29/2023 97

*Động lượng của cơ hệ bằng động lượng của khối
tâm có khối lượng bằng khối lượng của toàn cơ hệ.
Đơn vị của động lượng là kgm/s.
11. 2. 2. Xung lượng của lực (xung lực).
Xung lượng nguyên tố dS của lực P sau khoảng
thời gian dt
dt
P
S
d  ( 11. 7 )
Xung lựợng của lực P trong khoảng thời gian t2 – t1 :
dt
P
S
t
t


2
1
. ( 11. 8 )
9/29/2023 98

• Xung lựợng của hợp lực một số lực bằng tổng hình
học xung lựợng của các lực thành phần.
dt
P
dt
P
dt
P
dt
P
S
t
t
n
t
t
t
t
t
t



 







2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
.
Đơn vị của xung lực là Ns.
11. 2. 3. Định lý động lượng.
P
a
m  ;
dt
v
d
a 
Định lý 1: Đạo hàm theo thời gian động lượng của
chất điểm bằng lực tác dụng lên chất điểm đó.
P
dt
v
d
m  hay P
dt
K
d
dt
v
m
d


)
(
. ( 11. 10 )
* Đối với chất điểm:

P const )
( 1
2 t
t
P
S 

9/29/2023 99

*Đối với cơ hệ:
n
i
ng
i
i
i P
P
v
m
dt
d


)
(
Định lý 2. Đạo hàm theo thời gian động lượng của
cơ hệ bằng vectơ chính của hệ ngoại lực tác dụng
lên cơ hệ.
ng
i
i
i
i
i P
dt
K
d
v
m
dt
d
v
m
dt
d





 . ( 11. 11 )
Chất điểm thứ i thuộc cơ hệ:
dt
P
v
m
d 
)
(
Từ (11. 10):
dt
P
v
m
d
t
t
v
v

 
2
1
2
1
)
( S
v
m
v
m 
 2
1 . (11. 12)
9/29/2023 100

Định lý 3. Biến thiên động lượng của chất điểm
trong một khoảng thời gian nào đó bằng xung
lượng của lực tác dụng lên chất điểm trong khoảng
thời gian đó.
.
;
;
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
nz
x
z
z
z
z
ny
y
y
y
y
y
nx
x
x
x
x
x
S
S
S
S
mv
mv
S
S
S
S
mv
mv
S
S
S
S
mv
mv



























.
2
1
1
2
ng
i
t
t
ng
i S
dt
P
K
K 



  (11. 13)
dt
P
K
d ng
i


(11. 11)
9/29/2023 101

Định lý 4. Biến thiên động lượng của cơ hệ trong
một khoảng thời gian nào đó bằng tổng xung lượng
các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ trong khoảng thời
gian đó.
ng
iz
z
z
ng
iy
y
y
ng
ix
x
x
S
K
K
S
K
K
S
K
K









1
2
1
2
1
2
Nội lực không làm biến đổi động lượng của cơ hệ.
.
2
1
1
2
ng
i
t
t
ng
i S
dt
P
K
K 



 
9/29/2023 102

•11. 2. 4. Định lý bảo toàn động lượng.
Định lý 5. Nếu vectơ chính của các ngoại lực tác
dụng lên cơ hệ bằng không thì động lượng của
cơ hệ được bảo toàn.
0

 ng
ix
P 0

dt
dKx Kx = const.
0

 ng
i
P 0

dt
K
d
K = const.
9/29/2023 103

11. 3. Định lý mômen động lượng .
11.3.1. Mômen động lượng của chất điểm.
-Mômen động lượng L của
chất điểm M đối với tâm O :
LO = mvrsinα = mvh.
v
m
r
K
r
LO 


 (11. 14)
Đơn vị của mômen động lượng
là kgm2/s.
-Mômen động lượng của chất điểm đối với trục z :
.
.
)
( v
m
m
L Z
Z  (11. 14a)
r
O
v
K
LO
M
α
h
9/29/2023 104

dt
K
d
r
K
dt
r
d
dt
L
d o



 .
Định lý. Đạo hàm bậc nhất theo thời gian của
mômen động lượng của chất điểm đối với một
tâm cố định bằng mômen của các lực tác dụng
lên chất điểm đối với cùng tâm đó.
);
(
)
(
P
m
P
r
dt
v
m
r
d
dt
L
d
O
O




 . (11. 15)
0



 v
m
v
K
dt
r
d ;
)
(P
m
dt
L
d
O
O
 .
CM: K
r
LO 
 .
P
dt
K
d

9/29/2023 105

Đạo hàm theo thời gian của mômen động lượng
của chất điểm đối với một trục bằng tổng mômen
của các ngoại lực tác dụng lên chất điểm đối với
trục đó .
;
)
( x
x
x
M
P
m
dt
dL


;
)
( y
y
y
M
P
m
dt
dL


;
)
( z
z
z
M
P
m
dt
dL


9/29/2023 106

•11. 3. 2. Mômen động lượng của cơ hệ.
Mômen động lượng của cơ hệ đối với điểm O :
i
i
i
i
i
O
O
O v
m
r
v
m
m
L
L i 





 )
( . (11. 16)
Mômen động lượng của cơ hệ đối với một trục :
)
( i
i
z
z v
m
m
L 
 . (11. 17)
Định lý. Đạo hàm theo thời gian của mômen động
lượng của cơ hệ đối với một điểm (hay một trục )
cố định bằng tổng mômen của các ngoại lực tác
dụng lên cơ hệ đối với cùng điểm (hay trục ) đó.
9/29/2023 107

(11. 15) chất điểm Mi của cơ hệ :
)
(
)
(
)
( n
i
ng
i
n
i
ng
i
O
P
m
P
m
P
P
m
dt
L
d i




);
( ng
i
i
O
P
m
dt
L
d
dt
L
d



 ( 0
)
( 
 n
i
P
m )
Nhận xét: Nội lực không làm biến đổi mômen động
lượng của cơ hệ.
. )
( ng
i
z
z
P
m
dt
dL

 (11. 18)
toàn cơ hệ:
Chứng minh:
9/29/2023 108

• 11. 3 . 3. Định luật bảo toàn mômen động lượng.
Từ (11. 17) và (11. 18) :
Định lý: Nếu tổng mômen các ngoại lực tác dụng
lên cơ hệ đối với một điểm (hay một trục ) cố định
bằng không thì mômen động lượng của cơ hệ đối
với điểm ( hay trục ) đó sẽ không đổi.
- 0
)
( 
 ng
i
z P
m
.
dLz
dt
= 0 Lz = const
- 0
)
( 
 ng
i
P
m
0

dt
L
d O
LO = const.
9/29/2023 109

11. 4. Định lý động năng
11. 4. 1. Công và công suất.
1 / Công nguyên tố của lực.
dA = P. ds. cosα =
= Px.dx + Py.dy + Pz.dz. ( 11. 20 )
= Pt.v.dt =
r
d
P  = dt
v
P 

=
2/ Công hữu hạn của lực.
 


S
c
ds
P
A
0
osα = dz
P
dy
P
dx
P z
y
S
x 


0
. (11. 21)
9/29/2023 110

Khi chất điểm chuyển động thẳng và P = const :
A = P.s.cosα . (11. 22)
A > 0 nếu α < 90o, A < 0 nếu α > 90o; A = 0 khi α = 90o.
Đơn vị của công là Nm còn gọi là Jun ( J ).
A = A1 + A2 + . . . + An .
n
P
P
P
P 





 2
1
N = P.cosα.v = z
P
y
P
x
P z
y
x 

 




Đơn vị của công suất là Oát (w) : 1 w = 1 J/s.
3/ Công suất.
v
P
dt
r
d
P
dt
dA
N 



 (11. 23)
9/29/2023 111

Công của trọng lực.
dA = Qxdx + Qydy + Qzdz.
)
( 1
2
2
1
z
z
Q
dz
Q
A
z
z



  Qh

 (11. 24)
dấu + khi z2 > z1; dấu – khi z2 < z1;
Công của trọng lực không phụ thuộc hình dạng
của quãng đường dịch chuyển mà chỉ phụ thuộc
vị trí đầu và cuối của chất điểm.
Qx = 0; Qy = 0; Qz = Q.
dA = Q dz ;
z
O
x
y
M
Q
M1(x1,y1,z1)
M2(x2,y2,z2)
9/29/2023 112

Công của lực đàn hồi của lò xo.
dA = – P.dx = – cx.dx .
2
2
0
ch
dx
x
c
A
h




 
•11. 4. 2.Định lý động năng.
Đơn vị của động năng là kgm2/s2.
Động năng của chất điểm: 2
2
1
mv
T  . (11. 26)
Động năng của cơ hệ: 2
2
1
i
iv
m
T 
 . (11. 26a)
Lực đàn hồi của lò xo: P = cx ;
c - độ cứng của lò xo;
dx
9/29/2023 113

Định lý. Đạo hàm theo thời gian động năng của chất
điểm bằng công suất của lực tác dụng lên chất điểm:
CM: v
P
v
a
m 



Định lý: Vi phân động năng của chất điểm bằng
công nguyên tố của lực tác dụng lên chất điểm.
v
P
dt
dT

 . (11. 27)
dA
r
d
P
dt
v
P
dT 




 . (11. 28)
dt
dT
mv
dt
d
v
m
dt
d
v
a
m 

 )
2
1
(
)
2
1
( 2
2
.
. .
v
P
dt
dT
 .
9/29/2023 114

Định lý. Đạo hàm theo thời gian động năng của
cơ hệ bằng tổng công suất các nội lực và ngoại
lực tác dụng lên cơ hệ.
i
n
i
i
ng
i
i
i
i
i v
P
v
P
dt
dT
v
m
dt
d
v
m
dt
d















 2
2
2
1
2
1
.
(11. 29)
• Định lý. Vi phân động năng của cơ hệ bằng tổng công
nguyên tố của các ngoại lực và nội lực tác dụng lên cơ hệ.
dt
v
P
dt
v
P
dT i
n
i
i
ng
i 




 .
(11. 30)
i
n
i
i
ng
i r
d
P
r
d
P 





9/29/2023 115

Định lý: Biến thiên động năng của chất điểm trong
một chuyển dời nào đó bằng công của các lực tác
dụng lên chất điểm sinh ra trong chuyển dời đó.
A
r
d
P
mv
mv
r
r



 
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
. (11. 31)
Định lý. Biến thiên động năng của cơ hệ trong một
khoảng thời gian nào đó bằng tổng công các ngoại
lực và nội lực sinh ra trong chuyển dời tương ứng
với khoảng thời gian đó.
i
n
i
i
ng
i r
d
P
r
d
P
dT 




 


i
n
i
i
ng
i r
d
P
r
d
P
T
T 







 1
2
(11. 32)
9/29/2023 116

• 11. 5. Trường lực bảo toàn và thế năng .
Trường lực thế , là khoảng không gian vật lý, trong
đó công của các lực đặt lên chất điểm không phụ
thuộc hình dạng quỹ đạo chuyển động của chất điểm
mà chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và cuối của nó
Lực thế . Là lực do trường lực thế tác dụng lên
chất điểm đặt trong nó.
•Định luật bảo toàn cơ năng .
Trường trọng lực là trường lực thế
Trọng lực là lực thế.
9/29/2023 117

Thế năng. Thế năng của cơ hệ tại một vị trí M nào
đó bằng công của lực thế tác dụng lên cơ hệ khi
nó di chuyển từ vị trí đó về vị trí “0”:
0

Mo .
( )
П = П( x1, y1, z1;. . .; xn, yn, zn ).
Q = ∑Qi ; h – cao độ khối tâm của cơ hệ
Thế năng của trọng lực : Qh


 ;
MMo
M A

 . (11. 33)
Thế năng của lực đàn hồi của lò xo:
 
2
2
)
(
2
1
O
O
z
c 
 



δo - biến dạng của lò xo tại vị trí cân
bằng tĩnh O;
z – chuyển vị của lò xo tính từ vị trí cân
bằng tĩnh .
O1
O
z
δo
9/29/2023 118

•Một số tính chất:
+/ Công của các lực thế khi cơ hệ di chuyển trong
trường lực thế bằng hiệu thế năng của vị trí đầu và
vị trí cuối của cơ hệ trong di chuyển đó .
2
1
)
2
1
( M
M
M
M
A 


 . (11. 34)
Chứng minh:
)
1
(
1 Mo
M
M A

 ; )
2
(
2 Mo
M
M A


2
)
2
1
(
)
2
(
)
2
1
(
)
2
!
(
)
1
(
1
M
M
M
Mo
M
M
M
Mo
M
M
Mo
M
M
A
A
A
A
A








.
2
1
)
2
1
( M
M
M
M
A 


 .
9/29/2023 119

x
Px




 ;
y
Py




 ;
z





z
P .
+/ (11. 35)
Chứng minh:
M(x, y, z) M’(x+dx, y+dy, z+dz):
)
( '
'
)
'
( M
M
M
M
MM
A 








Hay dA = – d Π
dA = ∑(Pixdxi + Piydyi + Pizdzi ).
(11. 20)
)
( i
i
i
i
i
i
dz
z
dy
y
dx
x
d












  .
; ;
ix iy iz
i i i
P P P
x y z
  
     
  
.
9/29/2023 120

• Định luật bảo toàn cơ năng.
Theo định lý động năng :
)
(MoM
Mo
M A
T
T 

Theo tính chất thứ nhất của các lực thế:





 Mo
Mo
M
M T
T const.
Vậy, khi cơ hệ chuyển động trong trường lực thế
thì tổng cơ năng của cơ hệ không thay đổi,
nghĩa là, cơ năng của cơ hệ được bảo toàn.
Trường lực thế là trường lực bảo toàn.
M
Mo
MoM
A 



)
(
.
M
Mo
Mo
M T
T 




.
9/29/2023 121

Chương 12
ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN
12. 1. Mômen quán tính. 12. 1. 1. Định nghĩa.
Mômen quán tính của hệ chất điểm đối với trục z là
một đại lượng vô hướng, bằng tổng các tích số của
khối lượng mỗi chất điểm với bình phương khoảng
cách từ trục z đến chất điểm đó.
2
i
i
Z d
m
J 
 (12. 1)
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
i
i
i
Z
i
i
i
y
i
i
i
X
y
x
m
J
x
z
m
J
z
y
m
J









(12. 1a) O
y
z
x
yi
xi
zi
Mi
di
ri
9/29/2023 122

• Mômen quán tính đối với tâm O :
)
(
2
1
Z
y
X
O J
J
J
J 


Mômen quán tính tích :
)
( 2
2
2
2
i
i
i
i
i
i
O z
y
x
m
r
m
J 




 ; (12. 2)
Đơn vị của mômen quán tính là kgm2.
(12. 3)
yx
xy J
J  ; zy
yz J
J  ; xz
J

zx
J
Trong kỹ thuật, đối với vật rắn
2

M
JZ  (12. 1b)
M
JZ

 bán kính quán tính của vật đối với trục;
M khối lượng của vật.
;
;
; i
i
i
zx
i
i
i
yz
i
i
i
xy x
z
m
J
z
y
m
J
y
x
m
J 





9/29/2023 123

12.1. 2. Mômen quán tính của vật rắn đồng chất
đơn giản.
1.Thanh đồng chất chiều
dài l, khối lượng M.
l
M
x
m i
i


 .
i
i
i
i
i
i
Ay x
x
l
M
x
l
M
x
x
m
J 







 2
2
2
3
lim
2
0
2
2
0
l
M
dx
x
l
M
x
x
l
M
J
l
i
i
i
x
Ay





 


.(12. 4)
12
2
2
2
'
l
M
dx
x
l
M
J
l
l
Oy


 

. (12. 5)
A B x
y
xi
O
y’
xi
∆xi
mi
9/29/2023 124

2.Vòng tròn đồng chất tâm O, khối lượng M, bán kính R.
2 2 2 2
z i i i i
J m d m R R m MR
        .(12. 6)
)
(
2
1
z
y
x
Z
O J
J
J
J
J 



2
2
1 2
MR
J
J
J z
y
x 

 .
(12. 7)
mi
y
x
O
R
9/29/2023 125

•
3.Tấm tròn đồng chất có khối lượng M, bán kính R .
i
i
i
m 

 
 2 ;
2
R
M

  .
i
i
i
i
Z m
J 

 


 3
2
2 ;
i
i
Z
Z J
J 
 




 3
2 ;
2
0
3
2
1
2 MR
d
J
R
Z  
 
 .
(12. 8)
4
2
1 2
MR
J
J
J z
y
x 


(12. 9)
O
x
y
9/29/2023 126

4.Tấm chữ nhật đồng chất.
.
12
)
( 2
2
b
a
M
JZ

 (12. 10)
O
x
y
a
b
12
2
Mb
Jy 
;
12
2
Ma
JX 
• 12. 1. 3. Các định lý về mômen quán tính.
Định lý Huyghen . Mômen quán tính của vật rắn đối
với một trục bất kỳ bằng tổng mômen quán tính của
vật đối với trục song song với trục đã cho đi qua khối
tâm của vật và tích của khối lượng của vật với bình
phương khoảng cách giữa hai trục.
2
' Md
J
J Z
Z 
 (12. 11)
9/29/2023 127

Chứng minh.
i
i
i d
d 

 2
' 2
2
2


 cosα
= i
i dy
d 2
2
2





 2
' 'i
i
Z m
J 
z’
Mi
yi
xi
zi
C
x
y
z
ρi
α
,
i

d
α
A
Jz – momen qt của vật đối với trục z đi qua khối tâm;
Jz’ – momen qt của vật đối với trục z’ song song với
trục z;
i
i
i
i
i y
m
d
m
d
m 




 2
2
2

2
' Md
J
J Z
Z 

0

.

 C
i
i y
M
y
m
C - khối tâm của vật;
Mi - chất điểm thuộc vật;
9/29/2023 128

Định lý . Mômen quán tính của vật rắn đối với trục L
bất kỳ đi qua gốc toạ độ :
JL= Jxcos2
α + Jycos2
β +Jzcos2
γ – 2 J
xycosαcosβ –
2Jyzcosβcosγ – 2 J
zxcosγcosα.
)
(
2
2
2
i
i
i
i
i
L OD
OM
m
d
m
J 



 .
2
2
2
2
i
i
i
i z
y
x
OM 


cos2
α + cos2
β + cos2
γ = 1.

2
i
OD (xicosα +yicosβ + zicosγ)2
.
i
L m
J 
 [(xi
2
+ yi
2
+ zi
2
)(cos2
α + cos2
β + cos2
γ) –
(xicosα + yicosβ + zicosγ)2
].
Khai triển, sắp xếp lại sẽ được (12. 12)
(12. 12)
x
y
z
L
M
i
x
i
y
i
z
i
O
D
i
α
β
γ
di
2
2
)
.
( l
OM
OD i
i 

l Vectơ đơn vị chỉ phương trục L.
9/29/2023 129

12.1. 4. Trục quán tính chính và trục quán tính
chính trung tâm.
*Trục Oz được gọi là trục quán tính chính trung tâm
nếu nó là trục quán tính chính và đi qua khối tâm .
Jzx = Jzy = 0 . (12. 13)
Định lý . Nếu vật đồng chất có một trục đối xứng
thì trục đó là trục quán tính chính trung
tâm.
Định nghĩa. *Trục Oz được gọi là trục quán tính chính
tại O nếu thoả mãn các điều kiện:
9/29/2023 130

Định lý . Nếu vật đồng chất có mặt phẳng đối xứng
thì mọi trục vuông góc với mặt phẳng đối
xứng là trục quán tính chính tại giao điểm
của trục với mặt phẳng đối xứng.
Trọng tâm của vật nằm trong mặt phẳng đối xứng nên
trục quán tính chính trung tâm là trục vuông góc với
mặt phẳng đối xứng tại trọng tâm.
9/29/2023 131

Liz = mividi = midi
2ω.
Lz = ∑Liz = ∑midi
2ω = ω∑midi
2.
(12. 1) : ∑midi
2 = Jz
Mômen động lượng của vật
rắn quay chung quanh một trục
cố định bằng tích của mômen
quán tính của vật đối với trục
quay và vận tốc góc của nó.
( a )
( ) ;
ng
z
z i z
dL
m P M
dt
 

Lz = Jz.ω. (12. 16 )
di
φ
Mi
vi
x
y
z
O1
O2
mivi
9/29/2023 132

•Động năng của vật:


2
2
i
iv
m
T trong đó vi = diω
2 2 2
2
2 2
i i
i i
m d
T m d
 
 
 
2
2

Z
J
T 
hay (12. 18)
Mz = const , vật chuyển động quay biến đổi đều.
;
Z Z
J M
  .
Z
Z M
J 

 .
(12. 17)
hay (12. 17a)
;
Z Z
J M
 
LZ ( a ):
Khi Mz = 0, vật chuyển động quay đều;
9/29/2023 133

dA = Pxdx +Pydy + Pzdz .
xi = dicosφ ;
yi = disinφ ;
zi = const.
dyi = dicosφ.dφ = xidφ ; dzi = 0 .
dAi = Pixdxi + Piydyi + Pizdzi
Công của lực tác dụng lên vật:
Xét chất điểm Mi của vật:
dxi = – disinφ.dφ = – yidφ ;
x
y
z
Mi
xi
yi
φ
O
= (xiPiy – yi Pix )dφ = mz( Pi )dφ = Mzi dφ.
Công nguyên tố:
Pi - lực tác dụng lên c/đ Mi;
9/29/2023 134

zi
zi
i M
d
d
M
dA
dA 




 

Mz = const
Mz – tổng mômen của các lực tác dụng đối với
trục quay z.
z
zi M
M 

dA = Mz.dφ . (12. 19)
Công suất:
30
n
M
M
M
dt
dA
N z
z
z


 


  . (12. 20)
A = Mz.φ.
9/29/2023 135

12. 3 . Vật rắn chuyển động song phẳng.
JC – mômen quán tính của vật đối với trục vuông
góc với mặt phẳng xOy và đi qua khối tâm C;
x
C P
x
M 

 ; y
C P
y
M 

 ; C
M



C
J . (12. 21)
Động năng :
2
2
1

P
J
T 
ω – vận tốc góc của vật .
2
PC
M
J
J C
P 

 .
2 2
1 1
( )
2 2
C
T J M PC
 
   2
2
2
1
2
1
C
C Mv
J 
  .(12. 22)
JP – mômen quán tính của vật đối với trục vuông góc
với mặt phẳng xOy và đi qua tâm vận tốc tức thời P.
M – khối lượng của vật.
9/29/2023 136

Chương 13
TĨNH HỌC GIẢI TÍCH –
NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN CÓ THỂ
13. 1. Cơ hệ không tự do.
13.1.1. Khái niệm về cơ hệ không tự do.
Cơ hệ không tự do là cơ hệ mà vị trí, vận tốc của các phần
tử thuộc cơ hệ bị ràng buộc bởi một số điều kiện hình học
và động học nào đó cho trước.
O x
x
y
y
M
l
a/
x
y
O
A
B
r l
φ
b/
9/29/2023 137

13.1.2. Liên kết và phương trình liên kết,
các loại liên kết.
Liên kết
biểu thị về mặt toán học các điều kiện liên kết:
0
)
,
,
,...,
,
,
,
,
,
,...,
,
,
,
( 1
1
1
1
1
1 
 n
n
n
n
n
n z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
t
f 





 ;
(13. 1)
s
,
1


: điều kiện ràng buộc cơ hệ về mặt hình học
và động học đối với vị trí và vận tốc các
phần tử thuộc cơ hệ.
Phương trình và bất phương trình liên kết :
9/29/2023 138

. (s =1).
2 2 2
0;
f x y l
   
f1 = xA
2
+ yA
2
- r2
= 0;
f2 = (xB – xA)2
+ yA
2
– l2
= 0;
f3 = yB = 0. ( s = 3 )
O O1
A B
x
y
r1 r2
l
a
f1 = xA
2
+ yA
2
– r1
2
= 0;
f2 = (xB – a)2
+ yB
2
– r2
2
= 0;
f3 = (xB – xA)2
+ (yB – yA)2
– l2
= 0.
O x
x
y
y
M
l
x
y
O
A
B
r l
φ
( s = 3 )
9/29/2023 139

O
y
x
M
f( t, x, y ) = x2
+ y2
– l2
 0
.
*OM - thanh mảnh cứng không
trọng lượng :
f( t, x, y ) = x2 + y2 – l2 = 0 .
*l = l( t ) và dây luôn luôn ở trạng
thái căng :
f(t, x, y) = x2
+ y2
– l2
( t ) = 0.
f(t, x, y) = x2 + y2 – ( l – t2)2 = 0.
y
x
M
s
O
*OM – dây :
Ví dụ s = t2 :
l - chiều dài đoạn OM.
9/29/2023 140

• Các loại liên kết.
*Liên kết giữ và liên kết không giữ ( thể hiện bằng
phương trình hoặc bất phương trình liên kết ).
*Liên kết dừng và liên kết không dừng (không hoặc
có chứa thời gian t ).
*Liên kết hôlônôm và liên kết không hôlônôm (không
hoặc có chứa yếu tố vận tốc).
Chỉ khảo sát các cơ hệ chịu liên kết giữ, dừng
và hôlônôm :
fα(x1, y1, z1, . . . , xn, yn, zn) = 0; n
s 3
,
1 

 . (13. 2)
9/29/2023 141

12.2 . Di chuyển có thể và số bậc tự do của cơ hệ.
- Di chuyển có thể của cơ hệ:
+ di chuyển có thể: r
 , δx, δy, δz ,
+ di chuyển thực : r
d , dx, dy, dz.
Ký hiệu:
Là tập hợp các di chuyển vô cùng bé của chất điểm
thuộc cơ hệ từ vị trí đang xét sang vị trí lân cận phù
hợp với các liên kết tại vị trí đang xét.
Ví dụ:
O O1
A
B
x
y
r1
r2
l
a
x x
δx
δx
M
Phân biệt: di ch có thể: chỉ có ý nghĩa về mặt hình
học, không thực sự xẩy ra.
δr M
δrA
δrA
δrB
δrB
9/29/2023 142

Nếu liên kết dừng (mặt
phẳng V cố định ):
M
V r
 r

M
V
dr
Xét điểm M có liên kết
tựa trên mặt phẳng V.
di chuyển thực sẽ xảy ra
theo một phương nào đó
của di chuyển có thể.
9/29/2023 143

• Bậc tự do của cơ hệ.
n - số chất điểm thuộc cơ hệ
Cơ hệ tự do: 3n di chuyển có thể:
Hệ chịu s liên kết dừng:
f1(x1, y1, z1; x2, y2, z2; . . .; xn, yn, zn) = 0;
f2(x1, y1, z1; x2, y2, z2; . . .; xn, yn, zn) = 0;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
fs(x1, y1, z1; x2, y2, z2; . . .; xn, yn, zn) = 0;
δx1, δy1, δz1; δx2, δy2, δz2; . . . ;δxn, δyn, δzn. (13. 3)
r

Di chuyển có thể bất kỳ của 1 chất điểm
δx, δy, δz;
( a )
9/29/2023 144

Vi phân toàn phần ( a ):
n
n
n
n
n
n
z
z
f
y
y
f
x
x
f
z
z
f
y
y
f
x
x
f
f 



























 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n
n
s
n
n
s
n
n
s
s
s
s
s z
z
f
y
y
f
x
x
f
z
z
f
y
y
f
x
x
f
f 



























 1
1
1
1
1
1
.
Số tối đa các di chuyển có thể độc lập của cơ hệ :
(13. 4)
(13. 5)
k = 3n – s .
hệ s phương trình liên kết các di chuyển có thể
số bậc tự do của cơ hệ.
9/29/2023 145

• Ví dụ :
M2
O
M1
φ
θ
z
y
x
Cơ cấu điều chỉnh ly tâm :
M1 và M2 chỉ có thể chuyển động theo mặt cầu
bán kính OM1 = OM2 = R:
f1 = x1
2 + y1
2 + z1
2 – R2 = 0;
f2 = x2
2 + y2
2 + z2
2 – R2 = 0; ( a )
f3 = x1
2 + y1
2 – (x2
2 + y2
2) = 0;
f4 = z1 – z2 = 0.
x1.δx1 + y1.δy1 + z1.δz1 = 0;
x2.δx2 + y2.δy2 + z2.δz2 = 0;
x1.δx1 – x2.δx2 + y1.δy1 – y2.δy2 = 0;
δz1 – δz2 = 0.
(13. 4)
Số bậc tự do của cơ hệ : k = 3n – s = 3.2 – 4 = 2.
( b )
9/29/2023 146

• 13.1.4. Toạ độ suy rộng.
Tập hợp các thông số đủ để xác định
vị trí của cơ hệ trong một hệ quy chiếu nào đó
xi = xi(q1, q2, . . . , qm, t);
yi = yi(q1, q2, . . . , qm,t) ( 13. 6 )
zi = zi(q1, q2, . . . , qm, t).
+ độc lập, đủ để xác định vị trí cơ hệ
→ toạ độ suy rộng đủ
.
Nếu : qj (j = m
,
1 )
+ có mối liên hệ phụ thuộc nhau → toạ độ suy rộng dư.
* Có thể biểu diễn toạ độ Đề các qua toạ độ suy rộng:
Xét phần tử Mi (xi, yi, zi) :
q1, q2, . . . , qm.
* Định nghĩa:
* Ký hiệu:
9/29/2023 147

O
x
y
A
B
φ
ψ
Ví dụ:
*{xA, yA; xB, yB } → toạ độ suy
rộng dư
xA
2
+ yA
2
– OA2
= 0;
(xB – xA)2
+ (yB – yA)2
– AB2
= 0.
*φ và ψ → toạ độ suy rộng đủ
xA = OAcosφ;
yA = OAsinφ;
xB = OAcosφ + ABcosψ;
yB = OAsinφ + ABsinψ.
Số bậc tự do của cơ hệ hôlônôm bằng số toạ độ
suy rộng đủ.
9/29/2023 148

14. 2. Lực suy rộng.
Giả sử - các toạ độ suy rộng đủ xác định
vị trí của cơ hệ.
qj (j = m
,
1 )
Pi - lực tác dụng lên chất điểm Mi .
. Công của lực trong di chuyển có thể:
i
i
i r
P
A 
 


 j
j
i q
Q
A 
 

Vì các toạ độ suy rộng đủ là độc lập với nhau nên có
thể cho qj một di chuyển có thể δqj và giữ nguyên
các toạ độ khác; các chất điểm Mi của cơ hệ sẽ có di
chuyển tương ứng δri .
hay
j
i
i
j
q
r
P
Q





Gọi là lực suy rộng ứng
với toạ độ suy rộng qj.
tuỳ theo qj có thứ nguyên của độ dài hay góc quay mà
Qj có thứ nguyên của lực hoặc momen .
9/29/2023 149

• Ví dụ 14. 1.
Chọn φ - toạ độ suy rộng .
Tìm lực suy rộng Qφ tương ứng.
Thanh OA đồng chất có thể
quay quanh trục vuông góc
với bản vẽ đi qua O.
B
P1
P2
A
φ
O
9/29/2023 150

φ δφ;
A, B sẽ có chuyển vị:


2
1
l
r 


 
Q
l
P
P









 sin
2
2
1
.

 sin
2
2 2
1
l
P
P
Q


 .
φ
δφ
δr1
δr2
90o
O
A
P2
δr1sinφ
B
P1
δr2sinφ
B’
A’
AA’ = δr1; BB’ = δr2;
;
sin
sin 2
2
1
1 




 
Q
r
P
r
P
A 



δr2 = l.δφ.
9/29/2023 151

• 13. 1. 5 Lực suy rộng .
. Công của lực trong di chuyển có thể:
(11. 20),(11. 20,a):
)
( i
iz
i
iy
i
ix
i
i
i z
P
y
P
x
P
r
P
A 



 







q1, q2, . . . ,qm - các toạ độ suy rộng đủ :
j
j
i
i q
q
x
x 
 


 ; j
j
i
i q
q
y
y 
 


 ; j
j
i
i q
q
z
z 




 .
i
r

di chuyển có thể
cơ hệ
xi = xi(q1, q2, . . . , qm, t);
yi = yi(q1, q2, . . . , qm, t);
zi = zi(q1, q2, . . . , qm, t).
( 13. 6 ):
9/29/2023 152


 


 



























m
j
j
j
j
m
j
n
i j
i
iz
j
i
iy
j
i
ix
i q
Q
q
q
z
P
q
y
P
q
x
P
A
1
1 1



(13. 7)
j
i
n
i
i
n
i j
i
iz
j
i
iy
j
i
ix
j
q
r
P
q
z
P
q
y
P
q
x
P
Q



















 


 1
1
(13. 8)
Qj - lực suy rộng tương ứng với toạ độ suy
rộng qj .
Lực suy rộng là đại lượng vô hướng.
9/29/2023 153

• Tìm lực suy rộng Qj ứng với toạ độ suy rộng qj:
* Dùng biểu thức (13. 8);
* Tính công theo (13. 7) rồi suy ra;
-Cho qj một di chuyển có thể δqi, giữ nguyên các toạ
độ q khác;
2
1; r
r 
 , . . . , n
r
 .
j
i
i
j
qj
i
j
q
r
P
q
A
Q



 





(13. 9)
j
j
i
i
qj
i q
Q
r
P
A 

 





 .
*Sử dụng tính chất: các toạ độ suy rộng đủ là độc lập
nhau, các biến phân của chúng độc lập:
Các điểm của cơ hệ có di chuyển tương ứng:
Công của các lực trong di chuyển có thể trên:
9/29/2023 154

Trường hợp lực có thế:
П[xi(q1,...,qm), yi(q1,...,qm), zi(q1,...,qm)]
;
i i i
j
i j i j i j j
x y z
Q
x q y q z q q
 
  
   
        
 
 
      
 

j
j
q
Q




 ; )
,
1
(
( m
j  . (13. 10)
Biểu diễn hàm thế năng qua toạ độ suy rộng:
(11. 35) : ; ; ;
x y z
P P P
x y z
  
     
  
;
i i i
j ix iy iz
j j j
x y z
Q P P P
q q q
 
  
  
 
 
  
 

(13. 8):
= П(q1, q2, . . . , qm) .
9/29/2023 155

• 13.1.6. Liên kết lý tưởng.
Liên kết được gọi là lý tưởng nếu tổng công của
tất cả các phản lực liên kết trong mọi di chuyển
có thể của cơ hệ đều bằng không.
0
)
(
1








i
iz
i
iy
n
i
i
ix z
N
y
N
x
N 

 .
i
N – lực liên kết tác dụng lên chất điểm Mi của cơ hệ ;
i
r
 – di chuyển có thể của chất điểm Mi.
0
1




i
n
i
i r
N  . (13. 11)
Bỏ qua ma sát và tính đàn hồi, đa số các liên kết
thường gặp đều là lý tưởng.
9/29/2023 156

13. 2. Nguyên lý di chuyển có thể.
Đối với cơ hệ chịu liên kết hôlônôm, giữ, dừng và lý
tưởng, điều kiện cần và đủ để cơ hệ cân bằng tại một
vị trí đang xét là tổng công nguyên tố của các lực hoạt
động trong mọi di chuyển có thể của cơ hệ từ vị trí
đang xét đều triệt tiêu :
.
0




 i
i
i r
P
A 
 (13. 12)
i
P -lực hoạt động tác dụng lên chất điểm Mi
của cơ hệ;
i
r
 - di chuyển có thể của chất điểm Mi.
0
)
( 


 i
iz
i
iy
i
ix z
P
y
P
x
P 


hay (13. 12a)
9/29/2023 157

• Chứng minh điều kiện cần.
- Cơ hệ ở vị trí cân bằng: 0

 i
i N
P
- Di chuyển có thể hệ : Mi i
r
 .
0
)
( 

 i
i
i r
N
P 
0
1
1



 



i
n
i
i
i
n
i
i r
N
r
P 
 .
0
1




i
n
i
i r
N  0
1




i
n
i
i r
P  .
9/29/2023 158

CM điều kiện đủ.
i
r
d
Giả sử c/đ Mi nào đó thực hiện di chuyển thực
cùng phương với lực
i
i
i N
P 


Liên kết dừng trùng với một nào đó
i
r
d i
r

0
)
( 

 i
i
i r
N
P  0
)
(
1





i
i
n
i
i r
N
P 
0
1




i
n
i
i r
P 
0
1




i
n
i
i r
N 
trái với giả thiết, hệ luôn cân bằng
9/29/2023 159

• Chương 14
• NGUYÊN LÝ ĐA-LĂM-BE
14.1. Lực quán tính.
P chất điểm M a.
gia tốc
a
m
P  0
)
( 

 a
m
P (14. 1)
)
( a
m
 - lực quán tính, ký hiệu
qt
F
a
m
F
qt

 . (14. 2)
Trong hệ toạ độ Đề các :
x
m
F qt
x 


 ; y
m
F qt
y 


 ; z
m
F qt
z 


 .
Trong hệ toạ độ tự nhiên :
qt
n
qt
t
qt
F
F
F 
 .
t
qt
t a
m
F 
 – lực quán tính tiếp tuyến;
n
qt
n a
m
F 
 – lực quán tính pháp tuyến;
9/29/2023 160

14. 2. Nguyên lý Đa-lăm-be.
14.2.1. Phát biểu nguyên lý : * Đối với chất điểm :
Tại mỗi thời điểm lực tác dụng vào chất điểm và lực
quán tính của chất điểm cân bằng nhau.
0

 qt
F
P . (14. 3)
Với chất điểm không tự do : 0


 qt
F
N
P .
- phản lực liên kết.
N
• Đối với cơ hệ:
Tại mỗi thời điểm, các lực tác dụng lên các chất điểm
của cơ hệ và các lực quán tính của các chất điểm
thuộc cơ hệ tạo thành hệ lực cân bằng.
0
)
,...,
,
,
,...,
,
( 2
1
2
1 
qt
n
qt
qt
n F
F
F
P
P
P . (14. 4)
.
0
)
)
(
;
0 






 qt
i
O
ng
i
O
qt
i
ng
i F
m
P
m
F
P (14. 5)
9/29/2023 161

14.2.2. Véctơ chính và vectơ mômen chính của
các lực quán tính của vật rắn chuyển động.
*Vectơ chính (đối với cơ hệ bất kỳ): C
i
i r
M
r
m 

+ Vật rắn chuyển động tịnh tiến.
.
i
i
i
i
qt
i
C
qt
C a
m
r
r
F
m
m 







 qt
i
F
)
(
C - khối tâm, gốc toạ độ
0; ; 0; qt
C i C i i C i i i C
r a a m r M r F m a M a
         ,
0












C
C
i
i
C
i
i
C
i
i
i
qt
C
r
M
a
r
m
a
r
m
a
r
m
a
m
Hệ lực quán tính thu về một lực đặt tại C:
C
qt
a
M
F 
 . (14. 7)
C
i
i
qt
i
qt
a
M
a
m
F
F 





 (14. 6)
* Mômen chính:
9/29/2023 162

qt
in
qt
it
qt
i F
F
F 



 z
i
i
i
i
i
t
i
i
i
qt
O J
d
m
d
m
d
a
m
d
m 









 )
( 2
Jz – mômen q/ tính của tấm
đối với trục vuông góc với mặt
phẳng tấm và đi qua O.

z
qt
z
qt
O J
m
m 

 (14. 8)
Hệ lực quán tính lực qt
F
và ngẫu lực mo
qt
= – Jzε .
+ Tấm phẳng quay quanh trục cố định vuông góc với tấm.
O
Mi
di
F
qt
it
F
qt
in
9/29/2023 163

Hệ lực quán tính thu gọn về một ngẫu lực:
mC
qt
= mz
qt
= – Jzε
+ Tấm phẳng chuyển động song phẳng.
Hệ thu về một lực quán tính và một ngẫu lực:
.
; 
z
qt
C
C
qt
C J
m
a
M
F 



*Nếu trục quay đi qua khối tâm C :
0


 C
qt
a
M
F
9/29/2023 164

• 14.2.3.Phương trình xác định phản lực trục quay.
i
P – lực tác dụng
lên chất điểm Mi;
i
qt
i a
m
F 
 –
lực quán tính của
chất điểm Mi.
;
0
)
(
;
0
)
(
;
0
)
(
2
1
2
1
2
1















z
z
i
iz
y
y
i
iy
x
x
i
i
ix
N
N
z
m
P
N
N
y
m
P
N
N
x
m
P






Hệ ph/trình cân bằng lực:
( a )
Mi(xiyizi)
z
a
x
y
O1
O2
vi
N2z
N2y
N2x
N1z
N1y
N1x
9/29/2023 165

 
 
  .
0
)
(
)
(
)
(
;
0
)
(
)
(
)
(
;
0
)
(
)
(
)
(
2
2


























i
i
i
i
i
i
ix
i
iy
i
x
i
i
i
i
i
i
iz
i
ix
i
y
i
i
i
i
i
i
iy
i
iz
i
x
m
y
y
m
x
P
y
P
x
aN
z
m
x
x
m
z
P
x
P
z
aN
y
m
z
z
m
y
P
z
P
y












i
i y
x 

 
 ; ;
i
i x
y 
 
 .
0

i
z

.
0
;
;
2
2











i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
z
y
x
x
x
y
x
y
y
y
x




















( b )
C
i
i Mx
x
m 
 ; C
i
i My
y
m 
 ;
xz
i
i
i J
z
x
m 
 ; yz
i
i
i J
z
y
m 
 .
Thay (b) vào (a) và chú ý rằng:
9/29/2023 166

2
1 2
2
1 2
1 2
2
2
2
2
0;
0;
0;
0;
0;
.
x x x C C
y y y C C
z z z
y x yz xz
x y xz yz
z z
N N P Mx My
N N P My Mx
N N P
aN M J J
aN M J J
M J
 
 
 
 

    
    
  
    
   

Nhận xét : Các thành phần phản lực tại các ổ trục
không chỉ phụ thuộc vào lực tác dụng lên vật mà còn
phụ thuộc vị trí khối tâm, vận tốc và gia tốc của vật ,
gọi là các thành phần phản lực động lực học.
Để thành phần phản lực động lực học triệt tiêu:
xC = yC = 0; Jyz = Jzx = 0.
trục quay của vật phải là trục quán tính chính trung tâm .
9/29/2023 167

• 14. 3. Phương trình Đa lăm be – La gơ răng.
Cơ hệ chịu liên kết hôlônôm, giữ, dừng và lý tưởng
gồm các chất điểm : M1, M2, . . ., Mi, . . ., Mn
i
P , i
N , i
a .
Mi : i
i
qt
i a
m
F 
 .
0
1




i
n
i
i r
N
n  .
Cho hệ một di chuyển có thể:
(liên kết lý tưởng)
Theo nguyên lý di chuyển có thể :
0
)
( 

 i
i
i
i r
a
m
P  .
Là phương trình tổng quát của động lực học hay
còn gọi là phương trình Đalămbe – Lagơrăng.
(14. 11)
  0
)
(
)
(
)
( 







 i
i
i
iz
i
i
i
iy
i
i
i
ix z
z
m
P
y
y
m
P
x
x
m
P 

 




 .
(14. 12)
Lực quán tính:
9/29/2023 168

• Chương 15
• PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG
• CỦA CƠ HỆ KHÔNG TỰ DO
15. 1 . Phương trình Lagơrăng loại II.
Khảo sát chuyển động của cơ hệ hôlônôm có m bậc
tự do.
Các toạ độ suy rộng đủ : q1, q2, . . . , qm.
Toạ độ Đề các của chất điểm Mi :
xi = xi ( q1, q2, . . . , qm );
yi = yi( q1, q2, . . . , qm ); ( a )
zi = zi ( q1, q2, . . . , qm ).
9/29/2023 169

  ,
0
)
(
)
(
)
(
1








n
i
i
i
i
iz
i
i
i
iy
i
i
i
ix z
z
m
P
y
y
m
P
x
x
m
P 

 





Phương trình tổng quát của động lực học:
Hay
.
0
)
(
)
(
1
1
















i
iz
i
iy
i
n
i
ix
i
i
i
i
i
i
n
i
i
z
P
y
P
x
P
z
z
y
y
x
x
m





 





( b )
;
1
2
2
1
1
j
m
j j
i
m
m
i
i
i
i q
q
x
q
q
x
q
q
x
q
q
x
x 



 
 















;
1
2
2
1
1
j
m
j j
i
m
m
i
i
i
i q
q
y
q
q
y
q
q
y
q
q
y
y 



 
 















;
1
2
2
1
1
j
m
j j
i
m
m
i
i
i
i q
q
z
q
q
z
q
q
z
q
q
z
z 



 
 















Đạo hàm ( a ) , với đối số là q1, q2, . . . , qm :
9/29/2023 170

Đạo hàm ( a ) , với đối số là q1, q2, . . . , qm :
;
1
2
2
1
1
j
m
j j
i
m
m
i
i
i
i q
q
x
q
q
x
q
q
x
q
q
x
x 



 
 















;
1
2
2
1
1
j
m
j j
i
m
m
i
i
i
i q
q
y
q
q
y
q
q
y
q
q
y
y 



 
 















;
1
2
2
1
1
j
m
j j
i
m
m
i
i
i
i q
q
z
q
q
z
q
q
z
q
q
z
z 



 
 















9/29/2023 171

).
(
1 j
i
i
j
i
i
j
i
i
n
i
i
q
z
z
q
y
y
q
x
x
m
A








 







).
(
1 j
i
iz
j
i
iy
n
i j
i
ix
q
z
P
q
y
P
q
x
P
B








 

.
0
)
(
1




B
A
q
m
j
j
 ( b’ )
Thay vào phương trình tổng quát của động lực học,
nhóm lại theo tổng :
.
0
)
(
)
(
1 1
1
1


















 


 


j
i
iz
m
j
n
i j
i
iy
j
i
ix
j
j
i
i
j
i
i
j
i
i
n
i
i
m
j
j
q
z
P
q
y
P
q
x
P
q
q
z
z
q
y
y
q
x
x
m
q

 




 ( b’ )
9/29/2023 172

;
























j
i
i
j
i
i
j
i
i
q
x
dt
d
x
q
x
x
dt
d
q
x
x 



;
























j
i
i
j
i
i
j
i
i
q
y
dt
d
y
q
y
y
dt
d
q
y
y 


 ( c )
;
























j
i
i
j
i
i
j
i
i
q
z
dt
d
z
q
x
z
dt
d
q
z
z 



Biến đổi A:
Vi phân ( a )theo quy luật của hàm phức:
;
2
2
1
1 t
x
q
q
x
q
q
x
q
q
x
x i
m
m
i
i
i
i















 



;
2
2
1
1 t
y
q
q
y
q
q
y
q
q
y
y i
m
m
i
i
i
i















 


 ( d )
;
2
2
1
1 t
z
q
q
z
q
q
z
q
q
z
z i
m
m
i
i
i
i















 



gọi là các vận tốc suy rộng của cơ hệ .
m
q
q
q 

 ,
,
, 2
1 


9/29/2023 173

Trường hợp liên kết là dừng : .
0
;
0
;
0 








t
z
t
y
t
x i
i
i
Vi phân ( d ) :
;
j
i
j
i
q
x
q
x







;
j
i
j
i
q
y
q
y







;
j
i
j
i
q
z
q
z







( e)
Từ ( d ) lấy các đạo hàm riêng phần của theo qj
i
i
i z
y
x 

 ,
,
j
i
m
j
m
i
j
i
j
i
j
i
q
t
x
q
q
q
x
q
q
q
x
q
q
q
x
q
x





















 2
2
2
2
2
1
1
2




( * )
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
coi như là hàm của q1, q2, . . . , qm, t :
j
i
q
x













j
i
q
x
dt
d
t
q
x
q
q
q
x
q
q
q
x
q
q
q
x
j
i
m
m
j
i
j
i
j
i


















 2
2
2
2
2
1
1
2


 ( ** )
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9/29/2023 174

•
So sánh (*) và ( ** ):
;













j
i
j
i
q
x
dt
d
q
x

;













j
i
j
i
q
y
dt
d
q
y

;













j
i
j
i
q
z
dt
d
q
z
 ( f )
( e ) và ( f ) ( c )
;
j
i
i
j
i
i
j
i
i
q
x
x
q
x
x
dt
d
q
x
x















 






;
j
i
i
j
i
i
j
i
i
q
y
y
q
y
y
dt
d
q
y
y















 






;
j
i
i
j
i
i
j
i
i
q
z
z
q
z
z
y
dt
d
q
z
y















 






9/29/2023 175

• :
Nhân với mi rồi cộng theo từng vế:


































j
i
i
j
i
i
j
i
i
i
j
i
i
j
i
i
j
i
i
i
q
z
z
q
y
y
q
x
x
m
dt
d
q
z
z
q
y
y
q
x
x
m














 )
(

















j
i
i
j
i
i
j
i
i
i
q
z
z
q
y
y
q
x
x
m





 .



































 2
2
2
2
2
1
)
(
2
1
i
i
j
i
i
i
i
j
j
i
i
j
i
i
j
i
i
i v
m
q
z
y
x
m
q
q
z
z
q
y
y
q
x
x
m













 .
























 2
2
1
i
i
j
j
i
i
j
i
i
j
i
i
i v
m
q
q
z
z
q
y
y
q
x
x
m





 .
  

























 





2
1
1
2
1 2
1
2
1
)
( i
i
n
i j
n
i
i
i
j
j
i
i
j
i
i
j
i
i
i
n
i
v
m
q
v
m
q
dt
d
q
z
z
q
y
y
q
x
x
m
A







9/29/2023 176

Biến đổi và A chú ý 2
1 2
1
i
i
n
i
v
m
T 


j
j q
T
q
T
dt
d
A















.
Từ (13. 8)
B = j
j
i
iz
j
i
iy
n
i j
i
ix Q
q
z
P
q
y
P
q
x
P 










)
(
1
.
0
)
(
1




B
A
q
m
j
j

( b’ ):
9/29/2023 177

Các δq1, δq2 . . . δqm độc lập với nhau nên
j
j
j
Q
q
T
q
T
dt
d















. )
,
1
( m
j  . ( 15. 1)
là phương trình Lagơrăng loại II.
Số phương trình bằng số toạ độ suy rộng đủ và bằng
số bậc tự do của cơ hệ.
( g )
1
0.
m
j j
j j j
d T T
Q q
dt q q


 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 

9/29/2023 178

•Trường hợp lực có thế:
Π = Π(q1, q2, . . . , qm ) .
j
j
q
Q




 , )
,
1
( m
j  .
j
j
j q
q
T
q
T
dt
d



















. )
,
1
( m
j  . (15. 2)
* Ngoài lực có thế còn có các lực khác:
j
j
j
j
Q
q
q
T
q
T
dt
d



















. )
,
1
( m
j  . (15. 3)
9/29/2023 179

• 15. 2. Các tích phân đầu của chuyển động.
15.2.1. Tích phân năng lượng.
Lực có thế : định luật bảo toàn cơ năng :
E = T + Π = const. (15. 4)
gọi là tích phân đầu của c/ động – tích phân năng lượng.
15.2.2. Tích phân xycơlic.
+ Toạ độ xycơlic. qj - toạ độ xycơlic nếu :
+ Tích phân xycơlic.
0



j
q
T
; 0




j
q
; Qj = 0 . (15. 5)
P/ t Lagơrăng loại II tương ứng:
0











j
q
T
dt
d

. 


j
q
T

const. (15. 6)
gọi là tích phân xycơlic.
9/29/2023 180

• Chương 16
• LÝ THUYẾT VA CHẠM
16.1. Khái niệm.
Xung lực va chạm: (16. 1)
Va chạm là một trường hợp đặc biệt của c/đg cơ học:
+ tác dụng của lực lớn trong một khoảng thời gian
rất ngắn;
+ chuyển vị rất nhỏ, không đáng kể;
dt
N
S 


0
.
+ xung lực và sự biến đổi vận tốc là một lượng hữu
hạn, nghĩa là gia tốc trong va chạm rất lớn
lực rất lớn, lực va chạm .
- lực va chạm ; - thời gian va chạm.
N τ
9/29/2023 181

- giai đoạn biến dạng
* Va chạm mềm -- quá trình va chạm không có giai đoạn
khôi phục;
* Va chạm đàn hồi - quá trình va chạm có giai đoạn
khôi phục.
- giai đoạn khôi phục.
Hai giai đoạn va chạm:
• Các giả thiết:
*Bỏ qua các lực thông thường khác chỉ tính đến lực
va chạm;
*Coi như các chất điểm của cơ hệ không di chuyển
trong quá rình va chạm..
9/29/2023 182

xung lực va chạm trong từng giai đoạnlà:
- lực va chạm trong giai đoạn biến dạng và
khôi phục.
dt
N
S
t


1
0
1
1 ; dt
N
S
t


2
0
2
2 . (16. 2)
1
2
S
S
k  .
Hệ số khôi phục: (16. 3)
: Hệ số khôi phục là hằng số
trong quá trình va chạm và chỉ phụ thuộc vật liệu của
các vật va chạm.
va chạm đàn hồi nói chung 0 < k < 1.
*Hệ số khôi phục:
va chạm mềm k = 0; va chạm hoàn toàn đàn hồi k = 1;
Giả thiết của Niutơn :
2
1;N
N
9/29/2023 183

16.2. Các định lý tổng quát của động lực học trong
quá trình va chạm .
16.1.1. Định lý động lượng
ng
i
S
 - tổng xung lượng của các ngoại lực va chạm.
Cơ hệ va chạm thường là vật rắn hoặc hệ vật rắn nên :
C
u
M
K 
1 ; C
v
M
K 
0 .
Định lý: Biến thiên động lượng của cơ hệ trong va
chạm bằng tổng xung lượng của các ngoại lực va chạm.
ng
i
C
C S
v
M
u
M 

 (16. 4)
C
C v
u ; -vận tốc khối tâm của cơ hệ sau và trước
va chạm.
ng
i
K
K S
0
1



9/29/2023 184

16.1.2. Định lý mômen động lượng.
)
( ng
i
o
O
P
m
dt
L
d

 .
-
ng
i
i
ng
i
o P
r
P
m 


 )
( -tổng mômen của các ngoại lực
va chạm tác dụng lên cơ hệ
đối với điểm O,
,
)
( dt
P
r
L
d ng
i
i
i
o 
 
)
(
S
)
1
(
)
2
( ng
i
i
o
ng
i
i
i
o
ng
i
i
i
o
o S
m
r
dt
P
r
L
L 


 






dt
P
r
L
L ng
i
i o
i
o
o )
(
)
1
(
)
2
(


 

cơ hệ không thay đổi vị trí trong va chạm, = const:
ri
- o
L - mômen động lượng của cơ hệ điểm cố định O ;
9/29/2023 185

Định lý: Biến thiên mômen động lượng của cơ hệ đối
với một điểm cố định trong khoảng thời gian va chạm
bằng tổng mômen các xung lượng của các ngoại lực
va chạm đối với cùng điểm cố định ấy.
)
(
)
1
(
)
2
( ng
i
i
o
o
o S
m
L
L 

 . (16. 5)
Định lý : Biến thiên mômen động lượng của cơ hệ đối
với một trục cố định trong khoảng thời gian va chạm
bằng tổng mômen các xung lượng của các ngoại lực
va chạm đối với cùng trục ấy.
)
(
)
1
(
)
2
( ng
i
i
z
z
z S
m
L
L 

 . (16. 6)
9/29/2023 186

Vật rắn quay quanh trục cố định:
ω1 và ω2 - vận tốc góc của vật quay trước/sau va chạm,
)
(
1
2
ng
i
z
z
z S
m
J
J 

 
 (16. 7)
Jz - mômen quán tính của vật đối với trục quay.
16.3 . Va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật chuyển
động tịnh tiến.
Pháp tuyến chung n1In2
→ đường va chạm.
C1C2 → đường xuyên tâm.
n1
n2
I
C1
C2
v1
v2
n1 n2
C1 C2
I
v1 v2
+ Va chạm thẳng: v1, v2 n1In2.
+ Va chạm thẳng xuyên tâm :
n1In2 trùng với C1C2, v1, v2
dọc theo đường xuyên tâm.
9/29/2023 187

Va chạm tịnh tiến thẳng xuyên tâm :
Va chạm đàn hồi với hệ số khôi phục k :
* Giai đoạn biến dạng : τ1 : 1
v , 2
v ,
bắt đầu tiếp xúc:
xung lực va chạm: 1
S .
kết thúc u ,
* Giai đoạn khôi phục : τ2 :
u ,
bắt đầu 1
u , 2
u ,
kết thúc 2
S .
Phương trình va chạm trong giai đoạn biến dạng:
vật thứ nhất: (16. 8)
;
1
0
1
1
1
1 S
dt
N
v
m
u
m 



 

vật thứ hai: (16. 9)
;
1
1
2
2
2 S
dt
N
v
m
u
m 


 

Xung lực S1 và S2 hướng theo đường va chạm
C1IC2 (bỏ qua ma sát)
9/29/2023 188

Phương trình va chạm trong giai đoạn khôi phục:
m1u1 – m1u = – S2 ; (16. 10 )
m2u2 – m2u = S2 ; (16. 11 )
Từ giả thiết của Niutơn về va chạm: S2 = kS1. (16. 12 )
(16. 13) (16. 8), (16. 9):
)
( 2
1
2
1
2
1
1 v
v
m
m
m
m
S 

 . (16. 14 )
(16. 8) và (16. 9)
2
1
2
2
1
1
m
m
v
m
v
m
u


 . (16. 13 )
(16. 12)
)
( 2
1
2
1
2
1
1
2 v
v
m
m
m
m
k
kS
S 


 . (16. 15)
9/29/2023 189

(16. 13), (16. 15) (16. 10), (16. 11)
)
(
)
1
( 2
1
2
1
2
1
1 v
v
m
m
m
k
v
u 



 . (16. 16)
)
(
)
1
( 1
2
2
1
1
2
2 v
v
m
m
m
k
v
u 



 . (16. 17)
(16. 16), (16. 17)
vr, ur - vận tốc tương đối vật thứ 2 đối với vật thứ 1
trước và sau va chạm.
r
r
v
u
v
v
u
u
k 





1
2
1
2
. (16. 18)
9/29/2023 190

• Phương pháp đo hệ số khôi phục:
h1
h2
Vận tốc viên bi khi chạm m/phg ngang:
1
2gh
vr 
ur viên bi nẩy lên được độ cao h2 :
2
2gh
ur 
* Tính lượng mất động năng trong va chạm.
Động năng của cơ hệ trước và sau va chạm:
2
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
v
m
v
m
T 
 ;
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
u
m
u
m
T 
 .
1
2
2
1
2
1
2




h
h
gh
gh
v
u
k
r
r
.
(16. 19)
9/29/2023 191

Lượng mất động năng:
)
(
2
1
)
(
2
1 2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1 u
v
m
u
v
m
T
T
T 





 .
(16. 20)
).
)(
(
2
1
)
)(
(
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1 u
v
u
v
m
u
v
u
v
m
T 






);
(
)
1
( 2
1
2
1
2
1
1 v
v
m
m
m
k
u
v 




);
(
)
1
( 2
1
2
1
1
2
2 v
v
m
m
m
k
u
v 





Vì
)
)(
)(
1
(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
u
u
v
v
v
v
k
m
m
m
m
T 







u1 – u2 = – k(v1 – v2) ,
(16. 18):
9/29/2023 192

)]
(
)[
)(
1
(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
v
v
k
v
v
v
v
k
m
m
m
m
T 







2
2
1
2
2
1
2
1
)
)(
1
(
2
1
v
v
k
m
m
m
m
T 



 . (16. 21)
Trường hợp va chạm mềm, k = 0:
2
2
1
2
1
2
1
)
(
2
1
v
v
m
m
m
m
T 


 . (16. 22)
Va chạm hoàn toàn đàn hồi, k = 1 :
ΔT = 0 . (16. 23)
Trong va chạm hoàn toàn đàn hồi, động năng của
cơ hệ không bị mất đi.
9/29/2023 193

• Trường hợp v2 = 0, tức vật thứ hai ban đầu đứng yên
O
T
k
m
m
m
v
k
m
m
m
m
T )
1
(
)
1
(
2
1 2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1






 .
2
1
1
2
1
v
m
TO  . - động năng của hệ trước va chạm.
)
1
( 2
2
1
2
k
m
m
m
T
T
O




.
Tỷ lệ động năng bị mất đi trong va chạm:
9/29/2023 194

Hiệu suất của quá trình rèn
)
1
(
1
1
)
1
( 2
2
1
2
2
1
2
1 k
m
m
k
m
m
m
T
T
O








 .
Để hiệu suất lớn cần có: 1
2
1

m
m
Trong đóng cọc
)
1
(
1
1
)
1
(
1 2
1
2
2
2
1
1
2 k
m
m
k
m
m
m
T
T
T
T
T
O
O
O












 .
Để hiệu suất lớn cần có: 1
1
2

m
m
9/29/2023 195

16.4. Va chạm của vật quay quanh một trục cố định.
(16. 4) và (16. 7):
)
(
J O
O S
m
J O
O 
 

O
C
C S
S
v
M
u
M 

 ;
Ox
C
C S
S
Mv
Mu 


 
sin
0 = Scosα +SOy.
Jo(ω – ωo) = S.sinα .OI .
OC = a, uC = aω ; vC = aωo.
M - khối lượng của tấm phẳng.
α
C
Soy
Sox
O
S
x
y
I
9/29/2023 196

CO LI THUYET -DONG HOC.pptx

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to CO LI THUYET -DONG HOC.pptx

Similar to CO LI THUYET -DONG HOC.pptx (20)

CO LI THUYET -DONG HOC.pptx