1. Μονοτονία Συνάρτησης - Γ΄ Λυκείου ΕΠΑΛ
1
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1.
Ορισμός
Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα (α,β), αν για οποιουσδήποτε αριθμούς 1 2x ,x
στο (α,β) με 1 2x x ισχύει: 1 2f (x ) f(x )
Σύμφωνα με τον ορισμό σχολιάστε το είδος της μονοτονίας της f(x) στην παρακάτω γραφική παράσταση.
Ορισμός 2
Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα (α,β), αν για οποιουσδήποτε αριθμούς 1 2x ,x
στο (α,β) με 1 2x x ισχύει: 1 2f (x ) f(x )
Σύμφωνα με τον ορισμό σχολιάστε το είδος της μονοτονίας της f(x) στην παρακάτω γραφική παράσταση.
Εργασία 1
Σχολιάστε την μονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων:
α)
β)
y
2
3
4
1
-2
-2
1-1 2 3 x

2. Μονοτονία Συνάρτησης - Γ΄ Λυκείου ΕΠΑΛ
2
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2 .
Η κόκκινη καμπύλη παριστάνει την γραφική παράσταση της f και η μπλε την γραφική παράσταση της f .
Mπορείτε να καταλάβετε την σχέση που συνδέει το πρόσημο της f ΄σε ένα διάστημα Δ, με τη μονοτονία της
συνάρτησης f στο Δ;. Η σχέση αυτή φαίνεται στο επόμενο θεώρημα.
Θεώρημα:
Έστω μία συνάρτηση f , παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β) Αν f ΄(x)>0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του (α,β)
, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (α,β). Αν f ΄(x)<0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του (α,β) ,
τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (α,β).Αν f ΄(x)=0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του (α,β) , τότε
η f είναι σταθερή στο διάστημα (α,β).
Εργασία 2
Διατυπώστε το αντίστροφο του θεωρήματος και εξετάστε αν ισχύει. Δικαιολογήστε την απάντηση σας
παρατηρώντας την συνάρτηση geo4 f(x)=
3
x .

3. Μονοτονία Συνάρτησης - Γ΄ Λυκείου ΕΠΑΛ
3
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3.
Μελέτη μονοτονίας με την f ΄
i) Βρίσκουμε την f ΄
ii) Βρίσκουμε τις ρίζες της f ΄
iii) Καταστρώνουμε πίνακα (μονοτ.), όπου τοποθετούμε τις ρίζες της f ΄ και βρίσκουμε το πρόσημό της
iv) Από το πρόσημο της f ΄ στα επί μέρους διαστήματα , συμπεραίνουμε την μονοτονία της f
Εργασία 3
α) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f(x)= 2x-1
x
f
f
Επαληθεύστε το αποτέλεσμα
β) Να βρείτε τα διαστήματα
μονοτονίας της συνάρτησης f(x)= -5x+8
Επαληθεύστε το αποτέλεσμα.
γ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f(x)=
2
x 2x
Επαληθεύστε το αποτέλεσμα α.
x
f
f
x
f ΄
f

4. Μονοτονία Συνάρτησης - Γ΄ Λυκείου ΕΠΑΛ
4
δ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f(x)=
2
-x 2x - 6
Επαληθεύστε το αποτέλεσμα .
ε) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f(x)= χ3 -2χ2 +3
Επαληθεύστε το αποτέλεσμα .
x
f
f
x
f
f

5. Μονοτονία Συνάρτησης - Γ΄ Λυκείου ΕΠΑΛ
5
στ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης
f(x)=
3
-x 3x+1 , x A=[-2,2)
Επαληθεύστε το αποτέλεσμα ανοίγοντας το αρχείο geo2
επιλέγοντας από τους δρομείς τις κατάλληλες ενδείξεις τιμές .
ζ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης
f(x)=
3 2
x 3x 3x-10 
Επαληθεύστε το αποτέλεσμα ανοίγοντας το αρχείο geo2
επιλέγοντας από τους δρομείς τις κατάλληλες ενδείξεις τιμές .
η) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης
f(x)=
3 2
-x 3x 5x-11 
Επαληθεύστε το αποτέλεσμα ανοίγοντας το αρχείο geo2
επιλέγοντας από τους δρομείς τις κατάλληλες ενδείξεις τιμές .
θ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f(x)=
xlnx
ι) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f(x)=
2
x
x+1
ια) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f(x)=
lnx
x
x
f
f
x
f
f
x
f
f
x
f
f
x
f
f

6. Μονοτονία Συνάρτησης - Γ΄ Λυκείου ΕΠΑΛ
6
ΕΡΓΑΣΙΑ
Δίνεται η συνάρτηση
3 2
f(x)=x 3x 3αx-5  .Να βρεθεί η
τιμή του πραγματικού α , έτσι ώστε η συνάρτηση να είναι
γνησίως αύξουσα.
x
f
f