マトロイドの世界

マトロイドの世界
Combinatorial Optimization (Korte) 復習会 2日目セミナー3
1

はじめに
本スライドはCombinatorial Optimization (Korte)
(左の写真)の輪読会の13, 14章のまとめとなっている。
マトロイドから劣モジュラ関数(submodular function)
について主に取り扱う。
証明の詳細については本書を参照されたい。
2

目次
u 1. マトロイド(matroid)導入
u 2. マトロイドの様々な公理(axiom)
u 3. マトロイドの双対性(duality)
u 4. マトロイドと貪欲法(greedy algorithm)
3

1. マトロイド(matroid)導入
マトロイドとは何かを理解しよう
4

導入 (1/7)
(問題1) 最小全域木問題
グラフ 𝐺 = (𝑉, 𝐸) と辺のコスト関数 𝑐: 𝐸 ⟶ ℝ が与えられた時に、全頂点を通るような
木(全域木, spanning tree)で含まれる辺のコストの総和が最小のものを求める問題
最小全域木(minimum spanning tree)
3
5 4
4
2
1
3
5 4
4
2
5
1
5
5

導入 (2/7)
最小全域木を求めるアルゴリズムとして、クラスカル法が有名
辺のコストが小さい順に選んでいき閉路や多重辺ができなければ追加していき、
全域木となったら終了する。
3
5 4
4
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5
1
3
5 4
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1
3
5 4
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1
3
5 4
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5
1
3
5 4
4
2
5
1
貪欲法(greedy algorithm)
6

導入 (3/7)
最小全域木を求める他のアルゴリズムとして、プリム法が有名
ある点からスタートし、すでに追加されている点からなるカット上で辺のコスト
が最も小さい辺を追加していき、全域木となったら終了する。
3
5 4
4
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1
3
5 4
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5
1
3
5 4
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2
5
1
7

導入 (4/7)
クラスカル法もプリム法も最小のものを順番に選んでいく
→ 貪欲法(greedy algorithm)
貪欲に選んで正しく最小全域木(minimum spanning tree)が求まる。
貪欲に選ぶとは…
候補を全て確認することなく目的に向かって真っ直ぐ突き進むイメージ
8

導入 (5/7)
(問題2) 最短路問題
グラフ 𝐺 = (𝑉, 𝐸) と辺のコスト関数 𝑐: 𝐸 ⟶ ℝ と2点𝑠, 𝑡が与えられた時に、sからtへの
最短路(コスト最小のパス)を求める問題
s
t
s
t
3
6 4
-5
2
1
3
6 4
-5
2
3
1
3
最短路(minimum length path)9

導入 (6/7)
(問題2) 最短路問題
コスト関数が0以上であるときの最短路を求めるアゴリズムとして、ダイクストラ法が有名
全ての頂点からsからの距離が最小の点を順番に取り除いていく。
取り除かれた点から辺を伝っていける全ての点に対し、sからの距離がその辺を使うことで
短くなるなら更新、短くならないならそのままにする。
全ての頂点が取り除かれたら終了。
0
∞
3
46
6 4
2
3
1
-5
3
0
5
3
46
6 4
2
3
1
-5
3 0
5
3
46
6 4
2
3
1
-5
3
0
5
3
46
6 4
2
3
1
-5
3
0
5
3
16
6 4
2
3
1
-5
3
コストが負の辺があると失敗することがある
実際に、最短路でないものが求まった
10

導入 (7/7)
最小全域木問題は貪欲法で解ける。
最短路問題は負のコストの辺があると貪欲法では解けない。
↓
何が違うのか？
毎回貪欲法のアルゴリズムを作って正当かどうかを吟味する必要がある？
貪欲法が使えるような問題には何か共通した性質や構造がないだろうか？
↓
実は、マトロイド(matroid)という構造を考えれば貪欲法がうまく動くことがわかる
貪欲法の証明は本スライド4節で取り扱う。
1節ではマトロイド(matroid)を定義することとする。
11

マトロイド(matroid)とは (1/3)
u 元々は線形独立性を抽象的に特徴付ける試み
u matroid = matrix + oid
u まずは準備。多くの組み合わせ最適化問題は以下のようにかける。
Input: 集合系(set system) 𝐸, ℱ , コスト関数(cost) 𝑐: ℱ ⟶ ℝ
Task: 𝑎𝑟𝑔 max
!⊆#
𝑐 𝑋 を求める
(ただし、𝑐 𝑋 ≔ ∑$∈! 𝑐(𝑒)である。)
12

u 集合系(set system) (𝐸, ℱ)が独立系(independence system)であるとは以下を満たすこと。
(M1) ∅ ∈ ℱ
(M2) 𝑋 ⊆ 𝑌 ∈ ℱ ⟹ 𝑋 ∈ ℱ
(独立系の例)
𝐸 = 𝑎, 𝑏, 𝑐
ℱ = {∅, 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , 𝑎, 𝑏 }
a b c
13

u 独立系(independence system)がマトロイド(matroid)であるとは、
(M1) ∅ ∈ ℱ
(M2) 𝑋 ⊆ 𝑌 ∈ ℱ ⟹ 𝑋 ∈ ℱ
に加えて以下も満たすこと。
(M3) 𝑋, 𝑌 ∈ ℱ, 𝑋 > 𝑌 ⟹ ∃𝑥 ∈ 𝑋Y 𝑠. 𝑡. 𝑌 ∪ {𝑥} ∈ ℱ
(マトロイドの例)
𝐸 = 𝑎, 𝑏, 𝑐
ℱ = {∅, a , b , {a, b}}
a b c
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マトロイドの例 (1/4)
vector matroid (最も基本的なマトロイド)
𝐴: ある体上の行列
このとき、
𝐸 ≔ {𝐴の行ベクトル}
ℱ ≔ {𝐹 ⊆ 𝐸|𝐹内の行ベクトルが線型独立(𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑦 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡)}
と定めると(𝐸, ℱ)はマトロイド(matroid)となる。
(証明)
(M1) 明らか。
(M2) 線型独立なベクトルの集合の部分集合も線型独立。
(M3) 行列のランクの数までは線型独立な行ベクトルが選べるので明らか。∎
マトロイドの公理 (再掲)
(M1) ∅ ∈ ℱ
(M2) 𝑋 ⊆ 𝑌 ∈ ℱ ⟹ 𝑋 ∈ ℱ
(M3) 𝑋, 𝑌 ∈ ℱ, 𝑋 > 𝑌 ⟹ ∃𝑥 ∈ 𝑋Y 𝑠. 𝑡. 𝑌 ∪ {𝑥} ∈ ℱ
15

graphic matroid (cycle matroid, グラフに関するマトロイド)
無向グラフ𝐺 = (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺))に対し、
𝐸: = 𝐸 𝐺
ℱ ≔ {𝐹 ⊆ 𝐸|(𝑉 𝐺 , 𝐹)は森(𝑓𝑜𝑟𝑒𝑠𝑡)}
(証明)
(M1) 明らか。
(M2) 森(forest)の部分グラフは森(forest)。
(M3) (V(G), Y)はspanning tree (全域木)ではないので、閉路を作らずまだ辺を
追加できる。∎
(M1) ∅ ∈ ℱ
(M2) 𝑋 ⊆ 𝑌 ∈ ℱ ⟹ 𝑋 ∈ ℱ
(M3) 𝑋, 𝑌 ∈ ℱ, 𝑋 > 𝑌 ⟹ ∃𝑥 ∈ 𝑋Y 𝑠. 𝑡. 𝑌 ∪ {𝑥} ∈ ℱ
16

uniform matroid (シンプルなマトロイド)
𝑘 ∈ ℤ&とする。
このとき、
𝐸: ある有限集合
ℱ ≔ {𝐹 ⊆ 𝐸||𝐹| ≤ 𝑘}
(証明)
(M1) 明らか。
(M2) 明らか。
(M3) 明らか。∎
(M1) ∅ ∈ ℱ
(M2) 𝑋 ⊆ 𝑌 ∈ ℱ ⟹ 𝑋 ∈ ℱ
(M3) 𝑋, 𝑌 ∈ ℱ, 𝑋 > 𝑌 ⟹ ∃𝑥 ∈ 𝑋Y 𝑠. 𝑡. 𝑌 ∪ {𝑥} ∈ ℱ
17

𝑆 ⊆ 𝑉(𝐺)を独立集合(stable set)とする。
(※ 独立集合とは、辺を通じて互いに隣接していない頂点集合のこと)
𝑘' ∈ ℤ& (𝑠 ∈ 𝑆)と定める。
このとき、
𝐸 ≔ 𝐸 𝐺
ℱ ≔ {𝐹 ⊆ 𝐸||𝛿( 𝑠 | ≤ 𝑘' 𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑠 ∈ 𝑆}
と定めると、(𝐸, ℱ)はマトロイド(matroid)となる。
(証明)
省略する。∎
(M1) ∅ ∈ ℱ
(M2) 𝑋 ⊆ 𝑌 ∈ ℱ ⟹ 𝑋 ∈ ℱ
(M3) 𝑋, 𝑌 ∈ ℱ, 𝑋 > 𝑌 ⟹ ∃𝑥 ∈ 𝑋Y 𝑠. 𝑡. 𝑌 ∪ {𝑥} ∈ ℱ
a
b
𝑆 = 𝑎, 𝑏 , 𝑘) = 1, 𝑘* = 0
𝐸 = 1,2,3,4,5,6,7
ℱ = {∅, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 1,4 , 2,4 , 3,4 , 1,5 , 2,5 , 3,5 , 4,5 , 1,4,5 , 2,4,5 , {3,4,5}}
1
2 3
4
5
6
7
18

2. マトロイドの様々な公理(axiom)
マトロイドの種々の公理を眺め、それらの等価性を確認しよう
19

独立公理(independece axiom) (1/2)
u 実はマトロイドの公理はいろいろある。
u 先ほど取り上げた公理を独立公理(independence axiom)という。
(M1) ∅ ∈ ℱ
(M2) 𝑋 ⊆ 𝑌 ∈ ℱ ⟹ 𝑋 ∈ ℱ
(M3) 𝑋, 𝑌 ∈ ℱ, 𝑋 > 𝑌 ⟹ ∃𝑥 ∈ 𝑋Y 𝑠. 𝑡. 𝑌 ∪ {𝑥} ∈ ℱ
20

独立公理(independece axiom) (2/2)
u (M3)は(M3’), (M3’’)のいずれとも等価 (交換可能)
(M3) 𝑋, 𝑌 ∈ ℱ, 𝑋 > 𝑌 ⟹ ∃𝑥 ∈ 𝑋Y 𝑠. 𝑡. 𝑌 ∪ {𝑥} ∈ ℱ
(M3’) 𝑋, 𝑌 ∈ ℱ, 𝑋 = 𝑌 + 1 ⟹ ∃𝑥 ∈ 𝑋Y 𝑠. 𝑡. 𝑌 ∪ {𝑥} ∈ ℱ
(M3’’) ∀𝑋 ⊆ 𝐸. 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑒𝑡𝑠 = 𝑏𝑎𝑠𝑒𝑠 𝑜𝑓 𝑋 ℎ𝑎𝑣𝑒 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑎𝑚𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡𝑦
u 他の公理を眺め、公理の等価性を確認する。
u 基公理 (base axiom)
u ランク公理 (rank axiom)
u 閉包公理 (closure axiom)
u サーキット公理 (circuit axiom)
21
(M3) <=> (M3’), (M3’) => (M3’’)はすぐにわかる。
(M3’’) => (M3)の証明
𝑋, 𝑌 ∈ ℱ, 𝑋 > |𝑌|とする。
このとき(M3’’)より𝑌は𝑋 ∪ 𝑌の基ではない。
よって、ある𝑥 ∈ 𝑋 ∪ 𝑌 Y = 𝑋Yが存在して𝑌 ∪ {𝑥} ∈ ℱとなる。∎

準備 (1/3)
(𝐸, ℱ)を独立系(independence system)としたとき、
ℱの要素を独立(independent)といい、2#ℱの要素を従属(dependent)という。
極大な独立(independent)な要素を基(base)という。
極小な従属(dependent)な要素をサーキット(circuit)という。
𝑟 𝑋 ≔ max 𝑌 𝑌 ⊆ 𝑋, 𝑌 ∈ ℱ}をXのランク(rank)という。
𝜎 𝑋 ≔ 𝑦 ∈ 𝐸 𝑟 𝑋⋃ 𝑦 = 𝑟(𝑋)}をXの閉包(closure)という。
22

準備 (2/3)
(Exercise 1)
𝐸 ≔ 𝑎, 𝑏, 𝑐
ℱ ≔ {∅, 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , 𝑎, 𝑏 }
という独立系(independence system)について以下の問いの答えよ。
1. 独立(independent)な要素を全て答えよ。
2. 従属(dependent)な要素を全て答えよ。
3. 基(base)を全て答えよ。
4. サーキット(circuit)を全て答えよ。
5. X={b,c}とする。Xのランク(rank)と閉包(closure)を答えよ。
23

準備 (3/3)
(Exercise 1の答え)
1. ∅, 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , 𝑎, 𝑏
2. 𝑎, 𝑐 , 𝑏, 𝑐 , 𝑎, 𝑏, 𝑐 = E
3. 𝑎, 𝑏 , {𝑐}
4. 𝑎, 𝑐 , 𝑏, 𝑐
5. 𝑟 𝑋 = 1, 𝜎 𝑋 = 𝑏, 𝑐 = 𝑋
24

基公理(base axiom) (1/3)
※ 極大な独立(independent)な要素を基(base)という。
ℬ ⊆ 2#とする。
このとき、ℬがあるマトロイド 𝐸, ℱ の基(base)の集合であることと以下が同値
(B1) ℬ ≠ ∅
(B2) ∀𝐵+, 𝐵, ∈ ℬ. ∀𝑥 ∈ 𝐵+𝐵,. ∃𝑦 ∈ 𝐵,𝐵+ 𝑠. 𝑡. 𝐵+{𝑥} ∪ {𝑦} ∈ ℬ
(B1), (B2)はマトロイドの公理とみなせる。これが基公理(base axiom)である。
25

ℬ ⊆ 2#
とする。
(B1) ℬ ≠ ∅
(B2) ∀𝐵+, 𝐵, ∈ ℬ. ∀𝑥 ∈ 𝐵+𝐵,. ∃𝑦 ∈ 𝐵,𝐵+ 𝑠. 𝑡. 𝐵+{𝑥} ∪ {𝑦} ∈ ℬ
(=>の証明)
(B1) 明らか。
(B2) 𝐵+, 𝐵,と𝑥 ∈ 𝐵+𝐵,に対して、(M2)より𝐵+{𝑥}は独立。
𝐵, > |𝐵+{𝑥}|なので(M3)より∃𝑦 ∈ 𝐵,(𝐵+{𝑥}) = 𝐵,𝐵+ 𝑠. 𝑡. (𝐵+{𝑥}) ∪ {𝑦} ∈ ℱ
(M3’’)を考えると (𝐵+{𝑥}) ∪ {𝑦} ∈ ℬが言える。∎
26
(M2) 𝑋 ⊆ 𝑌 ∈ ℱ ⟹ 𝑋 ∈ ℱ
(M3) 𝑋, 𝑌 ∈ ℱ, 𝑋 > 𝑌 ⟹ ∃𝑥 ∈ 𝑋Y 𝑠. 𝑡. 𝑌 ∪ {𝑥} ∈ ℱ
(M3’’) ∀𝑋 ⊆ 𝐸. 𝑏𝑎𝑠𝑒𝑠 𝑜𝑓 𝑋 ℎ𝑎𝑣𝑒 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑎𝑚𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡𝑦

ℬ ⊆ 2!
とする。
(B1) ℬ ≠ ∅
(B2) ∀𝐵", 𝐵# ∈ ℬ. ∀𝑥 ∈ 𝐵"𝐵#. ∃𝑦 ∈ 𝐵#𝐵" 𝑠. 𝑡. 𝐵"{𝑥} ∪ {𝑦} ∈ ℬ
(<=の証明)
ℬが(B1), (B2)を満たすとする。
このとき、ℱ ≔ {𝑋 ⊆ 𝐸|∃𝐵 ∈ ℬ 𝑠. 𝑡. 𝑋 ⊆ 𝐵}とおくと、(𝐸, ℱ)はマトロイドになる。
(M1) 明らか。
(M2) 基の集合はℱの定義より明らかにℬに含まれる。
基でない𝐵 ∈ ℬがあるとすると、∃𝐹$
∈ ℱ. ∃𝐵$
∈ ℬ 𝑠. 𝑡. 𝐵 ⊊ 𝐹′ ⊆ 𝐵′
ところが、𝐵B$
= ∅となって(B2)に矛盾する。
(M3) 𝑋, 𝑌 ∈ ℱ, X > |Y|とし、𝑋 ⊆ 𝐵" ∈ ℬ, 𝑌 ⊆ 𝐵# ∈ ℬとなる𝐵", 𝐵#を|𝐵" ∩ 𝐵#|が最大になるように取る。
背理法で|𝐵" ∩ 𝐵#|の最大性に矛盾させる (以下略) ∎
27
(M1) ∅ ∈ ℱ
(M2) 𝑋 ⊆ 𝑌 ∈ ℱ ⟹ 𝑋 ∈ ℱ
(M3) 𝑋, 𝑌 ∈ ℱ, 𝑋 > 𝑌 ⟹ ∃𝑥 ∈ 𝑋Y 𝑠. 𝑡. 𝑌 ∪ {𝑥} ∈ ℱ

ランク公理 (rank axiom) (1/4)
※ 𝑟 𝑋 ≔ max 𝑌 𝑌 ⊆ 𝑋, 𝑌 ∈ ℱ}をXのランク(rank)という。
𝑟があるマトロイド 𝐸, ℱ のランク関数(rank function)であることと以下が同値
∀𝑋, 𝑌 ⊆ 𝐸に対し、
(R1) 𝑟(𝑋) ≤ |𝑋|
(R2) 𝑋 ⊆ 𝑌 ⟹ 𝑟 𝑋 ≤ 𝑟 𝑌
(R3) 𝑟 𝑋 ∪ 𝑌 + 𝑟 𝑋 ∩ 𝑌 ≤ 𝑟 𝑋 + 𝑟(𝑌) 劣モジュラ性(submodularity)
(R1), (R2), (R3)はマトロイドの公理とみなせる。これがランク公理(rank axiom)
である。
28

(R1) 𝑟(𝑋) ≤ |𝑋|
(R2) 𝑋 ⊆ 𝑌 ⟹ 𝑟 𝑋 ≤ 𝑟 𝑌
(<=の証明)
(R1) 明らか。
(R2) 明らか。
(R3) 𝑋 ∩ 𝑌の基を𝐴とする。
(M3)に基づいて1つずつ要素を追加することにより、
𝑋の基𝐴 ⊔ 𝐵と𝑋 ∪ 𝑌の基(𝐴 ⊔ 𝐵) ⊔ 𝐶を作る。
このとき、𝐴 ⊔ 𝐶は𝑌の独立な部分集合である。
以上より、
𝑟 𝑋 + 𝑟 𝑌 ≥ 𝐴 ⊔ 𝐵 + 𝐴 ⊔ 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷
= 𝐴 ⊔ 𝐵 ⊔ 𝐶 + 𝐴 = 𝑟 𝑋 ∪ 𝑌 + 𝑟 𝑋 ∩ 𝑌 ∎
29

(R1) 𝑟(𝑋) ≤ |𝑋|
(R2) 𝑋 ⊆ 𝑌 ⟹ 𝑟 𝑋 ≤ 𝑟 𝑌
(=>の証明)
𝑟が(R1), (R2), (R3)を満たすとする。
このとき、ℱ ≔ {𝑋 ⊆ 𝐸|𝑟 𝑋 = |𝑋|}とおくと、(𝐸, ℱ)はマトロイドになる。
(M1) (R1)より明らか。
(M2), (M3)については省略。∎
30

ランク公理
(R1) 𝑟(𝑋) ≤ |𝑋|
(R2) 𝑋 ⊆ 𝑌 ⟹ 𝑟 𝑋 ≤ 𝑟 𝑌
は、以下に言い換えが可能。(証明略)
∀𝑋 ⊆ 𝐸, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸に対し、
(R1’) 𝑟 ∅ = 0
(R2’) 𝑟 𝑋 ≤ 𝑟 𝑋 ∪ 𝑦 ≤ 𝑟 𝑋 + 1
(R3’) 𝑟 𝑋 ∪ 𝑥 = 𝑟 𝑋 ∪ 𝑦 = 𝑟 𝑋 ⟹ 𝑟 𝑋 ∪ 𝑥, 𝑦 = 𝑟(𝑋)
31

閉包公理 (closure axiom) (1/2)
※ 𝜎 𝑋 ≔ 𝑦 ∈ 𝐸 𝑟 𝑋⋃ 𝑦 = 𝑟(𝑋)}をXの閉包(closure)という。
𝜎があるマトロイド 𝐸, ℱ の閉包関数(closure function)であることと以下が同値
∀𝑋 ⊆ 𝐸, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸に対し、
(S1) 𝑋 ⊆ 𝜎(𝑋)
(S2) 𝑋 ⊆ 𝑌 ⟹ 𝜎 𝑋 ⊆ 𝜎 𝑌
(S3) 𝜎 𝑋 = 𝜎(𝜎 𝑋 )
(S4) 𝑦 ∉ 𝜎(𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝜎(𝑋 ∪ {𝑥}) ⟹ 𝑥 ∈ 𝜎(𝑋 ∪ {𝑦})
(S1), (S2), (S3), (S4)はマトロイドの公理とみなせる。これが閉包公理(closure axiom)
である。
32

閉包公理 (closure axiom) (2/2)
𝜎があるマトロイド 𝐸, ℱ の閉包関数(closure function)であることと以下が同値
∀𝑋 ⊆ 𝐸, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸に対し、
(S1) 𝑋 ⊆ 𝜎(𝑋)
(S2) 𝑋 ⊆ 𝑌 ⟹ 𝜎 𝑋 ⊆ 𝜎 𝑌
(S3) 𝜎 𝑋 = 𝜎(𝜎 𝑋 )
(S4) 𝑦 ∉ 𝜎(𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝜎(𝑋 ∪ {𝑥}) ⟹ 𝑥 ∈ 𝜎(𝑋 ∪ {𝑦})
証明は少し複雑なので本を参照。ここでは省略。
ℱ ≔ {𝑋 ⊆ 𝐸|∀𝑥 ∈ 𝑋. 𝑥 ∉ 𝜎 𝑋 𝑥 }とおく。
33

サーキット公理 (circuit axiom) (1/2)
※ 極小な従属(dependent)な要素をサーキット(circuit)という。
𝒞 ⊆ 2#とする。
このとき、𝒞があるマトロイド 𝐸, ℱ のサーキット(circuit)の集合であることと以下が同値
(C1) ∅ ∉ 𝒞
(C2) ∀𝐶+, 𝐶, ∈ 𝒞. 𝐶+ ⊆ 𝐶, ⟹ 𝐶+ = 𝐶,
(C3) ∀𝐶+, 𝐶, ∈ 𝒞 𝐶+ ≠ 𝐶, . ∀𝑒 ∈ 𝐶+ ∩ 𝐶,. ∃𝐶D ∈ 𝒞 𝑠. 𝑡. 𝐶D ⊆ (𝐶+⋃𝐶,){𝑒}
(C1), (C2), (C3)はマトロイドの公理とみなせる。これが基公理(base axiom)である。
34

サーキット公理 (circuit axiom) (2/2)
サーキット公理
(C1) ∅ ∉ 𝒞
(C2) ∀𝐶!, 𝐶" ∈ 𝒞. 𝐶! ⊆ 𝐶" ⟹ 𝐶! = 𝐶"
(C3) ∀𝐶!, 𝐶" ∈ 𝒞 𝐶! ≠ 𝐶" . ∀𝑒 ∈ 𝐶! ∩ 𝐶". ∃𝐶# ∈ 𝒞 𝑠. 𝑡. 𝐶# ⊆ (𝐶!⋃𝐶"){𝑒}
の(C3)は以下(C3’), (C3’’)と交換可能。
(C3’) ∀𝐶!, 𝐶" ∈ 𝒞. ∀𝑒 ∈ 𝐶! ∩ 𝐶". ∀𝑓 ∈ 𝐶!𝐶". ∃𝐶# ∈ 𝒞 𝑠. 𝑡. 𝑓 ∈ 𝐶# ⊆ (𝐶!⋃𝐶"){𝑒}
(C3’’) ∀𝑋 ∈ ℱ. ∀𝑒 ∈ 𝐸. 𝑋 ∪ 𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑖𝑛𝑠 𝑎𝑡 𝑚𝑜𝑠𝑡 𝑜𝑛𝑒 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡.
証明は少し複雑なので本を参照。ここでは省略。
ℱ ≔ {𝑋 ⊆ 𝐸|∄𝐶 ∈ 𝒞 𝑠. 𝑡. 𝐶 ⊆ 𝑋}とおく。
35

3. マトロイドの双対性(duality)
双対マトロイドについて理解しよう
36

双対な独立系(dual independence system)
(1/6)
u 独立系(𝐸, ℱ)に対し、その双対(dual)(𝐸, ℱ∗
)は
ℱ∗ ≔ 𝑋 ⊆ 𝐸 ∃𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐵 𝑜𝑓 𝐸, ℱ 𝑠. 𝑡. 𝑋 ∩ 𝐵 = ∅}
と定められる。
(Exercise 2)
𝐸 ≔ 𝑎, 𝑏, 𝑐
ℱ ≔ {∅, 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , 𝑎, 𝑏 }
という独立系(independence system)の双対な独立系を求めよ。
37

(2/6)
𝐸 ≔ 𝑎, 𝑏, 𝑐
ℱ ≔ {∅, 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , 𝑎, 𝑏 }
のbaseは 𝑎, 𝑏 , {𝑐}。
ℱ∗ ≔ 𝑋 ⊆ 𝐸 ∃𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐵 𝑜𝑓 𝐸, ℱ 𝑠. 𝑡. 𝑋 ∩ 𝐵 = ∅}
より、この二つのbaseそれぞれと交わりを持たない要素を全て挙げれば良い。
{𝑎, 𝑏}と交わりを持たないのは、∅, c
{𝑐}と交わりを持たないのは、∅, 𝑎 , 𝑏 , 𝑎, 𝑏
よって、ℱ∗
= ∅, 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , {𝑎, 𝑏} = ℱと求まる。
※一般に ℱ, ℱ∗
は等しくならない。
38

(3/6)
u 双対なので、2回適用すれば元に戻る。つまり
𝐸, ℱ = (𝐸, ℱ∗∗
)
となることを示していく。
[Lemma A] 𝐵が 𝐸, ℱ の𝑏𝑎𝑠𝑒 ⟹ 𝐸𝐵が 𝐸, ℱ∗
の𝑏𝑎𝑠𝑒
(証明)
まず、ℱ∗
の定義より
∀𝑋 ∈ ℱ∗
. ∃𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐵 𝑜𝑓 𝐸, ℱ 𝑠. 𝑡. 𝑋 ⊆ 𝐸𝐵
これより、
∀𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐵 𝑜𝑓 𝐸, ℱ . 𝐸𝐵 ∈ ℱ∗
が言える。あとは極大性を言えば良い。背理法で示す。
∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑠. 𝑡. 𝐸(𝐵{𝑥}) ∈ ℱ∗
とすると、
∃𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐶 𝑜𝑓 𝐸, ℱ 𝑠. 𝑡. 𝐶 ⊆ 𝐵{𝑥}
となる。ところが、これは
𝐶 ∪ {𝑥} ⊆ 𝐵 ∈ ℱ ⟶ 𝐶 ∪ {𝑥} ∈ ℱ
を意味し、Cの極大性に矛盾。∎
39

(4/6)
𝐸, ℱ = (𝐸, ℱ∗∗
)
[Lemma B] 𝐸, ℱ∗
も独立系
(証明)
(M1) どんなbase 𝐵に対しても𝐵 ∩ ∅ = ∅より∅ ∈ ℱ∗
(M2) 𝑋 ⊆ 𝑌 ∈ ℱ∗より定義から
∃𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐵 𝑜𝑓 𝐸, ℱ 𝑠. 𝑡. 𝑌 ∩ 𝐵 = ∅
であり、𝑋 ∩ 𝐵 = ∅ ⟶ 𝑋 ∈ ℱ∗∎
40

(5/6)
𝐸, ℱ = (𝐸, ℱ∗∗
)
[Lemma A] 𝐵が 𝐸, ℱ の𝑏𝑎𝑠𝑒 ⟹ 𝐸𝐵が 𝐸, ℱ∗
の𝑏𝑎𝑠𝑒
[Lemma B] 𝐸, ℱ∗ も独立系
↓
[*] 𝐵が 𝐸, ℱ の𝑏𝑎𝑠𝑒 ⟺ 𝐸𝐵が 𝐸, ℱ∗
の𝑏𝑎𝑠𝑒
が言える。
41

(6/6)
𝐸, ℱ = (𝐸, ℱ∗∗
)
(証明)
𝑋 ∈ ℱ∗∗
⟺ ∃𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐵∗
𝑜𝑓 𝐸, ℱ∗
𝑠. 𝑡. 𝑋 ∩ 𝐵∗
= ∅
[*] 𝐵が 𝐸, ℱ の𝑏𝑎𝑠𝑒 ⟺ 𝐸𝐵が 𝐸, ℱ∗
の𝑏𝑎𝑠𝑒
より
∃𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐵∗ 𝑜𝑓 𝐸, ℱ∗ 𝑠. 𝑡. 𝑋 ∩ 𝐵∗ = ∅ ⟺ ∃𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐵 𝑜𝑓 𝐸, ℱ 𝑠. 𝑡. 𝑋 ∩ 𝐸B = ∅
が言える。
𝐹 ∈ ℱ ⟹ ∃𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐵 𝑜𝑓 𝐸, ℱ 𝑠. 𝑡. 𝑋 ∩ 𝐸B = ∅
は明らか。逆は、
𝑋 ∩ 𝐸B = ∅ ⟶ 𝑋 ⊆ 𝐵 ∈ ℱ
となあるので従う。∎
42

マトロイドの双対性(duality) (1/3)
Theorem 13.15
1. (𝐸, ℱ)がマトロイド (matroid)⟺ 𝐸, ℱ∗ がマトロイド(matroid)
2. 双対マトロイドのランク関数(rank function)は𝑟∗ 𝑋 = 𝑋 + 𝑟 𝐸X − 𝑟 𝐸
(2の証明)
𝑟∗がランク公理を満たすことを確認する。
(R1) 𝑟∗
𝑋 = 𝑋 + 𝑟 𝐸X − 𝑟 𝐸 ≤ 𝑋 + 𝑟 𝐸 − 𝑟 𝐸 = 𝑋
(R2) 𝑋 ⊆ 𝑌 ⊆ 𝐸とすると、劣モジュラ性(R3)より、
𝑟 𝐸X + 0 = 𝑟 𝐸Y ∪ 𝑌X + 𝑟 ∅ ≤ 𝑟 𝐸Y + 𝑟 𝑌X
これより
𝑟 𝐸X − 𝑟 𝐸Y ≤ 𝑟 𝑌X ≤ 𝑌X = 𝑌 − |𝑋|
よって、
𝑟∗ 𝑌 − 𝑟∗ 𝑋 = 𝑌 + 𝑟 𝐸Y + 𝑟 𝐸 − 𝑋 + 𝑟 𝐸X + 𝑟 𝐸
= 𝑌 − 𝑋 − (𝑟 𝐸X − 𝑟(𝐸Y)) ≥ 0 43

Theorem 13.15
2. 双対マトロイドのランク関数(rank function)は𝑟∗ 𝑋 = 𝑋 + 𝑟 𝐸X − 𝑟 𝐸
(2の証明続き)
(R3) 𝑋, 𝑌 ⊆ 𝐸に対し、
𝑟∗
𝑋 ∪ 𝑌 + 𝑟∗
𝑋 ∩ 𝑌 = 𝑋 ∪ 𝑌 − 𝑟(𝐸(𝑋 ∪ 𝑌)) − 𝑟(𝐸) + 𝑋 ∩ 𝑌 − 𝑟(𝐸(𝑋 ∩ 𝑌)) − 𝑟(𝐸)
= 𝑋 + 𝑌 + 𝑟 𝐸X ∪ 𝐸Y + 𝑟 𝐸X ∩ 𝐸Y − 2𝑟 𝐸
劣モジュラ性(R3)より、
≤ 𝑋 + 𝑌 + 𝑟 𝐸X + 𝑟 𝐸Y − 2𝑟 𝐸 = 𝑟∗
𝑋 + 𝑟∗
𝑌 ∎
44

Theorem 13.15
2. 双対マトロイドのランク関数(rank function)は𝑟∗
𝑋 = 𝑋 + 𝑟 𝐸X − 𝑟 𝐸
(1の証明)
𝑟∗ 𝑋 = |𝑋| ⟺ 𝑋 ∈ ℱ∗を言えば良い。
𝑟∗
𝑋 = 𝑋 ⟺ 𝑟 𝐸X = 𝑟 𝐸
⟺ max 𝑌 𝑌 ⊆ 𝐸X, 𝑌 ∈ ℱ} = max{ 𝑍 | 𝑍 ⊆ 𝐸, 𝑍 ∈ ℱ}
であり、
max 𝑌 𝑌 ⊆ 𝐸X, 𝑌 ∈ ℱ} = max{ 𝑍 | 𝑍 ⊆ 𝐸, 𝑍 ∈ ℱ} ⟹ ∃𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐵 𝑜𝑓 𝐸, ℱ 𝑠. 𝑡. 𝑋 ∩ 𝐵 = ∅
は明らか。⟸を示す。≤は明らか。反対を背理法によって示す。
𝑌 < |𝑍|と仮定すると、(M3)より∃𝑥 ∈ 𝑍Y 𝑠. 𝑡. 𝑌 ∪ {𝑥} ∈ ℱとなってYの最大性に反する。∎
45

双対マトロイドの例 (1/2)
平面に埋め込めるようなグラフを平面グラフ(planar graph)という。
面に点をおき、辺を横切るように辺を生やして新たにできるグラフを平面双対(planar dual)
という。(G*と書く)
このとき、G=G**が成り立つ。
46G
G*

双対マトロイドの例 (2/2)
[再掲]
graphic matroid (cycle matroid, グラフに関するマトロイド)
𝐸: = 𝐸 𝐺
ℱ ≔ {𝐹 ⊆ 𝐸|(𝑉 𝐺 , 𝐹)は森(𝑓𝑜𝑟𝑒𝑠𝑡)}
このとき、平面グラフの平面双対と、cycle matroidの双対が対応する!!
ℳ 𝐺∗
= (ℳ(𝐺))∗
証明はここでは省略。Theorem13.16を参照
47

4. マトロイドと貪欲法(greedy algorithm)
マトロイド上で貪欲法が正しく動くことを確認しよう
48

マトロイドと貪欲法(greedy algorithm)
u さて、いよいよメインテーマであるマトロイド上での貪欲法について見ていこう。
目標: マトロイド上の貪欲法は最適解を返すことを証明する。
49

貪欲法(greedy algorithm) (1/5)
u まずは独立系(independence system)の上で貪欲法(greedy algorithm)を定義しよう。
u 考える問題は以下の二つ
独立系(𝐸, ℱ)とコスト関数𝑐: 𝐸 ⟶ ℝが与えられた時、
1. 最大化問題: 𝑐(𝑋)が最大になる𝑋 ∈ ℱを求める問題
2. 最小化問題: 𝑐(𝐵)が最小になる基(base)𝐵を求める問題
50

最大化問題: 𝑐(𝑋)が最大になる𝑋 ∈ ℱを求める問題
この問題に対する貪欲法は以下。
BEST-IN-GREEDY ALGORITHM
Input: 独立系(𝐸, ℱ), コスト関数𝑐: 𝐸 ⟶ ℝ&,
independence oracle (𝑋 ⊆ 𝐸がℱの要素か判定)
1. 𝐸の要素を𝑐 𝑒! ≥ 𝑐 𝑒" ≥ … ≥ 𝑐(𝑒') となるように𝐸 = {𝑒!, 𝑒", … , 𝑒'}とソート
2. 𝑋 ≔ ∅とする。
3. 𝑖 = 1, . . , 𝑛に対し順番に𝑋 ∪ {𝑒(} ∈ ℱなら𝑋 ≔ 𝑋 ∪ {𝑒(}と更新していく。
51
basis-superset oracleで判定
ソートにO(nlog n)
oracleの計算時間をO(γ)とすると全体で
O(nlog n+γn)

最小化問題: 𝑐(𝐵)が最小になる基(base)𝐵を求める問題
この問題に対する貪欲法は以下。
WORST-OUT-GREEDY ALGORITHM
Input: 独立系(𝐸, ℱ), コスト関数𝑐: 𝐸 ⟶ ℝ&,
basis-superset oracle (𝑋 ⊆ 𝐸がℱのbaseを含んでいるかを判定)
1. 𝐸の要素を 𝑐 𝑒! ≤ 𝑐 𝑒" ≤ … ≤ 𝑐(𝑒') となるように𝐸 = {𝑒!, 𝑒", … , 𝑒'}とソート
2. 𝑋 ≔ 𝐸とする。
3. 𝑖 = 1, . . , 𝑛に対し順番に𝑋{𝑒(}がbaseを含むなら𝑋 ≔ 𝑋{𝑒(}と更新していく。
52
independence oracleで判定
ソートにO(nlog n)
oracleの計算時間をO(γ)とすると全体で
O(nlog n+γn)

(Exercise 3)
独立系
𝐸 = 𝑎, 𝑏, 𝑐
ℱ = {∅, 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , 𝑎, 𝑏 }
と、マトロイド
𝐸 = 𝑎, 𝑏, 𝑐
ℱ = {∅, a , b , {a, b}}
において
𝑐 𝑎 = 2, 𝑐 𝑏 = 3, 𝑐 𝑐 = 4
というコスト関数のもとで
- BEST-IN-GREEDY ALGORITHMで最大化問題
- WORST-OUT-GREEDY ALGORITHMで最小化問題
をそれぞれ解き、最適解と比較せよ。
53

[最大化問題]
双方の最適解: X={a,b}, c(X)=5
独立系での結果: X={c}, c(X)=4 → 最適解と一致しない!!
マトロイドでの結果: X={a,b}, c(X)=5 → 最適解と一致!!
[最小化問題]
独立系の最適解: B={c}, c(B)=4
独立系での結果: B={c}, c(B)=4 → 最適解と一致!!
マトロイドの最適解: B={a,b}, c(B)
マトロイドでの結果: B={a,b}, c(B)=5 → 最適解と一致!!
54

Lower rankとランク商(rank quotient)
目標: マトロイド上の貪欲法は最適解を返すことを証明する。
目標を果たそう。まずは準備。
独立系(𝐸, ℱ)に対し、
𝜌 𝑋 ≔ min 𝑌 𝑌 ⊆ 𝑋, ∀𝑥 ∈ 𝑋Y. 𝑌 ∪ {𝑥} ∉ ℱ}
をXのlower rankと定める。これと、ランク関数(rank function)
𝑟 𝑋 ≔ max 𝑌 𝑌 ⊆ 𝑋, 𝑌 ∈ ℱ}
を用いて、ランク商(rank quotient)を
𝑞 𝐸, ℱ ≔ min
!⊆#
𝜌(𝑋)
𝑟(𝑋)
と定める。
55
- lower rankはXに含まれる最小のbaseの大きさ
- rankはXに含まれる最大のbaseの大きさ

マトロイドとランク商(rank quotient)
[Proposition 13.7] 独立系(𝐸, ℱ)に対し、
(a) 𝑞(𝐸, ℱ) ≤ 1
(b) (𝐸, ℱ)がマトロイド(matroid) ⟺ 𝑞 𝐸, ℱ = 1
(証明)
(a) 𝑞 𝐸, ℱ ≔ min
!⊆#
T(!)
U(!)
, lower rankはXに含まれる最小のbaseの大きさ, rank
はXに含まれる最大のbaseの大きさなので明らか。
(b) (M3’’) ∀𝑋 ⊆ 𝐸. 𝑏𝑎𝑠𝑒𝑠 𝑜𝑓 𝑋 ℎ𝑎𝑣𝑒 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑎𝑚𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡𝑦 と𝑞 𝐸, ℱ = 1が同値
であるので明らか。∎
56

BEST-IN-GREEDY ALGORITHMの性能
最適解によるコスト: 𝑂𝑃𝑇 𝐸, ℱ, 𝑐
貪欲法が返す解によるコスト: 𝐺(𝐸, ℱ, 𝑐)
この時、最大化問題に対するBEST-IN-GREEDY ALGORITHMの性能は
𝑞(𝐸, ℱ) ≤
𝐺(𝐸, ℱ, 𝑐)
𝑂𝑃𝑇(𝐸, ℱ, 𝑐)
≤ 1
となる。(Theorem 13.19)
※ 最小化問題に対しては比の有限な上界なし
1 ≤
𝐺 𝐸, ℱ, 𝑐
𝑂𝑃𝑇 𝐸, ℱ, 𝑐
< ∞
57
1 2 M>>2
マトロイドの時は左辺1より
貪欲法で最適解が得られる!
(cf) maximal stable set of minimum weight

WORST-OUT-GREEDY ALGORITHMの性能
最適解によるコスト: 𝑂𝑃𝑇 𝐸, ℱ, 𝑐
貪欲法が返す解によるコスト: 𝐺(𝐸, ℱ, 𝑐)
この時、最小化問題に対するWORST-OUT-GREEDY ALGORITHMの性能は
1 ≤
≤ max
!⊆#
𝑋 − 𝜌∗
(𝑋)
𝑋 − 𝑟∗(𝑋)
となる。(Theorem 13.22)
※ 最大化問題に対しては正の下界なし
0 <
≤ 1
58
マトロイドの時は右辺1より
貪欲法で最適解が得られる!
1 2 M>>2
(cf) minimal vertex cover of maximum weight

BEST-IN-GREEDY ALGORITHMの性能証明
(1/3)
[Theorem 13.19] 最大化問題に対するBEST-IN-GREEDY ALGORITHMは、
𝑞(𝐸, ℱ) ≤
≤ 1
を満たす。
(証明)
アルゴリズムの返す解を𝐺V, 最適解を𝑂Vとする。
𝑐 𝑒+ ≥ 𝑐 𝑒, ≥ … ≥ 𝑐(𝑒V)とソートして、𝐸W: = 𝑒+, 𝑒,, … , 𝑒W , 𝐺W: = 𝐺V ∩ 𝐸X, 𝑂W: = 𝑂V ∩ 𝐸W
と定める。
𝑂W ∈ ℱより、|𝑂W| ≤ 𝑟(𝐸W)
𝐺Wは𝐸Wの基であった(アルゴリズム参照)ので、|𝐺W| ≥ 𝜌(𝐸W)
59
- lower rankはXに含まれる最小のbaseの大きさ
- rankはXに含まれる最大のbaseの大きさ

(2/3)
𝑞(𝐸, ℱ) ≤
≤ 1
を満たす。
(証明の続き)
𝑐 𝐺% = N
&"∈(#
𝑐(𝑒)) = N
)*"
%
( 𝐺) − 𝐺)+" )𝑐(𝑒)) = N
)*"
%+"
|𝐺)|(𝑐 𝑒) − 𝑐 𝑒)," ) + 𝐺% 𝑐 𝑒%
≥ N
)*"
%+"
𝜌 𝐸) 𝑐 𝑒) − 𝑐 𝑒)," + 𝜌 𝐸% 𝑐 𝑒% ≥ 𝑞(𝐸, ℱ) N
)*"
%+"
𝑟 𝐸) 𝑐 𝑒) − 𝑐 𝑒)," + 𝑟 𝐸% 𝑐 𝑒%
≥ 𝑞 𝐸, ℱ N
)*"
%+"
𝑂) 𝑐 𝑒) − 𝑐 𝑒)," 𝑂% 𝑐 𝑒% = 𝑞(𝐸, ℱ) N
)*"
%
𝑂) − 𝑂)+" 𝑐 𝑒) = 𝑞(𝐸, ℱ)𝑐(𝑂%)
60
𝐺V: アルゴリズムの解
𝑂V: 最適解
𝐸W: = 𝑒+, 𝑒,, … , 𝑒W
𝐺W: = 𝐺V ∩ 𝐸X
𝑂W: = 𝑂V ∩ 𝐸W
|𝑂W| ≤ 𝑟(𝐸W)
|𝐺W| ≥ 𝜌(𝐸W)
!⊆#
𝜌(𝑋)
𝑟(𝑋)

(3/3)
𝑞(𝐸, ℱ) ≤
≤ 1
を満たす。
(証明の続き)
不等式は示せた。等号成立を示す。
𝑞 𝐸, ℱ =
|𝐵!|
|𝐵"|
となるような𝑋 ⊆ 𝐸に対し、
𝑐 𝑒 ≔
1 (𝑒 ∈ 𝑋)
0 𝑒 ∈ 𝐸X
というコスト関数を与える。𝐵!の要素の方が添字が小さくなるようにすると、
𝐺 𝐸, ℱ, 𝑐 = 𝐵! , 𝑂𝑃𝑇 𝐸, ℱ, 𝑐 = |𝐵"|
となって等号が成り立つ例となる。∎
61
𝑂V: 最適解
𝐸W: = 𝑒+, 𝑒,, … , 𝑒W
|𝑂W| ≤ 𝑟(𝐸W)
|𝐺W| ≥ 𝜌(𝐸W)
!⊆#
𝜌(𝑋)
𝑟(𝑋)

WORST-OUT-GREEDY ALGORITHMの性能証明
(1/3)
[Theorem 13.22] 最小化問題に対するWORST-OUT-GREEDY ALGORITHMは、
1 ≤
≤ max
!⊆#
𝑋 − 𝜌∗
(𝑋)
𝑋 − 𝑟∗(𝑋)
を満たす。
(証明)
1. 𝐺W ≤ 𝐸W − 𝜌∗
𝐸W
2. 𝑂W ≥ 𝐸W − 𝑟∗
𝐸W
が示せれば、BEST-IN-GREEDYのときの証明と同じ変形をすることで不等式が示せ
る。(各自確認せよ)
等号成立する例はmaxを達成するXについてBEST-IN-GREEDYのときの証明と同じよ
うに作れる。
よって、1,2を順に示す。(双対性を今一度復習してから進むこと。)
62
𝑂V: 最適解
𝐸W: = 𝑒+, 𝑒,, … , 𝑒W

(2/3)
1 ≤
≤ max
)⊆+
𝑋 − 𝜌∗
(𝑋)
𝑋 − 𝑟∗(𝑋)
を満たす。
( 𝐺, ≤ 𝐸, − 𝜌∗
𝐸, の証明)
𝐺' ⊆ 𝐸(𝐸,𝐺,)であり、𝐺'は(𝐸, ℱ)の基(base)である。
これは、(𝐸, ℱ)の基𝐺' ∩ 𝐸,𝐺, = ∅を意味する。
つまり、𝐸,𝐺, ∈ ℱ∗
ということ。
さらに、∀e ∈ 𝐺,. (𝐺, ∪ (𝐸𝐸,)){𝑒}は(𝐸, ℱ)の基(base)を含まない(アルゴリズム参照)
ので、補集合考えると ∀e ∈ 𝐺,. 𝐸,𝐺, ∪ {𝑒}は全ての基と交わる。
つまり、 ∀e ∈ 𝐺,. (𝐸,𝐺,) ∪ {𝑒} ∉ ℱ∗
なので 𝐸,𝐺,は双対独立系の基である。
したがって、|𝐸,𝐺,| ≥ 𝜌∗
(𝐸,)となり、示せた。
63
ℱ∗
≔ 𝑋 ⊆ 𝐸 ∃𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐵 𝑜𝑓 𝐸, ℱ 𝑠. 𝑡. 𝑋 ∩ 𝐵 = ∅}

(3/3)
1 ≤
≤ max
!⊆#
𝑋 − 𝜌∗(𝑋)
𝑋 − 𝑟∗(𝑋)
を満たす。
( 𝑂W ≥ 𝐸W − 𝑟∗ 𝐸W の証明)
𝑂V ⊆ 𝐸(𝐸W𝑂W)であり、𝑂Vは(𝐸, ℱ)の基(base)である。
これは、(𝐸, ℱ)の基𝑂V ∩ 𝐸W𝑂W = ∅を意味する。
つまり、𝐸W𝑂W ∈ ℱ∗ということ。
したがって、|𝐸W𝑂W| ≤ 𝑟∗
(𝐸W)となり、示せた。∎
64
ℱ∗
≔ 𝑋 ⊆ 𝐸 ∃𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐵 𝑜𝑓 𝐸, ℱ 𝑠. 𝑡. 𝑋 ∩ 𝐵 = ∅}

マトロイドと貪欲法総括
マトロイド上では最大化問題に対するBEST-IN-GREEDY ALGORITHMが最適化を返す
ことが示せた。
また、
𝑐Y
𝑒 = 1 + max 𝑐 𝑒 𝑒 ∈ 𝐸 − 𝑐(𝑒)
とすると、
𝐸, ℱ, 𝑐 に対する最小化問題 = 𝐸, ℱ, 𝑐Y に対する最大化問題
となるので、マトロイドの場合はBEST-IN-GREEDY ALGORITHMとWORST-OUT-
GREEDY ALGORITHMのどちらを使っても問題はないことに注意。
ここで、一番最初にあげた例に戻ってみる。
65

最小全域木問題再訪
グラフ 𝐺 = (𝑉, 𝐸) と辺のコスト関数 𝑐: 𝐸 ⟶ ℝ が与えられた時に、全頂点を通るような
木(全域木, spanning tree)で含まれる辺のコストの総和が最小のものを求める問題
3
5 4
4
2
1
3
5 4
4
2
5
1
5
66

クラスカル法とマトロイド (1/2)
[クラスカル法]
3
5 4
4
2
5
1
3
5 4
4
2
5
1
3
5 4
4
2
5
1
3
5 4
4
2
5
1
3
5 4
4
2
5
1
67

クラスカル法とマトロイド (2/2)
[クラスカル法]
↓
graphic matroid ℳ(𝐺)を考えると、
全域木: ℱの極大な要素(base)
であるので、最小全域木問題は、マトロイドℳ(𝐺)に対する最小化問題
↓
クラスカル法は、graphic matroidに対するBEST-IN-GREEDY ALGORITHMだった!!
68

プリム法とグリードイド(greedoid) (1/7)
[プリム法]
ある点からスタートし、すでに追加されている点からなるカット上で辺のコスト
が最も小さい辺を追加していき、全域木となったら終了する。
3
5 4
4
2
5
1
3
5 4
4
2
5
1
3
5 4
4
2
5
1
3
5 4
4
2
5
1
3
5 4
4
2
5
1
69

[プリム法]
ある点からスタートし、すでに追加されている点からなるカット上で辺のコストが
最も小さい辺を追加していき、全域木となったら終了する。
↓
graphic matroidに対するGREEDY ALGORITHMと対応しない。
しかし、やっていることは貪欲法っぽい
正体は？？
↓
実は、グリードイド(greedoid)に対する貪欲法(greedy algorithm)に対応している!!
70

u 集合系(set system) (𝐸, ℱ)がグリードイド(greedoid)であるとは以下を満たすこ
と。
(M1) ∅ ∈ ℱ
(M3) 𝑋, 𝑌 ∈ ℱ, 𝑋 > 𝑌 ⟹ ∃𝑥 ∈ 𝑋Y 𝑠. 𝑡. 𝑌 ∪ {𝑥} ∈ ℱ
(グリードイドの例)
𝐸 = 𝑎, 𝑏, 𝑐
ℱ = {∅, a , {a, b}}
71
a b c

GREEDY ALGORITHM FOE GREEDOID: (BEST-IN-GREEDYに対応)
Input: グリードイド(𝐸, ℱ), モジュラ関数𝑐: 2# ⟶ ℝ,
oracle (𝑋 ⊆ 𝐸がX ∈ ℱ判定し、𝑐(𝑋)を返す)
1. 𝑋 ≔ ∅
2. 𝑒 ∈ 𝐸Fのうち、𝑋 ∪ {𝑒} ∈ ℱかつ𝑐(𝑋 ∪ {𝑒})が最大になるものを選ぶ。そのような
eがない時は終了。
3. 𝑋 ≔ 𝑋 ∪ {𝑒}と更新して2に戻る。
72
※ グリードイド上のモジュラ関数最大化問題は
一般にNP-hard (Proposition 14.8: VCからの帰着)
𝑐 𝑋 ∪ 𝑌 + 𝑐 𝑋 ∩ 𝑌 = 𝑐 𝑋 + 𝑐(𝑌)

GREEDY ALGORITHM FOR GREEDOIDは最適とは限らない。
しかし、以下の条件があれば最適 (証明は本を参照)
↓
[Theorem 14.7] グリードイド(𝐸, ℱ)に対し、以下が同値
1. 𝐺𝑅𝐸𝐸𝐷𝑌 𝐴𝐿𝐺𝑂𝑅𝐼𝑇𝐻𝑀 𝐹𝑂𝑅 𝐺𝑅𝐸𝐸𝐷𝑂𝐼𝐷が最適
2. 𝐸, ℱ が𝑠𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑒𝑥𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑒𝑟𝑡𝑦を満たす
73
∀𝐴 ∈ ℱ. ∃𝑦 ∈ 𝐵A 𝑠. 𝑡. 𝐴 ∪ {𝑦} ∈ ℱ ∧ (𝐵{𝑦}) ∪ {𝑥} ∈ ℱ
(𝐵: 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑖𝑛 ℱ, 𝐴 ⊆ 𝐵, 𝑥 ∈ 𝐸B, 𝐴 ∪ {𝑥} ∈ ℱ)

(directed, undiredted) branching greedoid
(directed, undiredted)グラフ𝐺 = (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺))に対し、𝑟 ∈ 𝑉(𝐺)を一つ選ぶ。
この時、
𝐸: = 𝐸 𝐺
ℱ ≔ {𝐹 ⊆ 𝐸| 𝑉 𝐺 , 𝐹 は𝑟を根とする(有向, 無向)木}
と定めると(𝐸, ℱ)はグリードイド(greedoid)となる。
(証明)
(M1) 明らか。
(M3) 明らか。∎
74

[プリム法]
ある点からスタートし、すでに追加されている点からなるカット上で辺のコストが最も小さい
辺を追加していき、全域木となったら終了する。
↓
branching greedoidを考えると、
全域木: ℱの極大な要素(base)
であるので、最小全域木問題は、グリードイドに対する最小化問題とも捉えられる!!
↓
プリム法は、branching greedoidに対する(BEST-IN-)GREEDY ALGORITHMだった!!
branching greedoidはstrong exchange propertyを満たす(各自確認されたい)ので最適!!
75
∀𝐴 ∈ ℱ. ∃𝑦 ∈ 𝐵A 𝑠. 𝑡. 𝐴 ∪ {𝑦} ∈ ℱ ∧ (𝐵{𝑦}) ∪ {𝑥} ∈ ℱ
(𝐵: 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑖𝑛 ℱ, 𝐴 ⊆ 𝐵, 𝑥 ∈ 𝐸B, 𝐴 ∪ {𝑥} ∈ ℱ)

最後に
他にもマトロイドに関する話題として、
1. マトロイドの交叉(intersection), 分割(partition)
2. マトロイドの仲間(greedoid, polymatroid, antimatroid)
3. マトロイドと劣モジュラ関数(submodular function)との関係
4. 劣モジュラ関数(submodular function)最小化
5. 対称劣モジュラ関数(symmetric submodular function)最小化
6. 劣モジュラ関数(submodular function)最大化のheuristic
などが取り上げられています。興味のある方はぜひ読んでみてください!!
76

参考文献
u Korte, Bernhard, et al. Combinatorial optimization. Vol. 2. Heidelberg:
Springer, 2012.
77

Thank you for listening !!
※ 拙いですが、一応実装してみたりしてます
→ https://github.com/CombOptAlgos 78

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