Desigualdades

1. DESIGUALDADES
 RACIONALES
 CUADRÁTICAS
 VALOR ABSOLUTO

2. 2
𝑋−3
+ 1 ≥ 5
2
𝑋 − 3
+ 1 − 5 ≥ 0
2
𝑋−3
− 4 ≥ 0
2 − 4𝑋 + 12
𝑋 − 3
≥ 0
− 4𝑋 + 14
𝑋 − 3
≥ 0
Numerador
− 4𝑋 + 14 = 0
𝑋 =
− 14
−4
𝑋 =
7
2
𝑋1 = 3.5
𝑥2 = 3
Denominador
𝑥 − 3 = 0
1 2 − 4(𝑋 − 3)
𝑋 − 3
≥ 0
Problema No. 1

3. 𝑥1 = 3.5
𝑥2 = 3
− 4𝑋 +14
𝑋−3
≥ 0
Numerador
Denominador
Continuación Problema No. 1

4. 𝑥2 − 𝑥 − 20 > 0
𝑥 − 5 𝑥 + 4 > 0
𝑥 − 5 = 0 𝑥 + 4 = 0
𝑥1 = 5 𝑥2 = −4
Cada factor igual a cero
Problema No. 2
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑟: 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

5. 𝑥3
− 12𝑥 + 16 < 0
1 0 − 12 16
𝑥 − 2 𝑥 + 4 𝑥 − 2 < 0
Cada factor a cero
𝑥 − 2 = 0
𝑥1 = 2
𝑥 + 4 = 0
𝑥2 = −4
𝑥 − 2 = 0
𝑥3 = 2
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑥1 = 𝑥3 = 2
Problema No. 3

6. |𝑥| < 𝑎 ⇒ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO:
|x| = 𝑎 ⇒ 𝑥 = ± 𝑎
|𝑥| > 𝑎 ⇒ 𝑎 < 𝑥 < − 𝑎

7. |𝑥| < 𝑎 ⇒ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎
|𝑥 − 5| = 7 ⇒ 𝑥 − 5 = ± 7
𝑥 − 5 = 7 𝑥 − 5 = − 7
𝑥 = 7 + 5 𝑥 = 5 − 7
𝑥1 = 12 𝑥2 = − 2
Problema No. 4

8. |𝑥| < 𝑎 ⇒ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎
|
3𝑥+5
8
| < 12 ⇒ − 12 <
3𝑥+5
8
< 12 −12 8 < 3𝑥 + 5 < 12 (8)
−96 < 3𝑥 + 5 < 96
−96 − 5 < 3𝑥 < 96 − 5
−101 < 3𝑥 < 91
− 101
3
< 𝑥 <
91
3
− 33. 6 < 𝑥 < 30.3
Problema No. 5

9. |
2𝑥−3
𝑥−1
| ≥ 4 ⇒ 4 <
2𝑥−3
𝑥−1
< −4
4 <
2𝑥 − 3
𝑥 − 1
4 −
2𝑥−3
𝑥−1
< 0
4 𝑥−1 −1(2𝑥 − 3)
𝑥−1
< 0
4 𝑥−1 − (2𝑥−3)
𝑥−1
< 0
4𝑥−4−2𝑥+3
𝑥−1
< 0
2𝑥−1
𝑥−1
< 0
2𝑥 − 1 = 0
2𝑥 = 1
𝑥 =
1
2
𝑥1 = 0.5
𝑥 − 1 = 0
𝑥2 = 1
Numerador Denominador
Problema No. 6

10. 2𝑥 − 3
𝑥 − 1
< −4
2𝑥 − 3
𝑥 − 1
+ 4 < 0
2𝑥−3 +4𝑥−4
𝑥−1
< 0
6𝑥 − 7
𝑥 − 1
< 0
6𝑥 − 7 = 0
𝑥 =
7
6
𝑥3 = 1.2
𝑥 − 1 = 0
𝑥4 = 1

11. 2𝑥−1
𝑥−1
< 0 𝑥1 = 0.5 𝑥2 = 1
6𝑥−7
𝑥−1
< 0 𝑥3 = 1.2 𝑥4 = 1