Calculo de limites

Determine los siguientes límites:
 x  3  x  2 
a) lim
50
x 
 x  1
20
30
 x  3  x  2   lim x50  a49 x 49  a48 x 48  ...  a1 x  a0
lim
50
x 
x  x 50  b x 49  b x 48  ...  b x  b
 x  1
49
48
1
0
20

30

a49 a48
a1 a0
 2  ...  49  50
x
x
x
x 1
 lim
x 
b49 b48
b0
b1
1
 2  ...  49  50
x x
x
x
1

b)

 sen(a  2 x)  sen(a  x)  sen(a) 
lim 

x 0 cos( a  2 x )  cos( a  x )  cos(a )



Dado que las funciones seno y coseno son continuas:

lim sen  a  2 x   sen  a  x   sen  a   sen  a   sen  a   sen  a 
x 0

lim cos  a  2 x   cos  a  x   cos  a   cos  a   cos  a   cos  a 
x 0

sen  a  2 x   sen  a  x   sen  a  sen  a 

 tan  a 
x  0 cos  a  2 x   cos  a  x   cos  a 
cos  a 

lim

a)

lim x

x 



x



a 1

Solución:
lim  x


x 





x





a 1    a


1





 1   1  1    0   Indeterminación

1
x
x  u 0

 u

lim  x




x

x 

 lim  x
x  



x

 au  1
a  1   lim 
  ln  a 

u 0
 u 





a  1   ln  a 


IRWIN VITERI RAMBAY {https://twitter.com/IrWiN_ViTeRi} SI TE GUSTÓ FOLLOW ME

b) lim
x 0

1  e 3 x
tan  4 x 

Solución:
3 0
 1  e 3 x 
1 e  
0
lim 

 Indeterminación
 
x  0 tan  4 x 
tan  4  0   0





3


3 x


   e 3 x  1 
   e 1



  e 3 x  1 
 1  e 3 x 

   lim  x   lim   x      3


 lim 


  lim 
4
x  0 tan  4 x 
x  0  sen  4 x  
x  0  sen  4 x  1 
x 0


 sen  4 x 
 4 1


1
 






cos  0 
cos  4 x  
cos  4 x  x 


x
cos  4 x  




 1  e 3 x 
3
 lim 
 
x  0 tan  4 x 
4







1 


1 
sen  x 


 sen  4 x 

4   1
 





 x 
1 
1  x



tan   
cos  x  
cos  x 


 4    lim 
 4    lim 
4 
 lim  f  x    lim  3 x
 3



x 0 
x 0 
x 0  3 x
x 0
 2x 

 e  1  1  cos x 
 e 2  1  cos  x   1 
e 2  cos  x  
  

 











x










1


4
 sen  1 x 

 


1
4  


1 
x

1

cos  x 
1

4   4
 lim 
3

x 0
3
2
0
 3x
0
2
2
1  cos  x  
 e 1

 x

x






1
lim  f  x   

x 0 
6

 A

1
6


c) lim
x2

x 1  3  x
x2

Solución:
 x 1  3  x 
lim 
 
x 2
x2



2 1  3  2 0
  Indeterminación
22
0

 x 1  3  x 
 x 1  3  x
lim 

  lim 
x 2
x2
x2
x2






 

x 1  3  x 

x 1  3  x 



2
2




x 1  3  x
x 1  3  x

  lim 

 lim
x 2 
 x  2  x  1  3  x  x2   x  2  x  1  3  x 










2  x  2
2x  4
  lim 

 lim 
x 2 
 x  2  x  1  3  x  x2   x  2  x  1  3  x 




2
2
2


 lim 
 1

x 2
2 1  3  2 2
 x 1  3  x 













 x 1  3  x 
 lim 
 1
x2
x2



d) lim
x 0

1  e 3 x
tan  4 x 

Solución:
 1  e 3 x 
1  e 3 0
11
0
lim 



x  0 tan  4 x 

 tan  4  0   tan  0  0




 e 3 x  1

  e 3 x  1 


 1 e 

   lim   x  cos  4 x  
lim 
  lim 
x  0 tan  4 x 
x  0  sen  4 x  
x 0
sen  4 x 










cos  4 x  
x





3 x

   3  cos  4 x   3
 lim 
  cos  0 
x 0
4

 4
 1  e 3 x  3
 lim 

x  0 tan  4 x 

 4






a)

e8 x  cos  3x 
lim
x 0 tan  5 x   x
Solución:
lim

e8 x  cos  3 x 
tan  5 x   x

x 0



11
00



  e8 x  1   1  cos  3 x   
 8x



 e8 x  cos  3 x  
e  1  cos  3 x   1 
x

 lim 
 lim 
  lim 
x 0
x 0 
x 0 

sen  5 x 
sen  5 x   xcos  5 x  
 tan  5 x   x 


x




cos  5 x 
x cos  5 x 






0
8


1  cos  3x 
e8 x  1



80
8
x
x
 
 lim 

1
x 0 
1
 sen  5 x 

1
 5  cos  0    5  1
5

 cos  5 x   
cos  0 

5x
 cos  5 x  



 e8 x  cos  3 x  
 lim 
  2
x 0
 tan  5 x   x 



b)

arctan  2 x 
x 0 sen  4 x 

lim

Solución:
lim
x 0

arctan  2 x 
sen  4 x 



arctan  0 
sen  0 

 arctan  2 x  
 lim 

x 0
 sen  4 x  







0
0

u  arctan  2 x 
x



u0

tan  u 
2







u










2tan  u 
u
u
u
  lim 

  lim 
 lim 
  lim 
u 0 
 tan  u    u  0  sen  2tan  u    u  0  sen  2tan  u   1  u  0  sen  u  


2
 sen  4 





2 

 cos  u  



 2tan  u 



1
1
 1
u
 lim  
 cos  u     cos  0 
u  0 2 sen  u 

 2


arctan  2 x  1
 lim

x 0
sen  4 x 
2


c)

ln   x  , x  1

lim f  x  , tal que f  x   
x 1
1  sgn   x  1 , x  1

Solución:
ln   x  , x  1

lim f  x  , tal que f  x   
1  sgn   x  1 , x  1


x 1

Recuerde que para que lim f  x  exista, debe cumplirse la siguiente condición :
x 1

lim f  x   lim f  x   lim f  x 

x 1

x 1

x 1

sgn   x  1

ln   x 

 lim f  x   lim 1  sgn   x  1   lim 1   1 

 x 1 

x 1
x 1
lim f  x   0

x 1

 lim f  x   lim ln   x    lim  0

 x 1
x 1
x 1
lim f  x   0

x 1

 lim f  x   0
x 1


d)

lim


x x
x2

x 2

Solución:

x x 
 x  2
lim 
 lim 1
  xlim 

2  x  2 
 x2
 x2 

x  2

x x 
 lim 
 1
x  2
 x2 

e)

lim

x 



x2  2 x  3  x2  2 x  3



Solución:
lim

x 





x 2  2 x  3  x 2  2 x  3      Indeterminación

 lim

x 




x 2  2 x  3  x 2  2 x  3  lim  x 2  2 x  3  x 2  2 x  3 
x 





x2  2x  3  x2  2x  3 

x2  2x  3  x2  2x  3 


 x 2  2 x  3   x 2  2 x  3 


4x
  lim 
 lim 

2
2
2
2
x 
x 
 x  2x  3  x  2x  3 
 x  2x  3  x  2x  3 



 lim

x 






4x



4
x
  lim 
 lim 
2
2
2
x  
x  

x  2x  3  x  2x  3
x  2x  3




x
x2









4
 4 
 lim 
 lim 
0
0
0
0 
x 
x  1  1 


2
3
2
3 

 1  x  x2  1  x  x2 






x2  2x  3 

x2




x2  2 x  3  x2  2 x  3  2


a)

lim f  x  , si
x 1

x  1
3x,
 5
 x  x4  x 1
f  x  
, x 1
x2 1

x 1
 4  2 x,


lim f  x  existe si y solo si lim f  x   lim f  x 


x 1

x 1

 x5  x 4  x  1  0
lim f  x   lim 
  0
x 1
x 1
x2 1

 

x 1


Indeterminación 


  x  1  x 4  1 
  x  1  x3  x 2  x  1 
 x 4  x  1   x  1 
  lim 

 lim 
lim
  x 1 
x 1
x 1
x2 1
 x  1
  x  1 x  1 








3
2
 lim  x  x  x  1
 

x 1

lim f  x   4

x 1

lim f  x   lim  4  2 x 


x 1

x 1

lim f  x   2

x 1



lim f  x  no existe.
x 1


b)

lim
x 0

lim
x 0

tan3  x 

x 1  cos  x  

tan 3  x 



x 1  cos  x  

0
0

 Indeterminación 

3
  sen  x  3 


 sen  x  
 





 cos  x  

  cos  x   





 lim  

  lim 
2
x  0 x 1  cos  x 
  x 0  x  x  1  cos  x   
 



  x2 



  




sen3  x 


x3

 
 lim
x 0 
 1  cos  x   
 cos3  x  

x2





lim
x 0

c)

tan 3  x 

x 1  cos  x  

1
1

3



sen3  x 


cos3  x 


lim
x 0 
 1  cos  x   
 x3 

x2
 




3

1
 
2

 2

eax  ebx
lim
x 0 ln 1  x 

e ax  ebx
11
0


x  0 ln 1  x 
ln  0 
0

lim


 e ax  1   ebx  1 
 e  1   e  1  lim  x    x 
e ax  1  ebx  1

 

 lim
 lim
x 0
x 0
x 0
ln 1  x 
ln 1  x 
ln 1  x 
x
ax
bx
ax
bx
 e 1  e 1
 e 1
 e 1
lim 



  lim 

x 0
x 0
 x   x  
 x 
 x   ab
 lim
1
1
x 0
ln  e 


ln 1  x  x
ln lim 1  x  x 
x 0


ax

bx

e ax  ebx
lim
 ab
x  0 ln 1  x 


 25 x  6 x  31 
lim 

x 
x2  7


2

d)

x 13
2 x 5

x 13



 25 x 2  6 x  31  2 x  5
  
lim 
  

x 
x2  7




 25 x 2  6 x  31 


x2
lim 

x 
x2  7




2
x


 25 x  6 x  31 
lim 

x 
x2  7


2

x 13
x
2 x 5
x

x 13
2 x 5

13
x
5
2
x

1

6 31 

 25  x  x 2 
 lim 

x 
 1 7



x2



1

2
 25  0  0  2
 
  25 

 1 0 

 5


1

a)

x x

lim


3 x

x 3

x

lim


x 3

b)

3  3
33

lim x

x 



x

23
 
0





a 1    0

 1 
lim x  a x  1
x 





u

1

x

u0

 au  1 
lim 
  ln  a 
u 0
 u 


1

 1  tan  x   sen2  x 
a) lim 
. (6 pts)

x 0  1  sen  x  


1

 1  tan  x   sen2  x 
lim 
 1

x 0  1  sen  x  



 Indetermnación 

1



lim 1  tan  x   sen2  x 
x 0

lim 1  sen  x  
x 0



e

1



sen  x 



1
lim 

x0  sen  x  cos  x  



e

1

 1 
lim 

x0  sen  x  



2



lim 1  tan  x   tan  x 
x 0

lim 1  sen  x  

tan  x 
sen 2  x 

1
1
sen x  sen x 



x 0

e


1
1 
lim 



 sen  x  cos x  sen  x  

x0 



e

 1 cos x 

x
lim 
x0  sen  x  cos  x 

x









1



b)

e

 1  tan  x   sen2  x 
 lim 
 1

x  0  1  sen  x  



 1

0


1
 1 
lim  x 2 sen    xsen  2   . (6 pts)
x 
 x
 x 


1
 1 
lim  x 2 sen    xsen  2   
x 
 x
 x 



u

1
x


 u0

 1 sen  u 
sen  u 2 
1
 1
2 
lim  2 sen  u  
sen  u    lim  
 u
x 
x 
u
u
u2
u

u

 1  u2 
 1

 lim   u   lim 
  
x 
x 
u

 u 


 




1
 1 
 lim  x 2 sen    xsen  2    
x 
 x
 x 


 2n  3n  1 
lim 
 1
3
 n 1

2

c)

n 

n2  5 1

3n  7 n

. (6 pts)


 2n  3n  1 
lim 
 1
3
 n 1

2

n2  5 1

3n2  7 n

 1

n 



 2n 2 3n 1

 3  3 3

n  1
lim  n 3 n
n 
n
1


 3


3
n
n


 n3
n2
n
7
  3 5 
 n3
n3
n3 n3
lim 
3
n

3 n3  7 n3

n
n


 1










n3  5 n  3 n 2  7
3 n3  7 n

 3

2
lim  n 5n  3n  7 

3 7n
3n



n 

 1



1

 13  1
 2n  3n  1 
 lim 
 1
3
n 
 n 1

2

d)

n2  5 1

3n2  7 n

 1

 ln  ln x  
lim 
 . (6 pts)
x e
 xe 
 ln  ln x  
0
lim 
 
x e
0
 xe 
u  xe




u0

 ln  ln  u  e   
lim 

x e
u







1


lim ln ln  u  e   u 


u 0



ln  u  e  1
1




ln lim  ln  u  e   1  1 ln u  e 1 u 


u 0





  u  e 
 ln  e  

lim  
u 0 
u






 ln  u  e   ln  e  
lim 

u 0
u





e

  u u
ln lim 1  
u 0
  e


 1
 
ln e e 
 
 

1
e













1


 ln lim  ln  u  e  u 


 u 0

 ln  u  e  1




u



ln lim e 

u 0









1


u
ln  u  e  
lim 
 
u 0 
 e 



 ln  u  e   1 
lim 

u 0
u





1


  u u 
ln lim  1   
u 0
e 
 



1
e


lim g  x  , si g  x   5  3 4  x  . (6 pts)
x 4
2

e)



 3 4  x   g  x   5  3 4  x 
2

2

 3 4  x   5  g  x   3 4  x   5
2

2

2
2
lim  3  4  x   5  lim  g  x   lim 3  4  x   5



x4 
x4 
x4 

 5  lim  g  x     5

x4 
Por el teorema del emparedado lim  g  x     5

x4 


Calculo de limites

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