STRUKTUR KRISTAL

FISIKA ZAT PADAT

Oleh
DRS. P A R N O, M.Si

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL
UNIVERSITAS NEGERI MALANG
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

JURUSAN FISIKA
Pebruari 2006

Ralat fisika zat padat 2006

hal ralat
10 Gambar 1.9 CsCl
13 c/a = (2/3) akar 6
18 Baris ke-8 dalam table: ………. berikutnya
25 Pers (1.30) fkr,hkl
27 KBR seharusnya adalah KBr
35 interaksi seharusnya Interaksi
41 Baris ke-2 dr bw: dobel +
42 03.b. primitip adalah; 06. ………
48 2.1 dan 2.3
57 Letak Pers 2.34

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur dipanjatkan kepada Tuhan Yang Mahaesa atas segala rahmat-Nya
sehingga penulisan buku FISIKA ZAT PADAT ini dapat diselesaikan.

Buku ini disusun atas dasar deskripsi matakuliah FIU 437 FISIKA ZAT
PADAT di Jurusan Fisika FMIPA Universitas Negeri Malang dan dengan maksud
agar perkuliahan matakuliah tersebut dapat berlangsung lebih efektif dan efisien.
Disamping itu, buku ini diharapkan dapat melengkapi pilihan pustaka mahasiswa
dalam memahami konsep dan gejala mendasar dalam zat padat.

Isi buku ini dirancang untuk kuliah satu semester dengan tiga sampai empat
kredit pada semester kedua tahun ketiga. Dengan demikian mahasiswa diharapkan
sudah menempuh matakuliah prasyaratnya, yaitu FISIKA KUANTUM dan FISIKA
STATISTIK.

Dalam setiap bab buku ini disajikan urutan subbab sedemikian rupa sehingga
memahami subbab sebelumnya menjadi bekal yang cukup baik untuk memahami
subbab sesudahnya. Oleh karena itu dalam mempelajari setiap bab buku ini
mahasiswa diharapkan membaca dan memahaminya mulai dari awal sampai akhir
secara berturutan.

Diucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga
buku FISIKA ZAT PADAT ini dapat diselesaikan. Saran dan kritik membangun dari
para pembaca sangat diharapkan demi lebih sempurnanya buku ini.

Semoga buku ini berguna. Amin!
Malang, Pebruari 2006
Penyusun,

i

DAFTAR ISI
halaman

BAB I STRUKTUR KRISTAL
1.1 SIMETRI DAN STRUKTUR KRISTAL 2
1.1.1 Pengertian Pokok 2
1.1.1.1.Zat padat Kristal 2
1.1.1.2 Kisi Kristal 3
1.1.1.3 Vektor Basis 4
1.1.1.4 Sel Satuan Primitip dan Non-Primitip 4
1.1.1.5 Tiga Dimensi 5
1.1.2 Macam Dasar Kisi kristal 6
1.1.3 Beberapa Kristal dengan Struktur Sederhana 9
1.1.3.1 Struktur NaCl 9
1.1.3.2 Struktur CsCl 10
1.1.3.3 Struktur Intan 11
1.1.3.4 Struktur ZnS 12
1.1.3.5 Struktur HCP 12
1.1.4 Geometri Kristal 13
1.1.4.1 Arah kristal 13
1.1.4.2 Bidang Kristal dan Indek Miller 14
1.1.4.3 Jarak antar Bidang Sejajar 16
1.1.4.4 Fraksi Kepadatan 18
1.2 DIFRAKSI KISI KRISTAL 18
1.2.1 Hamburan Sinar-X oleh Kisi Kristal 19
1.2.1.1 Hukum Bragg 19
1.2.1.2 Teori Hamburan 20
1.2.1.3 Kisi Resiprok 23
1.2.1.4 Difraksi Sinar-X 24
1.3 IKATAN ATOMIK DALAM KRISTAL 28
1.3.1 Gaya Antaratom 28
1.3.2 Jenis Ikatan Kristal 30
1.3.2.1 Ikatan Ionik 30
1.3.2.2 Ikatan Kovalen 32
1.3.2.3 Ikatan Logam 34
1.3.2.4 Ikatan Van Der Walls 35
1.3.2.5 Ikatan Hidrogen 37
RINGKASAN 38
LATIHAN SOAL BAB I 41

ii

B A B II DINAMIKA KISI KRISTAL
2.1. GETARAN DALAM ZAT PADAT 47
2.1.1 Getaran Elastik dan Rapat Moda Getar 47
2.1.2 Kuantisasi Energi Getaran dalam Zat Padat 52
2.1.2.1 Model Einstein tentang Cv Zat Padat 53
2.1.2.2 Model Debye tentang Cv Zat Padat 56
2.2 GETARAN DALAM KISI KRISTAL 58
2.2.1 Getaran dalam Kisi Linier 58
2.2.1.1 Kisi Monoatomik Satu Dimensi 58
2.2.1.2 Kisi Diatomik Satu Dimensi 63
2.2.1.3 Kisi Tiga Dimensi 66
RINGKASAN 66
LATIHAN SOAL BAB II 68

BAB III ELEKTRON DALAM LOGAM I
(MODEL ELEKTRON BEBAS)
3.1 MODEL ELEKTRON BEBAS KLASIK 73
3.1.1 Teori Drude tentang Elektron dalam Logam 73
3.1.2 Model Elektron Bebas Klasik 76
3.2 MODEL ELEKTRON BEBAS TERKUANTISASI 78
3.2.1 Sumbangan Elektron Bebas pada Harga CV 80
3.2.2 Paramagnetik Pauli 82
3.2.3 Konduktivitas Listrik dalam Logam 83
3.3 PERILAKU ELEKTRON DALAM LOGAM 87
3.3.1 Hukum Matthiessen 87
3.3.2 Efek Hall 88
3.3.3 Resonansi Siklotron 90
3.3.4 Pancaran Termionik 91
3.4 KEBERATAN TERHADAP MODEL ELEKTRON BEBAS
TERKUANTISASI 93
RINGKASAN 94
LATIHAN SOAL BAB III 96

BAB IV LOGAM II (TEORI PITA ENERGI)
4.1 TEORI PITA ENERGI UNTUK ZAT PADAT 99
4.1.1 Teorema Bloch 100
4.1.2 Model Kronig-Penney 101
4.1.3 Pita Energi dan Energi Elektron dalam Atom 105
4.1.4 Refleksi Bragg dan Celah Energi 108
4.1.5 Logam, Isolator dan Semikonduktor 110
4.1.6 Metode LCAO 115
iii

4.2 DINAMIKA ELEKTRON DALAM KRISTAL 119
4.2.1 Kecepatan Kelompok dan Massa Efektif Elektron
dalam Kristal 119
4.2.2 Pengaruh Medan Listrik pada Kecepatan Elektron
dalam Kristal 125
4.2.3 Konduktivitas listrik 127
4.2.4 Dinamika Elektron dalam Medan Magnet 129
4.2.4.1 Efek Hall 129
4.2.4.2 Resonansi Siklotron 130
RINGKASAN 133
LATIHAN SOAL BAB IV 136

BAB V SEMIKONDUKTOR
5.1 KLASIFIKASI SEMIKONDUKTOR 140
5.2 SEMIKONDUKTOR INTRINSIK 140
5.3 SEMIKONDUKTOR EKTRINSIK 144
5.3.1 Ketidakmurnian Donor dan Akseptor 145
5.3.1.1 Donor 145
5.3.1.2 Aseptor 147
5.4 PENGUKURAN CELAH ENERGI
DENGAN METODE OPTIK 149
RINGKASAN 150
LATIHAN SOAL BAB V 152

BAB VI BAHAN DIELEKTRIK
6.1 RUMUSAN DASAR POLARISASI BAHAN 154
6.2 KONSTANTA DIELEKTRIK BAHAN
(PANDANGAN MAKROSKOPIS) 156
6.3 POLARISABILITAS BAHAN
(PANDANGAN MIKROSKOPIS) 157
6.3.1 Persamaan Clausius-Mosotti 157
6.3.2 Sumber Polarisabilitas 161
6.3.2.1 Polarisabilitas Polar 163
6.3.2.1.1 Polarisabilitas Polar Statik 163
6.3.2.1.2 Polarisabilitas Polar Bolak-balik 164
6.3.2.2 Polarisabilitas Ionik 167
6.3.2.3 Polarisabilitas Elektronik 170
6.3.2.3.1 Polarisabilitas Elektronik Statik 170
6.3.2.3.2 Polarisabilitas Elektronik Bolak-balik 171
6.4 GEJALA PIEZOELEKTRIK 172
6.5 GEJALA FERROELEKTRIK 173
RINGKASAN 173
LATIHAN SOAL BAB VI 178

iv

BAB VII BAHAN MAGNETIK
7.1 SUSEPTIBILITAS MAGNETIK BAHAN 183
7.2 GEJALA DIAMAGNETIK LANGEVIN 184
7.3 GEJALA PARAMAGNET 186
7.4 GEJALA MAGNETIK DALAM LOGAM 190
7.5 GEJALA FERROMAGNETIK 193
7.5.1 Gejala Ferromagnetik pada Isolator 193
7.5.1.1 Teori Medan Molekuler 193
7.5.1.2 Magnetisasi Spontan dan Hukum Curie-Weiss 194
7.5.2 Gejala Ferromagnetik pada Logam 197
7.6 GEJALA ANTIFERROMAGNETIK
DAN FERRIMAGNETIK 198
RINGKASAN 199
LATIHAN SOAL BAB VII 201

DAFTAR RUJUKAN

v

BAB I
STRUKTUR KRISTAL

Zat padat, yang terlihat sebagai benda tegar padat, secara mikro terdiri dari
atom. Atom-atom zat padat tidaklah diam, melainkan bervibrasi dengan amplitudo
kecil di sekitar titik kesetimbangannya. Karena posisinya yang relatif tetap, maka
atom-atom tersebut cenderung membentuk struktur tertentu. Hal ini berbeda
dengan cairan atau gas, yang mana atom-atomnya bergerak pada jarak yang lebih
besar sehingga strukturnya tidak tertentu.
Distribusi setimbang atom-atom mendefinisikan struktur padatan, yang
terdiri dari tiga bagian besar, yaitu kristalin, amorf, dan polikristal. Dalam zat
padat kristal, atom tersebut terdistribusi teratur relatif terhadap yang lain.
Terdapat beberapa jenis struktur kristal yang bergantung pada geometri susunan
atom. Pemahaman tentang struktur kristal bahan adalah hal penting dalam fisika
zat padat, karena, umumnya, struktur kristal mempengaruhi sifat zat padat. Zat
padat polikristal dibentuk oleh sejumlah besar kristal-kristal kecil, yang disebut
kristalin. Atom-atom membentuk pola dalam suatu kristal, tetapi orientasinya
akan lenyap pada batas kristalin. Sedangkan dalam zat padat amorf, terjadi
distribusi atom secara acak. Bahan-bahan zat padat dapat berbentuk kristalin,
polikristal atau amorf, bergantung pada bagaimana bahan tersebut dipreparasi.
Selanjutnya, dalam diktat ini hanya dibahas zat padat kristal saja.

I STRUKTUR KRISTAL 2

Bagian awal bab ini menyajikan pengertian struktur kristal beserta
perluasannya melalui rumusan dasar matematika. Kemudian dibahas jenis struktur
yang mungkin, dan dikenalkan konsep indek Miller. Struktur kristal dapat
ditentukan dengan menggunakan difraksi sinar-X. Bab ini ditutup oleh bahasan
gaya antaratom yang menyebabkan terjadinya ikatan dalam kristal.

1.1 SIMETRI DAN STRUKTUR KRISTAL

1.1.1 Pengertian Pokok

1.1.1.1 Zat Padat Kristal
Suatu benda padat berbentuk kristal, apabila atom, ion, atau molekulnya
(selanjutnya disebut atom saja) teratur dan periodik dalam rentang yang panjang
dalam ruang. Kristal sempurna mempunyai keperiodikan tak berhingga. Namun,
kenyataannya, tidak mungkin mempreparasi kristal sempurna karena berbagai
keterbatasan fisis, yaitu (a) adanya permukaan kristal, (b) cacat geometrik, (c)
ketakmurnian, dan (d) pada suhu T>0 K atom dalam kristal bergetar harmonik di
sekitar titik setimbangnya.
Gambar 1.1 berikut menyajikan geometri kristal dua dimensi.

b R

a

Gambar 1.1 Zat padat kristal. Seluruh atom tersusun periodik.
Kedudukan dalam ruang dua dimensi di atas merupakan kedudukan atomnya.
Setiap titik di dalamnya terletak pada ujung vektor kisi
R = n1 a + n2 b (1.1)

dengan (n1, n2) adalah pasangan bilangan bulat; dan a dan b adalah vektor basis.

Fisika Zat Padat Parno – Fisika FMIPA UM


Bahan kristal memiliki simetri translasi, artinya seluruh kristal itu digeser
sejauh vektor R di atas (yang menghubungkan dua buah atomnya), maka
keadaannya tetap sama. Dengan kata lain kristal bersifat invarian terhadap
translasi semacam itu.

1.1.1.2 Kisi Kristal
Dalam kristalografi (bahasan geometri kristal), setiap atom dalam kristal
dianggap sebagai suatu titik, tepat pada kedudukan setimbang tiap atom itu di
dalam ruang. Pola geometrik yang diperoleh dinamakan kisi kristal.
Terdapat dua kelas kisi, yaitu Bravais dan non-Bravais. Dalam kisi
Bravais, seluruh titik kisi adalah ekivalen, artinya kisi bersifat invarian terhadap
operasi simetri translasi. Dengan demikian semua atom dalam kristal haruslah
sejenis. Sedangkan dalam kisi non-Bravais terdapat beberapa titik kisi yang tidak
ekivalen.
Gambar 1.2 berikut menyajikan kisi non-Bravais.

Gambar 1.2 Kisi non-Bravais dengan basis A dan A’
Tempat kisi A, B dan C adalah ekivalen, begitu juga A’, B’ dan C’. Tetapi, dua
tempat kisi A dan A’ tidak ekivalen karena kisi tidak invarian terhadap translasi
sepanjang AA’. Kisi non-Bravais seringkali disebut sebagai kisi dengan suatu
basis. Basis yang dimaksud adalah kumpulan atom yang ditempatkan di sekitar
titik kisi Bravais. Dalam Gambar 1.2 di atas basisnya adalah A dan A’.
Kisi non-Bravais dapat dipandang sebagai kombinasi dari dua atau lebih
kisi Bravais yang saling menembus dengan orientasi tertentu.



1.1.1.3 Vektor Basis
Lihat kembali Gambar 1.1. Posisi semua titik kisi dinyatakan oleh
persamaan (1.1), yakni R = n1 a + n2 b . Perhatikanlah bahwa a dan b , yang
dinamakan vektor basis, (a) bersifat tidak unik, dan (b) haruslah tidak kolinier.

1.1.1.4 Sel Satuan Primitip dan non-Primitip
Luas daerah jajaran genjang (paralelogram) yang sisinya dibatasi oleh
vektor basis disebut sel satuan, seperti luasan daerah bayang-bayang dalam
Gambar 1.3 berikut.

b R

a

Gambar 1.3 Vektor a dan b membentuk sel satuan

Sel satuan merupakan dasar pola elementer karena berulang secara periodik dan
membentuk struktur kisi suatu kristal. Bila sel satuan tersebut dilakukan translasi
oleh vektor kisi R di atas, maka seluruh kisi kristal tercakup olehnya. Luas daerah

paralelogram dengan sisi a dan b adalah a × b =ab sin γ, dimana γ adalah sudut

antara a dan b .
Perhatikanlah bahwa sel satuan itu (a) tidak unik, (b) setiap sel satuan
mempunyai luasan yang sama, dan (c) dalam contoh di atas sel satuan
mengandung satu titik kisi.
Yang dibicarakan di atas adalah sel primitip, yakni sel satuan yang hanya
mengandung satu titik kisi perselnya. Sedangkan sel non-primitip memiliki lebih
dari satu titik kisi perselnya. Vektor basis yang membentuk sel satuan primitip
disebut vektor basis primitip; dan sel satuan non-primitip disebut vektor basis
non-primitip. Gambar 1.4 berikut memperjelas perbedaan keduanya.



2

1

5
3
4

Gambar 1.4 Sel primitip (3, 4 dan 5) dan
non-primitip (1 dan 2 dengan dua titik kisi persatuan sel)
Perhatikanlah bahwa jika sel satuannya adalah sel primitip, maka titik-titik
kisi hanya ada pada tiap-tiap pojok jajaran genjang, yaitu sebanyak 4 titik kisi.
Setiap titik kisi menjadi milik bersama antara 4 buah sel, sehingga jumlah total
titik kisi dalam sel satuan primitip sebanyak 4x¼=1. Hal demikian tidak terjadi
pada sel satuan nonprimitip.
Beberapa hal penting yang berkaitan dengan sel satuan adalah (a) sel non-
primitip menunjukkan simetri lebih besar, (b) luas sel non-primitip merupakan
kelipatan bulat dari luas sel primitip, dan (c) sel primitip dan non-primitip berkait
dengan pemilihan vektor basis dalam kisi Bravais.

1.1.1.5 Tiga Dimensi
Bahasan kristal dalam tiga dimensi sama dengan dalam dua dimensi,
hanya keadaannya ditambah dengan satu dimensi lagi. Disamping itu, hal yang
perlu diperhatikan adalah
(a) ungkapan vektor basis menjadi
R = n1 a + n2 b + n3 c (1.2)

dengan vektor basis (a , b , c ) yang tidak koplanar,
(b) vektor basis membentuk sel satuan volume berbentuk paralelepipidum,



(c) antarvektor basis satu sama lain membentuk sudut α, β dan γ seperti terlihat
pada Gambar 1.5 berikut.

(d) volume paralelepipidum dengan sisi
a , b dan c adalah luas bagian

dasar berbentuk paralelogram a × b

yang dikalikan dengan komponen c
sepanjang sumbu yang tegak lurus
terhadap bagian dasar tersebut, yaitu
Gambar 1.5 Kisi tiga dimensi dengan
V = c • a ×b .
vektor basis (a , b , c )

dan sudut α, β, γ antaranya
Perhatikanlah bahwa sel satuan pada Gambar 1.5 adalah sel satuan
primitip, yaitu titik-titik kisi berjumlah 8 hanya ada pada tiap pojok
paralelepipidum. Setiap titik kisi menjadi milik bersama sebanyak 8 sel satuan,
sehingga jumlah total titik kisi dalam sel satuan primitip tersebut sebanyak
8x 1 =1. Hal demikian tidak terjadi pada sel satuan nonprimitip.
8

1.1.2 Macam Dasar Kisi Kristal
Kondisi simetri translasi dalam kristal mempunyai konsekwensi terhadap
terbatasnya kemungkinan jenis kisi Bravais yang dapat terjadi, baik dalam kisi
kristal dua maupun tiga dimensi.
Dalam dua dimensi, kisi kristal yang mungkin sebanyak lima jenis, seperti
terlihat dalam Tabel 1.1 dan Gambar 1.6 berikut.
Tabel 1.1 Macam kisi dua dimensi
No Kisi Sel Satuan Sisi dan Sudut
1 Genjang Jajaran genjang a≠b ϕ ≠ 900
2 Persegi Bujur sangkar a=b ϕ = 900
3 Heksagonal Belah ketupat a=b ϕ = 1200
4 Empat persegi panjang P Empat persegi panjang a≠b ϕ = 900
5 Empat persegi panjang I Empat persegi panjang a≠b ϕ = 900



a a

a a

b b b
a a a

Gambar 1.6 Lima jenis dasar kisi Bravais dua dimensi
Tampak bahwa hanya kisi empat persegi panjang I yang memiliki sel satuan
nonprimitip
Untuk kasus tiga dimensi ternyata ada 14 buah kisi Bravais yang
terlingkupi dalam 7 buah sistem kristal. Hal ini sebagai konsekuensi dari simetri
rotasi sebuah kristal, yakni rotasi-1, 2, 3, 4, dan 6, seperti disajikan dalam Tabel
1.2 dan Gambar 1.7 berikut.
Tabel 1.2 Macam kisi tiga dimensi
Sistem
No Kisi Bravais Geometri Kristal Simetri Khas
Kristal
1 Triklinik P a≠b≠c α≠β≠γ Tidak ada
2 Monoklinik P , C a ≠ b ≠ c α = β = 900 γ ≠ 900 Sebuah sumbu rotasi-2
Tiga sumbu rotasi-2
3 Ortorombik P , C, I, F a ≠ b ≠ c α = β = γ = 900
ortogonal
4 Tetragonal P , I a = b ≠ c α = β = γ = 900 Sebuah sumbu rotasi-4
a = b = c α = β = γ < 1200
5 Trigonal R Sebuah sumbu rotasi-3
tetapi bukan 900
6 Heksagonal P a = b ≠ c α = β = 900 γ = 1200 Sebuah sumbu rotasi-3
Empat sumbu rotasi-3
7 Kubik P, I,F a = b = c α = β = γ = 900 sepanjang diagonal
kubus
Kisi Bravais P, C, I, F, dan R, masing-masing mengandung jumlah titik kisi persel
satuannya adalah 1, 2, 2, 4, dan 1.



Gambar 1.7 Empat belas kisi Bravais berdimensi tiga
dan distribusinya dalam 7 sistem kristal
P = primitip C = “base centered”
I = “body Centered” F = “face centered”
R = rombohedral primitip



1.1.3 Beberapa Kristal dengan Struktur Sederhana

1.1.3.1 Struktur Sodium Khlorida (NaCl)
Na Cl mempunyai struktur FCC dengan basis satu atom Na dan satu atom
Cl yang terpisah sepanjang setengah diagonal ruang kubus. Sepanjang ketiga arah
sumbu utama kubiknya terdapat alternasi atom Na dan Cl, seperti ditunjukkan
oleh Gambar 1.8 berikut.

Gambar 1.8 Struktur NaCl tiga dimensi
Setiap sel satuan memiliki 4 perangkat NaCl yang atomya berkedudukan di
Cl : 000 ½½0 ½0½ 0½½
Na: ½½½ 00½ 0½0 ½00
Jika sisi kubik adalah a, maka kedua atom dalam basis terpisah sejauh ½√3a, dan
setiap atom memiliki 6 atom tetangga terdekat yang berbeda jenis dengan jarak
pisah masing-masing ½a. Nilai konstanta a untuk NaCl berharga 5,63 Å.

NaCl dapat pula dipandang sebagai struktur non-Bravais, yang terdiri dari
dua subkisi FCC, masing-masing untuk Na dan Cl, yang saling menembus. Kedua
subkisi tersebut terpisah sejauh ½a satu sama lain.



Beberapa kristal yang memiliki struktur NaCl adalah LiH, MgO, MnO,
AgBr, PbS, KCl, dan KBr dengan konstanta kisi masing-masing 4,08; 4,20; 4,43;
5,77; 5,92; 6,29; dan 6,59 Å.

1.1.3.2 Struktur Sesium Khlorida (CsCl)
CsCl memiliki struktur SC dengan basis satu atom Cs dan satu atom Cl.
Alternasi atom Cs dan Cl terdapat sepanjang diagonal ruang kubik, seperti terlihat
pada Gambar 1.9 berikut.

Gambar 1.9 Struktur CsCl
Setiap sel satuan mengandung satu molekul CsCl, dengan posisi atom
Cs : 000 Cl : ½½½
CsCl dapat pula dipandang sebagai struktur non-Bravais yang terdiri dari
dua subkisi SC (kubik sederhana), yang masing-masing dibentuk oleh atom-atom
Cs dan Cl, yang keduanya terpisah sejauh ½√3a (setengah diagonal ruang).
Jumlah titik terdekat setiap atom adalah 8 atom yang berbeda jenis. CsCl memiliki
konstanta kisi 4,11 Å.
Beberapa kristal yang memiliki struktur CsCl adalah BeCu, AlNi, CuZn,
CuPd, AgMg, LiHg, NH4Cl, TlBr, dan TlI dengan konstanta kisi masing-masing
2,70; 2,88; 2,94; 2,99; 3,28; 3,29; 3,87; 3,97; dan 4,20 Å.



1.1.3.3 Struktur Intan
Struktur intan dapat dilihat sebagai struktur yang sel satuannya adalah sel
FCC dengan suatu basis, yakni dua atom C yang posisinya
000 dan ¼¼¼
seperti terlihat pada Gambar 1.10 dan 1.11 berikut.

Gambar 1.10 Struktur kristal intan dengan ikatan tetrahedralnya

Gambar 1.11 Proyeksi posisi atom dalam struktur intan sel kubik
pada salah satu sisi kubik. Bilangan pecahan menunjukkan
ketinggian di atas bidang dasar



Dalam setiap sel satuan terdapat 8 atom C dan bilangan koordinasinya adalah 4.
Keempat atom terdekat membentuk suatu tetrahedral, dengan pusat atom yang
bersangkutan. Konfigurasi semacam itu sering dijumpai pada semikonduktor, dan
dinamakan ikatan tetrahedral. Struktur intan merupakan contoh ikatan kovalen
dalam unsur-unsur kolom IV tabel periodik.

Struktur intan dapat pula dipandang sebagai gabungan dari dua subkisi
FCC yang saling menembus dengan titik asal, masing-masing 000 dan ¼ ¼ ¼.

Beberapa kristal yang memiliki struktur intan adalah Ge, Si, C, timah putih
dengan konstanta kisi masing-masing 5,65; 5,43; 3,56; dan 6,46 Å.

1.1.3.4 Struktur Seng Sulfida (ZnS)
Struktur ZnS sama dengan struktur intan, tetapi dengan basis yang terdiri
dari dua atom berbeda, yakni Zn dan S. Setiap sel satuan memiliki 4 molekul ZnS
dengan posisi atom
Zn : 000 0½½ ½0½ ½½0
S: ¼¼¼ ¼¾¾ ¾¼¾ ¾¾¼
Setiap atom memiliki jarak yang sama terhadap keempat atom yang berbeda
terdekatnya yang menempati pojok-pojok tetrahedron regular. ZnS memiliki
konstanta kisi 5,41 Å.
Beberapa kristal yang memiliki struktur ZnS adalah CuF, SiC, CuCl, AlP,
GaP, ZnSe, GaAs, AlAs, CdS, InSb, dan AgI dengan konstanta kisi masing-
masing 4,26; 4,35; 5,41; 5,45; 5,45; 5,65; 5,65; 5,66; 5,82; 6,46; dan 6,47 Å.

1.1.3.5 Struktur HCP (hexagonal close-packed structure)
Banyak cara untuk menyusun bola identik dengan jumlah tak berhingga
secara tertentu sehingga menghasilkan susunan teratur yang memiliki fraksi
kepadatan maksimum atau ruang kosong antarbola minimum. Gambar 1.12
berikut melukiskan susunan satu lapis bola identik dengan pusat titik A, yang
mana tiap bola bersinggungan dengan enam bola tetangga terdekatnya. Lapisan
kedua yang identik ditempatkan paralel di atasnya (lapisan pertama) dengan pusat
titik B. Penempatan lapisan ketiga memiliki dua kemungkinan, yakni



Gambar 1.12 Lapisan bola terkemas rapat dengan pusat titik A
(a) dengan pusat titik A, sehingga terdapat urutan lapisan ABABAB…, dan
menghasilkan struktur HCP, dan
(b) dengan pusat titik C, sehingga terdapat urutan ABCABC…, dan menghasilkan
struktur FCC.
Lapisan pertama A merupakan bidang dasar untuk struktur HCP atau
bidang (111) untuk struktur FCC. Struktur HCP memiliki sel primitip kisi
heksagonal, tetapi dengan basis dua atom. Sedangkan sel primitip FCC berbasis
satu atom.
Baik HCP maupun FCC mempunyai perbandingan c/a= 2 6 =1,633 dan
3

jumlah tetangga terdekat 12 buah atom, serta energi ikatan yang hanya bergantung
pada jumlah ikatan tetangga terdekat peratom.
Beberapa kristal yang memiliki struktur HCP adalah He, Be, Mg, Ti, Zn,
Cd, Co, Y, Zr, Gd, dan Lu dengan nilai c/a masing-masing adalah 1,633; 1,581;
1,623; 1,586; 1,861; 1,886; 1,622; 1,570; 1,594; 1,592; dan 1,586.

1.1.4 Geometri Kristal

1.1.4.1 Arah Kristal
Telah dikemukakan bahwa arah tertentu dalam kisi dinyatakan oleh vektor
kisi (1.2), yaitu R = n1 a + n 2 b + n3 c . Arah vektor R dinyatakan dengan [n1 n2
n3], yang lazimnya dalam perbandingan bilangan bulat terkecil. Semua arah yang



sejajar memiliki indek yang sama. Perhatikanlah beberapa arah dalam kristal
ortorombik seperti Gambar 1.13 berikut.

c D
C

B

O
b

a A

Gambar 1.13 Indek arah satuan sel ortorombik
OA: [110] OB: [111] OC: [112] OD: [001]
Apabila sel satuan yang ditinjau mempunyai simetri rotasi, maka
seringkali ada arah nonparalel yang karena kesimetriannya merupakan arah yang
ekivalen. Arah [n1 n2 n3] yang ekivalen menggunakan notasi <n1 n2 n3>. Misalnya,
pada suatu kubik sumbu X, Y dan Z masing-masing memiliki arah [100], [010]
dan [001] yang ekivalen, dinotasikan dengan <100>. Secara sepenuhnya <100>
mencakup arah [100], [010], [001], [ 1 00], [0 1 0] dan [00 1 ] dimana makna dari
1 adalah –1; dan <111> menunjukkan semua diagonal ruang suatu kubik.
Satu arah dengan indeks Miller besar, misalnya [157], memiliki jumlah
atom persatuan panjang yang lebih sedikit daripada indeks yang kecil, misalnya
[111].

1.1.4.2 Bidang Kristal dan Indek Miller
Representasi suatu bidang datar dalam suatu kisi kristal diungkapkan oleh
indek Miller (hkl). Perhatikanlah Gambar 1.14 berikut.



Gambar 1.14 Bidang (233)

Bidang memotong sepanjang sumbu vektor basis a , b dan c masing-masing pada

⎛x y z⎞
x, y dan z. Didapatkan perangkat tiga bilangan ⎜ ⎟ . Lalu, diambil
⎝a b c⎠
⎛a b c⎞
kebalikannya, yaitu ⎜
⎜ x y z ⎟ . Indek Miller didapatkan dengan menyatakan
⎟
⎝ ⎠
perangkat tiga bilangan terakhir sebagai perbandingan bilangan bulat terkecil, dan
dinyatakan dengan notasi
⎛ a c⎞
(h k l) = ⎜m
⎜ x m
b
m ⎟ (1.3)
⎝ y z⎟
⎠
dengan m adalah bilangan bulat untuk mereduksi indek menjadi bilangan bulat
terkecil. Dengan demikian, kumpulan bidang paralel mempunyai representasi
indek Miller yang sama. Pada Gambar 1.14 di atas x=3a, y=2b dan z=2c, sehingga
jika dianggap a=b=c=1, maka bidang yang dimaksud memiliki indek Miller
(hkl)=(233). Pada kasus lain, misalnya x=2a, y=(3/2)b, dan z=c memiliki indeks
Miller (hkl)=(346).
Dalam satuan sel yang memiliki simetri rotasi, beberapa bidang nonparalel
(hkl) adalah ekivalen karena kesimetriannya, dan dinotasikan dengan {hkl}.
Misalnya dalam sistem kubik indek {100} menunjukkan enam bidang, yaitu
(100), (010), (001), ( 1 00), (0 1 0) dan (00 1 ).



Berikut adalah beberapa contoh bidang (hkl) dalam sistem kubik.

Gambar 1.15 Bidang (100), (110), (111), (200) dan ( 1 00)
dalam sistem kubik
Dalam koordinat Kartesis bidang (hkl) = (mnox mnoy mnoz) memberikan
vektor arah yang tegak lurus terhadap bidang tersebut, yakni
ˆ j ˆ
no = nox i + noy ˆ + noz k .

1.1.4.3 Jarak Antarbidang Sejajar Miller
Bahasan ini dibatasi pada sistem dengan sumbu ortogonal, dengan a≠b≠c.
Perhatikanlah Gambar 1.16 berikut.



Z

z Garis normal

γ

β y Y

α
x
X

Gambar 1.16 Cara mendapatkan jarak antarbidang Miller

Jarak dari titik O ke titik potong P dinayatakan dengan dhkl. Jika x, y dan z
merupakan titik potong bidang (hkl) dengan sumbu a, b dan c maka dhkl=x cos
α=y cos β=z cos γ. Secara geometri, pada gambar di atas didapatkan hubungan
cos2α+ cos2 β+ cos2 γ=1 sehingga didapatkan
1
d hkl = 1/ 2
(1.4)
⎛ 1 1 1 ⎞
⎜ 2 + 2 + 2⎟
⎜x
⎝ y z ⎟⎠
Harga x, y dan z berkaitan dengan bilangan h, k dan l melalui ungkapan
a b c
h=m ; k=m ; l=m (1.5)
x y z
sehingga jarak antarbidang (1.4) menjadi
m
d hkl = 1/ 2
(1.6)
⎛ h2 k 2 l 2 ⎞
⎜ 2 + 2 + 2⎟
⎜a
⎝ b c ⎟ ⎠
Misalnya, pada sistem kubik dengan sisi a didapatkan d111=(1/3)√3a; d110=½√2a
dan d020=½a. Pada umumnya bidang yang indek Millernya rendah memiliki jarak
antarbidang lebih besar, tetapi memiliki kerapatan atom persatuan luas yang lebih
besar.



1.1.4.4 Fraksi Kepadatan
Fraksi kepadatan, didefinisikan sebagai proporsi maksimum dari volume
yang ada yang dapat diisi oleh bola atom dalam sebuah sel satuan, diungkapkan
dalam bentuk rumusan

F=N
(4 / 3)π r3
(1.7)
V
dengan N= jumlah atom dalam sel satuan
r = jari-jari bola atom
V = volume sel satuan
Jarak kesetimbangan antara pusat dua atom berdekatan dapat dipandang sebagai
jumlah jari-jari kedua atom tersebut.
Tabel 1.3 berikut menunjukkan hubungan antara struktur kristal dengan
ukuran geometrik sel satuan.
Tabel 1.3 Ukuran geometrik dan struktur kristal
No Parameter SC BCC FCC Intan HCP
1 Jari-jari atom a/2 a√3/4 a√2/4 a√3/8 a/2
2 Atom persel satuan 1 2 4 8 6
3 3
3 Volume sel satuan a a a3 a3 3a3√2
π/6 π√3/8 π√2/6 π√3/16 π√2/6
4 Fraksi kepadatan
(=0,524) (=0,68) (=0,74) (=0,34) (=0,74)
Jumlah tetangga
5 6 8 12 4 12
terdekat
Jarak terhadap
6 a (½)a√3 (½)a√2 (¼)a√3 a
tetangga terdekat
Jumlah tetangga
7 12 6 6 12 6
terdekat berikutnya
Jarak terhadap
8 tetangga terdekat a√2 a a (½)a√13 a√3
berikutnya
Tampak bahwa intan memiliki struktur yang relatif kosong (hanya terisi 0,34) dan
FCC atau HCP relatif padat (terisi 0,74).

1.2 DIFRAKSI KISI KRISTAL

Struktur kristal dapat dipelajari melalui difraksi foton, netron dan elektron.
Panjang gelombang optik, misalnya 5000 Å, menghasilkan gelombang terhambur



elastis dengan atom-atom kristal sehingga terjadi refraksi optik biasa. Tetapi, jika
panjang gelombang radiasi sebanding atau lebih kecil daripada konstanta kisi
(orde angstrom), maka didapatkan berkas difraksi yang arahnya sangat berbeda
dengan arah berkas datang.

1.2.1 Hamburan Sinar-X oleh Kisi Kristal

1.2.1.1 Hukum Bragg
W.L. Bragg menjelaskan gejala berkas difraksi kristal dengan model
sederhana. Jika sinar-X mengenai permukaan suatu kristal, maka terjadi refleksi.
Model disajikan pada Gambar 1.17, yakni kristal direpresentasikan oleh kumpulan
bidang paralel yang bersesuaian dengan bidang atom. Bidang tersebut berperan
sebagai cermin. Setiap bidang hanya merefleksikan 10-3 sampai 10-5 radiasi yang
datang sehingga diperlukan 103 sampai 105 bidang untuk menghasilkan berkas
refleksi Bragg yang sempurna. Hamburan ini dianggap elastik, yakni energi sinar-
X tidak mengalami perubahan sebelum dan sesudah refleksi.

(a) (b)
Gambar 1.17 (a) Refleksi sinar-X dari suatu kristal. Sinar hampir paralel karena
posisi detektor jauh dari kristal.
(b) Intensitas refleksi kristal KBr. Pada gambar ditunjukkan
bidang-bidang refleksi yang menghasilkan difraksi
Beda lintasan untuk kedua sinar refleksi adalah Δ=AB + BC – AC’ = 2 AB – AC’
karena AB=BC. Mengingat jarak antarbidang d, maka
AB = d/sinθ dan AC’ = AC cos θ = (2d/tg θ) cos θ



dimana θ adalah sudut pantul antara berkas datang dan bidang refleksi, sehingga
Δ = 2 d sin θ. Interferensi maksimum (konstruktif) terjadi hanya jika
Δ=nλ (1.8)
dimana n = 1, 2, 3, …. (ordo refleksi) dan λ = panjang gelombang sinar-X,
sehingga diperoleh hukum Bragg untuk refleksi oleh bidang kristal (hkl)
n λ = 2 dhkl sin θ (1.9)
Harga λ ditentukan secara bebas dan sin θ diukur secara langsung dari refleksi
eksperimen, sehingga jarak antarbidang dhkl dapat dihitung. Hal lain adalah
difraksi hanya mungkin terjadi jika λ<2d. Oleh karena itu dalam hal ini tidak
dapat digunakan cahaya tampak.
Model yang dikemukakan di atas terlalu sederhana. Fakta menunjukkan
bahwa hamburan berkas sinar-X disebabkan oleh atom diskrit kristal yang
bersangkutan. Oleh karena itu bahasan berikut menelaah hukum Bragg melalui
proses hamburan.

1.2.1.2 Teori Hamburan
Hamburan radiasi elektromagnet oleh suatu elektron disajikan oleh
Gambar 1.18 berikut. Dalam proses ini diandaikan hamburan bersifat elastik
(hamburan Thomson).

Gambar 1.18 Hamburan oleh elektron tunggal
Gelombang datar

ψ (r , t ) = Ae i (k o • r −ω t ) (1.10)
mengenai elektron. Gelombang sferik terhambur pada jarak radial D dinyatakan
oleh



ψ ' (D , t ) = f e
A i (kD −ω t )
e (1.11)
D
dengan fe adalah panjang hamburan elektron. Terlihat bahwa penurunan
amplitudo gelombang terhambur sebanding dengan 1/D.
Hamburan oleh sistem dua elektron, yang masing-masing berkedudukan di
P1 dan P2 disajikan pada Gambar 1.19 berikut.

k s

2θ
ko

Gambar 1.19 Hamburan oleh dua elektron. r Gambar 1.20 Vektor hamburan s .
adalah vektor posisi elektron-1 terhadap Sudut 2θ adalah sudut hamburan
elektron-2

Didefinisikan vektor hamburan s , seperti pada Gambar 1.20, yaitu
s = k − ko (1.12)

Karena hamburan bersifat elastik k o = k = k , maka terlihat dari Gambar 1.20

bahwa
s = s = 2k sin θ (1.13)

Beda panjang lintasan sinar terhambur Δ=P1M- P1N. Jika S o dan S , masing-

1
masing merupakan vektor satuan dalam arah k o dan k , maka Δ = (r • s ) . Beda
k
fasa antara gelombang terhambur dalam radial
Δ
δ = 2π = kΔ = r • s (1.14)
λ
Superposisi dari dua gelombang terhambur dalam fungsi ruang

ψ T = fe
D
(
A ikD A
) (
e + e ik ( D +δ ) = f e e ikD 1 + e is •r
D
) (1.15)



Secara umum, bila vektor posisi r1 untuk elektron-1 dan r2 untuk elektron-2
relatif terhadap pusat tertentu, maka

ψ T = fe
D
e e (
A ikD is •r1
+ e is •r2 ) (1.16)

Bila yang ditinjau atom dengan l buah elektron, masing-masing dengan
vektor posisi rl , dengan l = 1, 2, 3, …, n, maka bentuk umum gelombang untuk

(1.16) dalam arah terhambur s tertentu
A ikD
ψT = f e (1.17)
D
dengan
n
f = f e ∑ e is •rl (1.18)
l =1

disebut panjang hamburan total.
Intensitas parsial gelombang terhambur I sebanding dengan kuadrat
besarnya medan. Oleh karena itu
n 2

= f e2 ∑ e is •rl
2
I∞ f (1.19)
l =1

Jika atom dalam kristal, misalnya, terletak pada posisi Rl , maka faktor
hamburan kristal fkr
N
f kr = ∑ f al e is • Rl (1.20)
l =1

Ungkapan faktor hamburan kristal (1.20) di atas mengambil bentuk analogi dari
atom. Posisi atom dapat ditinjau dalam sel satuannya, yaitu Rl = Rlc' + δ j , dimana

Rlc' adalah posisi sel satuan ke-l, dan δj adalah posisi atom dalam sel satuan,

sehingga faktor hamburan kristal (1.20) di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
faktorisasi
fkr = F S (1.21)

dengan F = ∑ f aj e dan S = ∑ e
is •δ j is • Rlc'
(1.22)
j l'



F dan S, masing-masing mengungkapkan faktor struktur geometri dan kisi. Faktor
struktur kisi hanya bergantung pada sistem kristal. Sedangkan faktor struktur
geometri bergantung pada bentuk geometri dan isi sel satuan.

1.2.1.3 Kisi Resiprok
Setiap struktur kristal memiliki 2 kisi, yaitu kisi kristal dan resiprok. Saat
kristal dikenai sinar-X, akan dihasilkan pola difraksi yang merupakan peta kisi
resiprok kristal tersebut. Kedua kisi ini memiliki relasi sebagai berikut.
Andaikanlah vektor basis dalam kisi nyata adalah a , b dan c , maka dapat
didefinisikan vektor basis dalam kisi resiprok, yakni
b xc c xa axb
a ∗ = 2π b ∗ = 2π c ∗ = 2π (1.23)
a • b xc b • c xa c • axb
Hal ini berarti vektor basis resiprok
a. memiliki satuan m-1, yang sama dengan angka gelombang,
( )
b. bahwa a ∗ tegak lurus terhadap bidang b , c , dan demikian pula permutasi
siklisnya, dan
c. bahwa a • b xc = b • c xa = c • axb merepresentasikan volume sel satuan dengan
rusuk vektor a , b dan c .
Vektor basis resiprok mendefinisikan vektor kisi resiprok
Gn = n1 a ∗ + n2 b ∗ + n3 c ∗ (1.24)
dengan n1, n2 dan n3 adalah bilangan bulat.
Kisi resiprok memiliki hubungan dengan kisi nyata sebagai berikut.
a. a ∗ • a = b ∗ • b = c ∗ • c = 2π

b. V ∗
=
(2π )3 , dengan Vo = a • b xc dan Vo∗ = a ∗ • b ∗ xc ∗
o
Vo

c. Setiap vektor dari kisi resiprok Ghkl = ha ∗ + kb ∗ + lc ∗ tegak lurus terhadap
bidang kisi (hkl) dalam ruang nyata.
d. Kisi nyata merupakan resiprok dari kisi resiprok.
e. Jarak antarbidang dhkl dan Ghkl direlasikan oleh



d hkl Ghkl = 2π (1.25)

Perhatikanlah perbandingan kisi nyata dan resiproknya pada Gambar 1. 21
berikut.

120

d100
010
G110

d010 b*
O 100
b a*

O a

Gambar 1.21 Perbandingan kisi nyata dan resiproknya
Dari Gambar 1.21 di atas jelaslah bahwa
a. a ∗ tegak lurus terhadap b ; dan b ∗ tegak lurus terhadap a
2π 2π 2π
a∗ = = b∗ =
a d100 d 010

b. setiap titik (hkl) dalam ruang resiprok terkait dengan perangkat bidang (hkl)
dalam ruang nyata, dan
c. simetri kelompok titik dalam ruang resiprok sama dengan simetri ruang nyata.
Dapat pula dibuktikan bahwa terdapat hubungan sebagai berikut.
a. Kisi resiprok kisi SC adalah kisi SC juga.
b. Kisi resiprok kisi BCC adalah kisi FCC; dan sebaliknya.

1.2.1.4 Difraksi Sinar-X
Kisi resiprok berguna dalam menentukan besarnya faktor struktur.
Ternyata
N

∑e
l =1
iA• Rlc'
= N δ A,G
n
(1.26)



Dalam hal ini A adalah vektor sebarang dan penjumlahan dilakukan sepanjang
vektor kisi nyata yang mengandung N buah total sel dan vektor kedudukan Rlc' .

Dengan demikian faktor struktur kisi S (1.22) berharga nol untuk setiap nilai
vektor hamburan s , kecuali
s = Ghkl (1.27)

Hal ini berarti s harus tegak lurus terhadap bidang (hkl). Dengan menginat
bahwa k=2π/λ, maka substitusi persamaan (1.13) dan (1.25) ke dalam persamaan
(1.27), dalam teori hamburan ini, menghasilkan bentuk hukum Bragg
2 dhkl sin θ = λ (1.28)
Dapatlah dikatakan bahwa gambaran Bragg tentang difraksi yang terjadi karena
pemantulan oleh bidang kristal, secara konseptual lebih sederhana daripada
melihatnya sebagai interferensi konstruktif berkas terhambur oleh atom kristal
dari teori hamburan. Gambar 1.22 berikut menjelaskan syarat terpenuhinya hukum
Bragg menurut teori hamburan.

Gambar 1.22 Vektor hamburan sama dengan vektor kisi resiprok

Saat kondisi Bragg (127) terpenuhi, maka faktor struktur kisi S≠0, tetapi
bernilai S=N, seperti tampak pada (1.26), sehingga
Shkl = N (1.29)
Substitusi (1.29) ke dalam (1.21) menghasilkan faktor hamburan kristal fkr
menjadi
fkr,hkl = N Fhkl (1.30)
dan intensitas I menjadi



2 2
I hkl ∞ f kr ,hkl ∞ Fhkl (1.31)

Setiap berkas terdifraksi bersesuaian dengan suatu perangkat bidang (hkl).
Tetapi untuk suatu perangkat bidang (hkl) tertentu kadang intensitas berkas
terdifraksi menjadi nol. Hal ini terjadi karena faktor struktur geometri Fhkl=0,
meskipun bidang (hkl) yang bersesuaian memenuhi kondisi Bragg.
Misalnya, semua atom identik, kedudukan atom ke-j dalam sel satuan
δ j = u j a + v jb + w jc
dan kondisi Bragg terpenuhi
s = Ghkl = ha ∗ + kb ∗ + lc ∗

maka
( )
Fhkl = f a ∑ e
2πi hu j + kv j + lw j
(1.32)
j

Contoh menghitung faktor struktur geometri Fhkl.
a. Sel satuan primitip (P). Atomnya terletak di 000 sehingga (1.32) menjadi
Fhkl = fa
b. Sel satuan “base centered” C. Atomnya terletak di 000 dan ½½0 sehingga
(1.32) menjadi
Fhkl = fa (1 + eπi(h + k))
Dengan demikian Fhkl≠0 hanya jika h+k=2n dengan n=0, ±1, ±2, …
c. Sel satuan “body centered” I. Atomnya terletak di 000 dan ½½½ sehingga
(1.32) menjadi
Fhkl = fa (1 + eπi(h + k+ l))
Dengan demikian Fhkl≠0 hanya jika h+k+l=2n dengan n=0, ±1, ±2, …
d. Sel satuan “face centered” F. Atomnya terletak di 000, ½½0, ½0½ dan 0½½
sehingga (1.32) menjadi
Fhkl = fa (1 + eπi(h + k) + eπi(h + l) + eπi(k + l))
Dengan demikian Fhkl≠0 hanya jika h+k=2n dan k+l=2n dengan n=0, ±1, ±2,
… Dengan kata lain Fhkl≠0 hanya jika semua indek genap atau semua indek
ganjil.



Berikut ini diberikan contoh kurva intensitas refleksi sinar-X dan sudut
hamburan (I vs 2θ) hasil eksperimen difraksi sinar-X dari bubukan KCl dan KBr.

Gambar 1.23 Perbandingan refleksi sinar-X antara bubukan KCl dan KBr
KCl dan KBr, keduanya, memiliki struktur FCC. Dalam KCl, jumlah elektron
pada K+ dan Cl- sama banyak sehingga faktor hamburan atom fa keduanya hampir
sama sehingga ia “terlihat” oleh sinar-X sebagai kristal SC monoatomik dengan
konstanta kisi a/2. Adanya refleksi indek-indek yang genap bulat menunjukkan
bahwa kristal tersebut adalah SC dengan konstanta kisi a. Sedangkan dalam KBr,



faktor hamburan atomnya berbeda sehingga ia tetap terlihat sebagai struktur FCC
oleh difraksi sinar-X.
Kondisi Bragg (1.27) masih dapat ditulis dalam bentuk lain. Substitusi
(1.12) ke dalam (1.27) menghasilkan
k − ko = G (1.33)
Mengalikan kedua ruas (1.33) dengan ħ menghasilkan
ko = k − G

Persamaan ini dapat dipandang sebagai kekekalan momentum, dan difraksinya
sebagai proses tumbukan antara foton sinar-X dan kristal. Momentum sebelum
tumbukan hanya momentum linier foton yang datang p o = k o , dan setelah

tumbukan adalah momentum linier foton terhambur p = k dan momentum linier

kristal − G . Dengan demikian perubahan momentum linier foton
Δp = p − p o = G

Energi kinetik seluruh kristal Ek=(ħGhkl)2/2M, dengan M adalah massa seluruh
kristal. Karena M sangat besar relatif terhadap massa atom, maka Ek sangat kecil
dan diabaikan. Dengan demikian dalam proses hamburan foton sinar-X tidak ada
energi yang hilang

Eo = E → c ko = c k → ko = k

Jelaslah bahwa proses hamburan tersebut di atas bersifat elastik.

1.3 IKATAN ATOMIK DALAM KRISTAL

1.3.1 Gaya Antaratom
Dalam suatu kristal letak atom relatif jauh satu sama lain sehingga gaya
inti tidak berperan. Dengan demikian formasi kristal terjadi karena gaya
antaratom. Dalam kristal, gaya antaratom bersifat listrik.
Energi kristal lebih rendah daripada energi atom bebasnya. Hal ini
menyebabkan kristal lebih stabil daripada atom-atom bebas penyusunnya.
Misalnya, kristal NaCl lebih stabil daripada kumpulan atom-atom Na dan Cl
bebas. Perbedaan energi ini, disebut energi ikat (energi kohesi), besarnya sama



dengan energi yang diperlukan untuk memecah kristal tersebut menjadi atom
bebas bagiannya. Energi kohesi berkisar antara 0,02 eV peratom untuk ikatan
terlemah (ikatan Van der Walls) dan 10 eV peratom untuk ikatan terkuat (ikatan
kovalen). Ikatan logam terletak di antara dua harga ekstrim tersebut.
Molekul adalah sekelompok atom bermuatan listrik netral, terikat kuat
bersama dan berperilaku sebagai partikel tunggal. Suatu jenis molekul tertentu
memiliki komposisi dan struktur tertentu pula. Energi potensial yang
merepresentasikan interaksi antara dua atom dalam suatu molekul sebagai fungsi
jarak diperlihatkan pada Gambar 1.24 berikut.

Gambar 1.24 Energi potensial sebagai fungsi jarak dari ikatan dua atom
Posisi setimbang ditandai oleh energi terendah –Vo, yang terjadi pada jarak Ro
yang berordo beberapa angstrom. Pada R>Ro, potensial naik secara bertahap
sehingga mencapai nol pada R→∞ (dua atom bebas). Sedangkan pada R<Ro,
potensial naik secara tajam menuju ∞.
Gaya antaratom dapat dirumuskan
F (R ) = −∇V (R ) (1.34)
Terlihat bahwa F(R)<0 untuk R>Ro, sehingga terjadi tarik-menarik; dan F(R)>0
untuk R<Ro, sehingga terjadi tolak-menolak antara dua atom tesebut. Kedua gaya
ini saling meniadakan satu sama lain pada titik setimbang Ro. Tetapi, umumnya,
energi tarikan mendominansi energi tolakan pada titik setimbang Ro.



1.3.2 Jenis Ikatan Kristal

1.3.2.1 Ikatan Ionik
Ikatan ini terjadi antara ion positip dan negatip sehingga sering disebut
ikatan heteropolar. Setelah terjadi perpindahan elektron, konfigurasi elektron ion
menyerupai gas mulia. Oleh karena itu sebaran muatan elektronnya mempunyai
simetri bola. Contohnya adalah ikatan yang terjadi pada alkalihalida.
Biasanya, ikatan ionik tidak menghasilkan pembentukan molekul yang
berpasangan, tetapi merupakan kumpulan ion positip dan negatip yang tersusun
dalam struktur tertentu. Misalnya, struktur FCC NaCl, dalam setiap bentuk dan
ukuran apapun selalu berisikan jumlah ion Na+ dan ion Cl- yang sama banyak.
Apabila Uij adalah energi interaksi antara ion ke-i dan ke-j, maka energi
total ion ke-i adalah
U i = ∑ U ij (1.35)
j

dimana penjumlahan dilakukan untuk semua ion kecuali j=i. Energi Uij berasal
dari potensial tolak-menolak medan sentral empirik λ eksp (-rij/ρ), dimana λ
(tetapan) dan ρ (panjang karakteristik) merupakan parameter empirik; dan tarik-
menarik Coulomb ±q2/4πεorij. Dengan demikian

− rij / ρ q2
U ij = λ e ± (1.36)
4πε o rij

Potensial tolak-menolak terjadi karena penerapan prinsip eksklusi Pauli saat jarak
antarion berkurang (lebih kecil dari jarak kesetimbangan). Berkurangnya jarak
antarion menyebabkab orbit elektron tumpang-tindih. Hal ini melanggar prinsip
eksklusi Pauli karena sel terluar ion sudah komplit. Akibatnya elektron harus
menempati tingkat energi yang lebih tinggi sehingga energi potensial naik secara
tajam. Sedangkan potensial Coulomb terjadi antara ion sejenis (tanda +) atau tidak
sejenis (tanda -).
Energi kisi kristal total yang terdiri dari N buah molekul atau 2N buah ion
Utot = N Ui



Ungkapan ini menunjukkan bahwa setiap pasangan atau setiap ikatan hanya
dihitung sekali. Andaikanlah r kita tulis sebagai rij=pijR, dengan R adalah jarak
terdekat antara dua atom terdekat dan interaksi tolak-menolak hanya terjadi
antartetangga terdekat saja, maka
⎧ q2
⎪ λ e −R / ρ − (te tan gga terdekat )
⎪ 4πε o R
U ij = ⎨ 2 (1.37)
⎪± 1 q (bukan te tan gga terdekat )
⎪ pij 4πε o R
⎩
sehingga energi total
⎛ α q2 ⎞
U tot = NU i = N ⎜ zλ e − R / ρ −
⎜ ⎟ (1.38)
⎝ 4πε o R ⎟
⎠
dengan z = jumlah tetangga terdekat suatu ion
±1
α =∑ adalah konstanta Madelung (termasuk j=i)
j pij

Dalam menghitung konstanta Madelung, jika ion referensi bermuatan negatip,
maka tanda (+) digunakan untuk ion positip dan tanda (-) untuk ion negatip. Jika
dU tot
diambil syarat bahwa = 0 , maka diperoleh
dR R = Ro

ραq 2
Ro2 e − Ro / ρ = (1.39)
4πε o λ z
Dengan menggunakan (1.38) dan (1.39), maka energi kisi kristal total dengan 2N
buah ion pada jarak setimbang Ro
Nαq 2 ⎛ ρ ⎞
U tot =− ⎜1 −
⎜ R ⎟ ⎟ (1.40)
R = Ro
4πε o Ro ⎝ o ⎠

Nαq 2
Bentuk − disebut energi Madelung. Harga ρ berorde 0,1Ro sehingga
4πε o Ro

interaksi tolak-menolak mempunyai rentang yang amat pendek dan sedikit sekali
pengaruhnya terhadap energi kisi.
Sebagai contoh disajikan data tentang energi permolekul dalam kristal
KCl, yaitu energi Madelung (energi Coulomb) sebesar (25,2)/R eV dan energi



tolak menolak (2,4.104)exp(-R/0,30) eV dimana R berorde 10-8 cm. Harga
konstanta Madelung α bergantung pada struktur kristal ionik, misalnya untuk
NaCl, CsCl dan ZnS, masing-masing berharga 1,747565 , 1,762675 dan 1,6381.
Ikatan ionik tergolong lebih kuat daripada ikatan lain, dengan energi rata-
rata 5 eV setiap pasangan atom. Oleh karena itu kristal ionik mempunyai titik
leleh yang tinggi. Misalnya titik leleh NaCl adalah 8010C, sedangkan untuk logam
Na dan K, masing-masing adalah 97,80C dan 630C.

1.3.2.2 Ikatan Kovalen
Andaikanlah ada dua atom hidrogen yang terpisah pada jarak yang cukup
jauh satu sala lainnya sehingga tidak ada interaksi di antara elektronnya, maka
masing-masing atom memiliki orbit 1s. Jika kedua atom saling mendekat dan
membentuk molekul H2, maka orbital molekulnya merupakan kombinasi linier
dari kedua orbital atom 1s. Orbital molekul tersebut mempunyai dua
kemungkinan, yaitu
ψ genap = ψ 1 + ψ 2 dan ψ ganjil = ψ 1 − ψ 2 (1.41)

dimana ψ1 dan ψ2 merepresentasikan keadaan 1s pada dua proton. Orbital
molekular ψgenap dan ψganjil secara grafik diperlihatkan pada Gambar 1.25 berikut.

a b

Gambar 1.25 Fungsi gelombang (a) ψgenap dan (b) ψganjil

Sedangkan distribusi muatan untuk kedua orbital tersebut adalah |ψgenap|2 dan
|ψganjil|2 seperti ditunjukkan oleh Gambar 1.26 berikut.

(a) (b)
Gambar 1.26 Propil distribusi muatan dan representasi kontur



(a) ψgenap dan (b) ψganjil

Tampak bahwa ψgenap mengandung elektron terutama pada daerah antara dua
proton, sedangkan ψganjil mengandung elektron di sekitar masing-masing proton
yang bersangkutan dan jauh dari daerah antara dua proton.
Kedua orbital molekul di atas mempunyai energi yang berbeda seperti
ditunjukkan oleh Gambar 1.27 berikut.

Gambar 1.27 Energi keadaan dasar dan eksitasi molekul hidrogen
sebagai fungsi jarak antarinti
Orbital genap berenergi lebih rendah daripada orbital ganjil. Bahkan orbital genap
mempunyai energi negatip. Dengan demikian orbital genap merupakan orbital
stabil (orbital bonding) dan orbital ganjil merupakan orbital tidak stabil (orbital
antibonding). Pada gambar di atas tampak bahwa molekul hidrogen memiliki
keadaan setimbang pada 0,74 Å dan energi ikat 4,48 eV (relatif terhadap keadaan
dasar dua atom hidrogen yang terpisah pada jarak tak terhingga). Sesuai dengan
prinsip eksklusi Pauli, kedua elektron dalam orbital bonding memiliki spin
antiparalel.
Keberadaan sepasang elektron di antara atom hidrogen di atas
menyebabkan terjadinya ikatan yang kuat dalam molekul hidrogen. Ikatan yang
terjadi karena pemakaian bersama sepasang elektron oleh atom untuk mencapai
konfigurasi gas mulia dalam suatu molekul disebut ikatan kovalen. Hal ini



merupakan bukti bahwa semua atom adalah identik sehingga transfer elektron dari
satu atom ke yang lain tidak menimbulkan akibat apapun.
Keadaan fisis ikatan kovalen dalam kristal sama dengan dalam molekul.
Gaya tarikan terjadi antara elektron dan proton di sepanjang garis yang
menghubungkan inti berturutan. Sedangkan gaya tolaknya terjadi karena interaksi
prinsip eksklusi Pauli saat inti saling merapat. Gaya tarikan elektron-proton lebih
dari cukup untuk mengimbangi penolakan langsung elektron-elektron ataupun
proton-proton.
Ikatan kovalen juga kuat, seperti ditunjukkan oleh intan yang tingkat
kekerasannya tinggi dan titik leleh di atas 30000C. Ikatan dua atom karbon dalam
struktur intan memiliki energi kohesi 7,3 eV peratom.

1.3.2.3 Ikatan Logam
Model ikatan logam menggambarkan adanya suatu susunan ion teratur dan
suatu lautan elektron valensi ion tersebut yang dapat bergerak bebas di antara
susunan ion. Dengan demikian elektron valensi atom berubah menjadi elektron
konduksi logam. Ikatan logam terjadi bila tarikan antara ion positip dan gas
elektron melebihi penolakan antarelektron dalam gas tersebut. Gaya tolak
Coulomb antarion positip menjadi tidak efektif karena gas elektron melingkupi
ion secara kuat sehingga menjadi ion noninteraksi yang netral.
Atom logam bersatu sehingga terbentuk kristal logam yang stabil karena
energi sistem kristal lebih rendah daripada energi atom bebasnya. Dalam atom
bebas terisolasi, elektron dimodelkan sebagai sebuah partikel dalam kotak
potensial. Dengan demikian gerakan elektron dibatasi dalam volume yang kecil
sehingga, menurut prinsip ketidaktentuan Heisenberg, energi kinetiknya besar.
Dengan menggunakan persamaan Scrodinger, dimana potensial interaksi nol, dan
syarat batas periodik diperoleh energi kinetik elektron
E ∼ V-2/3 (1.42)
Dimana V adalah volume kotak tempat elektron bergerak. Sedangkan dalam
kristal, elektron secara bebas bergerak dalam keseluruhan volume kristal yang
sangat besar. Akibatnya, energi kinetik elektron turun secara tajam dan



mengkontribusi pengurangan energi total sistem. Penurunan energi inilah yang
menjadi sumber ikatan logam.
Ikatan logam lebih lemah daripada ikatan kovalen dan ionik. Contohnya,
logam Na memiliki titik leleh pada 97,80C. Energi kinetik yang kecil
menyebabkan ikatannya lemah. Susunan kristal logam cenderung untuk memiliki
susunan dimana setiap atom atau ion memiliki banyak tetangga (struktur tersusun
padat), misalnya HCP (seng), FCC (tembaga), BCC (lithium dan natrium) dan
lain-lain.

1.3.2.4 Ikatan Van der Walls
Ikatan ionik, kovalen dan logam terjadi karena pengaturan elektron
valensi. Hal demikian tidak bisa terjadi pada gas mulia yang sangat stabil karena
sel terluarnya penuh. Distribusi elektronnya mempunyai simetri bola sehingga
potensial listrik berharga nol di luar jari-jari atom. Demikian juga momen
multipol listriknya. Jika hal ini benar, maka atom gas mulia tidak memiliki energi
kohesi dan tidak dapat terkondensasi menjadi cairan. Tetapi, terjadinya
kondensasi dan pembekuan pada suhu yang sangat rendah membuktikan bahwa
terdapat energi ikat yang lemah pada gas ini. Gaya yang lemah antaratom dalam
padatan gas mulia ditandai oleh titik lelehnya yang rendah, yaitu -272,20C, -
248,70C dan -189,20C, masing-masing untuk He, Ne dan Ar.
Meskipun secara rata-rata semua momen multipol listriknya sama dengan
nol, tetapi di setiap suatu waktu momen dipol listrik tidak sama dengan nol
sebagai akibat adanya kelebihan elektron di bagian tertentu. Ketidaksimetrisan ini
tidak permanen, tetapi selalu berfluktuasi. Momen dipol listrik sesaat ini dapat
menginduksi atom atau molekul tetangganya sehingga terjadi interaksi antara
keduanya. Interaksi antara momen dipol listrik sesaat inilah yang memberikan
ikatan antara atom gas mulia.
Interaksi tarik-menarik dipol induksi antara dua dipol berjarak R telah
dirumuskan oleh Van der Walls – London melalui energi
A
ΔU = − (1.43)
R6



Interaksi tolak-menolaknya bersumber dari interaksi prinsip eksklusi Pauli. Secara
empirik didapatkan potensial tolak-menolak
B
ΔU = (1.44)
R 12
A dan B adalah parameter empirik. Sehingga, biasanya, energi potensial total dua
atom berjarak R adalah
⎡⎛ σ ⎞12 ⎛ σ ⎞ 6 ⎤
U (R ) = 4ε ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ (1.45)
⎢⎝ R ⎠
⎣ ⎝R⎠ ⎥ ⎦
dimana ε dan σ adalah parameter baru, dengan 4εσ6=A dan 4εσ12=B. Potensial
(1.45) di atas dikenal dengan nama potensial Lennard-Jones.
Gaya antara dua atom ditentukan melalui –dU/dR. gaya ini sangat cepat
berubah dengan jarak R sehingga atom dalam kristal cenderung untuk serapat
mungkin. Biasanya, struktur yang dimiliki oleh gas mulia adalah FCC (“cubic
close-packed”).
Energi kinetik atom gas mulia dapat diabaikan. Oleh karena itu energi
kohesi kristal gas mulia didapatkan dengan menjumlahkan potensial Lennard-
Jones (1.45) di atas terhadap semua pasangan atom dalam kristal. Jika terdapat N
buah atom dalam kristal, maka energi tersebut
⎡ ⎛ σ ⎞12 ⎛ σ ⎞ ⎤
6

U tot = N (4ε )⎢∑ ⎜
1 ⎟ − ∑⎜ ⎟ ⎥ (1.46)
⎢ j ⎜ pij R ⎟ ⎜ p R⎟ ⎥
2
⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ij ⎠ ⎦

dimana pijR adalah jarak antara atom ke-i dan j. Faktor ½ muncul karena hitungan
dilakukan dua kali pada setiap pasangan atom.
Untuk struktur FCC, dimana terdapat 12 tetangga terdekat, perhitungan
menghasilkan

∑pj
−12
ij = 12,13188 ; ∑p
j
−6
ij = 14,45392 (1.47)

Pada posisi setimbang Ro, energi total sistem berharga minimum sehingga
dU tot ⎡ σ 12 σ6⎤
= 0 = −2 Nε ⎢(12 )(12,13) 13 − (6)(14,45) 7 ⎥ (1.48)
dR R = Ro ⎣ R R ⎦

dan menghasilkan harga



Ro/σ = 1,09 (1.49)
Nilai Ro/σ hasil pengamatan menunjukkan untuk Ne, Ar, Kr dan Xe adalah 1,14;
1,11; 1,1 dan 1,09 yang tidak berbeda jauh dengan (1.49). Dengan demikian
energi kohesi kristal gas mulia pada suhu nol mutlak dan tekanan nol diperoleh
dengan mensubstitusikan (1.47) dan (1.49) ke dalam (1.46). Hasilnya diperoleh
⎡ ⎛σ ⎞
12
⎛σ ⎞ ⎤
6

U tot (R ) = 2 Nε ⎢(12,13)⎜ ⎟ − (14,45)⎜ ⎟ ⎥ (1.50)
⎢
⎣ ⎝R⎠ ⎝R⎠ ⎥ ⎦
dan pada posisi setimbang Ro
Utot(Ro) = - (2,15) (4Nε) (1.51)
Perhitungan energi kohesi ini berlaku jika atom-atom dalam keadaan diam. Jika
dilakukan koreksi mekanika kuantum, maka energi tersebut harus direduksi
sebesar 28; 10; 6 dan 4 %, masing-masing untuk Ne, Ar, Kr dan Xe.

1.3.2.5 Ikatan Hidrogen
Molekul air (H2O) terisolasi berikatan kovalen sehingga atom
penyusunnya terikat secara kuat. Tetapi, dalam kristal es, yang tersusun atas
molekul air, ikatannya jauh lebih lemah. Hal ini ditandai oleh adanya titik leleh air
pada 00C.
Sifat listrik sebuah molekul air terisolasi adalah netral. Tetapi, dalam
kristal es distribusi muatan internal sedemikian rupa sehingga menghasilkan
interaksi antarmolekul. Elektron lebih ditarik ke arah atom oksigen sehingga
bermuatan negatip; dan dalam waktu bersamaan atom hidrogen menjadi
bermuatan positip. Keadaan ini menghasilkan dipol listrik dalam molekul air.
Gaya tarik-menarik antardipol listrik inilah yang menghasilkan ikatan hidrogen
sehingga terbentuk kristal. Hal ini dijelaskan dalam Gambar 1.28 berikut.



Gambar 1.28 (a) Molekul air; dan (b) Susunan molekul air
sebagai akibat adanya ikatan hidrogen
Tetapi, gaya antarmolekul ini jauh lebih lemah daripada gaya internal yang
mengikat molekul itu sehingga molekul tetap dapat mempertahankan identitasnya
salam kristal. Ikatan hidrogen mempunyai orde 0,1 eV.

RINGKASAN
01. Suatu benda padat berbentuk kristal, apabila atom, ion, atau molekulnya
teratur dan periodik dalam rentang yang panjang dalam ruang. Bahan kristal
memiliki simetri translasi, artinya bila seluruh kristal itu digeser sejauh vektor
translasi kisi R = n1 a + n2 b , maka keadaannya tetap sama.
02. Pola geometrik dari kedudukan setimbang tiap atom sebagai suatu titik
dinamakan kisi kristal. Terdapat dua kelas kisi, yaitu Bravais dan non-
Bravais. Kisi non-Bravais seringkali disebut sebagai kisi dengan suatu basis
dan dapat dipandang sebagai kombinasi dari dua atau lebih kisi Bravais yang
saling menembus dengan orientasi tertentu.
03. Luas daerah jajaran genjang yang sisinya dibatasi oleh vektor basis disebut sel
satuan. Terdapat dua jenis sel satuan, yaitu sel primitip (satu titik kisi
perselnya) dan sel non-primitip (lebih dari satu titik kisi perselnya). Hubungan
antara keduanya adalah (a) sel non-primitip menunjukkan simetri lebih besar,
dan (b) luas sel non-primitip merupakan kelipatan bulat dari luas sel primitip.
04. Dalam dua dimensi, kisi kristal Bravais yang mungkin sebanyak lima jenis,
yaitu Genjang, Persegi, Heksagonal, Empat persegi panjang P, dan Empat
persegi panjang I. Sedangkan untuk tiga dimensi ternyata ada 14 buah kisi
Bravais yang terlingkupi dalam 7 buah sistem kristal, yaitu Triklinik (P),
Monoklinik (P, C), Ortorombik (P, C, I, F), Tetragonal (P, I), Trigonal (R),
Heksagonal (P), dan Kubik (P, I, F).
05. Beberapa kristal dengan struktur sederhana, di antaranya NaCl, CsCl, intan,
ZnS dan HCP
06. Arah kristal, yakni vektor R = n1 a + n 2 b + n3 c , dinyatakan dengan [n1 n2

n3], yang lazimnya dalam perbandingan bilangan bulat terkecil. Sedangkan



bidang kristal dinyatakan sebagai indek Miller (hkl). Jarak antarbidang Miller,
khusus untuk sumbu ortogonal dengan a≠b≠c dinyatakan oleh persamaan
1
d hkl = 1/ 2
⎛ 1 1 1 ⎞
⎜ 2 + 2 + 2⎟
⎜x
⎝ y z ⎟⎠
07. Fraksi kepadatan, didefinisikan sebagai proporsi maksimum dari volume yang
ada yang dapat diisi oleh bola atom dalam sebuah sel satuan, diungkapkan
dalam bentuk rumusan

F=N
(4 / 3)π r3
V
08. Menurut Bragg kristal direpresentasikan oleh kumpulan bidang paralel yang
bersesuaian dengan bidang atom, yang berperan sebagai cermin. Interferensi
maksimum (konstruktif) yang terjadi memenuhi hukum Bragg
n λ = 2 dhkl sin θ
Dengan menggunakan hukum Bragg, secara eksperimen, jarak antarbidang
dhkl dapat dihitung.
09. Fakta menunjukkan bahwa hamburan berkas sinar-X disebabkan oleh atom
diskrit kristal yang bersangkutan. Oleh karena itu bahasan berikut menelaah
hukum Bragg melalui proses hamburan elastik (hamburan Thomson) sinar-X
oleh elektron dalam setiap atom dalam kristal. Dalam teori ini ditemukan
bahwa intensitas parsial gelombang terhambur sebanding dengan kuadrat
faktor hamburan kristal, yaitu Fkr = F S, dimana S dan F, masing-masing
adalah faktor struktur geometri dan kisi.
10. Faktor struktur kisi S berharga tidak nol, yakni S=N, hanya untuk s = Ghkl ,

yakni vektor hamburan sama dengan vektor kisi resiprok (syarat Bragg). Dari
hubungan ini dapatlah diturunkan hukum Bragg 2dhklsin θ = λ.
11. Jika syarat Bragg terpenuhi dan semua atom identik, maka untuk kedudukan
atom ke-j dalam sel satuan δ j = u j a + v j b + w j c , didapatkan faktor struktur
( )
kisi Fhkl = f a ∑ e
2πi hu j + kv j + lw j
.
j



12. Dalam suatu kristal letak atom relatif jauh satu sama lain sehingga gaya inti
tidak berperan. Dengan demikian formasi kristal terjadi karena gaya
antaratom (bersifat listrik). Pada titik setimbang, energi potensial terendah dan
didominansi oleh energi tarik-menarik, serta resultan gaya nol. Pada jarak lebih
kecil dari titik setimbang, potensial naik secara tajam menuju tak berhingga
dan terjadi gaya tolak-menolak; sedangkan pada jarak yang lebih besar,
potensial naik secara bertahap sehingga mencapai nol pada jarak tak berhingga
dan terjadi gaya tarik-menarik.
13. Ikatan ion terjadi antara ion positip dan negatip karena terjadi perpindahan
elektron sehingga menyerupai kofigurasi gas mulia. Energi ikatan berasal dari
potensial tolak-menolak medan sentral empirik dan tarik-menarik Coulomb. Di

Nαq 2 ⎛ ρ ⎞
titik setimbang energi tersebut adalah U tot =− ⎜ R ⎟
⎜1 − ⎟
R = Ro
4πε o Ro ⎝ o ⎠

14. Ikatan yang terjadi karena pemakaian bersama sepasang elektron oleh atom
untuk mencapai konfigurasi gas mulia dalam suatu molekul disebut ikatan
kovalen. Sepasang elektron tersebut lebih banyak terdistribusi di antara inti-
inti. Gaya tarikan terjadi antara elektron dan proton di sepanjang garis yang
menghubungkan inti berturutan. Sedangkan gaya tolaknya terjadi karena
interaksi prinsip eksklusi Pauli saat inti saling merapat. Gaya tarikan elektron-
proton lebih dari cukup untuk mengimbangi penolakan langsung elektron-
elektron ataupun proton-proton.
15. Model ikatan logam menggambarkan adanya suatu susunan ion teratur dan
suatu lautan elektron valensi (elektron konduksi) ion tersebut yang dapat
bergerak bebas di antara susunan ion. Ikatan logam terjadi bila tarikan antara
ion positip dan gas elektron melebihi penolakan antarelektron dalam gas
tersebut. Gaya tolak Coulomb antarion positip menjadi tidak efektif karena gas
elektron melingkupi ion secara kuat sehingga menjadi ion noninteraksi yang
netral.
16. Terdapat energi ikat yang lemah pada gas mulia. Meskipun secara rata-rata
semua momen multipol listriknya sama dengan nol, tetapi di setiap suatu waktu
momen dipol listrik terjadi secara fluktuatif sebagai akibat adanya kelebihan



elektron di bagian tertentu. Momen dipol listrik sesaat ini dapat menginduksi
atom atau molekul tetangganya sehingga terjadi interaksi antara keduanya.
Interaksi antara momen dipol listrik sesaat inilah yang memberikan ikatan
antara atom gas mulia. Energi ikatan Van der Walls ini adalah
⎡ ⎛ σ ⎞12 ⎛ σ ⎞ ⎤
6

U tot = 1 N (4ε )⎢∑ ⎜ ⎟ − ∑⎜ ⎟ ⎥
⎢ j ⎜ pij R ⎟ ⎜ p R⎟ ⎥
2
⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ij ⎠ ⎦

17. Contoh ikatan hidrogen adalah kristal air. Sifat listrik sebuah molekul air
terisolasi adalah netral. Tetapi, dalam kristal es distribusi muatan internal
sedemikian rupa sehingga menghasilkan interaksi antarmolekul. Elektron lebih
ditarik ke arah atom oksigen sehingga bermuatan negatip; dan dalam waktu
bersamaan atom hidrogen menjadi bermuatan positip. Keadaan ini
menghasilkan dipol listrik dalam molekul air. Gaya tarik-menarik antardipol
listrik inilah yang menghasilkan ikatan hidrogen sehingga terbentuk kristal.

LATIHAN SOAL BAB I
ˆ j ˆ
01. Diketahui vektor basis primitip suatu kisi adalah a = ai , b = bˆ, c = ck ,
ˆ
dengan i , ˆ dan k adalah tiga vektor satuan dalam koordinat Kartesian.
ˆ j

a. Gambarlah kisi tersebut!
b. Membentuk kisi Bravais jenis apakan vektor basis tersebut?
c. Berapakah volume sel satuan primitip tersebut?
02.a. Sama dengan soal 01), tetapi untuk vektor basis primitip
j ˆ ˆ ˆ
a = (a / 2)(i + ˆ), b = (a / 2)( ˆ + k ) dan c = (a / 2)(k + i ) !
ˆ j

ˆ
b. Buktikan bahwa ungkapan vektor satuan i , ˆ dan k sebagai kombinasi linier
ˆ j

dari vektor basis primitip ialah
ˆ j ˆ
ai = a − b + c , aˆ = a + b − c dan ak = −a + b + c
ˆ j ˆ ˆ ˆ j ˆ
c. Posisi kedelapan pojok sel adalah 0, a i , a ˆ , a k , a( i + ˆ ), a( i + k ), a( ˆ + k )
ˆ j

ˆ j ˆ
dan a( i + ˆ + k ). Nyatakan posisi-posisi tersebut dalam a , b dan c !



ˆ ˆ
d. Sama dengan (c), tetapi untuk 6 titik pada pusat muka, yaitu (½)a( i + k ),

j ˆ j ˆ ˆ j ˆ
(½)a( ˆ + k ), (½)a( i + ˆ ), (½)a( i + 2 ˆ + k ), (½)a( 2i + ˆ + k ), dan
ˆ j ˆ

ˆ
(½)a( i + ˆ + 2k ) ! (Nyatalah bahwa, berdasarkan (c) dan (d) semua posisi
ˆ j

atom dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor kisi primitip
dengan koefisien bilangan bulat)
03.a. Sama dengan soal 02), tetapi untuk vektor basis primitip
ˆ j ˆ j ˆ ˆ ˆ ˆ j
a = (a / 2)(i + ˆ − k ), b = ( a / 2)( ˆ + k − i ) dan c = (a / 2)(k + i − ˆ) !
ˆ
b. Buktikan bahwa ungkapan vektor satuan i , ˆ dan k sebagai kombinasi linier
ˆ j

ˆ j ˆ
dari vektor basis primitip adalah ai = a + c , aˆ = a + b dan ak = b + c !

04. Sama dengan soal (1), tetapi untuk vektor basis primitip 1 ˆ j ˆ
a (i + ˆ ) − 1 ck ,
2 2

1 ˆ
a (−i + ˆ) + 1 ck , dan
ˆ j 1 ˆ
a (i − ˆ) + 1 ck dimana a adalah sisi bujursangkar dan
ˆ j
2 2 2 2

c adalah sisi yang tegak lurus terhadap bujursangkar tersebut !
05. Kisi kristal dapat dipetakan ke dalam dirinya sendiri oleh simetri translasi kisi,
pencerminan dan rotasi di sekitar suatu sumbu. Kisi kristal memiliki simetri
rotasi derajat-1, 2, 3, 4 dan 6 atau 2π; 2π/2; 2π/3; 2π/4; dan 2π/6. Tetapi,
misalnya, kisi kristal tidak memiliki simetri rotasi 2π/5 karena tidak
memungkinkan untuk mengisi seluruh ruang secara periodik dengan bentuk
bangun pentagon. Tunjukkan bahwa kisi dua dimensi tidak mempunyai
simetri putar 2π/5 !

06. Buktikan bahwa struktur HCP memiliki rasio sumbu c/a= 2 6 =1,633 !
3

07. Pada suhu 1190 K besi memiliki struktur FCC dengan parameter kisi a=3,647
Å; dan pada suhu 1670 K berstruktur BCC dengan a=2,932 Å. Jika berat atom
besi adalah 55,85 sma, maka tentukan kerapatan massa pada masing-masing
suhu tersebut!
08. Diketahui padatan Al berstruktur FCC dengan a=4,04 Å dan berat atom 26,98
sma. Hitunglah massa jenisnya!
09. Gambarlah bidang dan arah berikut dalam sel satuan kubik: (122), [122],
(1 1 2) dan [1 1 2]!



10. Kristal Cu mempunyai struktur FCC dengan jari-jari atom 1,278 Å. Berapakah
kerapatan atom yang terdapat pada bidang (100)?
11. Sama dengan soal 08), tetapi untuk kristal Fe yang berstruktur BCC dengan
konstanta kisi 2,86 Å!
12. Buktikan bahwa dalam koordinat Kartesis bidang (hkl)=(mnox+mnoy+mnoz)
memberikan vektor arah yang tegak lurus bidang tersebut, yakni
ˆ j ˆ
no = nox i + noy ˆ + noz k !

13. Buktikan harga jari-jari atom dan fraksi kepadatan dari berbagai struktur
kristal dalam Tabel 5.1!
14. Suatu kristal kubik mempunyai konstanta kisi 2,62 Å. Berapakah sudut Bragg
yang sesuai untuk terjadi refleksi oleh bidang (100), (110), (111), (200), (210)
dan (211), jika berkas sinar-X monokhromatik yang digunakan mempunyai
panjang gelombang 1,54 Å?
15. Sudut Bragg untuk refleksi kristal besi BCC pada bidang (110) adalah 220,
dengan sinar-X yang panjang gelombangnya 1,54 Å.
a. Berapakah konstanta kisinya?
b. Jika berat atom Fe adalah 55,8 sma, maka berapakah kerapatan massanya?
16. Buktikan bahwa persamaan (1.21) dapat diturunkan dari persamaan (1.20),
dengan mengingat definisi (1.22)!
17. Gambarkan kisi resiprok untuk kisi dua dimensi yang mana a=1,25 Å, b=2,50
Å dan γ=120o!

18.a. Buktikan bahwa vektor kisi resiprok G = ha1 + ka 2 + la3 tegak lurus

terhadap bidang (hkl) dalam kisi kristal!
b. Buktikan bahwa jarak antara dua bidang paralel berturutan dalam kisi adalah

dhkl=2π/ G !

19. Suatu sel satuan berukuran a=4 Å, b=6 Å, c=8 Å dan α=β=900, γ=1200.
Tentukan
a. vektor basis a*, b* dan c* untuk kisi resiprok!
b. jarak antar bidang (210)!



c. sudut Bragg untuk bidang (210), jika diketahui panjang gelombang sinar-X
yang dipakai 1,54 Å!
20. Buktikan bahwa
a. kisi resiprok suatu kisi SC adalah kisi SC juga!
b. kisi resiprok suatu kisi FCC adalah kisi BCC, dan sebaliknya!
21. Diketahui bahwa vektor basis primitip kisi ruang heksagonal adalah
a1 = ( 1 a 3 ) x + ( 1 a ) y, a 2 = −( 1 a 3 ) x + ( 1 a ) y, a3 = cz
2
ˆ 2 ˆ 2
ˆ 2 ˆ ˆ

a. Tunjukkan bahwa volume sel primitipnya adalah (31/2/2)a2c!
b. Tunjukkan bahwa vektor basis primitip kisi resiproknya adalah
⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ 2π
b1 = ⎜
⎜ ⎟x + ⎜
⎟ˆ ⎟ y, b2 = −⎜
ˆ ⎜ ⎟ x + ⎜ ⎟ y, b3 =
⎟ˆ ˆ ˆ
z , sehingga kisi
⎝a 3⎠ ⎝ a ⎠ ⎝a 3⎠ ⎝ a ⎠ c
merupakan resiprok dirinya sendiri, tetapi dengan merotasikan 30o sumbu-
sumbunya terhadap sumbu a3!
22. Buktikan persamaan (1.26)!
23.a. Pada bidang yang mana dalam kisi BCC berikut yang tidak menimbulkan
refleksi Bragg: (100), (110), (111), (200), (210) dan (211)!
b. Sama dengan soal a), tetapi dalam kisi FCC!
24. Hitunglah faktor struktur geometri F100 untuk kristal CsCl yang berstruktur
BCC, jika diasumsikan bahwa fCs=3fCl!
25. Teori ikatan kristal ionik model Born-Meyer menyebutkan bahwa energi
A α q2
potensial total suatu sistem kristal ionik adalah E = N −N , dengan
Rn 4π ε 0 R
N adalah jumlah pasangan ion positip-negatip. Suku pertama
merepresentasikan potensial tolak-menolak, dengan A dan n adalah konstanta
yang ditentukan melalui eksperimen. Suku kedua merepresentasikan potensial
tarik-menarik Coulomb, dengan α adalah konstanta Madelung yang hanya
bergantung pada struktur kristal.
4π ε 0 A
a. Tunjukkan bahwa jarak kesetimbangan antarion adalah R0n −1 = n!
α q2
b. Tunjukkan bahwa energi ikatan pada titik kesetimbangan adalah



α Nq 2 ⎛ 1 ⎞
E0 = − ⎜1 − ⎟ !
4π ε 0 R0 ⎝ n ⎠
c. Jika kristal NaCl mempunyai konstanta kisi 5,63 Å, energi ikat terukur 7,95
eV/molekul dan konstanta Madelung 1,75, maka tentukan konstanta n!

26. Berikut disajikan data eksperimen tentang pembentukan molekul NaCl
Na (gas) + 5,14 eV (energi ionisasi) → Na+ (gas) + e- (elektron)
-
e (elektron) + Cl (gas) → Cl- (gas) + 3,61 eV (afinitas elektron)
Na+ (gas) + Cl- (gas) → NaCl (kristal) + 7,9 eV (energi kohesif)
Hitunglah energi permolekul kristal NaCl tersebut! (Energi permolekul ini
lebih kecil daripada energi kohesif/ikat permolekul (7,9 eV). Energi ikat
molekul adalah energi yang diperlukan untuk memecahkan molekul tersebut
menjadi ion-ion penyusunnya)
27. Dalam kristal NaCl didapatkan data eksperimen tentang harga jarak suatu ion
positip terhadap ion negatip terdekatnya adalah 2.81.10-8 cm. Tentukan energi
tarik menarik Coulomb sebagai bagian dari energi potensial antara dua ion
tersebut! (Harga ini masih seorde dengan data eksperimen tentang energi ikat
7,9 eV/molekul)
29. Buktikan bahwa konstanta Madelung
a. berharga 2 ln 2 untuk kristal ionik alternasi satu dimensi!
b. berharga 1,747565 , 1, 762675 dan 1,6381 , masing-masing untuk kristal
NaCl, CsCl dan ZnS!
30. Untuk gas He, yang berstruktur FCC, hasil pengukuran menunjukkan bahwa
parameter Lennard-Jones ε=50.10-16 erg dan σ=2,96 Å. Hitunglah energi
kohesifnya dalam kJ/mol! (Nilai pengamatan energi kohesif 0,751 kJ/mol, jauh
lebih kecil daripada hasil perhitungan sehingga koreksi kuantum sangat
penting)
31. Dengan menggunakan potensial Lennard-Jones, hitunglah perbandingan
energi kohesi Ne dalam struktur BCC dan FCC! Diketahui bahwa untuk kisi
BCC harga ∑p
j
−12
ij = 9,11418 ; ∑p
j
−6
ij = 12,2533 .



32. Sama dengan soal 26), tetapi untuk struktur HCP dan FCC! Diketahui bahwa
untuk kisi HCP harga ∑p
j
−12
ij = 12,13229 ; ∑pj
−6
ij = 14,45489 .

6 12
⎛a ⎞ ⎛a ⎞
33. Energi total untuk 2 atom argon adalah E = −C ⎜ o ⎟ + B⎜ o ⎟ relatif
⎝R⎠ ⎝R⎠
terhadap keadaan keduanya pada jarak tak terhingga. Harga B= 2,35.103 eV,
C= 1,69.108 eV dan ao adalah radius Bohr. Suku pertama merepresentasikan
energi tarik menarik antara elektron-elektron terluar; dan kedua adalah energi
tolak menolak antara ion-ion teras. Hitunglah
a. posisi setimbang !
b. Buktikan bahwa di posisi setimbang energinya didominansi oleh energi
tarik menarik! (harga mutlak energi tarik menarik lebih besar daripada
energi tolak menolak, dan energi totalnya berharga negatip)


STRUKTUR KRISTAL

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

STRUKTUR KRISTAL