若手理論・計算力学普及委員会話題提供

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若⼿理論・計算⼒学普及委員会話題提供
⼀様変形における有限ひずみと微⼩ひずみ
(株)村尾地研
村尾英彦

Contents
1．剛体回転 ← 前回の委員会で
話題となったので最初に説明
2．伸び変形 ← 普通はここから説明した⽅が
良いかもしれない
3．等体積せん断変形
4．等⻑せん断変形

1. 剛体回転
剛体回転
各辺⻑は変わらず，
元の形のまま，
回転する運動

1. 剛体回転
剛体回転の運動x = φ(X)，および変位u = x - Xは下式で表される．
変位勾配テンソルF，F-1，および微⼩ひずみ仮定のもとでの
変位勾配テンソルは下式で表される．

1. 剛体回転
有限ひずみテンソルE，e，および
微⼩ひずみテンソルεは下式で表される．
剛体回転なので，正⽅形は変形しておらず，ひずみは零と評価されるべきで，
有限ひずみテンソルE，およびeはこの要件を満たしている（E = e = 0）．

1. 剛体回転
⼀⽅で，微⼩ひずみテンソルでは，ε11=ε22=(η-1)と，
⽔平と鉛直の両⽅向に圧縮ひずみがあるように評価
することになる．
すなわち，微⼩変形の仮定では，dxとdXが同じ⽅向にある
ものとして扱うので，剛体回転後のdx1，dx2の⻑さは，
元のdX1，dX2⽅向の成分では
のように評価されることになる．
そのため，⻑さが元の cosθ 倍になったとして，（剛体回転なので）圧縮ひず
み η-1= cosθ - 1 が「ない」にも関わらず，「ある」ものとして評価してしま
う．
他の⼀様変形ではどうなのか？

2. 伸び変形
伸び変形
鉛直，⽔平⽅向の辺⻑に
伸び縮みが⽣じる運動

2. 伸び変形
伸び変形の運動x = φ(X)，および変位u = x - Xは下式で表される．

2. 伸び変形
有限ひずみテンソルE，e，および微⼩ひずみテンソルεは下式で表される．
各テンソルの⾒た⽬が異なっているので，以降のスライドで
実際に値を⼊れて具体的な計算を⾏ってみることにする．

2. 伸び変形
変形量δ =0.1(10%)，0.01(1%) の場合の計算例．
変形量δ =0.1(10%) の場合
変形量δ =0.01(1%) の場合変形量δが0.1(10%)になる
と，Eとeの値がだいぶん異
なっているのでは…?
変形量δが0.01(1%)では，
有限ひずみeと微⼩ひずみε
の差は最⼤で2.5%ほど

2. 伸び変形
変形量δが0.1(10%)になると，Eとeの値がだいぶん異なっているのでは…?
変形前後の微分ベクトルdX1とdx1は下式で表される．
これらから，ノルム*の差を計算すると
Eとeの違いは，それぞれの定義による違いであることが確認できた．
* ノルム：ベクトルの⻑さ

3. 等体積せん断変形
等体積せん断変形
鉛直⽅向の辺⻑に
伸びが⽣じ，
せん断変形する運動

伸び変形の運動x = φ(X)，および変位u = x - Xは下式で表される．

有限ひずみテンソルE，e，および微⼩ひずみテンソル ε は下式で表される．
等体積せん断においては，せん断成分（⾮対⾓項）に注⽬すると，3つのひずみ
テンソルにおいて，2E12 = 2e12 = 2ε12 = γ と⼀致している．
||dX2||と||dx2||の関係は
である（dX2 = {0 1}Tとすると|| dx2||2 - ||dX2||2 = γ2）．

当然，変形前後の⻑さの⼆乗の差は，有限ひずみテンソルの定義式によっても
与えられ，前スライドの結果と⼀致する．
有限ひずみテンソルEとeでは，等体積せん断
において，鉛直⽅向の辺が伸びる事実を正しく
評価できる．
（Eとeの違いは，それぞれの定義による違い）
⼀⽅で，微⼩ひずみテンソルεでは対応する成分は
ε22 = 0
であり，鉛直⽅向の辺の伸びは評価されていない．
微⼩変形の仮定ではXとxを区別せず，dx2が元のdX2と同じ鉛直⽅向にあると
するため（伸びたものを，伸びていないと評価している）．

4. 等⻑せん断変形
等長せん断変形
各辺⻑は変わらず，
せん断変形する運動

等⻑せん断変形の運動x = φ(X)，および変位u = x - Xは下式で表される．

有限ひずみテンソルE，e，および微⼩ひずみテンソルεは下式で表される．
eの幾何学的解釈は難しいが，
が成り⽴つ．Eとeの違いは，それぞれの定義による違いである．
微⼩ひずみテンソルεでは，ε22が鉛直⽅向の⻑さ変化を表しており，
⻑さがcosθ 倍に縮んでいるので，ε22 = η-1と評価する（⻑さが不変
なのに，縮んだと評価している）．
( = 0 )

付録

付録：有限ひずみテンソルについて
E：ラグランジューグリーン（Lagrange – Green）のひずみテンソル
e：オイラーーアルマンジ（Euler – Almansi）のひずみテンソル

付録：有限ひずみテンソルの定義式から得られる変形前後の⼆乗の差
変形前後の⻑さの⼆乗の差は，有限ひずみテンソルの定義式
によっても与えられる．簡単のためにdX2 = {0 1}Tとして
dX2とdx2を⽤いると以下のようになる．
この結果は（等体積せん断のスライド），||dx2||2 - ||dX2||2 = γ2 に⼀致する．
i.e. 有限ひずみテンソルEとeでは，（スライドxと併せて）等体積せん断において，
鉛直⽅向の辺が伸びる事実を正しく評価できている．

付録：有限ひずみテンソルについて
E：ラグランジュ的な⾒⽅
e：オイラー的な⾒⽅
大文字の人
小文字の人
「⼤⽂字の世界」のモノの⾒⽅
「⼩⽂字の世界」のモノの⾒⽅
X
x

付録：私⾒
有限変形（finite deformation）という名称は，微⼩変形
（infinitesimal deformation）に対峙させたもので，⼤変形
（large deformation）ではないことに注意が必要．
すなわち，有限変形は材料の⾮線形性を，必ずしも伴わない．
cf. 有限要素（finite element) ⇄無限⼩要素（infinitesimal element）
例えば，弾性座屈のように変位は⼤きくても，変形(ひずみ)が
⼤きいとは限らない場合もある．
逆に，変形（ひずみ）が⼤きい(⾮線形になる)場合に，必ずしも
変位が⼤きくなるとも限らない．
なので，変位と変形を区別して考えた⽅がわかりやすいと思う．
と⾔ってみたものの，正直なところ，理解できているのか，そうでないのかわからなくなることがある…

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