2021年のQiskitChallengeの1問目の自分なりのまとめです 3通りの方法で求めました。 日本IBMの中村悠馬さんに監修していただきました。

1. Week1
トフォリゲート
静岡県立磐田南高校２年 Nakamura Fuki

2. 問題
CCXゲートを基本ゲート(CX,X,RZ,SX)のみを使用して置き換える
CCXゲート
Xゲート Rzゲート CXゲート SXゲート
Φ=π/2
今回は３つの方法で答えを求める

3. |000> |010> |100> |110>
|001> |011> |101> |111>
|000>
|001>
|010>
|011>
|100>
|101>
|110>
|111>
このように行列からも
CCXゲートは|111>と|110>のみに
作用することがわかる

4. 方法：１
QiskitのTextbookを参照してCCXを置き換える
Textbookより
ここで基本ゲートでないHゲート,Tゲート,T⁺ゲートを基本ゲートに置き換える
https://qiskit.org/textbook/ja/ch-gates/more-circuit-identities.html

5. 方法：１
TゲートとT⁺ゲートを行列表示すると以下の通りである
基本ゲートであるRZゲートの行列は右の通りなのでRZのΦが
π
４
の時、
TはRZに置き換えることができる。同様にRZのΦが−
π
４
の時、T⁺はRZに置き換えられる

6. 方法：１
方法：１
次にHゲートの置き換えを考える。
右図のようにＨゲートはＺ軸とＸ軸にそって回転させるゲートである。
基本ゲートには同様の回転をさせるゲートはないため、Hゲートの回転を下記の
ように分解して考える。
⓪｜０＞の状態でははじめのRzは作用しない
①のようなＸ軸周りの
π
２
回転はＳＸゲートに置き換えられる
➁のようなＺ軸周りの
π
２
回転はＲＺゲートに置き換えられる
よってHゲートは上記の置き換えができる
この時、先頭のRzゲートがあることで
① ➁

7. 方法:1
方法：１
これより、HとT,T⁺を基本ゲートに
置き換えるとこのようになる。
行列で表すと下記になり、2のスラ
イドのCCXの行列と一致し、CCX
の置き換えに成功した！！

8. 左の命令を用いて、回路を行列で表示すると
下記になる
一見ＣＣＸの行列とは異なるが
CCXゲートのこの行列では数字は左詰めで
入るため下の様になり、|110>と|111>のみ
に作用する
|000>|100>|010>|110>|001>|101>|011>|111>
|000>
|100>
|010>
|110>
|001>
|101>
|011>
|111>

9. 方法:1
方法：2
次はU3ゲートという普遍的なを用いて
CCXを置き換える。
CCXをU3に置き換えると、右図になる。
右図のU3に当てはまる基本ゲートを探す

10. 方法:1
方法：2 CX以外の基本ゲートとHゲートもU3ゲートを用いて
表す。
そしてこの置き換えを元に先ほどのU3にHと基本ゲートを
あてはめる。

11. 方法:1
方法：2
よってCCXのU3に各種ゲートを当てはめると
以下になる。またHは前述したとおり、
RZとSXに置き換える。
これは方法1で置き換えたものと一致した！！

12. 方法:1
方法：３
ここで制御制御回転の前後にＨゲートを配置することで
CCXゲートと同様の働きをすることを発見した。
そこでこの回路のＣＰゲートとＨゲートを置き換えることで正解を得られると考えられる
q0q1が11の時
HZH ＝ X
よってｑ2＝1
Q0,q1がそれ以外の時
HH = I
よってｑ2＝0

13. 方法:1
方法：３
CPゲートを基本ゲートに分解すると上記のとおりである
またスライド５よりHゲートは下記に分解できる

14. 方法:1
方法：３
これより先ほどの回路は以下の置き換えができる
行列で表すと右になりCCXと一致する！
実部
虚部