CISM 2000 - ANALISI DELLA CAPACITA’ RESISTENTE E DELLA VITA RESIDUA DELLE STRUTTURE ESISTENTI

CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE.
PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA”
www.francobontempi.org - 1 - www.stronger2012.com
ANALISI DELLA CAPACITA’ RESISTENTE
E DELLA VITA RESIDUA
DELLE STRUTTURE ESISTENTI
Franco BONTEMPI
Professore Ordinario di Tecnica delle Costruzioni
Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica,
Università di Roma "La Sapienza".
franco.bontempi@uniroma1.it

INDICE.
1. CONSIDERAZIONI GENERALI SULLA VALUTAZIONE DELLA
CAPACITA’ PRESTAZIONALE DI UNA STRUTTURA ESISTENTE.
2. ASPETTI CONCETTUALI DELL’ANALISI STRUTTURALE IN
CAMPO NON LINEARE.
3. VERIFICA DELLA SICUREZZA STRUTTURALE.
4. DEFINIZIONE DEGLI STATI LIMITE.
5. MODELLAZIONE DI STRUTTURE INTELAIATE PIANE IN CAMPO
NON LINEARE
6. CONSIDERAZIONI SULLA MODELLAZIONE DEL SISTEMA
STRUTTURALE
7. MODELLAZIONE PROBABILISTICA

1. CONSIDERAZIONI GENERALI SULLA VALUTAZIONE
DELLA CAPACITA’ PRESTAZIONALE DI UNA
STRUTTURA ESISTENTE.
Le situazioni che richiedono di accertare la capacita’ resistente di
una struttura in c.a./c.a.p. sono, in generale, di due tipi:
a) diminuzione delle caratteristiche meccaniche dei materiali
costitutivi per fenomeni di deterioramento provocati da cause
ambientali e che evolvono nel tempo,
b) incremento dei livelli di carico richiesti in conseguenza di
variazioni nella destinazione d’uso o nella categoria di
appartenenza, come accade nel caso dei ponti e viadotti stradali.
A queste situazioni di carattere generale, rappresentate nella
Fig.1.a,b (dove in ascissa si ha il tempo e in ordinata la capacita’
prestazionale della struttura e la domanda), vanno aggiunte quelle
relative a danneggiamenti dovuti a fenomeni particolari, come le
azioni impulsive o le alte temperature da incendio.

Fig.1: Aspetti concettuali dell’andamento (a) deterministico, (b)
stocastico, della capacita’ prestazionale di una struttura nel tempo.

Appare evidente il ruolo fondamentale che le attivita’ di controllo e
di monitoraggio hanno nell’attivare le verifiche sulla capacita’
prestazionale e nel determinare il loro livello di accuratezza.
Tali attivita’, per risultare economiche, devono
1) non interferire con il normale servizio della struttura,
avvalendosi di misurazioni in condizioni ambientali;
2) richiedere pochi punti di misura;
3) essere robusti e affidabili attraverso una ridondanza interna nel
processo di stima.
Non puo’ quindi sfuggire l’analogia con le tecniche relative alle
diagnosi mediche.

4
STRUCTURE
ifor(t)
iseg(t)
12
3
3
ifor(t)
iseg(t)
h(t)
4
5
RN
h(t)
6 7
RN
h(t)
8
p
0 25
0
1
Fig.2: Stima del degrado strutturale basata sull’errore di previsione
del comportamento dinamico della struttura esistente da parte di una
rete neurale-fuzzy, addestrata inizialmente sul comportamento
strutturale integro (nominale): (1) punto di misura (non strettamente
necessario) della forzante ambientale (2) ifor(t), (3) punto di misura
della risposta strutturale (4) iseg(t).

Senza dimenticare le caratteristiche proprie di un’opera di
ingegneria civile (unicita’ e non ripetibilita’), tale controllo
continuo dell’opera d’arte richiama procedimenti di controllo di
qualita’ di prodotti industriali e, piu’ in generale, lo stesso concetto
di qualita’ come si è affermato attualmente nell’ottica delle norme
internazionali ISO9000.
In questa ottica, la qualita’ e’ intesa come quella caratteristica di un
bene in grado di soddisfare le necessita’ di un cliente: in particolare
l’introduzione del sistema qualita’ in una organizzazione produttiva
vuole tendere a minimizzare le non conformita’ di prodotto,
ricercando a ritroso, nel processo produttivo, le ragioni di tale
eventuale insuccesso.
Un’opera strutturale e’ intesa come prodotto e, in quanto tale,
attraverso l’auditing di verifica prestazionale se ne valutano le
caratteristiche .

Mutuando i metodi operativi del controllo di qualita’,
 si agevola la focalizzazione e la visione globale del problema di
verifica,
 si guida l’analisi di dettaglio,
 si estrapola dai dati il massimo livello di informazione,
 si possono tenere in conto gli errori sviluppatisi in fase di
concezione e progettazione dell’opera, che possono essere i punti
di partenza dell’inadeguatezza o del degrado della capacita’
prestazionale.

Tab.1. Strumenti per la gestione della qualita’ e controllo prestazionale
di un’opera d’arte.
Nome: Scopo:
diagramma
di flusso
Permette di rappresentare un flusso di attivita’/fasi secondo la sequenza logico-
temporale di svolgimento delle stesse: permette l’impostazione e la
programmazione delle analisi di verifica, prospettando le possibili alternative
decisionali; ne risulta una rappresentazione grafica immediatamente leggibile
che descrive il processo di verifica passo per passo, aiutando a focalizzare le
scelte alternative e le possibili fonti d’errore;
Analisi
delle funzioni
Consente di prospettare e correlare le caratteristiche e le esigenze funzionali di
un’opera d’arte, e quindi di valutarne le capacita’ della stessa di soddisfarle; la
concezione piu’ rigorosa impone di esprimere stringatamente ogni funzione e
di fare riferimento a caratteristiche misurabili: deve essere individuato almeno
un parametro di controllo, con il relativo intervallo accettabile di variazione.
Albero
delle funzioni
(Functional
family tree)
Prevede un’organizzazione grafica facilmente leggibile in cui requisisti e/o
caratteristiche vengono elencati e correlati fra loro; procedendo dall’alto al
basso, diminuisce il grado di importanza delle funzioni o aumenta il grado di
dettaglio dell’analisi.
Diagramma
causa-effetto
(diagramma di
Ishikawa)
E’ un metodo di organizzazione dei dati utile per l’analisi di problemi e per
l’eliminazione di effetti indesiderati, malfunzionamenti, non conformita’: si
seleziona l’effetto da analizzare e si prospettano tutte le possibili cause, ordinandole
in base alla maggiore probabilita’ di incidenza sull’effetto in analisi, e correlandole
in funzione dell’interazione reciproca; i dati vengono strutturati in una
rappresentazione grafica chiamata diagramma a lisca di pesce per la sua forma
caratteristica. La prima operazione consiste nell’individuare le diverse categorie di
cause; ad ogni causa si associa il maggior numero di informazioni possibili; si
scompone ogni causa primaria negli elementi secondari; si costruisce il diagramma.
Albero dei guasti Permette di visualizzare e di sviluppare l’analisi di un difetto, di una
conformita’ o di un fatto non previsto (il guasto), relativo all’opera o a una sua
parte.
Per quanto riguarda il progetto, gli errori possono essere a) nei processi
(progettazione, raccolta, elaborazione e trasmissione dei dati, redazione degli
elaborati progettuali, controllo), b) negli strumenti (di supporto alla
progettazione, di supporto all’elaborazione grafica, di misura e controllo), c)
umani.
Per quanto concerne le opere, gli errori possono essere: a) di progetto (scelte,
contenuti, leggibilita’ degli elaborati, qualita’ e quantita’ delle informazioni
rese); b) di realizzazione (metodologie scorrette, strumenti inadeguati, materiali
scadenti, personale incompetente), c) mancata previsione di condizione al
contorno o di eventi eccezionali.
Suddivisione
del prodotto
(Product breakdown
structure)
Sono metodologie sviluppate dai tecnici aerospaziali statunitensi allo scopo di
gestire il progetto e la realizzazione di prodotti complessi: in questo senso, un’opera
di ingegneria civile, pur presentando in genere meno difficolta’ e meno rischi del
progetto di un veicolo spaziale, non puo’ essere definito semplice.
L’organizzazione grafica e’ un diagramma composto da caselle e linee di
correlazione; al vertice si trova una sola casella entro la quale e’ specificata l’opera
da scomporre: da qui si individuano i sottosistemi, che a loro volta possono essere
suddivisi in sotto-sottosistemi.

La valutazione della capacita’ resistente di una struttura richiede un
processo di analisi che ha delle premesse concettuali
sostanzialmente differenti da quelle che sono alla base delle
procedure utilizzate usualmente nella progettazione di una nuova
struttura.
Infatti:
 Le normative fanno riferimento a situazioni generali e, quindi,
generiche: da cio’ segue che i dati di ingresso relativi alle
caratteristiche dei materiali sono fissati a priori e quelli relativi
ai carichi sono stabiliti da apposite norme, comuni a tutte le
costruzioni di una data tipologia (edifici per abitazioni, scuole,
ponti,…). La valutazione di una struttura esistente e’ invece un
processo sviluppato caso per caso per ciascuna costruzione,
situata in una ben definita localita’, realizzata con materiali
aventi specifiche caratteristiche e soggetta ad uno spettro di
carico specifico.

 Per quanto riguarda gli schemi statici, i meccanismi resistenti,
le condizioni di vincolo, in fase di progetto essi sono definiti
dal progettista sulla base di opportune ipotesi, cosi’ che
possono essere considerati noti. Per le strutture gia’ esistenti,
invece, possono essere ritenute piu’ sicuramente determinabili
le loro dimensioni geometriche, ed anche i parametri di
resistenza dei materiali, qualora vengano ottenuti da accurate
misurazioni ed indagini in situ, mentre sono piu’ incerte le
situazioni di vincolo ovvero le posizioni delle armature
all’interno dei getti o ancora l’efficienza dei cavi di
precompressione all’interno delle guaine.
 I differenti requisiti che si impongono in fase di progetto ai
componenti strutturali, come, ad esempio, le percentuali e le
disposizioni delle armature, sono relativamente facili e poco
onerosi da soddisfare in tale fase, mentre possono essere
estremamente costose e difficili da considerare in una struttura
esistente.

 Le prestazioni sviluppate nel passato da strutture esistenti,
contribuiscono comunque a ridurre le incertezze insite in ogni
opera nella fase della sua progettazione.
 Diverse opere d’arte, possono trovarsi in situazioni di non
conformita’ nel caso di variazioni delle disposizioni normative,
mentre non mancano esempi di costruzioni che hanno
raggiunto e superato la durata convenzionale della vita di
servizio, con prestazioni da considerarsi tuttora pienamente
valide. Problematiche particolari possono essere poste, inoltre,
dalle costruzioni che presentano particolari caratteri storici da
salvaguardare, come e’ il caso di certi ponti in pietra o in
muratura ed anche, ormai, a struttura metallica.

Tabella 3.
Suddivisione delle analisi
In base alla complessita’ geometrica
1D o 2D 3D
Analisi statica
o quasi statica
I III
Analisi
dinamica
II IV
Tabella 4.
Suddivisione delle analisi
in base agli aspetti meccanici considerati
Lineare Non lineare
Deterministica A C
Stocastica B D

Tabella 5. Complessita’ dei livelli di analisi.
Peso =
Costo
Caso Significato
1 IA Analisi 1D o 2D statica o quasi statica lineare
deterministica
2 IB
IIA
Analisi 1D o 2D statica o quasi statica lineare
stocastica
Analisi 1D o 2D dinamica lineare deterministica
3 IC
IIIA
Analisi 1D o 2D statica o quasi statica non lineare
deterministica
Analisi 3D statica o quasi statica lineare
deterministica
4 ID
IIB
IVA
Analisi 1D o 2D statica o quasi statica non lineare
stocastica
Analisi 1D o 2D dinamica lineare stocastica
Analisi 3D dinamica lineare deterministica
6 IIC
IIIB
Analisi 1D o 2D dinamica non lineare deterministica
Analisi 3D statica o quasi statica lineare
deterministica
8 IID
IIIB
Analisi 1D o 2D dinamica non lineare stocastica
Analisi 3D statica o quasi statica lineare stocastica
9 IIIC Analisi 3D statica o quasi statica non lineare
deterministica
12 IIID
IVC
Analisi 3D statica o quasi statica non lineare
stocastica
Analisi 3D dinamica non lineare deterministica
16 IVD Analisi 3D dinamica non lineare stocastica

Tabella 2. Livelli di certezza degli aspetti che caratterizzano il comportamento strutturale.
Situazione: Aspetti globali
(schema statico,
meccanismo resistente, vincoli,..)
Aspetti locali
(parametri dei materiali, intensita’
dei carichi,..)
Progetto (design) + certi - certi
Verifica
(assessment)
- certi + certi

2. ASPETTI CONCETTUALI DELL’ANALISI
STRUTTURALE IN CAMPO NON LINEARE.
Si considera una struttura discretizzata con i criteri del metodo degli
elementi finiti, impostato negli spostamenti.
Sulla struttura si pensano agenti delle azioni che possono essere
sintetizzate nel vettore dei carichi equivalenti P .
Incognite primarie del problema strutturale sono gli spostamenti dei
nodi che individuano la suddivisione in elementi della struttura: tali
spostamenti, in numero finito, sono raccolti nel vettore q .
Da questo vettore, si potranno ottenere:
(1) il campo di spostamenti    u P N P q q , e di deformazioni
    P B P q q , in qualunque punto P della struttura;
(2) il campo di sforzi (in particolare i diagrammi delle azioni
interne);
(3) le reazioni vincolari.

Il problema strutturale risulta lineare se:
i. il materiale di cui e’ composta la struttura e’ elastico lineare;
ii. gli spostamenti sono piccoli: le equazioni di equilibrio si
possono scrivere nella configurazione indeformata della
struttura, e si ritengono valide le usuali approssimazioni
analitiche, quali confondere un angolo piccolo con il suo seno o
la sua tangente;
iii. i vincoli presenti nella struttura, sono considerati bilateri.
In tali condizioni si verifica in particolare che:
 la soluzione del problema strutturale esiste ed e’ unica;
 vale il principio di sovrapposizione degli effetti: con
riferimento alla Fig.2, se ad un carico PA
corrisponde uno
spostamento q A
e ad un carico PB
uno spostamento qB
, alla
somma dei carichi P P PA B C
  corrisponde la somma degli
spostamenti q q qC A B
  .

Mancando le ipotesi i, ii, iii, si hanno, rispettivamente, non
linearita’ di materiale, non linearita’ geometrica e non linearita’ di
vincoli.
In tali casi, la soluzione del problema strutturale puo’ non esistere, e
se esiste puo’ non essere unica: chiaramente, non vale piu’ il
principio di sovrapposizione degli effetti.
Fig.2: Linearita’ e non linearita’ nella risposta strutturale.

E' bene sottolineare subito che, in campo non lineare, per ottenere
un insieme di risultati attendibili si deve considerare l'evoluzione
della struttura nel suo complesso dallo stato iniziale fino al collasso.
La determinazione di una singola configurazione di equilibrio per
un determinato livello di carico, e' assolutamente insufficiente, in
quanto non permette di valutare quale sia la risposta della struttura
a variazioni di livello del carico stesso: a differenza di quanto
succede quasi sempre in campo lineare, i risultati ottenibili da un
programma non lineare, anche se corretti dal punto di vista
numerico, possono essere assolutamente privi di significato
ingegneristico e totalmente errati dal punto di vista meccanico.
Non potendo piu' applicare il principio di sovrapposizione degli
effetti, ogni fissata combinazione deve essere studiata con
un’analisi specifica. Questo comporta un impegno computazionale
notevole.

Un modello strutturale efficiente dovra’ quindi essere in grado di
cogliere gli aspetti meccanici essenziali, evitando l’introduzione di
parametri incogniti inutili ai fini della rappresentazione che si vuol
dare della struttura.
Con le ipotesi di struttura discretizzata nell’ottica del metodo degli
elementi finiti negli spostamenti, e con ipotesi abbastanza generali,
il problema da risolvere e’ quello di trovare la soluzione q al
sistema di equazioni algebriche non lineari:
   R q t F q t, , (1)
in cui la sequenza di situazioni di carico e’ associata a t .
La successione delle soluzioni q al variare di F descrive il
percorso di equilibrio della struttura per l’assegnata storia di carico.

Si osserva che il termine noto di questa equazione, ovvero  F q t, , e’
funzione della soluzione q della stessa equazione. Dal punto di vista
meccanico cio’ sta ad indicare che il vettore dei carichi agenti sulla
struttura puo’ essere funzione della sua configurazione deformata,
come accade ad esempio nei sistemi soggetti a forze di tipo non
conservativo o con la presenza di distorsioni impresse che da’
luogo ad azioni statiche la cui intensita’ e’ legata alla rigidezza
della struttura.
L’equazione di equilibrio per l’intera struttura (1) è ottenuta per
assemblaggio di elementi in C.A./C.A.P. La sua soluzione va
ricercata per via iterativa e richiede:
 la definizione del procedimento col quale giungere al vettore di
spostamenti q
I
corrispondenti all’I-esima iterazione;
 la definizione dei criteri per valutare se la soluzione approssimata
q
I
converge o no alla soluzione incognita qEX e per arrestare, di
conseguenza, il procedimento iterativo.

In una formulazione secante, il vettore R delle forze nodali
equivalenti, in termini di lavoro, agli sforzi agenti all’interno della
struttura è espresso come
   R R q K q q K q    
ovvero dal prodotto di una matrice di rigidezza secante  K K q
per il vettore incognito q .
Quindi, per una prefissata condizione di carico, lo schema iterativo
e’ composto dai seguenti passi:
 e’ nota la soluzione approssimata q
I 1
all’iterazione I 1;
 si valuta la matrice di rigidezza secante  K q
I 1
;
 la soluzione all’iterazione I e’    q K q F q
I I I
 
  1 1 1
;
 ad essa compete il vettore delle forze dei residui non equilibrati
(di squilibrio) fra carichi esterni e reazioni interne
     r q F q R q
I I I
  ;
 si effettuano i test di convergenza: se positivi si e’ trovata la
soluzione, altrimenti si incrementa I e si ricomincia il ciclo
dal primo passo.

Il procedimento iterativo viene arrestato al manifestarsi di uno dei
seguenti stati significativi:
 convergenza della soluzione, ovvero raggiungimento di uno
stato di equilibrio;
 collasso per raggiungimento del valore di deformazione ultima
di uno dei materiali componenti la struttura;
 mancata convergenza della soluzione nel numero massimo di
iterazioni previste (in genere intorno a 20). Questa situazione
e’ associata in genere ad una condizione di carico che supera la
capacita’ portante della struttura.

1
q q q q q
R(q)
F(q)
F
1
10
0
1
2
0 1 2 exact
F
F
F
R
1
2
R
K(q) K(q)
q
R(q)
F
F0
Fig.3: Soluzione di un problema non lineare col metodo secante
con riferimento ad un solo grado di liberta'. (a) Rappresentazione
geometrica delle prime due iterazioni. (b) Caso di mancata
convergenza della soluzione.

Il percorso di equilibrio
Spostamento x
Carico y

Definizione e caratteristiche del percorso di equilibrio di una
struttura.
 Nella trattazione che segue si fa riferimento a problemi nei quali
 R R x e  F F t , escludendo le altre possibilita’ prima
citate. Si pone inoltre    F t t y  , con y un vettore costante e
  t un fattore moltiplicativo.
 Introdotte queste ipotesi, l’equazione di equilibrio (1), si riscrive
nella forma piu’ semplice:
         t y R x t r x y r t     , 0
 La coppia     x t t y,  al variare di t descrive il percorso di
equilibrio della struttura per l’assegnata storia di carico:
t rappresenta soltanto un parametro, e puo’ essere identificato
con una generica ascissa curvilinea s .

 Si consideri adesso la Fig.5: in essa e’ rappresentato
simbolicamente il percorso di equilibrio “0” della struttura, in un
diagramma che ha in ascissa il vettore spostamenti x e in ordinata
il vettore dei carichi   y . Questo percorso fondamentale parte
dal punto O, situazione che rappresenta la struttura scarica e
indeformata, e arriva alla generica configurazione equilibrata S,
individuata dall’ascissa s.
 Lungo tale percorso di equilibrio fondamentale “0”, si origina nel
punto di biforcazione semplice A un nuovo percorso di equilibrio
“1”. Nel punto di biforcazione non semplice F ne nascono due,
indicati con “2” e “3”. I punti B, E e G sono invece punti limite.
 In un punto singolare, di biforcazione o limite, si ha una
molteplicita’ della soluzione in un intorno infinitesimo del punto
singolare: ad esempio nel caso del punto limite B questa
molteplicita’ e’ illustrata dalla vicinanza dei punti B1 e B2;
mentre nel caso del punto di biforcazione A, dalla presenza dei
punti A1 e A2.

 Nei punti C e D la “pendenza” del percorso di equilibrio e’, in
termini analitici, infinita: essi possono essere considerati punti
limite in quanto, se si scambiassero gli assi x e y , ovvero si
ruotasse il diagramma del percorso di equilibrio attorno alla
bisettrice del primo quadrante, risulterebbero anch’essi a tangente
nulla.
 Il punto H e’ definito invece punto di rottura della struttura,
nascendo dai limiti convenzionali di deformazioni massime
sopportabili dai materiali di cui e’ composta la struttura in
oggetto, ovvero, piu’ in generale, dalle condizioni poste da un
criterio di rottura.

 La situazione ideale o perfetta descritta fino ad ora, e’ alterata
dalla presenza di:
1. imperfezioni strutturali,
2. aspetti dinamici.
 Nella Fig.5, sono evidenziati ad esempio i due percorsi quasi
statici perturbati “P1” e “P2”, in cui sono scomparsi i punti di
biforcazione, ma che mantengono la somiglianza con i percorsi
ideali “0”, “1”,”2”.
 I punti singolari limite che, anche in presenza di imperfezioni
casuali per le quali il percorso di equilibrio e’ perturbato, tendono
a mantenersi inalterati, risultano quindi caratterizzati da quella
proprieta’ che e’ detta nella teoria dei sistemi dinamici stabilita’
strutturale
 Questa caratteristica non e’ posseduta dai punti di biforcazione:
essi scompaiono se la struttura e’ imperfetta. Praticamente,
esistono quindi solo punti limite, essendo comunque la struttura
reale soggetta ad imperfezioni.

 Dal punto di vista teorico, la presa in considerazione delle
imperfezioni strutturali, permette la valutazione della sensibilita’
della struttura alle condizioni e ai parametri iniziali, e sfocia in
campo dinamico nella teoria del caos.
 Dal punto di vista ingegneristico si e’ interessati al ramo di
equilibrio con la piu’ piccola capacita’ portante, perche’ esso
rappresenta la condizione piu’ pericolosa per la struttura: ad
esempio dal punto di biforcazione non semplice F, il percorso “2”
e’ quello ingegneristicamente critico.
 Nel caso di strutture in C.A., le imperfezioni strutturali, intese
come disomogeneita’ di resistenza e rigidezza del calcestruzzo e
disomogeneita’ dimensionali degli elementi strutturali sono
sicuramente aspetti fondamentali. Essi hanno un duplice effetto:
da un lato, tendono dunque a far scomparire i punti di
biforcazione, alleggerendo il procedimento di calcolo; dall’altro
per la presenza di comportamenti softening e di discontinuita’
meccaniche quali l’insorgere della fessurazione e la
parzializzazione delle sezioni, essi tendono a rendere estremamente
irregolare il percorso di equilibrio.

3. VERIFICA DELLA SICUREZZA STRUTTURALE.
 In termini generali, la verifica di sicurezza di una struttura riguarda il confronto tra una
grandezza A significativa della sollecitazione a cui e’ sottoposta la struttura e una grandezza
R significativa della resistenza della struttura.
 A seconda del livello a cui si effettua questa verifica, puntuale/sezionale/globale, tale
verifica puo’ essere organizzata come nello schema seguente:
Tipo di verifica  Verifica puntuale:
sullo sforzo
Verifica sezionale:
sulle azioni interne
Verifica globale:
sui carichi
Carico applicato FA FA FA
verifica:
A= FA<FR=R?
Analisi strutturale   
Azione interna SA SA SR
verifica:
A= SA<SR=R?
Analisi sezionale   
Sforzo puntuale TA TR TR
verifica:
A= TA<TR=R?

 A differenza del livello puntuale/sezionale/globale considerato, risulta quindi traslata la
posizione in cui si esegue effettivamente la verifica.
 Il livello puntuale e’ quello naturalmente connesso alle tensioni ammissibili, quello
sezionale alla metodologia degli stati limite in forma lineare o pseudo-lineare, mentre quello
globale a livello dei carichi e’ quello connaturato ad una verifica con analisi non lineare.
 In campo lineare la verifica di sicurezza e’ indipendente dal livello al quale viene svolta, dal
momento che vale il principio di sovrapposizione degli effetti.
 In campo non lineare, il problema e’ piu’ complesso. Si consideri, ad esempio, lo schema
seguente:

Lineare Non lineare
Carico medio FM Carico medio FM
Carico caratteristico
FK=1FM
per = 0 1,
Analisi Carico di progetto
FD=2FK
Livello di carico
F=FM
Strutturale Azione di progetto AD 
Azione di livello AD
Analisi
Verifica:
R
A
sD
D

Verifica:
2121 

 s
A
R
D
M
Strutturale
nel suo
Analisi Azione resistente di
progetto: RD
Azione resistente
media:
complesso
Sezionale Resistenza di progetto:
TD= TK/2
RM
Resistenza caratteristica:
TK =TM/1
Resistenza media: TM Resistenza media: TM

 In campo lineare (o meglio pseudo-lineare), analisi strutturale e sezionale sono separate.
 In campo non lineare, questa divisione non puo' essere operata: l'applicazione del
coefficiente  che diminuisce la resistenza caratteristica dei materiali, non puo' essere
applicata prima dell'analisi strutturale. Infatti cosi’ facendo si abbatterebbero artificialmente
i moduli di rigidezza dei materiali, falsando i risultati dell'analisi strutturale: si ricorda infatti
che dalla rigidezza/deformabilita’ degli elementi che compongono la struttura dipendono sia
la ripartizione delle intensita’ delle azioni iperstatiche, sia l’influenza degli effetti
geometrici.
 Inoltre non e' sempre a favore di sicurezza considerare il carico gia' moltiplicato per il suo
fattore maggiorativo  .

 Si consideri ad esempio la Fig.7.a: in generale a) in presenza di softening materiale non e' piu' possibile
ritenere convesso il dominio di rottura sezionale, per cui fra due situazioni (A) e (C) che vi appartengono
e' possibile trovare, oltre chiaramente alla (D), una situazione (B) che comporta la rottura. Tale
situazione non puo' che essere trovata facendo crescere monotonamente il carico.
 Infine, in presenza anche solo di effetti geometrici, al crescere del moltiplicatore del carico, non e' detto
che si percorra un tratto rettilineo nel piano che contiene il dominio di rottura. Ad esempio, in Fig.7.b., e'
rappresentato un percorso curvilineo (A)-(B)-(C)-(D), in cui un punto intermedio causa la rottura della
sezione. Si deve quindi considerare  crescente da zero a uno.
Fig.7. Verifica della sicurezza: (a) dominio non convesso; (b) percorso di carico curvilineo.

4. DEFINIZIONE DEGLI STATI LIMITE.
Le funzioni di stato limite che possono essere considerate in
maniera convenzionale sono diverse.
Stati limite di esercizio
Tensioni di compressione nel calcestruzzo troppo elevate possono
innescare fessurazioni longitudinali ed amplificare gli effetti della
viscosità. Eccessivi livelli tensionali nell'acciaio (normale o da
precompressione) conducono inoltre a quadri fessurativi non
accettabili. Criteri di durabilità suggeriscono quindi di limitare lo
stato tensionale nei materiali, ad esempio nella forma:
E1) ckcc f 
E2) sykss f 
E3) pykpp f 
Infine, a spostamenti q elevati si accompagna in genere una perdita
della funzionalità strutturale. Per tale motivo devono anch'essi
essere controllati:
E4) maxmin
qqq 

Stati limite ultimi
La crisi di una sezione trasversale coincide con il raggiungimento
dei seguenti limiti di deformazione nel calcestruzzo e/o nell'acciaio
(normale o da precompressione):
U1) cuc  
U2) sus  
U3) pup  
Comunque, come già precisato, la crisi di una singola sezione non
implica il collasso dell'intera struttura, che risulta invece associato
al raggiungimento di un livello di carico per il quale l'equilibrio non
può più essere verificato:
U4) RF 
Si possono comunque avere definizioni piu’ generali di stato limite,
come ad esempio quelle legate al collasso progressivo che possono
essere investigate in dettaglio, data la loro estrema importanza.

5. MODELLAZIONE DI STRUTTURE INTELAIATE PIANE
IN CAMPO NON LINEARE
La formulazione efficace e robusta del metodo di analisi in campo
non lineare e’ il prerequisito fondamentale per poter affrontare il
problema della capacita’ prestazionale di una struttura esistente.
Con formulazione robusta si intende un procedimento di analisi che
dia ampia garanzia di convergere ad una soluzione meccanicamente
corretta, se essa esiste, o che, altrimenti, sia in grado di cogliere
l'impossibilita' di ottenere uno stato equilibrato conforme
all’effettiva capacita' portante della struttura.

Per la costruzione di un modello realistico di una struttura
intelaiata, si considerano i seguenti aspetti:
I. La sezione del generico elemento ruota restando piana
(modello di Timoshenko) e perpendicolare all’asse deformato
dell’elemento (modello di Bernoulli-Navier) (Fig.4).
Tramite la sovrapposizione di piu’ elementi semplici di questo tipo,
si possono rappresentare situazioni generalizzate, in cui esistono
scorrimenti relativi, come nei casi in cui si modellano
esplicitamente fenomeni di aderenza (bond-slip, Fig.5) o si
vogliono considerare fenomeni di scorrimento in travi composte.


y
x
i
ui
vi
i j
uj
vjj
ne
x
l
y
x
y
0
x
Fig.4: (a) Sistema di riferimento locale e gradi di liberta'. (b)
Sezione corrente dell'elemento trave
Fig.5: Sovrapposizione di elementi semplici, per rappresentare
fenomeni di aderenza/scorrimento.

II. Il calcestruzzo presenta un comportamento asimmetrico a
trazione e a compressione: si considerano dei legami
costitutivi convenzionali, come ad esempio il modello di Saenz
mostrato in Fig. 6, che rappresentano mediamente il
comportamento del materiale. Per l'acciaio, normale e da
precompressione, si adottano i legami mostrati sempre in
Fig.6.
Attraverso questi legami puntuali, si riesce a cogliere il fattore che
maggiormente influisce sulla risposta risposta strutturale di
travi/telai in c.a./c.a.p., cioe’ la parzializzazione della sezione, qui
riprodotta in modo diffuso (smeared).
Non si coglie quindi lo sviluppo e la distribuzione delle singole
fessure, ma si rappresenta globalmente il comportamento
strutturale, in particolare la diminuzione della rigidezza.
Va ricordato come la valutazione corretta della distribuzione della
rigidezza all’interno della struttura, consenta anche una corretta
valutazione degli effetti indotti da coazioni impresse, quali
spostamenti imposti (cedimenti) o variazioni di temperatura, ma,
soprattutto, degli effetti della precompressione.

fct
c
c
fc
cu
c1
Ec0
arctg
ctu
ct1
fsy
s
-fsy
sy
su
sy
 su

s
fpy
p
fpy
py
pu
py
 pu
p



Fig.6. Legami costitutivi: (a) calcestruzzo; (b) acciaio normale; (c)
acciaio da precompressione.

 Al crescere del carico, per effetto della parzializzazione delle
sezioni, la parte reagente varia.
 Per conseguenza, la sezione effettivamente reagente non ha, in
generale, baricentro coincidente con quello della sezione iniziale.
In tal modo, per effetto di momenti statici non nulli, si crea un
accoppiamento fra il regime flessionale e quello assiale, che
usualmente si puo’ assumere, in assenza di effetti geometrici,
disaccoppiato nell’analisi del solido di De Saint Venant.
 Da cio’, assume importanza fondamentale la corretta
interpretazione e imposizione dei vincoli strutturali: da essi
dipende o meno lo sviluppo del cosiddetto effetto arco, che
rappresenta un importante meccanismo resistente delle travature
in cls..

l
h
b
2
l1
aa
Q Q
q
a2
a1
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
b
a
spostamento
carico
(c)
Fig.7: Parzializzazione delle sezioni con modellazioni ad elementi mono-
dimensionali per un carico concentrato in mezzeria di ogni campata:
influenza dei vincoli strutturali di estremità (a) carrello-cerniera; (b)
cerniera-cerniera; (c) diagrammi carico-spostamento corrispondenti: la curva
piu’ rigida e’ ottenuta con cerniere fisse a terra.

III. Non linearita’ geometrica (effetti geometrici): Con
formulazioni diverse si tengono in conto i cosiddetti effetti
geometrici P (a livello del singolo elemento) e P  
(sull’intera struttura): particolare attenzione ed accuratezza
richiede l'analisi di strutture strallate e con precompressione
esterna.
IV. Non linearita’ dei vincoli: una cura particolare va posta
nell’individuazione della configurazione iniziale della struttura
oggetto di indagine e delle sue condizioni al contorno.

Deformate al crescere del carico
1
2 3
4
Parzializzazione al collasso.
Diagramma dell'azione flettente
Diagrama dell'azione tagliante.
Diagramma dell'azione assiale.
Fig.9: Evoluzione del quadro statico al crescere di un carico uniformemente distribuito su meta' luce.

sezione 1 sezione 2
sezione 3 sezione 4
sezione 5 sezione 6
sezioe 7 sezione 8
Fig.10: Discretizzazione delle sezioni e rappresentazione nei domini di rottura dell'evoluzione delle azioni sezionali (M-N)
nelle sezioni dei vari elementi al crescere del carico.

6. CONSIDERAZIONI SULLA MODELLAZIONE DEL
SISTEMA STRUTTURALE
 La modellazione e’ quell’insieme di teorie, decisioni e aspetti
operativi che permettono di estrarre dalla realta’ informazioni
utili e coerenti del sistema che si studia.
 Queste informazioni sono organizzate nel modello del sistema
reale: tale modello, comporta, generalmente, una riduzione delle
informazioni proprie del sistema reale; esso riassume la realta’,
mantenendone gli aspetti che sono ritenuti utili ed eliminando gli
altri.

Vale la pena sottolineare che la modellazione e’:
 un processo decisionale, e quindi soggettivo ed inizialmente
arbitrario, guidato in misura uguale da conoscenze teoriche ed
operative;
 un processo riduttivo: la realta’ e’ comunque semplificata e
riassunta, attraverso un processo che, in termini matematici, puo’
essere descritto come la proiezione da uno spazio ad un
sottospazio;
 un processo utilitaristico: trova cioe’ la sua giustificazione in base
ai risultati che si ottengono dal modello.

 Introducendo una analogia dalla topografia, il modello e’ come la
mappa di un territorio: essa non contiene tutti i particolari del
territorio che rappresenta, ma risulta utile, ad esempio, per
conoscere la distanza fra due localita’.
 E’ chiaro quindi che, come esistono differenti sezioni
topografiche e punti di vista di uno stesso territorio, possono
presentarsi differenti modelli per lo stesso sistema, a seconda di
cosa e’ utile evidenziare.

Il processo complessivo della modellazione e’ rappresentato nel
seguente diagramma di flusso, dove sono usati i seguenti simboli
Simbolo Nome Significato

extract Estrarre le caratteristiche
merge Assorbire, fondere, riunire le
caratteristiche
process Processo
decision Processo decisionale
e per caratteristiche sono intese quelle del sistema reale oggetto di
studio.
In tal modo, nella parte superiore dello schema seguente e’ bene
evidenziato il procedimento di estrazione del modello dalla realta.
Nella parte inferiore dello schema, sono invece qualitativamente
evidenziate le sfere d’influenza di quelle conoscenze che possono
essere definite globali, o generali, relativamente al problema in
esame, e di quelle conoscenze che possono essere definite locali,
ovvero pertinenti ai diversi approcci operativi della modellazione.

modellazione
processo
utilitaristico
processo
decisionale
processo
riduttivo
modello
fisico
modello
concettuale
modello
interpretabile
(trasparente)
modello
fenomenologico
(opaco)
meccanicistico:
assemblato da
elementi semplici
procedurale:
insieme di regole
funzionale:
mappatura fra dati
iningresso e dati in
uscita
sistema
esperto
interpolazione
e
approssimazione
modello discretizzato
ad elementi finiti
conoscenzeglobali
conoscenzelocali

output
O (t)
decisioni
per l'analisi o la sintesi
del sistem a reale
environm ent
E (t)
input
I(t)
m odello del
sistem a reale
S (t)
param etri
P (t)
S (t) = struttura del m odello:
- analitica;
- num erica;
- algoritm ica.
P (t) = param etri che entrano
nella struttura del m odello.
contesto
- N orm ative;
- Q ualita';
- O ne off / m ass production;
- P rogettazione evolutiva o
innovativa.

p ro b lem a
stu rttu rale
d escrizio n e
d el d o m in io
co n d izio n i
al co n to rn o
m ateriale
g eo m etria
v in co li
carich i
g eo m etria
(elem en ti fin iti, ..)
leg am e co stitu tiv o
(o lo n o m o , an o lo n o m o , ..)
in teg razio n e
(p u n ti d i G au ss,
G au ss-L o b atto , ..)
tecn ica riso lu tiv a
- m eto to d i co n tin u azio n e
(secan te, tan g en te, ..)
d iscretizzazio n e
d el p ro b lem a
stru ttu rale
ro b u stezza d ell'
an alisi stru ttu rale:
- efficien za;
- o b iettiv ita';
- accu ratezza.

M O D E LLA ZIO N E S T R U T T U R A LE
AN ALISI
ST R U T T U R ALE
(VER IFIC A)
SIN T ESI
ST R U T T U R ALE
(PR O G ET T O E
O T T IM IZZAZIO N E)
D ET ER M IN IST IC A PAR AM ET R IC A PR O BABILIST IC A FU ZZY
N O N LIN EAR ELIM IT ELIN EAR E

Single realization of the structural
response
0
1
2 1
4
7
10
13
16
19
Generalized displacement
Generalized
restoring
force/load
Serie1

Realizations of the
structural response
0
1
2
3
1
4
7
10
13
16
19
Generalized
restoring
force/load
Serie1
Serie2
Serie3
Serie4
Serie5
Serie6
Serie7
Serie8
Serie9
Serie10

Mean structural response
0
1
2
3
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
Generalized
restoringforce
/load

Interval of the structural resposnse
0
1
2
3
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
Generalized
restoringforce
/load

input
I(t)
m odello del
sistem a reale
S (t)
param etri
P i(t)
output
O i(t)A N A L IS I
P A R A M E T R IC A
dato il m odello S (t),
si scelgono un certo num ero
di valori dei param etri P i(t),
per i quali dall'input I(t) si
ottiene l'output O i(t)

input
Ii(t)
m odello del
sistem a reale
S (t)
param etri
P i(t)
output
O i(t)
S IM U L A Z IO N E D I M C 2
dato il m odello S i(t),
si generano i param etri P i(t)
e l'input Ii(t),
per ottenere i diversi output
O i(t)

input
Ii(t)
m odello del
sistem a reale
Si(t)
param etri
Pi(t)
environm ent
Ei(t)
output
O i(t)SIM U LA ZIO N E D I M C 3
e' dato il m odello S(t) e si
sceglie lo scenario Ei(t),
si generano i param etri Pi(t)
e l'input Ii(t),
per ottenere gli output O i(t)
Scenario
Insiem e organizzato e coerente di
situazioni plausibili e significative,
poste alla base del processo di analisi

input
Ii(t)
m odello del
sistem a reale
S i(t)
param etri
P i(t)
environm ent
E i(t)
output
O i(t)S IM U L A Z IO N E D I M C 4
scelti di volta in volta il
m odello S i(t) e lo scenario
E i(t),
si generano i param etri P i(t)
e l'input Ii(t),
per ottenere gli output O i(t)

CRITERIO DI CONVERGENZA.
input
Ii(t)
modello del
sistema reale
S(t)
parametri
Pi(t)
environment
E(t)
output
Oi(t)
Errore
Modelli i-esimi
Intervallo di ottimalita’

IL MODELLO

LA SENSIBILITA’ DEL MODELLO

LA VALUTAZIONE PARAMETRICA DEL MODELLO

ESPLORAZIONE COMBINATORIA DEL MODELLO

LA PROPAGAZIONE DELL’INCERTEZZA ALL’INTERNO
DEL MODELLO

7. MODELLAZIONE PROBABILISTICA
 Una struttura è sicura se le azioni applicate S non superano la sua
resistenza R. A causa delle incertezze nella stima delle
caratteristiche geometriche e meccaniche, nella determinazione
dell’entità e della distribuzione dei carichi, nella definizione del
modello strutturale, ecc., le quantità R ed S devono considerarsi
come variabili aleatorie.
 Indicando con r ed s particolari realizzazioni di tali variabili, la
probabilità di crisi può essere valutata integrando la funzione di
densità di probabilità congiunta ),(, srf SR nel dominio D = { r, s |
rs }:
)(d)d,()( ,  D
SRF srsrfSRPP (1)
essendo  la funzione di distribuzione cumulata normale standard
e  un indice di affidabilità. Tale indice )(1
FP
 costituisce
una misura convenzionale di affidabilità generalmente più
conveniente di )1( FP .

 In alternativa, il problema può essere formulato in termini di
fattore di sicurezza SR/ .
 In questo caso la probabilità di crisi risulta dall’integrazione della
funzione di densità di probabilità )(f nel dominio D =
{  |  1}:
)(d)()1(    
D
F fPP (2)
 Questa formulazione appare più utile in quanto, considerando i
carichi permanenti ed eventualmente il sistema di
precompressione come proprietà del sistema strutturale, a livello
di carico il fattore di sicurezza  può essere visto come il
moltiplicatore dei carichi variabili associato allo stato limite .1
 In pratica la funzione )(f non è nota e informazioni risultano in
genere disponibili solo per un insieme di n variabili aleatorie
T
nXXXX ]...[ 21 che definiscono il problema strutturale
(caratteristiche geometriche e meccaniche del sistema, carichi,
sistema di precompressione, ecc.).

co m p o rtam en to
stru ttu rale
stati lim ite
P Q
1 

 Comunque, essendo )(X , qualora risulti possibile definire una
funzione di stato limite 0)( Xg in modo che la crisi risulti ad
esempio rappresentata dalla condizione 0)( Xg , la probabilità FP
può valutarsi integrando la funzione di densità di probabilità
congiunta )(xfX nel dominio D = { x | 0)( xg }:
)(d)(  D
XF xxfP (3)
 Sfortunatamente, nella progettazione strutturale le funzioni di
stato limite sono formulate in termini di m variabili aleatorie
T
mYYYY ]...[ 21 che descrivono la risposta strutturale (tensioni,
deformazioni, ecc.). Pertanto, dato che in regime non lineare la
relazione )(XYY  risulta in genere definita soltanto in forma
implicita, il precedente integrale non può essere valutato
direttamente.

 Le difficoltà insite in tale approccio possono essere superate
mediante un procedimento di simulazione tipo Monte Carlo, nel
quale ripetute analisi non lineari vengono eseguite con
realizzazioni casuali delle variabili X in accordo con le loro ni ,...,1
funzioni di densità di probabilità marginali )( iX xf i
.
 Sulla base dei risultati associati alle singole realizzazioni, per ogni
assegnato stato limite 0)( Yh si costruisce la funzione )(f e si
valuta il relativo indice di affidabilità .
 La fase di stima dei parametri della funzione )(f risulta in genere
alquanto delicata per i seguenti motivi:
1.in problemi di affidabilità strutturale si devono stimare probabilità
di rovina estremamente basse, dell’ordine di 59
1010 
 , risultanti
dall’integrale sulle code delle relative distribuzioni di densità: si
deve quindi valutare l’accuratezza di numeri estremamente vicini
allo zero;
2.al fine di limitare l'onere computazionale, il numero di
simulazioni su cui numericamente si stima la probabilità di
rovina deve essere basso: generalmente si opera quindi su un
campione incompleto, le cui irregolarità risultano più evidenti
proprio nelle code dove si hanno pochi dati.

 Tenendo presenti tali aspetti, oltre alla natura convenzionale della
stima della probabilita’ di crisi, si può procedere alla stima
dell'indice per via puramente numerica:
  


N
i
i
N
i
i
NN 1
2
1
1
,
1








Definizione delle imperfezioni strutturali nella modellazione
probabilistica
Occorre definire come rendere imperfetta la struttura.
Va subito detto che a priori non si conoscono quelle imperfezioni
che portano a convergere sui rami del percorso di equilibrio che
sono piu’ interessanti dal punto di vista ingegneristico, cioe’ quelli
che presentano una risposta strutturale minore.
Si deve quindi procedere per tentativi, eseguendo le analisi con
perturbazioni differenti, in modo da essere sicuri di aver perturbato
nella maniera cattiva, ovvero nella maniera che esalta le possibilita’
di collasso della struttura.
Appare quindi evidente la completezza del Metodo di Monte Carlo
nella valutazione della risposta strutturale.

Si possono considerare nello specifico tre possibilita’:
 introdurre delle imperfezioni di carico: detta F la grandezza
rappresentativa del carico applicato sulla struttura, si dispongono
delle componenti di carico in direzione qualsiasi e con modulo
pari a 5%F-0.1%F;
 introdurre delle imperfezioni geometriche nella struttura: detta G
la dimensione massima rappresentativa della struttura, si possono
perturbare le coordinate dei nodi della struttura spostandoli
arbitrariamente fino a 5%G-0.1G% dalla posizione originale;
 introdurre delle imperfezioni meccaniche: anche qui si possono
introdurre delle variazioni di 5%-0.1% sulle caratteristiche di
rigidezza e resistenza dei materiali, in modo da innescare
localizzazioni, ecc..

Come distribuire realisticamente le perturbazioni sulla struttura
conduce all’analisi strutturale stocastica.
A livello minimo, e’ sufficiente considerare distribuzioni uniformi
del tipo:
v v n vcorrente no   
dove il valore corrente vcorrente della grandezza che si perturba e’
dato dal valore nominale vno piu’ la massima variazione ammessa
v moltiplicata per un numero casuale n compreso fra -1 e +1.
Dal punto di vista numerico, perturbazioni piu’ rilevanti portano ad
esaltare rapidamente altri meccanismi come l’effetto P   .

Definizione delle variabili nella modellazione probabilistica
Nel seguito si fa riferimento essenzialmente all'analisi di affidabilità
di strutture a telaio in C.A. e C.A.P., introducendo le variabili
aleatorie X che definiscono il problema strutturale e i relativi
modelli probabilistici adottati nel processo di simulazione: tranne i
casi in cui specifiche correlazioni vengono indicate, le variabili X
sono considerate statisticamente indipendenti.
Tali variabili sono:
 le resistenze dei materiali cf , syf , pyf , sono considerate variabili
aleatorie con distribuzione lognormale definita dai parametri in
Tab. 6. Nel caso in cui i valori nominali non siano disponibili, i
valori medi possono essere stimati usando i valori caratteristici
associati al frattile al 5%.
 i parametri geometrici:
- la posizione (x, y) dei nodi degli elementi strutturali;
- le dimensioni lineari d delle loro sezioni trasversali;
- le aree 1sA , 1pA , di ogni barra d'armatura, rispettivamente ordinaria
e precompressa;
- le relative profondità sy , py .

Per tutte queste variabili si assume una distribuzione di tipo
normale definita dai parametri elencati in Tab. 6.
 Le proprietà statistiche della forza di precompressione P
dipendono in genere dal problema specifico che si considera, in
quanto il suo valore dipende dalla variabilità di numerosi
parametri. Nell'applicazione che verrà presentata nel seguito, a
causa dell'assenza di informazioni circa l'effettivo livello di
precompressione nella fase di carico considerata, la
precompressione verrà considera come variabile aleatoria con
distribuzione uniforme fra i valori nommin P e nommax P . I coefficienti min
e max vengono definiti in funzione del livello di incertezza nella
quantificazione di P rispetto al suo valore nominale nomP , il quale
deve naturalmente tenere conto di tutte le perdite, istantanee e
differite.
 I carichi permanenti G, ovvero il peso proprio degli elementi
strutturali e non strutturali, e i carichi variabili Q si considerano
come variabili aleatorie con distribuzione normale.

Tralasciando per semplicità la distinzione di natura probabilistica
fra elementi gettati in opera e prefabbricati, si possono ad esempio
assumere i parametri e le distribuzioni della Tabella 6.
Tab. 6. Parametri del modello probabilistico (valore medio  e
scarto quadratico ).
Variabile Tipo  
cf MPa LN nomc,f 5
syf MPa LN nom,syf 30
pyf MPa LN nom,pyf 100
(x, y)mm N nom),( yx 50
dmm N nomd 5
y mm N nomy 5
1A mm2
 N nom1A 0.025 nom1A
G N nomG 0.10 nomG
Q N nomQ 0.40 nomQ

GENERAZIONE DI NUMERI ALATORI CON DEFINITE PROPRIETA’ STATISTICHE: parte I.
VARIABILE CASUALE R CON DISTRIBUZIONE
UNIFORME IN [0,1].
C..................linearkongruenzgeneratoren
DOUBLE PRECISION FUNCTION RANDO()
IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z)
COMMON /RAN/ U,V,RN
PI=3.141592654
A=9821.
B=.211322
ALFAU=(A*U+B)
ALFAV=(A*V+B)
UINT=IDINT(ALFAU)
VINT=IDINT(ALFAV)
U=ALFAU-UINT
V=ALFAV-VINT
RN=DSQRT(-2.*DLOG(U))*DCOS(2.*PI*V)
RETURN
END
N.B.: U, V distribuiti uniformemente, con
semi pari a U=0.6,V=0.4; RN normale standard.
Variabile casuale z con distribuzione normale (gaussiana)
standard: valore medio 0, deviazione standard 1.
  








2
2
1
exp
2
1
)( zzf

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
r
f(r)
uniforme
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
z
f(z)
normale standard

Variabile casuale x con distribuzione normale (gaussiana): valore
medio x , deviazione standard x .













 



2
2
1
exp
2
1
)(
x
x
x
x
xf



N.B.: trasformazione fra la variabile x e la variabile z:
x
x
xx
x
zzx





-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
f(x)
normale
Variabile positiva casuale y con distribuzione lognormale
la variabile ausiliaria  yw ln e’ distribuita normalmente: valore
medio w e deviazione standard w .
 













 



2
ln
2
1
exp
2
1
)(
w
w
w
y
y
yf



N.B.: nota w, si ottiene y dalla trasformazione  wy exp
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
y
f(y)
lognormale

Str
o N
GER
www.stronger2012.com
GENERAZIONE DI NUMERI ALATORI CON DEFINITE
PROPRIETA’ STATISTICHE: parte II.
 Generare la variabile casuale t definita statisticamente dalla distribuzione
f(t) e dalla cumulata F(t), a partire dalla variabile r uniformemente
distribuita in [0-1].
 Graficamente si opera come segue:
f(t)
t
r
f(r)
F(t)
t = F-1
(r)
t
 Numericamente:
1. Si genera un numero casuale r in [0,1];
2. Si risolve l’equazione r = F(t), utilizzando
ad esempio il metodo di bisezione;
3. La soluzione t e’ il numero aleatorio con le
date caratteristiche statistiche cercato.

Str
o N
GER
Str
o N
GER

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