3.
Tabla 2 - Función de distribución
p( ) P(X )
x x
4. 1
1
( )
k
i
i
p x
1
1
( )
k
i
i
p x
( ) ( )
F a P X a
( ) ( )
i
i
x a
F a p x
𝑃(𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = ∑ 𝑝(𝑥𝑖)
𝑎<𝑥≤𝑏
F(x ) =1
k
1 0
( )
F x
0 y entero.
h
5. 1
0
si el cliente compra una notebook
si el cliente compra una computadora de escritorio
Y
0,80 si x=0
( ) 0,20 si x= 1
0 si x 0 o x 1
p x
0 04 0 1 2 3 4 5
0
, con , , , ,
( )
otro valor de x
K x x y
p x
( )
p x
1
1
( )
k
i
i
p x
0 1 2 3 4 5 1
0 04 0 08 0 12 0 16 0 20 1
6 0 60 1
1 0 60
6
0 06667
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
,
,
,
p p p p p p
K K K K K K
K
K
K
6.
2 4
2 4 2 3 4
2 4 0 147 0 187 0 227 0 56
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) , , , ,
i
i
x
P X p x p p p
P X
2 4 4 1
2 4 0 735 0 174
2 4 0 56
( ) ( ) ( )
( ) , ,
( ) ,
P X F F
P X
P X
3 4 4 5 0 227 0 267 0 49
4 1 3 1 0 508
4 0 49
( ) ( ) ( ) ( ) , , ,
( ) ( ) ,
( ) ,
P X P X p p
P X F
P X
10. 146,63 597,98 1049,33 1500,68 1952,03 2403,38
Gastos
0,00
0,07
0,14
0,21
0,28
frecuencia
relativa
( )
f x
0
( )
f x para todo x
1
( )
f x dx
( , )
205,13
740,07
1275,00
1809,93
2344,87
Gastos
0,00
0,04
0,08
0,13
0,17
frecuencia
relativa
104,83
494,89
884,94
1275,00
1665,06
2055,11
2445,17
Gastos
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
frecuencia
relativa
11. ( ) ( )
b
a
P a X b f x dx
P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)
500
250
250 500
( ) ( )
P X f x dx
La función de distribución es la que proporciona la probabilidad acu-
mulada para los diferentes valores de la variable. Para las variables continuas,
será el área bajo la curva de la función de densidad a la izquierda de un valor
particular x, o sea acumulada desde el menor valor hasta un valor determina-
do de la variable. Simbólicamente:
'
' '
( ) ( ) ( )
x
F x P X x f x dx
12. ( )
( ) '( )
dF x
f x F x
dx
( )
F x ( )
f x
( )
F 1
( )
f x dx
1
lim ( )
x
F x
0
lim ( )
x
F x
0
h
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
b a
P a X b F b F a
P a X b f x dx f x dx
13. 250 500 500 250
( ) ( ) ( )
P X F F
𝑓(𝑦) = {
1
18
𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑦 < 6
0 ∀ 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦
( )
f y
0
( )
f y
6
0
1
( )
f y dy
6
6
2
0
0
2
1 1
18 36
1
6
36
1
ydy y
( )
f y
2
0
1 1
18 36
( )
u
F u ydy u
146,63 710,81 1275,00 1839,19 2403,38
Gastos
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
frec.
rel.
acumulada
15. En la Figura que sigue se muestra la zona sombreada correspondiente a
la probabilidad calculada anteriormente.
𝑓(𝑥) = {𝑘(1 − 𝑥2 ) 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
0 ∀ 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥
1
0
1
( )
f x dx
1
2
0
1 1
( )
k x dx
1 1
2 2
0 0
1
3
0
3
1 1
3
1
1
3
( ) ( )
= ( )
= ( )
k x dx k x dx
x
k x
k
3
1
1 1
3
2
1
3
3
2
( )
( )
k
k
k
f(Y))
f(Y)
Y
Y
Y
16. 𝑓(𝑥) = {
3
2
(1 − 𝑥2 ) 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
0 ∀ 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥
0 0
0 1
1 1
4
( ) x
x
F x x
x
3
4
'( )
F x x
𝑓(𝑥) = { 4𝑥3
𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
0 ∀ 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥
4
0 40 1 0 40
1 0 40
0 974
( , ) ( , )
( , )
,
P x F
0
4
0
4
0
0
0 50
0 50
0 50
0 841
( ) ,
,
,
,
F x
x
x
x
𝑓(𝑦) = {
3
8
𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑦 ≤ 2
0 ∀ 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦
17. 0
( )
f y
2
0
1
( )
f y dy
2 2
0 0
2
2
0
3
8
3
8 2
6
8
( )
f y dy ydy
y
8 3
6 8
1
2
( ) .
f y y
y
𝑓(𝑦) = {
1
2
𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑦 ≤ 2
0 ∀ 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦
𝑓(𝑥) = {
1
2
𝑝𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑥 ≤ 3
0 ∀ 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥
1
0
)
( 2
kx
x
F
x 0
0 x 3
x 3
25. 𝑓(𝑥) = {
𝑥
16
𝑝𝑎𝑟𝑎 2 ≤ 𝑥 ≤ 6
0 ∀ 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥
6
6 3
2 2
4 333
16 48
,
x x
E X x dx
0 20
0 20
0 20 4 333 0 8667
( , )
, ( )
, , ,
E Y E x
E x
26. 1 1 10
1 1 10
1 4 7667 5 7667
( , )
, ( )
, ,
E W E x
E x
2
2
( ) X
V X E X
27. 2
1
( ) ( )
k
i i
i
V X x p x
2
( ) ( )
V X x f x dx
μ
2
2
( )
V X E X E X
( ) ( ) X
DE X V X
X
P(X)
28. 2
2
2
3 1 5
0 75
( )
( , )
,
V X E x E x
𝑓(𝑦) = {
1
18
𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑦 < 6
0 ∀ 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦
6
2 2
0
6
2 2
0
6
3 2 2
0
1
18
1
2
18
1 1 1
18 9 18
( )
( )
( )
y ydy
y y ydy
y y y dy
6 6 6
4 3 2
2
0 0 0
4 3 2
2
1 1 1
18 4 9 3 18 2
1 6 1 6 1 6
4 4
18 4 9 3 18 2
18 32 16
2
y y y
2
E Y
6
2 2
0
6
3
0
6
4
0
4
1
18
1
18
1
18 4
1 6
18 4
18
E Y y ydy
y dy
y
29. 2
2 2
18 16
2
( )
y
V Y E Y E Y
2
1 4142
( )
,
y
DS Y
( )
( )
x
CV X
E X
30. V X 0
2
V c E c c
= 0
2
V c.X c .V X
V c X V X
31. 6
6 4
2 2
2 2
2
2
20
16 64
20 4 33
1 22
1 22 1 1054
( )
( ) ,
( ) , %
( ) , , %
x x
E X x dx
V X
V X
DS X
1 1054
0 2551
4 333
( ) ,
( ) ,
( ) ,
DS X
CV X
E X
2
2
0 20
0 20
0 04 1 22 0 0488
0 0488 0 2211
0 2211
0 2551
0 8667
( ) ( , )
( ) ( , ) ( )
( ) , , , %
( ) , , %
( ) ,
( ) ,
( ) ,
V y V x
V y V x
V y
DS Y
DS Y
CV Y
E Y
2
1 1 10
1 10
1 21 1 22 1 4762
1 4762 1 215
1 215
0 2107
5 7667
( ) ( , )
( ) ( , ) ( )
( ) , , ,
( ) , ,
( ) ,
( ) ,
( ) ,
V W V x
V W V x
V W
DS W
DS W
CV W
E W
32. 𝐸(𝑍) =
1
𝜎
[𝐸(𝑥) − 𝜇] =
1
𝜎
(𝜇 − 𝜇) = 0
𝑉(𝑍) =
1
𝜎2
[𝑉(𝑥) − 0] =
1
𝜎2
(𝜎2
− 0) = 1
x
X
Z . X 10
2
X
, Z.
33. Dada una variable aleatoria X, cualquiera sea su distribución de probabi-
lidad, con Esperanza ( )
E x y Varianza ( )
V x , puede afirmarse que la proba-
bilidad de que se presenten valores de la variable que se alejen de su Espe-
ranza en más de una distancia d , no supera a
𝑉(𝑥)
𝑑2 .
2
( )
Pr ( )
V x
X E x d
d
(1)
De otra manera, también se puede decir que la probabilidad que se presen-
ten valores de la variable que se alejen de su Esperanza en menos de una
distancia d , es mayor a 1 −
𝑉(𝑥)
𝑑2
2
1
( )
Pr ( )
V x
X E x d
d
(2)
, ,
E X d E X d
,
E X d E X d
E(X)-d E(X) E(X)+d
d
d
34. 1 2
2
2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
R R
V X x f x dx
V X x f x dx x f x dx
1
2
( ) > ( )
R
V X x f x dx
x
1
1
2
2
2
2
( ) > ( )
( ) > ( )
( )
( ) > Pr - > Pr - > <
R
R
V X d f x dx
V X d f x dx
V X
V X d X d X d
d
2
49
100 10 0 49
100
( )
Pr
Pr ,
V x
X d
d
X
2
1
49
100 20 1 0 88
400
( )
Pr
Pr ,
V x
X d
d
X
d
35. sólo se requiere conocer
d
d k
2
2 2
2
2
2 2
2
1
1
1
1
Pr
Pr
X k
k
k
X k
k
k
4 03
1 35
,
,