1) O documento apresenta conceitos básicos de matemática elementar relacionados a números inteiros, frações, decimais e medidas de ângulos.
2) Foi elaborado em parceria entre o SENAI e a CST para o Programa de Certificação de Pessoal de Caldeiraria.
3) Apresenta tópicos como números naturais, operações com números inteiros, frações, decimais, medidas de ângulos e geometria plana.
3. Espírito Santo
Sumário
Números Inteiros....................................................................04
• Números Naturais..............................................................04
• Operações Fundamentais com
Números Naturais..............................................................04
• Números Naturais - Exercícios ..........................................06
Frações..................................................................................10
• Números Racionais ...........................................................10
• Números Mistos.................................................................14
• Extração de Inteiros...........................................................14
• Transformação de Números Mistos
em Frações Impróprias......................................................15
• Simplificação de Frações...................................................16
• Redução de Frações
ao mesmo Denominador ...................................................16
• Comparação de Frações ...................................................18
• Frações - Exercícios..........................................................22
Números Decimais.................................................................33
• Conceito e Leitura..............................................................33
• Operações com Números Decimais ..................................35
• Números Decimais - Exercícios.........................................38
Números Inteiros Relativos ....................................................43
• Números Opostos ou Simétricos....................................43
• Operações com Números Inteiros..................................44
• Expressões com Números Inteiros.................................46
•• Exercícios com Números Inteiros...................................48
Medidas de Ângulos...............................................................49
• Operações com Medidas de Ângulos............................50
• Exercícios - Medidas de Ângulos..... .................................51
Triângulos...............................................................................61
• Classificações dos Triângulos..........................................62
• Elementos Notáveis de um Triângulo............................66
• Teorema.............................................................................68
• Exercícios - Triângulos.......................................................69
Quadrilátero...........................................................................72
• Paralelogramo...................................................................76
• Trapézio.............................................................................81
• Polígonos Convexos.........................................................84
Nomes dos Polígonos...........................................................85
• Circunferência....................................................................87
4. Espírito Santo
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Números Inteiros
Números Naturais
Desde os tempos mais remotos, o homem sentiu a necessidade
de verificar quantos elementos figuravam em um conjunto.
Antes que soubessem contar, os pastores verificavam se alguma
ovelha de seus rebanhos se havia extraviado, fazendo
corresponder a cada uma delas uma pedrinha que colocavam na
bolsa. Na volta do rebanho, a última ovelha devia corresponder à
última pedrinha. Tinham assim, a noção dos números naturais,
embora não lhes dessem nomes nem os representassem por
símbolos.
Nos dias de hoje, em lugar das pedrinhas, utilizam-se, em todo o
mundo, os símbolos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
O conjunto dos números naturais é representado pela letra IN e
escreve-se:
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
Operações Fundamentais Com Números Naturais
Adição
É a operação que permite determinar o número de elementos da
união de dois ou mais conjuntos:
1.004
577 → parcelas
12
+ 4
1.597 → total ou soma
Subtração
É a operação que permite determinar a diferença entre dois
números naturais:
837 → Minuendo
- 158 → Subtraendo
679 → Resto ou diferença
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CST
4 Companhia Siderúrgica de Tubarão
5. Espírito Santo
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Multiplicação
A multiplicação é muitas vezes definida como uma adição de
parcelas iguais:
Exemplo: 2 + 2 + 2 = 3 × 2 (três parcelas iguais a 2)
381 → Multiplicando
Fatores
x 23 → Multiplicador
1143
+ 762_
8763 → Produto
Atenção:
Qualquer número natural multiplicado por zero é zero.
Exemplo: 4 × 0 = 0
Divisão
É a operação que permite determinar o quociente entre dois
números.
A divisão é a operação inversa da multiplicação.
Exemplo: 18 × 4 = 72 → 72 ÷ 4 = 18
Termos da Divisão:
Dividendo → 4051 8 → Divisor
- 40__ 506 → Quociente
051
- 48
03 → Resto
Atenção:
Quando o dividendo é múltiplo do divisor, dizemos que a divisão é
exata.
Exemplo: 16 ÷ 8 = 2
Quando o dividendo não é múltiplo do divisor, diz-se que a divisão
é aproximada ou inexata.
Exemplo: 16 ÷5 = 3 (resto = 1)
Numa divisão, em números naturais, o divisor tem de ser sempre
diferente de zero, isto é, não existe divisão por zero no conjunto
de números naturais (IN).
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SENAI
Departamwennto Regional do Espírito Santo 5
6. Espírito Santo
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Números Naturais - Exercícios
1) Complete as sucessões numéricas seguintes:
Exemplo: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35
a) 7, 14, 21, ......, ......, ......, ......
b) 9, 18, 27, ......, ......, ......, ......
c) 11, 22, 33, ......, ......, ......, ......
d) 12, 24, 36, ......, ......, ......, ......
e) 15, 30, 45, ......, ......, ......, ......
2) Resolva:
a) 4 + 577 + 12 + 1.004 =
b) 285 + 122 + 43 + 8 + 7.305 =
c) 7.815 + 427 + 2.368 + 864 =
3) Escreva as denominações dos termos e do resultado da
adição:
623 ...................................
+ 321 ...................................
944 ...................................
4) Complete as sucessões numéricas seguintes:
Exemplo: 50, 46, 42, 38, 34, 30, 26, 22...
a) 50, 45, ......, ......, ......, ......, ......
b) 50, 44, ......, ......, ......, ......, ......
c) 80, 72, ......, ......, ......, ......, ......
d) 108, 96, ......, ......, ......, ......, ......
5) Efetue as subtrações:
a) 196 - 74 =
b) 937 - 89 =
c) 4.800 - 2.934 =
d) 100.302 - 97.574 =
e) 1.301.002 - 875.037 =
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CST
6 Compaanhia Siderúrgica de Tubarão
7. Espírito Santo
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6) Em uma subtração, o subtraendo é 165 e o resto é 428.
Qual é o minuendo?
7) Qual é o número que somado a 647 é igual a 1.206?
8) De 94.278 subtraia 62.574. Tire a prova.
9) Efetue mentalmente:
a) 7 × 1 =
b) 810 × 1 =
c) 8 × 10 =
d) 72 × 10 =
e) 1.705 × 10 =
f) 9 × 100 =
g) 81 × 100 =
h) 365 × 100 =
i) 5 × 1000 =
j) 12 × 1000 =
k) 170 × 100 =
l) 3.800 × 1000 =
10) Complete:
a) Um produto é sempre uma adição de ...........................
iguais.
b) O produto de vários fatores é zero, quando pelo menos
um de seus fatores for ...............................
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SENAI
Departamento Regional do Espírito santo 7
8. Espírito Santo
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11) Complete:
a) 4 × 5 × 0 =
b) 6 × 0 × 9 =
c) 0 × 5 × 8 =
d) 1 × ...... × 8 = 0
e) 7 × 9 ×...... = 0
f) ......× 4 × 8 = 0
12) Escreva os termos da divisão:
............................... 107 5 ............................
07 21 ............................
...................... 2
13) Efetue:
a) 810 ÷ 4 =
b) 408 ÷ 4 =
c) 560 ÷ 8 =
d) 12.018 ÷ 6 =
14) O número 9 está contido em 3.663 ............................ vezes.
15) Arme, efetue e verifique a exatidão das operações através de
uma prova.
a) 8.750 + 3 + 1.046 =
b) 37.600 - 28.935 =
c) 2.091 × 45 =
d) 9.327 × 814 =
e) 3.852 × 208 =
f) 68.704 ÷ 74 =
g) 1.419 ÷ 87 =
h) 4.056 ÷ 68 =
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CST
8 Companhia Siderúrgica de Tubarão
9. Espírito Santo
___________________________________________________________________________________________________
16) Resolva as situações problemas:
a) Um reservatório contém 400 litros de água e efetuamos,
sucessivamente, as seguintes operações:
• retiramos 70 litros
• colocamos 38 litros
• retiramos 193 litros
• colocamos 101 litros
• colocamos 18 litros
Qual a quantidade de água que ficou no reservatório?
b) Em uma escola estudam 1.920 alunos distribuídos
igualmente em 3 períodos: manhã, tarde e noite.
Pergunta-se:
• Quantos alunos estudam em cada período?
• Quantos alunos estudam em cada sala, por período, se
há 16 salas de aula?
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 9
10. Espírito Santo
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Frações
Números Racionais
Consideremos a operação 4 ÷ 5 = ? onde o dividendo não é
múltiplo do divisor. Vemos que não é possível determinar o
quociente dessa divisão no conjunto dos números naturais porque
não há nenhum número que multiplicando por 5 seja igual a 4.
A partir dessa dificuldade, o homem sentiu a necessidade de criar
um outro conjunto que permite efetuar a operação de divisão,
quando o dividendo não fosse múltiplo do divisor. Criou-se, então,
o conjunto dos Números Racionais.
Número racional é todo aquele que é escrito na forma
a
b
onde a
e b são números inteiros e b é diferente de zero.
São exemplos de números racionais:
3
5
1
2
4
3
10
5
12
24
36
18
, , , , ,
A seguir, estudaremos o conjunto dos números racionais
fracionários, também chamados de frações.
Conceito de Fração:
Se dividirmos uma unidade em partes iguais e tomarmos algumas
dessas partes, poderemos representar essa operação por uma
fração.
Veja:
A figura foi dividida em três partes iguais. Tomamos duas partes.
Representamos, então, assim: 2
3
E lemos: dois terços.
O número que fica embaixo e indica em quantas partes o inteiro
foi dividido, chama-se DENOMINADOR.
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CST
10 Companhia Siderúrgica de Tubarão
11. Espírito Santo
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O número que fica sobre o traço e indica quantas partes iguais
foram consideradas do inteiro, chama-se NUMERADOR.
Leitura e Classificações das Frações
Numa fração, lê-se, em primeiro lugar, o numerador e, em
seguida, o denominador.
a) Quando o denominador é um número natural entre 2 e 9, a
sua leitura é feita do seguinte modo:
1
2
- um meio 1
3
- um terço 1
4
- um quarto
1
5
- um quinto 1
6
- um sexto 1
7
- um sétimo
1
8
- um oitavo 1
9
- um nono
b) Quando o denominador é 10, 100 ou 1000, a sua leitura é
feita usando-se as palavras décimo(s), centésimo(s) ou
milésimo(s).
1
10
- um décimo 7
100
- sete centésimos
20
1000
- vinte milésimos
c) Quando o denominador é maior que 10 (e não é potência de
10), lê-se o número acompanhado da palavra avos.
1
15
- um quinze avos 3
29
- três vinte e nove avos
13
85
- treze oitenta e cinco avos
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 11
12. Espírito Santo
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Frações Ordinárias e Frações Decimais
As frações cujos denominadores são os números 10, 100, 1000
(potências de 10) são chamadas Frações Decimais. As outras
são chamadas Frações Ordinárias.
Exemplos:
3
10
5
100
23
1000
, , são frações decimais
1
8
10
5
17
41
, , são frações ordinárias
Frações Próprias
Observe as frações abaixo:
1
2
2
3
Essas frações são menores do que a unidade. São chamadas
Frações Próprias.
Nas frações próprias, o numerador é menor do que o
denominador.
Frações Impróprias
Observe as frações abaixo:
7
4
4
3
Essas frações são maiores que o inteiro, portanto são Frações
Impróprias.
Nas frações impróprias, o numerador é igual ou maior que o
denominador.
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CST
12 Companhia Siderúrgica de Tubarão
13. Espírito Santo
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Frações Aparentes
Observe:
12/6 ou 2 inteiros
3/3 ou 1 inteiro
As frações acima representam inteiros. Elas são chamadas
Frações Aparentes.
Nas frações aparentes, o numerador é sempre múltiplo do
denominador, isto é, o numerador é divisível pelo denominador.
Uma fração aparente é também imprópria, mas nem toda fração
imprópria é aparente.
Frações Equivalentes/Classe de Equivalência.
Observe as figuras:
2
3
4
6
6
9
As frações 2
3
, e 6
4
6
9
representam o mesmo valor, porém
seus termos são números diferentes. Estas frações são
denominadas Frações Equivalentes.
Para obtermos uma fração equivalente a outra, basta multiplicar
ou dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número
(diferente de zero).
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 13
14. Espírito Santo
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Exemplo:
2
5
é igual a , pois 2 5
10
25
x
x
5 5
10
25
=
18
21
é igual a , pois 18 3
6
7
÷
÷
21 3
6
7
=
O conjunto de frações equivalentes a uma certa fração chama-se
CLASSE DE EQUIVALÊNCIA.
Exemplo:
Classe de equivalência de
1
1
2
3
2
2
4
6
4
8
5
10
6
12
=
, , , , , Κ
Números Mistos
São os números mistos formados por uma parte inteira e uma
fração própria.
1 inteiro 1
2
Representamos assim: 1 1
2
E lemos: um inteiro e um
meio
Extração De Inteiros
É o processo de transformação de fração imprópria em número
misto.
Observe a figura:
Podemos representar essa fração de duas maneiras:
1 1
4
5
4
ou
___________________________________________________________________________________________________
CST
14 Companhia Siderúrgica de Tubarão
15. Espírito Santo
___________________________________________________________________________________________________
Para transformar 5
4
em número misto, ou seja, para verificar
quantas vezes 4
4
cabe em 5
4
, procede-se assim:
5 4 1 1
1 1 4
É só dividir o numerador pelo denominador. O quociente será a
parte inteira. O resto será o numerador e conserva-se o mesmo
denominador.
Transformação de Números Mistos em Frações
Impróprias.
Observe o exemplo e a ilustração:
Transformar 11
4
em fração imprópria.
Solução: Consiste em transformar 1 em quartos e juntar com o
outro quarto.
1 1
4
4 + 1 = 5 1 + 1
4 4 4 4
1 1 ou 5
4 4
Resumidamente, procede-se assim:
Multiplica-se a parte inteira pelo denominador e adiciona-se o
numerador ao produto obtido, mantendo-se o denominador.
1 1
4
= ( 1 × 4 + 1
) =
4
5
4
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 15
16. Espírito Santo
___________________________________________________________________________________________________
Simplificação de Frações
Simplificar uma fração significa transforma-la numa fração
equivalente com os termos respectivamente menores.
Para isso, divide-se o numerador e o denominador por um mesmo
número natural
(diferente de 0 e de 1).
Exemplo:
Simplificar 8
16
8 2
16 2
4 2
8 2
2 2
4 2
1
2
÷
÷
= ÷
÷
= ÷
÷
=
Quando uma fração não pode mais ser simplificada, diz-se que
ela é IRREDUTÍVEL ou que está na sua forma mais simples.
Nesse caso, o numerador e o denominador são primos entre si.
Redução de Frações ao mesmo Denominador
Reduzir duas ou mais frações ao mesmo denominador significa
obter frações equivalentes às apresentadas e que tenham todas o
mesmo número para denominador.
Exemplo:
As frações 1
2
, 2
3
e 3
4
são equivalentes a 6
12
, 8
12
e 9
12
respectivamente.
Para reduzirmos duas ou mais frações ao mesmo denominador,
seguimos os seguintes passos:
1º - Calcula-se o m.m.c. dos denominadores das frações que será
o menor denominador comum.
2º - Divide-se o m.m.c. encontrado pelos denominadores das
frações dadas.
3º - Multiplica-se o quociente encontrado em cada divisão pelo
numerador da respectiva fração. O produto encontrado é o
novo numerador.
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CST
16 Companhia Siderúrgica de Tubarão
18. Espírito Santo
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Comparação de Frações
Comparar duas frações significa estabelecer uma relação de
igualdade ou desigualdade entre elas.
Frações com o mesmo Denominador
Observe:
5
8
3
8
1
8
Percebe-se que : 5
8 3
8 1
8
Então:
Se duas ou mais frações tem o mesmo denominador, a maior é a
que tem maior numerador.
Frações com o Mesmo Numerador
Observe:
3
16
3
8
3
4
Percebemos que: 3
16 3
8 3
4
Então:
Se duas ou mais frações tem o mesmo numerador, a maior é a
que tem menor denominador.
___________________________________________________________________________________________________
CST
18 Companhia Siderúrgica de Tubarão
19. Espírito Santo
___________________________________________________________________________________________________
Frações com os Numeradores e Denominadores Diferentes
Observe:
2
3
1
2
3
4
Para fazer a comparação de frações com numeradores e
denominadores diferentes,
reduzem-se as frações ao mesmo denominador.
Exemplo:
2 = 8 3, 2, 4 2
3 12 3, 1, 2 2
3, 1, 1 3
1 = 6 1, 1, 1 12
2 12
3 = 9
4 12
Já aprendemos que comparando frações com denominadores
iguais a maior fração é a que tem o maior numerador.
Daí, 9
12 8
12 6
12
Então: 3
4 2
3 1
2
___________________________________________________________________________________________________
Senai
Departamento Regional do Espírito Santo 19
20. Espírito Santo
___________________________________________________________________________________________________
Adição e Subtração de Frações
A soma ou diferença de duas frações é uma outra fração, obtida a
partir do estudo dos seguintes casos:
1º As Frações tem o mesmo Denominador.
Adicionam-se ou subtraem-se os numeradores e repete-se o
denominador..
Exemplo:
2
5
+ = 2 1
1
5
+ =
5
3
5
6
7
− = 6 4
4
7
− =
7
2
7
2º As Frações tem Denominadores diferentes.
Reduzem-se as frações ao mesmo denominador e procede-se
como no 1º caso.
Exemplo:
2 + 3 = 8 + 9 = 17 3, 4 2
3 4 12 12 12 3, 2 2
3, 1 3
1, 1 12
3º Números Mistos.
Transformam-se os números mistos em frações impróprias e
procede-se como nos 1º e 2º casos.
Exemplo:
+ +
2 1 + 1 1
3 4
x x
7 + 5 = 28 + 15 = 43 = 3 7
3 4 12 12 12 12
Atenção:
Nas operações com frações, é conveniente simplificar e extrair os
inteiros do resultado sempre que possível.
___________________________________________________________________________________________________
CST
20 Companhia Siderúrgica de Tubarão
21. Espírito Santo
___________________________________________________________________________________________________
Multiplicação de Frações
A multiplicação de duas ou mais frações é igual a uma outra
fração, obtida da seguinte forma:
O numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o
produto dos denominadores.
Numa multiplicação de frações, costuma-se simplificar os fatores
comuns ao numerador e ao denominador antes de efetua-la.
Exemplo:
/
31
2
3 5
2
1
1
5
2
× = × =
1 5
/
/
/
2
1
2
2
3
6 ×
= × × = =
5
/ /
/
×
/
/
10
3
6
9
2
1
2
1
2
3
8
3
2 2
3
1
Divisão de Frações Ordinárias
O quociente da divisão de duas frações é uma outra fração obtida
da seguinte forma:
Multiplica-se a primeira pela fração inversa da segunda.
Para isso, exige-se:
3º - Transformar os números mistos em frações impróprias.
4º - Transformar os números inteiros em frações aparentes.
5º - Simplificar.
6º - Multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre
si.
7º - Extrair os inteiros.
Exemplo:
3
4
5
7
3
4
7
5
21
20
1 1
20
÷ = × = =
8 1
4
3 33
÷ = ÷ =
4
3
1
11
/ /
33
4
1
3
11
4
2 3
4
1
×
/
= =
___________________________________________________________________________________________________
SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 21
22. Espírito Santo
___________________________________________________________________________________________________
Atenção:
Quando houver símbolo de polegada ou de outra unidade em
ambos os termos da fração, esse símbolo deve ser cancelado.
Exemplo:
3
4
4
1
3
4
1
4
3
16
÷ = × =
Partes Fracionárias de um Número
Observe:
2
3
15 2
/
3
5
/ /
15
1
10
1
de =
×
=
Para determinar partes fracionárias de um número, devemos
multiplicar a parte fracionária pelo número dado.
Frações - Exercícios
1) Observando o desenho, escreva o que se pede:
a) O inteiro foi dividido em ................. partes iguais.
b) As partes sombreadas representam ................... partes
desse inteiro.
c) A fração representada é: .........................
d) O termo da fração que indica em quantas partes o inteiro
foi dividido é o ..................
e) O termo da fração que indica quantas dessas partes
foram tomadas é o ..................
2) Escreva as frações representadas pelos desenhos:
a) c)
b) d)
___________________________________________________________________________________________________
CST
22 Companhia Siderúrgica de Tubarão
23. Espírito Santo
___________________________________________________________________________________________________
3) Represente com desenho as seguintes frações:
7
8
2
3
1
9
5
4
1
2
4) Complete com a palavra correta:
a) Frações próprias são frações cujo numerador é
....................... que o denominador.
b) Frações próprias representam quantidades ......................
que a unidade.
c) Frações impróprias são frações cujo numerador é
........................ que o denominador.
d) Frações impróprias representam quantidades
......................... que a unidade.
5) Numa pizzaria, Luís comeu 1
2
de uma pizza e Camila comeu
2
4
da mesma pizza.
a) Quem comeu mais?.........................................................
b) Quanto sobrou da pizza? ................................................
6) Assinale V (VERDADEIRO) ou F (FALSO):
a) ( ) Toda fração imprópria é maior do que 1.
b) ( ) Toda fração imprópria pode ser representada por
um número misto.
c) ( ) 1
3
é uma fração.
d) ( ) 3
1
é uma fração.
___________________________________________________________________________________________________
SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 23
24. Espírito Santo
___________________________________________________________________________________________________
7) Faça a leitura de cada uma das frações seguintes:
a) 3
4
....................................................................................
b) 5
8
....................................................................................
c) 1
2
....................................................................................
d) 5
100
................................................................................
8) Classificar as frações seguintes em própria, imprópria ou
aparente:
a) 2
3
.....................................................................
b) 5
2
.....................................................................
c) 8
4
.....................................................................
d) 12
15
....................................................................
e) 24
6
....................................................................
9) Circule as frações equivalentes a:
a) 2 = 10 3 5 8 6
5 25 4 20 20 15
b) 6 = 2 18 7 30 1
7 5 21 9 35 7
___________________________________________________________________________________________________
CST
24 Companhia Siderúrgica de Tubarão
25. Espírito Santo
___________________________________________________________________________________________________
10) Identifique as funções com o nº correspondente abaixo:
1. fração ordinária
2. fração decimal
( ) 1 ( ) ( ) ( )
2
7
10
359
1000
6
35
11) Transforme os números mistos em frações impróprias:
a) 2 7
9
= b) 3 1
2
= c) 5 7
13
=
d) 11
8
= e) 12 3
4
=
12) Extraia os inteiros das frações:
a) 17
5
=
b) 38
7
=
c) 87
4
=
d) 25
13
=
e) 42
19
=
13) Simplifique as frações, tornando-as irredutíveis:
a) 4
6
=
b) 6
15
=
c) 8
14
=
d) 14
28
=
e) 9
36
=
___________________________________________________________________________________________________
SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 25
26. Espírito Santo
___________________________________________________________________________________________________
14) Reduza as frações ao mesmo denominador:
a) 1
4
5
6
, =
b) 1
8
3
16
, =
c) 3
5
6
8
, =
d) 1
2
5
16
3
12
, , =
e) 3
4
6
16
3
5
, , =
15) Compare as frações, escrevendo-as em ordem crescente:
a) 2
4
3
4
1
4
10
4
, , , ;
b) 3
6
3
10
3
2
3
1
3
12
, , , , ;
c) 1
10
3
8
2
5
1
8
3
15
, , , , ;
d) 1 5
16
11
8
5
6
11
5
, , , ;
16) Compare as frações apresentadas em cada item, escrevendo,
entre elas, os sinais
ou ou = :
a) 1
5
4
5
b) 3
2
7
3
c) 5
2
4
3
d) 6
4
7
5
e) 3
9
1
9
f) 1
5
1
6
g) 3
4
5
4
h) 2
7
2
15
i) 7
11
3
5
j) 2
7
10
35
___________________________________________________________________________________________________
CST
26 Companhia Siderúrgica de Tubarão
27. Espírito Santo
___________________________________________________________________________________________________
17) Descubra e escreva qual é a maior fração:
a) 3
5
ou b) 1
2
3
2
2
9
ou
c) 3
4
ou d) 6
5
6
10
3
6
ou
18) Circule as frações menores do que um inteiro:
1
3
9
8
2
12
8
12
7
4
9
5
19) Observe as figuras e escreva as frações representadas:
Complete:
Essas frações representam o mesmo valor, porém seus termos
são números diferentes.
Essas frações são denominadas .................................................
20) Numere a 1ª coluna de acordo com a fração equivalente na
2ª:
( ) 2
3
( a ) 28
32
( ) 1
2
( b ) 25
40
( ) 7
8
( c ) 16
64
( ) 1
4
( d ) 6
9
( ) 5
8
( e ) 8
16
___________________________________________________________________________________________________
SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 27
28. Espírito Santo
___________________________________________________________________________________________________
21) Torne as frações irredutíveis:
a) 24
32
=
b) 100
128
=
c) 12
15
=
d) 4
32
=
e) 48
64
=
f) 25
100
=
22) Circule as frações irredutíveis:
1
3
4
6
12
15
12
13
7
8
18
24
1
8
, , , , , ,
23) Determine a soma:
a) 5
16
+ + b) 2
3
16
7
16
3
+ + c) 3
4
5
1
2
8
7
16
15
32
+ +
24) Efetue as adições e simplifique o resultado quando possível:
a) 2 1
+ + =
2
13
4
b) 13
16
1 51
+ + =
8
c) 25
3
11
4
+ + 1=
d) 2 1
2
2
3
1
4
+ + =
___________________________________________________________________________________________________
CST
28 Companhia Siderúrgica de Tubarão
29. Espírito Santo
___________________________________________________________________________________________________
25) Quanto falta a cada fração para completar a unidade?
Exemplo:
5
8
8
8
5
8
3
8
→ − =
a ) 1
4
b) 13
16
c ) 5
32
d) 17
64
26) Efetue as subtrações indicadas:
a) 15
10
3
10
− =
b) 7
9
5
9
− =
c) 8
5
2
7
− =
d) 3 4
13
11
2
− =
e) 5 2
3
1
8
− =
27) Resolva:
a) 1
2
3
5
1
4
x x =
b) 2
5
9
7
14
27
x x =
c) 5
21
3
10
7
15
x x =
d) 3
4
2 2
5
x x =
e) 3 1
2
5
16
3
5
x x =
___________________________________________________________________________________________________
SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 29
30. Espírito Santo
___________________________________________________________________________________________________
28) Qual o comprimento resultante da emenda de 16 barras em
sentido longitudinal medindo cada uma 5 3
′′?
4
29) Calcule:
a) 2 2
3
11
2
÷ =
b) 3 1
2
2 3
5
÷ =
c) 4 2
3
5 1
2
÷ =
d) 6 1
3
5 1
2
÷ =
e) 15
16
÷ 5 =
f) 2 1
3
÷ 7 =
g) 3
10
1
5
÷ =
h) 2
4
de 32 =
i) 5
7
de 350 =
j) 1
3
de 930 =
___________________________________________________________________________________________________
CST
30 Companhia Siderúrgica de Tubarão
31. Espírito Santo
___________________________________________________________________________________________________
30) Leia com atenção os problemas e resolva:
a) Um carro percorre 8 Km com 1 litro de gasolina. Quantos
quilômetros percorrerá com 10 1
2
litros?
b) Um vendedor tinha 4.850 parafusos e vendeu 3
5
deles.
Ele quer colocar o restante, igualmente em 10 caixas.
Quanto deve colocar em cada caixa?
c) Coloquei 6
12
de minhas ferramentas em uma caixa, 2
4
em outra caixa e o restante deixei fora das caixas.
Pergunta-se: Que parte de ferramentas ficou fora das
caixas?
___________________________________________________________________________________________________
SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 31
32. Espírito Santo
___________________________________________________________________________________________________
d) João encheu o tanque do seu carro. Gastou 2
5
da
gasolina para trabalhar e 1
5
para passear no final de
semana. Quanto sobrou da gasolina no tanque?
e) Numa oficina havia 420 veículos, 1
4
eram caminhões.
Quantos caminhões havia na oficina?
f) Em uma caixa, os lápis estão assim distribuídos: 1
2
correspondem aos lápis vermelhos, 1
5
são lápis azuis e
1
4
são pretos. Que fração corresponde ao total de lápis
na caixa?
___________________________________________________________________________________________________
CST
32 Companhia Siderúrgica de Tubarão
33. Espírito Santo
___________________________________________________________________________________________________
Números Decimais
Conceito e Leitura
Já estudamos que uma fração é decimal, quando o seu
denominador é o número 10 ou potência de 10.
Exemplos:
5
Lê-se cinco décimos
10
45
1000
Lê-se quarenta e cinco milésimos
As frações decimais podem ser representadas através de uma
notação decimal que é mais conhecida por número decimal.
Exemplos:
1
10
= 0,1 Lê-se um décimo
1
100
= 0,01 Lê-se um centésimo
1
= 0,001 Lê-se um milésimo
1000
Essa representação decimal de um número fracionário obedece
ao princípio da numeração decimal que diz: Um algarismo escrito
à direita de outro representa unidades dez vezes menores que as
desse outro.
...Milhão Centena Dezena Unidade
Simples
Décimo Centésimo Milésimo...
... 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001...
Em um número decimal:
• Os algarismos escritos à esquerda da vírgula constituem a
parte inteira.
• Os algarismos que ficam à direita da vírgula constituem a parte
decimal.
Exemplo:
Parte inteira → 12,63 ← Parte decimal
Lê-se doze inteiros e sessenta e três centésimos.
___________________________________________________________________________________________________
SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 33
34. Espírito Santo
___________________________________________________________________________________________________
Para fazer a leitura de um número decimal, procede-se da
seguinte maneira:
1- Enuncia-se a parte inteira, quando existe.
2- Enuncia-se o número formado pelos algarismos da parte
decimal, acrescentando o nome da ordem do último
algarismo.
Exemplos:
a) 0,438 - Lê-se: quatrocentos e trinta e oito milésimos.
b) 3,25 - Lê-se: três inteiros e vinte cinco centésimos.
c) 47,3 - Lê-se: quarenta e sete inteiros e três décimos.
Observações:
1- O número decimal não muda de valor se acrescentarmos ou
suprimirmos zeros à direita do último algarismo.
Exemplo: 0,5 = 0,50 = 0,500
2- Todo número natural pode ser escrito na forma de número
decimal, colocando-se a vírgula após o último algarismo e
zero (s) a sua direita.
Exemplo: 34 = 34,000 1512 = 1512,00
Transformação de Fração Decimal em Número Decimal
Para escrever qualquer número fracionário decimal, na forma de
Número Decimal, escreve-se o numerador da fração com tantas
casas decimais quantos forem os zeros do denominador.
Exemplos:
a) 25
10
= 2,5 b) 43
1000
= 0,043
c) 135
1000
= 0,135 e) 2343
100
= 23,43
Transformação de Número Decimal em Fração Decimal
Para se transformar um número decimal numa fração decimal,
escrevem-se no numerador os algarismos desse número e no
denominador a potência de 10 correspondente à quantidade de
ordens (casas) decimais.
___________________________________________________________________________________________________
CST
34 Companhia Siderúrgica de Tubarão
35. Espírito Santo
___________________________________________________________________________________________________
Exemplos:
a) 0 34 34
, = b) 5 01 501
100
100
, =
c) 0 01 1
, = d) 21057 21057
100
1000
, =
Operações com Números Decimais
Adição e Subtração
Para adicionar ou subtrair dois números decimais, escreve-se um
abaixo do outro, de tal modo que as vírgulas se correspondam
(numa mesma coluna) e adicionam-se ou subtraem-se como se
fossem números naturais.
Observações:
Costuma-se completar as ordens decimais com zeros à direita do
último algarismo.
Exemplos:
a) 3,97 + 47,502 = 51,472 3,970
+ 47,502
51,472
b) 4,51 - 1,732 = 2,778 4,510
- 1,732
2,778
___________________________________________________________________________________________________
SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 35
36. Espírito Santo
___________________________________________________________________________________________________
No caso de adição de três ou mais parcelas, procede-se da
mesma forma que na de duas parcelas.
Exemplos:
4,310
5,200
+ 17,138
26,648
Multiplicação
Para multiplicar números decimais, procede-se da seguinte forma:
1º Multiplicam-se os números decimais, como se fossem
naturais;
2º No produto, coloca-se a vírgula contando-se da direita para a
esquerda, um número de ordens decimais igual à soma das
ordens decimais dos fatores.
Exemplo:
0,012 x 1,2 = 0,012 3 ordens decimais
x 1,2 + 1 ordem decimal
0024
+ 0012
0,0144 4 ordens decimais
Para multiplicar um número decimal por 10, 100, 1000 ..., desloca-se
a vírgula para a direita tantas ordens quantos forem os zeros
do multiplicador.
Exemplos:
a) 2,35 × 10 = 23,5
b) 43,1 × 100 = 4310
c) 0,3145 × 1000 = 314,5
Para multiplicar três ou mais fatores, multiplicam-se os dois
primeiros; o resultado obtido multiplica-se pelo terceiro e assim
por diante até o último fator.
Exemplo:
0,2 × 0,51 × 0,12 = 0,01224
___________________________________________________________________________________________________
CST
36 Companhia Siderúrgica de Tubarão
37. Espírito Santo
___________________________________________________________________________________________________
Divisão
Para efetuarmos a divisão entre números decimais procedemos
do seguinte modo:
1) igualamos o número de casas decimais do dividendo e do
divisor acrescentando zeros;
2) eliminamos as vírgulas;
3) efetuamos a divisão entre os números naturais obtidos.
Atenção:
Se a divisão não for exata, para continua-la colocamos um zero à
direita do novo dividendo e acrescenta-se uma vírgula no
quociente.
1º Exemplo: 3,927 ÷ 2,31 = 1,7 3,927 2,310
16170
0000
1,7
2º Exemplo: 47,76 ÷ 24 = 1,99 47,76 24,00
23 7
2 16
00
1,99
Para dividir um número decimal por 10, 100 ou 1000 ..., desloca-se
a vírgula no dividendo para a esquerda tantas ordens quantos
forem os zeros do divisor.
Exemplos:
a) Dividir 47,235 por 10, basta deslocar a vírgula uma
ordem para esquerda.
47,235 ÷ 10 = 4,7235
b) Dividir 58,4 por 100, basta deslocar a vírgula duas
ordens para a esquerda.
58,4 ÷ 100 = 0,584
Quando a divisão de dois números decimais não é exata, o resto
é da mesma ordem decimal do dividendo original.
Exemplo:
39,276 ÷ 0,7 = 56,108 resto 0,004
39,276 0,700
4 2
07
060
0,004
56,108
___________________________________________________________________________________________________
SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 37
38. Espírito Santo
___________________________________________________________________________________________________
Números Decimais - Exercícios
1) Escreva com algarismos, os seguintes números decimais:
a) Um inteiro e três décimos..............................................
b) Oito milésimos...............................................................
c) Quatrocentos e cinqüenta e nove milésimos .................
d) Dezoito inteiros e cinco milésimos.................................
e) Vinte cinco inteiros e trinta e sete milésimos .................
2) Represente em forma de números decimais:
a) 97 centésimos =
b) 8 inteiros e 5 milésimos =
c) 2 inteiros e 31 centésimos =
d) 475 milésimos =
3) Observe os números decimais e complete com os sinais:
=
a) 1,789 ......................................................... 2,1
b) 3,78 ......................................................... 3,780
c) 4,317 ......................................................... 43,27
d) 42,05 ......................................................... 42,092
e) 8,7 ......................................................... 8,512
4) Escreva em forma de número decimal as seguintes frações
decimais:
a) 36
100
= ..........................................................
b) 5
1000
= ..........................................................
c) 3 8
10
= ..........................................................
___________________________________________________________________________________________________
CST
38 Companhia Siderúrgica de Tubarão
39. Espírito Santo
___________________________________________________________________________________________________
5) Escreva na forma de fração decimal:
a) 0,5 = ................... f) 8,71 = .................
b) 0,072 = ................... g) 64,01 = .................
c) 0,08 = ................... h) 347,28 = .................
d) 0,481 = ................... i) 0,12 = .................
e) 1,3 = ................... j) 0,201 = .................
6) Arme e efetue as adições:
a) 0,8 + 6,24 =
b) 2,9 + 4 + 5,432 =
c) 6 + 0,68 + 1,53 =
d) 19,2 + 2,68 + 3,062 =
7) Arme e efetue as subtrações:
a) 36,45 - 1,2 =
b) 4,8 - 1,49 =
c) 9 - 2,685 =
d) 76,3 - 2,546 =
8) Arme, efetue:
a) 650,25 × 3,8 =
b) 48 ÷ 2,4 =
c) 0,60 ÷ 0,12 =
d) 6,433 + 2 + 1,6 =
e) 9 - 2,5 =
9) Resolva:
a) 36,4 + 16,83 + 2,308 =
b) 93,250 - 1,063 =
c) 67403 × 6,9 =
d) 204,35 ÷ 48 =
___________________________________________________________________________________________________
SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 39
40. Espírito Santo
___________________________________________________________________________________________________
10) Atenção! Efetue sempre antes o que estiver dentro dos
parênteses:
a) (0,8 - 0,3) + 0,5 =
b) (1,86 - 1) + 0,9 =
c) (5 - 1,46) + 2,68 =
d) (1,68 + 3,2) - 2,03 =
e) (0,8 - 0,5) + (6,5 x 3) =
f) 0,4 - (0,2 × 0,35) =
11) Arme e efetue as operações:
a) 0,471 + 5,9 + 482,23 =
b) 6,68 × 5,986 =
c) 5,73 × 6,8 =
d) 24,8 ÷ 6,2 =
12) Calcule:
a) 0,0789 × 100 =
b) 0,71 ÷ 10 =
c) 0,6 ÷ 100 =
d) 8,9741 × 1000 =
13) Torne:
a) 3,85 dez vezes maior =
b) 42,6 dez vezes menor =
c) 0,153 dez vezes maior =
d) 149,2 cem vezes menor =
e) 1,275 mil vezes maior =
14) Resolva o problema:
Jorge pintou um carro em 2 dias. Sabendo-se que ele pintou 0,4
do carro no 1º dia, quanto ele pintou no 2º dia?
___________________________________________________________________________________________________
CST 40 Companhia Siderúrgica de Tubarão
41. Espírito Santo
___________________________________________________________________________________________________
15) Relacione os elementos por igualdade:
a) 3 1
10
b) 0,3
31
100
3,1
3
10
3,01
3 1
100
0,31
Observe os elementos dos conjuntos acima e marque as
sentenças que são verdadeiras:
a) Nenhum elemento do conjunto A é maior do que 1.
b) Todos os elementos de A são maiores que zero.
c) Nenhum elemento de B é menor que 1.
d) Todos os elementos de B são menores que 10.
16)
a) 8 2
10
b) 0,82
8 2
100
8,002
82
1000
82
100
8,02 0,082
8 2
1000
8,2
a) Relacione os elementos dos conjuntos A e B e escreva
verdadeiro ou falso.
1- Nenhum elemento do conjunto A é maior do que 1.
2- Todos os elementos de B são maiores que zero.
3- Nenhum elemento de B é menor do que 1.
4- Todos os elementos de A são maiores que 10.
___________________________________________________________________________________________________
SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 41
42. Espírito Santo
___________________________________________________________________________________________________
17) Arme e efetue as operações abaixo:
a) 3 ÷ 0,05 =
b) 6,52 × 38 =
c) 26,38 + 2,953 + 15,08 =
d) 7,308 - 4,629 =
e) 63,50 ÷ 4,9 =
18) Calcule os quocientes abaixo com duas casas decimais:
a) 2,4 ÷ 0,12 =
b) 5,85 ÷ 0,003 =
c) 0,3 ÷ 0,008 =
d) 48,6 ÷ 0,16 =
___________________________________________________________________________________________________
CST
42 Companhia Siderúrgica de Tubarão
43. Espírito Santo
_________________________________________________________________________________________________
Números Inteiros Relativos
No estudo das operações com números naturais, você aprendeu
que a subtração não pode ser efetuada quando o minuendo é
menor do que o subtraendo.
5 - 9 = ? 1 - 2 = ? 3 - 8 = ?
Para que a subtração seja sempre possível foi criado o conjunto
dos números inteiros negativos.
- 1, - 2, - 3, - 4, ..............................
Esses números negativos, reunidos com zero e com os números
inteiros positivos, formam o conjunto dos números inteiros
relativos, cujo conjunto é representado por Z.
Z = {... - 3, - 2, - 1, 0, + 1, + 2, + 3, .....}
a) Conjunto dos números inteiros não negativos.
Z + = { 0, + 1, + 2, + 3, .............................}
b) Conjunto dos números inteiros negativos.
Z - = { 0, - 1, - 2, - 3, ..................................}
O número zero (0) não é negativo nem positivo
Números Opostos ou Simétricos
Observe:
O oposto de +1 é -1
O oposto de +2 é -2
O oposto de +3 é -3 Β Β Β Β Β Β Β Β Β
O oposto de +4 é -4 ... -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 ...
RETA NUMERADA
Na reta numerada, os números opostos estão a uma mesma
distância do zero.
Observação: O oposto de zero é o próprio zero.
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Departamento Regional do Espirito Santo 43
44. Espírito Santo
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Valor Absoluto
Valor absoluto de um número inteiro relativo é o número natural
que o representa, sem o sinal.
EXEMPLOS: Indicação:
O valor absoluto de + 5 é 5 +5 = 5
O valor absoluto de - 5 é 5 −5 = 5
O valor absoluto de - 8 é 8 −8 = 8
O valor absoluto de zero é zero
Verifique:
1) -3 está à esquerda de +1 -3 +1
Então, -3 é menor que +1
2) +2 está à direita de -3 +2 -3
Então + 2 é maior que -3
OUTROS EXEMPLOS:
a) -2 +2 b) 0 -4 c) -1 -3
Operações com Números Inteiros Relativos
adição
1) Adição de números positivos
Observe os exemplos:
a) ( +2 ) + ( +5 ) = +7
b) ( +1 ) + ( +4 ) = +5
c) ( +6 ) + ( +3 ) = +9
Verificando os resultados anteriores, podemos concluir que:
A soma de dois números positivos é um número positivo.
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45. Espírito Santo
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2) Adição de números negativos
Observe os exemplos:
a) ( -2 ) + ( -3 ) = -5
b) ( -1 ) + ( -1 ) = -2
c) ( -7 ) + ( -2 ) = -9
Verificando os resultados acima, podemos concluir que:
A soma de dois números negativos é um número negativo.
3) Adição de números com sinais diferentes
Observe os exemplos:
a) ( +6 ) + ( -1 ) = +5
b) ( +2 ) + ( -5 ) = -3
c) ( -10) + ( +3) = -7
Observe que o resultado da adição tem o mesmo sinal que o
número de maior valor absoluto.
Conclusão:
A soma de dois números inteiros de sinais diferentes é obtida
subtraindo-se os valores absolutos dando-se o sinal do número
que tiver maior valor absoluto.
Subtração
A operação de subtração é uma operação inversa da adição.
EXEMPLOS:
a) (+8) - (+4) = (+8) + (-4) = +4
b) (-6) - (+9) = (-6) + (-9) = -15
c) (+5) - (-2 ) = (+5) + (+2) = +7
Conclusão:
Para subtrairmos dois números relativos, basta que adicionemos
ao primeiro o simétrico do segundo.
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46. Espírito Santo
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Expressões com Números Inteiros Relativos
Lembre-se que os sinais de associação são eliminados,
obedecendo à seguinte ordem:
1º - Parênteses ( ) 2º - Colchetes [ ] 3º - Chaves { }
EXEMPLOS
1) +10 - (-4 + 6)
+10 - (+2)
+10 - 2 = +8
2) (+7 -1) + (-3 +1 -5)
(+6) + (-7)
+6 - 7 = -1
3) 10 + [-3 +1 - (-2 +6)]
10 + [-3 +1 - (+4)]
10 + [-3 +1 -4]
10 + [-6]
10 -6 = +4
Multiplicação
Consideremos os seguintes casos:
1) Multiplicação de dois números positivos:
a) (+5) . (+2) = +10 ( + ) . ( + ) = +
b) (+3) . (+7) = +21 ( - ) . ( - ) = +
( + ) . ( - ) = -
( - ) . ( + ) = -
Conclusão:
O produto de dois números positivos é um número
positivo.
2) Multiplicação de dois números negativos:
a) (-3) . (-5) = +15
b) (-8) . (-2) = +16
c) (-7) . (-1) = +7
Conclusão:
O produto de dois números negativos é um número
positivo.
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46 Companhia Siderurgica de Tubarão
47. Espírito Santo
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3) Multiplicação de dois números de sinais diferentes:
a) (+3) . (-2) = -6
b) (-5) . (+4) = -20
c) (+6) . (-5) = -30
d) (-1) . (+7) = -7
Conclusão:
O produto de dois números inteiros de sinais
diferentes é um número negativo.
Multiplicação com mais de dois números Relativos
Multiplicamos o primeiro número pelo segundo. O produto obtido
pelo terceiro e, assim, sucessivamente, até o último fator.
EXEMPLOS
a) (+3) . (-2) . (+5)
(-6) . (+5) = -30
b) (-5) . (+4) . (-9)
(-20) . (-9) = +180
Divisão
Você sabe que a divisão é a operação inversa da multiplicação.
Observe:
a) (+12) ÷ (+4) = (+3) porque (+3) . (+4) = +12
b) (-12) ÷ ( -4) = (+3) porque (+3) . (-4 ) = -12
c) (+12) ÷ ( -4) = (-3 ) porque (-3 ) . (-4 ) = +12
d) (-12 ) ÷ (+4) = (-3 ) porque (-3) . (+4) = -12
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48. Espírito Santo
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Divisão ( + ) ÷ ( + ) = +
( - ) ÷ ( - ) = +
( + ) ÷ ( - ) = -
( - ) ÷ ( + ) = -
Observações:
1) A divisão nem sempre é possível em Z
(+9) ÷ (-2 ) = ( ∉ Z )
∉ → Lê-se: não pertence.
1) O zero nunca pode ser divisor
(+5) ÷ 0 é impossível
(-2 ) ÷ 0 é impossível
Exercícios - Números Inteiros Relativos
Calcule:
a) ( +5 ) + ( -3 ) - ( +2 ) + ( -1 ) =
b) 10 + { 5 -( -3 +1) } =
c) 23 - { 1 + [ 5 - (+3 -2 +1 ) ] } =
d) ( +5 -3 ) ÷ ( -1 +3 ) =
e) ( -16 ÷ -8 ) . ( +3 . -4 ) =
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48 Companhia Siderurgica deTubarão
49. Espírito Santo
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Medidas de ângulos
Um ângulo pode ser medido de um instrumento chamado
transferidor e que tem do grau como unidade. O ângulo AÔB
da figura mede 40 graus.
Indicação:
m (AÔB) = 40º
A unidade grau tem dois submúltiplos: minuto e segunda.
1 grau tem 60 minutos (indicação: 1º = 60’)
1 minuto tem 60 segundos (indicação: 1’ = 60”)
Simbolicamente:
• Um ângulo de 25 graus e 40 minutos é indicado por 25º 40’
• Um ângulo de 12 graus, 20 minutos e 45 segundos é
indicado por 12º 20’ 45”.
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50. Espírito Santo
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Exercícios
1) Escreva as medidas em graus dos ângulos indicados pelo
transferidor:
a) m (AÔB) =
b) m (AÔB) =
c) m (AÔB) =
d) m (AÔB) =
a) m (AÔB) =
b) m (AÔB) =
c) m (AÔB) =
d) m (AÔB) =
Operações com medidas de ângulos
Adição
1) Observe os exemplos:
17º 15’ 10” + 30º 20’ 40”
17º 15’ 10”
+ 30º 20’ 40”
47º 35’ 50”
2)
13º 40’ + 30º 45’
13º 40’
+ 30º 45’
43º 85’
+ 1º 25’
44º 25’
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50 Companhia Siderúrgica de Tubarão
52. Espírito Santo
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Multiplicação de um ângulo por um número
Observe os exemplos:
1)
17º 15’ x 2
17º 15’
x 2
34º 30’
2)
24º 20’ x 3
24º 20’
x 3
72º 60’
1º
73º
Nota: “Não há multiplicação entre ângulos.” 90º x 90º = ?
Exercícios
1) Calcule os produtos:
a) 25º 10’ x 3 =
b) 44º 20’ x 2 =
c) 35º 10’ x 4 =
d) 16º 20’ x 3 =
a) 28º 30’ x 2 =
b) 12º 40’ x 3 =
c) 15º 30’ x 3 =
d) 14º 20’ x 5 =
Divisão de um ângulo por um número
Observe os exemplos:
36º 30’ ÷ 3
36º 30’ 3
0 0 12º 10’
39º 20’ ÷ 4
39º 20’ 4
3º 180’ 9º 50’
200’
00
Nota: “Não há divisão entre ângulos.” 90º ÷ 20º = ?
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52 Companhia Siderúrgica de Tubarão
53. Espírito Santo
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Exercícios
1) Calcule os quocientes:
a) 48º 20’ ÷ 4 =
b) 45º 30’ ÷ 3 =
c) 75º 50’ ÷ 5 =
a) 55º ÷ 2 =
b) 90º ÷ 4 =
c) 22º 40’ ÷ 5 =
2) Calcule:
a) 2
3
de 45º =
b) 5
7
de 84º =
a) 3
4
de 48º 20’ =
b) 3
2
de 15º 20’ =
Ângulos Congruentes
Dois ângulos são Congruentes se as suas medidas são iguais.
A
B
O
30º
O
C
D
30º
Indicação: AÔB ≅ (significa: AÔB é congruente a CÔD)
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54. Espírito Santo
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Bissetriz de um ângulo
Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice do
ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes.
O
A
B
M
Se AÔM ≅ MÔB, então OM é bissetriz de AÔB.
Exercícios
1) Calcule x em cada caso, sabendo-se que OM é bissetriz do
ângulo dado.
a)
O
A
B
M
4X + 5º
37º
b)
O
A
3X
X + 20º
B
M
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54 Companhia Siderúrgica de Tubarão
55. Espírito Santo
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2) Calcule x em cada caso, sabendo-se que OC é bissetriz do
ângulo dado.
a)
O
A
B
M
3X
5X - 20º
b)
C
35º
x - 5º
2
O
A
B
Ângulos Reto, Agudo e Obtuso
Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com suas
medidas:
• Ângulo reto é aquele cuja medida é 90º.
• Ângulo agudo é aquele cuja medida é menor que 90º.
• Ângulo obtuso é aquele cuja medida é maior que 90º.
ÂNGULO RETO ÂNGULO AGUDO ÂNGULO OBTUSO
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56. Espírito Santo
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Retas Perpendiculares
Quando duas retas se interceptam formando ângulos retos,
dizemos que elas são perpendiculares.
Indicação: r ⊥ s
Significa: r perpendicular a s.
Ângulos Complementares
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas
medidas é 90º.
m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC)
A
B
O C
Exemplos:
• 65º e 25º são ângulos complementares, porque 65º + 25º = 90º
• 40º e 50º são ângulos complementares, porque 40º + 50º = 90º
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56 Compoanhia Siderúrgica de Tubarão
57. Espírito Santo
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Exercícios:
1) Resolva as equações abaixo, onde a incógnita x é um
ângulo (medido em graus):
a) 2x = 90º
b) 4x + 10º = 90º
c) 5x - 20º = 1º + 2x
d) x = 2 (90º - x)
e) 4 (x + 3º) = 20º
f) (3x - 20º) + 50º = 90º
g) 3 (x + 1º) = 2 (x + 7º)
h) 2x + 2 (x + 1º) = 4º + 3 (x + 2º)
2) Observe o exemplo abaixo e resolva as seguintes questões:
• Calcular a medida de um ângulo cuja medida é igual ao
dobro do seu complemento.
Solução:
Medida do ângulo = x
Medida do complemento do ângulo = 90º - x
x = 2 ( 90º - x )
Resolvendo a equação: x
x
x + 2x
3x
x
= 2 (90º - x)
= 180º - 2x
= 180º
= 180º
= 60º
Resposta: 60º
a) A medida de um ângulo é igual à medida de seu
complemento. Quanto mede esse ângulo ?
b) A medida de um é a metade da medida do seu
complemento. Calcule a medida desse ângulo.
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Departamento Regional do Espírito Santo 57
58. Espírito Santo
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c) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual ao
triplo de seu complemento.
d) A diferença entre o dobro da medida de um ângulo e o seu
complemento é 45º. Calcule a medida desse ângulo.
e) A terça partes do complemento de um ângulo mede 20º.
Qual a medida do ângulo ?
f) Dois ângulos complementares têm suas medidas
expressas em graus por 3x + 25º e 4x - 5º. Quanto
medem esses ângulos ?
Ângulos Suplementares
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas
medidas é 180º.
m (AÔB) + m (BÔC) = 180º
C
B
A O
Exemplos:
• 50º e 130º são ângulos suplementares, porque 50º + 130º = 180º
• 125º e 55º são ângulos suplementares, porque 125º + 55º = 180º
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58 Companhia Siderúrgica de Tubarão
59. Espírito Santo
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Exercícios:
1) Determine x, sabendo que os ângulos são suplementares:
a)
2x - 40º
3x - 10º
2) Calcule x:
a)
2x
5x - 4º 3x
2x - 2º
3) A quarta parte da medida de um ângulo mede 30º. Calcule a
medida do seu suplemento.
4) A medida de um ângulo é igual à medida de seu
suplemento. Calcule esse ângulo.
5) Calcule a medida de um ângulo que é igual ao triplo de seu
suplemento.
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60. Espírito Santo
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6) O dobro da medida de um ângulo é igual à medida do
suplemento desse ângulo. Calcule a medida do ângulo.
7) O triplo da medida de um ângulo mais a medida do
suplemento desse ângulo é 250º
8) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual a 2
3
do
seu suplemento.
9) A soma do complemento com o suplemento de um ângulo é
110º. Quanto mede o ângulo ?
Ângulos opostos pelo vértice
Duas retas concorrentes determinam quatro ângulos, dois a
dois, opostos pelo vértice.
Na figura:
• â e ∃c são opostos pelo vértice.
• ∃ m e ∃n são opostos pelo vértice.
∃c
∃ m ∃n
∃a
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CST
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61. Espírito Santo
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Triângulos
Conceito
Triângulo é um polígono de três lados.
A
B C
Na figura acima:
• Os pontos A, B e C são os vértices do triângulo.
• Os segmentos AB , BC e CA são os lados do triângulo.
• Os ângulos ∃A , ∃ B e ∃ C são ângulos internos do triângulos.
Indicamos um triângulo de vértices A, B e C por Δ ABC.
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62. Espírito Santo
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Ângulo Externo
Ângulo externo é o ângulo suplementar do ângulo interno.
A
C B
m
Na figura acima ∃ m é um ângulo externo.
Perímetro
O perímetro de um triângulo é igual à soma das medidas dos
seus lados.
Perímetro Δ ABC = AB + AC + BC
Classificação dos Triângulos
Quanto aos lados os triângulos se classificam em:
• Equilátero quando tem os três lados congruentes.
• Isósceles quando tem dois lados congruentes.
• Escaleno quando não tem lados congruentes.
A
A
A
B C B C C B
EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO
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CST
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63. Espírito Santo
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Quanto aos ângulos os triângulos se classificam em:
• Acutângulo quando tem três ângulos agudos
• Retângulo quando tem um ângulo reto.
• Obtusângulo quando tem um ângulo obtuso.
R R
S T
R
S T S T
ACUTÂNGULO RETÂNGULO OBTUSÂNGULO
Em um triângulo retângulo os lados que formam o ângulo reto
chamam-se catetos e o lado oposto ao ângulo reto chama-se
hipotenusa.
A
Cateto Hipotenusa
B C
Cateto
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Exercícios:
1) Determine o comprimento do lado BC, sabendo-se que o
perímetro do Δ ABC é 48cm.
A
x
15
C 2 x
B
2) O perímetro do triângulo é 34 cm. Determine o comprimento
do menor lado.
R
x + 7
S T
x
x + 3
3) Classifique o triângulo de acordo com as medidas dos
ângulos:
A
80º
A
100º
60º 40º 45º 35º
B C
A
C B
B C
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CST
64 Companhia Siderúrgica de Tubarão
65. Espírito Santo
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4) Observe a figura e responda:
A
B C
a) Que nome recebe o lado BC ?
b) Que nome recebem os lados AB e AC ?
5) Que nome recebe o maior lado de um triângulo retângulo ?
Condição de existência de um Triângulo
Em qualquer triângulo, cada lado é menor que a soma dos
outros dois lados.
Exemplo:
Seja o triângulo: A
4 cm
B C
2 cm
3 cm
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Vamos comparar a medida de cada lado com a soma das
medidas dos outros dois.
Assim: 2 3 + 4 ou 2 7
2 3 + 4 ou 2 7
2 3 + 4 ou 2 7
Para verificar a citada propriedade, procure construir um
triângulo com as seguintes medidas: 7 cm, 4 cm e 2 cm.
2 cm
4 cm
A 7 cm B
É impossível, não ? Logo não existe o triângulo cujos lados
medem 7cm, 4cm e 2cm.
Elementos notáveis de um triângulo
• Mediana de um triângulo é o segmento que une um vértice
ao ponto médio do lado oposto.
R
mediana
S M T
R
baricentro
S T
Todo triângulo tem três medianas que se encontram em um
ponto chamado baricentro.
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CST
66 Companhia Siderúrgica de Tubarão
67. Espírito Santo
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• Bissetriz de um triângulo é o segmento da bissetriz de um
ângulo interno que tem por extremidades o vértice desse
ângulo e o ponto de encontro com o lado oposto.
R
bissetriz
S P T
R
incentro
S T
Todo triângulo tem três bissetrizes que se encontram em um
ponto interior chamado incentro.
• Altura de um triângulo é o segmento da perpendicular
traçada de um vértice ao lado oposto ou ao seu
prolongamento.
R
altura
S T
R
S T
altura
R
S T
ortocentro
Todo triângulo tem três alturas que se encontram em um ponto
chamado ortocentro.
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68. Espírito Santo
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Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo
Observe os triângulos e as medidas dos ângulos internos.
B
80º
40º 60º
A C
80º + 40º + 60º = 180º
B
30º
60º
A C
30º + 60º + 90º = 180º
Note que: m ( ∃A) + m ( ∃ B) + m ( ∃ C ) = 180º
Vamos à demonstração desse teorema.
Teorema
Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos
internos é igual a 180º.
Prova:
consideremos um triângulo ABC. Vamos provar que
m ( ∃A) + m ( ∃ B) + m ( ∃ C ) = 180º
A
A ^
2 ^
1^
B C
s
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CST
68 Companhia Siderúrgica de Tubarão
69. Espírito Santo
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a ) Pelo vértice A, traçamos a reta s paralela ao lado BC.
m ( ∃1) + m ( ∃A) + m ( ∃2 ) = 180º 1
Note que: m ( ∃1) ≅ m ( ∃ B) (alternos internos) 2
m ( ∃2) ≅ m ( ∃ C ) (alternos internos) 3
b ) Temos que:
c ) Substituindo 2 e 3 em 1, temos:
m ( ∃A) + m ( ∃ B) + m ( ∃ C ) = 180º
Exercícios:
1) Calcular x no triângulo abaixo:
B
80º
x 30º
A C
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 69
72. Espírito Santo
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Quadrilátero
Conceito
Quadrilátero é um polígono de quatro lados.
No quadrilátero ao lado, destacamos:
• vértice: A, B, C, D
• lados: AB , BC, CD e DA
• ângulos internos: ∃A , ∃ B, ∃ C e ∃ D
• lados opostos: AB e CD , AD e BC
• ângulos opostos: ∃A e ∃ C , ∃ B e ∃ D
A
D
C
B
Lembre-se de que um quadrilátero é convexo quando qualquer
segmento com extremidades no quadrilátero está contido nele.
B
A
C
D
Quadrilátero convexo
B
A
C
D
Quadrilátero não-convexo
Estudaremos apenas os quadriláteros convexos.
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CST
72 Companhia Siderúrgica de Tubarão
73. Espírito Santo
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Diagonal
O segmento que une dois vértices não consecutivos é chamado
diagonal.
Na figura, AC e BD são diagonais.
D
A C
B
Exercícios
1) Observe o quadrilátero e responda:
a ) Quais são os lados ?
b ) Quais são os vértices ?
c ) Quais são os ângulos internos ?
d ) Quais são as diagonais indicadas ?
M P
N
O
2) Considere o quadrilátero ABCD.
a ) Nomeie os dois pares de lados
opostos.
b ) Nomeie os dois pares de ângulos
opostos.
A B
C D
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SENAI
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74. Espírito Santo
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3) O perímetro de um quadrilátero mede 41cm. Quanto mede
cada lado se as medidas são representadas por x, x + 2,
3x + 1 e 2x - 4 ?
Soma dos ângulos internos de um quadrilátero
ABCD é um quadrilátero convexo e a diagonal AC o divide em
dois triângulos.
Veja: B
A
D C
A soma dos ângulos internos dos dois triângulos é a soma dos
ângulos internos do quadrilátero.
Logo:
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é
180º + 180º = 360º
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CST
74 Companhia Siderúrgica de Tubarão
75. Espírito Santo
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Exercícios:
1) Na figura abaixo, calcular o valor de n.
D A
2x
x
C B
2) Na figura abaixo, calcular o valor de n.
a)
E F
110º
x
120º
60º
G H
b)
E F
130º
x
G H
3) Calcule o valor de x nos seguintes quadriláteros:
a)
E F
5x
4x
6x
3x
G H
b)
R S
60º
T U
5x
_________________________________________________________________________________________________
SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 75
76. Espírito Santo
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4) Calcule as medidas dos ângulos indicados com letras:
a)
N
R
120º
95º
x
M S
130º
b)
E
F
130º z
y
x
G H
110º
5) Calcule x na figura:
80º
x
40º 20º
x + 20º
6) Calcule os ângulos internos de um quadrilátero sabendo que
eles medem x, 2x, x
2
e 3
2
x .
Paralelogramos
Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos
paralelos.
A C
B D
Na figura, temos:
AB CD
AC BD
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CST
76 Companhia Siderúrgica de Tubarão
77. Espírito Santo
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Tipos de Paralelogramos
• Retângulo - Possui quatro ângulos retos.
• Losango - Possui os quatro lados congruentes.
• Quadrado - Possui os quatro lados congruentes e os ângulos
retos.
Retângulos Losango Quadrado
Note que:
• Todo quadrado é um losango.
• Todo quadrado é um retângulo.
Teorema:
Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.
Prova:
Seja o paralelogramo ABCD. Vamos provar que
∃A ≅ ∃ C e ∃ B ≅ ∃ D
A C
1^ 2^
4^
3^
B D
a ) Tracemos a diagonal BD e consideremos os triângulos
ABD e CDB.
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 77
78. Espírito Santo
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b ) Temos:
• ∃1 ≅ ∃4 (alternos internos)
• BD ≅ BD (comum)
• ∃2 ≅ ∃3 (alternos internos)
A . L . A .
Δ ABD ≅ Δ CDB
Então, os ângulos correspondentes são congruentes, ou seja: ∃A
≅ ∃ C .
• ∃1 ≅ ∃4
• ∃2 ≅ ∃3
⇒ ∃1 + ∃4 ≅ ∃2 + ∃3
Logo: ∃ B ≅ ∃ D
Exercícios:
1) Determinar as medidas de x, y e z no paralelogramo abaixo:
A B
y
z
50º
D C
x
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CST
78 Companhia Siderúrgica de Tubarão
79. Espírito Santo
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2) Determinar as medidas de x, y e z no paralelogramo abaixo:
P Q
3x - 10º
x - 50º
R S
3) Observe a figura e calcule as medidas de x, y, z e w.
x
y
w
z
110º
70º 110º
70º
4) Baseado nos resultados do exercício anterior, responda:
Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes?
5) Calcule os ângulos indicados nos paralelogramos seguintes:
a)
B C
60º
A D
b)
P Q
142º
S R
6) Calcule os valor de x nos paralelogramos abaixo:
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 79
80. Espírito Santo
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a)
R S
x + 70º
2x + 10º
T U
b)
R S
2x + 8º
3x - 10º
T U
7) Calcule os valor de x nos paralelogramos abaixo:
a)
R S
3x
T U
b)
R S
2x + 25º 5x + 20º
T U
7) Calcule os valor de x, y e z nos losangos abaixo:
a)
R
S U
5x
T
x
b)
R
x + 80º
S U
y z
2x + 20º
T
_________________________________________________________________________________________________
CST
80 Companhia Siderúrgica de Tubarão
81. Espírito Santo
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Trapézio
Trapézio é o quadrilátero que possui dois lados paralelos (que
são chamados de base).
A
base menor
altura
B
C base maior
D
Na figura, temos:
AB CD
A distância entre as bases chama-se altura.
Tipos de Trapézio
• Isósceles - Os lados não-paralelos são congruentes.
• Retângulo - Tem dois ângulos retos.
• Escaleno - Os lados não-paralelos não são congruentes.
E
Trapézio Isósceles
F E
G H
F E
Trapézio Retângulo
G H
F
Trapézio
Escaleno
G H
Exercícios:
1) Num trapézio, como são chamados os lados paralelos ?
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 81
82. Espírito Santo
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2) Calcule o valor de x nas figuras:
a)
R
S
2x 2x
x x
T U
b)
S
R
x
30º
T U
3) Calcule o valor de x nas figuras:
a)
R
S
2x
x + 30º
T U
b)
S
R
x
110º
T U
4) Responda:
a) Quantos lados possui um quadrilátero ?
b) Quantos vértices possui um quadrilátero ?
c) Quantas diagonais possui um quadrilátero ?
5) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um
quadrilátero?
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CST
82 Companhia Siderúrgica de Tubarão
83. Espírito Santo
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6) Calcule o valor de x nos seguintes quadriláteros:
a)
E
F
150º
50º
x
60º
G H
b)
E
F
2x 110º
x 70º
G H
c)
E F
x x
2x 2x
G
H
d)
E F
x
3x
3x
G H
x
7) Calcule o valor de x nos quadriláteros:
a)
A
x 120º
D
B
3x 2x
C
b)
F
H
G
E
x
105º
80º
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 83
84. Espírito Santo
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Polígonos Convexos
Polígonos
Polígono é um conjunto de segmentos consecutivos não
colineares no qual os extremos do primeiro e do último
coincidem.
Exemplos:
Polígonos convexos Polígonos não-convexos
Assim como já vimos para os quadriláteros, dizemos que um
polígono é convexo quando qualquer segmento com
extremidades no polígono está contido nele.
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CST
84 Companhia Siderúrgica de Tubarão
85. Espírito Santo
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Elementos de um Polígono
Observe o polígono ABCDE:
• A, B, C, D, E são os vértices.
• ∃A , ∃ B, ∃ C , ∃ D , ∃ E são os ângulos internos.
• AB , BC, CD , DE, EA são os lados.
B
vértice
lado
A C
E D
Nomes dos Polígonos
Segundo o número de lados, os polígonos recebem nomes
especiais:
nome nº de lados
triângulo ..................................................... 3
quadrilátero ................................................ 4
pentágono .................................................. 5
hexágono ................................................... 6
heptágono .................................................. 7
octógono .................................................... 8
eneágono ................................................... 9
decágono .................................................. 10
undecágono .............................................. 11
dodecágono .............................................. 12
pentadecágono ......................................... 15
icoságono .................................................. 20
• O número de lados de um polígono é igual ao número de
vértices.
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 85
86. Espírito Santo
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Exercícios
1) Quais são os polígonos convexos ?
a) b) c)
2) Responda:
a) Quantos lados tem um hexágono ?
b) Quantos lados tem um undecágono ?
c) Quantos lados tem um polígono de 15 vértices ?
d) Quantos vértices tem um polígono de 9 lados ?
3) Como se chama um polígono de:
a) 5 lados ?
b) 12 lados ?
c) 7 vértices ?
d) 20 vértices ?
Soma dos ângulos internos de um polígono convexo
A traçar as diagonais que partem de um mesmo vértice de um
polígono, nós o dividimos em triângulos, cujo número de
triângulos é sempre o número de lados menos dois.
Veja:
A
B
2 4 lados ⇒ 2 triângulos
C
D
1
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CST
86 Companhia Siderúrgica de Tubarão
87. Espírito Santo
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Circunferência e Círculo
Circunferência
Circunferência é o conjunto de pontos de um plano,
equidistantes de um ponto do plano chamado centro.
Qualquer segmento com uma extremidade no centro e a outra
em um ponto da circunferência chamado de raio.
0
A
raio
Na figura:
• O é o centro da circunferência.
• OA e o raio.
• Indicação: C (O, r) (significa: circunferência de centro O e
raio r)
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Departamento Regional do Espírito santo 87
88. Espírito Santo
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Corda do diâmetro
• Corda é o segmento cujas extremidades pertencem à
circunferência.
• Diâmetro é a corda que passa pelo centro da circunferência.
Na figura ao lado:
• AB e RS são cordas.
• MN é diâmetro.
A
M
R
B
N
S
corda
diâmetro
corda
Observe que a medida do diâmetro é o dobro da medida do raio,
ou seja:
D = 2 r
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CST
88 Companhia Siderúrgica de Tubarão
89. Espírito Santo
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Círculo
Observe as figuras e seus respectivos nomes:
circunferência interior ou conjunto
dos pontos internos
círculo
Círculo é a união da circunferência e seu interior.
Convém destacar que:
• Todo ponto da circunferência pertence ao círculo.
• Existem pontos do círculo que não pertencem à
circunferência.
• O centro, o raio e o diâmetro da circunferência são também
centro, raio e diâmetro do círculo.
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 89
90. Espírito Santo
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Exercícios
1) Observe a figura e responda:
E
M
F
O
G
a) Quais segmentos são raios ?
b) Quais segmentos são cordas ?
c) Quais segmentos são diâmetros ?
2) Dos pontos indicados na figura ao lado:
S
A
B
R
E
M
O
C
T
a) Quais são internos à circunferência ?
b) Quais pertencem à circunferência ?
c) Quais são exteriores à circunferência ?
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CST
90 Companhia Siderúrgica de Tubarão
91. Espírito Santo
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3) Determine:
a) O diâmetro de uma circunferência cujo raio mede
4,5cm.
b) O raio de uma circunferência cujo diâmetro mede 17cm.
c) O diâmetro de um circunferência cujo raio é igual a x.
4) O diâmetro da circunferência mede 7cm e o segmento OP
mede 12cm.
O
M
P
Qual a medida do segmento MP ?
5) O raio de uma circunferência é dado por r = 2x - 6. Se o
diâmetro mede 20cm, calcule x.
Posições relativas de uma reta e uma circunferência
Uma reta r e uma circunferência C podem ocupar as seguintes
posições:
a ) C ∩ r = { A, B } (dois pontos comuns)
Dizemos que:
A reta é secante à circunferência.
A B
r
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SENAI
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92. Espírito Santo
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b ) C ∩ r = { A } (um ponto comum)
Dizemos que:
A reta é tangente à circunferência.
A
r
c ) C ∩ r = { ∅ } (não há ponto comum)
Dizemos que:
A reta é extrema à circunferência.
r
Propriedade:
Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio
no ponto de tangência.
r
P
O
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CST
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93. Espírito Santo
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Posições relativas de duas circunferências
Duas circunferências distintas podem ser:
a ) Secantes: têm dois pontos comuns.
M
C C’
N
C ∩ C’ = { M, N }
b ) Tangentes: têm único ponto comum.
tangentes exteriores
C C’
M
C ∩ C’ = { M }
tangentes interiores
M
C
C’
c ) Não-secantes: não têm ponto comum.
exteriores
C C’
C ∩ C’ = ∅
interiores
C C’
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 93
94. Espírito Santo
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Caso particular:
Duas circunferências não-secantes e que têm o mesmo centro
são chamadas concêntricas.
O = 1 O2
C1 C2
Exercícios:
1) Observe a figura e classifique:
F
E
o C2
G
P
H
s
r
t
o
C1
a) A reta s em relação à circunferência C2.
b) A reta r em relação à circunferência C2.
c) A reta r em relação à circunferência C1.
d) A reta t em relação à circunferência C1.
e) A reta s em relação à circunferência C1.
f) A reta t em relação à circunferência C2.
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CST
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95. Espírito Santo
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2) Observe a figura e responda:
R
S
P Q
T
C1 C2
C3
C5
C4
a) Qual a posição relativa entre as circunferências C1 e C2 ?
b) Qual a posição relativa entre as circunferências C2 e C3 ?
c) Qual a posição relativa entre as circunferências C1 e C3 ?
d) Qual a posição relativa entre as circunferências C3 e C4 ?
e) Qual a posição relativa entre as circunferências C3 e C5 ?
Arcos
Dados dois pontos distintos A e B sobre uma circunferência,
esta fica dividida em duas partes. Cada uma dessa partes é
denominada arco.
arco menor arco maior
Indicação: AB
Os pontos A e B são as extremidades desses arcos.
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 95