1. Pirâmide é um poliedro formado por uma base poligonal e faces laterais triangulares. Todos os
vértices do polígono da base são extremidades de segmentos cuja outra extremidade é um ponto
comum a todos: o vértice da pirâmide.
Nomenclatura das pirâmides
A nomenclatura da pirâmide ocorre de acordo com o polígono de sua base. Alguns exemplos:
• Pirâmide triangular: base é um triângulo.
• Pirâmide quadrangular: base é um quadrado.
• Pirâmide pentagonal: base é um pentágono.
• Pirâmide hexagonal: base é um hexágono.
• Pirâmide heptagonal: base é um heptágono.
• Pirâmide octogonal: base é um octógono.
Classificação das pirâmides
• Pirâmide reta: a projeção de seu vértice coincide com o ponto que tem a mesma distância dos
vértices do polígono da base (o centro geométrico do polígono).
• Pirâmide oblíqua: a projeção do vértice não coincide com o centro da base.
• Pirâmide regular: é uma pirâmide reta e sua base é um polígono regular.
Observação: um polígono é regular se, e somente se, todos os seus lados possuem a mesma medida
e todos os ângulos internos são congruentes entre si.
2. Área externa da pirâmide
A área externa (ou total) de uma pirâmide é calculada pela soma da área lateral (Al) mais a área da
base (Ab).
𝑨𝒕 = 𝑨𝒍 + 𝑨𝒃
Volume da pirâmide
É um terço do produto da área da base (Ab) pela altura (h):
𝑉 =
𝐴𝑏 ⋅ ℎ
3
3. Elementos
A base é o principal elemento caracterizador das pirâmides. Mas além desse importante elementos
existem outros:
• Face: polígono que pode ser observado nessa figura;
• Face lateral: face que não corresponde a sua base;
• Arestas: segmentos de reta formados na interseção de duas faces;
• Arestas laterais: arestas formadas pelo encontro de duas faces laterais;
• Arestas da base: lados da base da figura;
• Vértices: pontos de encontro entre as arestas;
• Vértice da pirâmide: ponto externo ao plano que contém a base da pirâmide;
• Altura: distância do vértice da pirâmide até o plano da base;
• Secção transversal: intersecção da pirâmide com um plano paralelo à sua base;
• Apótema: altura de uma face lateral com relação à base em uma pirâmide regular.
A pirâmide regular faz parte do seleto grupo dos Poliedros de Platão ou Sólidos de Platão. Tal
grupo também é composto pelo hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro e icosaedro.
Todas as figuras que pertencem a esse grupo obedecem às seguintes determinações:
• Todas as faces da figura devem ter a mesma quantidade de arestas;
• Todos os vértices da figura devem ser formados pela mesma quantidade de arestas;
• As figuras satisfazem a Relação de Euler V – A + F = 2, em que V é o número de vértices, A é
o número de arestas e F é o número de faces.
Aplicação: Sabe-se que pirâmide triangular possui quatro vértices, quatro faces e seis arestas.
Abaixo, podemos perceber como a Relação de Euler aplica-se a esse poliedro:
4. Exercício 4, pg 91 – Ex. 6 e 7, pg 92
Tetraedro Regular
O tetraedro regular é uma pirâmide regular que apresenta as quatro faces congruentes e as seis
arestas também congruentes.
Cálculo da área total do tetraedro.
Como o tetraedro regular é composto por 4 faces triangulares e os
triângulos das faces são equiláteros, a área total será dada por:
O elemento (a) na fórmula descrita acima é a medida da aresta do tetraedro. Para determinação à
altura do tetraedro utilizamos a seguinte formulação:
Cálculo do volume do tetraedro
O volume do tetraedro, assim como o de qualquer pirâmide, é obtido fazendo:
Onde,
SB → é a área da base do tetraedro.
Como,
e
Obtemos:
Ou
Ex, 2 e 3 pg 93
5. Cone é o conjunto de todos os segmentos que ligam os pontos de um círculo
(base) a um ponto fora do plano em que ele está contido.
Elementos e classificação do cone
Elementos:
• Vértice (V): ponto fora do plano da base e que pertence a definição de
cone.
• Eixo: é o segmento de reta que liga o vértice ao centro da base.
• Altura (h): é a distância entre o vértice e o plano da base.
• Raio (r): é o raio da base.
Classificação
• Cone reto: eixo perpendicular ao plano da base.
• Cone oblíquo: eixo oblíquo ao plano da base.
Geratrizes
Geratrizes do cone são segmentos com extremidades no vértice e na
circunferência da base. Seguindo os exemplos dos cones acima, observe
algumas de suas geratrizes:
Observação: No caso do cone reto, as geratrizes são congruentes.
6. Considerando um cone reto de raio da base r, altura h e geratrizes medindo g.
O desenho abaixo mostra um triângulo retângulo que podemos formar:
Então, pelo teorema de Pitágoras, temos que:
𝑔2
= ℎ2
+ 𝑟2
Área externa do cone
Considerando um cone reto de raio da base r, altura h e geratrizes medindo g.
A planificação desse cone mostra que ele é formado por:
• Base: um círculo de raio r.
• Lateral: um setor circular de comprimento de arco 2πr e raio g (geratriz).
Importante: não confundir o raio da base com o raio do setor circular! No nosso
exemplo, r é o raio da base e g é o raio do setor circular.
• Área da base: πr2 é a área do círculo.
• Área da lateral: área de setor circular de comprimento do arco 2πr e raio
g:
(𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑜 × 𝑟𝑎𝑖𝑜)
2
= 2(𝜋 ⋅ 𝑟 ⋅ 𝑔)
2
= 𝜋𝑟𝑔
Portanto, a área externa (ou total) do cone é:
𝐴𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎
= 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒
+ 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
= 𝜋𝑟2
+ 𝜋𝑟𝑔 = 𝜋𝑟(𝑟 + 𝑔)
7. Volume do cone
O volume do cone (V), assim como das pirâmides, é um terço da multiplicação
da área da base pela altura. Dado um cone de raio da base r e altura h, a área
da base (círculo) é 𝐴 = 𝜋𝑟2
e o volume do cone será 𝑉 =
𝜋𝑟2.ℎ
3
Ex. 4 e 5 pg 97
