phd presentation final

Введение
Процесс дисбаланса потоков заявок
Функциональные предельные теоремы
Токсичность потока заявок
Моделирование потоков заявок
на финансовых рынках
с использованием обобщенных процессов риска
Черток Андрей Викторович
ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова
a.v.chertok@gmail.com
Диссертация на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Специальность 01.01.05 – теория вероятностей и математическая статистика
Научный руководитель: д. ф.-м. н., профессор Королев В. Ю.
26 июня 2015, Москва
Черток Андрей Викторович 01.01.05

Введение
Цели и задачи
Основные результаты
Введение.

Введение
Книга заявок
book = b1, a1, vb
1, vb
2, . . . , vb
M , va
1 , va
2 , . . . , va
M
Рис.: Книга заявок в некоторый момент времени. Высота столбиков соответствует
объёмам заявок.

Введение
Цели и задачи исследования:
Разработать модель потоков заявок со случайными интенсивностями,
получить теоретическое и эмпирическое обоснование модели;
Разработать удобный индикатор текущего состояния книги заявок,
чувствительный к информации о потоках всех заявок;
Изучить предельные состояния рассматриваемых процессов для построения
их асимптотических аппроксимаций;
На основе процесса дисбаланса потоков заявок разработать математическую
модель токсичности потоков заявок, процедуру оценки токсичности потоков
заявок в режиме реального времени, разработать инструментарий для
решения задач прогнозирования токсичной ликвидности и ценовых шоков.

Введение
1. Разработана новая удобная модель эволюции книги заявок; в качестве удобного
индикатора, описывающего динамику потоков заявок, предложен процесс
дисбаланса потоков заявок; для описания процесса дисбаланса потоков заявок
предложена математическая модель вида двухсторонних процессов риска
(процессов риска со случайными премиями); предложено мультипликативное
представление интенсивностей потоков заявок, что позволило рассмотреть процесс
дисбаланса потоков заявок как специальный обобщённый процесс Кокса.
2. Предложенная модель изучена аналитически: получена теорема переноса, доказаны
функциональные предельные теоремы о сходимости процесса дисбаланса потоков
заявок в схеме серий к процессам Леви в пространстве Скорохода, доказаны
теоремы о сходимости процессов дисбаланса потоков заявок с элементарными
скачками, обладающими конечными дисперсиями, к процессам Леви с
распределениями, имеющими вид дисперсионно-сдвиговых смесей нормальных
одномерных распределений, в частности, к обобщённым гиперболическим
процессам Леви.
3. Построена математическая модель токсичности потоков заявок: на основе
аналитической модели процесса дисбаланса потоков заявок формализованы
понятия токсичности потоков заявок; разработаны байесовский и квантильный
показатели токсичности, рассчитываемые на основе параметров, описывающих
потоки всех заявок, поступающих на рынок; реализована процедура оценки
показателя токсичности в режиме реального времени.

Введение
История задачи
Традиционная модель динамики книги заявок
Улучшенная модель потоков интенсивностей
Предельные теоремы
Реальные данные
Глава 1.
Дисбаланс потоков заявок.

Введение
[Smith et al, 2003], [Bouchaud, Farmer et. al. 2008]
эмпирические свойства потоков заявок (high-frequency world) и книги заявок;
[Parlour, 1998], [Goettler, Parlour, Rajan, 2005]
price dynamics in limit order markets, equilibrium;
[Andersen, Cont, Vinkovskaya 2010], [Bacry et. al. 2010]
процессы Хоукса для интенсивностей;
авто- и кросс-корреляционная природа интенсивностей;
[Engle, Russell 1997 Engle], [Lunde 2003]
autoregressive conditional duration (ACD) model;
[Cont, Stoikov, Talreja 2010], [Cont, de Larrard 2012],
[Cont, Kukanov, Stoikov, 2014]
независимые пуассоновские процессы для каждого типа заявок;
интегральная характеристика текущего состояния книги заявок;
[Королев, Черток, Корчагин, Горшенин, 2013],
[Chertok, Korolev, Korchagin, 2014]
неоднородные (случайные) интенсивности;
мультипликативное представление интенсивностей;
процесс дисбаланса потоков заявок OFI (независимо от [Cont et. al, 2014]);
двухсторонний процесс риска как математическая модель OFI.

Введение
Традиционные модели потоков заявок
Интенсивности потоков заявок
В традиционных моделях ([Cont et. al, 2010]) потоки заявок - независимые
пуассоновские процессы с интенсивностями:
limit market cancel
buyers λ+
i µ+ θ+
i
sellers λ−
i µ− θ−
i
Объёмы заявок
Объёмы заявок:
покупатели: X+
i - н.о.р.с.в. с х.ф. f+(s);
продавцы: X−
i - н.о.р.с.в. с х.ф. f−(s).

Введение
Определим N+(t) и N−(t) - пуассоновские процессы с интенсивностями
λ+
= µ+
+
M
i=1
λ+
i +
M
i=1
θ−
i ,
λ−
= µ−
+
M
i=1
λ−
i +
M
i=1
θ+
i
Поток N+(t) соответствует покупателям, N−(t) – продавцам.
Определим процесс дисбаланса потоков заявок (OFI):
Q(t) = Q+
(t) − Q−
(t) =
N+
(t)
i=1
X+
i −
N−
(t)
j=1
X−
j

Введение
Связь Q(t) и p(t)
Связь OFI с процессом цены
Установлена связь (фьючерс на индекс РТС)
p(t + ∆) − p(t)
δ
= α + β
Q(t, t + ∆)
D(t)
+ (t),
где
p(t) =
b1(t) + a1(t)
2
.
Результаты для фьючерса на индекс РТС:
R2 ˆαi
ˆβi t( ˆαi = 0) t( ˆβi = 0)
83% -0.0101 0.0029 -0.83 14.73

Введение
Adverse selection
Рис.: Динамика b1(t) (зелёный), a1(t) (красный) и Q(t) в течение 1 секунды с момента
10:00:12.730 01.07.2014 (фьючерс на индекс РТС).

Введение
Неоднородная структура интенсивностей
Для t ≥ 0 введём положительные случайные процессы с интегрируемыми
траекториями
λ+
(t) = µ+
(t) +
M
i=1
λ+
i (t) +
M
i=1
θ−
i (t),
λ−
(t) = µ−
(t) +
M
i=1
λ−
i (t) +
M
i=1
θ+
i (t),
и функции
Λ+
(t) =
t
0
λ+
(τ)dτ and Λ−
(t) =
t
0
λ−
(τ)dτ, t ≥ 0. (1)
Пусть N+
1 (t) и N−
1 (t) – независимые пуассоновские процессы с единичной
интенсивностью. Обозначим
N+
(t) = N+
1 Λ+
(t) , N−
(t) = N−
1 Λ−
(t) .

Введение
Мультипликативное представление интенсивностей
Предложено мультипликативное представление интенсивностей:
Λ+
(t) = α+
(t)L(t), Λ−
(t) = α−
(t)L(t), t ≥ 0. (2)
где
L(t) - общий ажиотаж, обусловленный внешним информационным фоном
(сл. процесс);
α+(t) и α−(t) - степень реакции покупателей и продавцов на этот фон.
Для модели (2) получены обоснования:
теоретические;
эмпирические.

Введение
Определение процесса OFI в общем виде
OFI
Пусть N+
1 (t) и N−
1 (t) - независимые пуассоновские пр. с единичной
интенсивностью.
Рассмотрим процесс дисбаланса потоков заявок в общем виде
Q(t) =
N+
1 (α+
(t)L(t))
i=1
X+
i −
N−
1 (α−
(t)L(t))
j=1
X−
j .

Введение
Лемма 2.1
Лемма 2.1
Для каждого t ≥ 0 Q(t) имеет обобщённое смешанное пуассоновское
распределение. А именно, для каждого t ≥ 0
P Q(t) < x = P
N1 Λ(t)
j=1
Xt,j < x , x ∈ R,
где
Λ(t) = α+
(t) + α−
(t) L(t),
а Xt,1, Xt,2, . . . - о.р.с.в. с общей характеристической функцией
ft(s) ≡ EeisXt,1 =
α+(t)f+(s)
α+(t) + α−(t)
+
α−(t)f−(−s)
α+(t) + α−(t)
, s ∈ R, (3)
кроме того, для каждого t ≥ 0 случайные величины N1(t), Λ(t), Xt,1, Xt,2, . . .
являются независимыми.

Введение
Схема серий
Зафиксируем конечный временной интервал [0, T] и положим T = 1.
Qn(t) =
N
(n)
1 (Λn(t))
j=1
X
(n)
t,j ,
где
N
(n)
1 (t) – последовательность пуасс. пр. с единичными интенсивностями;
сл. вел. Xn,1, Xn,2, ... одинаково распределены для каждого n;
сл. вел. Xn,1, Xn,2, ... и N
(n)
1 (t) явл. независимыми для каждого n ≥ 1;
Λn(t) являются управляющими, то есть неубывающими положительными
процессами Леви, независимыми от
Zn(t) =
N
(n)
1 (t)
i=1
Xn,i, t ≥ 0, (4)
и такими, что Λn(0) = 0.

Введение
Теорема 2.1 (переноса)
Теорема 2.1. Предположим, что существует бесконечно возрастающая
последовательность {kn}n≥1 натуральных чисел и конечные числа µ ∈ R и σ > 0
такие, что случайные объёмы заявок Xn,j удовлетворяют условию
P(Xn,1 + . . . + Xn,kn < x) =⇒ Φ
x − µ
σ
.
Функции распределения процессов дисбалансов потоков заявок Qn сходятся к
некоторой функции распределения F(x):
P Qn < x =⇒ F(x) (5)
тогда и только тогда, когда существует функция распределения A(x) такая, что
A(0) = 0, функция распределения F(x) представима в виде
F(x) =
∞
0
Φ
x − αz
σ
√
z
dA(z)
и
P(Λn < xkn) =⇒ A(x). (6)

Введение
При работе с реальными данными для различных h
λ+
∗ (t, h) =
1
h
t
t−h
λ+
(τ)dτ и λ−
∗ (t, h) =
1
h
t
t−h
λ−
(τ)dτ.
Рассмотрим процессы
α∗(t, h) = ln λ+
∗ (t, h) × λ−
∗ (t, h),
β∗(t, h) = ln
λ+
∗ (t, h)
λ−
∗ (t, h)
=
1
2
ln r∗(t, h).
Свойства:
лог-нормальность r+
∗ (t, h) при h > 32 сек;
r∗(t, h) не обладает значимой автокорреляцией при любых h;
α∗(t, h) имеет нормальное распределение для h > 8 сек.

Введение
Рис.: Графики интенсивностей λ+
∗ (t, h) (выше оси x) и продавцов −λ−
∗ (t, h) (ниже оси
x), h = 60 сек.

Введение
Реальные данные: процесс r(t)
r(t) =
α+(t)
α−(t)
≈
λ+
∗ (t, h)
λ−
∗ (t, h)
.
Рис.: Отношение мгновенных интенсивн. покупателей и продавцов
λ
+
∗ (t,h)
λ
−
∗ (t,h)
, h = 60 сек.

Введение
Глава 2.
Функциональные предельные теоремы.

Введение
История функциональных предельных теорем
[Кащеев, 2001]
ФПТ для обобщенных процессов Кокса с квадратично интегрируемыми
управляющими процессами Λ(t);
класс предельных процессов не может содержать устойчивых процессов Леви
(помимо винеровского);
[Jacode, Shiryaev, 2003]
общее утверждение о сходимости суперпозиций семимартингалов со
стационарными приращениями;
следствие: ФПТ для обобщенных процессов Кокса с Λ(t): EΛ(t) ≤ Ct;
класс предельных процессов для обобщенных процессов Кокса, у которых
скачки имеют конечную дисперсию, не содержит устойчивых процессов Леви.
[Королев, Закс, Зейфман, 2013]
ФПТ для обобщенных процессов Кокса, у которых скачки имеют конечную
дисперсию;
класс предельных процессов содержит устойчивые процессы Леви, что, в
частности, хорошо описывает часто наблюдаемую кластеризацию заявок;
рассмотрен только симметричный случай.
[Korolev, Chertok, Korchagin, Zeifman, 2014]
вышеупомянутые результаты распространены на несимметричный случай;
приведен критерий сходимости обобщенных процессов Кокса, в частности,
двусторонних процессов риска, описывающих процесс дисбаланса потоков
заявок, к обобщенным гиперболическим процессам Леви.

Введение
Схема серий
Qn(t) =
N
(n)
1 (Λn(t))
j=1
X
(n)
t,j ,
где
N
(n)
1 (t) – последовательность пуасс. пр. с единичными интенсивностями;
сл. вел. Xn,1, Xn,2, ... одинаково распределены для каждого n;
сл. вел. Xn,1, Xn,2, ... и N
(n)
1 (t) явл. независимыми для каждого n ≥ 1;
Λn(t) являются управляющими, то есть неубывающими положительными
процессами Леви, независимыми от
Zn(t) =
N
(n)
1 (t)
i=1
Xn,i, t ≥ 0, (7)
и такими, что Λn(0) = 0.

Введение
Условия
P Λn(1) < knx
d
−→ P(U < x), (8)
где U – неотрицательная сл. вел. такая, что её распр. не вырождается в нуле.
Для некоторых δ, δ1 ∈ (0, 1] и Cn > 0 выполняется
EΛδ
n(t) ≤ (Cnt)δ1 . (9)
Для некоторой последовательности kn ∈ N имеет место сходимость
P(Xn,1 + ... + Xn,kn < x)
d
−→ H(x), (10)
где H(x) - некоторая функция распределения безгранично делимой сл. вел.
Для некоторого β ∈ [1, 2]
0 < mβ
n ≡ E|Xn,1|β
< ∞ (11)
K ≡ sup
n
C
δ1/δ
n mβ
n < ∞, (12)

Введение
Теорема 3.1
Теорема 3.1. Пусть процесс дисбаланса потока заявок Qn(t) управляется
неубывающим положительным процессом Леви Λn(t), удовлетворяющим
условиям (8) и (9). Предположим, что случайные величины {Xn,j}j≥1
удовлетворяют условию (10) с теми же значениями kn, а также удовлетворяют
условию (11). Также предположим, что выполнено условие (12). Тогда процесс
Qn(t) слабо сходится в пространстве Скорохода D к процессу Леви Q(t) такому,
что
E exp{isQ(1)} =
∞
0
h(s)
u
dP(U < u), s ∈ R, (13)
где h(s) - характеристическая функция, соответствующая функции
распределения H(x) в условии (10).

Введение
Теорема 3.2
Пусть при некоторых a ∈ R, 0 < σ2 < ∞ и некотором > 0 выполняются условия
(при n → ∞)
knan −→ a, knσ2
n −→ σ2
и knE(Xn,1 − an)2
I(|Xn,1 − an| ≥ ) −→ 0, (14)
Теорема 3.2. Пусть процессы дисбаланса потоков заявок Qn(t) управляются
неубывающими положительными процессам Леви Λn(t), удовлетворяющими
условию (9) с некоторыми δ, δ1 ∈ (0, 1]. Предположим, что объёмы заявок
{Xn,j}j≥1 удовлетворяют условиям (14) с некоторыми kn ∈ N. Также
предположим, что выполняется условие (12) с β = 2. Тогда процессы Qn(t)
слабо сходятся в пространстве Скорохода D к процессу Леви Q(t) тогда и только
тогда, когда существует неотрицательная случайная величина U, такая, что
P Q(1) < x =
∞
0
Φ
x − au
σ
√
u
dP(U < u), x ∈ R, (15)
и выполняется условие (8) с теми же самыми kn.

Введение
GIG-GH
Плотность обобщённого обратного гауссовского распределения
pGIG(x; ν, µ, λ) =
λν/2
2µν/2Kν
√
µλ
· xν−1
· exp −
1
2
µ
x
+ λx , x > 0.
Функция обобщённого гиперболического распределения
PGH (x; α, σ, ν, µ, λ) =
∞
0
Φ
x − αz
σ
√
z
pGIG(z; ν, µ, λ)dz, x ∈ R

Введение
Теорема 3.3
Теорема 3.3. При выполнении условий (9), (12) с β = 2 и (14) процесс Qn(t)
слабо сходится (в пространстве Скорохода D) к обобщенному гиперболическому
процессу Леви Q(t) так что
P Q(1) < x
d
−→ PGH (x; a, σ, ν, µ, λ)
тогда и только тогда, когда
P(Λn(1) < knx)
d
−→ PGIG(x; ν, µ, λ).

Введение
GIG: реальные интенсивности
Рис.: Гистограмма количества заявок от покупателей за 15секундные интервалы времени.

Введение
Профиль и показатели токсичности
Модель с единичными объёмами заявок
Экспоненциальная модель
Глава 3.
Токсичность.

Введение
[EKOP, 1996]
модель PIN;
[Easley, de Prado, O’Hara, 2012]
модель VPIN;
[Andresen, Bondarenko 2014]
критика VPIN;
[Черток, 2015]
профиль токсичности на основе процесса дисбаланса потоков заявок;
показатели токсичности (байесовский и квантильный).

Введение
Профиль токсичности
Рассмотрим на промежутке [0, T]
Q(t) = Q+
(t) − Q−
(t) =
N+
(t)
i=1
X+
i −
N−
(t)
j=1
X−
j
Пусть λ+EX+
1 > λ−EX−
1 (восходящий тренд). Для u > 0 рассмотрим
φ±(u, T) = P( inf
0<t≤T
Q(t) ≥ −u).
Определение. Профиль мгновенной токсичности потока заявок:
φ±(u) = lim
T →∞
φ±(u, T) = lim
T →∞
P( inf
0<t≤T
Q(t) ≥ −u).

Введение
Функция φ±(u): как вычислять
Лемма
Функция φ±(u) удовлетворяет интегральному уравнению
(λ+
+ λ−
)φ±(u) = λ−
u
0
φ±(u − v)dF(v) + λ+
∞
0
φ±(u + v)dG(v).
Если R – решение характеристического уравнения
λ+
(Ee−RX+
1 − 1) + λ−
(EeRX−
1 − 1) = 0,
то
φ±(u) =
e−Ru
E{e−RQ(t)|τ < ∞}
,
при этом φ±(u) ≥ 1 − e−Ru.

Введение
Показатели токсичности
Введены показатели токсичности на основе процесса дисбаланса потоков заявок.
Байесовский подход
Зафиксируем u0 > 0. Пусть w(u) - некоторая функция, такая что
∞
0
w(x)dx = 1,
∞
0
xw(x)dx = u0.
Байесовский показатель мгновенной токсичности:
θ
(w)
± = θ
(w)
± (u0) =
∞
0
φ±(u)w(u)du.
Квантильный подход
Зафиксируем 0 < α < 1.
Квантильный α-показатель мгновенной токсичности - такое минимальное q±, что
φ±(q±) ≥ α

Введение
Токсичность: единичные объёмы заявок
Модель рынка с заявкаи единичного объёма P(X+
i = 1) = P(X−
i = 1) = 1:
Q(t) =
N+
(t)
i=1
1 −
N−
(t)
i=1
1 = N+
(t) − N−
(t).
Профиль мгновенной токсичности
φ±(u) = φ±([u]) = 1 −
λ−
λ+
[u]+1
Байесовский показатель токсичности:
θ±(u0) = 1 − reu0(r−1)
Квантильный показатель токсичности:
q±(α) =
ln(1 − α)
ln r
− 1

Введение
Простая модель: профиль токсичности
Рис.: Функция φ±(u) в простой модели для разных r = λ−
λ+ . Чёрный цвет – функция
w(u) – плотность (отн. считающей меры) пуассоновского распр. со средним u0 = 3.

Введение
Экспоненциальная модель: OFI и профиль токсичности
Объёмы заявок имеют экспоненциальное распределение:
G(t) = 1 − e−bt
и F(t) = 1 − e−at
.
При λ+/b > λ−/a и для u > 0 профиль мгновенной токсичности
φ±(u) = β exp (−γu) ,
Байесовский показатель токсичности:
θ±(u0) = 1 −
β
γu−1
0 + 1
u2
0
Квантильный показатель токсичности:
q±(α) =
ln β − ln(1 − α)
γ

Введение
Экспоненциальная модель: профиль токсичности
Рис.: Функция профиля токсичности φ±(u) в модели рынка с экспоненциальными
объёмами заявок для разных наборов (λ+
, λ−
, b, a). Чёрным цветом показана весовая
функция w(u) – плотность гамма-распределения Γ(u2
0, u−1
0 ) при u0 = 2.

Введение

Введение
Оценка параметров
Рис.: Оценка параметров λ+
, λ−
, b, a в режиме реального времени.

Введение
Показатели токсичности
Рис.: Графики β, γ, байесовского и квантильного показателей токсичности в режиме
реального времени, ось x – номер соответствующего τ-интервала.

Введение
Публикации I
Публикации из списка ВАК:
А. В. Черток.
О формализации понятия токсичности потока заявок на финансовых рынках.
Информатика и её применения, 8:4 (2014), 20–31
В. Ю. Королев, А. В. Черток, А. Ю. Корчагин, А. К. Горшенин
Вероятностно-статистическое моделирование информационных потоков в сложных
финансовых системах на основе высокочастотных данных
Информатика и её применения, 7:1 (2013), 12–21
V.Yu. Korolev, A. V. Chertok, A. Yu. Korchagin, A.I. Zeifman
Modeling high-frequency order ﬂow imbalance by functional limit theorems for two-sided
risk processes
Applied Mathematics and Computation, Volume 253, 15 February 2015, Pages 224–241.
В. Ю. Королев, А. Ю. Корчагин, И. А. Соколов, А. В. Черток,
О работах в области моделирования информационных потоков в современных
высокочастотных финансовых приложениях.
Системы и средства информатики, 24:4 (2014), 63–85

Введение
Публикации II
Прочие публикации:
A. Chertok,
On order flow toxicity.
AIP Conf. Proc. 1648 , 250013 (2015) (WoS)
Chertok A. V., Korolev V. Yu., and Korchagin A. Yu.
Modeling high-frequency non-homogeneous order flows by compound Cox processes.
Journal of Mathematical Science, 2015.
Available at: arXiv:1410.1900v2 [math.PR], January 14, 2014.
Andrey K. Gorshenin, Victor Yu. Korolev, Alexander I. Zeifman, Sergey Ya. Shorgin,
Andrey V. Chertok, Artem I. Evstafyev and Alexander Yu. Korchagin,
Modelling stock order flows with non-homogeneous intensities from high-frequency data
AIP Conf. Proc. 1558 , 2394 (2013) (WoS)
Alexander I. Zeifman, Victor Yu. Korolev, Andrey V. Chertok and Sergey Ya. Shorgin,
On ergodicity bounds for an inhomogeneous birth-death process
AIP Conf. Proc. 1648 , 250011 (2015) (WoS)

Введение
1. Разработана новая удобная модель эволюции книги заявок; в качестве удобного
индикатора, описывающего динамику потоков заявок, предложен процесс
дисбаланса потоков заявок; для описания процесса дисбаланса потоков заявок
предложена математическая модель вида двухсторонних процессов риска
(процессов риска со случайными премиями); предложено мультипликативное
представление интенсивностей потоков заявок, что позволило рассмотреть процесс
дисбаланса потоков заявок как специальный обобщённый процесс Кокса.
2. Предложенная модель изучена аналитически: получена теорема переноса, доказаны
функциональные предельные теоремы о сходимости процесса дисбаланса потоков
заявок в схеме серий к процессам Леви в пространстве Скорохода, доказаны
теоремы о сходимости процессов дисбаланса потоков заявок с элементарными
скачками, обладающими конечными дисперсиями, к процессам Леви с
распределениями, имеющими вид дисперсионно-сдвиговых смесей нормальных
одномерных распределений, в частности, к обобщённым гиперболическим
процессам Леви.
3. Построена математическая модель токсичности потоков заявок: на основе
аналитической модели процесса дисбаланса потоков заявок формализованы
понятия токсичности потоков заявок; разработаны байесовский и квантильный
показатели токсичности, рассчитываемые на основе параметров, описывающих
потоки всех заявок, поступающих на рынок; реализована процедура оценки
показателя токсичности в режиме реального времени.

Введение
Спасибо за внимание!

phd presentation final

Recommended

Recommended

More Related Content

Featured

Featured (20)

phd presentation final