Optimisasi

1. Optimasi Tanpa Kendala:
Satu Peubah
Pertemuan ke-4
STA1373- Optimisasi Statistika
Akbar Rizki, S.Stat., M.Si

2. Outline
Elimination Method
• Fibonacci Search Method
• Golden Section Search Method
Interpolation Method
• Quadratic Interpolation
• Inverse Quadratic Interpolation
Direct Root Finding Method
• Newton’s Method
• Halley’s Method
• Secant Method
• Bisection Method

3. Pengantar: Optimasi Tak Linier
Optimasi tak linier adalah pencarian dan penentuan nilai optimum
(maksimum dan atau minimum) dari suatu persamaan nonlinier, yang
secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:
Dimana 𝑓 𝑥 merupakan fungsi nonlinier yang dapat melibatkan n
buah peubah.

4. Contoh permasalahan
Masalah produk campuran dan elastisitas
harga
Penentuan fungsi keuntungan pada
perusahaan besar tidak hanya dipengaruhi
oleh jenis produk saja, melainkan dapat
juga dipengaruhi oleh elastisitas harga di
mana banyaknya barang yang dapat dijual
berbanding terbalik dengan harganya. Hal
ini menjadikan kurva harga permintaan
menjadi tidak linear.

5. Pengantar: Optimasi Tanpa Kendala Satu
Peubah
• Fungsi yang akan dioptimumkan merupakan fungsi 𝑓 𝑥 unimodal.
Oleh karena itu syarat perlu dan cukup agar penyelesaian 𝑥 = 𝑥∗
menjadi optimal (maksimum global) adalah:
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑥 = 𝑥∗

6. FIBONACCI SEARCH METHOD
• Pada metode ini kita harus menentukan lebih dulu dua bilangan
sebagai interval dimana nilai minimum akan kita cari pada interval
tersebut.
• Setiap iterasi pada metode ini memerlukan deret Fibonacci, dimana
ditentukan sebagai berikut:
𝐹𝑣+1 = 𝐹𝑣 + 𝐹𝑣−1
Dimana 𝐹0 dan 𝐹1 = 1 ; v = 1, 2, 3, … , dst
Deret Fibonacci adalah: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ….

7. FIBONACCI SEARCH METHOD
Algoritma:
• Menentukan interval awal yaitu 𝑎1 dan 𝑏1
• Memilih jumlah iterasi “n”
• Menentukan 𝜆1 dan 𝜇1 dan k=1 dan 𝜀 = 0.01
• Menghitung 𝐹(𝜆𝑘) dan F 𝜇𝑘
Keterangan:
𝑎𝑘= batas bawah
𝑏𝑘= batas atas
n = jumlah evaluasi fungsi

8. FIBONACCI SEARCH METHOD

9. FIBONACCI SEARCH METHOD
• Contoh:
Misalkan diketahui sebuah fungsi tak linear sebagai berikut:
Fibonacci search method akan digunakan untuk mencari nilai 𝑥∗
minimum. Misalkan n=25 dan interval awal adalah [-2.5; 2.5].
Maka sintaks R untuk menyelesaikan masalah tersebut adalah:
Terlampir pada file: Fibonacci.R

10. QUADRATIC INTERPOLATION
• Metode interpolasi kuadratik
melibatkan tiga titik tebakan awal
dalam mencari nilai optimum.
• Penggunaan polinomial orde-dua
menghasilkan pendekatan cukup baik
terhadap bentuk f (x) di dekat titik
optimum, sehingga Metode
interpolasi kuadrat dapat digunakan
untuk melakukan optimasi secara
numerik

11. QUADRATIC INTERPOLATION
• Algoritma

12. QUADRATIC INTERPOLATION
• Contoh:
Misalkan diketahui sebuah fungsi tak linear sebagai berikut:
Quadratic Interpolation akan digunakan untuk mencari nilai minimum
𝑥∗
dari fungsi tersebut.
Maka sintaks R untuk menyelesaikan masalah tersebut adalah:
Terlampir pada file: Newton Quadratic.R

13. REFERENSI
• B. S. Everitt. 1987. Introduction to Optimization Methods and their
Application in Statistics. Chapman and Hall, New York
• Rao, Singiresu SEngineering Optimization Theory and and Practice,
4th ed., pages 273:279
• https://indrag49.github.io/Numerical-Optimization/solving-one-
dimensional-optimization-problems.html
• https://github.com/brunasqz/NonlinearOpMethods/blob/versionII/R
/quadraticinterpolation.R