Matematika skupovi i funkcije

1. • Prof.dr Mimica Milošević
• E-mail:
mimica.milosevic@gmail.com
• mmilosevic@unionnikolatesla.edu.rs
• Tel: 0631152805

3.  Posmatrajmo u nastavku dva skupa A i B. U zavisnosti od njihovih
elemenata mogu nastupiti sledeći slučajevi:

4.  Pretpostavimo da imamo dva skupa A i B. Nad njima je moguće definisati
sledeće operacije kojima se dobija novi skup C:
 1. presek,
 2. unija,
 3. razlika
 4. simetrična razlika.

5.  Skup svih podskupova skupa A nazivamo partitativni skup skupa A.
 Simbolički ovo označavamo sa

6.  Skup čiji elementi nisu elementi skupa A nazivamo komplement skupa A
 u odnosu na skup I je

7.  Za neke skupove su usvojene sledeće standardne oznake:
 C - skup kompleksnih brojeva,
 R - skup realnih brojeva,
 I - skup iracionalnih brojeva,
 Q - skup racionalnih brojeva,
 Z - skup celih brojeva,
 N - skup prirodnih brojeva,
 2N - skup parnih brojeva,

8.  Komutativnost preseka, unije i simetrične razlike
 Asocijativnost preseka, unije i simetrične razlike
 Idempotentnost preseka i unije

9.  Distributivnost preseka prema uniji i obrnuto
 Distributivnost preseka prema preseku i unije prema uniji

10. ?

11.  U skupu redosled pojavljivanja elemenata je nebitan
 Mesto svakog elementa u uređenom paru jednoznačno određeno.
 Jednakost uređenih n-torki

12.  Dekartov proizvod skupa A i B je skup
 Dekartov proizvod n skupova:

14.  Za relaciju ρ na skupu A važi:
 Relacija ρ je refleksivna na skupu A, ako za svako a ∈ A važi da je u
relaciji sa samim sobom, a ρ a;
 Relacija ρ je simetrična na skupu A, ako za svako a; b ∈ A iz činjenice da
je a ρ b sledi da je b ρ a
 Relacija ρ je tranzitivna na skupu A, ako za svako a; b; c ∈ A iz činjenica
da je a ρ b i b ρ c sledi da je a ρ c.

15.  Relacija ρ na skupu A koja je refleksivna, simetrična i tranzitivna
naziva se relacija ekvivalencije na skupu A.
• Relacija je refleksivna jer su svi elementi u relaciji sa samim
sobom (videti graf)
• Relacija jeste simetrična, jer za proizvoljna dva elementa iz
skupa A važi da je prvi element u relaciji sa drugim ako je
drugi u relaciji sa prvim
• Relacija jeste tranzitivna, jer za svaka tri elementa iz skupa
A važi da ako je prvi element u relaciji sa drugim i drugi
element sa trećim tada je i prvi element u relaciji sa trećim

16. a
b

17.  Ako su A i B dva neprazna skupa, pod preslikavanjem (funkcijom) f
skupa A u skup B podrazumeva se relacija, to jest jedan podskup skupa
 A × B takav da se svako a ∈ A javlja tačno jedanput kao prva
komponenta u elementima navedenog podskupa

20.  Ukoliko je binarna operacija ∘ definisana na nekom nepraznom skupu A
ona može imati sledeće osobine:
 Ako za svako a; b ∈ A važi da je
a ∘ b = b ∘ a tada je operacija komutativna;
 Ako za svako a; b; c ∈ A važi da je
(a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c) operacija je asocijativna;
 Ako postoji u skupu A element e takav da je
a ∘ e = e ∘ a = a, tada je e neutralni element;
 Ako za svaki elemet a ∈ A postoji element a´ ∈ A takav da važi
a ∘ a´ = a´ ∘ a = e tada je a´ inverzni element elementa a i obrnuto.

22.  U zavisnosti od osobina operacije ∗ algebarska struktura (A; ∗) je:
(A; ∗) je grupoid
 Ako je operacija ∗ asocijativna, struktura (A; ∗) je asocijativni grupoid ili
polugrupa (semigrupa);
 Ako u grupoidu (A; ∗) postoji neutralni element, tada za njega kažemo da je
grupoid sa jedinicom;

23.  (A; ∗) je grupa ako je ispunjeno:
◦ Operacija ∗ je asocijativna,
◦ u grupoidu (A; ∗) postoji neutralni element,
◦ za svaki elemet a ∈ A postoji inverzni element a´ u odnosu na operaciju ∗,
 Ako je operacija ∗ u grupi (A; ∗) komutativna tada je struktura (A; ∗)
komutativna ili Abelova grupa.

24.  Posmatrajmo algebarsku strukturu (N; +). U prethodnom primeru smo
ispitali osobine koje poseduje binarna operacija + na skupu prirodnih
brojeva N i videli smo da poseduje osobine
komutativnosti 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
i asocijativnosti (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)
 a da nema neutralni element. Na osnovu toga vidimo da je algebarska
struktura (N; +) komutativna polugrupa