6. Ñèììåòðè÷íàÿ êðèïòîãðàôèÿ
Àëèñà(A) è Áîá(B) õîòÿò îáìåíèâàòüñÿ ñîîáùåíèÿìè, êîòîðûå
íèêòî êðîìå íèõ íå ìîæåò ïðî÷èòàòü.
Îáùèé ñåêðåòíûé êëþ÷ K:
Øèôðîâàíèå: EK(m) = c:
Äåøèôðîâàíèå: DK(c) = m:
7. Ñèììåòðè÷íàÿ êðèïòîãðàôèÿ
Àëèñà(A) è Áîá(B) õîòÿò îáìåíèâàòüñÿ ñîîáùåíèÿìè, êîòîðûå
íèêòî êðîìå íèõ íå ìîæåò ïðî÷èòàòü.
Îáùèé ñåêðåòíûé êëþ÷ K:
Øèôðîâàíèå: EK(m) = c:
Äåøèôðîâàíèå: DK(c) = m:
Òðåáîâàíèÿ ê ñõåìå øèôðîâàíèÿ:
8. Ñèììåòðè÷íàÿ êðèïòîãðàôèÿ
Àëèñà(A) è Áîá(B) õîòÿò îáìåíèâàòüñÿ ñîîáùåíèÿìè, êîòîðûå
íèêòî êðîìå íèõ íå ìîæåò ïðî÷èòàòü.
Îáùèé ñåêðåòíûé êëþ÷ K:
Øèôðîâàíèå: EK(m) = c:
Äåøèôðîâàíèå: DK(c) = m:
Òðåáîâàíèÿ ê ñõåìå øèôðîâàíèÿ:
1) Êîððåêòíîñòü: DK(EK(m)) = m:
9. Ñèììåòðè÷íàÿ êðèïòîãðàôèÿ
Àëèñà(A) è Áîá(B) õîòÿò îáìåíèâàòüñÿ ñîîáùåíèÿìè, êîòîðûå
íèêòî êðîìå íèõ íå ìîæåò ïðî÷èòàòü.
Îáùèé ñåêðåòíûé êëþ÷ K:
Øèôðîâàíèå: EK(m) = c:
Äåøèôðîâàíèå: DK(c) = m:
Òðåáîâàíèÿ ê ñõåìå øèôðîâàíèÿ:
1) Êîððåêòíîñòü: DK(EK(m)) = m:
2) Ñòîéêîñòü.
11. Àñèììåòðè÷íàÿ êðèïòîãðàôèÿ
Àëèñà õî÷åò, ÷òîáû êòî óãîäíî ìîã íàïèñàòü åé ñîîáùåíèå, íî
ïðî÷èòàòü åãî ìîãëà òîëüêî îíà.
Ïàðà èç îòêðûòîãî è çàêðûòîãî êëþ÷åé (e; d).
Êëþ÷ e èçâåñòåí âñåì, d òîëüêî Àëèñå.
12. Àñèììåòðè÷íàÿ êðèïòîãðàôèÿ
Àëèñà õî÷åò, ÷òîáû êòî óãîäíî ìîã íàïèñàòü åé ñîîáùåíèå, íî
ïðî÷èòàòü åãî ìîãëà òîëüêî îíà.
Ïàðà èç îòêðûòîãî è çàêðûòîãî êëþ÷åé (e; d).
Êëþ÷ e èçâåñòåí âñåì, d òîëüêî Àëèñå.
Øèôðîâàíèå: Ee(m) = c:
13. Àñèììåòðè÷íàÿ êðèïòîãðàôèÿ
Àëèñà õî÷åò, ÷òîáû êòî óãîäíî ìîã íàïèñàòü åé ñîîáùåíèå, íî
ïðî÷èòàòü åãî ìîãëà òîëüêî îíà.
Ïàðà èç îòêðûòîãî è çàêðûòîãî êëþ÷åé (e; d).
Êëþ÷ e èçâåñòåí âñåì, d òîëüêî Àëèñå.
Øèôðîâàíèå: Ee(m) = c:
Äåøèôðîâàíèå: Dd (c) = m:
14. Àñèììåòðè÷íàÿ êðèïòîãðàôèÿ
Àëèñà õî÷åò, ÷òîáû êòî óãîäíî ìîã íàïèñàòü åé ñîîáùåíèå, íî
ïðî÷èòàòü åãî ìîãëà òîëüêî îíà.
Ïàðà èç îòêðûòîãî è çàêðûòîãî êëþ÷åé (e; d).
Êëþ÷ e èçâåñòåí âñåì, d òîëüêî Àëèñå.
Øèôðîâàíèå: Ee(m) = c:
Äåøèôðîâàíèå: Dd (c) = m:
Òðåáîâàíèÿ ê ñõåìå øèôðîâàíèÿ:
1) Êîððåêòíîñòü: Dd (Ee(m)) = m:
2) Ñòîéêîñòü.
15. Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü è ôóíêöèÿ Ýéëåðà
ÍÎÄ äâóõ öåëûõ ÷èñåë a; b ýòî íàòóðàëüíîå ÷èñëî, äåëÿùååñÿ
íà âñå îáùèå äåëèòåëè a; b.
×èñëà íàçûâàþòñÿ âçàèìíî ïðîñòûìè, åñëè èõ ÍÎÄ ðàâåí 1.
Ôóíêöèÿ Ýéëåðà (n) ðàâíà êîëè÷åñòâó íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò
1 äî n, êîòîðûå âçàèìíî ïðîñòû ñ n.
Òåîðåìà Ýéëåðà: åñëè (a; n) = 1, òî a(n) 1 (mod n):
18. RSA
0) Âûáèðàåì ïðîñòûå ÷èñëà p; q. Ïóñòü N = pq.
1) Âûáèðàåì ÷èñëî e òàê, ÷òîáû (e; (N)) = 1. Ïóáëèêóåì e è
N.
19. RSA
0) Âûáèðàåì ïðîñòûå ÷èñëà p; q. Ïóñòü N = pq.
1) Âûáèðàåì ÷èñëî e òàê, ÷òîáû (e; (N)) = 1. Ïóáëèêóåì e è
N.
2) Íàõîäèì d, äëÿ êîòîðîãî ed 1 (mod (N)):
20. RSA
0) Âûáèðàåì ïðîñòûå ÷èñëà p; q. Ïóñòü N = pq.
1) Âûáèðàåì ÷èñëî e òàê, ÷òîáû (e; (N)) = 1. Ïóáëèêóåì e è
N.
2) Íàõîäèì d, äëÿ êîòîðîãî ed 1 (mod (N)):
Ee(m) me (mod N):
21. RSA
0) Âûáèðàåì ïðîñòûå ÷èñëà p; q. Ïóñòü N = pq.
1) Âûáèðàåì ÷èñëî e òàê, ÷òîáû (e; (N)) = 1. Ïóáëèêóåì e è
N.
2) Íàõîäèì d, äëÿ êîòîðîãî ed 1 (mod (N)):
Ee(m) me (mod N):
Dd (m) md (mod N):
22. RSA
0) Âûáèðàåì ïðîñòûå ÷èñëà p; q. Ïóñòü N = pq.
1) Âûáèðàåì ÷èñëî e òàê, ÷òîáû (e; (N)) = 1. Ïóáëèêóåì e è
N.
2) Íàõîäèì d, äëÿ êîòîðîãî ed 1 (mod (N)):
Ee(m) me (mod N):
Dd (m) md (mod N):
Êîððåêòíîñòü:
(me)d med m (mod N)
23. RSA
0) Âûáèðàåì ïðîñòûå ÷èñëà p; q. Ïóñòü N = pq.
1) Âûáèðàåì ÷èñëî e òàê, ÷òîáû (e; (N)) = 1. Ïóáëèêóåì e è
N.
2) Íàõîäèì d, äëÿ êîòîðîãî ed 1 (mod (N)):
Ee(m) me (mod N):
Dd (m) md (mod N):
Êîððåêòíîñòü:
(me)d med m (mod N)
Çàäà÷à ïðîòèâíèêà â òîì, ÷òîáû ïî N; e âû÷èñëèòü d. Ýòà
çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å ôàêòîðèçàöèè: ðàçëîæèòü N íà
ìíîæèòåëè.
26. Äîêàçàòåëüñòâà ñ íóëåâûì ðàçãëàøåíèåì.
Òðåáîâàíèÿ:
1) Ïîëíîòà. Åñëè Àëèñà è Áîá ñëåäóþò ïðîòîêîëó, è Àëèñà
çíàåò ñåêðåò, âåðîÿòíîñòü ïðèíÿòèÿ Áîáîì äîêàçàòåëüñòâà
ðàâíà 1.
27. Äîêàçàòåëüñòâà ñ íóëåâûì ðàçãëàøåíèåì.
Òðåáîâàíèÿ:
1) Ïîëíîòà. Åñëè Àëèñà è Áîá ñëåäóþò ïðîòîêîëó, è Àëèñà
çíàåò ñåêðåò, âåðîÿòíîñòü ïðèíÿòèÿ Áîáîì äîêàçàòåëüñòâà
ðàâíà 1.
2) Êîððåêòíîñòü. Åñëè Àëèñà íå çíàåò ñåêðåò, òî îíà ñìîæåò
äîêàçàòü îáðàòíîå ñ ïðåíåáðåæèìî ìàëîé âåðîÿòíîñòüþ
28. Äîêàçàòåëüñòâà ñ íóëåâûì ðàçãëàøåíèåì.
Òðåáîâàíèÿ:
1) Ïîëíîòà. Åñëè Àëèñà è Áîá ñëåäóþò ïðîòîêîëó, è Àëèñà
çíàåò ñåêðåò, âåðîÿòíîñòü ïðèíÿòèÿ Áîáîì äîêàçàòåëüñòâà
ðàâíà 1.
2) Êîððåêòíîñòü. Åñëè Àëèñà íå çíàåò ñåêðåò, òî îíà ñìîæåò
äîêàçàòü îáðàòíîå ñ ïðåíåáðåæèìî ìàëîé âåðîÿòíîñòüþ
3) Íóëåâîå ðàçãëàøåíèå. Â õîäå äîêàçàòåëüñòâà Áîá íå óçíàåò
ñîäåðæàòåëüíóþ èíôîðìàöèþ, êîòîðàÿ áû ïîçâîëèëà åìó
ñàìîñòîÿòåëüíî äîêàçûâàòü çíàíèå ñåêðåòà.
31. Äîêàçàòåëüñòâà ñ íóëåâûì ðàçãëàøåíèåì. Ïðèìåð.
Ãîëüäðàéõ, Ìèêàëè, Âèãäåðñîí, 1991.
Ïóñòü G0 = (V; E0);G1 = (V; E1) äâà èçîìîðôíûõ ãðàôà,
Àëèñà çíàåò èçîìîðôèçì . G0 = G1.
32. Äîêàçàòåëüñòâà ñ íóëåâûì ðàçãëàøåíèåì. Ïðèìåð.
Ãîëüäðàéõ, Ìèêàëè, Âèãäåðñîí, 1991.
Ïóñòü G0 = (V; E0);G1 = (V; E1) äâà èçîìîðôíûõ ãðàôà,
Àëèñà çíàåò èçîìîðôèçì . G0 = G1.
Îäèí ðàóíä (âñåãî m):
33. Äîêàçàòåëüñòâà ñ íóëåâûì ðàçãëàøåíèåì. Ïðèìåð.
Ãîëüäðàéõ, Ìèêàëè, Âèãäåðñîí, 1991.
Ïóñòü G0 = (V; E0);G1 = (V; E1) äâà èçîìîðôíûõ ãðàôà,
Àëèñà çíàåò èçîìîðôèçì . G0 = G1.
Îäèí ðàóíä (âñåãî m):
1) Àëèñà âûáèðàåò ñëó÷àéíóþ ïåðåñòàíîâêó íà ìíîæåñòâå V,
ïîñûëàåò Áîáó ãðàô G1.
34. Äîêàçàòåëüñòâà ñ íóëåâûì ðàçãëàøåíèåì. Ïðèìåð.
Ãîëüäðàéõ, Ìèêàëè, Âèãäåðñîí, 1991.
Ïóñòü G0 = (V; E0);G1 = (V; E1) äâà èçîìîðôíûõ ãðàôà,
Àëèñà çíàåò èçîìîðôèçì . G0 = G1.
Îäèí ðàóíä (âñåãî m):
1) Àëèñà âûáèðàåò ñëó÷àéíóþ ïåðåñòàíîâêó íà ìíîæåñòâå V,
ïîñûëàåò Áîáó ãðàô G1.
2) Áîá âûáèðàåò ñëó÷àéíûé áèò è ïîñûëàåò åãî Àëèñå.
35. Äîêàçàòåëüñòâà ñ íóëåâûì ðàçãëàøåíèåì. Ïðèìåð.
Ãîëüäðàéõ, Ìèêàëè, Âèãäåðñîí, 1991.
Ïóñòü G0 = (V; E0);G1 = (V; E1) äâà èçîìîðôíûõ ãðàôà,
Àëèñà çíàåò èçîìîðôèçì . G0 = G1.
Îäèí ðàóíä (âñåãî m):
1) Àëèñà âûáèðàåò ñëó÷àéíóþ ïåðåñòàíîâêó íà ìíîæåñòâå V,
ïîñûëàåò Áîáó ãðàô G1.
2) Áîá âûáèðàåò ñëó÷àéíûé áèò è ïîñûëàåò åãî Àëèñå.
3) Åñëè = 1, Àëèñà îòïðàâëÿåò Áîáó = , èíà÷å = .
36. Äîêàçàòåëüñòâà ñ íóëåâûì ðàçãëàøåíèåì. Ïðèìåð.
Ãîëüäðàéõ, Ìèêàëè, Âèãäåðñîí, 1991.
Ïóñòü G0 = (V; E0);G1 = (V; E1) äâà èçîìîðôíûõ ãðàôà,
Àëèñà çíàåò èçîìîðôèçì . G0 = G1.
Îäèí ðàóíä (âñåãî m):
1) Àëèñà âûáèðàåò ñëó÷àéíóþ ïåðåñòàíîâêó íà ìíîæåñòâå V,
ïîñûëàåò Áîáó ãðàô G1.
2) Áîá âûáèðàåò ñëó÷àéíûé áèò è ïîñûëàåò åãî Àëèñå.
3) Åñëè = 1, Àëèñà îòïðàâëÿåò Áîáó = , èíà÷å = .
4) Åñëè G íå èçîìîðôåí G1, Áîá îòâåðãàåò äîêàçàòåëüñòâî,
èíà÷å ó÷àñòíèêè ïåðåõîäÿò ê ñëåäóþùåìó ýòàïó.
41. Äîêàçàòåëüñòâà ñ íóëåâûì ðàçãëàøåíèåì. Ïðèìåð.
Ïîëíîòà:
Åñëè = 1, òî G1; G1.
Åñëè = 0, òî ( )G0; G1.
Êîððåêòíîñòü:
Åñëè Àëèñà íå çíàåò , òî ñìîæåò îòâåòèòü ïðàâèëüíî òîëüêî
íà îäèí èç äâóõ çàïðîñîâ Áîáà.
45. Ýëåêòðîííûå äåíüãè
Òðè ó÷àñòíèêà: êëèåíò, ïðîäàâåö, áàíê.
Ïåðâûé ïîäõîä.
Áàíê âûáèðàåò N = pq; ed 1 (mod (N)):
46. Ýëåêòðîííûå äåíüãè
Òðè ó÷àñòíèêà: êëèåíò, ïðîäàâåö, áàíê.
Ïåðâûé ïîäõîä.
Áàíê âûáèðàåò N = pq; ed 1 (mod (N)):
Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî m, îòïðàâëÿåò áàíêó.
47. Ýëåêòðîííûå äåíüãè
Òðè ó÷àñòíèêà: êëèåíò, ïðîäàâåö, áàíê.
Ïåðâûé ïîäõîä.
Áàíê âûáèðàåò N = pq; ed 1 (mod (N)):
Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî m, îòïðàâëÿåò áàíêó.
Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (m; s md (mod N)):
48. Ýëåêòðîííûå äåíüãè
Òðè ó÷àñòíèêà: êëèåíò, ïðîäàâåö, áàíê.
Ïåðâûé ïîäõîä.
Áàíê âûáèðàåò N = pq; ed 1 (mod (N)):
Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî m, îòïðàâëÿåò áàíêó.
Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (m; s md (mod N)):
Êëèåíò ïðîâåðÿåò ïîäïèñü: se m (mod N):
49. Ýëåêòðîííûå äåíüãè
Òðè ó÷àñòíèêà: êëèåíò, ïðîäàâåö, áàíê.
Ïåðâûé ïîäõîä.
Áàíê âûáèðàåò N = pq; ed 1 (mod (N)):
Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî m, îòïðàâëÿåò áàíêó.
Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (m; s md (mod N)):
Êëèåíò ïðîâåðÿåò ïîäïèñü: se m (mod N):
Êëèåíò ñîîáùàåò ïðîäàâöó (m; s):
50. Ýëåêòðîííûå äåíüãè
Òðè ó÷àñòíèêà: êëèåíò, ïðîäàâåö, áàíê.
Ïåðâûé ïîäõîä.
Áàíê âûáèðàåò N = pq; ed 1 (mod (N)):
Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî m, îòïðàâëÿåò áàíêó.
Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (m; s md (mod N)):
Êëèåíò ïðîâåðÿåò ïîäïèñü: se m (mod N):
Êëèåíò ñîîáùàåò ïðîäàâöó (m; s):
Ïðîäàâåö îòïðàâëÿåò (m; s) â áàíê. Áàíê ïðîâåðÿåò áàíêíîòó,
ñîîáùàåò ïðîäàâöó î ðåçóëüòàòå.
51. Ýëåêòðîííûå äåíüãè
Òðè ó÷àñòíèêà: êëèåíò, ïðîäàâåö, áàíê.
Ïåðâûé ïîäõîä.
Áàíê âûáèðàåò N = pq; ed 1 (mod (N)):
Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî m, îòïðàâëÿåò áàíêó.
Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (m; s md (mod N)):
Êëèåíò ïðîâåðÿåò ïîäïèñü: se m (mod N):
Êëèåíò ñîîáùàåò ïðîäàâöó (m; s):
Ïðîäàâåö îòïðàâëÿåò (m; s) â áàíê. Áàíê ïðîâåðÿåò áàíêíîòó,
ñîîáùàåò ïðîäàâöó î ðåçóëüòàòå.
Êàê ïî áàíêíîòàì (m1; s1); (m2; s2) èçãîòîâèòü òðåòüþ?
52. Ýëåêòðîííûå äåíüãè
Òðè ó÷àñòíèêà: êëèåíò, ïðîäàâåö, áàíê.
Ïåðâûé ïîäõîä.
Áàíê âûáèðàåò N = pq; ed 1 (mod (N)):
Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî m, îòïðàâëÿåò áàíêó.
Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (m; s md (mod N)):
Êëèåíò ïðîâåðÿåò ïîäïèñü: se m (mod N):
Êëèåíò ñîîáùàåò ïðîäàâöó (m; s):
Ïðîäàâåö îòïðàâëÿåò (m; s) â áàíê. Áàíê ïðîâåðÿåò áàíêíîòó,
ñîîáùàåò ïðîäàâöó î ðåçóëüòàòå.
Êàê ïî áàíêíîòàì (m1; s1); (m2; s2) èçãîòîâèòü òðåòüþ?
Îòâåò: (m1m2; s1s2):
56. Ýëåêòðîííûå äåíüãè
Âòîðîé ïîäõîä.
Áàíê âûáèðàåò N = pq; ed 1 (mod (N)), îäíîñòîðîííþþ
ôóíêöèþ f : ZN ! ZN.
Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî m, îòïðàâëÿåò áàíêó f (m).
57. Ýëåêòðîííûå äåíüãè
Âòîðîé ïîäõîä.
Áàíê âûáèðàåò N = pq; ed 1 (mod (N)), îäíîñòîðîííþþ
ôóíêöèþ f : ZN ! ZN.
Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî m, îòïðàâëÿåò áàíêó f (m).
Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (f (m); s f (m)d (mod N)):
58. Ýëåêòðîííûå äåíüãè
Âòîðîé ïîäõîä.
Áàíê âûáèðàåò N = pq; ed 1 (mod (N)), îäíîñòîðîííþþ
ôóíêöèþ f : ZN ! ZN.
Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî m, îòïðàâëÿåò áàíêó f (m).
Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (f (m); s f (m)d (mod N)):
Êëèåíò ïðîâåðÿåò ïîäïèñü: se f (m) (mod N):
59. Ýëåêòðîííûå äåíüãè
Âòîðîé ïîäõîä.
Áàíê âûáèðàåò N = pq; ed 1 (mod (N)), îäíîñòîðîííþþ
ôóíêöèþ f : ZN ! ZN.
Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî m, îòïðàâëÿåò áàíêó f (m).
Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (f (m); s f (m)d (mod N)):
Êëèåíò ïðîâåðÿåò ïîäïèñü: se f (m) (mod N):
Êëèåíò ñîîáùàåò ïðîäàâöó (m; s):
60. Ýëåêòðîííûå äåíüãè
Âòîðîé ïîäõîä.
Áàíê âûáèðàåò N = pq; ed 1 (mod (N)), îäíîñòîðîííþþ
ôóíêöèþ f : ZN ! ZN.
Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî m, îòïðàâëÿåò áàíêó f (m).
Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (f (m); s f (m)d (mod N)):
Êëèåíò ïðîâåðÿåò ïîäïèñü: se f (m) (mod N):
Êëèåíò ñîîáùàåò ïðîäàâöó (m; s):
Ïðîäàâåö îòïðàâëÿåò (m; s) â áàíê. Áàíê ïðîâåðÿåò áàíêíîòó,
ñîîáùàåò ïðîäàâöó î ðåçóëüòàòå.
64. Ýëåêòðîííûå äåíüãè
Òðåòèé ïîäõîä.
Áàíê âûáèðàåò N = pq; ed 1 (mod (N)), îäíîñòîðîííþþ
ôóíêöèþ f : ZN ! ZN.
Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíûå ÷èñëà m; r è îòïðàâëÿåò áàíêó
f (m)r e .
65. Ýëåêòðîííûå äåíüãè
Òðåòèé ïîäõîä.
Áàíê âûáèðàåò N = pq; ed 1 (mod (N)), îäíîñòîðîííþþ
ôóíêöèþ f : ZN ! ZN.
Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíûå ÷èñëà m; r è îòïðàâëÿåò áàíêó
f (m)r e .
Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (f (m)r e ; s0 f (m)d r (mod N)):
66. Ýëåêòðîííûå äåíüãè
Òðåòèé ïîäõîä.
Áàíê âûáèðàåò N = pq; ed 1 (mod (N)), îäíîñòîðîííþþ
ôóíêöèþ f : ZN ! ZN.
Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíûå ÷èñëà m; r è îòïðàâëÿåò áàíêó
f (m)r e .
Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (f (m)r e ; s0 f (m)d r (mod N)):
Êëèåíò âîññòàíàâëèâàåò s = s0=r è ïðîâåðÿåò ïîäïèñü:
se f (m) (mod N):
67. Ýëåêòðîííûå äåíüãè
Òðåòèé ïîäõîä.
Áàíê âûáèðàåò N = pq; ed 1 (mod (N)), îäíîñòîðîííþþ
ôóíêöèþ f : ZN ! ZN.
Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíûå ÷èñëà m; r è îòïðàâëÿåò áàíêó
f (m)r e .
Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (f (m)r e ; s0 f (m)d r (mod N)):
Êëèåíò âîññòàíàâëèâàåò s = s0=r è ïðîâåðÿåò ïîäïèñü:
se f (m) (mod N):
Êëèåíò ñîîáùàåò ïðîäàâöó (m; s):
68. Ýëåêòðîííûå äåíüãè
Òðåòèé ïîäõîä.
Áàíê âûáèðàåò N = pq; ed 1 (mod (N)), îäíîñòîðîííþþ
ôóíêöèþ f : ZN ! ZN.
Êëèåíò âûáèðàåò ñëó÷àéíûå ÷èñëà m; r è îòïðàâëÿåò áàíêó
f (m)r e .
Áàíê ñòàâèò ïîäïèñü: (f (m)r e ; s0 f (m)d r (mod N)):
Êëèåíò âîññòàíàâëèâàåò s = s0=r è ïðîâåðÿåò ïîäïèñü:
se f (m) (mod N):
Êëèåíò ñîîáùàåò ïðîäàâöó (m; s):
Ïðîäàâåö îòïðàâëÿåò (m; s) â áàíê. Áàíê ïðîâåðÿåò áàíêíîòó,
ñîîáùàåò ïðîäàâöó î ðåçóëüòàòå.
71. Ðàçäåëåíèå ñåêðåòà.
Ãëàâíîêîìàíäóþùèé õî÷åò ðàçîñëàòü ïëàí áèòâû n ãåíåðàëàì,
÷òîáû ãåíåðàëû íå ìîãëè ðàíüøå âðåìåíè åãî ïîñìîòðåòü.
Âñå âû÷èñëåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ ïî èçâåñòíîìó ïðîñòîìó ìîäóëþ p.
Ïóñòü ñåêðåòîì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî a0. Âûáåðåì ñëó÷àéíî
a1; : : : ; an1 è x1; : : : ; xn1:
Ïóñòü f (x) = a0 + a1x + : : : + an1xn1:
72. Ðàçäåëåíèå ñåêðåòà.
Ãëàâíîêîìàíäóþùèé õî÷åò ðàçîñëàòü ïëàí áèòâû n ãåíåðàëàì,
÷òîáû ãåíåðàëû íå ìîãëè ðàíüøå âðåìåíè åãî ïîñìîòðåòü.
Âñå âû÷èñëåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ ïî èçâåñòíîìó ïðîñòîìó ìîäóëþ p.
Ïóñòü ñåêðåòîì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî a0. Âûáåðåì ñëó÷àéíî
a1; : : : ; an1 è x1; : : : ; xn1:
Ïóñòü f (x) = a0 + a1x + : : : + an1xn1:
i-ìó ãåíåðàëó îòïðàâèì xi ; f (xi ).
73. Ðàçäåëåíèå ñåêðåòà.
Ãëàâíîêîìàíäóþùèé õî÷åò ðàçîñëàòü ïëàí áèòâû n ãåíåðàëàì,
÷òîáû ãåíåðàëû íå ìîãëè ðàíüøå âðåìåíè åãî ïîñìîòðåòü.
Âñå âû÷èñëåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ ïî èçâåñòíîìó ïðîñòîìó ìîäóëþ p.
Ïóñòü ñåêðåòîì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî a0. Âûáåðåì ñëó÷àéíî
a1; : : : ; an1 è x1; : : : ; xn1:
Ïóñòü f (x) = a0 + a1x + : : : + an1xn1:
i-ìó ãåíåðàëó îòïðàâèì xi ; f (xi ).
 íóæíûé ìîìåíò ãåíåðàëû îáìåíèâàþòñÿ ìåæäó ñîáîé
ñâîèìè ÷àñòÿìè ñåêðåòà, íàõîäÿò f è a0 = f (0).
74. Ðàçäåëåíèå ñåêðåòà.
Ãëàâíîêîìàíäóþùèé õî÷åò ðàçîñëàòü ïëàí áèòâû n ãåíåðàëàì,
÷òîáû ãåíåðàëû íå ìîãëè ðàíüøå âðåìåíè åãî ïîñìîòðåòü.
Âñå âû÷èñëåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ ïî èçâåñòíîìó ïðîñòîìó ìîäóëþ p.
Ïóñòü ñåêðåòîì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî a0. Âûáåðåì ñëó÷àéíî
a1; : : : ; an1 è x1; : : : ; xn1:
Ïóñòü f (x) = a0 + a1x + : : : + an1xn1:
i-ìó ãåíåðàëó îòïðàâèì xi ; f (xi ).
 íóæíûé ìîìåíò ãåíåðàëû îáìåíèâàþòñÿ ìåæäó ñîáîé
ñâîèìè ÷àñòÿìè ñåêðåòà, íàõîäÿò f è a0 = f (0).
Èíòåðïîëÿöèîííàÿ òåîðåìà Ëàãðàíæà: åñëè èçâåñòíû çíà÷åíèÿ
ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè íå áîëåå n 1 â n òî÷êàõ, òî ìîæíî
âîññòàíîâèòü ýòîò ìíîãî÷ëåí.
f (x) =
Xn
i=1
f (xi )
Y
j6=i
x xj
xi xj
:
75. Ðàçäåëåíèå ñåêðåòà.
Ãëàâíîêîìàíäóþùèé õî÷åò ðàçîñëàòü ïëàí áèòâû n ãåíåðàëàì,
÷òîáû ãåíåðàëû íå ìîãëè ðàíüøå âðåìåíè åãî ïîñìîòðåòü.
Âñå âû÷èñëåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ ïî èçâåñòíîìó ïðîñòîìó ìîäóëþ p.
Ïóñòü ñåêðåòîì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî a0. Âûáåðåì ñëó÷àéíî
a1; : : : ; an1 è x1; : : : ; xn1:
Ïóñòü f (x) = a0 + a1x + : : : + an1xn1:
i-ìó ãåíåðàëó îòïðàâèì xi ; f (xi ).
 íóæíûé ìîìåíò ãåíåðàëû îáìåíèâàþòñÿ ìåæäó ñîáîé
ñâîèìè ÷àñòÿìè ñåêðåòà, íàõîäÿò f è a0 = f (0).
Èíòåðïîëÿöèîííàÿ òåîðåìà Ëàãðàíæà: åñëè èçâåñòíû çíà÷åíèÿ
ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè íå áîëåå n 1 â n òî÷êàõ, òî ìîæíî
âîññòàíîâèòü ýòîò ìíîãî÷ëåí.
f (x) =
Xn
i=1
f (xi )
Y
j6=i
x xj
xi xj
:
Åñëè k n ãåíåðàëîâ ïîïûòàþòñÿ âîññòàíîâèòü ñåêðåò, ó íèõ
íè÷åãî íå ïîëó÷èòñÿ.
77. Ñõåìà Øàìèðà. Çàùèòà îò íå÷åñòíûõ ó÷àñòíèêîâ.
Åñëè êòî-òî èç ãåíåðàëîâ ïðèøëåò íåâåðíûå äàííûå, âñå
âîññòàíîâÿò îäíî è òî æå íåâåðíîå çíà÷åíèå.
78. Ñõåìà Øàìèðà. Çàùèòà îò íå÷åñòíûõ ó÷àñòíèêîâ.
Åñëè êòî-òî èç ãåíåðàëîâ ïðèøëåò íåâåðíûå äàííûå, âñå
âîññòàíîâÿò îäíî è òî æå íåâåðíîå çíà÷åíèå.
Ïóñòü p ïðîñòîå ÷èñëî. Ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì ïî ìîäóëþ p
íàçûâàåòñÿ òàêîé îñòàòîê g, ÷òî
fg0 (mod p); g1 (mod p); : : : ; gp2 (mod p)g = f1; 2; : : : ; p1g:
79. Ñõåìà Øàìèðà. Çàùèòà îò íå÷åñòíûõ ó÷àñòíèêîâ.
Åñëè êòî-òî èç ãåíåðàëîâ ïðèøëåò íåâåðíûå äàííûå, âñå
âîññòàíîâÿò îäíî è òî æå íåâåðíîå çíà÷åíèå.
Ïóñòü p ïðîñòîå ÷èñëî. Ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì ïî ìîäóëþ p
íàçûâàåòñÿ òàêîé îñòàòîê g, ÷òî
fg0 (mod p); g1 (mod p); : : : ; gp2 (mod p)g = f1; 2; : : : ; p1g:
1) Âûáåðåì ìíîãî÷ëåí f (x) = a0 + a1x + : : : + an1xn1:
80. Ñõåìà Øàìèðà. Çàùèòà îò íå÷åñòíûõ ó÷àñòíèêîâ.
Åñëè êòî-òî èç ãåíåðàëîâ ïðèøëåò íåâåðíûå äàííûå, âñå
âîññòàíîâÿò îäíî è òî æå íåâåðíîå çíà÷åíèå.
Ïóñòü p ïðîñòîå ÷èñëî. Ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì ïî ìîäóëþ p
íàçûâàåòñÿ òàêîé îñòàòîê g, ÷òî
fg0 (mod p); g1 (mod p); : : : ; gp2 (mod p)g = f1; 2; : : : ; p1g:
1) Âûáåðåì ìíîãî÷ëåí f (x) = a0 + a1x + : : : + an1xn1:
2) Âû÷èñëèì ri gai (mod p), ïóáëèêóåì èõ.
81. Ñõåìà Øàìèðà. Çàùèòà îò íå÷åñòíûõ ó÷àñòíèêîâ.
Åñëè êòî-òî èç ãåíåðàëîâ ïðèøëåò íåâåðíûå äàííûå, âñå
âîññòàíîâÿò îäíî è òî æå íåâåðíîå çíà÷åíèå.
Ïóñòü p ïðîñòîå ÷èñëî. Ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì ïî ìîäóëþ p
íàçûâàåòñÿ òàêîé îñòàòîê g, ÷òî
fg0 (mod p); g1 (mod p); : : : ; gp2 (mod p)g = f1; 2; : : : ; p1g:
1) Âûáåðåì ìíîãî÷ëåí f (x) = a0 + a1x + : : : + an1xn1:
2) Âû÷èñëèì ri gai (mod p), ïóáëèêóåì èõ.
3) Âû÷èñëèì si = f (i ) (mod p); îòïðàâèì si i-ìó ó÷àñòíèêó.
82. Ñõåìà Øàìèðà. Çàùèòà îò íå÷åñòíûõ ó÷àñòíèêîâ.
Åñëè êòî-òî èç ãåíåðàëîâ ïðèøëåò íåâåðíûå äàííûå, âñå
âîññòàíîâÿò îäíî è òî æå íåâåðíîå çíà÷åíèå.
Ïóñòü p ïðîñòîå ÷èñëî. Ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì ïî ìîäóëþ p
íàçûâàåòñÿ òàêîé îñòàòîê g, ÷òî
fg0 (mod p); g1 (mod p); : : : ; gp2 (mod p)g = f1; 2; : : : ; p1g:
1) Âûáåðåì ìíîãî÷ëåí f (x) = a0 + a1x + : : : + an1xn1:
2) Âû÷èñëèì ri gai (mod p), ïóáëèêóåì èõ.
3) Âû÷èñëèì si = f (i ) (mod p); îòïðàâèì si i-ìó ó÷àñòíèêó.
Ïðîâåðêà ãåíåðàëîì ñâîåé äîëè ñåêðåòà:
gsi r0ri1
: : : r in1
n1 (mod p):
83. Ñõåìà Øàìèðà. Çàùèòà îò íå÷åñòíûõ ó÷àñòíèêîâ.
Åñëè êòî-òî èç ãåíåðàëîâ ïðèøëåò íåâåðíûå äàííûå, âñå
âîññòàíîâÿò îäíî è òî æå íåâåðíîå çíà÷åíèå.
Ïóñòü p ïðîñòîå ÷èñëî. Ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì ïî ìîäóëþ p
íàçûâàåòñÿ òàêîé îñòàòîê g, ÷òî
fg0 (mod p); g1 (mod p); : : : ; gp2 (mod p)g = f1; 2; : : : ; p1g:
1) Âûáåðåì ìíîãî÷ëåí f (x) = a0 + a1x + : : : + an1xn1:
2) Âû÷èñëèì ri gai (mod p), ïóáëèêóåì èõ.
3) Âû÷èñëèì si = f (i ) (mod p); îòïðàâèì si i-ìó ó÷àñòíèêó.
Ïðîâåðêà ãåíåðàëîì ñâîåé äîëè ñåêðåòà:
gsi r0ri1
: : : r in1
n1 (mod p):
Âîññòàíîâëåíèå ñåêðåòà (â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî
ãëàâíîêîìàíäóþùèé ÷åñòíûé). Âñå ãåíåðàëû îáìåíèâàþòñÿ
ìåæäó ñîáîé ÷àñòÿìè ñåêðåòà è ïðîâåðÿþò èõ òàê, êàê îïèñàíî
âûøå.
