Teori Galois menjelaskan tentang penemuan rumus akar persamaan kuadrat oleh Galois dan penerapannya. Teori ini membedakan jenis akar berdasarkan nilai diskriminan dan menentukan jumlah titik potong antara persamaan kuadrat dengan garis.

1. 1
GALOIS DAN TEORINYA
Galois, sebuah nama yang
orang lain tak begitu mengetahui
siapa dirinya. Tak seperti teori yang
dia kemukakan. Kepopuleran
teorinya, tak sepopuler penemunya.
Galois adalah salah satu
penemu teori rumus abc. Rumus abc
yaitu rumus mencari akar dari suku
banyak derajat 2 atau yang lebih
dikenal dengan persamaan kuadrat.
Rumus ini sudah diperkenalkan
semenjak bangku sekolah dasar
menengah. Tetapi tak semua orang
(pelajar khususnya) mengetahui
siapa penggagas utama rumus ini.
Rumus abc bisa juga disebut
sebagai rumus aljabarik yaitu rumus
yang terdiri dari operasi-operasi
aljabar yaitu penjumlahan /
pengurangan, perkalian/pembagian,
atau perpangkatan/akar pangkat.
Rumus abc menunjukan
bahwa dalam persamaan kuadrat
mempunyai akar-akar sebagai
berikut:
X1,2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Lalu siapakah Glois itu?
Galois, Matematikawan asal
Prancis yang hidup di jaman
Napoleon. Nama aslinya adalah
Evariste Galois, Ia berasal dari
keluarga terpelajar. Ayahnya
bernama Nicolas-Gabriel Galois dan
Ibunya
Adelaide-
Marie
Demante
Galois.
Evariste
Galois mempunyai seorang adik laki
– laki, Alfred, yang umurnya selisih
beberapa tahun dengannya. Ia lahir
di Bourg-la Reine pada tanggal
25 Oktober 1811, dan meninggal
pada tanggal 31 Mei, 1832 di Paris.
Jika dihitung selisih tanggal
kelahiran dan kematiannya, bisa
Gambar 1. Evariste Galois
Gambar 2.
Adelaide-Marie

2. 2
dilihat Galois mati muda, meninggal
pada umur yang belum genap 21
tahun.
Apa yang menyebabkan Galois
mati muda?
Berawal dari keikut
sertaannya dalam revolusi Perancis
di tahun 1830, tercatat bahwa Galois
dua kali ditahan polisi karena
berdemo. Yang pertama, Galois
melakukan protes bersama sekitar
200 republikan menentang
kekuasaan raja dengan membawa
karangan – karangan bunga.
Dilakukan toast minum bersama
untuk mengenang revolusi tahun
1789, tahun 1793, untuk Robespierre
dan revolusi tahun 1830. Tangan
kanan memegang gelas untuk toast,
tangan kiri merogoh saku dan
menghunus
pisau lipat
sambil
mengucap
“Untuk
Louis
Philippe” –
Raja. Hal ini
diartikan sebagai ancaman bagi jiwa
Raja. Melihat hal ini, teman-
temannya menyuruh Galois duduk.
Meskipun pada hari itu tidak terjadi
apa-apa, namun esok harinya Galois
ditangkap di rumah ibunya dan
dipenjara di Sainte-Pelagie. Dibantu
oleh pengacara handal temannya
menyatakan bahwa Galois
menghunus pisau untuk memotong
ayam dan peristiwa itu tidak terjadi
di jalanan umum. Keputusan juri,
akhirnya, memutuskan Galois bebas.
Yang kedua, ketika ia dengan
nekat mengenakan seragam artileri
dan berkeliling kota membawa
senjata seperti dua pistol, satu bedil,
dan sebuah belati. Hal ini sudah
dinyatakan sebagai gerakan
terlarang. Pada awalnya orang –
orang ragu akan militansi Galois,
tetapi dari dua peristiwa tersebut
mereka menjadi meyakininya. Ia kini
telah menjadi radikal yang
seradikalnya. Tidak heran bahwa
pada akhirnya ia divonis penjara
enam bulan. Galois semakin
tenggelam dalam politik. Lalu dari
dalam tahanan ia berkoordinasi dan
mendiskusikan ide-ide progresif.
Hari Rabu pagi tanggal 31
Mei 1832. Galois yang berusia 21
Gambar 3. Raja
Louis Philippe

3. 3
tahun, meninggalkan makalah
sebanyak 60 halaman. Meninggal?
Belum. Beberapa jam sebelumnya,
seorang petani menemukan Galois
yang tertembak lambungnya,
sendirian, terbaring di lumpur dan
segera mengangkatnya. Petani itu
akan membawanya ke rumah sakit,
namun Galois menolak. Permintaan
terakhirnya adalah bertemu dengan
saudaranya, Alfred. Sampai nafas
penghabisan, Alfred terus berada
disampingnya seraya memerintahkan
polisi untuk menangkap penembak
Galois, yaitu Pecheux d’Herbinville,
“Anak remaja yang duel demi
kehormatan.” polisi akhirnya
menembaknya. Polisi mencatat,
Galois terbunuh dalam duel dengan
salah seorang temannya. Meskipun
tidak jelas apa pemicu duel tersebut,
namun disinyalir kejadian ini
berkaitan dengan wanita dan hal
jatuh cinta.. Galois dimakamkan di
tempat pemakaman umum di South.
Menarik untuk dicatat! Galois begitu
pesimis begitu yakin akan mati
dalam duel tersebut. Galois,
menyadari bahwa akhir hidupnya
sudah dekat, lalu ia menuliskan
semua teori matematikanya yang
berbentuk surat dan menitipkan pada
Saudaranya, Alfred dan sabahat
karibnya, Auguste
Chevalier yang
berisi tentang
pemikiran
pokok yang
merupakan
rumusan atau pemecahan persoalan
aljabar serta ilmu ukur modern (teori
Galois) yang dikembangkan
berdasarakan
konsep milik
Joseph Louis
Lagrange (ahli
ilmu pasti dari
Perancis).
Gambar 4.
Gambar 5.
Auguste Chevalier
Gambar 6.
Joseph Louis

4. 4
Apa Teori Galois Itu ?
Sejak munculnya Aljabar
oleh al-Khwārizmi pada abad ke-9.
Aljabar berkutat disekitar pencarian
rumus untuk akar dari suku banyak.
Kita mengenal rumus abc yaitu
rumus mencari akar dari suku banyak
derajat 2 atau yang lebih dikenal
dengan persamaan kuadrat.
Diberikan persamaan kuadrat ax2 +
bx + c = 0 , rumus abc mengatakan
bahwa persamaan tersebut
mempunyai akar-akar sebagai
berikut:
X1,2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Rumus abc merupakan rumus
aljabarik yaitu rumus yang terdiri
dari operasi-operasi aljabar yaitu:
penjumlahan/pengurangan, perkalian
/pembagian, atau perpangkatan / akar
pangkat.
Huruf-huruf a, b dan c
disebut sebagai koefisien: koefisien
kuadrat a adalah koefisien dari x2,
koefisien linier b adalah koefisien
dari x, dan c adalah koefisien
konstan atau disebut juga suku
bebas.
Rumus diatas hanya
digunakan untuk mencari akar-akar
persamaan kuadrat jika y = 0
Dari rumus tersebut akan
diperoleh akar-akar persamaan,
sehingga persamaan semula dalam
bentuk
𝑦 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
dan dapat dituliskan menjadi
𝑦 = 𝑎( 𝑥 − 𝑥1)( 𝑥 − 𝑥2)
Dari persamaan terakhir ini dapat
pula dituliskan dua hubungan yang
telah umum dikenal, yaitu
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
dan
𝑥1. 𝑥2 =
𝑐
𝑎
Rumus abc juga disebut
dengan rumus kuadratis, disebut
demikian karena digunakan untuk
menghitung akar-kar persamaan
kuadrat yang tergantung nilai-nilai a,
b dan c.
X1,2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
dengan pembuktian sebagai berikut :

5. 5
Pembuktian 1
Dari bentuk umum persamaan
kuadrat
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
kali kedua ruas dengan
1
𝑎
𝑥2
+
𝑏
𝑎
𝑥 +
𝑐
𝑎
= 0
(kurangkan kedua ruas dengan
𝑐
𝑎
)
𝑥2
+
𝑏
𝑎
𝑥 = −
𝑐
𝑎
lengkapi kuadrat ruas kiri yaitu
menjumlahkan kedua ruas dengan
(
𝑏
2𝑎
)2
(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)2
−
𝑏2
4𝑎2 = −
𝑐
𝑎
(Pindahkan −
𝑏2
4𝑎𝑐
ke ruas kanan)
(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)2
=
𝑏2
4𝑎2
−
𝑐
𝑎
(samakan penyebut di ruas kanan)
(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)2
=
𝑏2
−4𝑎𝑐
4𝑎2
Kedua ruas diakar (dipangkatkan
setengah), sehingga tanda kuadrat di
ruas kiri hilang, dan muncul tanda
plus-minus di ruas kanan.
𝑥 +
𝑏
2𝑎
= ±
√𝑏2
−4𝑎𝑐
2𝑎
(pindahkan
𝑏
2𝑎
ke ruas kanan)
𝑥 = −
𝑏
2𝑎
±
√𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Sehingga didapat rumus kuadrat
X1,2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
atau
X1,2 =
−𝑏 ± √ 𝐷
2𝑎
Pembuktian 2
Ambil fungsi
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Kita ingin mencari solusi untuk
𝑓( 𝑥) = 0. Bisa kita lihat bahwa
𝑓(0) = 𝑎02
+ 𝑏0 + 𝑐 = 𝑐
kita turunkan 𝑓(𝑥) diperoleh
𝑓′( 𝑥) = 2𝑎𝑥 + 𝑏

6. 6
Maka kita punya
𝑓( 𝑥) = 𝑐 + ∫ 2𝑎𝑡 + 𝑏 𝑑𝑡
𝑥
0
Sekarang kita ganti variable menjadi
𝜔 = 2𝑎𝑡 + 𝑏
𝑑𝜔 = 2𝑎 𝑑𝑡
Diperoleh
𝑐 + ∫
1
2𝑎
𝜔 𝑑𝜔
2𝑥+𝑏
𝑏
Kita opersikan integralnya diperoleh
𝑐 +
1
4𝑎
(2𝑎𝑥 + 𝑏)2
−
𝑏2
4𝑎
maka akar 𝑓( 𝑥) = 0 bisa dicari
dengan memecahkan persamaan
𝑐 +
(2𝑎𝑥+𝑏)2
−𝑏2
4𝑎
= 0
Kita peroleh
(2𝑎𝑥 + 𝑏)2
− 𝑏2
= −4𝑎𝑐
(2𝑎𝑥 + 𝑏)2
= −4𝑎𝑐 − 𝑏2
2𝑎𝑥 + 𝑏 = ± √ 𝑏2 − 4𝑎𝑐
Dan akhirnya diperoleh
x1,2 =
−𝑏 ± √𝑏2
−4𝑎𝑐
2𝑎
Aplikasi Diskriminan
Dalam rumus kuadrat diatas
terdapat b2 + 4ac . itu disebut
diskriminan suatu persamaan
kuadrat. Namun dapat dikonotasikan
dengan huruf D yang
mendiskriminasikan (membedakan)
jenis akar – akar persamaan kuadrat.
Jadi kegunaan diskriminan adalah
untuk menentukan jenis akar – akar
persamaan kuadrat. Dalam hal ini
diskriminan menentukan jumlah dan
sifat dari akar – akar persamaan
kuadrat. Terdapat tiga kasus yang
mungkin :
 Jika D > 0, maka persamaan
kuadrat mempunyai dua akar real
yang berlainan.
Gambar. 7

7. 7
a. Jika D berbentuk kuadrat
sempurna maka kedua
akarnya rasional
b. Jika D tidak berbentuk
kuadrat sempurna maka
kedua akarnya irasional.
 Jika D = 0, maka persamaan
kuadrat mempunyai dua akar
yang sama (kembar), real dan
rasional.
 Jika D < 0, maka persamaan
kuadrat tidak mempunyai akar
real atau kedua akarnya tidak
real/khayal (imajiner)
Selain itu dapat pula mencari
titik potong antara suatu persamaan
kuadrat ( 𝑦1 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 )
dengan suatu garis mendatar ( 𝑦2 =
𝑑 ). Hal ini dapat dilakukan dengan
mengurangi persamaan kuadrat
tersebut dengan persamaan garis
yang titik potong antar keduanya
ingin dicari dan menyamakannya
dengan nol. Namun ada yang perlu
diperhatikan yaitu :
 Jika diskriminan positif, terdapat
dua titik potong antara
𝑦1 𝑑𝑎𝑛 𝑦2
 Jika diskriminan nol, terdapat
hanya satu titik potong antara
𝑦1 𝑑𝑎𝑛 𝑦2
 Jika diskriminan negatif, tidak
terdapat titik potong antara kedua
kurva, 𝑦1 𝑑𝑎𝑛 𝑦2.
Kesimpulan
Evariste Galois adalah
Matematikawan asal Prancis yang
hidup di jaman Napoleon. Galois
lahir di Bourg la Fraine 25 oktober
1811 dan meninggal di Paris, 31 Mei
1832. Jika dihitung selisih tanggal
kelahiran dan kematiannya, Galois
mati muda meninggal dengan umur
yang belum genap 21 tahun. Galois
pernah tercatat dua kali ditahan oleh
polisi. Namun didalam tahanan
Galois tidak diam saja tetapi Ia
berkoordinasi dan mendiskusikan ide
– ide progresif. Tidak lama
kemudian tiba tiba Galois telah
ditantang untuk berduel
menggunakan pistol. Namun dia
begitu pesimis begitu yakin akan
mati dalam duel tersebut. Lalu ia
menuliskan semua teori
matematikanya yang berisi tentang
pemikiran pokok rumusan atau
pemecahan persoalan aljabar.

8. 8
Saran
Kita sebagai kaum intelektual
khusunya harus mengetahui asal
muasal rumus tersebut jangan hanya
mengetahui rumus saja tanpa
mengetahui siapa yang menemukan
rumus tersebut dan bagaimana proses
perjalanan ditemukannya rumus
tersebut. Dengan mengetahui dari
mana asal muasal rumus tersebut
didapat merupakan salah satu wujud
bentuk apresiasi kita terhadap orang
yang dengan susah payah
menemukannya. Hal yang kita
lakukan tersebut tidak sebanding
dengan perjuangan Galois untuk
mendapatkan rumus tersebut yang
ternyata memberikan manfaat yang
begitu besar bagi kehidupan kita
sekarang. Sebenarnya penulis ingin
memberikan informasi mengenai
pembuktian rumus abc yang
digunakan pada zaman dahulu, agar
dapat membandingkan cara
penyelesaiaannya, namun sayangnya
penulis kesulitan untuk mendapatkan
referensi dari sumber manapun.
Dengan dibuatnya artikel ini, penulis
berharap untuk pembaca agar dapat
mengembangkan materi dan mencari
referensi dari sumber lain.
Daftar Pustaka
Anonim. 2013. “pengertian dan
metode penyelesaian persamaan
kuadrat”. http:// rumus -
matematika.com /pengertian-dan
metode-penyelesaian-persamaan
-kuadrat/. 2 Juni 2015
Anonim. 2014. “Evariste Galois”.
http://id.wikipedia.org/wiki/Ev
ariste_Galois. 2 Juni 2015
Anonim. 2015. “persamaan kuadrat”
http://id.wikipedia.org/wiki/Per
samaan_kuadrat. 2 juni 2015
Fama, Fandy. 2013. “asal – usul
rumus abc”. http:// www.
Slideshare.net/fandyfama/asal-
usul-rumus-abc/. 2 Juni 2015
Jupri, Al. 2007. “asal – usul rumus
kecap” https://mathematicse.
wordpress.com/2007/11/21/asal
-usul-rumus-kecap/.2 Juni 2015
Sora9n. 2012. “galois
matematikawan ditengah
revolusi” https: //zenosphere.
wordpress.com/2012/02/12/gal
ois-matematikawan-di-tengah-
revolusi/. 2 Juni 2015
Turn, Arian. 2014. “galois dan
teorinya”. https://ariaturns.
Wordpress.com/2014/08/22/gal
ois-dan-teorinya/. 2 Juni 2015