1. 古希臘數學
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2. 現在使用的數學課本中，有多少內容在西元前就已
經被提出來了？
文明起源的埃及和巴比倫的數學，經由古希臘人的
吸收、整理，獲得進一步的發展。他們根據各自的哲學
研究數學，因此難免會堅信與現在完全不同的事實，而
從無到有的創造過程，卻是如此的困難。
01 泰勒斯
02 畢達哥拉斯
03 希波克拉底
04 柏拉圖
05 歐多克索斯
06 阿基米德
07 厄拉多塞
08 歐幾里得
09 阿波羅尼奧斯
10 希帕修斯
11 戴奧弗多斯
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3. 01 Thales
泰勒斯
用比例計算長度
Thales（西元前 624 年？∼西元前 546 年？）
希臘第一位哲學家，也是第一位與數學有關的人物。
從很久以前，埃及人便認為人 所以當國王過世，為了不讓肉 我是泰勒斯，喜歡旅行，看到
就算肉體死去，靈魂依然存活 體腐化，便製作成木乃伊，放 巨大的金字塔，很好奇它的高
著。 入金字塔這個巨大的墳墓裡。 度究竟是多少？
死亡不代表
消失。
我想研究金字塔 樹影的長度跟剛剛
你最近在研 不一樣耶！
的高度。
究什麼？
約會遲到了。
咦？
哪來的樹？
沒 錯！ 不 管 是 木 棍 還 是 金 字 當木棍的影子跟木棍一樣長的時候，金字塔影子
塔，都有影子。 的長度應該也會等於它的高度。
影子是不是變得
比剛剛還要長？
8
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4. 我發現的 5 項內容如下。 算出船跟海岸距離有多遠，也是我的 這是我用發現（4）解決的問
知名成就。 題。
三角形都長 三角形全都
各位！ 這些就是
得很像。 一樣嗎？
我的發現。哈哈 距離是
多少呢？
不過，雙胞胎的容貌再怎麼像，也不
看到雙胞胎，我們常會說 是完全一模一樣。
「長得好像」。
沒有痣的話，
就一樣了吧？ 嘻嘻
在數學上，「相似」只能用在長相一模 相似的圖形無論是放大或縮小 如果連大小都完全一樣的
一樣時。 到 一 定 比 例， 模 樣 都 必 須 一 話，就稱為「全等」。
致。
雖然長得很像，
但不是數學所說的 縮小
嗯？ 「相似」。
放大 我們是全等，
真的一模一樣吧？
相似比
任何圖形放大為 3 倍時，每條對應邊的長度比也會是 1 ：
3。兩個相似圖形的對應比就稱為相似比。
知道相似比的話，就能利用這個比，求出未知邊的長
度。不過角度並沒有改變。角度要是產生變化，圖形就
會不同。
此外，知道相似比就能知道面積的比。相似比的平方就
是面積的比。假設相似比為 1：3，面積比例就是 12：3 2=
1：9
* 相似的兩個平面圖形 * 相似的兩個立體圖形
．對應邊的長度比固定。 ．對應邊的長度比固定。
ΔABC∞ΔA' B' C' ．對應角的角度大小一樣。 ．對應面是相似的圖形。
9
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5. 某天，我跟朋友各拿著一根木棍站 我們站在將「我」跟「朋友」和「海 如此一來，就創造出一個巨大的
著，兩人中間隔了 100 步的距離。 上的船」連接起來，就能形成直角三 直角三角形。
角形的位置。
好了～
走 100 步 我也是
就好。 我也是
我是頂點 頂點 頂點
像發現（4）那樣，只要稍微運用全等三 現在要做一個與巨大直角三角 剛剛底邊設定為 100 步的距離，
角形的條件，即可創造出相似的三角形。 形相似的小三角形。 做小的三角形就用 1 步的距離當
底邊。
接下來要怎
麼辦？ 哈哈，包在 這次只要往
知道兩個角和一邊的 我身上。 旁邊走 1 步。
長度，就能畫出全等
三角形。
知道了。
接著我在地上畫出與巨大直角三 這個三角形的底邊，是巨大三角 測量小三角形的高是 4 步。
角形相似的小三角形。 1
形的 。
100
確實是 4 步的距離。
1 你跟我一樣
的相反就是 100
100 聰明呢！
倍吧？
現在用 4 步的 100 倍就可以算出 這個概念後來傳到阿拉伯，發展
船距離海岸有多遠。 為三角函數。 這個方法至今仍實際運用
在三角測量等地方。
原來這裡離船
有 400 步那麼遠
啊！
哇
1 1 1
* 三角函數：用三角比表示角度大小的
函數
10
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6. 整理各項數學發現的第一位人物
泰勒斯
希臘第一位哲學家兼數學家的泰勒斯，於西元前 620
年左右，出生在希臘愛奧尼亞海岸的村莊「米利都」 。
跟著從商的父親到處賺錢後，前往埃及留學。他在那
裡學習數學和天文學，預言西元前 585 年 5 月 28 日會
發生日蝕，嚇壞了世人。
在天文學方面學識豐富的泰勒斯，最先發現太陽的軌
泰勒斯 道，也提過太陽和月亮的體積，他也想到把 1 年分成
365 天的方法。
他到許多地區蒐集知識，回到希臘後，便著手整理蒐
集來的知識並傳授給他人。雖然那些內容並非全靠泰
● 泰勒斯的研究領域 勒斯的獨創想法才證明出來的，不過他是第一個整理各項數
數學、哲學
學發現的人。
● 米勒（Miletos）學派的始祖 當然，其中也有泰勒斯自己發現的東西。
＊米勒學派：不把自然現象歸為神 他利用三角形的相似比，測量出漂流在遠方海面的船有多
的力量，而是想了解自然，找出
原因的組織。
遠；也利用影子的長度，計算出金字塔的高度。
其實，泰勒斯的故事和成就可能有部分是虛構的，因為關於
他的資料並不多。不過既然他有這些故事，可見他具有相當
的名氣。
● 相關數學家
西元前 7 世紀 泰勒斯 西元前 2 世紀 希帕修斯 100 年 梅涅勞斯 18 世紀 約翰．柏努利
▼
▼
▼
▼
使用相似比 有系統的研究三角學 最先研究球面三角學 研究複數變數的三角函數
數 學 talk talk
尚未釐清的摩擦生電的原因
用不同物質摩擦時，表面會產生靜電吧？ 靜電可視為電氣
現象的根源，電可分成正電（＋）跟負電（－） 。根據摩擦
物質的種類，所產生的電量和種類也不同。
一般來說，以「毛皮→玻璃→雲母→絲綢→棉布→木材→塑
膠→金屬→硫磺→橡膠」這個順序摩擦兩樣物質時，左邊的
物質會產生正電，右邊的物質會產生負電。例如：用絲綢摩
擦玻璃時，玻璃會產生正電。用毛皮摩擦時，玻璃會產生
負電。這是泰勒斯在西元前 600 年左右，摩擦琥珀（黃色礦
物，品質好，常被當用做為飾品）時所發現的電氣現象，但
是原因尚未解開。
11
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7. 02 Pytagoras
畢達哥拉斯
證明畢氏定理
Pytagoras（西元前 582 年？∼西元前 497 年？）
古希臘哲學家、數學家，第一位證明畢氏定理。
大家好，我是活在距今 2500 年前的
畢達哥拉斯。 地球到底是由什麼
組成的…… 土、水、空氣全
都是地球的根源。
天啊！ 已經
2011 年啦？
當時的人們試圖用神話來說明這 當然，我也是神祕主義者。 即使如此，我還是想用「數」的概念
個世界。 說明這個世界。
欸 不要打狗。那隻狗體內
有我朋友的靈魂。 雖然迷信，還是想用
要怎麼用數學或 數學來思考嗎？
科學來說明世界？
有一群人認為我跟神很接近，所以 在這裡我就是法律。 我們私底下討論了很多觀念。
追隨著我，那就是畢達哥拉斯學
派。
絕不能把我們的
事告訴外人！
畢達哥拉斯大
師是神！
是。
12
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8. 我的思想就是我們學派的思想。 我 將 點、 線、 面、 立 體 分 別 對 應 為 於是我發現圖形也能用數
1、2、3、4。 字來計算。
萬物的根源 把圖形換成 沒錯！
是「數」。 數字吧！ 就是這個！
沒錯。
只要知道直角三角形兩邊長，另外一邊就能用 例如：底 3cm、高 4cm 的直角三角
數字計算出來。 形，它的斜邊就是 5cm。 三邊長的比例如果
是 3：4：5，那就
是直角三角形。
如果不知道此處邊
長……
知道邊長的比例，就能畫出不同 像直角三角形這種長度比，巴比倫 但是「證明」此定理的則是
面積的直角三角形。 人比我早在 1 千年前就已經發現了。 我。
耶～
即使三邊的長度都
不知道，也可以預
估。不過為什麼會
這樣呢？
畢達哥拉斯的整理
多虧畢達哥拉斯的整理，我們只要知道直角三角形的兩
邊長，就能輕鬆算出第三邊的長度。假設有三邊 a、b、
c，邊 c 的對角是直角時，三邊的長度永遠都會滿足 a2
c2 ＋ b2 ＝ c2 的公式。第一個用理論證明這條公式的人，
2 c 就是畢達哥拉斯，所以不叫直角三角形定理，而稱為畢
氏定理。反過來推這條定理也是成立的。假設有三邊滿
足 a2 ＋ b2 ＝ c2，邊 c 的對角就是直角。
2
a2 ＋ b2 ＝ c2
13
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9. 如 往 常 般， 我 走 在 寺 院 的 地 磚 地磚的形狀解答了我一直感到困惑的地方。
上。
啊！ 這是用 4 個 所以 1 個大正方形
就是這個！ 三角形拼成 跟 2 個小正方形的
的四角形。 面積是一樣的囉？
這是用 2
個三角形拼成
的四角形。
參 考 地 磚 的 模 樣， 我 結果發現大正方形的面積，等於另 終於證明
畫出一個邊長比例為 外兩個正方形面積的總和。 成功！
3：4：5 的 直 角 三 角
形， 並 在 各 邊 畫 出 正
方形。 2 Ícm2
1 Ícm2 Ícm
4Ícm
3Ícm
Ícm2
* 畢氏定理：直角三角形的底邊平方跟高度平方加起來，等於斜邊的平方。
不過有一天，我的弟子希帕索斯 如果按照我的定理，斜邊長度應
來找我。 假設直角三角形的兩邊長各為 該是相乘得 2。
1cm，那斜邊的長度是多少？
同樣的數字相乘
老師！ 老師！ 以後，怎麼得到
2？
希帕索斯提問的答案，就是相乘得 不是自然數，而是無法用分數呈
這世上沒有 2 的√2。 現的無理數。然而當時我不得不
非自然數的數字！ 叫大家保密。
這就是我們學派的信念。
我的發現有
多麼偉大 我們要用
啊……嗚嗚 這種信念
掌控數學
的發展。
一定要保
密。
*√2約為1.414……
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10. 第一個證明畢氏定理的
畢達哥拉斯
再怎麼討厭數學的人，應該都聽過「畢氏定理」 。畢
達哥拉斯創立畢達哥拉斯學派，留下無數的貢獻。當
然，那些貢獻是出自於畢氏學派的座右銘及基本教義
──「萬物皆數」 。
西 元 前 6 世 紀， 畢 達 哥 拉 斯 在 希 臘 的 港 都 克 羅 頓
（Croton）成立畢達哥拉斯學校。除了數學，這所學
畢達哥拉斯 校也研究哲學、自然科學等，並具有不為人知的神祕
儀式和戒律，幾乎像個宗教團體。畢達哥拉斯和學生
們不僅證明出畢氏定理，還發現五個正多面體，證明
出三角形內角和為 180° 、黃金分割的製圖法、正五角
● 畢達哥拉斯的研究領域 形的製圖法，並發現無理數。無理數的發現在數學史上是個
宗教、哲學、數學
巨大的轉捩點，只是畢達哥拉斯和學生們在當時並不承認。
此外，他也發現數字的神祕，如：親和數、完全數、虧數、
盈數等，並用數字解讀音樂，認為音階跟數字比有關，擴大
了數學的領域。其實，這些畢達哥拉斯廣為人知的貢獻，無
法界定是他自己的成就，還是學派的功績。不過，聽說畢氏
學派那些聰明絕頂的學生自願將所有成就，獻給像神一般存
在的畢達哥拉斯。
● 相關數學家
西元前 2000 年 埃及 西元前 540 年 畢達哥拉斯 西元前 3 世紀 歐幾里得 1907 年 路明思
▼
▼
▼
▼
已知 32 ＋ 42 ＋ 52 證明畢達哥拉斯數、畢氏 證明如何用畢氏定理找出 發行書籍介紹 367 種畢氏
定理 數的平方 定理證明法
數 學 talk talk
畢氏學派的祕密活動
畢氏學派擁有 600 多名學生，以數字為研究重心，卻具有強
烈的宗教傾向。如果想加入學派，就要先捐出所有的財產；
不過在退出時，就能拿走捐贈金額的 2 倍，並豎立紀念碑。
無法接受這種團體行為的反對勢力，燒毀了畢達哥拉斯學
校，並殺害許多畢達哥拉斯的學生。畢氏學派雖然是研究數
學這種實質理論的團體，卻有一些迷信的儀式。例如：他們
認為正五角形的黃金比是種神奇的現象，將它當成符咒帶在
身上。或是基於長得像宇宙的原因，而不吃豆類。
五角星形
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11. 03 Hippocrates
希波克拉底
挑戰無法製圖的問題
Hippocrates（西元前 450 年？∼西元前 400 年？）
古希臘數學家，解開新月之謎。
你可以精準的均分 這次你可以精 只要有量
這條線嗎？ 準的均分這個 角器就沒
角度嗎？ 問題了！
當然可以～
利用沒有刻度的尺和圓規畫出圖形， 古希臘人認為直線和圓形是
如果沒有尺跟量角器，你還能均
就叫做「製圖」。 基本圖形。
分線條或角度嗎？
這個模樣實在太美
只要有這些 了。
沒有尺跟量 就夠了。
角器？ 怎麼
可能？
各位親愛的朋友！ 我是喜歡製圖的古 我跟與我年代相近的希波克拉底醫生，只
希波克拉底先生，請問
代數學家之一。 有名字一樣而已，請不要搞混了。
要怎麼用沒有刻度的尺
跟圓規畫出圖形？
你好，我是製圖一
醫
整天也不厭倦的希
我是創造出醫生這個
職業的希波克拉底。 生 啊，
針筒……
波克拉底。
16
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12. 即使沒有刻度，仍可以畫出直線的尺。 畫圓弧時，兩邊打開就能當作單位長度的圓規。只要有這兩樣
工具，就可以製圖了。
木棍的長度超過
圓規寬度的 4 倍。
只要用這兩樣工具，就能把線條和角度分成兩等分。
角度的
二等分。
製圖發源自埃及的尼羅河流 由於尼羅河氾濫頻繁，經常把上游肥 於是人們開始使用麻繩和木樁來測
域。 沃的土地帶到下游，導致原本規劃好 量。
的農地界線化為烏有。
到哪裡為止才
是我的土地？
咦？
我是專門做測量的。
太極旗製圖法
請利用尺和圓規畫個標準的太極旗吧！
太極旗長寬比例為 3：2。太極圖形是在旗幟的正中間，
為了畫它，得先在底圖畫上對角線，再以交叉的點為圓
規的中心畫圓。此時，直徑是寬度的一半。
此外，太極旗有乾、坤、坎、離這四個卦。 卦距離太
1
極約直徑的 4 ，圖形長度則為直徑的一半。畫四個卦
時，必須各自與兩條對角線呈直角狀態。
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13. 除了單純的把線條和角度二等分，我也 你說我能畫
我的土地是三角 發展出複雜圖形的製圖法。 出來，給我
形。如果你可以製 吧？ 哈哈
圖，那就給你吧！
沒想到你居然
畫得出來……
現在我該怎麼
辦？
然而，我也發現一些無法製圖的情況。 有 3 個無法製圖的經典問題。
我一定要畫出來！
只靠尺跟圓規
完全不行。
雖然我跟許多數學家努力想辦法解決這些問題，但是終究 然而，在這個過程中，有個很重大的發現。我是
無法解開。 第一個把弧形面積變成多角形面積的人，也就是
希波克拉底著名的新月定理。
真的不行 這個三角形和
嗎……？ 新月形圖案的
面積是一樣
的！
雖然不是圓形，
但是我第一次看
到這個。
多虧如此，我總是懷抱著希望，認為可以 然而，到了 19 世紀，有人證 新月形態問題本身就是一個大課題，
解決這三大製圖問題。 明出這三個問題無法用尺規 我發現了 3 種，後來尤拉又找到了 2
畫出。 種，所以現在總共有 5 種廣為流傳。
我絕不放棄！ 我辦得到！ 既然不行，
就要說明原因
吧！
沒想到白忙
了一場……
還會有其他的新
月嗎？
18
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14. 花一輩子挑戰製圖問題的
希波克拉底
數學家希波克拉底於西元前 5 世紀，出生在愛琴海的
奇俄斯島（Chios） 起初他的職業是和數學相距甚
。
遠的商人，不過他開始對幾何學產生興趣，率先建立
公設和公理，以理論方法寫下了《幾何原本》 ，比歐
幾里得的《幾何原本》還要早 100 年。他最大的貢獻
之一是發現新月形問題的解答。當時他沉浸在尺規製
一樣的
和新月形面積 圖的研究中，卻有幾個問題無論用什麼方法都無法
三角形ABC
畫出，其中一個就是畫出和已知圓形面積一樣的正方
形。為了解開這個問題，希波克拉底和許多科學家不
斷的研究再研究，卻一直等到 19 世紀才證明：這個問
● 希波克拉底的研究領域 題本身光用尺規根本無法畫出。
數學
● 著作 然而，在努力解決這個問題的過程中，希波克拉底發現，新
幾何原本 月形面積可以變換為三角形的面積。因為這個發現，讓世人
知道，被直線環繞的圖形會有個與它面積相等的曲線圖形。
跟數學家希波克拉底活在同個年代，還有個醫生希波克拉
底，希波克拉底醫生被稱為「醫學之父」 ，是該領域的頂尖
大人物。
● 相關數學家
西元前 4 世紀 希波克拉底 1771 年 尤拉 1796 年 高斯 1882 年 林德曼
▼
▼
▼
▼
找出可以變換面積的 3 種 又找出可以變換面積的 2 證明正 7、9、11、13 角形 證明只用尺規畫不出與圓
新月圖形。 種新月圖形。 的圖形無法製圖，而正 17 相同面積的正方形。
角形可以製圖。
數 學 talk talk
有一個製圖器就夠了嗎？
很久以前，製圖只能靠沒有刻度的尺跟圓規，但是隨著時間
流逝，應需求而生的新工具越來越多。為了輕鬆畫出曲線而
誕生的曲線尺就是一個範例。
而 T 字尺就是以模樣像字母 T 來命名，將 T 字的頭部掛在
製圖板左邊的邊緣，上下移動便能輕鬆畫出平行線。
現在只要有一個製圖器即可輕鬆製圖。運用 T 字尺、三角
尺、刻度尺、量角器等製圖器的功能，使作業更有效率。將
兩支尺一橫一直擺放呈直角，就能自由的在製圖板上平行移
動。在把手部分放上量角器，也能輕鬆畫出任何需要的角
度。
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15. 04 Platon
柏拉圖
定義正多面體
Platon（西元前 427 年∼西元前 347 年）
古希臘哲學家，形上學的創立人，重視幾何學的哲學家。
在我創立的學校「Academy（學院）」 幾何學是研究圖形的學問，源自於古埃
你好，我是古希臘的 入口，寫著這樣的句子。 及測量土地時所使用的數學。
哲學家，名叫柏拉圖。
尼羅河氾濫，造成農地
界線都消失了，只好重
新畫一遍。
不過哲學家為什麼會提到數學 我為了解釋真理而使用數學，其 舉例來說，請在腦中想像一個
呢？ 中用最多的就是幾何學。 「圓」。
任何人都可以
想到一個形狀
喂喂～不要侵犯 學哲學之前， 完美的圓形。
我的領域。 必須先學數學。
所謂完美的圓形是什麼呢？ 我們來了解一下 不過實際來畫個圓呢？ 或許形狀很類似，但是要準確的畫出符
圓的定義吧！ 合圓的定義是不可能的事情。
對嗎？ 欸哎
像吧？
20
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16. 其他的平面圖形也都一樣。 透過幾何學，我說明已定義的圖形形象是絕對的
真理（idea），而我們實際看到的圖形只是聯想到
那個形象而已。
你看到的東西只是圖形的形象，
而不是完美形態的圖形。
而且我相信宇宙是由完美的數學運算創造出來 記錄我對自然想法的《蒂邁歐篇》（Timaios）裡提到，我
的。 相信世界是由火、水、空氣、土所組成的。
這 4 種元素具有數
神只是不停工作的幾何學者。 學性的秩序，以構
成這個世界。
唉唷～沒完沒
了……
他主張這 4 種元素由立體的微粒組成，而 正多面體只有 5 種。
且還是立體中最完美的正多面體。 在無數多面體中，正多面體只有這 5 種，不覺得很神奇嗎？
正三面體 正六面體 正八面體
宇宙和組成宇宙的 4 大元素 正十一面體 正二十面體
是由正多面體形成的。
正三面體 正六面體 正八面體 正十一面體 正二十面體
平面圖形和立體圖形
點、線、面、立體稱為基本圖形，利用基本圖形加上各
種規則，就能創造出我們常見的圖形。圖形則分成平面
圖形和立體圖形。
＊ 平面圖形 ─指出現在平面上的圖形。圓、橢圓、
梯形、菱形，以及三角形、四角形等多角形皆歸於此
類。（特別是多角形會根據邊的數量來命名，例如：4
個邊就稱為四角形。）
＊ 立體圖形─指出現在空間（立體）內的圖形。球、
圓柱、圓錐、角柱、角錐、多面體皆歸於此類。
21
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17. 最 輕、 最 尖 銳 的 元 素 最穩定的元素「土」是正 流動性最高的元素 不穩定的元素「空氣」
「火」是正四面體。 六面體。 「水」是最容易滾動的 是風一吹就會轉的正八
正二十面體。 面體。
而正十二面體則是宇宙的整體 12 這個數字，無論是在東西方，都認為它跟宇
形態。 宙有很深的關聯。 你問我為什麼會知道正
多面體只有 5 種嗎？
12 生肖
12 星座
如果沿著正六面體的棱中心切，就會出
想成為正多面 現正八面體。相反的，沿著正八面體的
體，必須具有 棱中心切，就會得到正六面體。
以下的條件。
這個就稱為對偶多
面體。
360
4
利用對偶原則，可以輕鬆記住正多面體的面、邊、頂點的數量。 多虧如此，正多面體也被稱為「柏拉圖
立體」。
* 尤拉定理：（棱數）＝（面數）＋（頂點數）－2
符合對偶原則的圖 正四 正六 正八 正十二 正二十
形，其面數和頂點 面體 面體 面體 面體 面體
數剛好彼此相反
吧？ 面 4 6 8 12 20 ●●●●●
頂點 4 8 6 20 12
邊 6 12 12 30 30
22
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18. 利用數學說明宇宙原理的
柏拉圖
比起數學，柏拉圖在哲學方面的成就更廣為人知。希
臘貴族出身的他雖然對政治懷有理想，但是他看到老
師蘇格拉底遭處死刑後，變得想要了解人的本質，開
始探索哲學。
柏拉圖不僅對哲學感興趣，對數學也很感興趣，甚
至利用數學概念說明宇宙的原理。 而他建立的學校
柏拉圖 「Academy（學院）」的入口，還寫著「不懂幾何學的
人，沒資格進來此處」的標語，可見他很重視數學。
柏拉圖主張世界是由水、火、空氣、土這 4 大元素，
完美的數學秩序所組成。 這些元素由立體的微粒構
● 柏拉圖的研究領域 成，而且還是立體中最完美的正多面體。他依照各多面體的
數學、哲學、科學
● 著作 特徵，將正四面體對應為火、正六面體對應為土、正八面體
蒂邁歐篇（西元前 367 年） 對應為空氣、正二十面體對應為水，而且相信正十二面體能
展現宇宙的整體。12 這個數字，無論是在東西方，都認為
它跟宇宙有很深的關聯。
柏拉圖重新定義正多面體，並闡明可以形成正多面體的條
件，在幾何學領域做出很多貢獻，因此正多面體也被稱為
「柏拉圖立體」 。
● 相關數學家
西元前 4 世紀 柏拉圖 15 世紀 達文西 1596 年 克卜勒 18 世紀 尤拉
▼
▼
▼
▼
將 4 大元素帶入正多面體。 研究立體幾何學。 將正多面體帶入太陽系。 發表尤拉多面體定理。
數 學 talk talk
克卜勒、行星和正多面體，這三者有何關聯？
克卜勒是行星運動領域中，創下許多貢獻的科學家。那時
候，已知的行星只有水星、金星、地球、火星、木星、土星
這六個。克卜勒跟柏拉圖一樣，認為正多面體僅有五種具有
重大意義。他拿出一顆大球，將它定義為土星的軌道，然後
放入剛好能塞進球內的多面體，又在多面體內放入大小與空
間相當的球，而這顆球代表木星的軌道。就像這樣，他利用
球和正多面體做出行星的軌道，藉此用正多面體只有五種的
事實，來說明六顆行星的存在。不過，後來發現太陽系的整
體面貌，使他的理論成為泡影。
克卜勒的正多面體
結構太陽系模型
23
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19. 05 Eudoxos
歐多克索斯
利用無窮切割，求立體體積
Eudoxos（西元前 400 年？∼西元前 350 年？）
古希臘數學家，使用窮盡法證明圓錐的體積
我研究出如何用已知的正六面體，畫 這個方法使圖形體積和比例的
大家好，我是對立體圖形充 出體積比它大 2 倍的正六面體，讓我 研究有了進一步的發展。
滿興趣的歐多克索斯。
聲名大噪。
不信的話，你
可以去看歐幾
里得的《幾何原
本》第 5 卷～
答案就是與底部模樣相同的角柱或
此外，我也傾力證明圖形的面積和 朋友們！ 錐狀立體圖形的體積該怎 1
圓柱體積的 。
體積之間的公式。 麼算呢？ 3
圓面積和其半徑的平
方成比例。
圓錐的體積是
1
圓柱的 。
3
這個事實，古代的數學家早就 1 我跟其他數學家開始證明「為什
但是到底為什麼？ 為什麼是 ？
知道了。 3 麼是 」這個問題。
不能就此罷休。
1
3
這個公式非
常實用。嘻
嘻～
我一定要
找出理由！
24
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20. 今天的食材是 將切片的蘿蔔集合起來，又能恢
復蘿蔔原本的樣貌。 就是這個！
爽口的蘿蔔。
我們來切圓
切 柱吧！
切
切 像這樣拼起
… 來，就能恢復
之前的樣子了。
喔？ 廚師在
切蘿蔔嗎？
當時已經知道如何計算出圓面積的 我決定透過不斷的切割立體物品來思 將無數個非常非常薄的圓形堆
方法。 考。 起來，就會變成圓柱。
堆疊無數的圓，不就 這個想法很
變成圓柱了嗎？ 厲害吧？
你！ 會算圓
的面積吧？ 啊，這
運用這個看 個… 沒錯。
看！
所以圓柱的體積，就能用圓面積乘以高 像這種把東西切成無限個再加起來的概念，就是
度算出來。 只要知道這 高中課程會學到的「積分」基本概念。
個圓面積就
行了。
∫（integral）
是積分符號，
現在不知道也
沒關係。
體積的單位
為求立體圖形的體積，我使用一邊為 1cm 的正六面體體
2Ícm
2Ícm
積為單位。此正六面體的體積為 1cm3，唸做 1 立方公
3Ícm
分。計算長方體體積時， （長）×（寬）×（高）其實
4Ícm 3Ícm
3
就是算出 1cm 的正六面體有幾個。
4Ícm 同樣的，如果要求更大立體圖形的體積，就以一邊為
1Ícm
1m 的正六面體體積為單位。此正六面體的體積為 1m3，
1Ícm 1Ícm 唸做 1 立方公尺。
1Ícm 1cm3 的 1000000 倍就是 1m3。
1Ícm
1Ícm
（立體圖形的體積）＝ 4×3×2 ＝ 24（cm3）
25
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21. 歐多克索斯大 哦哦？ 廚師， 圓錐或角錐也能適用這種無限切割的方法。
師，角錐或圓 這次你的反應真
錐又不像圓柱
一樣，每個圓
快！ 切 切
都一樣大！ 切
切
哦！ 刀
功真是了
得！
想像圓錐裡面含有許多不同大小的圓柱。 將它切成無數個薄片，就像是含有無數個圓柱。
把這麼多的圓柱體
積總和起來，就是
圓錐的體積了吧？
想算出數量如此龐大的圓柱體積總和，耗時又複 1
總之，我換個想法，證明了圓錐體積是圓柱體積的 。而
雜。不過，這種思考方式和現今的「積分」幾乎相 角錐也能用同樣的方式來說明。 3
同。
解出來了，
解出來了！
非常神奇的公式！
西元前 3 世紀左右，歐幾里得透過三角柱分成 3 個三角錐的 由於我們的證明，讓各位現在能毫無疑問的使用
1 1
方法，證明出 這個數值。 來算角錐、圓錐的體積。
3 3
三角柱可以
分出 3 個體
積一樣的三
角錐耶！
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22. 如果不能一次算出來，
就先切成無限個看看
歐多克索斯
古希臘數學家歐多克索斯，同時也是個知名的天文
學家。 雖然盛傳他在西元前 400 年左右，出 生於小
亞細亞的奈德斯（Cnidus） ，不過其出生年代仍不確
定。當時他向畢達哥拉斯學派的首席學者阿爾希塔斯
（Archytas）學幾何學，向賽奧梅頓（Theomedon）習
歐多克索斯的
例 醫，向柏拉圖（Plato）學哲學。
三明治定理範
現在我們常用的定理「圓面積和其半徑的平方成正
比」，就是歐多克索斯所說的。他研究如何用已知的
正六面體畫出 2 倍體積的正六面體，在無人幫助的情況下，
● 歐多克索斯的研究領域
數學、天文學 自己找出方法，也促進黃金分割理論的發展，所以他有個綽
號叫「正比達人」 。
此外，他也用無限切割圖形的方法（窮盡法） ，證明角錐和
圓錐的體積，是同底面、同高度的角柱和圓柱體積的 1 。此 3
時使用的方法與現在的「窮盡法」非常類似。所謂窮盡法就
是，透過切割圖形算出總面積的方法。
他活用當時廣為人知的知識，導出許多新的證明。而他的功
績也被整理在歐幾里得的《幾何原本》第 5 卷。
● 相關數學家
西元前 4 世紀 歐多克索斯 西元前 3 世紀 歐幾里得 16 世紀末 克卜勒 17 世紀末 牛頓、萊布尼茲
▼
▼
▼
▼
創造出原始形態的窮盡法 將角錐分割成三角錐，證 主張「在無限次的計算中， 始創微積分學
明角錐體積的公式 逐漸變小的極小量可以忽
視」的無窮小數解釋
數 學 talk talk
體積和表面積不成正比？
有個長方體，把這個長方體分成好幾小塊，它的體積也不會
改變。但是表面積卻改變了。
所謂的表面積，就是指立體圖形表面面積的總和。將長方體
分割以後，原本看不見的內側就會變成新的表面。所以把馬
鈴薯切薄再拿去炸，或將豆腐切成小塊再進行料理，即使放
入同樣的量（體積），也會比沒切的狀態更快熟，因為受熱
的表面積增加。
相反的，也有同樣體積，減少表面積的情況，例如：一次包
起全部的巧克力，比分成好幾塊包裝，更能減少紙張浪費。
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23. 06 Archimedes
阿基米德
計算圓周率
Archimedes（西元前 287 年？∼西元前 212 年）
古希臘數學家、物理學家，準確算出圓周率小數點第二位。
形狀一樣，大小不同的兩個圖形稱 如果是相似，將其中 相似的圖形之間，只要知道一個圖形的
為相似。 一個放大或縮小就能 尺寸，即可算出其他圖形的尺寸，因為
完全重疊。 長度比是相同的。
2 倍長的話
是 6cm， 1
2
倍的話則是
1.5cm。
世上所有的圓形 都是相似。 因此根據圓的直徑，圓周長的比是固
這個世界 定的。
真美麗！ 圓上的任何一點
跟中心的距離都
是一樣的。 因為相似，所以
比是固定的！
這就是所謂的
圓周率！
早在西元前 4000 年左右，巴比倫人 古代人認為正確計算圓周率，是 我也努力尋找那把鑰匙。
就已經發現圓周率了。 解開萬物之謎的鑰匙。
只要算出圓周率， 到底是哪一把？
就能解開所有的疑問。
這裡好像有什麼
規則。
28
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24. 由於無法直接測量圓周長，所以我 我先畫了圓的外接正方形。 如此一來，無論圓周有多長，也比
利用多角形的周長。 正方形的周長短。
在圓內畫一個內切多角
形，在圓外畫一個外接 圓周長不可
多角形吧！ 能超過 8。
在同樣的圓內，畫一個內切正方形。 不管圓周有多短，也會超過此正 換句話說，圓周長比外接多角形的
方形的周長。 周長短，比內接多角形的周長長。
嚇！ 我的
圓周範圍已
經被察覺了
利用畢氏定理， 嗎？
可知四角形的邊長為
√2。
我不斷增加多角形的邊數，來減 邊的數量越多，就越接近圓。
呵呵，走著瞧吧！ 少範圍的誤差。
離正確的數值還很遠
呢！
我真的很想畫出
圓周長的範 數十角形……
圍還要縮更
小一點。
圓周率的發現史
約 150 年 希臘的天文學家托勒密在自己的著作《數學匯編》中，提出 π 為 3.1416。
約 480 年 中國祖沖之精確算出 π 的數值到小數點第六位。
3927
約 1150 年 印度數學家婆什迦羅提出 π 為 1250
= 3.1416。
1767 年 德國數學家蘭伯特證明 π 是無理數。
1882 年 德國數學家林德曼證明 π 是超越數（超越數是無理數的一種）。
1984 年，東京大學小組利用超級電腦，求出 π 的數值到小數點第 1600 萬位。至今，
說不定還有人在計算更準確的 π 數值。
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25. 最後我畫出圓的外接正九十六角形。 我說過了吧？
我說我要畫出
呃啊！ 流鼻 數十角
血了！ 鼻 形！ 你
太厲害了，太厲
血！ 看看我的
害了！ 你是用手
黑眼圈！
畫的嗎？
滴 呼～
…
…
用九十六角形周長算出的圓周率 隨著時間流逝，人們算出更精準的圓 不過，圓周率是沒有盡頭的
數值，跟現在使用的圓周率到小 周率。 無限小數。
數點第二位完全吻合。
我正確的算到小數 我已經算到
好恐怖。 點第四位。 小數點第六
我用雙手準確的算
出圓周率是 3.14。 位了！
不是我
的錯。
因為沒辦法寫那麼長，所以瑞士數學家尤拉以 20 世紀初，印度的拉馬努金利用自己開發的方法，結合電腦
π 來表示圓周率。 演算，求出 π 的數值到小數點第幾百萬位。
這個符號要
唸作「拍」。 滴 滴 滴 滴
多虧大家對圓周率的研究，各種關於 這些公式甚至被運用到計算曲線長 這一切都是從「世上所有的圓形
圓的公式也不斷產生。 度、橢圓、扇形等形狀的面積和體 都是相似」這個定義開始的。
積。
大家全都
辛苦了 辛苦了。
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26. 畫出圓的外接正九十六角形
阿基米德
如果要舉出歷史上最偉大的科學家，阿基米德可以與
牛頓和高斯並駕齊驅。
甚至有人評論，假設希臘數學家或科學家更相信阿基
米德，而非歐幾里得和柏拉圖，或許近代數學和近代
科學的時代就能大幅提前到來。
他的作風非常準確、精密。求圓周率的時候，也利用
像
阿基米德的肖 圓的內切多角形和外接多角形來計算。當時製圖法還
沒有出現，他為了得到圓周率，甚至畫了正九十六角
形。光是畫到正四十角形，就已經很接近圓形了，他
這麼做真的很驚人。
● 阿基米德的研究領域 他曾經因為想到關於體積的解答，興奮的跳出浴盆，光著身
數學、物理學
● 著作
體跑出去，還邊喊著「eureka（意指我發現了） 。他也曾
」
數學整理的方法、關於平面的平 經誇下海口說：只要給他一個支點，他就能舉起整個地球。
衡、關於圓的測量、關於球和圓 在阿基米德的故事中，除了數學以外，還有很多關於科學發
柱
現的內容。他數不清的研究成果，至今仍為我們帶來很多幫
助。
● 相關數學家
西元前 12 世紀 中國 西元前 240 年左右 阿基米德 1873 年 向克斯 1875 年 福格遜
▼
▼
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▼
認為圓周率為 3。 畫出正 96 角形，求出圓周 花費一生，利用無限級數 發現向克斯的計算，在小
率的數值到小數點第二位。 計算出 707 位小數。 數 點 第 528 位 出 錯。 此 後
用電腦計算圓周率。
數 學 talk talk
3 月 14 日是什麼日子？
3 月 14 日對數學家來說，是個特別的日子。除了是愛因斯
坦的生日以外，還有一個更特別的理由。3 月 14 日是 π 之
日，為了紀念圓周率近似值為 3.14，便將這天指定為「π 之
日」 尤其因為 π 是 3.14159……，所以會在 3 月 14 日的
。
下午 1 點 59 分慶祝。 之日在美國和歐洲的大學非常盛行，
π
在韓國也有一些學校會自行舉辦活動。
在這天聊著圓周率所扮演的角色，想像沒有圓周率的世界，
或是舉行圓周率背誦比賽，吃著和 π 發音類似的派。
是個相當學術性的活動吧？
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