Alloyでパズル

Alloy でパズル
明石工業高等専門学校電気情報工学科 2年
仔竜レアン
(@favdragon_rean)

Alloyであそぼう！

 「抽象によるソフトウェア設計」って本の題名だけど、正直ソフトウェア設
計をやる機会ってそんなにないってゆ～か～、ちょっと堅苦しくない？って
かんじぃ～？

 もっとゲーム感覚で遊べないんです？？？

あった！！！

 パズル解けば楽しいんじゃね？？

数独ってどんなのだっけ？

5 3 4 6 7 8 9 1 2
 ペンシルパズルの一種
6 7 2 1 9 5 3 4 8
1 9 8 3 4 2 5 6 7
8 5 9 7 6 1 4 3 3
4 2 6 8 5 3 7 9 1
7 1 3 9 2 4 8 5 6
9 6 1 5 3 7 2 8 4
2 8 7 4 1 9 6 3 5
3 4 5 2 8 6 1 7 9


5 3 4 6 7 8 9 1 2
6 7 2 1 9 5 3 4 8
 1～9の数字を埋めていく
1 9 8 3 4 2 5 6 7
8 5 9 7 6 1 4 3 3
4 2 6 8 5 3 7 9 1
7 1 3 9 2 4 8 5 6
9 6 1 5 3 7 2 8 4
2 8 7 4 1 9 6 3 5
3 4 5 2 8 6 1 7 9


5 3 4 6 7 8 9 1 2
6 7 2 1 9 5 3 4 8
1 9 8 3 4 2 5 6 7
 太枠で囲まれている3x3のブ
ロック内に同じ数字が複数 8 5 9 7 6 1 4 3 3
入ってはいけない
4 2 6 8 5 3 7 9 1
7 1 3 9 2 4 8 5 6
9 6 1 5 3 7 2 8 4
2 8 7 4 1 9 6 3 5
3 4 5 2 8 6 1 7 9


5 3 4 6 7 8 9 1 2
6 7 2 1 9 5 3 4 8
1 9 8 3 4 2 5 6 7
4 2 6 8 5 3 7 9 1
 横の列で同じ数字が複数入っ
てはいけない 7 1 3 9 2 4 8 5 6
9 6 1 5 3 7 2 8 4
2 8 7 4 1 9 6 3 5
3 4 5 2 8 6 1 7 9


5 3 4 6 7 8 9 1 2
6 7 2 1 9 5 3 4 8
1 9 8 3 4 2 5 6 7
4 2 6 8 5 3 7 9 1
 横の列で同じ数字が複数入っ
てはいけない 7 1 3 9 2 4 8 5 6
 縦の列で同じ数字が複数入っ 9 6 1 5 3 7 2 8 4
てはいけない
2 8 7 4 1 9 6 3 5
3 4 5 2 8 6 1 7 9

で、Alloyでどうやって解くの？

手続き型言語では

 パズルの解き方をガリゴリ書いていく
 既に入っている数字から消去法的に数字を入れていくとか

Alloyでは

 パズルの正答がどんな条件を満たすべきかを書き下していく
 すると、勝手にSAT Solverがパズルを解いてくれる！

 それってやばくね？

盤面を表現する

5 3 4 6 7 8 9 1 2
 普通に考えたら、数値型の9x9
の2次元配列で表現できる 6 7 2 1 9 5 3 4 8
1 9 8 3 4 2 5 6 7
 えっ、配列って何ですか？ 8 5 9 7 6 1 4 3 3
4 2 6 8 5 3 7 9 1
 ちょっと何言ってるかよくわか
んないですね・・・
7 1 3 9 2 4 8 5 6
9 6 1 5 3 7 2 8 4
2 8 7 4 1 9 6 3 5
3 4 5 2 8 6 1 7 9

Alloyは数字が苦手

 数値をある値と直接比較することはあっても、数値演算を
することは多くない
 配列っぽいもの(Int -> Hoge , アトムのシークエンス)は一
応あるが、結構使いにくい
 本の付録にちょっと書いてある程度にしか触れられていない

ところで

 使う数字って1～9ですよね？

 それくらいだったらシグネチャだと思ったら余裕じゃね？

こうなる
abstract sig Number{data: Number -> Number}
abstract sig Region1, Region2, Region3 extends Number{}

one sig N1, N2, N3 extends Region1 {}

 Java的に言うと、仮想クラスNumberを作って、それを継承す
るクラスN1～N9を定義した感じ
 頭おかしい
 でも扱いやすい

Number
Region1 Region2 Region3

N1 N4 N7

N2 N5 N8

N3 N6 N9

※Abstractなので正確にはちょっと違う

盤面の表現

 「1行目,2列目に3という数字が入る」ことを、 N1->N2->N3 とい
う3項関係で表す
 実体は、(N1,N2,N3)というTuple

 3項関係のイメージはとてもむずかしい

 とりあえず、N1.data[N2]とするとN3が取れる
 data[N1,N2]でもいいし
 N2.(N1.data)でもいい
 気分で書き分けるとたのしい
 ？

正答の条件

1. 全てのマスが埋まっている
2. どの縦列を見ても、重複する数字はない
3. どの横列を見ても、重複する数字はない
4. どのブロックを見ても、重複する数字はない

正答の条件
①全てのマスが埋まっている
all n1,n2: Number | one n1.data[n2]

 『どのような組み合わせのNumber n1,n2であっても、一つ
のn1.data[n2]が存在する』
 (2つ以上は存在しない)
 n1,n2が取りうる値はN1～N9で、n1.data[n2]は、n1行目,
n2列目に書かれている数値を表す
 要するに、「どんな(x,y)にも1つ数値が書かれている」とい
うこと

正答の条件
①全てのマスが埋まっている

どのような組み合わせのNumber n1,n2であっても、
一つのn1.data[n2]が存在する

正答の条件
②どの縦列を見ても、重複する数字はない
 「重複する数字はない」を「1,2,3,4,5,6,7,8,9全てを含
む集合と等しい」と言い換えることができる
 9つのマスに9つの数字を入れるので、重複があると全て
を含むことができないため

ところで

 na.(nb.data) というものは、実は『集合na,nbからそれぞれ選んだNumber A,B
の全ての組み合わせにおいて、A行目B列目に入る数値の集合』を表しています。
(N1とかN2は、要素1の集合と扱われる)

N1 data[N1]

data[N1] data[N1] N6

N4 N5

(例)
Region2 = N4 + N5 + N6 とするときの、Region2.data[N1]は、
Region2が3つの要素の集合なので、その全てを当てはめた、
N4.data[N1] + N5.data[N1] + N6.data[N1] になる

ところで

 na.(nb.data) というものは、実は『集合na,nbからそれぞれ選んだNumber A,B
の全ての組み合わせにおいて、A行目B列目に入る数値の集合』を表しています。
(N1とかN2は、要素1の集合と扱われる)

 ところで、Number = N1 + N2 + /* … */ + N9 なので、
 Number.(nb.data) は「全ての行のnb列目に入る数字の集合」だ！！！

na.data(nb)にN1～N9が含まれているか
を調べる関数(のようなもの)をつくる
pred complete(na: set Number, nb: set Number){
Number = na.(nb.data)
}

 set Number を2つ引数にとる述語complete
 Number集合と、na.(nb.data)が一致すれば真

正答の条件
②どの縦列を見ても、重複する数字はない

all col: Number | complete[Number, col]

 こう書けるよね！

正答の条件
③どの横列を見ても、重複する数字はない

all row: Number | complete[row, Number]

 同様にこう書けるよね！

正答の条件
④どのブロックを見ても、重複する数字はない
 左上のブロックだけを考える
 左上のブロックの集合は、{1,2,3}行目{1,2,3}列目で表せ 5 3 4 6 7 8 9 1 2
られる
6 7 2 1 9 5 3 4 8
1 9 8 3 4 2 5 6 7
 Region1 = N1,N2,N3 と宣言されている(！)
8 5 9 7 6 1 4 3 3
4 2 6 8 5 3 7 9 1
7 1 3 9 2 4 8 5 6
9 6 1 5 3 7 2 8 4
2 8 7 4 1 9 6 3 5
3 4 5 2 8 6 1 7 9

正答の条件
④どのブロックを見ても、重複する数字はない
「ブロック1内で重複する数字がない」条件

complete[Region1,Region1]

 更に、全てのRegionについて言えるので、単に列挙すればいい

complete[Region1, Region1]

初期条件

 「最初から盤面に入ってい pred puzzle() {
る数字」の集合は、全ての N1->N1->N5 + N1->N2->N3 + N1->N5->N7
盤面上の数字の部分集合だ + N2->N1->N6 + N2->N4->N1 + N2->N5->N9 + N2->N6->N5
よ！といっています + N3->N2->N9 + N3->N3->N8 + N3->N8->N6
+ N4->N1->N8 + N4->N5->N6 + N4->N9->N3
 要するに、ここに書いた番 + N5->N1->N4 + N5->N4->N8 + N5->N6->N3 + N5->N9->N1
号は盤面内にあることがこ + N6->N1->N7 + N6->N5->N2 + N6->N9->N6
れで保証されます + N7->N2->N6 + N7->N7->N2 + N7->N8->N8
+ N8->N4->N4 + N8->N5->N1 + N8->N6->N9 + N8->N9->N5
+ N9->N5->N8 + N9->N8->N7 + N9->N9->N9 in data
}

正答の条件
Number in na.(nb.data)
}
 まとめるとこうなるよ！
pred rules(){
all row: Number | complete[row, Number]
all col: Number | complete[Number, col]
}

完成したソースコード
abstract sig Number{data: Number -> Number}
abstract sig Region1, Region2, Region3 extends Number{}
Number = na.(nb.data)
}
pred rules(){ pred puzzle() {
all n1,n2: Number | one n1.data[n2] N1->N1->N5 + N1->N2->N3 + N1->N5->N7
all row: Number | complete[row, Number] + N2->N1->N6 + N2->N4->N1 + N2->N5->N9 + N2->N6->N5
all col: Number | complete[Number, col] + N3->N2->N9 + N3->N3->N8 + N3->N8->N6
complete[Region1, Region1] + N4->N1->N8 + N4->N5->N6 + N4->N9->N3
complete[Region1, Region2] + N5->N1->N4 + N5->N4->N8 + N5->N6->N3 + N5->N9->N1
complete[Region2, Region2] + N8->N4->N4 + N8->N5->N1 + N8->N6->N9 + N8->N9->N5
complete[Region2, Region3] + N9->N5->N8 + N9->N8->N7 + N9->N9->N9 in data
complete[Region3, Region1] }
complete[Region3, Region2] pred solve{ rules[] puzzle[] }
complete[Region3, Region3] run solve
}

これだけなんです！

 あとは実行するだけで、数独を解いてくれるらしいですよ！
 Alloyまじかっけー

 と、言うわけでやってみますね！

やばすぎなのでは

 Alloyさんちょっと何言ってるかわかんないですね・・・

 Numberの3項関係として解答されるので、人間が見てもわけがわからな
い！！！

 と、言うわけでビジュアライザーつくりました

ちゃんと動いた！

 解き方は全く与えていないのに、正答の条件を定義するだけでちゃんと解が求
まる！
 ちょっと書き換えるだけで、与えた盤面が正しいかどうかを調べるようにもで
きそう

まとめ

 Alloyでパズルを解くには、“解き方を書く”のはなく、“解いた結果の条件”を
与えてやるとうまくいく
 @qnighyさんはもっと短く(10行程度+問題の入力)解いてました、ぱない
 https://gist.github.com/3478314

 「解くことができる数独の問題」を作ることもできる(らしい)

 他にも、色々なパズルが解ける(らしい)ので、是非挑戦してみるといいかも？

参考にしたページ

 「Alloy4.0で数独パズル」
http://toshi.way-nifty.com/log/2008/05/alloy40_3b9e.html

ご清聴
ありがとうございました

Alloyでパズル

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