Materiały z zajec "Teoria gier w naukach spolecznych" realizowanych w Instytucie Socjologii Uniwersytetu w Bialymstoku

1. Teoria gier w naukach społecznych Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą

2. Przypomnienie Gry w postaci macierzowej i ekstensywnej Gry o sumie zerowej i gry o sumie niezerowej Kryterium dominacji Punkty siodłowe Wynik gry Metoda minimaksu i maksyminu Metoda „strzałkowa”

3. Wyznacz punkt siodłowy i narysuj diagram przesunięć

4. Wyznacz punkt siodłowy i narysuj diagram przesunięć

5. Gra macierzowa

6. Strategia czysta i strategia mieszana Strategia mieszana – granie jednej z wielu strategii z określonym prawdopodobieństwem Strategia czysta – gracz wybiera jedną, tę samą strategię

7. Wartość oczekiwana Wartością oczekiwaną dla danych wypłat a1, a2…ak , uzyskiwanych z prawdopodobieństwami odpowiednio p1, p2…pk jest liczba a1p1+a2p2+….+akpk

8. Kolumna rzuca monetą, co powinien zrobić Wiersz?

9. Kryterium wartości oczekiwanej Jeżeli wiemy, że nasz przeciwnik gra określoną strategię mieszaną i będzie ją stosował niezależnie od tego, jak my gramy, powinniśmy stosować strategię dającą nam największą wartość oczekiwaną wypłaty

10. Knowania Kolumny…. Czy istnieje taka strategia mieszana Kolumny, że nawet jeśli Wiersz będzie ją znał, to nie będzie mógł tego wykorzystać przeciw Kolumnie? Załóżmy, że Kolumna gra strategię mieszaną polegającą na wyborze A z prawdopodobieństwem wyboru p i B z prawdopodobieństwem (1-p), gdzie (0≤p ≤ 1)

11. Knowania Kolumny

12. Knowania Kolumny Jeżeli Kolumna zagra strategię mieszaną ¾ A i ¼ B Może być pewna, że średnio Wiersz nie wygra więcej niż ¾ w jednej grze, niezależnie od tego, jakie będzie wybierał strategie

13. Rozwiązanie gry bez punktu siodłowego Wartość gry wynosi ¾ Optymalną strategią Kolumny jest ¾A i ¼ B Optymalną strategią Wiersza jest 3/8 A i 5/8 B.

14. Metoda rozwiązywania gier 2x2 w strategiach mieszanych

15. Twierdzenie o minimaksie Każda gra macierzowa m×nma rozwiązanie, tzn. istnieje dokładnie jedna liczba v, nazywana „wartością gry”, oraz optymalne strategie (czyste lub mieszane) obu graczy, takie że: Jeżeli Wiersz gra swoją optymalną strategię, to jego oczekiwana wypłata będzie większa lub równa v niezależnie od tego, jaką strategię będzie grała Kolumna Jeżeli Kolumna gra swoją optymalną strategię, to oczekiwana wypłata Wiersza będzie mniejsza lub równa v, niezależnie od tego, jaką strategię będzie grał Wiersz

16. John von Neumann (1903-1957) Matematyk, inżynier chemik, fizyk i informatyk. Wniósł znaczący wkład do wielu dziedzin matematyki - w szczególności był głównym twórcą teorii gier, teorii automatów komórkowych i stworzył formalizm matematyczny mechaniki kwantowej. Uczestniczył w projekcie Manhattan. Przyczynił się do rozwoju numerycznych prognoz pogody.

17. Program do rozwiązywania gier http://gambit.sourceforge.net/

18. Rybołówstwo na Jamajce

19. Davenport 1960

20. Strategie rybaków Wewnętrzna: ustawić wszystkie kosze na łowiskach wewnętrznych Mieszana: ustawić część koszy na łowiskach wewnętrznych, a resztę na zewnętrznych Zewnętrzna: ustawić wszystkie kosze na łowiskach zewnętrznych

21. Wady i zalety strategii Załogi stosujący strategie „zewnętrzną” i „pośrednią” ustawiały mniejszą liczbę koszy Łowiska zewnętrzne były narażone na szkody Połowy na łowiskach zewnętrznych dawały lepsze ryby Do wypływania na łowiska zewnętrzne potrzebne są lepsze łodzie

22. Wartości wypłat

23. Rozwiązanie gry

25. - Optymalna strategia rybaków: 67% - wewnętrzna, 33% - pośrednia

26. - Wartość gry: 13,3

27. Obserwacje Davenporta:

28. - Rybacy nigdy nie stosowali strategii zewnętrznej

29. - Podczas obserwacjiDavenporta w 69% stosowano strategię wewnętrzną, a w 31% - pośrednią

31. Strategia zewnętrzna:

32. Strategia pośrednia: Stosowanie strategii minimaksowej gwarantuje rybakom minimum 13,3 funtów szterlingów miesięcznie

34. Strategia zewnętrzna:

35. Strategia pośrednia: Rybacy powinni więc stosować strategię zewnętrzną!!!

36. A co, jeśli pośrednia będzie tylko trochę mniej atrakcyjna…

37. Gry przeciwko Naturze Natura: nieracjonalny gracz, który poprzez „wybór strategii” współdecyduje o naszych wypłatach, ale który sam z siebie nie jest zainteresowany wynikiem gry

38. Gra z Naturą

39. Kryterium Laplace’a (1812) Wybierz wiersz z najwyższą średnią wypłat (co jest tożsame z wyborem wiersza o najwyższej sumie wypłat)

40. Kryterium Walda (1950) Wyznacz dla każdego wiersza minimalną wartość wypłaty i wybierz wiersz o najwyższym minimum

41. Kryterium Hurwicza Wybierz „współczynnik optymizmu” αz przedziału od 0 do 1. Dla każdego wiersza oblicz wartość: α [maksimum wiersza] + (1- α) [minimum wiersza] i wybierz wiersz, w którym wartość takiej średniej ważonej jest największa

42. Kryterium Savage’a (1954) Wyznacz maksima wierszy w macierzy strat. Wybierz wiersz, którego maksimum jest najmniejsze

43. Macierz strat

45. Czy może pewność, że najgorsze nie będzie najgorsze?

46. Szansę na uzyskanie naprawdę najlepszego?

49. Niezmienność względem premii: Wybrana strategia nie ulegnie zmianie, jeżeli do każdej wypłaty w jednej z kolumn dodać stałą

51. Problem przedsiębiorcy

52. Czy są jakieś pytania?

53. Następne zajęcia www.gryspoleczne.wordpress.com