Vnmo 30 4-2011-grade 10

បជុំវ គណិតវទ សិស ពូែកគណិតវទ ក់ទី១០
បកែ បេ យ ែកវ សិរ"

គណិតវទ អូ ំពិក បៃពណីេវៀត ម 30-4 ំ 2011


វ អូ ពិក បៃពណីេវ ត
ំ មេលកទី XVII ំ ២០១១

មុខ វ%ៈ គណិត វទ)*ក់ទី ១០ រយៈេពល ១៨០/ទី
&

. យ ម ង មកង នចននព

x3 − 15 x2 + 78 x − 141 = 53 2 x − 9

. គ !ចននគ "#ជ%&ន n នង d1 < d 2 < d3 < d 4 'បន )ចកគ "#ជ%&ន * ចបផ ប " n

ក គប"ប,ចននគ "#ជ%&ន n ./ម0 ! n = d1 + d 2 + d3 + d 4
- 2 2 2 2

1. 2កងប3ង" គ !ម xOy នងព ចនច A 4 2 5/កន3 ប6 " Ox នង B
7 4 2 5/កន3

ប6 " Oy 89 ង, !
7 : OAB ម; ង" O ∆ 'ប6 "ច5< មយមន
7 "

=ម O , ) ?) ង " =មចនចក,5 I ប
- " AB នង " កន3 ប6 " Ox, Oy @ងA
7

ង"ប,ចនច C , D
- =ង M 'ចនចក,5 ប
- " CD, N 'ចន ប ពBCន OM

នDង AB, H 'ច ,5)កង ប " N 2 5/ CD ព5 ∆ ច5< , ច* ក នចនច ប "

ចនច H

E. គ ! a, b, c 'បចននព មនF#ជ%&ន ផ7GងH " a 2 + 4b 2 + 9c 2 = 14
7

យបIក"J
% 3b + 8c + abc ≤ 12

K. យបIក"Jព 2011 ចននគ "#ជ%&ន,កL
% យ គ) ង ជ/ / ;នចននព

).5ផ5ប* ក Mផ5.ក ប "?)ចក ច" នDង 4018

x2 y 2
N. គ ! F5ប ( E ) : + = 1 នងប6 " ( ∆ ) : 2 x − 2 y + 4 = 0
7 =ង B, C @ង
8 4
A'ចនច ប ពB ប " ( ∆ ) នង ( E ) , yB > yC O/យ A 'ចនច 2 5/ ( E ) 89 ង

, ! ប)#ងព A P ( ∆ ) )#ងបផ កចនច M 2 5/ ( E ) ./ ម0 ! ប)#ងព M

Pប6 " AB គM)#ងបផ
7
'()&

www.keoserey.wordpress.com
Page 1


ចំេលយ

. ម ).5 ! មម* 5នD ង

(
( x − 5)3 = −3 x + 5 5 + 3 2 x − 9 − 9 )
=ង y = 5 + 3 2 x − 9 , យ/ង;ន បព<នQ ម

( x − 5)3 = −3x + 5 y − 9


( y − 5) = 2 x − 9
3

.កFងRនDងFងR ម (1) នង (2) , យ/ង;ន

( x − 5)3 − ( y − 5)3 = −5 x + 5 y .

⇔ ( x − y )  ( x − 5)2 + ( x − 5)( y − 5) + ( y − 5)2 + 5 = 0
 
យ ( x − 5) 2 + ( x − 5)( y − 5) + ( y − 5)2 + 5 =
2
 1  3
=  x − 5 + ( y − 5)  + ( y − 5) 2 + 5 > 0, ∀x, y ∈ ℝ
 2  4
6 ម (3) មម*5នDង x = y

ព (2) Sញ;ន ( x − 5)3 = 2 x − 9 ⇔ x3 − 15 x 2 + 73x − 116 = 0

x = 4
⇔ ( x − 4)( x − 11x + 29) = 0 ⇔ 
2
 x = 11 ± 5

 2
 11 − 5 11 + 5 
 
.*ច ន នU ប " ម ).5 !គM S = 4; ; 

 2 2  
. ឃ/ញJ x 2 ≡ 0 (mod 4) ព5 x គ*, x 2 ≡ 1 (mod 4) ព5 x

ប/ n 'ចនន 6 គប" ប,ចនន di
- ទQ) O/យ

n ≡ d12 + d 22 + d 32 + d 4 ≡ 1 + 1 + 1 + 1 ≡ 0 (mod 4) (ក : ន ផ7យព
2
ព )

.*ច ន យ/ង;ន n = 2k

ប/ 4 ' )ចក ប " n 6 d1 = 1 នង d 2 = 2, n ≡ 1 + 0 + d 32 + d 42 )ចកមន ច" នDង 4 (ក :

ន ផ7យព ព ) .* ច ន យ/ង;ន n )ចកមន ច" នDង 4

.*ច ន {d1 , d 2 , d3 , d 4 } = {1, 2, p, q}

Page 2


M {d1 , d 2 , d 3 , d 4 } = {1, 2, p, 2 p} ចZ p, q 'ប,ចននប[ម
-

កងក : {d1 , d 2 , d 3 , d 4 } = {1, 2, p, q} យ/ង;ន n ≡ 3 (mod 4) (ផ7យព ព )

.*ច ន n = 5 (1 + p 2 ) O/យ n )ចក ច" នDង 5 , 6 p = d3 = 5 នង n = 130

1. • យបIក")ផក
% ប

=ង
O
+ P 'ចនច ប ពB ប "កន3 ប6 " OI
7
C1
នDង ងBង" (C ) Dក ] : OCD
A D1
E N
+ J 'ចនច ប ពB ប "កន3 ប6 " OI
7 I D
H
នDងប6 ")កងនD ងកន3 ប6 " Ox
7 7 ង" A H1 B
F
+ E , F @ងA'ច ,5)កង ប " P H2
x
P
P 5/កន3 ប6 " Ox, Oy
7 y

=មប^ប" យ/ង;ន

ប/ C ≡ A , 6 ! D ≡ B ( ផ7យមក#ញ) 6 M ≡ N ≡ H ≡ I
M

ប/ C ≠ A នង D ≠ B , ព5 6 ,

+ កន3 ប6 " OI 'ប6 "ព ប
7 7 "ម AOB ⇒ P 'ចនចក,5ធ* CD ប
- " (C )

⇒ PM ⊥ CD ព 6 , E, M , F 4 2 5/ប6 " Simson ប
7 "ចនច P ច Z ∆OCD

+ កL Z កន3 ប6 " OI 'ប6 " ព ប
7 7 " AOB 6 EF ⊥ OI ⇒ EF || AB

+ AJ , EP )កង មA PនDង Ox 6 AJ || EP

ព 6 =ម ទD -បទ= 5 យ/ង;ន
OJ OA ON
= = ⇒ NJ || PM ⇒ NJ ⊥ CD ⇒ N , H , J " ង"ជ
OP OE OM
.*ច ន H 4 2 5/ ងBង" (T ) Fង` " ផa IJ យប, កន3 ប6 " Ox, OI នងប,
- 7 -

ចនច A, B 2នDង 6 I , J 2នDង ⇒ (T ) 2នD ង

• 5ម ប " នចនច

=ង C1 , D1 @ងA'ប,ចនច
- 4 2 5/ Ox, Oy 89 ង, ! IC1 || Oy នង ID1 || Ox;

H1 , H 2 @ងA'ចនច ប ពB ប " (T ) នDង IC1 នង ID1 ព5 6 C bច 4 2Fង` "

Page 3


OC1 ) ប9 , .*ចAនD ង D bច
c 4 2 ]Fង` " OD1 ) ប9 ,c Sញ;ន H 4 2

5/ធ* H1 H 2 &នផ7ក I ប " ងBង" (T ) ( 5/ក)5ងព ចនច H1 , H 2 )

• យបIក")ផកផ7យ
%

2 5/ធ* H1 H 2 &នផ7ក I ប " ងBង" (T ) យ/ង dចនច H ' =ង C ', D ' 'ចនច ប ពB

ប " IH ' @ងA PនD ង Ox, Oy; P ' 'ចនច ប ពB ប "កន3 ប6 " OI PនD ង ងBង" Dក
7

] ∆OC ' D '; E′; F ′ @ងA'ច ,5)កង ប " P ' P 5/ Ox, Oy; N ′ 'ចនច ប ពB

ប " JH ' PនD ង AB; M ′ 'ចនចក,5 ប
- " C 'D' យ/ង e# បfញJ O, N ', M '
g

" ង"ជ A

ព '.*ច ន =ង N '' 'ចនច ប ពB ប " OM ' នង AB ព5 6 =ម ^ប" បIក"
%

)ផក ប យ/ង;ន
OJ ' OA ON ''
= = ⇒ N '' J || P ' M '
OP ' OE ' OM '
⇒ N '' J ⊥ C ' D ' ⇒ N '', H ′, J " ង"ជ ⇒ N '' ≡ N '

.*ច ន O, N ', M ' " ង" ជ A (បIg e# យបIក")
%

• ន hន នចនច H 'ធ* H1 H 2 &នផ7កចនច I ប " ងBង" (T ) ( 5/ក)5ងព

ចនច H1 , H 2 )

E. # មiព).5 ! មម* 5នD ង 6b + 16c + 2abc ≤ 24 (1)

+ Fន# -នj# មiព Cauchy យ/ង;ន

6b + 16c ≤ 3(b2 + 1) + 8(c 2 + 1) = 11 + 3b 2 + 8c 2 .

= 11 + (a 2 + 4b 2 + 9c 2 ) − a 2 − b2 − c 2 = 25 − a 2 − b2 − c 2 .

6 ./ ម0 យបIក" (1) យ/ង Aន")
% e# យបIក"#
% មiព

a 2 + b2 + c 2 − 1 ≥ 2abc (2) , ច Z a, b, c មនF#ជ%&ន

+ =មប^ប" a 2 + 4b2 + 9c 2 = 14 , # មiព (2) bច k/ង#ញ.* ច ង ម

14(a 2 + b2 + c 2 ) − (a 2 + 4b2 + 9c 2 ) ≥ 28abc .

⇔ 13a 2 + 10b 2 + 5c 2 ≥ 28abc .

⇔ (13a 2 + 10b 2 + 5c 2 ) a 2 + 4b 2 + 9c 2 ≥ 28 14abc

Page 4


+ Fន# -នj# មiព Cauchy ម-ង ទ@ ច Z 28 ចនន យ/ង;ន

13a 2 + 10b 2 + 5c 2 ≥ 2828 ( a 2 )13 (b 2 )10 (c 2 )5 = 2814 a13b10 c 5

( )
2
នង a 2 + 4b 2 + 9c 2 ≥ 1414 a 2 (b 2 ) 4 (c 2 )9 = 14 14
ab 4 c 9

( )
2
+ .* ច 6 (13a 2 + 10b 2 + 5c 2 ) a 2 + 4b 2 + 9c 2 ≥ 2814 a13b10 c 5 14 14
ab 4 c 9 = 28 14abc

មiព ក/ &ន ព5 (a, b, c) = (1,1,1)

5l " e#;ន យបIក" ច^5"
%

K. ព5)ចកចននគ "#ជ%&ន,មយ នD ង 4018 6 ប,- :5" e# 4 2កង ន

{0, 1, ..., 4017}
កងប,- :5" ង 5/ យ/ង)ចក ចញ' កmម.* ច ង ម

+ កmមទមយ ម&នប,ចនន ព5)ចកនD ង 4018 ;ន
- :5" /n 0

+ កmមទព ម&នប,ចនន ព5)ចកនD ង 4018 ;ន
- :5" /n 1 M /n 4017

+ កmមទប ម&នប,ចនន ព5)ចកនD ង 4018 ;ន
- :5" /n 2 M /n 4016

............

+ កmមទ 2009 ម&នប,ចនន ព5)ចកនD ង 4018 ;ន
- :5" /n 2008 M /n 2010

+ កmមទ 2010 ម&នប,ចនន ព5)ចកនD ង 4018 ;ន
- :5" /n 2009

.*ច ន &នSងF " 2010 កmម, ) )ប '&ន 2011 ចនន 6 =ម ទD -បទ Dirichlet

?ងពក? e#&នព ចនន ).5 :5"កង ប&:#ធ)ចកនD ង 4018 oក"ច*5កង កmម
3

'មយA

ន គM'ព ចនន).5 e# ក Z ប/ ព ចនន ន &ន :5" /nA 6 ផ5 ងប "

ពក?)ចក ច"នDង 4018 , ប/ ពក?&ន :5" ផpងA 6 ផ5ប* ក ប "ពក?)ចក ច"

នDង 4018

N. =ង A(2 2 sin t ; 2 cos t ) ∈ ( E ), t ∈ [ 0; 2π ]

 π
4 2 sin  t −  + 4
4sin t − 4 cos t + 4  4
យ/ង&ន d ( A, (∆)) = =
6 6

Page 5


.*ច ន d ( A;(∆)) ធបផ ព5
π 3π
sin(t − ) = 1 ⇒ t = ⇒ A(2; − 2)
4 4
t = 0 ⇒ B(0; 2)
 π 1
d ( A; (∆)) = 0 ⇒ sin  t −  = − ⇒  3π
 4 2 t = ⇒ C (−2 2; 0)
 2
ម ( )
( AB ) : 2 + 2 x + 2 y − 4 = 0

 π π
d ( M , ( AB )) =
( )
2 + 2 2 2 sin t + 4 cos t − 4
=
8 2 sin  t +  cos − 4
 8 8
10 + 4 2 10 + 4 2
.*ច ន d ( M , ( AB)) )#ងបផ ព5
π 11π 3π 3π
sin(t + ) = −1 ⇒ t = ⇒ M (−2 2 sin ; − 2 cos )
8 8 8 8
'()&

វ1 េសរ បឡងអូ ពិចេវ ត
ំ ម*ក់ទី១០ េលកទី XVII

វ ទី១

. យ ម ង ម 5/ នចននព (
9 x3 + 8 = 2 x 2 + 8 ) (1)

. បfញJ មន&នប,ចននគ " x, y, z ផ7GងH " ទ6ក"ទនង
g - 7

( x + 2010)2 + ( x + 2012)2 = ( x + y + z + 2008)( y + z − x − 2014)
1. គ ! : ABC Dកកង ងBង" (O) នង ក ] ងBង" ( I )
D =ង D , E , F @ង

A'ប,ចនចប9 ប
- " ( I ) PនD ងប, ជmង BC , CA, AB
- ង" ងBង" (O1 ) ប9

]នDង ( I ) ង"ចនច D O/យប9 កងនDង (O) ង"ចនច K , ងBង" (O2 ) ប9 ]នD ង

(I ) ង" ចនច E O/យប9 ]នD ង (O) ង" M , ងBង" (O3 ) ប9 ]នD ង ( I ) ង" F

O/យប9 កងនD ង (O) ង" ចនច N បfញJ
g

a ). ប,ប6 " DK , EM , FN
- 7 "A ង"ចនច P

b). ប6 " OP
7 "=មF * ង" H ប " : DEF

E. គ ! a, b, c 'ចននព មនF#ជ%&នប).5 ផ7GងH " a 2 + 4b 2 + 9c 2 = 14
7

Page 6


បfញJ
g 3b + 8c + abc ≤ 12

2011 2
K. គ !Fនគមនj F ( x) = ∑ (k − 2011x) C2011 xk (1 − x)2011−k
k

k =0

ក C5ធបផ ប "Fនគមនj 2 5/ច 63 [0;1]
'()&

ចំេលយ

. 5កq: x ≥ −2
r

ម មម*5នDង 9 ( x + 2)( x 2 − 2 x + 4) = 2  2( x + 2) + x 2 − 2 x + 4 (2)
 
យ x 2 − 2 x + 4 = ( x − 1) 2 + 3 ≥ 3

)ចកFងRSងព Cន ម (2) នDង x 2 − 2 x + 4 , យ/ង;ន

 x+2  x+2
4 2 −9 2 +2=0
 x − 2x + 4  x − 2x + 4
x+2 1
⇒ = ⇒ x = 9 ± 109 (យក)
x2 − 2 x + 4 16
. ម ).5 ! មម* 5នD ង

( x + 2010 )2 + ( x + 2012 )2 = ( y + z − 3)2 − ( x + 2011)2
⇔ ( x + 2010 )2 + ( x + 2011)2 + ( x + 2012 )2 = ( y + z − 3)2
⇔ 3 x 2 + 12066 x + 20102 + 20112 + 20122 = ( y + z − 3) 2
FងR ង ឆBង ប " ម )ចកនD ង 3 ;ន :5" /n 2 , FងR ង - ប " ម

)ចកនDង 3 ;ន :5" /n 1 M /n 0

.*ច ន ម ).5 !AនU
n 'ចននគ "

1. a ). .ប*ង យ/ង យបIក" Lemma : " ! X , Y 'ព ចនច 2 5/ ងBង" (O) , ងBង" (O ')
%

មយ ប9 នDង XY ង" U O/យប9 កងនD ង (O) ង" V ព5 6 , ប6 " UV
7 " =ម

ចនចក,5 Z ប
- "ធ* XY មន&នផ7ក V "

Page 7


ព '.*ច ន , ពន !ចtប" ប)5ងងផa V : (O ') → (O) ព5 6 XY → d

ផ7GងH " d || XY O/យ d ប9 នD ង (O)
7 ង" Z ' បiព ប
* " U ⇒ Z 'ចនចក,5
-

ប "ធ* XY
A A1
V
O' B0
B
Y C0
M
X O3 O
O N E O2
I C1
B1 D
Z B C
O1
K A0
ពន !5l ").5 !

=ង A , B1 , C1 'ចនច ប
1 ពB ប " DK , EM , FN PនD ង (O) , =ម Lemma យ/ង

;ន A , B1 , C1 'ប,ចនចក,5 ប
1 - - "ធ* BAC , CBA, ACB =ង A0 , B0 , C0

'ប,ចនចឆ3 ប
- " A , B1 , C1 ធ@បនDង O , ព5 6 ∆A0 B0C0 , ∆A B1C1 &ន
1 1

ប, ជmង
- បA

មu9 ង ទ@ B0C0 , EF ⊥ AI ; A0C0 , FD ⊥ BI ; A0 B0 , DE ⊥ CI

Sញ;ន ∆A0 B0C0 , ∆DEF &នប, ជmង
- បA .* ច 6 ∆A B1C1 , ∆DEF
1

&នប, ជmង
- បA O/យមន /A ( ∆A B1C1 Dកកង (O), ∆DEF Dកកង ( I ) )
n 1

⇒ ∃ ចtប"ប)5ងង ប)5ង ∆DEF P' ∆A1B1C1

⇒ DA1 , EB1 , FC1 ប ពBA ង"ផa P ប "ចtប" ប)5ងង

b). ព ន a). ⇒ P, O, I " ង" ជ A (1)

=ង A ', B ', C ' 'ប,ចនច ប
- ពB ប "ប,កព
- " DD ', EE ', FF ' ប " ∆DEF

នDង (1) យ EE ' FF ' កកង 6 B ′A′D = B ′ED = C ′FD = C ′A′D ⇒ D '
D

ចនចក,5 ប
- "ធ* B ' C ' ⇒ B ′C ′ ⊥ ID ⇒ B ′C || BC ( Z BC ⊥ ID )

.*ចA). C ' A ' || CA, A ' B ' || AB , O/យ H 'ផa ងBង" កកង ∆A′B ′C ′
D

ព 6 ∆ABC , ∆A′B′C ′ &នប, ជmង
- បA នងមន /nA ( Z ∆ABC Dក

Page 8


កង (O), ∆A′B ′C ' Dកកង ( I ) ) ⇒ ∃ ចtប" ប)5ងង ប)5ង ∆ABC P'

∆A′B ′C ′

6 ! AA ', BB ', CC ' ប ពBA ង" ផa ប)5ងង Q ⇒ Q , I , O " ង" ជ A (2)

មu9 ង ទ@ , I , H 'ផa Dកកង ∆ABC , ∆A′B′C ′ ⇒ Q, H , I " ង" ជ A (3)

ព (1), (2), (3) យ/ង;នបIg e#;ន យបIក"
%

E. # មiព).5 ! មម* 5នD ង 6b + 16c + 2abc ≤ 24 (1)

+ Fន# -នj# មiពក* យ/ង;ន

6b + 16c ≤ 3(b 2 + 1) + 8(c 2 + 1) = 11 + 3b 2 + 8c 2

= 11 + (a 2 + 4b 2 + 9c 2 ) − a 2 − b 2 − c 2 = 25 − a 2 − b 2 − c 2
6 ./ ម0 យបIក" (1) យ/ង Aន")
% e# យបIក"#
% មiព

a 2 + b 2 + c 2 − 1 ≥ 2abc (2) , ច Z a, b, c មនF#ជ%&ន

+ =មប^ប" a 2 + 4b 2 + 9c 2 = 14 ,# មiព (2) bច k/ង#ញ.* ច ង ម

( ) ( )
14 a 2 + b 2 + c 2 − a 2 + 4b 2 + 9c 2 ≥ 28abc

⇔ 13a 2 + 10b 2 + 5c 2 ≥ 28abc

⇔ (13a2 + 10b2 + 5c2 ) a 2 + 4b 2 + 9c 2 ≥ 28 14abc

+ Fន# -នj# មiពក* ម-ង ទ@ ច Z 28 ចនន យ/ង;ន

( ) (b2 ) ( c2 )
13 20 5 14
13a 2 + 10b 2 + 5c 2 ≥ 2828 a 2 = 28 a13b10c5

( ) ( c2 ) ( )
4 9 2
14
នង a 2 + 4b 2 + 9c 2 ≥ 1414 a 2 b 2 = 14 ab 4c9

+ .*ច 6

(13a2 + 10b2 + 5c2 ) ( )
2
a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2814 a13b10c5 14 14
ab 4 c 9 = 28 14abc

# មiព ក/ &ន ព5 (a, b, c) = (1,1,1) , 5l " e#;ន យបIក"
%
n
K. យ/ង&ន A= ∑ (k − nx)2Cnk xk (1 − x)n−k
k =0

Page 9


n n n
= (nx) 2
∑ Cn x k (1 − x)n − k
k
+∑k 2
Cn x k (1 − x) n −k
k
− 2nx ∑ kCn x k (1 − x)n − k
k

k =0 k =0 k =0
n n
ពន ! A1 = ∑ kCnk xk (1 − x)n−k = ∑ kCnk xk (1 − x)n−k
k =0 k =1
n n
= n∑ Cn −1 x k (1 − x)n −k
k −1
= nx ∑ Cn −1 (1 − x)n − k
k −1

k =1 k =1
n−k
= nx [ x + (1 − x) ] = nx
n n
A2 = ∑k 2
Cn x k (1 − x)n − k
k
= ∑ k 2Cn x k (1 − x)n − k
k

k =0 k =1
n
= n ∑ Cn −1 x k (1 − x)n − k
k −1

k =1
n n
= n ∑ Cn −1 x k (1 − x)n − k + n ∑ (k − 1)Cn −1 x k (1 − x) n − k
k −1 k −1

k =1 k =1
n
= nx + n ∑ (k − 1)Cn −1 x k (1 − x) n − k
k −1

k =1
n
= nx + n(n − 1) ∑ Cn − 2 x k (1 − x)n − k = nx + n(n − 1) x 2
k −2

k =2
n
∑ Cnk xk (1 − x)n−k = [ x + (1 − x)]
n
A3 = =1
k =0

.*ច ន A = (nx )2 + nx + n(n − 1) x 2 − 2(nx )2 = nx(1 − x)

Fន# -នj5ទQផ5 ង 5/ យ/ង;ន f ( x ) = 2011x(1 − x)

យ x ∈ [ 0;1] 6 x,1 − x ≥ 0 ព 6 =ម# មiពក*
2
 x + (1 − x)  2011 1
f ( x) ≤ 2011.   = , Iw មiព ក/ &ន ព5 x =
 2  4 2
2011 1
.*ច ន max f ( x) = ទទ5;ន ព5 x =
4 2
'()&

Page 10



វ ទី២
 x + y + 1 + 1 = 4( x + y )2 + 3. x + y

. យ បព<នQ ម 
30 x − 4 y = 2011

. ក គប"ប,ចនន).5&ន 5ខបខ7ង")ចក
- ច" នDង 11 89 ង, !ផ5)ចក ប "?

/nនDងផ5ប*ក ប "ប, 5ខ=មខ7ង" ប
- "?

1. គ ! : ABC ).5 A 'ម * ចបផ , កកង ងBង" (O), ចនច D ច5<
D 2 5/

ធ* * ច BC ម.uទ< ប " AB នង AC " AD @ងA ង" E នង F =ង T '

ចនច ប ពB ប " BE នង CF ប6 "
7 "=ម T O/យ បនD ង AB " AD ង"

N ង" ប 5k* ម TNDM =ង P 'ចនចក,5 ប
- " MC O/យ I 'ចនច

ប ពB ប " PT នD ង ម.uទ< ប " OP

យបIក"J I ច5<
% 2 5/)ខpនD ងមយ

2 1 4
E. គ ! x, y, z 'ប,ចននព #ជ%&ន ផ7GងH " ប,5កq:
- 7 - r + ≤ 1 នង + y ≤ 2 ,
x y z
ក C5 *ចបផ ប "ក នyម P ( x, y , z ) = x + 9 y + z

K. យបIក"J កង 17 ចននគ " ,កL
% យ ) ង&ន 9 ចនន).5&នផ5ប* ក

)ចក ច"នDង 9

N. ប,កព*5 ប
- " ∆ABC 'ចនច).5&នក* F ន'ចននគ " O/យមន&ន

:, * ច'ង ∆ABC នង&ន^ង.*ចនDង ∆ABC ទ ច Z កព*5 ប "'

ប,ចនច&នក* F
- ន'ចននគ " បfញJ ផa
g D ប " ងBង" ក ] ប
D "

∆ABC មន)មន'ចនចមយ).5&នក*F ន'ចននគ " ទ
'()&

Page 11


ចំេលយ

 x + y + 1 + 1 = 4( x + y )2 + 3. x + y

. យ បព<នQ ម  (1)
30 x − 4 y = 2011

=ង u = x+ y ≥0

 u 2 + 1 + 1 = 4u 4 + 3u (2)


(1) ⇔ 30u 2 − 34 y = 2011

x + y = u
2


(2) ⇔ u 2 + 1 + 1 = 4u 4 + 3u ⇔ u 2 + 1 − 3u + 1 − 4 y 4 = 0

u 2 + 1 − 3u 2
⇔ + (1 − 2u 2 )(1 + 2u 2 ) = 0
u + 1 + 3u
2

 1 
⇔ (1 − 2u 2 )  + 1 + 2u 2  = 0
 u 2 + 1 + 3u
 

⇔ 1 − 2u 2 = 0 ⇔ 1 − 2( x + y ) = 0
2 x + 2 y = 1 2013 998
Sញ;ន  ⇔ x= ;y=−
30 x − 4 y = 2011 34 17
2013 998
.*ច ន U ប " បព< នQគM x = ;y=−
34 17
. =ង x = abc 'ចនន).5 e# ក

100a + 10b + c = 11(a 2 + b 2 + c 2 ) (1)

0 ≤ a; b; c ≤ 9
យ/ង;ន 
a ≠ 0
 a; b; c ∈ ℕ

យ/ង&ន (1) ⇔ 99a + 11b + ( a + c − b) = 11( a 2 + b 2 + c 2 )

⇔ a + c − b = 11k ) −8 ≤ a + c − b ≤ 18 ⇒ k = 0 M k = 1

+ k = 0 ⇒ a +c−b = 0 ⇒ b = a +c

Page 12


(1) ⇔ 9a + b = a 2 + b2 + c 2 ⇔ 9a + a + c = a 2 + (a + c)2 + c 2
⇔ 10a + c = 2(a 2 + ac + c 2 ) ⇔ c = 2n (n ∈ ℕ)

⇔ 10a + 2n = 2( a 2 + 2na + 4n 2 ) ⇔ a 2 + (2n − 5) a + 4n 2 − n = 0

5កq:r ∆ ≥ 0 ⇒ − 12n 2 − 16n + 25 ≥ 0

−4 − 91 −4 + 91
⇒ ≤n≤ ⇒ n=0 ⇒ c = 0; b = a នង a 2 − 5a = 0
6 6
⇒ a = b = 5 នង c = 0 ⇒ x = 550

+ k = 1 , យ/ង;ន a + c − b = 11 ⇒ b = a + c − 11 6

(1) ⇔ 99a + 11b + 11 = 11( a 2 + b 2 + c 2 )

⇔ 9a + b + 1 = a 2 + b2 + c 2 ⇔ 9a + a + c − 11 + 1 = a 2 + (a + c − 11) 2 + c 2
⇔ 10a + c − 10 = 2a 2 + 2c 2 + 121 + 2ac − 22a − 22c

⇔ 2a 2 + 2c 2 + 2ac − 32a + 23c + 131 = 0 ⇒ c 'ចនន

⇔ c = 2n + 1 .

.*ច 6 យ/ង;ន a 2 + (2n − 15)a + 4n 2 − 19n + 55 = 0

យ/ង&ន ∆ = −12n 2 + 16n + 25 ≥ 0

4 − 91 4 + 91
⇒ ≤n≤ ⇒ n ∈ {0; 1; 2}
6 6
• n = 2 ⇒ c = 5; b = a − 6 នង a 2 − 11a + 33 = 0 (AនU
n )

• n = 1 ⇒ c = 3; b = a − 8 នង a 2 − 13a + 40 = 0

⇒ a = 8; b = 0 នង c = 3 ⇒ x = 803
A
• n = 0 ⇒ c = 1; b = a − 10 < 0
.*ច ន ប,ចនន).5
- e# កគM x = 550 នង x = 803 N
K E O
1. + =ង H 'ចនច ប ពBទព ប " BE នDង ងBង" ( ABC )
T
F
K 'ចនច ប ពBទព ប " CF នDង ងBង" ( ABC ) I
C
យ/ង;ន AD = CK នង AD = BH B
D P
⇒ BKHC 'ច :Zយ ម;
M
Page 13


⇒ TB = TK ⇒ TB + TC = TK + TC = CK = AD .

+ យ/ង&ន TB = NA ⇒ ND = TC ) ND = TM ⇒ TC = TM

⇒ ∆TMC ម; ង" T

1800 − MTC 1800 − AFT
⇒ TCM = = = OFC
2 2
⇒ CM || OF .

⇒ M 4 2 5/ប6 " (∆ )
7 " =ម C O/យ)កងនD ង AC 2នDង

⇒ P ច5< 2 5/ (∆ ) 2នD ង

+ យ I 4 2 5/ ម.uទ< ប " OP 6 IO = IP ) IP = d ( I ; ∆ ) ( Z IP

)កងនDង (∆ ) )

Sញ;ន I ) ង 4 2 5/;9^9 ប* 5).5&នកន'ចនច O O/យប6 " ;ប" ទ
7

គM (∆ ) , ព5 D ច5< 2 5/ធ* *ច BC

2 1 1
E. យ x, y , z #ជ%&ន 6 យ/ង;ន 1 ≥ + > ⇒ y > 1 ⇒ y ∈ (1; 2)
x y y
2 1 y −1 2y 2
≤1− = ⇒ x≥ = 2+
x y y y −1 y −1
យ/ង&ន
4 4
≤2− y ⇒ z ≥
z 2− y
2 4
.*ច 6 P ( x, y , z ) ≥ + + 9y + 2
y −1 2 − y
 1  4
= 2 + 9( y − 1)  + + 9(2 − y ) + 2 ≥ 26
 y −1  2− y
2y 4 1
I " = " ក/ &ន ⇔ x =
w ;z= ; = 9( y − 1)
y −1 2 − y y −1
4 4
នង = 9(2 − y ) ⇔ x = 8, y = នង z = 6
2− y 3
K. + យ/ង យបIក" Lemma
% ង ម

" កង 5 ចននគ ",កL យ, ) ង&នបចនន).5&នផ5ប*ក)ចក ច" នDង 3 "

^យ

Page 14


ក :ទមយ កង 5 ចននគ " ង 5/, &នបចនន k/ង ).5&ន :5" មA ព5

)ចកនDង 3 6 Lemma ង 5/គMព

ក :ទព កង 5 ចននគ " ង 5/, &ន ច'ងបចនន).5&ន :5" មA ព5

)ចកនDង 3 6 នD ង&នបចនន).5&ន :5" @ងAគM 0;1; 2 ព5)ចកនDង 3

ព5 6 ផ5ប* កCនបចនន ន )ចក ច" នDង 3 Sញ;ន Lemma ព

.*ច ន Lemma e#;ន យបIក"
%

+ Fន# -នj Lemma ង 5/ យ/ង;ន

• យក 5 កង 17 ចននគ ").5 ! 6 កង 5 ចនន).5 e#;នយក &នបចនន).5
&នផ5ប*ក)ចក ច" នDង 3 =ង បព<នQបចនន ន យ (a1 ; b1 ; c1 ) នង=ង

m1 = a1 + b1 + c1

• យក 5 កង 14 ចននគ " 2 5" 6 កង 5 ចនន).5 e#;នយក &នបចនន).5
&នផ5ប*ក)ចក ច" នDង 3 =ង បព<នQបចនន ន យ (a2 ; b2 ; c2 ) នង=ង

m2 = a2 + b2 + c2

• យក 5 កង 11 ចននគ " 2 5" 6 កង 5 ចនន).5 e#;នយក ន &នបចនន
).5&នផ5ប* ក)ចក ច" នDង 3 =ង បព<នQបចនន ន យ (a3 ; b3 ; c3 ) នង

=ង m3 = a3 + b3 + c3

• យក 5 កង 8 ចននគ " 2 5" 6 កង 5 ចនន).5 e#;នយក ន &នបចនន

).5&នផ5ប* ក)ចក ច" នDង 3 =ង បព< នQបចនន ន យ (a4 ; b4 ; c4 ) នង=ង

m4 = a4 + b4 + c4

• កង 5 ចននគ " 2 5", &នបចនន).5&នផ5ប* ក)ចក ច" នDង 3 =ង បព< នQ

បចនន ន យ (a5 ; b5 ; c5 ) នង=ង m5 = a5 + b5 + c5

កង 5 ចននគ " m1; m2 ; m3 ; m4 ; m5 &នបចនន).5&នផ5ប* ក)ចក ច" នDង 3

zប&J បចនន 6 គM mi ; m j ; mk ព5 6 9 ចនន a1 ; bi ; ci ; a j ; b j ; c j ; ak ; bk ; ck

&នផ5ប*ក)ចក ច" នDង 9 (បIg e#;ន យបIក")
%

Page 15


N. យ/ងbច ជ/ / បព<នQក*F ន Oxy 89 ង, ! A, B , C &នក* F ន

A(0; 0), B(a; b), C (c; d ) ).5 a; b; c; d 'ប,ចននគ "
-

zប&J D( x, y ) 'ផa ប " ងBង" ( ABC ), D 'ចនច&នក*F ន'ចននគ "

យ/ង;ន AD 2 = BD 2 ⇒ x 2 + y 2 = ( x − a ) 2 + ( y − b) 2

⇒ a 2 + b 2 − 2ax − 2by = 0

.*ច 6 a 2 + b 2 'ចននគ* ⇒ a, b &ន5កq: គ* .* ចA ⇒ a + b នង a − b

'ចននគ*

.*ចA). , c + d , c − d 'ចននគ*

ab ( a + b ) 2 − ( a − b ) 2
⇒ = 'ចននគ "
2 4
 a +b a −b c+d c−d 
.*ច ន ប,ចនច X = 
- ;  នង Y =  ;  'ប,ចនច&ន
-
 2 2   2 2 
ក*F ន'ចននគ "

( a + b) 2 ( a − b) 2 a 2 + b 2 AB 2 AC 2
) AX 2 = + = = , .* ចA). យ/ង&ន AY 2 =
4 4 2 2 2
2 2
 a+b−c−d   a−b−c+ d 
XY = 
2
 + 
 2   2 
1
( (b − c) + (a − d ) ) + ( (a + d ) − (b + c) ) 
2 2
=
4 
1
= (b − c)2 + (a − d )2 + 2(b − c)(a − d ) + (a + d )2 + (b + c)2 − 2(a + d )(b + c) 
4 
1
=  2a 2 + 2d 2 + 2b 2 + 2c 2 + 2ab − 2ac − 2bd + 2cd − 2a − 2ac − 2bd − 2cd 
4 
1 2
= 2a + 2b 2 + 2c 2 + 2d 2 − 4ac − 4bd 
4  
(a − c) 2 + (b − d ) 2 BC 2
= =
2 2
6 ! ∆AXY &ន^ង.*ចនD ង ∆ABC នង AXY *ច'ង ∆ABC , ផ7យពប^ប"

.*ច ន D មនbច'ចនច).5&នក*F ន'ចននគ " ទ
'()&

Page 16



វ ទី៣
 x 2 + 4 y 2 − 4 x + 12 y + 11 = 0

. យ បព<នQ ម ង ម  2
 x + 4 y − 2 xy − x + 4 y − 12 = 0
2

. កU 'ចននគ " ប " ម x1 + x2 + ... + x15 = 1215
4 4 4

1. : ABC ផ7GងH "5កq:FB ប/ ? ផ7GងH " 5កq:
7 r 7 r ង ម

cos A cos B cos C 17
+ + =
8 15 17 120
E. គ ! a, b, c 'បចននព #ជ%&ន ផ7GងH " abc = 1
7 បfញJ
g

 1 1 1  1 1 1  9
 + +  + + ≥
 a b c 1+ a 1+ b 1+ c  2
K. កង ន T = {1, 2, ..., 2010} /&នប9 6នចនន).5)ចកមន
n ច" នDង 2,3,5, 7,11 ?

N. គ !ច :)កង ABCD &ន M 'ចនចក,5 ប
- " AB , N 4 2 5/កន3

ប6 "ព ប
7 " BCD =ង P 'ច ,5)កង ប " N 2 5/ BC

យបIក"J ប/ MN ⊥ DP 6
% : AND ម;
'()&

ចំេលយ

. បព<នQ).5 ! មម* 5នDង

 x 2 + 4 y 2 − 4 x + 12 y + 11 = 0 (1)
 x 2 + 4 y 2 − 4 x + 12 y + 11 = 0
 
 ⇔  3x − 23
(2 x + 8) y = 3x − 23
 y = (2)
 2x + 8
ជន (2) ច*5 (1) យ/ង;ន
2
 3x − 23  3x − 23
x + 4
2
 − 4 x + 12. + 11 = 0
 2x + 8  2x + 8
⇔ 4 x 4 + 16 x3 + 88 x 2 − 720 x + 620 = 0
x =1
⇔ ( x − 1)( x − 4)(4 x 2 + 32 x + 204) = 0 ⇔ 
x = 4
Page 17


+ ច Z x =1 ⇒ y = −2

+ចZ x = 3 ⇒ y = −1

.*ច ន ម &នច 5/យព (1; −2), (3; −1)

. កU 'ចននគ " ប " ម x1 + x2 + ... + x15 = 1215
4 4 4

+ចZ xi = 2k : xi4 = 16k 4 ≡ 0 (mod 16)

+ចZ xi = 2k + 1 , យ/ង;ន xi4 − 1 = ( xi − 1)( xi + 1)( xi2 + 1) = 4k ( k + 1)( xi2 + 1)

យ k ( k + 1) ⋮ 2; xi2 + 1 ⋮ 2 ( Z xi ) 6 xi4 − 1⋮ 16 M xi4 ≡ 1 (mod 16)
15
យ/ង;ន ∑ xi4 ≡ r (mod 16) កង 6 0 ≤ r ≤ 15
i =1

មu9 ង ទ@ 1215 = 75.16 + 15 ≡ 15 (mod 16) , .*ច 6 xi ច Z គប" i = 1,15

O/យ យ 7 4 = 2401 > 1215 6 xi ≤ 5 ∀i

យ 54 + 54 = 1250 > 1215 6 &ន ច/នបផ ចនន xi មយ, zប&JគM x15 ,

ផ7GងH " x15 = 54 = 625
7 4

ព5 6 x1 + x2 + ... + x14 = 1215 − 625 = 590 នង xi ≤ 3 ∀i = 1,14 ,
4 4 4

) 590 = 34.7 + 23 6 e#&ន ច/នបផ 7 ចននកង 14 ចនន x1 , x2 , ..., x14 ផ7Gង

H " | xi |= 3 , )
7 590 < 34.8 , មន ម O ផ5

.*ច ន | xi | ≤ 3 ច Z គប" i = 1,15

យ/ង;ន 1215 = x1 + x2 + ... + x15 ≤ 15.34 = 1215 , .* ច 6 | xi | = 3 គប" i = 1,15
4 4 4

.*ច ន ម ).5 !&ន 215 U 'ចននគ " &ន^ង ( ±3; ± 3; ... ; ±3)

cos A cos B cos C 15.17 cos A + 8.17 cos B + 8.15cos C
1. + + =
8 15 17 2040
82 + 152 + 17 2 17
≤ =
4080 120
ព '.*ច ន 82 − 2.8.(17 cos B + 15cos C ) + 152 + 17 2 − 2.15.17 cos A

= [8 − (17 cos B + 15 cos C ) ] + 152 + 17 2 − 2.15.17 cos A − (17 cos B + 15 cos C ) 2
2

Page 18


) 152 + 17 2 − 2.15.17 cos A − (17 cos B + 15cos C )2

= 152 sin 2 C + 17 2 sin 2 B − 2.15.17(cos A + cos B cos C )
= 152 sin 2 C + 17 2 sin 2 B − 2.15.17 sin C sin B
= (15sin C − 17 sin B ) 2 ≥ 0
cos A cos B cos C 17
.*ច ន + + ≤
8 15 17 120
15sin C = 17 sin C
មiព ក/ &ន5 =) 
8 = 17 cos B + 15cos C
 15 17
 sin B = sin C
 15 17 8
⇔  ⇔ = =
8 = 15sin C cos B + 15cos C sin B sin C sin A

 sin B
15 17 8
M = =
b c a
.*ច 6 : ABC &ន^ង.* ចនD ង :).5&ន ជmងSងប /n 8,15,17

យ 82 + 152 = 17 2 , 6 ! : ABC )កង ង" C

 1 1 1  1 1 1 
E. T =  + +  + +  = T1 + T2 + T3
 a b c 1+ a 1+ b 1+ c 
1 1 1
).5 T1 = + +
a (1 + a ) b(1 + b) c(1 + c )
1 1 1 1 1 1
T2 = + + នង T3 = + +
b(1 + a ) c(1 + b) a (1 + c) c(1 + a ) a (1 + b) b(1 + c)
យ 6ទ a, b, c .* ចA 6 យ/ងbចzប&J a ≤ b ≤ c , ព5 6

1 1 1 1 1 1
≥ ≥ នង ≥ ≥
a b c a +1 b +1 c +1
យ/ង;ន T1 ≥ T2 ព '.* ច ន

1 1 1  1 1 1 
T1 − T2 = + + − + + 
a (1 + a ) b(1 + b) c(1 + c)  b(1 + a ) c (1 + b) a (1 + c ) 

 1 1 1  1 1 1  1 1 1
= −  + −  + − 
1+ a 1+ c  a 1+ b 1+ a  b 1+ c 1+ b  c

Page 19


 1 1  1 1   1 1  1 1 
= −  −  +  −  −  ≥ 0
 1 + a 1 + c  a b   1 + b 1 + c  b c 
3
យ/ង;ន T2 ≥ ព '.* ច ន
2
y z x
Z abc = 1 6 =ង a = ,b = ,c = ព5 6
x y z
x y z  1 1 1  3
T2 = + + = ( x + y + z)  + + −3 ≥
y+z z+x x+ y  y+z z+x x+ y 2
3
.*ចA). T3 ≥
2
9
.*ច ន T≥ , មiព ក/ &ន5 =) a = b = c =1
2
K. =ង A1 = {k ∈ T / k ⋮ 2} ; A2 = {k ∈ T / k ⋮ 3} ; A3 = {k ∈ T / k ⋮ 5} ;

A4 = {k ∈ T / k ⋮ 7} ; A5 = {k ∈ T / k ⋮11} ;

ព5 6 A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ' នប,ចនន
- 4 2កង T )ចក ច"នDងចនន

មយកងប,ចនន 2,3,5, 7,11
-

2010 2010 2010
យ/ង;ន | A1 | = = 1005; | A2 | = = 670; | A3 | = = 402
2 3 5
 2010   2010   2010 
| A4 | =   = 287; | A5 | =  11  = 182; A1 ∩ A2 =  6  = 335;
 7     
 2010   2010   2010 
A1 ∩ A3 =   = 201; A1 ∩ A4 =  14  = 143; A1 ∩ A5 =  22  = 91;
 10     
 2010   2010 
A2 ∩ A3 =   = 134; A2 ∩ A4 =  21  = 95;
 15   
 2010   2010 
A2 ∩ A5 =   = 60; A3 ∩ A4 =  35  = 57;
 33   
 2010   2010 
A3 ∩ A5 =   = 36; A4 ∩ A5 =  35  = 57;
 33   
 2010   2010 
A1 ∩ A2 ∩ A3 =   = 67; A1 ∩ A2 ∩ A4 =  42  = 47;
 30   
 2010   2010 
A1 ∩ A2 ∩ A5 =   = 30; A1 ∩ A3 ∩ A4 =  70  = 28;
 66   

Page 20


 2010   2010 
A1 ∩ A3 ∩ A5 =   = 18; A1 ∩ A4 ∩ A5 =  154  = 13;
 110   
 2010   2010 
A2 ∩ A3 ∩ A4 =   = 19; A2 ∩ A3 ∩ A5 =  165  = 12;
 105   
 2010   2010 
A2 ∩ A4 ∩ A5 =   = 8; A3 ∩ A4 ∩ A5 =  385  = 5;
 231   
 2010   2010 
A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 =   = 9; A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A5 =  330  = 6;
 210   
 2010   2010 
A1 ∩ A2 ∩ A4 ∩ A5 =   = 4; A1 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 =  770  = 2;
 462   
 2010   2010 
A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 =  = 1; A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 =  =0
 1155 
  2310 

5
) យ A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 = ∑ Ai − ∑ Ai ∩ A j ∩ Ak −
i =1 1≤i < j < k ≤5

− ∑ Ai ∩ A j ∩ Ak ∩ Aq + A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 = 1593
1≤i < j < k < q ≤5

.*ច ន ន T &ន 2010 − 1593 = 417 ចនន).5មន)ចក ច"នDង 2, 3, 5, 7,11

N. ជ/ / យ89 ង, ! A ≡ O; B ∈ Oy , D ∈ Ox

 b
ព5 6 A(0;0), B(0; b), D(d ;0), C (d , b) , M  0;  , N (t ; t + b − d ), P (t ; b)
 2
MN ⊥ DP ⇔ MN .DP = 0

 b  b2
⇔ t (t − d ) + b  t + − d  = 0 ⇔ t 2 + (b − d )t + − bd = 0
 2  2
AN 2 = t 2 + (t + b − d ) 2 , AD 2 = d 2

យ/ង;ន AN = AD ⇔ AN 2 = AD 2 ⇔ d 2 = t 2 + (t + b − d ) 2

b2
⇔ t 2 + (b − d )t + − bd = 0 (បIg e#;ន យបIក")
%
2
'()&

Page 21



វ ទី៤
 x + y + z = 1 (1)

. កU 'ចននព x; y; z ប " បព<នQ ម  x y z 9
 x + yz + y + zx + z + xy = 4 (2)

. ក គប"ចននគ "#ជ%&ន p , q , n ច Z p, q 'ចននប[ម ./ម0 !

p ( p + 3) + q (q + 3) = n(n + 3)
1. កងប3ង" គ !ចនច P 2នD ង ពន ! :)កង ម; ABC (&ន ABC = 900 ;

AB < 5 ) ផ7GងH "5កq: PA = 2 នង PB = 3
7 r

ក C5ធបផ ប "Fង` " PC

E. គ !ប,ចននព
- a; b; c ផ7GងH "
7

0 < a ≤ b ≤ c; c ≥ 9; 8c ≥ 36 + bc;12c ≥ 36 + bc + 4ac

យបIក"J
% a + b− c ≤0 , មiព ក/ &ន 2 ព5,?

K. កង នប,ចននគ " ធមn' ព 2 .5" 2011 , គ ជ/
- យក 1006 ចនន O/យប ង`/

' ន ង A = {a1 ; a2 ; ... ; a1006 }

យបIក"J កង A &នយក;ន 2 ចនន ./ ម0 !ចននមយ ន )ចក
% ច" នDងចនន

មយ ទ@

N. គ ! 6 ចននព a; b; c; d ; e; f ) ប ប|5 ផ7GងH "5កq:
7 r

a 2 + b 2 − 2a = c 2 + d 2 − 2c = 3; e 2 + f 2 − 10e + 6 f + 33 = 0

a 2 + c 2 + b 2 + d 2 − 2ac − 2bd = 12; នង (e − 5)(a + c − 2e) + ( f + 3)(b + d − 2 f ) = 0
2 2
a+c  b+d 
ក: " C5 *ចបផ ប "ក នyម S =  − e +  −f
 2   2 
'()&

Page 22


ចំេលយ

. យ x; y; z #ជ%&ន 6

xy xz yz yx zx zy
x + y + z =1 ⇔ + + = 1 (*)
z y x z y x

A yz B zx C xy
=ង tan = ; tan = ; tan = ).5 0 < A; B; C < π (**)
2 x 2 y 2 2
A B B C C A
ម (1) bច k/ង#ញ' tan tan + tan tan + tan tan = 1 (3)
2 2 2 2 2 2
1 1 1 9
O/យ ម (2) bច ' + + = (4)
A B C 4
1 + tan 2 1 + tan 2 1 + tan 2
2 2 2
A B C B C A B C
(3) ⇔ tan  tan + tan  = 1 − tan tan ⇔ tan = cot  + 
2 2 2 2 2 2 2 2
⇔ A + B + C = π + k 2π , =ម (**) 6 A + B + C = π

ព5 6

A B C 9 3 + cos A + cos B + cos C 9
(4) ⇔ cos 2 + cos 2 + cos 2 = ⇔ =
2 2 2 4 2 4
3 A A B−C 3
⇔ cos A + cos B + cos C = ⇔ 1 − 2sin 2 + 2sin cos =
2 2 2 2 2
A A B−C
⇔ 4sin 2 − 4sin cos +1 = 0
2 2 2
 A B−C
2sin 2 = cos 2
 π
⇔  ⇔ A= B =C =
sin B − C = 0 3

 2
1
បព<នQ ម &នច 5/យ x = y = z =
3
. ច Z m 'ចននគ "#ជ%&ន, យ/ង ក;ន :5" ព5)ចក m( m + 3) នDង 3

ពន ! 3 ក :

m = 3k 6 m(m + 3) ≡ 0 (mod 3)

Page 23


m = 3k + 1 6 m(m + 3) ≡ 1 (mod 3)

m = 3k + 2 6 m(m + 3) ≡ 1 (mod 3)

.*ច ន ព5 m )ចក ច" នDង 3 6 m(m + 3) )ចក ច" នDង 3 , ព5 m )ចកមន ច"

នDង 3 6 m(m + 3) )ចកនDង 3 ;ន :5" /n 1

kប"មក5l " យ/ង#ញ, យ/ង&ន p( p + 3) + q (q + 3) ≡ n(n + 3) (mod 3)

+ ក : : ប/ p នង q ទQ) )ចកមន ច" នDង 3 6

p( p + 3) + q(q + 3) ≡ 2 (mod 3) .

កង ព5 6 n(n + 3) ≡ 0 (mod 3) M n(n + 3) ≡ 1 (mod 3)

.*ច ន ក : ន មន ផ7GងH "
7

+ ក : : កងព ចនន p, q &នមយ)ចក ច" នDង 3

zប&J p )ចក ច" នDង 3 , ) p 'ចននប[ម 6 p=3

ព5 6 18 + q (q + 3) = n(n + 3) , Sញ;ន 18 = n(n + 3) − q(q + 3) (*)

យ n > q 6 n(n + 3) ≥ q(q + 1)(q + 4) (**)

ព (*) & (**) យ/ង;ន 18 ≥ 2q + 4 ⇒ q ≤ 7

.*ច ន q ∈{2; 3; 5; 7} ( Z q 'ចននប[ម)

ច Z q = 2 6 18 + 10 = n(n + 3) ⇒ n = 4

ច Z q = 3 6 18 + 18 = n(n + 3) ⇒ មន&ន n

ច Z q = 5 6 18 + 40 = n(n + 3) ⇒ មន&ន n

ច Z q = 7 6 18 + 70 = n(n + 3) ⇒ n = 8

ពន !.*ចA). ព5 q = 3

p =3 p =3 p = 2 p = 7
   
.*ច ន យ/ង;នប,U
- គM q = 2 ; q = 7 ;  q = 3 ; q = 3
n = 4 n = 8  n = 4 n = 8
   
1. យ/ង&ន PC )#ងបផ ព5 P នង C 2&ង&ក" ធ@បនD ងប6 " AB
q 7

ង" :)កង ម; APQ ( AP = PQ; Q នង B 4 2 ង) មយ ធ@បនDង AP ) ,

Page 24


0
45
ចពន !ចtប" បងB5 QA (ផa A; ម ងB5 450 ) : P ֏ P ' នង B ֏ B '

ពន !ចtប" ប)5ងង V A 2 (ផa A , ផ5 ធ@ប k = 2 ) : P ' ֏ Q នង B ' ֏ C

យ/ង;ន PQ = AP = 2 នង QC = 2 P ' B ' = 2 PB = 3 2

យ PC ≤ PQ + QC ⇒ PC ≤ 2 + 3 2

.*ច ន max PC = 2 + 3 2 ទទ5;ន ព5 P 4 2 5/ប6 " PQ
7

⇔ AC = AP 2 + PC 2 = 4 + (2 + 3 2)2 = 26 + 12 2

9
c ≤1

b 9
E. =មប^ប"Sញ;ន  + ≤2 (*)
 4 c
 b 9
a + 4 + c ≤ 3

 9  b 9
ប)5ង a + b + 9 = a +

b
4
+ +
 
c  4
+ +

c
( c −2 ) 9
c

Fន# -នj# មiព Bunhiakovski យ/ង;ន

b 9 b 9 b 9  b 9
+ ≤ 2  +  នង a+ + ≤ 3 a + + 
4 c 4 3 4 c  4 3
ប/ ; " (*) Sញ;ន a + b + 9 ≤ 3+ 2+ c − 2 = 3+ c

⇒ a + b− c ≤0 ព , មiព ក/ &ន ព5 a = 1; b = 4; c = 9

K. + ប)5ង a1 = m1b1; a2 = m2b2 ; ... ; ai = m1006b1006 , កង 6 mi ; bi 'ចននគ "#ជ%&ន,

bi 'ចនន &ន C5ព 2 P.5" 2011 , (ច Z i = 1; 2; ...; 1006 )

+ ព 2 P.5" 2011 &ន 1005 ចនន ).5 e# ជ/ យក 1006 ចនន bi

+ =ម ទD -បទ Dirichlet 6 កងប,ចនន bi ).5 ទ/ប ជ/
- យក&នព ចននគM

b j = bk ⇒ a j = 2m j b j ; ak = mk bk (*)

+ zប&J a j > ak (**)

+ ព (*) នង (**) យ/ង;ន a j )ចក ច" នDង ak

Page 25


N. កងប3ង"ក: " យ បព<នQក*F ន. Oxy , ពន ! ងBង" (C1 ) ផa I1 (1;0) នង

R1 = 2 , O/យ ងBង" (C2 ) ផa I 2 (5; −3) R2 = 1

ពប^ប" យ/ង;ន A(a; b), B(c; d ) 4 2 5/ (C1 ) នង D(e; f ) 4 2 5/ (C2 )

O/យ AB = 2 3

a+c b+d 
d E 'ចនចក,5 ប
- "Fង` " AB យ/ង;ន E  ; 
 2 2 
2
ពប^ប" យ/ង;ន I 2 D.2 DE = 0 , ព5 6 S = ED = EI 2 − R2 = EI 2 − 1
2 2 2

2
2  AB 
=ង (C3 ) ' ងBង"ផa I1 (1;0) R3 = I1 E = R1 −   = 4 − 3 =1
 2 
យ/ង;ន E " 2 5/ ងBង" (C3 )

=ង H ; K 'ប,ចនច ប
- ពB ប "ប6 " I1I 2 នDង (C3 ) ( HI 2 > KI 2 )
7

យ/ង;ន S ≥ KI 2 − 1 = ( I1 I 2 − R3 ) 2 − 1 = (5 − 1) 2 − 1 = 15
2

min S = 15 ទទ5;ន ព5 E ≡ K O/យ D 'ចនច ប ពB ប " (C2 ) នDង ងBង" (C ')

&នFង` "ផa KI 2

យ ម ប6 " I1I 2 គM 3x + 4 y − 3 = 0 O/យ ងBង" (C3 ) : ( x − 1) 2 + y 2 = 1
7

9 3 a+c 9 b+d 3
⇒ K  ;−  ⇒ = ; =−
5 5 2 5 2 5
 9+3 3 −3 + 4 3 9−3 3 −3 − 4 3
a = ;b = ;c= ;d =
5 5 5 5
⇒ 
 9+3 3 −3 + 4 3 9−3 3 −3 − 4 3
c = ;d = ;a= ;b =
 5 5 5 5
2 2
 17   9
យ ម ងBង" (C2 ) : ( x − 5) + ( y + 3) = 1 នង ងBង" (C ') :  x −  +  y +  = 4
2 2
 5  5
 24 9 5 3 171   24 9 5 3 171 
⇒ D + ; −
 5 20 3 5 60  M D −
 5 20 3 ;− − 
   5 60 

Page 26


 24 9 5 3 171
e = + ;f = −
5 20 3 5 60
⇒ 
 24 9 5 3 171
e = − ; f =− −
 5 20 3 5 60
'()&


វ ទី៥
(3 x + y )( x + 3 y ) xy = 14

( x + y )( x + 14 xy + y ) = 36
2 2

. ក គប"ប,ចននប[ម p ./ ម0 ! 211 p − 2 )ចក
- ច"នDង 11p

1. គ ! : ABC &នប, ម.uន AA , BB1 , CC1 ប
- 1 ពBA ង" ចនច G ( A1 , B1 , C1

4 2 5/ប, ជmង ប
- " : ABC ) ប6យ AA , BB1 , CC1
3 1 " ងBង" Dក ]

: ABC =ម5 ប" ង" A2 , B2 , C2

GA2 GB2 GC2
យបIក"J
% + + ≥3
GA GB GC
2
(a + b + c)3  ab + bc + ca 
E. គ ! a, b, c 'ប,ចននព #ជ%&ន បfញJ
- g + 2  ≥ 28
abc  a + b2 + c2 
K. គ ! 1007 ចនច ផpងA 2 5/ប3ង" យបIក" J &ន89 ង ច 2011 ចនចក,5
% -

ផpងAពប,គ* ចនច ន ,
- / ព5,).5&ន 2011 ចនចក,5?
-

N. ប6 "ព កង នងព
7 ]ប "ម C ប " : ABC "ប6 " AB
7 ង" E នង D

យបភ3J ប/ CE = CD 6 AC 2 + BC 2 = 4 R 2 ( R ' ងBង" ក ]
D :

ABC )
'()&

Page 27


ចំេលយ
(3 x + y )( x + 3 y ) xy = 14 (1)

( x + y )( x + 14 xy + y ) = 36 (2)
2 2

=ង x = u ≥ 0; y = v ≥ 0 , យ/ង;ន

(
uv 3u 4 + 10u 2 v 2 + 3v 4 = 14

(1), (2) ⇔ 
)
u 6 + 15u 4 v 2 + 15u 2 v 4 + v 6 = 36

3u 5v + 10u 3v3 + 3uv5 = 14

⇔ 
u + 15u v + 15u v + v = 36
6 4 2 2 4 6

36 + 2.14 = u 6 + 6u 5v + 15u 4v 2 + 20u 3v3 + 15u 2v 4 + 6uv5 + v 6

⇔ 
36 − 2.14 + u − 6u v + 15u v − 20u v + 15u v − 6uv + v
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6


(u + v) = 64 = 2
6 6
u + v = 2 u + v = 2

⇔  ⇔  ∨ 
( )
6
(u − v) = 8 = 2
6
u − v = 2 u − v = − 2


យ (u , v ≥ 0 )

 2  2
u = 1 + u = 1 −
 2  2
⇔  M 
v = 1 − 2 v = 1 + 2

 2 
 2
3 3  3 3 
.*ច ន បព<នQ&នច 5/យ  + 2; − 2  នង  − 2; + 2 
2 2  2 2 
. zប&J p 'ចនន).5 e# ក, យ/ង;ន 211 p ≡ 2 (mod p ) (1)

Fន# -នj ទD បទ Fermat ច Z ចននប[ម p , យ/ង;ន
- 211 p ≡ 211 (mod p ) (2)

ព (1) & (2) Sញ;ន p ' )ចក ប " 211 − 2 = 2046 = 2.3.11.31

) p 'ចននប[ម 6 p ∈ {2, 3,11,31}

+ ពន ! p = 2

យ/ង&ន 222 ≡ 2 (mod 22) ,Sញ;ន 221 ≡ 1 (mod 11) (3)

មu9 ង ទ@ 210 ≡ 1 (mod 11) (4)

Page 28


( )
2
6 220 = 210 ≡ 1 (mod 11) , Sញ;ន 221 ≡ 2 (mod 11) , ផ7យនDង (3)

.*ច ន p=2 e# 5

+ ពន ! p = 3

( ) .22 ≡ 4 (mod 11) , .*ច 6
3
ព (4) យ/ង;ន 232 = 220 232 ≡ 1 (mod 11)
/

Sញ;ន 232 ≡ 1 (mod 33) នង 232 ≡ 2 (mod 33)
/ /
.*ច ន p=3 e# 5

+ ពន ! p = 11

 
( )
4
យ/ង&ន 211 p − 2 = 2121 − 2 = 2  230 − 1
 
= 2((230 )2 + 1)(230 + 1)(25 + 1)(210 − 25 + 1)(25 − 1)(210 + 25 + 1) .

ជន 25 យ 32 O/យគបផpនD ង (4) , Sញ;នកងផ5គ: ន &ន) ក=គ:
-

25 + 1 ទ).5)ចកនDង 11 ;ន 3 , •ប,ក=គ: ផpង ទ@
- - ទQ) )ចកមន ច" នDង 11 ,

6 ផ5គ:)ចកមន ច" នDង 11 p = 121

.*ច ន p = 11 e# 5

+ ពន ! p = 31

យ/ង e#ពន ! ម/5 2340 ≡ 1 (mod 341) M ទ
34
ព (4) Sញ;ន 2340 = 210 ≡ 1 (mod 11) (5)

មu9 ង ទ@ 25 ≡ 1 (mod 31) 6 2340 = (25 )68 ≡ 1 (mod 31) គបផpចនច ន នD ង (5)

Sញ;នបIg e#ពន !គMព ( 11 នង 31 ទQ) 'ប,ចននប[ម)
-

.*ច ន ចននប[ម).5 e# កគM p = 31

a2 a2
1. យ/ង&ន AA1. A1 A2 = A1 B. A1C = ⇒ A1 A2 =
4 4ma

1 a2 a 3 GA2 a 3
មu9 ង ទ@ GA2 = GA1 + A1 A2 = ma + ≥ 6 ≥
3 4ma 3 GA 2ma

Page 29

Vnmo 30 4-2011-grade 10

Recommended

Recommended

More Related Content

Featured

Featured (20)

Vnmo 30 4-2011-grade 10