appunti di logica

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elementi di logica proposizionale e predicativa, a partire da domande dei test di ammissione all' università

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appunti di logica

  1. 1. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi se domani Aldo verrà dimesso dall’ospedale q oggi rimane senza febbre p allora APPUNTI DI LOGICA PROPOSIZIONALE Se domani verrà dimesso, vuol dire che oggi Aldo è senza febbre Per essere dimesso domani, è necessario che oggi Aldo rimanga senza febbre Per essere dimesso domani, è sufficiente che oggi Aldo rimanga senza febbre Domani Aldo verrà dimesso solo se oggi rimane senza febbre Oggi Aldo ha la febbre e domani non verrà dimesso. (da Il test di ingegneria al Politecnico di Milano, ed. 2006) DOMANDA: L’affermazione Domani Aldo verrà dimesso dall’ospedale se oggi rimane senza febbre equivale a una delle seguenti. Quale?
  2. 2. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi se p allora q p  q Condizione SUFFICIENTE per q Condizione NECESSARIA per p Domani Aldo verrà dimesso dall’ospedale se oggi rimane senza febbre A . Se domani verrà dimesso, vuol dire che oggi Aldo è senza febbre q  p B . Per essere dimesso domani, è necessario che oggi Aldo rimanga senza febbre q  p C . Per essere dimesso domani, è sufficiente che oggi Aldo rimanga senza febbre p  q D . Domani Aldo verrà dimesso solo se oggi rimane senza febbre q  p (oppure: p solo se q )
  3. 3. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi E. Oggi Aldo ha la febbre e domani non verrà dimesso .  p   q Domani Aldo verrà dimesso dall’ospedale se oggi rimane senza febbre  O Aldo oggi non rimane senza febbre oppure domani verrà dimesso p  q   p  q p  q non consente di dedurre niente riguardo a  p . Se Aldo oggi ha la febbre, non si può dire niente riguardo alle sue dimissioni domani: Aldo potrebbe essere dimesso oppure no, e la decisione può non dipendere dalla febbre.
  4. 4. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi Da cosa dipende tutto quanto affermato prima? Dalle: DEFINIZIONI DEI CONNETTIVI (assiomi della logica a due valori) mediante le tavole dei valori di verità: Esempio: p q p  q  p  p  q v v v f v v f f f f f v v v v f f v v v
  5. 5. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi Controinversa (o contronominale) contraria p  q q  p  p   q  q   p diretta inversa equivalenti equivalenti Se le proposizioni p  q e q  p sono vere entrambe, si dice che p è condizione necessaria e sufficiente per q , si scrive: p  q e si legge p se e solo se q p: ho fame q: mangio un gelato
  6. 6. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi DOMANDA: Dalla proposizione: Una successione di numeri reali, se crescente e limitata, è convergente si deduce che: La convergenza è una condizione necessaria per la limitatezza di una successione reale La convergenza è una condizione necessaria per la crescenza di una successione reale Le condizioni di crescenza e limitatezza sono sufficienti per la convergenza di una successione reale Le condizioni di crescenza e limitatezza sono necessarie e sufficienti per la convergenza di una successione reale Esistono successioni reali convergenti. (da Il test di ingegneria al Politecnico di Milano, ed. 2006) N. B.: si osservi che la risposta dipende dalla FORMA delle frasi, non dal loro contenuto, che potrebbe anche essere oscuro!
  7. 7. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi DOMANDA: Indicate con p e q due generiche condizioni, quattro delle seguenti affermazioni sono fra loro logicamente equivalenti, mentre una non lo è con le altre. Quale? (da Il test di ingegneria al Politecnico di Milano, ed. 2006) Può verificarsi p solo se q è verificata …………………………. E’ sufficiente che si verifichi p perché ne segua q ……………. E’ necessario che si verifichi q perché si possa verificare p ….. p implica q …………………………………………………………. p segue dal verificarsi di q ……………………………………….. p  q p  q p  q p  q q  p
  8. 8. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi Sull’equivalenza delle due proposizioni: p  q  q   p si basa una forma di DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO Per dimostrare che da un certo numero di ipotesi deriva la tesi, si può dimostrare che dalla negazione della tesi deriva la negazione di una (o più) delle ipotesi.
  9. 9. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi Esempio di dimostrazione per assurdo: TEOREMA: se due rette, tagliate da una trasversale, formano angoli alterni interni congruenti, allora le due rette sono parallele. Ipotesi: a=b Tesi: r  s a=b  r  s Dimostrazione:  (r  s)  C = r  s  a > b ( perché, essendo un angolo esterno del triangolo ABC, è maggiore degli angoli interni non adiacenti )   (a=b) assurdo, perché contraddice l’ ipotesi.
  10. 10. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi APPUNTI DI LOGICA PREDICATIVA Teorema : se un numero è divisibile per 10 allora è divisibile per 5 p  q: non basta! P(x): x è P – x ha la proprietà P – di x posso dire (“predicare”) P Se x ha la proprietà P allora x (il medesimo x) ha la proprietà Q: P(x)  Q(x): funzione proposizionale (o proposizione aperta ) P: essere divisibile per 10 Q: essere divisibile per 5 P(x)  Q(x): se x è divisibile per 10 allora x è divisibile per 5
  11. 11. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi x è divisibile per 10 P(x) x è divisibile per 5 Q(x) se x è div per 10 allora x è div per 5 P(x)  Q(x) NON sono proposizioni Una proposizione aperta diventa una proposizione Sostituendo alla variabile un valore es: P(30) (30 è div per 10) Q(17) (17 è div per 5) P(53)  Q(53) “ Chiudendola” con un quantificatore : tutti, nessuno, qualche
  12. 12. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi se un numero è divisibile per 10 allora è divisibile per 5 diventa una proposizione vera qualunque numero naturale sostituiamo alla variabile: se n è un qualsiasi numero naturale la proposizione P(n)  Q(n) è vera (perché?) Tutti i numeri divisibili per 10 sono divisibili per 5 (Qualunque numero div per 10 è div per 5) (Comunque scelga il numero x, se x è div per 10 allora x è div per 5) P(x)  Q(x) Cioè è vera la proposizione:
  13. 13. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi QUANTIFICATORI Tutti gli x godono della proprietà P………………... Qualche (almeno uno) x gode della proprietà P…… Quantificatore UNIVERSALE Quantificatore ESISTENZIALE  x P(x)  x P(x) Tutti i numeri divisibili per 10 sono divisibili per 5  x [P(x)  Q(x)]
  14. 14. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi NEGAZIONE DELLE PROPOSIZIONI QUANTIFICATE  [ x P(x)]  x P(x) non è vero che tutti i triangoli sono rettangoli Qualche triangolo non è rettangolo    [ x P(x)]   x P(x) nessun numero dispari è divi- sibile per 6  Tutti i numeri dispari non sono divisibili per 6 Es: Universo: triangoli (x varia nell’insieme dei triangoli) predicato P: essere rettangolo P(x): x è un triangolo rettangolo Es: Universo: numeri dispari (x varia nell’insieme dei numeri dispari) predicato P: essere divisibile per 6 P(x): x è un numero dispari divisibile per 6
  15. 15. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi DOMANDA L’affermazione Non c’è grattacielo senza ascensore significa: Nessun grattacielo ha due ascensori Ogni grattacielo ha almeno un ascensore Ogni grattacielo ha due ascensori Qualche grattacielo non ha ascensore Qualche grattacielo ha almeno un ascensore (da Il test di ingegneria al Politecnico di Milano, ed. 2006)  [ x  P(x)]  x  [ P(x)]  x P(x)
  16. 16. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi DOMANDA L’affermazione A nessuno studente sono antipatici tutti i professori equivale a dire che: C’è uno studente a cui tutti i professori sono antipatici Tutti i professori sono antipatici a tutti gli studenti A qualche studente sono simpatici tutti i professori Ad ogni studente è simpatico almeno un professore C’è un professore che è simpatico a tutti gli studenti. (da Il test di ingegneria al Politecnico di Milano, ed. 2006)
  17. 17. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi A nessuno studente sono antipatici tutti i professori x: studente y: professore A(x,y): y è antipatico a x   x [y A(x,y)] C’è uno studente a cui tutti i professori sono antipatici Tutti i professori sono antipatici a tutti gli studenti A qualche studente sono simpatici tutti i professori Ad ogni studente è simpatico almeno un professore C’è un professore che è simpatico a tutti gli studenti  x  [y A(x,y)]  x [y  A(x,y)]  x [y A(x,y)]  x [y A(x,y)]  x [y A(x,y)]  x [y A(x,y)]  y [x A(x,y)]
  18. 18. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi Sia X l’insieme dei milanesi e Y l’insieme dei genovesi. Sia P(x,y) la proposizione aperta: “ x conosce y ”, con xX e yY. Allora la proposizione x y P(x,y) significa: Ogni milanese conosce almeno un genovese Ogni milanese conosce solo un genovese Nessun milanese conosce tutti i genovesi Qualche milanese non conosce tutti i genovesi Ci sono genovesi che non sono conosciuti da nessun milanese (Liberamente tratto da TEOREMA)
  19. 19. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi Sia X l’insieme dei milanesi e Y l’insieme dei genovesi. Sia P(x,y) la proposizione aperta: “ x conosce y ”, con xX e yY. Qual è la negazione della proposizione: “ Tutti i milanesi conoscono qualche genovese” ? Nessun milanese conosce qualche genovese Ogni milanese conosce tutti i genovesi Nessun milanese conosce tutti i genovesi Qualche milanese non conosce nessun genovese Nessun milanese conosce alcun genovese (Liberamente tratto da TEOREMA)  x y P(x,y)  [x y P(x,y)]  x  y P(x,y)  x y  P(x,y)
  20. 20. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi SILLOGISMI Tutti i tigari hanno la rucca, i rumpioni hanno la rucca, quindi i rumpioni sono tigari. Questo sillogismo è: verosimile vero falso vero o falso a seconda del significato di rumpioni talvolta vero talaltra falso   (ammissione ai corsi triennali di medicina e chirurgia Mi Bicocca, test 2005 ) DOMANDA T: essere tigari R: essere rumpioni U: avere la rucca  x T(x)  U(x)  x R(x)  U(x)   x R(x)  T(x)
  21. 21. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi Rappresentazione con i diagrammi di Venn: T: insieme dei Tigari R: insieme dei Rumpioni U: insieme di quelli che hanno la Rucca Rumpioni che sono tigari Rumpioni che non sono tigari NON E’ VERO IL SILLOGISMO E’ FALSO • • • • • • •  x T(x)  U(x)  tutti i tigari hanno la rucca  T  U  x R(x)  U(x)  tutti i rumpioni hanno la rucca  R  U   x R(x)  T(x)  tutti i rumpioni sono tigari  R  T U T R
  22. 22. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi Tutti i donavelli sono dei gorumpèi, i muschi sono donavelli, quindi i muschi sono gorumpèi. Questo sillogismo è: verosimile vero falso vero o falso a seconda del significato di musco talvolta vero talaltra falso   Un musco, che è donavello e quindi, necessariamente, gorumpèo (idem ) DOMANDA G D M •
  23. 23. VERSO LE FACOLTA’ SCIENTIFICHE Logica e insiemi Molti Flacchi sono Grobbi e anche molti Grobbi sono Diori. Quale affermazione è sicuramente vera? A Alcuni Flacchi sono Diori B Tutti i Flacchi sono Diori C Molti Flacchi sono Diori D Nessuna affermazione è totalmente vera E Almeno due affermazioni sono totalmente vere (ammissione ai corsi triennali di medicina e chirurgia Mi Bicocca, test 2004 ) NB: molti, alcuni, almeno uno …... in logica significano la stessa cosa sicuramente vera, totalmente vera……. significano vera F D G Qui c’è qualcosa (i flacchi grobbi) Qui c’è qualcosa (i grobbi diori) NON SI PUO’ DEDURRE NIENT’ALTRO ? ? ?

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