Corso di dottorato: Introduzione all'ottimizzazione strutturale. Presentazione di Edoardo Rossi

1. CORSO DIINTRODUZIONE ALL’OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALEIl metodo Amoebaper il dimensionamento delle sezioni in acciaio
Edoardo Rossi
CORSO DIOTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE

2. Tableofcontents
CORSO DIOTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
•INTRODUZIONE
•Funzione Obiettivo
•Criteri di Ottimizzazione
•NELDER-MEAD METHOD O AMOEBA
•Storia
•Funzionamento
•Esempio Applicativo
•CONCLUSIONI
E. Rossi

3. INTRODUZIONE
E. Rossi
Funzione Obiettivo
CORDO DIOTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE

4. INTRODUZIONE
E. Rossi
Funzione Obiettivo
CORDO DIOTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE

5. INTRODUZIONE
E. Rossi
Funzione Obiettivo
CORDO DIOTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE

6. INTRODUZIONE
CORDO DIOTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
E. Rossi
Funzione Obiettivo

7. INTRODUZIONE
E. Rossi
Criteri di Ottimizzazione
Livelli di ottimizzazione:
•Micro livello: ottimizzazione a livello locale, cambiamenti dimensioni sezionali, di spessore..
•MesoLivello: ottimizzazione a livello locale, ma anche sulla forma complessiva degli elementi, sulla posizione dei nodi …
•Macro Livello: ottimizzazione topologica, cambiando il modo in cui gli elementi sono connessi tra loro
CORDO DIOTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE

8. INTRODUZIONE
E. Rossi
Criteri di Ottimizzazione
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9. NELDER-MEAD METHOD O AMOEBA
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10. NELDER-MEAD METHOD
E. Rossi
Storia
Ilmetodofupubblicatonel1965sullarivistaTheComputerJournal.
L’ideaoriginaleèdaattribuirsiaSpendleyetal.iqualipubblicaronounarticolonel1962incuiformulavanounmetododiottimizzazioneinunospaziomulti-dimensionalebasatosulacostruzionediunsimplessoingradodigenerarnealtrisemplicementeriflettendounodeisuoipunti.
Questaprocedurarisultavatuttaviatropporigidarisultandopocoefficace.
IlcontributoprincipalediNeldereMeadrisiedeprincipalmentenelladefinizionediunsimplessoingradodimodificarelapropriaformaedadattarsiallafunzionedaottimizzare.
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11. NELDER-MEAD METHOD
E. Rossi
Funzionamento
•Si genera un simplesso di n+1vertici in uno spazio ad ndimensioni
•Si valutano i vertici in base al valore che la funzione obiettivo assume in quei punti.Se siconsideraun simplessoa treverticiessipossonoesseredenotaticome:
B = Best
G = Good
W = Worst
Riflessione
SicalcolailpuntoMcome:
M = (B + G)/2
SicalcolailpuntoRcome:
R = 2M -W
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12. NELDER-MEAD METHOD
E. Rossi
Funzionamento
Espansione
SicalcolailpuntoEcome:
E = 2R -M
Contrazione
SicalcolanoipuntiC1eC2come:
C1 = (W + M)/2
C2 = (M + R)/2
Restringimento
SicalcolailpuntoScome:
S = (B + W)/2
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13. NELDER-MEAD METHOD
E. Rossi
Funzionamento
Start
Generazione Simplesso
Valutazione dei Vertici
Calcolo punti M e R
f(R) < f(G)
f(B) < f(R)
W = R
Calcolo punto E
f(E) < f(B)
W = E
W = R
f(C1) < f(C2)
Calcolo punti C1 e C2
f(C1) < f(W)
f(C2) < f(W)
W = C1
W = C2
Calcolo punto S
W = S
G = M
Y
Y
N
Y
N
N
Y
N
Y
Y
N
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14. NELDER-MEAD METHOD
E. Rossi
Esempio Applicativo
OBIETTIVO
Dimensionamento Morfologico di una sezione in acciaio a doppio T che minimizzi l’area necessaria a sopportare un dato momento flettente
CONDIZIONI AL CONTORNO
•Momento Flettente costante pari a: 1000 kNm
•Spessore delle ali e dell’anima costanti pari a: 15 mm
•Coefficiente di sicurezza pari a: 1
VINCOLI
•MRd/Med> 1
•Larghezza minima sezione: 50 mm
•Altezza minima sezione: 50mm
RISULTATI ATTESI
Ci si aspetta che la sezione ottima abbia una dimensione prevalente (altezza) e che l’altra dimensione (larghezza) sia prossima al vincolo imposto
CRITERIO DICONVERGENZA
Si assume l’avvenuta convergenza quando la differenza tra la funzione obiettivo nei tre vertici sia inferiore ad 1 mm
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15. NELDER-MEAD METHOD
Esempio Applicativo
if A(1,1)<A(2,1)
if A(1,1)<A(3,1)
B=1;
if A(2,1)<A(3,1)
G=2;
W=3;
else
G=3;
W=2;
end
else
B=3;
G=1;
W=2;
end
elseifA(1,1)<A(3,1)
B=2;
G=1;
W=3;
else
W=1;
if A(2,1)<A(3,1)
B=2;
G=3;
else
B=3;
G=2;
end
end
M=((V(B,:)+V(G,:))/2)
R=2*M-V(W,:)
if or((((((t*R(1,2)^3)/12)+2*(R(1,1)*t^3/12)+2*R(1,1)*t*(R(1,2)/2+t/2))/(R(1,2)/2)/1000000*fyd)-Med)<0,(R(1,1)<50 | R(1,2)<50))
Ar=(2*t*R(1,1)+t*R(1,2))^2
else
Ar=2*t*R(1,1)+t*R(1,2)
end
if Ar<A(G)
if Ar>A(B)
V(W,:)=R
else
E=2*R-M
if or((((((t*E(1,2)^3)/12)+2*(E(1,1)*t^3/12)+2*E(1,1)*t*(E(1,2)/2+t/2))/(E(1,2)/2)/1000000*fyd)-Med)<0,(E(1,1)<50 | E(1,2)<50))
Ae=(2*t*E(1,1)+t*E(1,2))^2
else
Ae=2*t*E(1,1)+t*E(1,2)
end
if Ae>A(B)
V(W,:)=R
else
V(W,:)=E
end
end
else
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E. Rossi

16. NELDER-MEAD METHOD
Esempio Applicativo
-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
0 50 100 150
2
2.5
3
3.5
x 10
4
N° of Iterations
Area [mm2]
Risulati
B H
50.17469 1306.494
50.27328 1306.238
50.94685 1304.936
E. Rossi CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE

17. CONCLUSIONI
CORDO DIOTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
E. Rossi
•Il Metodo Amoebarisulta efficiente nell’ottimizzazione di funzioni ad n variabili in quanto è in grado di fornire una soluzione con un numero ridotto di iterazioni.
•Tale metodo risulta di facile applicazione anche in caso di problemi vincolati in quanto non necessita della continuità della funzione da ottimizzare.
•La scelta delle condizioni iniziali può influire sulla soluzione perciò è opportuno prevedere un restartdell’algoritmo di ottimizzazione con condizioni iniziali definite in maniera randomo probabilistica, così da permettere di individuare, nel caso ce ne fossero, sia condizioni di ottimo locale che globale.