Kalkulus by Mohammad Faizun

Cara Mudah Belajar

KALKULUS
Fungsi, Differensial dan Integral

+MATLAB
Paham kalkulus berarti mengerti arti geometri dari:
- bilangan
- fungsi
- differensial
- integral

“..itulah yang akan dijabarkan dalam buku ini
secara gamblang sehingga mudah dimengerti”
Mohammad Faizun, S.T., M. Eng

EDUMACS Publisher

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Cara Mudah Belajar Kalkulus Fungsi, Differensial, dan
Integral

Oleh: Mohammad Faizun

Edisi pertama
Cetakan Pertama, 2012

Hak Cipta © 2012 pada penulis,
Hak cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak
atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk
apapun,

secara

elektronis

maupun

mekanis,

termasuk

memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya,
tanpa izin tertulis dari penerbit.

EduMacs Publisher

i

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

KATA PENGANTAR

Mata

kuliah

Kalkulus

atau

beberapa

perguruan

tinggi

menyebutnya Matematika 1 merupakan mata kuliah wajib pada
fakultas teknik dan MIPA. Kalkulus adalah cabang matematika
yang fokus pada fungsi, limit, derivative, integral, dan deret
takhingga seperti deret Taylor dan Mc Laurin.
Kalkulus menjadi basis banyak mata kuliah lain seperti Fisika
Dasar, Matematika Teknik, Termodinamika, Kinematika dan
Dinamika, Mekanika, Mekanika Fluida, Teknik Kendali, Robotika,
dan masih banyak lagi. Untuk itu pemahaman penuh akan materi
kalkulus sangat diperlukan untuk dapat memahami dengan baik
materi kuliah yang ditopangnya.
Banyak mahasiswa yang kesulitan belajar Kalkulus sehingga tidak
bisa memahami sepenuhnya. Hal ini akan menjadi efek domino
buruk yang berimbas pada mata kuliah yang ditopangnya. Buku ini
ditulis untuk menjelaskan materi Kalkulus dengan apa adanya
dengan tujuan untuk membantu mahasiswa memahami Kalkulus
dengan mudah. Semoga demikian adanya.
Buku ini awalnya disusun sebagai bahan ajar mata kuliah Kalkulus
(4 sks) pada Jurusan Teknik Mesin Universitas Islam Indonesia.
Buku ini disusun selengkap, sesederhana, dan sejelas mungkin
dengan dukungan gambar dan grafik ilustrasi serta contoh dan
latihan soal.
i

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Kami ucapkan terima kasih kepada berbagai pihak atas peran,
bantuan, dan dukungan dalam penyusunan buku ini.
1. Bapak Machmudin dan Ibu Siti Solikhatun atas cintanya,
2. Bapak Narsito dan Ibu Mintarsih atas kasih sayangnya,
3. Istriku dr. Yolanda Dyah Kartika untuk doa, semangat, dan
dukungannya,
4. Semua guru di sekolah dan universitas atas ilmu yang telah
diberikan,
5. Semua rekan kerja di Prodi Teknik Mesin UII atas
semangat kebersamaannya,
6. Seluruh Mahasiswa Prodi Teknik Mesin UII,
7. Dan pihak lain yang tidak bisa kami sebutkan satu persatu
yang telah banyak membantu dalam penyusunan buku ini.
Meskipun telah diusahakan agar menjadi sebaik mungkin, namun
penulis menyadari pastilah ada kekurangan dalam buku ini. Untuk
itu penulis membuka saran dan kritik membangun dari pembaca
untuk dapat menyempurnakan edisi berikutnya bisa via email atau
facebook (edumacs_co@yahoo.com).
Semoga buku ini bermanfaat.

Jalan Kemuning 2/419
Mohammad Faizun
ii

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

BAB 1
FUNGSI DAN GRAFIK

1.1 Titik, Garis, dan Kurva
Subbab ini membahas tentang hubungan antara titik dengan
garis, garis dengan garis, garis dengan kurva, dan titik dengan
kurva. Ide dari pembahasan tersebut akan berguna pada
pembahasan fungsi dan grafik.
a. Satu titik
Dapat dibuat tak hingga banyaknya garis lurus yang
melalui sebuah titik. Arah semua garis adalah radial
terhadap titik A.
Y

A
X

Gambar 1.1 Satu Titik dan Garis
Page | 1

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Kita bisa membuat banyak sekali garis dengan sebarang
arah seperti terlihat pada gambar di atas.
KUIS: Sebutkan berapa banyak garis lurus yang bisa
dibuat yang hanya memotong sumbu X!

b. Dua titik
Hanya satu buah garis yang dapat dibuat melalui dua buah
titik sekaligus. Pada gambar 1.2: melalui titik A dan titik B
hanya dapat dibuat sebuah garis (yakni garis 1). Garis 2
hanya melalui A saja dan garis 3 hanya melalui B saja.
Y

3
1
B

2
X
A

Gambar 1.2 Dua Titik dan Garis

Page | 2

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Akan tetapi melalui dua buah titik dapat dibuat tak hingga
banyaknya kurva yang melaluinya.
Y

B

.

A

1

2

X

3

Gambar 1.3 Dua Titik dan Kurva
Melalui titik A dan titik B dapat dibuat kurva (1), parabola
(2), lingkaran (3), dan seterusnya.

c. Banyak titik
Kondisi tiga buah atau lebih dapat berada pada dua
kemungkinan.
c.1. Tiga titik atau lebih yang semuanya segaris
Melalui tiga titik atau lebih yang segaris hanya ada satu
garis lurus yang dapat dibuat dan juga tak hingga

Page | 3

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

banyaknya kurva yang dapat dibuat melalui tiga titik
tersebut.
B
1

C

A

3
B

2
1

C

A

Gambar 1.4 Banyak Titik Segaris

c.2. tiga titik atau lebih yang tidak segaris
Melalui tiga titik yang segaris tidak ada satu pun garis
lurus yang dapat dibuat akan tetapi tak hingga
banyaknya kurva yang dapat dibuat melalui tiga titik
tersebut.

3
2

B

C

A

1

Gambar 1.5 Banyak Titik Segaris
Page | 4

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

1.2 Garis Bilangan
1.2.1 Jenis Bilangan
Mendengar bahasan bilangan biasanya yang terlintas di
pikiran kita adalah angka-angka. Satu lagi yang berhubungan
dengan angka-angka, yakni nomor. Apakah mereka memiliki
pengertian yang sama?
Angka adalah suatu tanda atau lambang yang digunakan
untuk melambangkan bilangan. Nomor biasanya menunjuk
pada satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah
bilangan bulat dalam suatu barisan bilangan-bilangan bulat
yang berurutan. Bilangan adalah suatu konsep matematika
yang

digunakan

untuk

pencacahan,

pengukuran,

dan

perhitungan.
Coba perhatikan gambar di bawah!

IXX

24,999

-23
Gambar 1.6 Bilangan, Angka, dan Nomor
Page | 5

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Coba tunjukkan manakah yang angka, nomor, dan
bilangan pada gambar di atas! Berikan alasannya!

Gambar 1.7 Kategori Bilangan

Perhatikan gambar 1.7 di atas! Pada dasarnya semua
bilangan adalah bilangan kompleks, yakni memiliki bagian
real dan bagian imajiner. Bilangan kompleks dapat dinyatakan
dengan:

Gambar 1.8 Bilangan Kompleks
Page | 6

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Bilangan imajiner adalah bilangan yang merupakan akar
dari bilangan negatif. Contoh:
,
Untuk

,

,

memudahkan

, dst.
penulisan

dalam

digunakan simbol i dan j untuk menggantikan

buku-buku
. Sehingga:

dengan cara yang sama,

Bilangan imajiner hanya ada dalam perhitungan matematis.
Mereka tidak bisa digunakan untuk pencacahan.
Selain bilangan imajiner adalah bilangan real, yakni
bilangan yang biasa digunakan sehari-hari untuk pencacahan
dan perhitungan. Mereka tidak memiliki faktor i (imajiner).
Bilangan real bisa dibedakan menjadi dua jenis, yakni
bilangan rasional dan irrasional. Yang dimaksud rasional
adalah bilangan yang bisa diungkapkan dalam bentuk rasio
atau perbandingan (ratio).
Contoh: -5; 1 ; 0,123; 1/3; 1,01010…; 0,666666….. dsb.

Page | 7

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Semua bilangan bulat pasti bisa diungkapkan dengan
bentuk perbandingan (cukup jelas bukan?). Bilangan pecahan
juga sudah jelas. Bilangan decimal yang termasuk bilangan
rasional ciri-cirinya adalah memiliki susunan angka-angka
yang berulang (lihat contoh di atas), karena sesungguhnya
bilangan tersebut adalah bilangan pecahan yang diungkapkan
dalam bentuk desimal.

Dan tentunya bilangan irrasional adalah bilangan yang
tidak bisa diungkapkan dalam bentuk rasio.
Contoh:
π = 3,14159265…..

Bilangan rasional masih bisa dibedakan menjadi beberapa
kategori lagi. Untuk lebih jelasnya bisa dilihat pada gambar
1.9 berikut!.

Page | 8

EduMacs Publisher
_____________________________________________________
Bilangan Kompleks

Bilangan Real (nyata)

Bilangan Irasional

Bilangan Imajiner

Bilangan Rasional

Bilangan Bulat (Integers)

Bilangan Bulat Negatif

Bilangan Pecahan

Bilangan Cacah

Bilangan Nol

Bilangan Ganjil

Bilangan Asli

Bilangan Genap

Gambar 1.9 Diagram Jenis-jenis Bilangan

LATIHAN 1.1

_____

Benarkah pernyataan-pernyataan berikut? Berikan alasan yang
tepat!
1. Bilangan imajiner dikurangi dengan bilangan imajiner
menghasilkan bilangan real!
2. Bilangan imajiner dikali dengan bilangan imajiner
menghasilkan bilangan imajiner!
Page | 9

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

3. Bilangan real adalah bilangan kompleks yang bagian
imajinernya bernilai nol!
4. Bilangan imajiner adalah bilangan kompleks yang bagian
realnya bernilai nol!
5.

adalah bilangan irrasional!

6.

adalah bilangan rasional!

7.

adalah bilangan irrasional!

8. Bilangan kompleks dikali bilangan kompleks hasilnya
adalah bilangan real!
9. Diantara 0 dan 1 terdapat takhingga banyaknya bilangan
irrasional!
10.
__________________________________________________

1.2.2 Garis Bilangan
Coba sebutkan semua bilangan real diantara angka -5 dan
4! Benarkah hanya: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, dan 3?
Tentu saja tidak hanya itu kan? Yang disebutkan tadi
hanyalah bilangan bulat antara -5 dan 5, padahal bilangan
pecahan dan bilangan irrasional termasuk juga bilangan real.
Jadi, antara -5 dan 5 bisa dibuat banyak sekali bilangan real,
bahkan tak hingga banyaknya. Jangankan dengan batasan

Page | 10

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

tersebut, dari 0 hingga 0,001 saja sudah tidak memungkinkan
ditulis satu per satu.
Untuk memudahkan memperoleh gambaran himpunan
bilangan yang ada dalam batas tertentu dipakailah dua cara:
1. menggunakan notasi himpunan
Contoh: H adalah himpunan (kumpulan) semua bilangan
real yang nilainya lebih dari -5 dan kurang dari 4, dapat
ditulis dalam bentuk notasi:
H={ x / x : 5 x 4, x R }
2. menggunakan garis bilangan.
Garis bilangan berfungsi untuk menggambarkan posisi
relatif dari nilai suatu bilangan. Garis bilangan diberi ruasruas angka yang berskala.
Contoh:
Tentukan posisi nilai dari -2,2222; 0,001; 5; 15; 25,75; ¾;
π; -2i dan pada garis bilangan berikut!

Sebagai latihan silahkan coba dijawab sendiri dengan
menunjuk perkiraan posisi pada garis bilangan di atas!

Page | 11

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Himpunan seperti di atas berisi interval (rentang) bilangan
real. Batas interval sendiri bisa masuk dalam himpunan bisa
juga tidak tergantung dari ungkapan pernyataannya. Sehingga
ada tiga jenis interval:
a. interval terbuka
b. interval tertutup
c. interval semi terbuka
Berikut penjelasannya dalam beberapa contoh:
a. Interval Terbuka
Contoh:
H terdiri dari bilangan real antara -5 dan 4. Atau dapat
dinyatakan dengan:
H={ x / x : 5 x 4, x R }.
Himpunan bilangan tersebut dapat dinyatakan dengan ruas
garis bilangan seperti berikut:

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Skala yang dipakai disini adalah 1 meskipun sebenarnya
bebas saja asalkan cukup jelas untuk dibaca dan sederhana.
Lingkaran berlubang pada angka -5 dan 5 sebagai batas
ruas garis artinya adalah angka -5 dan 5 tersebut tidak
termasuk dalam himpunan. Ada tak hingga banyaknya
Page | 12

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

bilangan pada ruas garis bilangan tersebut. Misalkan angka
1,000000012; 1,5; 1,75, dan 1,9999901 terletak diantara 1
dan 2 pada ruas garis tersebut, dan sebagainya.

b. Interval Tertutup
Contoh:
P adalah kumpulan bilangan real yang nilainya dari 0
hingga 1. Atau dapat dinyatakan dengan:
P={ x / x : 0

x 1, x

R }.

Sekali lagi bahwa sebenarnya bebas menentukan skala pada
ruas garis. Sebagai contoh disini akan dipakai skala 0,1
pada garis bilangan himpunan P.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8 0,9

1

Batas ruas garis adalah lingkaran hitam penuh di atas angka
0 dan angka 1, artinya angka 0, dan angka 1 termasuk
anggota himpunan.

c. Interval Semi Terbuka
Contoh:
A adalah kumpulan bilangan real dari 2 hingga kurang dari
5. Atau dapat dinyatakan dengan:
Page | 13

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

A={ x / x : 2

2

3

x

R }.

5, x

4

5

Perhatikan bulatan di atas angka 2 dan 5. Masing-masing
artinya adalah angka 2 termasuk dalam himpunan A
tersebut, sedangkan 5 tidak termasuk. Jadi untuk batas ≤
atau ≥ selalu memakai bulatan hitam penuh di atas angka
yang bersesuaian pada ruas garis bilangan.
Beberapa interval memiliki batas di titik takhingga,
contohnya:

d. T adalah kumpulan semua bilangan real kurang dari -5.
Atau dapat dinyatakan dengan: T={ x / x : x

2

3

4

5, x

R }.

5

e. S adalah kumpulan semua bilangan real.
Atau

dapat

x/ x:

x

-4

-3

dinyatakan
,x

-1

S={

R }.

-2

dengan:

0

1

2

3

4

Page | 14

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Garis bilangan jenis inilah yang dipakai pada sistem
koordinat kartesius.

f. B adalah himpunan bilangan bulat dari -2 hingga 5.
Atau dapat dinyatakan dengan:
B={ x / x : 2

x

5, x

B }.

Garis bilangan yang menunjukkan himpunan B tersebut
adalah sebagai berikut:

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Himpunan bilangan yang masuk semuanya ditulis dan
ditunjukkan dengan titik-titik hitam pada garis. Tidak ada
ruas garis tebal yang mengubungkan titik-titik angka
tersebut karena memang tidak ada angka diantaranya yang
termasuk anggota himpunan bilangan tersebut. Sebagai
contoh angka -1,0203; -1,25; -1,50 yang terletak di antara
angka -2 dan -1 bukanlah bilangan bulat, maka tidak
termasuk ke dalam himpunan B.

Page | 15

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

1.3 Koordinat Kartesius
Koordinat kartesius dibentuk oleh garis bilangan yang saling
tegak lurus. Koordinat kartesius bidang terdiri dari garis bilangan
X dan Y, dan koordinat ruang terdiri dari garis bilangan X, Y, dan
Z. Masing-masing garis saling berpotongan di titik nol.
1.3.1 Koordinat kartesius bidang.
Sumbu horizontal X dan sumbu vertikal Y keduanya
merupakan garis bilangan dari himpunan seluruh bilangan real.
X=Y={ x / x :

x

,x

R }.Kedua

sumbu

terletak

pada

sebuah bidang yakni bidang X-Y.
Y
4

X-Y

3
2
1
-4

-3

-2

X
0

-1
-1

1

2

3

4

-2
-3
-4

Gambar 1.10 Koordinat Kartesius Bidang

Page | 16

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

1.3.2 Koordinat kartesius ruang.
Sumbu X, Y, dan Z ditentukan dengan aturan tangan kanan.
Arah sumbu X positif searah dengan lengan, arah sumbu Y positif
sama dengan arah jari yang ditekuk, dan arah sumbu Z positif
searah dengan arah ibu jari. Lihat gambar berikut!.
Z

Z
3
2

Y
X
-3

X

-2
3

-1
2

1

-3

-2

1

-1
0

1

2

3

Y

-1
-2
-3

Gambar 1.11 Koordinat Kartesius Ruang

Sumbu X dan sumbu Y terletak pada bidang X-Y, sumbu X dan
sumbu Z terletak pada bidang X-Z, serta sumbu Y dan sumbu Z
terletak pada bidang Y-Z.

Page | 17

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Sebarang bilangan yang terletak sepanjang sumbu X biasa di beri
lambang x, dan sembarang bilangan yang terletak sepanjang
sumbu Y biasa di beri lambang y, begitu juga untuk sumbu Z diberi
lambang z.
Contoh:
a. Tunjukkan nilai x = 2, y = -1,5 pada koordinat kartesius XY!
Kedua nilai tersebut ditunjukkan pada titik tebal sebagai
berikut:
Y
3
2
1
X=2
-3

-2

0

-1

1

2

X

3

-1
y=1,5
-2
-3

b. Tunjukkan semua nilai x dengan batasan:
semua nilai y dengan batasan:

3

y

2

x

3 dan

2 pada koordinat

kartesius X-Y!

Page | 18

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Kedua himpunan tersebut ditunjukkan pada garis tebal
sebagai berikut:
Y
3
2
1

x/ x: 2
-3

-2

0

-1

1

x 3
2

3

X

-1
-2

y/ y: 3

y

2

-3

LATIHAN 1.2_____________________________________
Manakah diantara pernyataan berikut yang benar?
1. A adalah himpunan/kumpulan bilangan real dari-1 sampai
4, maka A={-1, 0, 1, 2, 3, 4}.
2. B adalah himpunan/kumpulan bilangan bulat dari -3
hingga 1, maka A={-3, -2, -1, 0, 1}.
3. C adalah himpunan bilangan real dari -2 hingga 100, maka
-1,999999999 adalah anggota himpunan C.
4. Bilangan real antara -1 dan 1 adalah hanya 0.
5. 0 adalah bilangan real antara -1 dan 1.
Page | 19

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

6. Ada tak hingga banyaknya bilangan bulat antara 0 dan 1.
7. Phi (π) adalah bilangan pecahan diantara 3 dan 4.

7 adalah bilangan pecahan antara 2 dan 3.

8.

9. Titik-titik berhimpitan tak hingga banyaknya sehingga
membentuk garis bilangan sebenarnya menunjukkan
angka-angka.
10. Banyaknya bilangan real diantara -100 hingga 2 sebanyak
titik-titik yang membentuk garis bilangan himpunan angka
tersebut.
__________________________________________________

1.4 Pola Aturan dan Variabel
Fungsi bisa diartikan sebagai pola aturan. Yang diatur disebut
variabel,

yakni

variabel

dependen

(terikat)

dan

variabel

independen (bebas). Contoh:
a.

A adalah kumpulan bilangan bulat dari -5 hingga -2. Peraturan
F menyatakan bahwa: himpunan B adalah himpunan bilangan
hasil perkalian masing-masing anggota himpunan A dengan
angka 2.
Aturan F

: masing-masing anggota A dikali 2,

Variabel dependennya

: anggota himpunan B

Variabel independennya

: anggota himpunan A

Jadi,
A={-5, -4, -3, -2}

: variabel independen,
Page | 20

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

B={-10, -8, -6, -4}

: variabel dependen, karena

bergantung dari nilai A, sekaligus sebagai
hasil dari aturan F. Himpunan A dan B dapat
dibedakan dengan jelas dengan melihat
anggotanya.
b.

X adalah himpunan semua bilangan real. Aturan R
menyatakan bahwa Y adalah himpunan semua bilangan hasil
perkalian semua nggota X.
X dapat dinyatakan dengan garis bilangan sebagai berikut:

-2

-1

0

1

2

Setiap titik-titik angka pada garis bilangan tersebut dikalikan
dua dan akan menghasilkan himpunan Y.
Y dapat dinyatakan dengan garis bilangan sebagai berikut:

-4

0

-2

2

4

Setelah diperhatikan ternyata garis bilangan X dan Y tersebut
hakikatnya adalah persis sama, yakni jika garis bilangan X
diperpanjang akan menjadi:

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Page | 21

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Jika garis bilangan Y skalanya diubah, yakni dari 2 menjadi 1
akan menjadi:

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Hal ini menjadi mustahil untuk menentukan aturan yang
mengatur himpunan X dan himpunan Y jika hanya dengan melihat
garis bilangan himpunan masing-masing.
Untuk mengatasi hal tersebut dibuatlah pasangan angkaangka. Yakni setiap anggota himpunan X ditulis berpasangan
dengan anggota himpunan Y yang bersesuaian menurut aturan R.
Misalkan diambil titik-titik perwakilan (anggota X ditulis di
depan): (-1, -2), (0, 0), (10, 20), dan (1000, 2000). Sekarang tentu
memberikan gambaran fungsi R yang lebih jelas.
Pasangan titik-titik yang banyaknya tak hingga tersebut hanya
dapat digambarkan pada koordinat kartesius dan membentuk garis
fungsi R seperti terlihat pada gambar berikut.
Semua anggota himpunan bilangan real X di gambarkan
sebagai sumbu X dan semua anggota himpunan bilangan real Y di
gambarkan sebagai sumbu Y. Jika ditarik garis vertikal dari
sembarang titik di sumbu X kemudian setelah memotong garis
fungsi ditarik garis horizontal memotong sumbu Y didapatkan
bilangan pasangan X tersebut. Pada gambar diberi contoh pasangan

Page | 22

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

(1,2). Dengan garis tersebut dapat dicari pasangan nilai X= 3,00202 dan sebagainya.
Y
3

Y=2.X

2
1

-3

-2

0

-1

1

2

3

X

-1
-2
-3

Page | 23

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

1.4.1 Pemetaan
Sebuah aturan F memasangkan setiap anggota himpunan X
tepat satu dengan anggotaY, maka aturan F disebut pemetaan.
Hubungan dalam pemetaan disebut fungsi.
Y= ?
Y= X

2

X

X

Y

Y

-2

-2

-1

-1
0

4

1

1

1

1

0

0

0

4

2

2
BUKAN PEMETAAN
Angka 2 berpasangan dengan 0 &4

PEMETAAN

Gambar 1.12 Pemetaan dan Bukan Pemetaan

1.4.2 Fungsi f(x)
Jika f adalah fungsi yang memetakan X ke Y, maka ditulis:
f :X

Y

f
X

Y

Page | 24

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Fungsi yang sangat sering ditulis selalu menunjukkan
domainnya. Alih-alih menuliskan f : X

Y lebih sering ditulis

sebagai f (x) dengan x adalah anggota himpunan X.
Fungsi tersebut bisa digambarkan sebagai mesin yang
mengolah isi karung X agar menjadi isi karung Y.
x
xx

f
y

y
y

Gambar 1.13 Mesin (Fungsi)

Contoh:
a.

Jika karung X isinya adalah -2; -1; 0; 1; 2; 3,001; 4,002.
Dan fungsi atau mesin yang dipakai adalah f ( x)

x2 ,

tentukan isi karung Y!

Page | 25

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Jawab:
Karung X

Karung Y

-2

(-2)2

4

-1

(-1)2

1

0

(0)2

0

1

(1)2

1

2

2

(2)

4

3,001

(3,001)2

9,006001

4,002

b.

Mesin f(x)= x2

(4,002)2

16,016004

Tentukan semua anggota himpunan Y yang dihasilkan dari
fungsi
X

Y,

f :X

{x / x : 1

x

dengan

3, x

f ( x)

x2

3x 2

dan

B} ! Gambarkan himpunan X

dan Y dalam garis bilangan!

Jawab:
X

f(x)= x2 - 3x + 2

Y

-1

(-1)2 – 3(-1) + 2

6

0

(0)2 – 3(0) + 2

2

2

1

(1) – 3(1) + 2

0

2

(2)2 – 3(2) + 2

0

Page | 26

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Garis bilangan untuk X adalah sebagai berikut (perhatikan
soal di atas, x
-1

0

B artinya, x haruslah bilangan bulat):
1

x

2

Garis bilangan untuk Y adalah sebagai berikut:
0

1

2

3

4

5

y

6

Jika pasangan anggota himpunan masing-masing dibuat
pada koordinat kartesius menjadi seperti berikut:
Y
-1,6

6
5
4
3
2 0,2
1
1,0

-3

c.

-2

-1

0

2,0

1

2

3

X

Tentukan semua anggota himpunan Y yang dihasilkan dari
fungsi

f :X

Y , dengan

f ( x)

x2

2x 1

dan

Page | 27

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

X

{x / x : 1

x

3, x

R} ! Gambarkan himpunan X

dan Y dalam garis bilangan!

Jawab:
Tidak mungkin bisa menuliskan semua anggota himpunan
X tersebut, ingat kenapa? Garis bilangan X adalah sebagai
berikut:

-1

0

1

2

3

X

Untuk mendapatkan anggota himpunan Y diambil beberapa
bilangan bulat dari himpunan X sebagai perwakilan agar
bisa mengambarkan garis bilangannya.

X

f(x)= x2 - 2x + 1

Y

-1

(-1)2 – 2(-1) + 1

4

2

0

(0) – 2(0) + 1

1

1

(1)2 – 2(1) + 1

0

2

(2)2 – 2(2) + 1

1

3

(3)2 – 2(3) + 1

4

Terlihat bahwa bilangan anggota himpunan Y terbesar
adalah 4 dan terkecil 0. Nilai 0 dan 4 kedua-duanya adalah
anggota Y. Garis bilangannya adalah:
Page | 28

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

0

1

Sekali

3

2

lagi

4

Y

bahwa untuk

mengetahui fungsi

yang

menghubungkan nilai-nilai x dan y akan mustahil jika
hanya dengan melihat garis bilangan X dan Y. Fungsi
tersebut akan dapat diamati dengan mempelajari pasanganpasangan nilai x dengan y yang bersesuaian seperti:
(-0,99999….; 3,99999….), (0,1), (1,0), (2,1), dan (3,4).
Jika semua pasangan-pasangan nilai x dan y yang takhingga
banyaknya digambarkan dengan titik-titik pada koordinat
kartesius akan membentuk kurva sebagai berikut:
Y
-1,4

3,4

4
3

0

1

2

3

-3

4

2

y

1
-2

-1

0

1

2

3

X

Page | 29

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

LATIHAN 1.3_____________________________________
1. Apa perbedaan penggunaan notasi X dengan x atau Y
dengan y?
2. X adalah himpunan bilangan bulat lebih dari -3 dan kurang
dari 3. Fungsi f menyatakan bahwa himpunan Y
beranggotakan

bilangan-bilangan

hasil

kuadrat

dari

masing-masing anggota himpunan X. Berapa jumlah
anggota Y? Tunjukkan semua anggota himpunan Y dalam
garis bilangan!
3. X={ x / x : x
f ( x)

2, x

B }dan

f :X

2 x 5 . Maka himpunan Y={ y / y : y

Y dengan
a, y

B }.

Tentukan nilai a dan gambarkan pasangan nilai x dan y
yang bersesuaian pada koordinat kartesius!
4. X adalah himpunan bilangan real lebih dari -3 dan kurang
dari 3. Fungsi f menyatakan bahwa himpunan Y
beranggotakan

bilangan-bilangan

hasil

kuadrat

dari

masing-masing anggota himpunan X. Berapa jumlah
anggota Y? Tunjukkan semua anggota himpunan Y dalam
garis bilangan!
5. X={ x / x : x
f ( x)

2, x

R }dan

f :X

2 x 5 . Maka himpunan Y={ y / y : y

Y dengan
a, y

R }.

Tentukan nilai a dan gambarkan pasangan nilai x dan y
yang bersesuaian pada koordinat kartesius!
Page | 30

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

6. X={ x / x : x
f ( x)

R }dan

2, x

1

f :X

Y dengan

. Gambarkan pasangan nilai x dan y yang

x 1

bersesuaian pada koordinat kartesius!
7. Y={ y / y : 0

f ( y)

x

R }dan

9, x

f :Y

X dengan

y . Gambarkan pasangan nilai x dan y yang

8. Benarkah { a

x

9. Benarkah { x

b }={

10. Benarkah

jika

}={ x

y

a }?
x b }?

x 2 akan

selalu y

x?

Berikan

alasannya!
11. Untuk x

0 berapa nilai y

12. Sebuah fungsi f : X

x ? Berikan penjelasan!

Y dengan f ( x)

2 x 5 . Apakah

fungsi f ini memetakan himpunan X terhadap Y? Apakah
fungsi f ini memetakan himpunan Y terhadap X ? Apakah
hubungan himpunan X dan Y merupakan korespondensi
satu-satu?
13. Sebuah

fungsi f : X

Y dengan

f ( x)

2 x2

5.

Apakah fungsi f ini memetakan himpunan X terhadap Y?
Apakah fungsi f ini memetakan himpunan Y terhadap X ?
Apakah hubungan himpunan X dan Y merupakan
korespondensi satu-satu?

Page | 31

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

14. Dari kurva berikut apakah fungsi f ini memetakan
himpunan X terhadap Y? Apakah fungsi f ini memetakan
himpunan Y terhadap X ? Berikan kesimpulan!
Y

F(x)
X

15. Dari kurva berikut apakah fungsi f ini memetakan
himpunan X terhadap Y? Apakah fungsi f ini memetakan
himpunan Y terhadap X ? Berikan kesimpulan!
Y

F(x)

X

16. Sebuah fungsi f : X
boleh ditulis y

Y dengan f ( x)

a x c . Apakah

a x c ? Berikan alasannya!

Page | 32

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

17. Bisakah Anda tunjukkan fungsi f : X
Y dan X sehingga didapat Y
dari X

{x / x : 1

x

5, x

Y yang mengatur

{y / y : 0

x

24, x

R}

R} ?

18. Apakah hanya fungsi dengan domain bilangan real saja
yang bisa membentuk kurva atau garis?
19. Apakah fungsi mempunyai pengertian yang sama dengan
persamaan?
20. Apakah fungsi dan persamaan memiliki hubungan?
Berikan alasan yang tepat!

Page | 33

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

BAB 2
FUNGSI LINIER

Garis adalah kumpulan titik-titik yang saling berhimpitan.
Pada koordinat kartesius titik-titik garis lurus menunjukkan
pasangan angka-angka sebuah fungsi linier. Sebuah fungsi
f :X

Y sehingga untuk setiap anggota himpunan Y berlaku

persamaan y

m x n , dan X

{x / x :

x

,x

R} selalu

menghasilkan titik-titik pasangan bilangan (x,y) yang membentuk
garis lurus pada koordinat kartesius. Persamaan y

m x n

tersebut disebut dengan fungsi linier.

2.1 Diketahui titik potong pada kedua sumbu.
Sebuah garis memotong sumbu X di titik (a, 0) dan memotong
sumbu Y di titik (0, b) seperti gambar di bawah. Jadi, (a, 0) dan (0,
b) merupakan bagian dari titik-titik pasangan bilangan yang tak
hingga banyaknya dari persamaan y

y
(a, 0)

m x n . Sehingga:
m x n

0 m a n
n
a

m

(0, b)

b

m 0 n

n

b
a

b

m

Page | 34

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Jadi, fungsi tersebut menjadi:
b
x b
a

y

………… (1.1)

Atau untuk lebih mudahnya persamaan tersebut bisa ditulis
sebagai:
…………(1.2)

Nilai m disebut dengan gradien (grade, gradual = bertingkat) atau
tingkat kemiringan garis.
Y

y

b
x b
a

b

a
0

X

Gambar 2.1 Persamaan Garis Jika 2 Titik Potong Diketahui

Contoh:
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-5,0) dan (0,-2)!
Page | 35

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Jawab:
Cara pertama:

y

m x n

0 m

(-5, 0)

m

n
5

2 m 0 n

(0, -2)

n
y

5 n

m

2/5

2

2
x 2
5

Cara kedua:
b x a y

a

a b,

( 2) x ( 5) y

2 x 5 y

10

5,

y

2
x 2
5

( 5) ( 2)

Cara kedua lebih pendek sehingga persamaan garisnya didapat
dengan lebih cepat.

2.2 Diketahui gradien dan sebuah titik yang melaluinya.
Ada dua cara untuk membuat garis yang melalui titik (c, d)
dengan kemiringan p.
a. cara pertama
Buat garis pada titik (c, d) tersebut dengan arah bebas,
kemudian putar hingga kemiringannya sebesar p.
Page | 36

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Y

Y

p
(c, d)

(c, d)

0

0

X

X

Gambar 2.2 Persamaan Garis Jika 1 Titik dan Gradien
Diketahui, Cara Pertama

Persamaan garis dapat dicari dengan cara sebagai berikut:

y

m x n

1. m = p

y

p x n

2. (c, d)

d

p c n

n

d

y

p x d

pc

pc

Jadi, persamaan garis yang dimaksud adalah
y

p x d

pc

…………(1.3)

b. cara kedua
Buat garis dengan kemiringan m, kemudian geser agar melalui
titik (c, d).
Page | 37

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Y

Y

m

p
(c, d)

0

X

0

X

Gambar 2.2 Persamaan Garis Jika 1 Titik dan Gradien
Diketahui, Cara Kedua

Persamaan garis dapat dicari dengan cara sebagai berikut:

y
d

p c n

n

1. (c, d)

m x n

d

y

p x n

y

p x d

pc

Jadi, persamaan garis yang dimaksud adalah y

p x d

pc .

2. m = p

pc

Contoh:
Sebuah garis dibuat pada titik (3, 2) dengan kemiringan -2.
Tentukan persamaannya!
Jawab:
Page | 38

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

y

m x n

1. m = -2

y

2 x n

2. (3, 2)

2

2 3 n

y

2 x 8

n 8
2.3 Diketahui dua buah titik sebarang yang dilaluinya.
2.3.1 Cara pertama : menghitung gradien
Sebuah garis lurus melalui titik (a, b) dan (c, d). Maka nilai m
dan n dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut (perhatikan
gambar!).
Y
(c, d)

d

d-b
b

(a, b)
c-a

0

a

c

X

Gambar 2.2 Persamaan Garis Jika 2 Titik Diketahui

m

y
x

Page | 39

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

m

y2
x2

y1
(dimanapun titiknya hasil ini akan
x1

selalu sama, mengapa?)
m

d b
c a

y

d b
x n
c a

Untuk mendapatkan nilai n salah satu titik dimasukkan dalam
persamaan tersebut, misal titik (a, b).
y

d b
x n
c a

b

d b
a n
c a

n

b

n

bc ba
c a

n

bc ad
c a

a

d b
c a
ad ba
c a

Jadi, persamaan garisnya menjadi:
y

d b
x
c a

bc ad
c a

…………(1.4)

Contoh:
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,-3) dan (-2,2)!
Page | 40

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Jawab:
m

y2
x2

y1
x1
m

2 ( 3)
2 2

m

y

5
4

m x n
5
x n
4

y

3

5
2 n
4

3

(2,-3)

5
2

n

n

1
2

Jadi, persamaan garis tersebut adalah: y
2.3.2 Cara kedua

5
x
4

1
2

: substitusi

Sebuah garis dengan persamaan y

m x n melalui titik (a, b)

dan (c, d). Maka nilai m dan n dapat ditentukan dengan cara
sebagai berikut:

y

m x n

1. (a, b)

b

m a n

2. (a, b)

d

m c n

n b m a

Page | 41

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

d

m c b m a

d

b

d b
c a

m

3.

m (c a)

n b m a
d b
a
c a

n

b

n

b

c a
c a

d b
a
c a

n

bc ba
c a

da ba
c a

n

bc ad
c a
d b
x
c a

y

bc ad
c a

Contoh:
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,-3) dan (-2,2)!
Jawab:

y
1. (2, -3)
2. (-2, 2)
2

m x n
3 m 2 n

2 m

n

3 2m

5

4m

m

5
4

2 n

2m ( 3 2m)

Page | 42

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

n

3 2m

n

3 2

n

3.

1/ 2
y

5
4

5
x
4

1
2

LATIHAN 2.1_____________________________________
1.

Buktikan bahwa jika sebuah titik (a, b) dilalui oleh dua
garis dengan gradien yang sama kedua garis pasti saling
berhimpitan!

2.

Buktikan bahwa dua buah garis atau lebih dengan gradien
yang sama pasti sejajar!

3.

Buktikan bahwa dua buah garis yang saling tegak lurus
hasil perkalian gradiennya adalah -1!

4.

Buktikan bahwa dua buah garis dengan gradien yang
berbeda pasti berpotongan di satu buah titik!

5.

Fungsi

f1 : X 1

Y1 dengan

f2 : X 2

Y2 dengan

X1

{x / x :

X2

f 1 ( x)

x 3,

f 2 ( x)
x

,x

2 x 7 dan fungsi

R}

akan

serta
membuat

himpunan Y1 dan Y2 mempunyai satu buah anggota yang
sama. Tentukan bilangan tersebut dan pasangan nilai (x,
y)-nya yang sama!

Page | 43

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

6.

Ruas garis 1 memiliki persamaan y1
domain = { x / x : 5
dengan persamaan
x / x : 7x

3, x

x

5, x

y2

2 x 7 dengan

R } dan ruas garis 2

x 3 dengan domain = {

R }. Gambarkan kedua ruas garis

tersebut pada satu bidang koordinat kartesius! Apakah
ruas garis tersebut saling berpotongan?
7.

Garis 1 melalui titik ( -3, 1) dan (1, -3). Garis 2
memotong tegak lurus garis 1 dan melalui titik (2, 2).
Tentukan persamaan kedua garis tersebut!

8.

Sebuah garis melalui titik (1, 3) dan (-1,-3). Garis tersebut
kemudian di geser sehingga melalui titik (4, 3). Tentukan
persamaan garis sebelum dan sesudah digeser!

9.

Sebuah garis memotong sumbu X di (2, 0) dan
membentuk sudut 300 dengan sumbu X. Tentukan
persamaannya!

10. Tentukan persamaan sebuah garis mendatar yang melalui
titik dengan ordinat (nilai y) 3!
11. Tentukan persamaan sebuah garis vertikal yang melalui
titik dengan absis (nilai x) 3!
12. Sebuah ruas garis dibentuk dari persamaan y
dengan domain ={ x / x : 0

x

4, x

2x 3 dan

R }dipotong oleh

garis l yang saling tegak lurus tepat di tengah-tengah.
Tentukan titik potong garis l pada sumbu X dan sumbu Y!
Page | 44

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

13. Tentukan persamaan ruas garis berikut dengan lengkap!
Y

6
4

2
0

X

-2

14. Sebuah garis dengan gradien ¾ memotong sumbu X dan Y
sedemikian sehingga terbentuk bidang segitiga yang
dibatasi oleh sumbu X, sumbu Y ,dan garis. Luas bidang
adalah 24 satuan. Tentukan persamaan garis tersebut!
15. Buktikan bahwa jika arah garis adalah dari kiri bawah ke
kanan atas gradiennya selalu positif dan jika arah garis
adalah dari kanan bawah ke kiri atas gradiennya selalu
negatif!
16. Buktikan bahwa superposisi garis tegak dengan garis
horizontal hasilnya adalah garis yang selalu membentuk
sudut 450 dengan sumbu koordinat!
17. Tentukan persamaan sebuah garis yang semua titiknya
memiliki
2 y 3x 6

jarak

terdekat

4

satuan

terhadap

garis

0

Page | 45

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

18. Buktikan bahwa superposisi dua buah garis yang saling
tegak lurus memiliki gradien m

m12 1
dengan m1
m1

adalah gradien salah satu garis yang disuperposisi!

MATLAB:

a.

Cara memulai menggunakan Matlab:
a.1. Bukalah software Matlab
Maka akan muncul jendela:

Command Window

Gambar 2.3 Jendela Matlab, Command Window
Page | 46

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

a.2. Klik File New M-File (lihat gambar di atas!)
Maka akan muncul jendela seperti berikut:

Gambar 2.4 Jendela M-File Editor

a.3. Ketikkan perintah berikut pada jendela Editor tersebut.
x=linspace(0,5);
y=[2 -5];
p=polyval(y,x);
plot(x,p), title('y=2x-5'), xlabel('x'),ylabel('y')

a.4. Simpan file tersebut pada folder yang Anda inginkan.
Anda bisa buat folder sendiri.
Perhatikan contoh berikut!
Page | 47

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Gambar 2.5 Menyimpan M-File
a.5. Setelah tersimpan. Klik FileSet Path…
Maka, akan muncul jendela:

Folder Tempat
menyimpan M-File

Gambar 2.6 Jendela Set Path
Page | 48

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

a.6. Klik Add Folder, dan browse folder tempat menyimpan
M-File! Setelah folder tersebut ditampilkan pada area
MatlabSearchPath, klik tombol Save  Close.
a.7. Kembalilah ke jendela utama Matlab. Ketik perintah: run
garisLurus pada Command Window! Lalu tekan tombol
Enter! Perhatikan gambar grafik yang muncul!

b.

Membuat plot dari fungsi diskrit.
b.1. Pada kesempatan ini kita akan membuat plot dari fungsi

Dengan batas nilai x adalah
Yakni, nilai x adalah bilangan bulat.
b.2. Lakukan langkah seperti pada a.1 sampai a.2 di atas!
b.2. Ketikkan perintah:
x= 0:1:4;
p=[2 0];
v=polyval(p,x);
stem(x,v), title('y=2x'), xlabel('x'), ylabel('y')
b.3.Lanjutkan instruksi berikutnya seperti pada poin a di atas!

Page | 49

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

BAB 3
FUNGSI KUADRAT

Sebuah

fungsi f : X

Y sehingga

himpunan Y berlaku persamaan y
X

{x / x :

x

a x2

R} selalu

,x

untuk

setiap

anggota

b x c, a

0 dengan

menghasilkan

titik-titik

pasangan bilangan (x, y) yang membentuk grafik parabola pada

y

koordinat kartesius. Persamaan

a x2

b x c

tersebut

disebut dengan fungsi kuadrat.
Contoh:
Sebuah
X

fungsi

{x / x : 2

x

2, x

memetakan

himpunan

R} terhadap himpunan Y yang semua

anggotanya dihasilkan dari kuadrat masing-masing anggota
himpunan X. Tunjukkan semua titik pasangan bilangan (x,y) yang
Jawab:

Y
-2,4

2,4

4
3
2
1

-3

-2

-1

0

1

2

3

X

Page | 50

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

a x2

3.1 Nilai a pada y

b x c

Nilai a pada menentukan arah cekungan, telungkup atau
terbuka. Nilai a

0 , kalau nol jadi bukan persamaan kuadrat

a. a bernilai positif (a>0)
Y

Y
+

+
+
+

+
+
-

+++

-- - --

X

- - -- -

++ +

X

Gambar 3.1 Nilai a>0
Artinya x2 akan selalu menghasilkan nilai positif. Sehingga
untuk x mendekati

nilai y akan menuju ekstrem positif, dan

untuk nilai x mendekati

nilai y juga selalu ekstrem positif.

Dengan kata lain, di dalam X

{x / x :

x

,x

R}

ada x = m yang membuat nilai y paling kecil dari nilai y yang lain.
Nilai tersebut disebut nilai ekstrem minimum.
persamaan y

a x2

Sehingga

b x c dengan a > 0 menghasilkan grafik

parabola cekung terbuka.
Contoh:
Page | 51

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Buktikan bahwa sebuah fungsi f : X
setiap

y

anggota

2 x2

himpunan

4 x , dengan X

Y

Y sehingga untuk

berlaku

{x / x :

x

persamaan
,x

R} akan

membentuk grafik parabola cekung terbuka! Carilah anggota
himpunan X yang membuat nilai y positif dan yang membuat
nilai y yang negatif!
Jawab:
Bukti bahwa y

2 x2

4 x menghasilkan grafik parabola

4 x

menghasilkan parabola cekung

cekung terbuka:
Jika

y

2 x2

terbuka pastilah berlaku:
Saat x mendekati

nilai y akan menuju ekstrem positif:

y

Diambil nilai x = -100,
y

4 ( 100 )

20.400

Saat x mendekati

nilai y akan menuju ekstrem positif:

Diambil nilai x = +100,
y

2 ( 100 ) 2

y

2 100 2

4 100

19.600

diantara -100 dan +100 haruslah didapat nilai y yang lebih
kecil:
Diambil nilai x = 0
y

y

2 02

4 0 5

0

jadi, ada tiga titik seperti berikut:
Page | 52

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

(-100, +20.400)
(+100, +19.600)

(0, 0)

Dari tiga buah titik tersebut menunjukkan bahwa

y

2 x2

4 x

pastilah membentuk grafik parabola

cekung terbuka.
Himpunan X yang membuat nilai y posistif (y>0) dan
himpunan X yang membuat nilai y negatif (y<0):
langkah pertama cari nilai x yang membuat y = 0.

y

2 x2

2 x2

4 x

2 x( x 2)

4 x= 0
0
0

2 x 0
(x 2)

x1

0

0

x2

2

buat garis bilangan X.

Grafik sudah diketahui cekung terbuka, maka pastilah kira-kira
seperti berikut:

Page | 53

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

+ + +

+ + +
0

-1

1

2

3

X

- - - - - -

himpunan X yang membuat nilai y positif
Dari grafik di atas terlihat bahwa untuk x<0 nilai y selalu di
atas sumbu x (y>0). Jadi, himpunan X yang membuat nilai
y positif adalah:

X positif

{x / x : x

0 atau x

++++
Y>0

R}

++++
0

-1

2, x

1

2

3

X

Jadi, himpunan X yang membuat nilai y negatif adalah:

X negatif

-1

{x / x : 0

0

x

1

2, x

R}

3

X

2

Y<0 - - - - - -

b. a bernilai negatif (a<0)
Artinya x2 akan selalu dikalikan dengan bilangan negatif.
Sehingga untuk x mendekati

nilai y akan menuju ekstrem
Page | 54

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

negatif, dan untuk nilai x mendekati

nilai y juga selalu

ekstrem negatif.
Dengan kata lain, di dalam X

{x / x :

x

,x

R}

ada x = n yang membuat nilai y paling besar dari nilai y yang lain.
Nilai tersebut disebut nilai ekstrem maksimum.
persamaan y

a x2

Sehingga

b x c dengan a < 0 menghasilkan grafik

parabola cekung telungkup.
Y
c

0

X

Gambar 3.2 Nilai a<0

3.2 Akar-akar persamaan kuadrat
Gunanya untuk mencari titik potong pada sumbu X yakni (x1,
0) dan (x2, 0) dan titik potong pada garis horizontal yang lain
(yakni garis dengan persamaan y

m ).

Cara pertama: dengan rumus kuadrat.
Page | 55

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

y

a x2

a x2
x1 , x 2

b x c

b x c

0

0

b

x2

b2 4 a c
2 a

…………(3.1)

b

x1

b2 4 a c
2 a

…………(3.2)

Y

0

(x1, 0)

(x2, 0)

X

Gambar 3.4 Akar-akar Persamaan

Cara kedua: dengan memfaktorkan.
a x2

x2

b x c

b
x
a

c
a

0

0

Page | 56

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

x2
x1

( x1

x 2 ) x x1 x 2

b
dan x1 x 2
a

x2

(x

0

c
a

x1 ) ( x

x2 )

0

Contoh:
a. Carilah titik potong kurva
y

y

x2

2 x 7 pada garis

2!

Jawab:
Titik potong tersebut adalah (x1, 2) dan (x2, 2).
Y
7

(x1, 2)

(x2, 2)

2
0

X

x2

Persamaan grafik y

2 x 7
x2

Persamaan garis

y

2 x 7

2

2

x2

2 x 7

2

x2

2 x 5

0

Page | 57

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

2

x2

22 4
2 1

1 5

2

x1

22 4
2 1

1 5

Jadi, titik potongnya adalah: ( 1

6

=1

6

6 , 2) dan ( 1
x2

5 x 6

5 x 6

0

b. Carilah akar-akar persamaan

=1

6 ,2).

0

Jawab:
x2

dikalikan

dengan -1
x2

5 x 6

0

( x 2) ( x 3)

0

(x 2)

(3 2) (3 3)

2

(x 3)

(2 2) (2 3)

0 , x1

0 , x1

3

0

0

Jadi, akar-akar persamaan tersebut adalah: x1
x1

2 dan

3.

3.3 Determinan
Seperti sudah dibahas sebelumnya salah satu cara mencari
akar-akar persamaan a x 2

b x c

0 adalah memakai rumus

akar kuadrat seperti berikut.
Page | 58

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

b2 4 a c
2 a

b

x1, 2

…………(3.3)

Angka di dalam akar disebut dengan determinan D (determinate:
menentukan). Akan terlihat nanti bahwa determinan akan
menentukan karakteristik persamaan kuadrat.

Jadi, rumus akar

kuadrat tersebut menjadi:
D

b2

4 a c

…………(3.4)

x1

…………(3.5)

x2
Bentuk

b
D
2 a
b
D
2 a

…………(3.6)

tentunya menimbulkan tiga buah kemungkinan:

a. untuk nilai D positif (D>0) akan ada dua bilangan dari
contoh:

D

9 = +3 dan -3.

b. untuk nilai D sama dengan nol (D=0) tentunya D =0
c. untuk nilai D negatif (D<0), D tidak ada bilangan real
yang memenuhi.
Nilai –nilai D tersebut menentukan karakteristik persamaan
a x2

b x c

0 sebagai berikut:

a. D >0
D
0

1

2

3

Page | 59

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Persamaan a x 2

b x c

0 dengan D > 0 selalu

mempunyai dua akar real yaitu:

x1

b
D
2 a

x2

b
D
2 a

Artinya

fungsi

y

kuadrat

berpotongan dengan garis y
persamaan a x 2

b x c

p x2

q x r

yang

m sehingga membentuk

0 dengan D > 0 selalu

memiliki dua titik potong pada garis yang dimaksud.
Perhatikan contoh a pada subbab 1.6.1 di atas.

b. D = 0

D

-1

1

0

Akar nol adalah nol sehingga akar D = 0 adalah D = 0 =
0.

x1

b
D
2 a

x2

b
0
2 a

b
0
2 a

=

=

=

b
, dan
2 a

b 0
2 a

=

b
2 a

Terlihat bahwa x1 = x2  artinya adalah persamaan
a x2

b x c

0 dengan D = 0 selalu mempunyai satu

akar real yaitu:
Page | 60

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

x

Sehingga

fungsi

b
2 a

…………(3.7)

persamaan a x 2

b x c

p x2

y

kuadrat

q x r

yang


0 dengan D = 0 selalu

memiliki satu titik potong pada garis yang dimaksud.
Perhatikan contoh berikut!

Contoh:

x2

Carilah titik potong kurva y

4 x 2 pada garis y

2!

Jawab:
Persamaan grafik

x2

4 x 2

Persamaan garis

x2

y

4 x 2

2
y

2
x2

x1

2

x2

x1

4 x 2

4 x 4

0

2

42
2

4
1

2
2

0
1

1

4

=1

Page | 61

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

x2

x2

Jadi, grafik y
pada garis y

2 0
2 1

=1

4 x 2 hanya menyinggung saja

2 di titik singgung (1, 2).

Y

2

0

y=2
1

X

x2

y

c. D <0

4 x

2

D
-3

-2

-1

0

Akar negatif tidaklah ada bilangan yang memenuhinya*.
Sehingga akar D < 0 adalah D =
Kalau

.... = { }.

D -nya saja tidak ada maka x1

ada juga. Sehingga, persamaan a x 2

b
D
tidak
2 a

b x c

0 dengan

Page | 62

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

D < 0 tidak mempunyai akar. Sebagai konsekwensinya
adalah

fungsi

y

kuadrat

persamaan

a x2

b x c

p x2

q x r

yang


0 dengan D < 0 tidak

memiliki satu pun titik singgung pada garis yang
dimaksud. Perhatikan contoh berikut!
Contoh:

x2

Carilah titik potong kurva y

4 x 2 pada garis y

3!

Jawab:

x2

Persamaan grafik y

4 x 2
x2

Persamaan garis

y

3

3
2

4 x 2

3

x2

4 x 5

0

42
2

4
1

x

x1

x1
Jadi, grafik y

4 x 2

x2

menyinggung garis y

2

2
2

4
1

1

5

= …… (tidak ada)

4 x 2 tidak memotong maupun
3 seperti ditunjukkan pada grafik

berikut.

Page | 63

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Y
3

y=3

2

y=2

0

1

X

x2

y

*

4 x

2

Catatan: persamaan a x 2 b x c 0 dengan D < 0
hanya mempunyai akar-akar imajiner. Akar-akar ini
berguna nanti pada pembahasan persamaan diffierensial.
Jadi pada pembahasan disini untuk sementara akar imajiner
tidak diperhitungkan (dianggap tidak ada).

3.4 Nilai ekstrem
Nilai ekstrem ada dua yakni:
a. nilai ekstrem minimum
adalah bilangan terkecil anggota himpunan Y.
b. nilai ekstrem maksimum
adalah bilangan terbesar anggota himpunan Y.
Sebuah

fungsi f : X

Y sehingga

X

{x / x :

x

,x

a x2

untuk

setiap

b x c, a

anggota

0 dengan

R} akan selalu memiliki titik ekstrem

saat nilai absis:
Page | 64

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

b
.
2 a

x

Grafik parabola y
vertikal x

a x2

b x c selalu simetris terhadap garis

b
yang disebut sumbu simetri. Dan setiap garis
2 a

horizontal yang memotong grafik akan selalu menghasilkan ruas
garis yang terpotong persis sama oleh sumbu simetri tersebut.
Berikut gambarannya.
Y
x

b
2 a

3
2

-1

Y=1

1
-2

Y=r
Y=3

Y=1
0

1

2

3

X

Y=0

Gambar 3.5 Sumbu Simetri

Grafik parabola di atas memiliki persamaan

y

x2

2 x

dipotong oleh beberapa garis horizontal. Akan terlihat nanti bahwa

Page | 65

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

semua persamaan kuadrat a x 2

b x c

0 yang dihasilkan

b
yang sama.
2 a

memiliki nilai x

a. dipotong oleh sumbu X (garis y = 0)

x2

grafik y

2 x
x2

garis

x

0

a 1 dan b

2

y=0

maka

2 x

b
2 a

( 2)
=1
2 1

x

Sudah terlihat disini bahwa persamaan garis y

m tidak

a x2

b x c.

merubah nilai a maupun b fungsi kuadrat y

Yang berubah hanya nilai c saja. Perhatikan sekali lagi contoh
berikut.
b. dipotong oleh garis y = 1

x2

grafik y

2 x
x2

dan b

y=1

maka

x

a 1

2

garis

2 x 1 0

x

b
2 a

( 2)
=1
2 1

Page | 66

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Sumbu

y

a x2

y

x2

simetri

(garis

b )
2 a

x

memotong

grafik

b x c tepat pada titik ekstremnya (pada contoh yaitu
2 x , titik ekstremnya adalah titik balik minimum).

Sehingga nilai y pada titik itu adalah:

y

a x2

b x c

b
2a

2

y

a

y

b2
4a

b2
2a

y

b2
4a

2b 2
4a

y

b2

b

b
2a

c

c
4 a c
4a

4 a c
4a

Jadi, nilai ekstrem adalah
y

b2

4 a c
4a

…………(3.8)

Bentuk di atas sering diringkas menjadi

y

D
. Jika
4a

diperhatikan bentuk ringkas ini tidaklah tepat. D adalah
determinan untuk persamaan a x 2
persmaan kuadrat y

a x2

b x c

0 bukan untuk

b x c . Persamaan yang terakhir ini

nilai determinannya tentu berbeda, coba tentukan!

Page | 67

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

3.5 Titik balik
Titik balik untuk fungsi kuadrat y
pada titik ekstremnya yaitu (

a x2

b x c berada

b2 4 a c
b
,
). Pembahasan
4a
2 a

titik balik, nilai ekstrem dan grafik fungsi kuadrat akan berlanjut
pada pembahasan tentang kalkulus differensial dan integral.

a x2

3.6 Cara melukis kurva y

b x c

a. Tentukan kurva terbuka (a>0) atau telungkup (a<0).
b. Tentukan titik potong dengan sumbu Y,
c. Tentukan titik potong dengan sumbu X kalau ada,
d. Tentukan sumbu simetrinya yakni garis x
e. Tentukan titik baliknya (

b
,
2 a

b2 4 a c
b
,
),dan
4a
2 a

f. Gambar!

Contoh:
Gambarkan grafik y

x2

x 3 pada koordinat kartesius!

Jawab:
a. Kurva terbuka (a =1).
Page | 68

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

b. Titik potong dengan sumbu Y (0, y):

y

02

y

(0, y)

3

0 3

Jadi, titik potong dengan sumbu Y adalah (0, 3).
c. Titik potong dengan sumbu X (p, 0) dan (q, 0) kalau ada:
x2

X (p, 0) dan (q, 0)

0

D

D 12

D
Jadi, grafik y

x2

x 3

4 1 3

11

x 3 tidak memotong sumbu X.

d. Sumbu simetri
x

b
2 a

x

1
=1/2
2 1

e. Tentukan titik baliknya
y

12

4 1 3
4 1

y 11 / 4

f. Gambar:

Page | 69

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Y

(0, 3)
(1/2, 11/4)
0

X

x = 1/2

3.7 Menentukan persamaan y

a x2

b x c

a. memotong sumbu X di (x1, 0) dan (x2, 0) serta melalui titik
(m, n).

y

a x2

y
a

x2

b
x
a

y
a

(x

x1 ) ( x

b x c
c
a

x2 )

Contoh:
Persamaan y

a x2

b x c memotong sumbu X di (-2,

0) dan (3, 0) serta memotong sumbu Y pada ordinat 6.
tentukan nilai a, b, dan c!
Page | 70

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Jawab:
y
a

(x

(-2, 0) dan (3, 0)

y
a

( x 2) ( x 3)

(0, 6)

6
a

(0 2) (0 3)

a

y

x2 )

1

y
1

Persamaannya:

x1 ) ( x

( x 2) ( x 3)

x2

x 6

Jadi, a = -1, b = 1, dan c = 6.
b. menyinggung sumbu X di (x1, 0) serta melalui titik (m, n).
y
a

( x x1 ) 2

c. memiliki titik ekstrem (xp, yp)
(y

yp )
a

(x

x p )2

d. melalui tiga titik sembarang.
Substitusikan

y

a x2

titik-titk

tersebut

pada

persamaan

b x c sehingga dihasilkan persamaan tiga

variabel dan pecahkanlah!

Page | 71

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

LATIHAN 3.1_____________________________________

a.

Sebuah fungsi f : X

Y sehingga untuk setiap anggota

x2

X

{x / x : 1

x

3, x

2 x 3 , dengan

menghasilkan

R}

titik-titik

pasangan bilangan (x, y) yang membentuk kurva parabola
pada koordinat kartesius. Gambarkan kurva tersebut!
Berapa nilai y maksimum dan minimumnya?
b.

Sebutkan

syarat-syaratnya

a x2

y

agar

persamaan

b x c memiliki sifat sebagai berikut:

1. Sumbu simetrinya berada di sebelah kiri sumbu Y,
2. tidak menyinggung sumbu X, dan
3. kurvanya telungkup.
c.

Dari
X

persamaan
{x / x :

x

a x2

y
,x

R}

b x c

manakah

dengan
pernyataan

berikut yang benar:
1. jika a>0 persamaan tersebut tidak memiliki nilai
maksimum.
2. jika

a<0

persamaan

minimumnya di

tersebut

memiliki

nilai

.

3. jika b<0 sumbu simetrinya berada di sebelah kanan
sumbu Y.
4. pasti memotong sumbu Y di (0, c).
Page | 72

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

5. jika nilai b 2

4 a c

0 akan memotong sumbu X.

6. tidak memotong garis y

2 c.

7. tidak memotong garis y

b x 2c

8. jika a>0 nilai minimumnya terjadi pada saat nilai x
terletak di antara –b/a dan +b/a.
d.

y

e.

x2

Persamaan y

2 x 3 dicerminkan terhadap garis

4 . Tentukan persamaan bayangannya!

Jika persamaan

y

x2

4 x c digeser horizontal

ternyata saling bersentuhan di titik baliknya dengan
persamaan y
f.

x2

2 x 3 . Nilai c adalah…

Jarak kedua titik potong parabola y

x2

p x 24 pada

sumbu X adalah 5 satuan, tentukan nilai p tersebut!
g.

Sebutkan himpunan nilai x yang membuat nilai y dari
persamaan y

h.

x2

3 x 7 lebih dari 5!

Agar ungkapan (t 1) x 2

2t x (t 4) bernilai negatif

untuk semua x, maka nilai t adalah….
i.

Apabila

grafik

fungsi

y

k x2

(k 4) x 1 / 2

seluruhnya di atas sumbu X maka nilai k tidak mungkin
sama dengan ....
j.

Tentukan persamaan dari kurva parabola berikut!

Page | 73

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Y

3

-1

0

3

X

MATLAB:

a.

Menggambar kurva parabola
Lakukan langkah-langkah seperti pada contoh di BAB 2.
Berikut adalah kode untuk membuat plot fungsi:

Buatlah sebuah m-file yang berisi perintah:
x=linspace(-5,5);
y=[1 -2 -3];
p=polyval(y,x);
plot(x,p,x,0), title('y=x^2-2x-3'), xlabel('x'),ylabel('y')

b.

Mencari akar-akar persamaan
Berikut adalah kode untuk mencari akar dari
Page | 74

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Buatlah M-File:
y=[1 -2 -3];
p=roots(y)

c.

Mencari nilai y jika x diketahui.
Contoh kode berikut untuk mencari nilai y dari fungsi:

Jika nilai x = 1;
y=[1 -2 -3];
p=polyval(y, 1);

__________________________________________________

Page | 75

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

BAB 4
FUNGSI MODULUS

Sebuah
himpunan
X

fungsi f : X
Y

{x / x :

berlaku
x

,x

Y sehingga

untuk

setiap

anggota

y

f (x) ,

dengan

persamaan

R} maka x telah dipetakan terhadap y

oleh fungsi modulus.

0

x

x
-x

<0

Contoh:
Sebuah fungsi f : X

Y sehingga untuk setiap anggota himpunan

Y berlaku persamaan y

x dengan X

{x / x : 3

x

2, x

R} .

Buatlah grafiknya!
Jawab:
untuk 0

x

2 maka y

x = y

x . Grafiknya adalah

sebelah kanan sumbu Y.
Titik-titiknya diantaranya: (0, 0), (1, 1), (1,9999; 1,9999),
dsb.

Page | 76

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

3

untuk

x = y

x 0 maka y

x . Grafiknya

adalah sebelah kiri sumbu Y.
Titik-titiknya diantaranya: (-0,00009; 0,00009), (-1, 1),
(2,2), (-3, 3), dsb.
Y
3
2
1

-3

-2

0

-1

1

2

3

X

-1

4.1 Menggeser Fungsi Modulus dalam Arah Horizontal
Dengan mentransformasi x menjadi x’–a maka tidak hanya
fungsi modulus semua fungsi akan tergeser:
a. ke kanan sejauh a satuan untuk a>0
b. ke kiri sejauh a satuan untuk a<0

Contoh:
Gambarlah grafik y

2 x dan grafik y tersebut yang sudah

digeser 1 satuan ke kiri!

Page | 77

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Jawab:
grafik y

2 x (yang sebelah kiri):

grafik y

2 x (yang sebelah kanan): digeser ke kiri sejauh

1 satuan, maka a = -1, dan x = x’ + 1.

y

2( x' 1)

y

2 x' 2

Contoh titik yang bergeser: (1, 2)

(0, 2), dan (-1, 2)

(-

2, 2).
Y
3

3

2

2

1

-2

Y

1
0

-1
-1

1

2 X

-3

-2

-1

0

1

X

-1

Dengan semua nilai x ditambah satu satuan menjadikan seolaholah sumbu X digeser satu satuan ke kanan relatif terhadap sumbu
Y awal.

Page | 78

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

4.2 Menggeser Fungsi Modulus dalam Arah Vertikal
Dengan mentransformasi y menjadi y’–b maka tidak hanya
fungsi modulus yang akan tergeser, tapi semua fungsi.
a. ke atas sejauh b satuan untuk b>0
b. ke bawah sejauh b satuan untuk b<0

y

x

y b

x

Y
3

3

2

2

1

b>0

Y

1

b<0

-2

0

-1

1

2 X

-2

0

-1

-1

1

2 X

-1

LATIHAN 4.1_____________________________________
a.

Gambarkan fungsi grafik y 2

x!

b.


( x 1) 2 !

c.


x2

2x 1 !

Page | 79

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

MATLAB:

a.

Membuat plot fungsi mutlak

Dalam rentang
x=linspace(-2,2);
y=abs(x.^2-3*x)+5;
plot(x,y,'g'), xlabel('x')
b.

Memasukkan nilai x ke dalam fungsi mutlak.
Berikut adalah kode untuk mengganti nilai x dengan 3 pada:

a=2;
y=abs(a^2-3*a)+5

Page | 80

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

BAB 5
FUNGSI POLINOM

5.1 Bentuk umum
Sebuah

fungsi f : X

Y sehingga

untuk

setiap

anggota

himpunan Y berlaku persamaan:

F ( x)

an x n

an 1 x n

1

.....

a2 x 2

a1 x a 0

disebut fungsi polinom berderajat n, dengan ciri:
a.

Derajat (pangkat) tertinggi adalah n,

b.

Koefisien suku (variabel) dari an sampai a0,

c.

koefisien suku tetap adalah a0.

Contoh:
Dari fungsi polinom F ( x)

(x3

2 x) ( x 2

4 x 1) Tentukan:

derajat, koefisien suku x4, dan suku tetap polinom tersebut!
Jawab:

F ( x)

(x3

F ( x)

x5

2 x) ( x 2
4x 4

4 x 1)

3x 3 8 x 2

2x 0

derajat: 5
koefisien suku x4 : -4
suku tetap (a0) : 0

Page | 81

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

5.2 Nilai polinom
a.

cara substitusi
Nilai F (h) dengan h adalah suatu bilangan diperoleh dengan

mensubstitusikan h ke dalam fungsi:

F ( x)

an x n

an 1 x n

(x3

1

2 x) ( x 2

.....

a2 x 2

a1 x a 0 .

Contoh:
Tentukan nilai F ( x)

4 x 1) dengan x = 2!

Jawab:

F ( x)

(x3

2 x) ( x 2

F (2)

(2 3

2 2) (2 2

F (2)

(12) ( 3)

F (2)

4 x 1)
4 2 1)

36

b. cara skema/bagan
Metode/cara lain mendapatkan nilai F (h) adalah metode
skema/bagan seperti pada contoh berikut:
Contoh:
Tentukan nilai F ( x)

(x3

2 x) ( x 2

4 x 1) dengan x = -1!

Jawab:
Pertama, ubah fungsi tersebut ke dalam bentuk standard:

F ( x)

(x3

2 x) ( x 2

4 x 1)
Page | 82

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

F ( x)

x5

4x 4

3x 3 8 x 2

F ( x)

((((( ) x 4) x 3) x 8) x 2) x 0
1

2x 0

Kedua, dari bentuk terakhir tersebut buat skema dan
selesaikan:
F ( 1)

koefisien suku-suku

-1

1

-4

3

-8

2

0

-1

5

-8

16

-18

-5

8

-16

18

-18

x

1
Jadi, F ( 1)

18

5.3 Operasi pembagian pada polinom
a.

Cara susun

Contoh:

(2 x 3
Jawab:

5x 2

7 x 6) : ( x 2) .... ?
2x 2 x 5
5x 2 7 x 6

x 2 2x3
2x 3

4x 2
x 2 7x
x2

2x

5x 6
5x 10

4
Page | 83

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Jadi,

(2 x

F(x)
P(x)
2
5 x 7 x 6) : ( x 2)

3

Hasil : (2 x 2
Sisa

H(x)
P(x)
S
{( 2 x x 5) ( x 2)} 4
2

x 5) ,

:4

b. Dengan skema
Hasil
(2 x 2

dari

x 5)

(2 x 3

:
4

x 2

(2 x 2

(2 x 2

5x 2

7 x 6) : ( x 2)

adalah

. Hasil ini juga bisa dirubah menjadi bentuk:

4

x 5)

( x 2)

x 2

x 5) (x 2)

4

Bentuk terakhir ini terlihat bahwa bagian yang bergaris bawah
memiliki faktor (x 2) .Jika faktor tersebut disetting sama dengan
nol (x 2)

0 haruslah bagian yang bergaris bawah sama dengan

nol juga. Sehingga didapat angka sisa yakni 4.
(x 2)

x

0

2
(2 2 2

2 5) (x 2)

(11) (0)

0

4

4

4
Page | 84

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Nilai sisa ini sama persis dengan yang didapat dengan cara
susun. Prinsip inilah yang dipakai pada metode skema seperti
berikut:

x

2
2

2

-5

7

-6

4

-2

10

-1

5

koefisien

4

suku

2

Bagian yang bergaris bawah menjadi koefisien hasil:

(2 x 2

x 5) dan angka 4 menjadi sisa. Jadi, cara skema

mensubstitusi x dengan angka yang didapatkan ketika pembagi
disetting nol.
Jadi, secara umum fungsi polinom dan pembaginya dapat
diekspresikan dalam bentuk:
Fungsi
F ( x)

Hasil Pembagi Sisa
H ( x) P( x) S

Jika ada bilangan n sehingga pembagi P(n) menjadi nol,
perkalian hasil dan pembagi H (n) P(n) menjadi nol juga sehingga
fungsi akan sama dengan sisa F (n)

S.

F (n)

H (n) P(n) S

F (n)

H (n) 0 S

F (n)

S

Page | 85

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

5.3.1 Pembagi ( ax b )
F ( x)

H ( x) P( x) S

F ( x)

H ( x) (ax b) S

P( x)

ax b

P(n)

a n b

0

b
a

n

P ( n)

b
)
a

F(

a

b
a

b=

b b

0

S

Contoh:

(2 x 3

x2

x 10 ) : (2 x 3) ....

Jawab:

2x3

x2

x 10

H ( x) (2 x 3) S

0,

a = 2, b = 3

(2 x 3)

x

3
2

-3/2

2

H ( x)

1
(2 x 2
a

1

10

-3
2

1

3

-6

-2

4

4

2 x 4) , Jelaskan

mengapa

harus

dibagi dengan a!

Page | 86

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

x2

H ( x)

x 2

Jadi,

2x3

x2

5.3.2 Pembagi ( ax 2

(x 2

x 10

x 2) (2 x 3) 4

bx c )

F ( x)

H ( x) P( x) S

F ( x)

H ( x) (ax 2

Bentuk

pembagi

P( x)

bx c) S

ax 2

bx c

memiliki

dua

kemungkinan:
d. Tidak mudah atau tidak bisa difaktorkan
Pakailah cara susun biasa.
e. Bisa dan mudah difaktorkan
Bisa memakai cara susun dan skema.
Contoh:

(2 x 4

5x 3

8 x 2 10 x 15 ) : ( x 2

(2 x 4

5x 3

8 x 2 10 x 15 )

H ( x) ( x 2

(2 x 4

5x 3

8 x 2 10 x 15 )

H ( x) ( x 1)( x 3) S

2 x 3) ....

Jawab:

x

2 x 3) S

3
3

1

2

-5

8

-10

15

6

x

2

3

33

69

1

11

23

84
Page | 87

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

-1

-2

-12

-1

2

1
12

11

Jika yang dipakai adalah akar x = -1 terlebih dulu
hasilnya juga sama:
-1

-5

8

-10

15

-2

7

-15

25

-7

15

-25

40

6

-3

36

2

-1

12

11

Hasil

: 2x 2

x 12

Sisa

: px q

3

x
x

2

2

3 : p 3 q 84
1: p

1 q

40

p 11
q

51

Jadi, sisa: 11x 51

(2 x 4 5 x 3 8 x 2 10x 15)
(2 x 2

x 12) ( x 2

2 x 3) (11x 51)

5.4 Teorema sisa
a. F (x) dibagi dengan ( x h ) sisanya adalah F (h) .
b. F (x) dibagi dengan ( ax b ) sisanya adalah F ( b / a) .
Kedua dalil sudah dibuktikan pada pembahasan di atas.
Page | 88

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

5.5 Pembagi berderajat dua atau lebih

F ( x) : (ax 2

a.

bx c)

H ( x) (ax 2

bx c) ( px q)

Sisa : px q

F ( x) : (ax 3 bx 2

cx d )

H ( x) (ax 3 bx 2

b.

cx d ) ( px 2

Sisa : px 2

qx r )

qx r

Contoh:
1.

Tentukan sisa dari (2 x10

4x8

5x 2

7) : ( x 2 1) !

Jawab:
F ( x)

H ( x) P( x) S ( x)

P( x)

x2 1

P(x)

0

F (1)

=

(2 110

4 18

x 2 1 0 , x = 1 dan x = -1

5 12

7) 10

F ( 1) =

(2 ( 1)10

4 ( 1) 8

5 ( 1) 2

7) 10

F ( x)

H ( x) ( x 2 1) ( p x q)

F (1)

H (1) (12 1) ( p 1 q) =10
p q 10

F ( 1)

H ( 1) (( 1) 2 1) ( p

1 q) =10
Page | 89

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

p q 10

Maka p = 0, dan q = 10.
Jadi, sisanya adalah 10.

2.

Diketahui:

F (x) dibagi dengan (x 2) sisa 7.
F (x) dibagi dengan (x 3) sisa -8.
2
F (x) dibagi dengan ( x

x 6) sisa ….

Jawab:
F ( x)

H ( x) P( x) S ( x)

F ( x)

H ( x) ( x 2) 7

F (2)

H (2) (2 2) 7 =7

F ( x)

H ( x) ( x 3) 8

F ( 3)

H ( 3) ( 3 3) 8 = -8

F ( x)

H ( x) ( x 2

F ( x)

H ( x) ( x 2)(x 3) ( px q)

F (2)

H (2) (2 2)(2 3) ( p 2 q) =7

2p
F ( 3)

q

x 6) S ( x)

7

H ( 3) ( 3 2)( 3 3) ( p
3p q

3 q) = -8

8

maka p = 3 dan q = 1
Jadi, sisanya adalah: 3x 1 .

F ( x)

H ( x) ( x 2

x 6) (3x 1)
Page | 90

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

5.6 Teorema faktor
Ada ( x h)
F (h)

yang merupakan faktor dari

F (x) , maka

0 . Artinya adalah bahwa ( x h) merupakan salah satu

faktor pembentuk persamaan F (x) .

Contoh:
Buktikan bahwa (x 2) merupakan salah satu faktor dari

x3

persamaan F ( x)

x2

8x 6 !

8x 6

adalah

Jawab:
x3

x2

(x2

x 6) ,

jadi

F ( x)

x3

x2

F (2)

2
(2 2) . ( 2

sama

(x 2)

dengan

pastilah

(x 2) .

faktor

dari

8x 6 .
2 6) = 0

Beberapa kesimpulan berikut didapat dari pembahasan di atas.
a. Jika pada suku banyak berlaku F (a)
dan F (c)

0 , F (b)

0,

0 maka F (x) pasti habis dibagi dengan

( x a ) . ( x b) . ( x c) .

b. Jika ( x a) adalah faktor dari F (x) maka a adalah
akar dari F (x) .

Page | 91

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

c. F (x) jika dibagi dengan ( x a) . ( x b) didapatkan
sisa:
x a
F (b)
b a

S

d. F (x)

jika

dibagi

x b
F (a)
a b

dengan

( x a ) . ( x b) . ( x c)

didapatkan sisa:
S

( x a ) ( x b)
F (c )
(c a ) (c b )
( x b) ( x c )
F (a)
( a b) ( a c )

( x a) ( x c)
F (b)
(b a) (b c)

Contoh:
Tentukan sisa dari (2 x 4

5x 3

8 x 2 10 x 15 ) : ( x 2

2 x 3) !

Jawab:
x2

2 x 3 = ( x a ) . ( x b)

= (x 1) . (x 3)
S

x a
F (b)
b a

S

x 1
84
3 1

x b
F (a)
a b

x 3
40
1 3

(lihat

contoh

pada

subbab pembagi!)

S

21x 21 10x 30

S 11x 51

Page | 92

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

5.7 Jumlah dan hasil kali akar-akar
a.

ax 2

bx c

0

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan tersebut maka:
(x

x1 ) . ( x

x1

x2

ax 3

bx 2

0

b
a
c
a

x1 x 2

b.

x2 )

cx d

0

Jika x1, x2, dan x3 adalah akar-akar persamaan tersebut
maka:
(x

x1 ) . ( x

x1

x2

x1 x2

x2 ) . ( x

0

b
a

x3
x1 x3

x1 x2 x3

x3 )

x 2 x3

c
a

d
a

5.8 Contoh-contoh Grafik Polinom :
1. y

x( x 1)(x

2)

3 x 2

Akar –akar persamaan persamaan

x( x 1)(x

2)

0

adalah: -2, 0, 1.

Page | 93

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Y
8
6
4
2
X
-3

-2

-1

1

2

-2
-4

Grafik ini memotong sumbu X di (-2,0), (0,0), (1,0) .
Saat nilai x terus berkurang dari -2 grafik akan terus turun.
Saat nilai x terus bertambah dari 1 grafik akan naik terus.
Jika diperhatikan seolah-olah bisa ditarik garis lurus dari
kiri bawah ke kanan atas. Sifat itu hanya dimiliki oleh
fungsi polinom derajad ganjil. Fungsi tersebut berderajad
tiga.
2. y

( x 2) 2 ( x 1)( x

2)

3

x 3

Y
25
20
15
10
5
X
-3

-2

-1

1

2

3

Page | 94

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Grafik ini memotong sumbu X di (-2,0), (-1,0).
Menyinggung sumbu X di (2,0)
Saat nilai x terus berkurang dari -2 grafik akan terus naik
(nilai y selalu positif).
Saat nilai x terus bertambah dari 2 grafik akan naik terus
Jika diperhatikan seolah-olah bisa dibuat grafik parabola
dari kiri atas, ke bawah kemudian ke kanan atas (ingat
fungsi kuadrat!). Sifat itu hanya dimiliki oleh fungsi
polinom derajad genap. Fungsi tersebut berderajad empat.
Perhatikan pengaruh nyata dari faktor ( x 1)(x 2) yang

2 x 0.

seolah-olah membentuk cekungan parabola di

Juga pengaruh nyata faktor (x 2) 2 di sekitar x = 2.
3. y

( x 2) 2 (2 x 1) 3 ( x

2)

3 x 3
Y
200
150
100
50

-3

-2

-1

1

2

3

X

-50

Grafik ini memotong sumbu X di (-2,0), (-1,0).
Page | 95

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Menyinggung sumbu X di (2,0)
Saat nilai x terus berkurang dari -2 grafik akan terus naik
Saat nilai x terus bertambah dari 2 grafik akan naik terus
Jika diperhatikan seolah-olah bisa dibuat grafik parabola
dari kiri atas, ke bawah kemudian ke kanan atas (ingat
fungsi kuadrat!). Perhatikan pengaruh nyata dari faktor
( x 1)(x 2)

parabola di

yang seolah-olah membentuk cekungan

2 x 0 . Pengaruh nyata faktor (x 2) 2 di

sekitar x = 2. Pengaruh nyata faktor ( 2 x 1) 3 ada di
1,5

4. y

x 1

x( x

2)(x 1)(x

3 x 3

2)(1 x)
Y

10
5
X
-3

-2

-1

1

2

3

-5
-10

Saat nilai x terus berkurang dari -2 grafik akan terus naik.
Saat nilai x terus bertambah dari 2 grafik akan terus turun.
Page | 96

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Jika diperhatikan seolah-olah bisa ditarik garis lurus
bergradien negatif dari kiri atas ke kanan bawah. Ini adalah
pengaruh nyata dari faktor (1 x) .
5. y

x6

4x 4

x3

x2

2

3 x 3

Y

20

10

X
-3

-2

-1

1

2

3

-10

Coba buat perkiraan letak akar-akar persamaan fungsi
tersebut dan simpulkan!

LATIHAN 5.1_____________________________________
c.

Dari fungsi polinom

F ( x)

(x3

2x 2 ) (x 2

4 x 1)

Tentukan: derajat, koefisien suku x4, dan a0 polinom
tersebut!
d.

Tentukan nilai A dan B jika,
A
x 3

B
x 2

1 2x
!
x
x 6
2

Page | 97

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

e.

Nilai sebuah polinom F (0) = 0, maka a0 =…..

f.

Tentukan

F ( x)
g.

Tentukan

F ( x)
h.

(x3

Tentukan

F ( x)
i.

2x 5

(2 x 3

nilai

x4

3x 3

dari

fungsi

dari

F (0)

4x

nilai

x2

fungsi

fungsi

2x 0 !

nilai

x2 ) (x2

dari

F ( 2)

5) !
F ( 1)

x 10 ) : (2 x 3) !

Tentukan jarak terdekat garis x = 5 dengan titik (2, y)
grafik fungsi: f ( x)

(2 x 4

x3

j.

Tentukan hasil dan sisa dari (2 x 3

k.

Hasil dan sisa dari (2 x 4

x3

8 x 2 10 x 5) !
x2

x 6) : ( x 2) !

8 x 2 10 x 5) : ( x 2

4)

adalah….
l.

Hasil dan sisa dari:

(2 x 4
m. Diketahui:

5x 3

8 x 2 10 x 15 ) : (2 x 2

F (x) dibagi dengan (x

x 1) ....

2) sisa 2.

F (x) dibagi dengan (x 3) sisa -3.
2

n.

2

x 6) sisa ….

2 x 3) sisa (5x 7) tentukan

sisanya jika F (x) dibagi dengan (x 3) !

Page | 98

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

o.

Sebuah fungsi F (x) berderajat 3 memotong sumbu X di
titik (-2, 0), (1, 0), dan (3, 0). Tentukan sisanya jika F (x)
dibagi dengan (x 1) !

p.

Mana di antara pernyataan berikut yang paling tepat:
a.
b.

fungsi polinom F (x) selalu memotong sumbu X,

c.

titik potong pada sumbu Y selalu di (0, a0).

d.
q.

fungsi polinom F (x) selalu memotong sumbu Y,

Jumlah hasil dan sisa adalah F (x) itu sendiri.

Gambarkan
2

x

2, x

kurva

y

2x3

x2

x 6

dengan

R!

MATLAB:

a. Membuat plot fungsi polinom

x = linspace(-3,3);
y=[1 -2 -3 5];
n=polyval(y,x);
plot(x,n,x,0), xlabel('x')

Page | 99

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

b. Mencari akar-akar polinom
Berikut adalah kode untuk mencari akar dari

Buatlah M-File:
y=[1 -2 -3 5];
n=roots(y)

c. Memasukkan nilai x pada fungsi polinom
Contoh kode berikut untuk mencari nilai y dari fungsi:

Jika nilai x = -2;
y=[1 -2 -3 5];
n= polyval(y, -2);

d. Pembagian Polinom, Hasil, dan Sisa
Contoh kode berikut untuk mencari hasil H(x) dan sisa S(x)
dari pembagian polinom

dibagi

dengan
P=[1 -2 -3 5];
Q=[1 -2 1];
[H,S]=deconv(P,Q)
Page | 100

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Jika Anda run program tersebut pada Command Window,
hasilnya adalah:
H=
1

0

S=
0

0 -4

5

Artinya adalah:

, dan

e. Perkalian Polinom
Contoh kode berikut untuk mencari hasil perkalian polinom
dengan
P=[1 -2 -3 5];
Q=[1 -2 1];
H=conv(P,Q)

Hasilnya:
H=
1 -4

2

9 -13

5

Artinya:

__________________________________________________
Page | 101

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

BAB6
FUNGSI EKSPONENSIAL

6.1 Persamaan Eksponen
Sebelum membahas tentang fungsi eksponen terlebih dahulu
dilakukan pembahasan tentang persamaan eksponen seperti
berikut.
1) a n

a a a ..... a sebanyak n.

am an

2) a1

am

3) a 0

8)

am

9)
am n

1
an

n

( a b) n

5) a

n

1

(a m ) n

4) a

n

a

am
an

1
n

a
( )n
b

n

7)

10)
an bn

a

11)

an
bn

Page | 102

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

6) a

m
n

n

am

e 0,6931...

12)

2

Berikut bentuk-bentuk persamaan eksponen.
1. Bentuk I

a f ( x)

1

f (x)

0

Contoh:
Carilah himpunan X yang membuat

3x

2

3x 2

1!

Jawab:
x2

3x 2

0

( x 1) ( x 2)

x 1, x

0

2

Jadi, X={1, 2}

2. Bentuk II

a f ( x)

ap

f ( x)

p

Contoh:
Carilah x yang membuat

27 2x

1

1/ 81 !

Jawab:

27 2x

1

1/ 81
Page | 103

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

3

3( 2 x 1)
2

3

4

3(2 x 1)
2

4

6x 3

8

x

5/ 6

3. Bentuk III

a f ( x)

a g ( x)

f ( x)

g ( x)

Contoh:
Carilah x yang membuat 9

x 1

32 x 8
!
27

Jawab:

9x

32 x 8
27

1

32 x

2

(3 2 x

32 x

2

3

8

3 3 )1 / 2

2x 8
2

2x 2

2x 8
2

4x 4

2x 8

x

6

Page | 104

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

4. Bentuk IV

a f ( x)

b f ( x)

f (x)

Carilah x yang membuat 3 x

2

3x 4

5x

2

0

3x 4

!

Jawab:
x2

3x 4

0

( x 1) ( x 4)

x

0

1, x

4

5. Bentuk V

a f ( x)

bp

log( a f ( x ) )
f ( x) log(a)

log(b p )
p log(b)

f ( x)

p log(b)
log( a )

f ( x)

p a log(b)

Materi logaritma dibahas setelah subbab ini.
Contoh:

2

10 !

Jawab:
5

log(5 x 2 )

5

log(10 1 )

Page | 105

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

( x 2) 1 5 log 10
x

2

5

log 10

6. Bentuk VI

a f ( x)

b g ( x)

log( a f ( x ) )

log(b g ( x ) )

f ( x) log(a)

g ( x) log(b)

Contoh:

2

10

x

!

Jawab:
5

log(5 x 2 )

5

log(10 x )
x 5 log 10

( x 2) 1

x (1 5 log 10 )
x ( 5 log 5

5

log 10 )

x ( 5 log 5 10 )
x

5

2
2

2

2
log 50

Page | 106

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

7. Bentuk VII

A(a f ( x ) ) 2
A( y ) 2

B(a f ( x ) ) c

By

c

0

0

y

a f ( x)

Contoh:

2

28 3 x !

3

Jawab:
32 x

2

28 3 x

3

0

3 x 2 32

28 3 x

9 (3 x ) 2

28 (3 x ) 3

9y2

28 y 3

(9 y 1) ( y 3)

3

0

0
y

0

3x

0

y

1
9

1
9

3x , x

y

3

3

3x , x 1

2

8. Bentuk VIII

H ( x) f ( x )

H ( x) g ( x )

Maka penyelesaiannya adalah:
a. f ( x)

g ( x)

b. H (x) 1
Page | 107

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

c. H (x)

0 dengan syarat nilai x haruslah membuat f (x)

dan g (x)

0 kenapa? Jelaskan! (petunjuk

d. H (x)

1
0

0

).

1; dengan syarat f (x) dan g (x) sama-sama

genap atau sama-sama ganjil. Kenapa?

Contoh:
Carilah x yang membuat ( x 2

6 x 8) 3 x

5

(x2

6 x 8) 2 x

1

!

Jawab:
Solusinya adalah:
f ( x)

g ( x)

3x 5 2x 1
x

6

masukkan

dalam

persamaan

813

813 ,

terbukti.
H (x) 1

x2

6x 8 1

x2

6x 7

3

H (x)

x2

( 6) 2
2 1

( 6)

x1, 2

x

0

2

4 1 7

satu pangkat berpapun sama dengan satu.

0

6x 8

0

( x 2) ( x 4)

0

Page | 108

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

x
g (x)

2, x

4 nilai ini di uji apakah membuat f (x)

0 dan

0.

x

2

f (x)

0

3 2 5 0
Jadi, x

g (x)

0

2 2 1 0

2 adalah salah satu penyelesaian (solusi).
x

4

f (x)

0

3 4 5 0

g (x)

0

2 4 1 0

Jadi, x

4 adalah juga salah satu penyelesaian (solusi).

H (x)

1

x2

6x 8

x2

6x 9

( x 3) 2

x

1

0

0

3 nilai ini harus diuji apakah membuat f (x) dan g (x)

sama-sama genap atau sama-sama ganjil

x

f (x)

g (x)

Jadi, x

3

2 3 1 (ganjil)

3 3 5 (genap)

3 bukan solusi.

Jadi solusinya adalah { 3

2 , 2, 4, 6}

Page | 109

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

6.2 Pertidaksamaan eksponen

a f ( x)

a g ( x)

Nilai x untuk pertidaksamaan adalah:
a. Jika a>1, f ( x)
b. Jika 0<a<1, f ( x)

g ( x)
g ( x)

Contoh:
Carilah x yang membuat 2 2 x

5

8x

1

!

Jawab:
Solusinya adalah:
22x

5

8x

1

22x

5

23( x

1)

(a =2) >1
f ( x)

g ( x)

2x 5 3x 3
8

x

Jadi, himpunan nilai x untuk persamaan tersebut adalah X ={

x/ x: x

8 }.

Page | 110

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

6.3 Fungsi Eksponensial
Fungsi f : X

Y sehingga untuk setiap anggota himpunan Y

ax , a

berlaku persamaan y

0 dan a 1 disebut fungsi

eksponen.
Contoh:
2 x dengan batas nilai x:

y

Gambarlah grafik

2

x

2

pada koordinat kartesius!
Jawab:

x

2

y

2

2

= 0,25

x

1

y

2

1

= 0,5

0

y

20 = 1

x 1

y

21 = 2

x

y

22 = 4

x

2

Gambar:
Y
4
3
2
1
-3

-2

-1

0

1

2

3

X

Page | 111

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

6.4 Contoh Grafik Eksponensial :
1. y

2

x

2

x

2
Y
4

3

2

1

-2

-1

1

2

X

Fungsi ini tidak pernah memotong sumbu X. Tetapi memotong
sumbu Y di (0, 1). Satu-satunya cara agar fungsi ini memotong
sumbu Y selain di (0, 1) adalah dengan menambah konstanta
misal y

2

x

3 , maka fungsi ini akan memotong sumbu Y di

(0,4). Fungsi ini selalu menghasilkan nilai y selalu positif
sehingga fungsi berada di atas sumbu X. Untuk mempertajam
grafik dilakukan dengan cara mengalikan x dengan konstanta
atau memberinya pangkat misal: y

2

3x

atau

y

2

x2

.

Page | 112

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

2.

y

21

x2

3 x 3
Y
2

1.5

1

0.5

-3

-2

-1

1

2

3

X

Fungsi ini tidak pernah memotong sumbu X. Tetapi memotong
sumbu Y di (0, 2). Titik ini sekaligus puncakgrafik. Grafik
membentuk genta simetris. Mengapa?
Bagaimana caranya untuk menggeser grafik ke kanan atau ke
kiri?
Bagaimana caranya agar grafik memotong sumbu X?
Apa pengaruhnya jika di depan variabel x ditambah faktor
pengali kontan misal 5? Apa pengaruhnya jika konstanta itu:
bulat positif, pecahan positif, bulat negatif, dan pecahan
negatif?

Page | 113

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

3.

y

x 21

x2

3 x 3
Y
1

0.5

X
-3

-2

-1

1

2

3

-0.5

-1

Dengan adanya faktor pengali x di depan angka pokok
menjadikan fungsi ini memotong kedua sumbu di (0,0). Faktor
pengali itu juga memangkas grafik
daerah

y

21

x2

sehingga di

1 x 1 bertransformasi seolah-olah membentuk

garis lurus dengan gradien 1. perhatikan lagi kedua grafik di
atas. Sebutkan pengaruh faktor pengali x yang lain dengan
memperhatikan grafik!

Page | 114

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

4.

y

x2

x 2 21

3 x 3
Y
1
0.8
0.6
0.4
0.2

-3

-2

-1

1

2

3

X

Grafik ini menyinggung sumbu X di (0,0). Selain titik itu
semua titik berada di atas sumbu X. Pengaruh nyata dari faktor
pengali x 2 adalah mentransformasi daerah

1 x 1 menjadi

seolah-olah adalah kurva parabola. Sebutkan pengaruh faktor
pengali x 2 yang lain!
5.

y

ex

0

x

2

Y
7
6
5
4
3
2
1
0.5

1

1.5

2

X

Page | 115

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Grafik fungsi y

e x selalu naik ke kanan atas dan tidak

pernah berpotongan dengan sumbu X. Grafik fungsi ini akan
memiliki banyak sekali penerapan, misal dalam persamaan
differensial untuk getaran. Fungsi ini akan menunjukkan
apakah suatu sistem stabil atau tidak.
Pemberian konstanta di depan variabel x akan mempertajam
grafik dengan cepat, begitu juga dengan pemberian pangkat.
Apa pengaruhnya jika konstanta yang diberikan bernilai:
positif, dan negatif? Apa pengaruhnya terhadap grafik jika
pangkat yang diberikan pada variabel x: genap, dan ganjil?
6.

y

e

3x

0

x

2

Y
1
0.8
0.6
0.4
0.2

0.5

1

1.5

2

X

Grafik fungsi ini memiliki nilai maksimum 1, kenapa? Nilai
maksimum atau minimum tersebut tentunya bergantung pada
konstanta di depan nilai pokok e.

Page | 116

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

LATIHAN 6.1_____________________________________
1

27 x 3 adalah…

1.

Akar persamaan 35 x

2.

Bila

3.

Nilai x yang memenuhi persamaan 2 2 x

, maka nilai x =….
2

2x

2

1 0

adalah….
4.

Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan 5 x

6( 5 ) x

5

0,

maka x1+ x2 =….
5.

Nilai x yang memenuhi persamaan 5 x

2

3x 2

3x

2

3x 2

adalah….
9 x 1

6.

Jika

7.

Jika 4 x

8.

Diketahui f ( x)

x

4

x 4 maka x 3
7 , maka 8 x

32 x

33

2x

Gambarlah fungsi y

2

x

8

x

….

x2

….

dan f (a)

f (b) 12 , maka

a b ….
9.

dan y

2 x pada koordinat

kartesius!
10. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

3x

2

3x 4

1

adalah…
11. Batas-batas nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
5x

1

3 5

x

2

0 adalah…

Page | 117

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

MATLAB:

a.

Membuat Plot Fungsi Eksponensial
Kode berikut digunakan untuk membuat plot fungsi

pada rentang nilai x:

:

x=linspace(-2,2);
y=(2.^x).*(exp(-x.^2));
plot(x,y), xlabel('x')

b.

Membuat Plot Dua Buah Fungsi Eksponensial

dan


:

x=linspace(-2,2);
y=(2.^x).*(exp(-x.^2));
y1=1-(2.^(1-x.^2);
plot(x,y,,’r’,x,y1,’g’), xlabel('x')
Grafik fungsi y berwarna merah (r=red), dan grafik fungsi y1
berwarna hijau (g=green)
__________________________________________________
Page | 118

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

BAB 7
FUNGSI LOGARITMIK

7.1 Persamaan logaritma
Sifat-sifat logaritma:
1)

a

n maka a n

log b

b

b dengan a

0 dan a 1 ,

0

a disebut bilangan pokok, dan b disebut numerus.
2)

a

log x y

a

contoh:
3)

a

log

x
y

a

4)

a

log x n

am

10

log y

log 100 1000
a

log

10

log 100

10

log 1000 = 5

log y
1000
100

10

log 1000

10

log 100 =3-2=1

n a log x

contoh:
5)

10

log x

contoh:

a

log x

log x n

10

log 100 2

10

log 10000

2 10 log 100 = 4

n a
log x
m

contoh:
102

log 104

100

log 10000

4 10
log 10 2
2
Page | 119

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

6)

a

log x

x

1
, x
log a

contoh:
p

7)

a

log x

p

10

0 dan x 1

log 100

log x
, p
log a

100

1
log 10

0 dan p
10

100

contoh:

log 10000

2 (memakai sifat 4)

1

log 10000
log 100

10

4
2

2 , dan

seterusnya.
8)

a

log x x log y
m

9)

(a )

10) a log

b
c

an

a

log y

log b

a

log

b

m
n

c
b

11) e log b ditulis ln b , e : bilangan alam (2,71828…)
12) ln 2

0,6931...

13) 10 log x biasa ditulis log x saja.

Page | 120

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

7.2 Bentuk-bentuk Persamaan Logaritmik:
1. Bentuk I

a

log f ( x)

a

log p

f ( x)

p dan f (x)

0

Contoh:
Carilah
3

nilai

x

yang

3

log( x 6) 1

persamaan

log( x 6) 1 !

3

log( x 4)

memenuhi

Jawab:
3

log( x 4)

3

log( x 4) ( x 6)

( x 4) ( x 6)

x 2 10x 24

3

(sifat 2)

log 3

3

3

x 2 10x 21 0

( x 3) ( x 7)

x
3

3 x

7

log(3 4)

0

cek dengan mensubstitusikan ke persamaan!
3

log(3 6) 1 terlihat bahwa untuk x

3 sifat 1

tidak dipenuhi.
Hanya x

7 yang memenuhi persamaan tersebut.

Page | 121

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

2. Bentuk II

a

a

log f ( x)

log g ( x)

f ( x)

0 , g (x)

f (x)

g ( x) dan

0

Contoh:
Carilah
log( x 2

nilai

x

yang

5 x 10 ) log(3x 5)

memenuhi

persamaan

0 !

Jawab:
(x2

5 x 10 )

(3x 5)

(x2

2 x 15 )

0

( x 3) ( x 5)

0

Hanya x

3 yang memenuhi persamaan.

3. Bentuk III

a

log f ( x)

b

log f ( x)

f (x) 1 menjadi solusi.

Contoh:
Carilah
3

log( x 2

nilai
5 x 5)

x
4

log( x 2

yang

memenuhi

persamaan

5 x 5) !

Jawab:
x2

5x 5 1

Page | 122

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

x2

5x 4

0

( x 1) ( x 4)

x 1 dan x

0

4

4. Bentuk IV

h( x)

Solusi:

h( x)

log f ( x)

log g ( x)

0 , g (x)

f (x)

0 , h(x)

0 , dan h(x) 1

Contoh:
Carilah
x 2

1
log x

nilai
x

x

yang

log( x 3)

x

log( x 3)

x

log 4

8

log 4

8

memenuhi

persamaan

1
!
log x

Jawab:
x 2

1
log x

x

x

log( x 2)

x

x

log( x 2) ( x 3) 4

log( x 3)

( x 2) ( x 3) 4
( x 2) ( x 3)

x2

5x 6
5x 4

log 4

x

log 8

log 8

8
2

2

x2

x

x

1
log x

0

Page | 123

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

( x 1) ( x 4)

x 1 dan x
Hanya x

0

4
4 solusinya, silahkan cek!

7.3 Pertidaksamaan logaritma

a

b

log f ( x)

log f ( x)

Solusi untuk pertidaksamaan logaritma tersebut adalah:
1. jika a 1 maka f ( x)
g (x)

g ( x) serta f (x)

0,

g ( x) serta f (x)

0,

0

2. jika a 1 maka f ( x)
g (x)

0

Contoh:
Tentukan
5

himpunan

penyelesaian

pertidaksamaan:

log( 2 x 3) 1 !

Jawab:
Solusinya adalah:

1

5

log(2 x 3)

3

4

1

2

3

4

2

3

4

log( 2 x 3) 1

5

2

(a =5) >1
f ( x)

5

log 5

g ( x)

Page | 124

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

2x 3 5

x

4
0 , g (x)

f (x)

0

2x 3 0

x 3/ 2
Jadi
X

himpunan
{x / x : 3 / 2

x

4, x

penyelesaiannya

adalah

R} .

7.4 Fungsi Logaritmik
Fungsi f : X

Y sehingga untuk setiap anggota himpunan Y

berlaku persamaan y

a

log g ( x) , a

0 , dan a 1 , serta g (x)

0

disebut fungsi logaritma.
Contoh:
Tentukan himpunan bilangan bulat y dengan y
batas nilai x: 3

3

log x dengan

x 82 !

Jawab:
y

3

log x

(3, _ )

y

3

y

3

log 9 = 2

(27, _ )

y

3

log 27 = 3

(81, _ )

y

3

x 82

log 3 = 1

(9, _ )

: 3

log 81 = 4

Himpunan bilangan bulat y adalah Y={1, 2, 3, 4}
Page | 125

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

7.5 Contoh Grafik Logaritmik:
1. y

2

1 x

log x

20

Y
4

3

2

1

5

10

15

20

X

Grafik berada selalu di sebelah kanan sumbu Y. memotong
sumbu X di (1,0). Grafik yang selalu berada di sebelah kiri
sumbu Y adalah: y

2

log( x)

,

20

x

1.

Coba

jelaskan agar grafik memotong sumbu X tidak di (0, 1)! Apa
pengaruhnya jika angka bilangan pokok 2 diganti dengan
angka: bulat positif lainnya, pecahan positif?

Page | 126

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

2. y

2

log x 2

1 x

20

Y
8

6

4

2

5

10

15

20

X

Pemberian pangkat pada variabel x memperbesar nilai y. Coba
Jelaskan bagaimana bentuk grafiknya jika batas nilai x:

0

x 1!

LATIHAN 7.1_____________________________________
1.

Bila x>1, maka

2.

2

2

log 6

3

log 5

5

a

log 2

n

1
log x

….

dengan a = 1/5, sama dengan….

log 6 ….

2

4.

Jika a = 0,1666…. Maka a log 36

5.

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan:
log log x

log 12

2

1
log x

3.

log 4

2

9

m

log(3

….

1
log x) 2 dengan bilangan pokok
2

logaritma 2!
Page | 127

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

6.

Nilai f(1/9) dengan f ( x)

7.

3

log x adalah…

Tentukan domain fungsi :
a.

f ( x)

3

log( 2 x 5)

b.

f ( x)

3

log

1
4

9 x2
log 2
x x 2

c.
8.

f ( x)

x 1
x 2

Manakah pernyataan berikut yang benar:
a. grafik fungsi f ( x)

2 3 log x berada di sebelah

kiri sumbu Y.
b. grafik fungsi logaritma selalu di sebelah kanan
sumbu Y.
c. grafik fungsi logaritma selalu memotong sumbu X.
d. grafik fungsi logaritma memotong sumbu X di titik
(1, 0).
9.

Fungsi f ( x)

2

log( x 2

2 x 4 p 3) mempunyai nilai

maksimum 3, maka nilai p adalah….
10. Tentukan himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan
2

log x 2

2

log( 2 x 1) !

Page | 128

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

MATLAB:

a.

Membuat Plot Fungsi Logaritmik


:

Buatlah M-File dengan kode seperti berikut:
x=linspace(-2,5);
y=log10(x.^2-3*x+5);
plot(x,y,'g'), xlabel('x')
b.

Menghitung nilai fungsi logaritma
Kode berikut digunakan untuk memasukkan nilai x = 2 fungsi

x=2;
y=log10(x.^2-3*x+5)
c.

Untuk natural logaritma kodenya adalah log(x) dan 2log(x)
pakailah kode log2(x).
x=2;
y=log2 (x)
y1=log(x)

__________________________________________________
Page | 129

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

BAB 8
FUNGSI TRIGONOMETRI

8.1 Dasar-dasar trigonometri
Berikut adalah beberapa istilah dalam trigonometri (lihat
gambar di bawah!):
β

r

y

α
x

Gambar 8.1 Segitiga Siku-siku

r disebut garis miring (hipotenusa)

r

x2

y 2 (nilainya selalu positif)
r
y

sin

y
r

cos ec

cos

x
r

sec

r
x

tan

y
x

cot

x
y

tan

sin
cos

Page | 130

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

α

00

300

450

600

900

sin α

1
0
2

1
1
2

1
2
2

1
3
2

1
4
2

cos α

1

1
3
2

1
2
2

1
2

0

tan α

0

1

cos

y
r

sin 2

sin

2

2

cos2

2

sin 2
cos 2
tan 2

1

3

cos 2
cos 2

x
r

2

3

y2

x2
r2

r2
r2

1

1

1
cos 2

1 sec2

8.2 Nilai Sudut α dari 00 hingga 3600
Nilai sinus, cosinus, dan tangent untuk sudut α dari 00 hingga
3600 ditentukan dengan cara sebagi berikut:

a. Kuadran I ( 0 0
Dengan r

x2

900 )

y 2 maka r akan selalu bernilai positif.

Perhatikan bahwa di kuadran I ( 0 0

900 ) nilai x dan y akan

Page | 131

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

selalu positif, sehingga nilai sinus, cosinus, dan tangent akan
selalu positif:
sin( )
cos( )

tan( )

Y

y

Kuadran I

positif

r

y

x
r

positif

y
x

positif

r

y

α
x

0

X

Gambar 8.2 Kuadran I

1800 )

b. Kuadran II ( 900

1800 ) nilai x selalu

Perhatikan bahwa di kuadran II ( 900

negatif, sedangkan nilai y selalu positif, sehingga:
Y
Kuadran II

r
+y

r
β

-x

α
0

β
x0

y0
X

Gambar 8.3 Kuadran II
Page | 132

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

sin( )

y
r

positif

cos( )

x
r

negatif

tan( )

y
x

negatif

Perhatikan gambar! Sudut α haruslah selalu dibentuk oleh sisi
x (sisi dekat ) dan sisi r (sisi miring) segitiga siku-siku. Sisi y
selalu menjadi sisi hadap. Jadi,
sin

sin(180

)

sin

cos

cos(
180

)

cos

tan

tan(180

)

tan

c. Kuadran III ( 1800

2700 )

Tentu sudah jelas bahwa di kuadran III ( 1800

2700 ) nilai

x dan nilai y selalu negatif, sehingga:
sin( )

y
r

negatif

cos( )

x
r

negatif

tan( )

y
x

positif

Page | 133

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Y

r
α
-x
0

β

-y

y0
β
x0

X

r

Kuadran III

Gambar 8.4 Kuadran III

sin

sin(180

)

sin

cos

cos(
180

)

cos

tan

tan(180

)

tan

d. Kuadran IV( 2700

3600 )

Sudah jelas pula bahwa di kuadran IV ( 2700

3600 ) nilai

x selalu positif sedangkan nilai y selalu negatif, sehingga:
sin( )
cos( )

y
r
x
r

negatif
positif
Page | 134

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

y
x

tan( )

negatif

Berikut rangkumannya:
Y
Kuadran II

900
1800
sin( ) :

Kuadran I

00

900
Semua: +

X

tan( ) :
1800

cos( ) :
2700

2700

Kuadran III

3600
Kuadran IV

Gambar 8.5 Kuadran IV

8.3 Sudut Negatif (-α)
Dengan adanya kenyataan seperti di atas yaitu bahwa:
d. sudut α terbentuk oleh sisi x dan sisi r .
e. sudut α nol tebentuk saat sisi x dan sisi r saling
berhimpitan di sumbu X.

Page | 135

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

f. untuk membuat nilai-nilai besaran trigonometri
positif maka sisi r harus berputar dengan pusat (0,
0) ke kiri berlawanan arah jarum jam, sehingga
sudut α makin membesar.
Sehingga arah sudut positif ditentukan berlawanan arah jarum jam,
dan sebaliknya.
Y

Y

(x, y)
+y

r
y

α
x

0

x
0

X

X

-y

-α
r

-y

(x, -y)

Gambar 8.6 Sudut Negatif

Dari gambar terlihat bahwa:
GAMBAR KIRI

GAMBAR KANAN

1.

sin( )

y
r

sin(

)

y

2.

cos( )

x
r

cos(

)

x
r

3.

tan( )

y
x

tan(

)

y
x

r

sin(

KESIMPULAN
)
cos(
tan(

sin
)
)

cos
tan

Page | 136

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Contoh:
Bagaimana cara membentuk sudut 300 dan -600?
Jawab:
>

Sudut 300 dibentuk dengan memutar sisi r dari sumbu X
berlawanan arah jarum jam sehingga perbandingan nilai y
dengan x titik ujung sisi r adalah 1 / 3 .

> Sudut 600 dibentuk dengan memutar sisi r dari sumbu X searah
jarum jam sehingga perbandingan nilai y dengan x titik ujung
3.

sisi r adalah
Y

Y

(1,

0

3)

-600

2

X

1
2

0

30
0

X

(- 3 ,1)

8.4 Sudut Radian
Besaran sudut bidang dinyatakan dalam derajat ( 0) dan radian.
Hubungan keduanya adalah sebagai berikut. Perhatikan lingkaran
di bawah!

Page | 137

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Panjang busur s berbanding lurus dengan sudut α dan r.
Semakin besar sudut α semakin panjang pula busur S.

S
α
r

Gambar 8.7 Sudut Radian

s

…………(8.1)

r

dengan α dalam satuan radian.
Ketika α mencapai 3600 berarti panjang s360 sama dengan keliling
lingkaran k.
s360

r

k

2

r
π rad 1800 ,
1 rad

180 0

1 rad 57 ,3 0

Page | 138

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Sudut istimewa dalam bentuk radian:
α0

00

300

α rad

0 rad

6

rad

450
4

rad

600
3

900

rad

2

rad

8.5 Sudut Berrelasi
a.

sudut (900 -α)
Y

900-α
r
y

α
x

0

X

Gambar 8.8 Sudut 900- α

Dari gambar di atas terlihat bahwa:
(900-α)

(α)
1. sin( )

y
r

y
r

2. cos( )

x
r

x
r

sin(90 0

3. tan( )

y
x

y
x

1
tan(90 0

KESIMPULAN

cos(900

)

)

)

cos(90 0

)

sin( )

sin(90 0

)

cos( )

tan(90 0

)

cot an( )

Page | 139

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

b. Sudut (1800 -α)
Y

1800-α
r

r
y

y

α

α
-x

x

0

X

Gambar 8.9 Sudut 1800- α

(1800-α)

(α)
1. sin( )

y
r

y
r

sin(1800

2. cos( )

x
r

x
r

cos( 0
180

3. tan( )

y
x

x
y

tan(180 0

KESIMPULAN
sin(180 0

)
)

)

)

sin( )

cos(180 0

)

cos( )

tan(180 0

)

tan( )

Page | 140

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

c.

Sudut (1800 + α)
Y

1800+α

r

-y

y

α

-x

x

0

α

X

r

Gambar 8.10 Sudut 1800+ α

(1800-α)

(α)
1. sin( )

y
r

y
r

2. cos( )

x
r

3. tan( )

y
x

KESIMPULAN

sin(1800

)

sin(180 0

)

sin( )

x
r

cos( 0
180

)

cos(180 0

)

cos( )

x
y

tan(180 0

)

tan(180 0

)

tan( )

Page | 141

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

d. Sudut (3600 -α)
Dari gambar di bawah terlihat bahwa:
1. sin(360 0

)

2. cos(360 0

)

3. tan(360 0

)

sin( )
cos( )

tan( )
Y

r
0

360 -α

y

α
0

α

x

-y

X

r


e.

Sudut (k . 3600 +α)
Dengan cara yang sama dengan di atas didapat:
1. sin(k 360 0

)

sin( ) , k : bilangan bulat.

2. cos(k 360 0

)

cos( )

3. tan(k 180 0

)

tan( )

Page | 142

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

8.6 Sifat- sifat Trigonometri
a.

Penjumlahan dan pengurangan sudut
Perhatikan busur setengah lingkaran dengan jari-jari r = 1

tersebut!
Y

C
r

B
β r
y0

α

O
0

A
X

-β
r
D


r=1
A (1, 0)
B ( 1 cos , 1 sin )
C ( 1 cos(
D ( 1 cos(

) , 1 sin(
) , 1 sin(

))
))

Page | 143

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

Untuk

P

PQ

(x1,y1)
x1 ) 2

( x2

dan

Q

(x2,y2)

maka

jarak

y1 ) 2 .

( y2

Sehingga:
(cos(

AC

2

) 1) 2

cos2 (

> AC

) 2 cos(

AC
> DB

2

))2

(sin

cos(

DB

)

sin(

DB

)

)

(cos

2

) 1 sin 2 (

2 2 cos(

cos(

DB

) 0) 2

(sin(

)

cos( )

sin( )

cos ) 2

(cos

))2

sin(

sin ) 2

(sin

2

cos2

2 cos

cos

cos2

sin 2

2 sin

2

cos2

sin 2

2 cos

cos

2 sin

sin

DB

2

1 2 cos

> AC

2

DB

2 2 cos(

1)

cos(

cos

2 sin

cos

sin

sin

cos2

sin

1

2

)

2 2 cos
)

cos

cos

cos
sin

2 sin

sin

sin

Page | 144

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

2)

cos(

cos(

) sin

)

cos

cos

sin

sin(

)

cos(90 0

sin(

)

cos((90 0

sin(

)

cos(90 0

sin(

4)

cos

cos(

3)

)

)

sin

sin(

sin(

(

))

)

(

sin

)

sin

))

)

)
sin(90 0

) cos

cos
sin

sin(

cos

cos(

cos

sin

) cos

cos

) sin

sin(

)

sin

Rumus penjumlahan sudut:
Coba cek seperti berikut:

cos(

)

cos

cos

sin

sin

cos(0 0

cos(

)

cos

cos

sin

sin

cos(30 0

sin(

)

sin

cos

cos

sin

sin(0 0

sin(

)

sin

cos

cos

sin

sin(30 0

00 ) 1

30 0 ) 1
00 ) 1
30 0 ) 1

Dengan rumus-rumus di atas buktikan bahwa:
tan(

)

tan
tan
1 tan tan

, dan

tan(

)

tan
tan
1 tan tan

!

Page | 145

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

b. Sudut Rangkap
cos(2 )

cos(

)

cos(2 )

cos 2

sin 2

cos2
cos(2 )

sin 2

cos

cos

sin

sin

1

2 cos 2

1

Lanjutkan seperti contoh untuk yang lain!

sin(2 )
cos(2 )

2 cos 2

tan(2 )

c.

2 sin

cos

2 tan
1 tan 2

1

Sudut Persetengahan
cos(2 )

cos2

sin 2
cos(2 )

sin 2

cos
cos(2 )

cos2

cos 2

sin 2

1
2 cos 2

1

cos2

1

1 cos(2 )
2
cos 2

sin 2

sin 2

1

Page | 146

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

cos(2 ) 1 2 sin 2

cos2

1 sin 2

sin

1 cos(2 )
2

Dengan cara di atas diperoleh rumus untuk mendapatkan nilai
sinus, cosinus, dan tangent sudut ½ α jika diketahui nilai sinus,
cosinus, dan tangent sudut α:

sin

1
2

1 cos
2

cos

1
2

1 cos
2

tan

1
2

1 cos
1 cos

d. Perkalian sinus dan cosinus
sin(

)

sin

cos

cos

sin

sin(

)

sin

cos

cos

sin

sin(

) sin(

)

+

sin

cos

1
{sin(
2

2 sin

cos

) sin(

sin(

)

sin

cos

cos

sin

sin(

)

sin

cos

cos

sin

)}

Page | 147

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

sin(

cos

) sin(

)

2 cos

1
{sin(
2

sin

sin

) sin(

)}

cos(

)

cos

cos

sin

sin

cos(

)

cos

cos

sin

sin

cos(

) cos(

)

cos

cos

1
{cos(
2

2 cos

+

cos

) cos(

)}

cos(

)

cos

cos

sin

sin

cos(

)

cos

cos

sin

sin

cos(

) cos(

)

sin

sin

1
{cos(
2

2 sin

) cos(

-

sin

)}

Rumus perkalian sinus cosinus:
sin

cos

1
{sin(
2

) sin(

)}

cos

sin

1
{sin(
2

) sin(

)}

cos

cos

1
{cos(
2

) cos(

)}

sin

sin

1
{cos(
2

) cos(

)}

Page | 148

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

e.

Jumlah dan selisih sinus dan cosinus
x

x

y
2

x

y

1
(x
2
sin

2

x

1
(x
2

y)
1
{sin(
2

cos

1
sin ( x
2

y

+

1
y ) cos ( x
2

sin x sin y

) sin(
y)

1
2{sin ( x
2

_

y

y)

)}

1
{sin x sin y}
2

1
y) cos ( x
2

y )}

(pindah ruas)
Jika substitusi nilai x dan y ini dilanjutkan pada rumus perkalian di
atas didapat:

sin x sin y

1
2{sin ( x
2

1
y) cos ( x
2

y)}

sin x sin y

1
2{cos ( x
2

1
y) sin ( x
2

y)}

cos x cos y

cos x cos y

1
2{cos ( x
2

1
2{sin ( x
2

1
y) cos ( x
2

y)}

1
y) sin ( x
2

y)}

Page | 149

EduMacs Publisher
_____________________________________________________

8.7 Rumus-rumus segitiga
a.

C

Aturan sinus
a
sin A

b
sin B

c
sin C

a

b

Dari mana aturan ini muncul?
Perhatikan garis CC’!

CC ' b sin A
CC '

A

a sin B

CC ' b sin A
a
sin A

B

c
C

a sin B

b
sin B

A’
a

b

Perhatikan garis AA’!

AA'

c sin B

A

AA' b sin C

AA'

c sin B

b sin C

b
sin B

b
sin B

C’

B

Gambar 8.13 Aturan Sinus

c
, jadi:
sin C

a
sin A

c

c
sin C

Page | 150

Kalkulus by Mohammad Faizun

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (11)

Similar to Kalkulus by Mohammad Faizun

Similar to Kalkulus by Mohammad Faizun (14)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Kalkulus by Mohammad Faizun